Использование алгебраических методов при анализе поведения решений дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КАЛИНИНА Елизавета Александровна

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ АНАЛИЗЕ ПОВЕДЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность: 01.01.07 Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Научны!! руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент А.Ю. Утешев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Е.И. БеремеН (Санкт-Петербург)

кандидат физико-математических наук доцент Б.В. Дорофеев (Тула)

Ведущая организация: Российский Научный Центр "Курчатовский институт" (Москва)

Защита диссертации состоится 1996 г. в II

часов на заседании диссертационного совета K-0G3.57.16 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, Васильевский остров, 10 линия, дом 33.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного уннверсите-

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Автореферат разослан " ^" ^^рТСН 1996 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, ___Л _ ^

д.ф.-м.н. --О /(\ В.Ф. Горьковой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Во многих теоретических и практических задачах вычислительной математики и математической теории управления возникает проблема локализации корней полинома или полиномиальной системы уравнений. В частности, при исследовании устойчивости по Ляпунову нулевого решения системы линейных автономных дифференциальных уравнений (в дальнейшем будем просто говорить об устойчивости системы), исследовании сходимости итерационных процессов необходимо проанализировать поведение спектра некоторой матрицы. В случае, когда оказывается возможным построить характеристический полином этой матрицы, анализ сводится к проверке набора алгебраических условий на коэффициенты этого полинома — критерий Рауса — Гурвица для асимптотической устойчивости, или Шура — Кона для нахождения всех корней полинома внутри круга |г| < 1 комплексной плоскости. Однако в ряде прикладных задач требуется выполнение более специфичных ограничений для собственных чисел матрицы. Это связано, например,1 с необходимостью отсутствия слабо затухающих высокочастотных элементов решений, получения решений с заданной степенью устойчивости и т.д. Отсюда возникает потребность в решении общей задачи локализации (отделения) корней полинома: необходимо построить критерии нахождения корней в произвольной алгебраической области комплексной плоскости. В последние десятилетня эта задача и ее обобщение для систем алгебраических уравнений сформировалась и в таком разделе вычислительной математики, каким является теория символьных (аналитических) вычислений (компьютерная алгебра). Решение ищется "чисто алгебраическое", т.е. предполагающее конечное число элементарных алгебраических операций над коэффициентами полиномов, участвующих в постановке задачи.

Исторически задача в указанной постановке была сформулирована в трудах классиков XIX в. — Коши, Якоби, Штурма, Эрми-. та, Кэли, Чебышева, Кронекера и Маркова. Так, Эрмит в 1854 г. предложил метод вычисления числа корней полинома внутри области, граница которой является уникурсальной (допускающей рацио-

1 J. Лскегшап. Sampled-Data Control Systems. Springer-Verlag, Berlin, 1985

пачьпую параметризацию) кривой; позднее были получены удобные условия для частного вида областей (полуплоскость, круг, сектор). Из современных математиков этой проблемой занимались Калмаи, Джурп, Гутман и др. Однако полного решения задача все же не получила.

Важной является также задача о стабилизации линейного однородного дифференциального уравнения порядка п с переменными коэффициентами. Различными авторами предпринимались неоднократные попытки решить эту задачу, однако конструктивного алгоритма ее решения до сих пор получено не было. Основная трудность заключалась в отсутствии удобного для проверки критерия устойчивости таких систем.

В современной математике получил распространение более формализованный подход к исследованию систем (в общем случае, неавтономных) дифференциальных уравнений, основанный на понятии дифференциального результанта (Е. Веке; Е.Ь. 1псе; Л.М. Берковнч, В.Г. Цирулнк). Возникла и задача о стабилизации систем уравнений,записанных в терминах дифференциальных полиномов. Эта переформулировка задачи о стабилизации систем линейных дифференциальных уравнений допускает возможность использования для решения ряда чисто алгебраических методов, так как имеется непосредственная аналогия между дифференциальными и обычными (алгебраическими) полиномами; сложность же заключается в отсутствии свойства коммутативности у дифференциальных полиномов.

Цель и задачи исследования. Цель работы заключалась в решении ряда теоретических и практических задач вычислительной математики. Перед диссертанткой были поставлены следующие задачи:

1. построить критерии нахождения корней полинома в произвольной алгебраической (т.е. описываемой конечной системой полиномиальных условий) области комплексной плоскости;

2. исследовать поведение решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка п с переменными ограниченными коэффициентами;

3. найти удобное условие стабилизируемости линейного дифферен-

циальпого уравнения с переменными ограниченными коэффициентами и систем таких уравнений.

Научная нопизиа работы. Разработаны методы определения точного числа корней полинома une (внутри) алгебраической области комплексной плоскости. Один из них основал на теории исключения н теории гапкелевых квадратичных форм, другой — па результатах Кроиекера по теории наибольшего общего делителя полиномов и использовании параметров Маркова. Оба алгоритма алгебранч-ны. Используемый вспомогательный аппарат квадратичных форм (гапкелевых, безутпапт, Маркова) применяется к задаче построения функций Ляпунова для линейных систем. Полученные теоретические результаты иллюстрируются на примере стабилизации грузового моста.

Доказано достаточное условие асимптотической устойчивости и неосцилляции решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка п с переменными ограниченными коэффициентами. Впервые приводится конкретный пример, показывающий, что это условие необходимым не является. Получено достаточное условие стабшшзнруемостн этого уравнения и систем таких уравнений, каждое из которых зависит только от одной компоненты вектора основных неременных.

Получено достаточное условие стабилнзируемости для систем линейных дифференциальных уравнений, записанных в терминах дифференциальных полиномов.

Практическая значимость работы. Полученные результаты представляют теоретический интерес, поскольку они могут быть использованы в вычислительной математике, теории устойчивости и теории управления, при решении задач, требующих анализа поведения решений систем алгебраических и дифференциальных уравнений. Практическая ценность результатов диссертации определяется возможностью использования разработанных алгоритмов при создании пакетов программ в системах аналитических вычислений общего назначения и специализированных для задач теории управления (таких, например, как MAPLE пли MatLab); эта возможность демонстрируется на примере задачи стабилизации грузового моста.

Апробация работы. Результаты работы докладывались па Международной студенческой математической конференции (Прага, 1989), па конференции факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ (1990).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 печатных работы.

Объем н структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, содержащих основные результаты, иллюстрируемые численными примерами, и заключения. Работа изложена на 104 страницах; список цитируемой литературы включает 64 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1-ая глава диссертации посвящена обобщению критерия Рауса — Гурвнца: решается следующая задача.

Задача. Определить, сколько корней полинома

/(г) = а0г" + а^"'1 -|-----Ь а„ (г = а; + г'т/, а;- = Щп,а0 ф 0)

.удовлетворяет системе полиномиальных неравенств

й1{х,у) > 0,д2(х,у) > 0,...,дк{х,у) > 0. (1)

В практических задачах обычно полиномы д^ (j = 1, к) четны по I/, т.е. область (1) симметрична относительно оси х.

Для решения задачи используются результаты классической высшей алгебры: теория исключения переменных (для системы двух полиномиальных уравнений) и методы отделения корней, основанные на рассмотрении подходящих ганкелевых матриц.

Методы теории исключения позволяют свести решение системы полиномиальных уравнений

/1(х,у) = 0,Мх,у)=0 (2)

к решению одного уравнения от одной переменной (результант):

Л'(х) = 0. (3)

б

При --»том компонента xj решения (x.j, yj) системы (2) является корнем уравнения (3), а компоненту ;/j можно продета и im. и виде рациональной функции от ху.

Uj = '•(*;)• Ы)

Коэффициенты функции г также рационально зависят от коэффициентов полиномов fl II /2.

Методы теории ганкелевых квадратичных форм позволяют по коэффициентам полинома

f(z) = aQ:" + щ:"-1 + ... + «„ (5)

с помощью конечного числа алгебраических операции однозначно определить число его вещественных корней (теорема Якобн).

Если наряду с полиномом /(г) имеется полином

g(z) = b0zm + b1z"1-1 + ... + bm, (6)

то в рамках той же теории оказывается возможным по коэффициентам ttj (j = 0, и), (/ = 0, т) определить точное число вещественных корпей Xj полннома f(z), для которых выполняется условие <7(А;) > 0 (теорема Эрмнта — Сильвестра). Критерий также алге-бранчен, т.е. требует конечного числа элементарных алгебраических операций над коэффициентами а} и Ь/.

С помощью результата A.A. Маркова теорему Эрмнта — Сильвестра можно использовать для нахождения числа различных вещественных корней полинома f(z), удовлетворяющих системе полиномиальных неравенств

> 0, G-j(z) > 0,..., Gt(z) > 0.

Приведем план решения поставленной задачи. Сначала решаем ее для случая к = 1, т.е. находим число корней полинома /(г) (z — х + iy), удовлетворяющих условию д(х, у) > 0.

Для вещественных корней задача решается прямым применением теоремы Эрмнта — Сильвестра.

Для отделения комплексных корней рассматривается система уравнений

Ref(x + iy) = 0. Im }{х + iy) = 0. (7)

Доказывается, что множество ее решений имеет вид

{(«7 к,Р}к) .Л к = 17»},

где

"Д = + 'V), /Зд. = - Л,),

1

Л],..., Л„ — ко])»» полинома /(:)■

Благодаря этому результату решение поставленной задачи для комплексных корней сводится к исследованию системы уравнений

(Функции Ф и Ф — четные по у.)

В случае, когда д(х, у) — четный по у полином, мы исключаем у2 пз системы уравнений (8), т.е. рассматриваем результант Л'(х). С помощью теории исключения возможно представить компоненту У = у2 решения системы (8) как рациональную функцию компоненты х решения (формула (4)).

В §5 диссертации для получения функции г используется теория субрезультантов. Применяя теорему Маркова (для исключения нежелательных решений в случае, если полином /(г) имеет по меньшей мере два вещественных корня) и теорему Эрмита — Сильвестра, мы можем теперь найти число комплексных корней /(с), удовлетворяющих условию д(х, у) > 0.

Приводится пример, иллюстрирующий применение предложенного метода.

Оказывается возможным распространить приведенный метод на случай произвольного (нечетного по у) полинома д(х,у) и на случай системы полиномиальных неравенств

В §6 выражение для г получено благодаря применению результатов Кронекера по теории наибольшего общего делителя полиномов.

В случае единственности общего корня полиномов /(.г) и д(:) оказывается возможным его представление в виде

<71 (я, У) > 0, ...,дк(х,у) > 0.

где С„_1,С„_1 — мшюр].1 ганкелсчим! матрицы

а г,- (7 = 0, 2и — 2) находятся из разложения дроби гу(~)//(г) и ряд по отрицательным степеням г

— целая функция с.

Используя параметры Маркова п этот результат, можно выразить результант Л.'(х) и функцию (4) для системы у равнений (8) через параметры Маркова (последние в данном случае являются функциями .г):

Д'(х) = Ь?"-еЛ/[п/2],

НО ■ ■ ■ /<[п/2]-2

• • • 1Цп/2]-1

В} = Ф;)

где

1* = -./{п)(х), £ = 0

Р[п/2]-3

Р[../2]-1

/*2[п/2]-4 М2[ч/2]-2

А/г

;п/2]-1

если п четно,

О!

а0'

-/'" ''(я), £ = 1 если п нечетно;

— параметры Маркова, Л/; — определители Маркова,

В> = у).

Далее решение аналогично решению задачи, использующему теорию субрезультантов.

Применение параметров Маркова представляется более целесообразным ввиду того, что порядок используемых матриц здесь в два раза меньше чем при использовании субрезультантов.

Для частного случая этой задачи — когда разыскивается число корней полинома внутри области комплексной плоскости, ограниченной уникурсальной (допускающей рациональную параметризацию) кривой

_ т _1Ш г~хау у хм

удойным аппаратом оказывается теория индекса Кошн. Как покачан Эрмнт, для указанного случая этот индекс — а, следовательно, п искомое число корней — можно вычислить как разность между числами положительных и отрицательных квадратов квадратичной формы

н-1

Н{Р;х0,х 1,...,.г„-1) = X] аих1х1 (9)

к,1=0

с производящей функцией

-г---— "и; t,

г ~ 1 1,1=0

где

На основе этого результата, указан метод нахождения индекса, использующий параметры Маркова и приведен пример на его применение.

Для частного случая — когда строится критерий расположения корней полинома

/(г) = а0г" + а^"-1 + ... + а„

в левой полуплоскости (т.е. обычной устойчивости),— форма (9) нашла неожиданное применение в качестве функции Ляпунова. В §9 — в развитие результата В.И. Зубова2 — доказана следующая теорема: Теорема. Пусть все корни А1,...,А„ полинома /(л) различны. Рассмотрим квадратичную форму

\г{хи...,хп)

= 2 XI "г"-1''''' Х1)Ь(Х"> ~хч-ь • • •> (—1) х\)-

Здесь 1](хп,хп-1,.. ,,хх) = а0а--и+(ао^+«1)^п-1+(«о^+а1А^+а2)а;„-2+ ... + (а0А;-1 +а1\у'1 + ... + а„-1)л.

2В.И. Зубов. Аналитическое построение функций Ляпуноиа//ДАН, 1994, т. 335, Л'6, с. 688-090

Тогда производная 1" о силу системы

( 0 1 0 . . 0 \

0 0 1 . . 0

(IX _

ИГ ~ 0 0 0 . . 1

а„ «п-1 «1

\ «о «0 "и /

2(<цхи + а3х,,_ 2 + а-о- ■п-4 + • •)2-

X

(10)

Таким образом, функция V" фактически является функцией Ляпунова для задачи устойчивости нулевого решения системы (10). Ее коэффициенты выражаются рационально через а о,..., а„ (например, с номощыо параметров Маркова). Так, для п = 4

V = (аоа^ + 2а0а3х2Х4 + (о2а3 - о1а4).г^)

+((а1а2 - п0а3)х^ + 2а1а4х-1х3 + а3а4а^)

¿V

сН

(10)

= —2(а12,'4 + «зх2) .

Для случая вещественности всех корней /(с) приводится еще один вид функций Ляпунова для системы (10), использующий ганкелевы матрицы.

Обсуждается также возможность распространения результатов для задачи исследования устойчивости произвольной системы

А' = ЛХ.

Во П-й главе диссертации рассматривается задача стабилизации систем линейных дифференциальных уравнений вида

^'ЧаКФ'!"1-1'+ ••• + <(/)*! = 0

л>2) + + • • • + <(/).г2 = 0

0 < а] < а}(*) < а),] = Г О < а) < а)Ц) < а),; = 17^

>2-1)

где

(П)

0 <а) < и]{1) < а),] = 1,гц

с помощью управлений itj = Kj.i'j (j = 1,/,') 11 систем вида

d \ /</

Мй(й-'Ь

с помощью управлений

5'(гЬ-*'&)■' = "

где Pj,Qj, Sj, Bj (j = 1 ,k) —дифференциальные полиномы.

Задача сводится к нахождению границ для функций i'/x, где x{t) — вещественное решение уравнения

х("> + ai{t)x(n~l) + ... + an(t)x = 0, (12)

причем (ij < (ij(t) < clj (j = 1, n). Доказывается, что в качестве этих границ можно взять корни алгебраического уравнения

P(t, А) = А" + ai(i)A"-' + • • ■ + a„(f) = 0. (13)

Устойчивость и неосцилляция peiueiniii выводятся из того факта, что все корни уравнения (13) вещественны н отрицательны. Полученное условие необходимым не является. В диссертации приведен пример, доказывающий это.

Основываясь на результате, полученном для функций х/х, доказана следующая теорема.

Теорема. Если существуют числа ki,k2, ■ ■ ■, кп kj > —a,j(t) (j = l,Ji), такие, что все полиномы

P(t, А) = А" + [a,(i) + /0,1л'-1 + ■ • • + K(i) + fc„] (14)

при t > Т имеют только вещественные отрицательные корни, то уравнение (12) допускает стабилизацию с помощью управления и = КГХ, где X = (х, х, х,..., х'""1))7-, К = {kuk2, k3,..., kn)T.

В развитие этих результатов приводится метод, позволяющий получить достаточное условие возможности стабилизации дифференциального уравнения вида

где Р, Q — днффсренцнааьные полиномы стон они п, с помощью управления и, такого, что

где 5. Г1 — дифференциальные полиномы степени ш с постоянными коэффициентами.

С помощью метода исключения Сильвестра легко получить необходимое условие того, что система уравнений вида (14), (15) имеет нетривиальное решение (дифференциальный результант):

Далее, вопрос о стабнлнзируемостн системы уравнений (14), (15) сводится к возможности подобрать коэффициенты полиномов 5 и

П так, чтобы полином F(А, i) имел только вещественные отрицательные корни. А эта задача сводится к задаче о совместности системы полиномиальных неравенств.

В главе III приводится приложение методов, разработанных в главе I, к решению практической задачи. Рассматривается грузовой мост, описывается его движение. Проверяется устойчивость моста при некоторых значениях параметров. Результат полностью согласуется с полученным ранее J.Ackerman и R. Muench, другим методом.

Рассчеты примеров выполнены с использованием системы аналитических вычислений МАРЬЕ, версия 3.0.

1. Разработан алгоритм, позволяющий определить точное число корней полинома вне (внутри) алгебраической области комплексной плоскости. Алгоритм алгебранчен, т.е. требует конечного числа элементарных алгебраических операций над коэффициентами полиномов. Предложено два возможных способа применения этого алгоритма: один использует теорию субрезультантов, а другой — результаты Кроиекера по теории наибольшего общего делителя полиномов и параметры Маркова.

(15)

ВЫВОДЫ

2. Указывается возможность применения аппарата квадратичных форм (ганкслевых, безутпапт, Маркова) к задаче построения функции Ляпунова для линейных стационарных систем дифференциальных уравнений.

3. Приведено достаточное условие стабилизируемостн линейного однородного дифференциального уравнения произвольного порядка с переменными ограниченными положительными коэффициентами и систем таких уравнений. На его основе предложен метод стабилизации с помощью управления вида и = Ктх.

4. Предложен алгоритм стабилизации для систем дифференциальных уравнений более общего вида, записанных в терминах дифференциальных полиномов. Данный метод применим, если исследуемая система уравнений удовлетворяет представленному условию стабилизируемостн для таких систем.

Основные результаты диссертации отражены в следующих опубликованных работах:

1. Горушкина Е.А. О знакоопределенности однородного полинома при ограничениях в виде однородных полиномиальных уравнений и неравенств. Л., 1990. Депон. в ВИНИТИ №3786-В90 от 09.07.90 — 27 с.

2. Калинина Е.А. Определение числа корней полинома, лежащих внутри алгебраической области комплексной плоскости. Л., 1991. Депон. в ВИНИТИ №2969-В91 от 11.07.91 — 24 с.

3. Kalinina Е.А., Uteshev A.Yu. Determination of the Number of Roots of a Polynomial Lying in a Given Algebraic Domain// Linear Algebra and its Applications, 1993. V. 185, pp. Gl-81