Задачи Франкля для уравнений смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1 Задача Франкля для модельных уравнений смешанного

§1 Задача Франкля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

§2 Решение задачи Франкля для модельного гиперболо-параболического уравнения. п.1 Постановка задачи и формулировка результатов. п.2 Предварительные замечания. п.З Доказательство теоремы 1.2. п.4 Замечание.

Глава 2 Задача Франкля для гиперболо-параболического уравнения

§1 Постановка задачи

§2 Нелокальная краевая задача для гиперболического уравнения

§3 Доказательство для волнового уравнения.

§4 Вспомогательные утверждения.

§5 Вспомогательная задача

§6 Построение одного оператора.

§7 Доказательство теоремы 2.2.

В 1956 Ф.й. Франкль в работе [31], рассматривая обтекание конечного симметричного профиля потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения, поставил задачу нового типа для уравнения Чаплыгина к(у)ихх + иуу — 0, (0.1) где 0 при у ф 0.

Пусть D - односвязная область, ограниченная отрезком АА' оси х = О, дугой А'С характеристики уравнения (0.1), отрезком С В оси у = 0 и кривой а, с концами в точках А и В, целиком лежащей в полуплоскости у ^ 0 (рис. 0.1). А = Л(0, а),А! = Л'(0,-а), В = В{Ъ, 0), С = С(с, 0), м b ^ о; D - згшкание области D. Рис. 0.1

Задача Франкля. Найти регулярное решение уравнения (0.1) при уф 0 иг / —у, непрерывное в D, удовлетворяющее условиям:

1«, = »«Li' = °>

0,y)-u(0,-y) = /(y), где f(y) - заданная нечетная функция.

Впервые эта задача была решена А.В.Бицадзе. В работе [1] было доказано существование и единственность решения задачи Франкля для уравнения ЛаврентьевагБицадзе ws + signyu^ = 0. (0.2)

При этом, при доказательстве единственности решения предполагалось, что кривая а, кроме условия гладкости, удовлетворяет условию <°-з> где sc(s), y(s) - параметрические уравнения кривой cr, s длина дуги, отсчитываемая от точки В. В работе [2] была доказана единственность решения для уравнения (0.1), когда к(0) — 0, к'(у) > 0, к(у) = -к(-у), также при выполнении условия (0.3).

Ю.В. Девингталь в работе [6] доказал единственность решения для системы

Г к{у)их — vy =0,

1 Uy + Щ =0, где ук(у) > 0, при уф 0, к (у) g С1 и к (у) — —к(—у). Относительно кривой а предполагалось, что а - гладкая кривая, в окрестности точки А выполнено условие (0.3) и угол 9, между положительным направлением оси у — 0 и касательной, направленной в сторону возрастания дуги при обходе а подчинен условию 0 ^ 9 ^ 7Г. В работе [7], для уравнения sign y\y\mth* + Щу = 0, т > 0, (0.4) доказано существование решения задачи Франкля, когда x(s), y(s) е С2, и в окрестности точки В на кривой а выполнено условие \dx/ds\ < ciym^(s), сг = const. В работе [8] для уравнения (0.4) доказано существование решения, когда и в окрестности точки С заканчивается сколь угодно малой дугой нормальной кривой.

Линь Цзянь-бин в работе [16] доказал единственность решения задачи Франкля для уравнения Чаплыгина, когда на кривой а выполнено условие йи йх где п ^ тах{ж : (х, у) е £)} и к(у) + к(~у) ^ 0, у Е [0, 1].

Майоров И.В. в работе [17] доказал единственность решения для уравнения уихх + иуу + с(х, у)и ----- О, где с(х,у) Е С2, с(х,у) < 0 при у > 0, в предположении, что длина линии изменения типа достаточно мала.

Впервые единственность решения задачи Франкля без ограничений геометрического характера была доказана А.П. Солдатовым для уравнения Лаврентьева-Бицадзе (0.2) в работе [30]. При этом предполагалось, что кривая а кусочно-гладкая, а эллиптическая часть области И конечна и не образует острия в своих граничных точках.

В работе [13] Н.Ю. Капустина и К.Б. Сабитова была доказана единственность решения задачи Франкля для уравнения к{у)ихя! + иуу- А{у)и = 0, (0.5) когда к(у) + к(-у) > 0, А (у) ^ —1, при у < 0; А (у) обеспечивает разрешимость уравнения Риккати ау) + ау) = чу), в классе С1, /г(0) ^ 0, а расположена в первой четверти координатной плоскости, и выполнено условие Девингталя 0 ^ в ^ 7Г, где в - угол между положительным направлением оси у = 0 и касательной, направленной в сторону возрастания дуги при обходе а.

В работе [14] решена проблема единственности задачи Франкля для уравнения Чаплыгина, если к(у) + к(—у) ^ 0, и для уравнения (0.5), когда к(у) = Sigliy|?/|m, Л (у) = const, А > ~ТГ2/(ут ах ~ Утт)2

К.Б. Сабитовым, в работе [27], были найдены собственные значения и соответствующие собственные функции спй£гральной задачи Франкля для уравнения ЛаврентьевагБицадзе со спектральным комплексным параметром.

Задаче Франкля была посвящена 4 глава докторской диссертации К.Б. Сабитова ([28]). В ней дан обзор работ посвященных задаче Франкля, решен вопрос единственности решения для некоторых классов уравнений смешанного типа и рассмотренны вопросы спектральной теории задачи Франкля (см. выше).

Елеев В.А. в работе [11] рассмотрел аналог задачи Франкля для модельного гиперболо-параболического уравнения

0 Г ихх-щ, у> 0,

1 (-у)тихх - Uyy, у < 0, т = const > 0.

В данной работе рассматривается задача Франкля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Доказана теорема существования и единственности решения задачи Франкля для уравнения (0.2) при достаточно общих предположениях относительно эллиптической части области. Исследуется аналог задачи Франкля для уравнений смешанного гиперболо-лараболического типа. Доказаны теоремы существования и единственности для гиперболо-параболических уравнений. При этом, условие Франкля заменено на более общее нелокальное условие.

Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

Первая глава посвящена задаче Франкля для некоторых модельных уравнений смешаного типа.

В §1 исследуется следующая задача для уравнения (0.2) в смешанной

0.6) облаетыИ (см. рис. 1.1 на стр.14), ограниченной: отрезком А'А оси х = О, У ^ я; отрезком А'В характеристики х — у = 1 уравнения (0.2); кривой ст с концами в точках А ж В, лежащей в угле {ж ^ 0, у ^ 0}; А — А(0, о), А' = А'(0, -1), В = В( 1, 0), 1 ^ а ^ оо;

Задача Франкля. Найти регулярное решение и = и(х, у) уравнения (0.2) в области И, при уфОшуф ~х, удовлетворяющее следующим условиям:

1) и(х, у) непрерывна в П;

2) их, щ непрерывны в В1){(х, у) : х = 0, —1 < у <а, уф 0}, кроме, быть может, отрезка ОС характеристики х+у — 0,0 = 0(0, -0), С = С(1/2, -1/2);

3) и{х, у) удовлетворяет следующим граничным условиям:

I» = 0, (0.7)

Л0,у) = 0, -1<у<а, (0.8)

0, у) - «(0, -у) = /(у), <К у < 1, (0.9) где /(у) - заданная непрерывная функция.

Доказана

Теорема 1.1 Пусть / Е С[0, 1]ПС2(0, 1) и /" Е Я(0, 1), /(0) = 0. Кривая а такова, что ее образ при конформном отображении верхней полуплоскости на некоторую ограниченную область есть объединение конечного числа дуг Жордана, и вместе с отрезками А'А и А'В она ограничивает односвяз-ную область. Тогда существует, и притом единственное, решение задачи Франкля (0.7)-(0.9) для уравнения (0.2).

Доказательство проводится с использованием следующей леммы.

Обозначим через Е0 — {я2 + у2 < 1, х >0, у>0}- сектор единичной окружности, через а0 = {х2 + у2 = 1, х ^ 0, у > 0} - дугу единичной окружности. Через Е будем обозначать эллиптическую часть Б-. Е = В П{(яг, у): у > 0}.

Лемма 1.1 Пусть функция g(z) конформно отображает область Е0 в Е, и <7(0) = 0, <7(1) = 1, д(ъ) = га, тогда Vz Е Ё0 \ ст0

И < Ш\ ^ И i + И2" Ио)Р i-M2

В §2 первой главы исследуется задача Франкля для модельного гиперболо-параболического уравнения (0.6) в области D (см. рис. 1.2 на стр.20), ограниченной отрезком АВ оси х = 0, отрезком ВС характеристики х + у)2™2 = 1 уравнения (0.6) и отрезками СЕ и АЕ, соответственно, прямых ас = 1 и у = а. А = А(0, а), В = В(0,-а), С = С(1, 0), Е = В(1, а), а = (1 - ЭР)2?-1, /3 = т/{2т + 4). Обозначим через Д> = D П {у > 0}, Di = .D П {у < 0}, а через 5 - часть характеристики х - (-у)^ — 0 лежащую в Di.

Задача Ф0* Найти решение и — и(х,у) уравнения (0. 6) в области D из класса C(D) П Cl{D U АВ \ 5) П C2(D0 U Dx \ S), удовлетворяют^® краевым условиям щ( 0, -i) = 0, (0.10) и(0, t) = ipi(t) или ад®(0,t) = ui(t), и{0,0) = ах, /Q u(l,t) = (pz(t) или Us(l,t) = Щ(¿), tt(l,0) = «2,

Кu(x, y)(t) - «(0, -*) = /(*), (0.12)

0 < t < a, где К : С (-Do) —> C[ 0, а] - непрерывный линейный оператор, v\{t), ¥>i(¿), (р2(t), f{t) - заданные непрерывные функции, «i, а2 = const.

Далее, под |) • |] подразумевается норма в пространстве непрерывных функций, или норма оператора в пространстве С, в зависимости от контекста. Также будем рассматривать функцию типа Миттаг-Леффлера ([9], с.117): где Г (г) - гамма-функция Эйлера ([15], с.549). Доказана

Теорема 1.2 Пусть / Е С[0,а]ПС2(0,а), /(0) = 0, и оператор К обладает следующими свойствами: К.и(х, у)(0) = «(0,0), и если и g C(DQ)nCi{D0), то К и е С[0, а] П С*(0, а), ¿ = 1,2,«

2Г(1 + 20)Ei (7;2) м < 7Д., ыт+^у (0ЛЗ)

7 2Г(1+/?)Г(3/2-0) ■

Тогда существует единственное решение задачи Фо (0.10)-(0.12) для уравнения (0.&).

В главе 2 исследуется аналог задачи Франкля для гиперболо-параболического уравнения q f us¡E~ иуу + а(х, у)ия + Ъ{х, у)щ + с(х, у)и, у < 0, ^ ихх -щ + d(x, у)их + е(х, у)и, у > 0, * ' ' в области D (см. рис. 2.1 на стр.31), ограниченной отрезком АВ оси х = 0, отрезком ВС характеристики а-—у = 1 и отрезками СЕ и АЕ, соответственно, прямых ® = 1 и у = 1. А = А(0, 1), В = В{0, -1), С = С{ 1, 0), Е = Е( 1, 1). Обозначим через D0 = D П {у > 0}, А = D П {у < 0, х > -у}, Z>2 = D П {х <

-у}

Задача Фг. Найти регулярное решение и — w(x, у) уравнения (0.14) в области D из класса C{D)nCl(D\{x = -у})ПС2(А,

UDiUjD2), удовлетворяющее краевым условиям иш(0, -t) = v0{t), (0.15)

0.16)

Kn{x,y)(t)-u(0,-t) = f(t), (0.17)

0 < t < 1, 9 м(0, t) = <pi(t) или ux(0,t) = v1 (t), u(0,0) = ai, u(lft) — <P2(t) или ux(l,t) = v2(t), «(1,0) = o2, где К : C(D0) —> С [О, 1] - заданный непрерывный линейный оператор, uQ (t), vi{t), г/2 (t), <pi{t), <p2(t), f(t) - заданные непрерывные функции, ai, 02 = const.

Относительно коэффициентов считаем, что а, Ь, с Е С1 (Pi) П C1(D2), d, е е С1 (D0) и е(х, у) ^ 0, кроме того, выполнено условие

М(Ха, АЬ, Ac, Q) ^ О, VA G [0, 1], Q Е А- (0.18) где ([26])

М(а, Ь, c,Q) = (a + b)P-Jp\(J¿ + -^{a + b) + pq

2 Ь2

--С dÇ, ft{Q) — exp f —d£, PQ - отрезок характеристики x — y — cq, 0 < со < pq 4

1, уравнения (0.14), точка Q E Di, a P - точка пересечения характеристик x - у = с0 и х + у = 0. Доказана

Теорема 2.1 Пусть а,Ъ,сЕ С1 {Di) П C1(D2), d,eE С^Д,), / Е С[0, 1] П С2(0, 1), /(0) = 0, е(х, у) ^ 0, выполнено условие (0.18) и оператор К обладает следующими свойствами: К.и(х,у)(0) = и(0,0), и если и Е C(D0)nC%(D0), то Ки Е С[0, 1] П С1{0, 1), г = 1,2, и

Тогда существует единственное решение задачи Фх (0.15)-(0.17) для уравнения (0.14).

В §2 задача Фг сводится к нелокольной краевой задаче для гиперболичекого уравнения

0 = Ъи = ихх — иуу + а(х, у)их + Ь(х, у)иу 4- с(х, у)и. (0.19)

Далее, под областью D будем подразумевать D = {(ж, у): х > 0, у < 0, х—у < 1} (см. рис. 2.2 на стр.34). Примем следующие обозначения Di — Df){x > —у},

D2 = D n {x < -y}, I = {(x, y) : 0 < x < 1, y = 0}, J = y) : -1 < y < 0, x = 0}.

Задача Ф*. Найти регулярное решение и = «(ж, у) уравнения (0.19) в области А при х ф -у, из класса C(jD) П Cl(D1 U D2 UIU J) П С2(A U D2), uxx £ С(I), которое удовлетворяет граничным условиям:

0,0) = «(1,0) = 0, (0.20)

0, -t) = 0, (0.21) К«(ж,0)(*) - «(0, -t) = /(t), (0.22) 0) = uxx(t, 0) + d(t)ux(t, 0) + e(t)u(t, 0), (0.23) rjmd(t), e(t), f(t) - заданные непрерывные функции, а К : С[0, 1] —> С[0, 1] - непрерывный линейный оператор, 0 < t < 1.

Теорема 2.2 Пусть а,Ъ,се С1ф1)ПС1ф2), d,e G С^О, 1], / € С[0, 1]П С2(0, 1), /(0) = 0, e(t) ^ 0, выполнено условие (0.18) и операторК. обладает следующими свойствами: Ку?(ж)(0) = </з(0), и если (р G С[0, 1] П С*(0, 1), то К<р G С[0, 1] Г! С*(0, 1), * = 1,2, и < 2Й^)' (°'24'

Тогда существует единственное решение задачи Ф* (0.20)-(0.23) для уравнения (0.19).

В §3 задача Ф* решается для случая когда o = & = c = 0nd = e = 0.

В §5 формулируется и решается вспомогательная задача

Задача Т. Найти регулярное решение и — и(х, у) уравнения (0.19) в области D, при х Ф —у, обладающее следующими свойствами:

1) и{х,у) G сфг Ü D2)nC1(D1\jD2\Jl)nC2(D1UD2), ихх G С{1), их G C{J);

2)u(0,-t) = <p{t),ue{0, -t) = 0;

3) uy(t, 0) = uxx{t, 0) + d{t)ux{t, 0) + e{t)u(t, 0);

4) u(0,0) = w(l,0) = 0. d(t), e(t), <p(t) - заданные непрерывные функции, 0 < t < 1. Лемма 2.3 Пусть <p{t) g C[0, 1] П C2(0, 1), d, e g C^O, 1], e ^ 0, u

M (a, b, c, Q) ^ 0, QeDi.

Тогда существует, и притом единственное, решение задачи Т. Кроме того, верны оценки

IMI ^ кЫ, (0.25)

1ИЮ1М1, (0-26) где к - константа, зависящая только от коэффициентов уравнения (0.19), d{t) и e(t).

В §6 строится непрерывный линейный оператор, связывающий различные решения задачи Т.

Вместе с уравнением (0.19), рассмотрим уравнение

О = L\ = ихх - Uyy + Аа(х, у)их + АЬ(х, у)иу + Хс(х, у)и, (0.27) где А - некоторое положительное число.

Для уравнения (0.27) условие 3) задачи Т будем заменять условием uy{t, 0) = uxw{t,0) 4- Ad(t)ux(t, 0) + Xe(t)uu(t, 0), 0 < t < 1. (0.28)

Доказана

Лемма 2.4 Для любого А существует линейный непрерывный в С[0, 1] оператор А = Ал, такой, что если щ является решением задачи Т для уравнения (0.19), а щ - решение задачи Т для уравнения (0.27) (с условием (0.28)), то ui(t, 0) = U2(t, 0) тогда и только тогда, когда Am(0,-y)(t) = «2(0,-i).

Для оператора А существуют обратный А Кроме того, Ац>, А 1<р & С[0, 1] П С*(0, 1), если ср е С[0, 1] П С*(О, 1), * = 1,2. И верны оценки

А||, ||А-11| ^ 1 + к(е), (0.29) где е = |1 — А|, и к(е) 0, когда е 0.

В §7, используя результаты §§2-6 , с помощью метода продолжения по параметру завершается доказательство теоремы 2.2.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21]-[25].

1. Бицадзе A.B. Об одной задаче Франкля //Докл.АН СССР, 1956, Т. 109, N6, С. 1091-1094.

2. Бицадзе A.B. О единственности решения задачи Франкля для уравнения Чаплыгина //Док л. АН СССР, 1957, Т.112, N3, С.375-376.

3. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. -М.:Наука, 1982.336 с.

4. Векуа И.Н. Обощенные аналитические функции.-М.: Наука, 1988.-512 с.

5. Голу зин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного.-М.: Наука, 1966.

6. Девингталь Ю.В. О существовании и единственности решения одной задачи Ф.И. Франкля //Изв. высш. учебн. заведен., серия матем., 1958, N2(3), С.39-51.

7. Девингталь Ю.В. О существовании решения одной задачи Ф.И. Франкля //Докл.АН СССР, 1958, Т.119, N1, С.15-18.

8. Девингталь Ю.В. К вопросу о существовании и единственности решения задачи Франкля //Успехи матем. наук, Т. 14, вып.1 (1959), С.177-182.

9. Джрвашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области.-М.: Наука, 1966, 672 с.

10. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: Фан, 1986, 220 с.

11. Елеев В.А, Аналог задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа //Тезисы докладов участников Куйбышевского областного межвузовского научного совещания-семинара. -Куйбышев: Изд-во КУ, 1984. С.38-39.

12. Ильин А.М., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа //Успехи матем. наук, Т.17, вып.З (1962), С.3-146.

13. Капустин Н.Ю., Сабитов Б.К. Уравнение Риккати в теории уравнений смешанного типа//Докл.АН СССР, 1990, Т.314, N6, С.1307-1311.

14. Капустин Н.Ю., Сабитов Б.К. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа //Дифференц. уравнения, 1991, Т.27, N1, С.60-68.

15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.-М.: Наука, 1987.-688 с.

16. Линь Цзянь-бин О некоторых задачах Франкля//Вестник ЛГУ, Математика, 1961, Т.З, N13, С.28-29.

17. Майоров И.В. О принципе максимума для одной задачи Франкля//Сиб. матем. журн., 1966, Т.7, N5, С.1068-1075.

18. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения,-М.:ГЙФМЛ, 1962.

19. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии.-М.: Высш. шк., 1995.-301 с.

20. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных систем и их приложениях. -Нальчик: Логос, 1995.-59 с.

21. Псху A.B. On the Frankl Problem for a Model Hiperbolic-Parabolic EquationZ/Доклады AMAH, 1998, T.3, N2, C.40-44.

22. Псху A.B. Задача Франкля для гиперболо-параболического уравнения. Препринт/Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 1999, 17 с.

23. Псху A.B. Задача Франкля для гиперболо-параболического уравнения //III Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии", посвященный 80-летию академика A.A. Самарского. Тезисы докладов. Кисловодск, 21-24 апреля 1999 г.

24. Псху A.B. Решение задачи Франкля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе //Понтрягинские чтения X. Современные методы в теории краевых задач. Тезисы докладов. Воронеж, 3-9 мая 1999 г., С.199.

25. Псху A.B. Задача Франкля для одного гиперболо-параболического уравнения //Доклады АМАН, 1999, Т.4, N1, С.26-30.

26. Сабитов Б.К. О принципе максимума для уравнений смешанного типа //Дифферент уравнения. 1988. Т.24, N11. С.1967-1976.

27. Сабитов Б.К. О спектре одной газодинамической задачи Франкля для уравнений смешанного типа//Докл.АН СССР, 1991, Т.316, N1, С.40-44.

28. Сабитов Б.К. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа. Дис.д-ра физ.-матем. наук. -М. 1991.

29. Солдатов А.П. Об одной задаче теории функций //Дифференц, уравнения., 1973, Т.9, N2, С.325-332.

30. Солдатов А.П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением //Дифференц. уравнения., 1974, Т.10, N1, С.143-152.

31. Франкль Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения //Прикладн. матем. и мех., 1956, Т.20, N2, С.196-202.