Биортогональные ряды экспонент на невыпуклой системе отрезков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

яь

АКАДШИЯ НАУК СССР УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ' БАШКИРСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ С ВЦ

На правах рукописи ВАСИН АЛЕКСАНДР ПЕТРОВИЧ

ШОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЩШ ЭКСПОНЕНТ НА НЕВЫПУКЛОЙ СИСТЕМЕ ОТРЕЗКОВ.

(01.01.01. - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

УФА - 1991 г.

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Энергетического института.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Седлепкий A.M.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор 1>рслов Ю.Н., кандидат физико-математических наук, допент Галимов И.С.

Ведущая организация: Саратовский государственный университет.

Защита состоится "17- " ДН-^уЛ 19Д2г. в f-З часов на заседании специализированного совета К 003.59.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики с Вычислительным центром Башкирского научного центра Уральского отделения АН СССР по адресу: 450000 г. Уфа, ул.Чернышевского, дом 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ.

Автореферат разослан " 13 " 1931г.

Ученый секретарь

специализированного совета Ж^Л/ил А.Б.Секерин

кандидат физико-математических наук »

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

"Актуальность теми. Диссертация посвящена изучению поведения биортогональных рядов экспонент на невшуклой системе отрезков, исходящих из общей точки.

Теория рядов экспонент на выпуклых множествах имеет богатую историю. Случай отрезка впервые был рассмотрен в 30-е годы Р.Пэлл и Н.Винером, что дало толчок развита» теории негармонических рядов Фурье -биортогональных рядов экспонент на отрезке. Впоследствии негармонические ряды Фурье изучались в работах Н.-Левинсона, Л.Шварца, С.Верблюнского, Б.Я.Левина, В.Д.Головина, М.И.Кадеца, А.Ф.Леонтьева, В.Э.Кацнельсона, А.П.Хромова, В.А.Молоденкова, С.А.Авдонина, Н.К.Никольского, Б.С.Павлова, С.В.Хрущева, А.М.Седлецкого и других.

Во воей.полноте теория разложений аналитических функций на произвольных выпуклых множествах комплексной плоскости была построена А.Ф.Леонтьевым и его учениками.

В итоге теория разложений в ряды экспонент на выпуклых множествах разработана достаточно полно. Что касается разложений на невыпуклых множествах, то здесь результатов существенно меньше.

Впервые ряды экспонент на невыпуклом множестве в (С , представляющем собой систему отрезков Г , исходящих из общей точки, были рассмотрены И.С.Галимовым, которым построена система функций, биор-тогональная на Г к системе экспонент, найдена асимптотика этой биортогональной системы, а для соответствующих биортогональных рядов экспонент получены теорема единственности и теорема о разложении аналитических функций.

В последующем биортогональныэ ряды экспонент на Г рассматривал А.М.Седлецкий, установивший ряд существенных различий в по-

ведении указанных рядов и тригонометрических рядов Фурье.

Многочисленность исследований выпуклого случая с одной стороны и относительно малое количество результатов в невыпуклом случае, а также их несходство с классическими положениями анализа Фурье с другой стороны, делают актуальнш дальнейшее исследование биорто-гональных рядов экспонент для невыпуклого случая.

Цель работы. I. Получить оценки коэффициентов биортогонально-го ряда на Г в классах С(Г) и 1_> (Г) , р^ \ .

2. Найти условие абсолютной сходимости ряда, составленного из этих коэффициентов.

3. Исследовать разложения в указанные биортогональные рады функций из некоторых аналитических классов функций.

Методика исследования. Доказательства основаны на применении • как определенных методов комплексного анализа (нули и оценки квазиполиномов, классы Н в полуплоскости, целые функции экспоненциального типа), так и специальных классов вещественнозначных функций (слабо колеблющиеся функции в смысле А.Зигмунда).

Научная новизна. Бее результаты диссертации являются новыми. Новой является и са'.;а постановка задач в главах I и П.

Теоретическая значимость. Результаты диссертации могут найти применение в дальнейших исследованиях рядов экспонент биортогональ-ных на других (более общих) невыпуклых множествах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на 2-й Саратовской зимней школе по теории функций и теории приближений (1984 г.), на Северо-Кавказской школе по комплексному анализу (г.Теберда, 1985 г.), на семинаре проф. Ю.А.Казьмина в МГУ, на семинаре проф. А.М.Седлецкого в МЭИ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора - СО.

Объём работы. Диссертация изложена на 98 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 30 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

х

Пусть Г = и система отрезков, исходящих из нача-

¿--< 0 . ч

ла координат комплексной плоскости, где С^ (^ \)1}...-вершины выпуклого многоугольника . Через ,

обозначена последовательность квазиполинома

К^Х*/"', (Пя^о

.г

(I)

Так'как Ь (Я имеет конечное число кратных корней, то не нарушая общности, можно считать, что йсе корни квазиполинома (I) простые. ^

Произвольной функции j (г) (- можно сопоставить биор-

тогональный ряд

(2)

И=1 1

где, как показано И.С.Галимовым

^ Л" У

С. , ± V А Г г /_ л 0 " А.., О)

51 ^

^ о

И.С.Галимовым получен ряд результатов относительно рассматриваемых рядов (2)-(3). В частности, им была получена теорема единственности (если (_?:) непрерывна на Г и все коэффициенты

■ 1Галимов И.С. О полноте системы экспонент в невыпуклых областях Матем.сб., 1975, т.98, 8 I, с.42-54.

о, то = О . Значит, коэффициенты ряда полностью

определяют функцию с помощью ряда (2)-(3). И.С.Галимо-

вым была также найдена асимптотика функций биортогональной систе-ш. Она отличается от асимптотики функций биортогональной системы в случае выпуклой области. С помощью найденной асимптотики доказана теорема о разложении аналитической функции: если ана-литична на Р , то биортогональный ряд (2)-(3) сходится к ^(2:) равномерно в некоторой окрестности начала координат, причем область сходимости зависит от функции ^(г) •

В последующем ряда (2)-(3) исследовал А.М.Седагецкий. Если через обозначить многоугольник с вершинами Ка,, ^а^.....

^ ^г.* ^ > то А.М.Седлецким^ было получено утверждение: ес-

ли т(^) аналнтична в многоугольнике , то ряд (2)-(3) сходится равномерно внутри .В той же работе показано, что для любого натурального И- существует За) (- С (Г) такая, что ряд (2)-(3) расходится для любого 2 , отличного от нуля.

Это побудило рассмотреть поведение ряда (2)-(3) в точке ,

то есть ряда из коэффициентов

СО I

2. С- (4)

»л- I

В упомянутой виае работе А.М.Седлецкого, в частности, была доказана теорема о том, что если непрерывна в точке 2- О ,

то ряд (4) сходится к значению Со) •

Напомним, что обычный ряд Оурье функции может расходиться в точке её непрерывности. Таким образом, только что сформулированное

2Седлецкий A.M. Ряды Дирихле на системе отрезков, исходящих из начала координат Ыатем. заметки, 1980, вып.2, с. 197-208.

свойство рядов (2)-(3) отличает их поведение от тригонометрических рядов Фурье. Ряд других различий, вызванных рассмотрением невыпуклого случая, найден в работе А.М.Седлецкого3.

Первая глава диссертации полностью посвящена оценкам коэффициентов биортогонального ряда (2)-(3).

§ 1.1 носит вспомогательный характер; здесь приводятся сведения о квазиполиномах (I), которые существенно используются на протяжении всей работы.

В § 1.2 получена теорема 1.1, дающая оценку коэффициентов биортогонального ряда в случае, когда б (Р) , 14 р ^ со . Для того, чтобы сформулировать соответствующее утверждение, введем следующие обозначения.

Пусть йЛ-^а^ . Интегральный модуль непрерывности ^(гОвС (Г) для отрезка <-*.>•• • ^ » вводится следующим образом

Ш) р '/Р

= к при > о и (ЛО^Ы^ при к<0 А теперь пусть е ^(т), . Обозначим

theo^l<г.m -Ро-г. с/о-рблсе. ¿Ю-п^оЧ^ силе! ^ О-^ЫаХ^^Ц

. р.гчз-з^.

Теорема 1.1. Для

I р < ©о справедлива оценка

Ю- О (*>*)), •

Из теореш 1.1 сразу же вытекает

Следствие 1.1. Если (. [, (Г) , ¡¿р + со , то

То, что утверждение следствия не может быть усилено, показывает следующая

Теорема 1.2. Пусть ^(Д) - положительная функция, определенная на (О,оо) и ^СО-^О при оо . Тогда для \/р 3 (Г) такая, что для её коэффициентов справедлива оцен-

ка _ у

по некоторой подпоследовательности индексов. .

В § 1.3 получены оценки коэффициентов для Пусть оО Ц:; - модуль непрерывности на Р , то есть

где верхняя грань берется по всем , ¿^¿г Г таких, что

Теорема 1.3. £дя любой функции справедлива

оценка

Возник вопрос об окончательности оценки (5). В связи с этим введем обозначения. Пусть сО (£) - произвольный модуль непре-

рывности. Через И (г) обозначим класс непрерывных на функций, для которых

(6)

Следуя А.Зигмунду^, положительную в некоторой право;": окрестности точки ~Ь-0 функцию &{.~Ь) назовем слабо колеблющейся при О*-О , если для монотонно убывает, а "Ь монотонно возрастает при Ъ-рО+О Пусть

- слабо колеблющаяся функция при X

Проверяется, что тогда функция г:

о

удоклетворяет всем условиям, характеризующим модуль непрерывности.

Теорема 1.4. В классе Н (Г) , где определена по

формула (7), оценка (5) точна в том смысле, что существует такая, что

Напомним, что для коэффициентов Сп 2.ТГ - периодической функции справедливы оценки . р

(> < оо

Таким образом теоре.'.м 1.1 и 1.3 показьгэаэт, что и в вопросе оценок коэффициентов ряды (2)-(3) ведут себя ло иному, невели тригонометрические ряды Оурье.

43игмунд А. Тригонометрические ряды, т.1. - М.: !£ир, 1965.

Во второй главе речь идет об абсолютной сходимости рядов (4) из коэффициентов рассматриваемого биортогонального ряда. Из теоремы 1.3 следует, что условие

У оо (8)

является достаточным для абсолютной сходимости ряда (4) в случае

¡И*)«- С (.г).

В частности, это условие выполнено для функций, принадлежащих пространствам Х^рА ^о^л^-1) и ряд (4) оказывается для этих функций абсолютно сходящимся тогда, как дня обычных рядов Фурье имеет место абсолютная сходимость ряда из коэффициентов в классе только при <*-> '/¿_ , что ещё раз подчёркивает разницу между невыпуклым и выпуклым случаем.

Оказалось, что условие (8) для достаточно широкого класса функций является и необходимым условием абсолютной сходимости ряда (4). В доказательстве этого факта важную роль играет следующая

Лемма 2.1. Если функция ЬС~Ь) удовлетворяет условиям:

1) монотонно убывает к нулю при ~Ь->> ого ;

2) Ъб'Ш

- слабо колеблющаяся функция при О*-О ,

то

а) &(Ь) - также слабо колеблющаяся функция при ;

б) функция

о/±ьо (9)

является модулем непрерывности; В) 01К-О} при -Ь>о+о.

С помощью леммы 2.1 доказывается следующая, обратная по отно-' шению к (5), оценка для коэффициентов биортогонального ряда (2)-(3)

, определяемого при помощи (6) с ^ (¿Ь) 23

в классе леммы 2.1.

Теорема 2.1. Пусть

где удовлетворяет условиям I) и 2) леммы 2.1.

Тогда существует Н^Г) такая, что

, И * 1

Эта теорема позволила построить пример непрерывно;! на Г

со

функции, для которой 511 расходится.

I

Из теоремы 1.3 и теоремы 2.1 получается Теорема 2.2. Д.ля того, чтобы

со

для V Н (г) , гдэ иЗ^-) - произвольный .модуль непрерывности, достаточно, а при условии, что иО ¿Ъ) имеет вид (Э) и необходимо, чтобы

СЮ

Ни.

В § 2.2 продолжено изучение абсолютной сходимости ряда из коэффициентов бкортогонального ряда С2)-(3). В нем доказана Теорема 2.3. Пусть ¡£(.4 6 Ь ( Г) . Если

г

го

оо

Условие (10) довольно неониданно по сравнению с классическими признака;,к абсолютной сходимости, включающими в себя гладкость разлагаемой сунквди. Оно позволяет построить пример функции

Яь)еЦ(Г) , не являющейся непрерывной при £ - О , для которой ряд, составленный из коэффициентов биортогондльного ряда, абсолютно сходится.

3 теореме 2.4 показывается, что в некоторых классах функций условие (10) является также и необходимым для абсолютной сходимости ряда (4) из коэффициентов. А рассмотренные в заключение § 2.2 примеры говорят о том, что в общем случае условие (10) не является необходимым.

Глава Ш диссертации посвящена изучению биортогонального ряда (2)-(3) в многоугольнике аналитичности исходной функции /(г)

При этом ф, подобен многоугольнику , образованного кон-

цами отрезков, а- \1'Х>. и с .

Итак, пусть - многоугольник с вершинами Iш, , ^а^,...

где о ( . Переобозначим его вершины через

соответственно. Обозначил через • множество, полу-

о л J

'ченное пересечением с £■ - окрестностью вершины

о ' ^

В § 3.1 кроме условия аналитичности в от функции ^(2;)

требуется ограниченность вариации в окрестностях й. на граниНе Ш, .

Основными результатами этого параграфа являются две теоремы.

Теорема 3.1. Если функция ^(^г) анали£ична в ,

непрерывна в Т\ , имеет ограниченную вариацшо на при .

некотором фиксированном значении j

А X. О * '

то ряд (2)-(3) сходится к равномерно в •

Теорема 3.2. Если ■$•<.ъ) е П ] и

то ряд (2)-(3) при 2-=^ . сходится к значении

где с^' - внутренний угол при вериине многоугольника У>1

и

Эти теоремы носят локальный характер, так как исследуют вопрос о сходимости биортогоналыюго ряда в окрестностях вершин многоугольника аналитичности разлагаемой функции. Из теоремы 3.1 для всего подобного многоугольника вытекает

Следствие 3.1. Если (\ (Т>,) П V (7) и

1-^0*0

то ряд (2)-(3) сходится к ^(3-) равномерно на "£>, .

В случае, когда 1>( совладает со всем многоугольником "35 , утверждения теоремы 3.2 и следствия 3.1 переходят в утверждения,

с

полученные А.М.Седлецким .

_Р

В § 3.2 были изучены ряды (2)-(3) в , когда 3"(з-)бЕ СО. Здесь через ЕР(^>1) обозначен класс З.И.Смирнова, то есть класс функций, аналитических в и удовлетворяющих условию:

5Седлецкий А.М. О разложениях функций в ряда Дирихле на замкнутых выпуюшх многоугольниках Сибир.матем.н., 1978, № 4, с.877-887.

существует последовательность замкнутых опрямляемых жордановых контуров , сходящихся к границе ""Э1>( области

и таких, что

^ыр Г(4чгЛг:1 «-«*>, р>0. * С

Известно, что последовательность корней квазиполинома представима в виде .Л - А, ИЛ^.. „ VЛ.^ . где

где £>0 некоторое число, р^ - фиксированные числа, ¡Lt1z. ~ Длина, стороны многоугольника ГЬ между вершинами (Х.1й_( и Л к. ; ~ луч, пересекающий сторону

(в-км > й-к) или её продолжение под прямым углом.

Через обозначим расстояние от о до сторо-

ны (^-1 > , а через С^ переобозначим последователь-

ность коэффициентов (3) ряда (2), отвечающих последовательности

А;

корней квазиполинома. Основным результатом § 3.2 является Теорема 3.3.

1°. Если и '^Р*2-,

2°. Пусть такова, что

тогда С/ГЬ^

Из теоремы 3.3 при Р~2. вытекает, что если то дои того, чтобы & Е^О*,) необходимо и достаточно, что-

^.....г)

Полученный последний результат примыкает к теореме о базисах Рисса из экспонент в , доказанный Б.Я.Левиным и

Ю.А.Любарским® для случая, когда I. (?) является функцией типа синуса.

Результаты главы Ш показывают, что, когда разлагаемая функция аналитична, невылуклость исходного множества не дает тех проявлений, которые отличали невылуклый случай от выпуклого.

ц .....

Левин Б.Я., Любарский И.И. Гштераоляцня целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент //Изв. АН СССР, Сер. катем., 1975 , 39, Я 3, с. 657-702.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

I. Васин А.П. Оценки коэффициентов биортогональных на некоторых не

1982, вып.- 566, с.7-13.

2. Васин А.П. О равномерной сходимости рядов Дирихле /Д1ежвуз. тем. сб., № 45. М.: Моск. энерг. ин-т, 1984, с. 100-105.

3. Васин А.П. О коэффициентах рядов Дирихле по системе отрезков, исходящих из начала координат /Д1ежвуз. научн. сб. Теория функций

и теория приближений. Тр. 2-й Саратовской зимней шк., 1986, ч.2, с. 63-65.

4. Васин А.П. 00 абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Дирихле //Сб. научн. трудов, № 215, М.: Моск. энерг. ин-т, 1989,

с. 10-15.

выпуклых множествах рядов экспонент //Тр. /Лоск, энерг. ин-т,

Соискатель

Васин А.П.

Гкч. л /О

Тираж /ОО Заказ /¿7/ Бесплатно.

л- у

Типография МЭЛ, Крагнокаэармсниая, 13.