Об операторах почти наилучшего приближения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. Ю.Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УЖ 517.982.255

Альбрехт Павел Владимирович ОБ ОПЕРАТОРАХ П0ЧШ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЙ

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва, 1994 г.

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - .. ■. доктор физико-математических

наук С.В.Конягин Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор А.Л.Гаркави,' ■ " кандидат физико-математических наук А.В.Колушов Ведущая организация - Институт математики и механики

Уральского отделения РАН, г.Екатеринбург

Защита диссертации состоится "_"_ 1994 г.

в 16 час. 05 мин., на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы,' МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16^24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета ЫЕУ (Главное здание, 14-2 эгакЬ

Автореферат разослан "_" __ 1994 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при ПСУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т.П Лукашенко.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРНОТИКА РАШШ

1.1. Актуальность темы ....

Одним из направлений современной, теории приближений является изучение, свойств операторов приближения вшуклыми замкнуты?.® шогествата.

Пусть X - линейное, норглированное пространство, у ¿Г X ~ выпуклое замкнутое множество. Оператор

метрической проекции, или наилучшего приближения, у

Р" X' —> 2 определяется следующим образом:

Ух рос = Г: где; ^(Х^У) -расстояние от ЭС да етог.ества У Дале в тех случаях, когда оператор Р однозначен, он, кал: правило, не обладает достаточной гладкостью. Например, Р яе является равномерно непрерывным ва единичном шаре в У при Х - С Г У - пространство многочленов

степени не выше Г1> П . Поэтому имеет смысл рас-

сматривать оператора почти наилучшего прийзигения, или. £ -выборки (см. определение ниге).

Понятие "почти наилучшее приближение" впервые встречается в работе Д.Вулберта ^ . Пусть Е>0 . Положим

I Wuiiczî Ù. Е. Con-b-inu-tiy oi Yncbi-ic jyïoj-cci-ions . Av^ivXi ул ai l'on "bhcow -brt ¿f noirrtcd /tneav -ioctt-ice. T-Aes. II Un-ггг. Texas СоулCcni-ci. Aust-in, 49£G.

Р1 У- ¡¡х-у11 £^Х}У)(^£)} .

2

■ В.И-Еврцшев показал, что хаусдорфово расстояние

сС( Р& ЯГ,, Ра^Сг) является липшицевой функцией; кон-

1

станта Ьшшица имеет порядок- ~т при £ ->• О

С С

Различные липшицевы оценки величины Л{ Р Р^Х^ 2.-4

ыокно найти в работах .

Определение. Мультипликативной (соответственно аддитивной) £ -выборкой М - Х-*У . (А:Х-*У) назовем такое однозначное отображение, что

Ух&Х М*<£ Р^ОС

2 Бердкгэз В.И. Еенрерывяость'многозначного отображения, связанного с'задачей минимизации функционалов // Изв. Ш СССР. Сер. матем. IS8Q. Т.44. J5 3.' С.433-509. .

3 .Бердкшав В.И. Варьирование нормы в задаче о. наилучшем приближении // Матем. заметки. 1981. Т.29, & 2. C.I8I-

. 196.

4 Маринов A.B. Устойчивость £ -квазирешений операторных уравнений 1-го рода // Приближение функций полиномами и сплайнами. Сб. статей. Свердловск. 1985. C.IQ5-II7.

5 Маринов A.B. Оценка устойчивости метрической £ -проекции через модуль выпуклости пространства // Труда Ин-та ыатем. п мех. УрО ШТ. 1992. Т.2. C.85-IÖ9.

Известно, -что для любого, выпуклого замкнутого У С X и £ > О существуют непрерывные

£ r-выборки (общий результат о непрерывных -выборках макно найти в 0 ). В последнее, время большое внимание уделяется вопросам существований гладких £ -выборок.

В качестве У в диссертации рассматриваются конечномерные выпуклые замкнутые множества. * Так-: как Функция

o¿( P¿X2) липшицева, то, применяя проектор

Штейнера 7 к отображениям ЭС*-> Х>~> 7

нетрудно, доказать существование лишшцевше £ -выборок

i я-

с константой Липшица порядка (см., например, ).

Однако, для многих конкретных пространств X эта верхняя оценка константы Липшица является слишком грубой. Практически ничего не было известно о. поведении этих констант в зависимости от свойств X . а также о дифференшруемости: ¿ -выборок. . ■

6 Semcrwv Р. V.} üepovs 0. Оп continuos a^iox-ima-í-ion J¡ Un<ir-ersi-t^ oí Lju-é-Cjana. Pu^ni Serttr. -Í932. НЮ.

7 Посицельский Е.Д. 0 лшшицевых отображениях в пространстве выпуклых тал // Оптимизация. Сб. трудов, й 4 (21). С.83-89.

8" ■ кринов А..В. Оценки устойчивости непрерывной селекции для метрической почта-проекции // Матем. заметки. 1994. Т.55. Л 4. С.47-53.

1.2. Цель работы

1) .Получить оценки, констант Липшица. £ -выборок, имеющие правильный порядок па £ при £ -> О -в пространствах ,ив пространстве непрерывных функций.

2) Доказать существование дифференцируемых £ -выборок, имеющих столько же производных, сколько имеет функция

И-Их-

1.3. Общая методика исследования

В работе применяются методы теории, приближений, нелинейного анализа и теории.меры. .

, 1.4. Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

- константы Липшица £ -выборок имеют правильный

порядок, равный: ~ в пространствах [о, 4] и' пространстве непрерывных функций; £ '

в пространстве ^ С °> 4 7, 11 рС 00 }

- существуют дифференцируемые £ -выборки, имеющие ту"же гладкость, что и функция §• .

1.5. Приложения

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в геометрической теории приближений, а также в теории вычислительных методов.

1.6. Апробация работы

Основные, результаты диссертации были дол сне ни на семинаре проф. С.Б.Стечкинав Математическом институте им. В.А.Стекяова РАЕ, на 6-й и 7-й Саратовских зтэих школах по теории функций и приближений (1992 г., 1994 г.), на конференциях в Санкт-Петербурге и Воронеже (1932 г.), на Школах по теории функций под руководством проф.. С;Б.Стечкина (1993, 1994 гг.).

1.7. Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

1.8. Структура' диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 41 наименование. Объем диссерта-• пии - 104 машинописные страницы; - •• - -

2. СОЯЕЕЙНИЕ РАБСШ

Во введения диссертации'дается краткий обзор 'результа-' тов об устойчивости оператора метрической^ проекции и ¿ -выборок, а такие приводятся основные-результаты диссертации.

В первой главе диссертации оцениваются константы Липшица мультипликативных а аддитивных £ -выборок. Елава состоит из пяти параграфов.

Определим модуль непрерывности отображения

p--u->Y .тросах--

JKPiU-jef1)** ЛСР) ■■= лу> {ly - yl • У<£РХ1> Pz* ■KtCb.é Uf ÍXi-XiUkcf1} .

Введем также величину-

Рхь уг ¿ Pxt> xz¿U , -¡Ъ-ЫйоГ1}; x,eU..

Модуль непрерывности £ -выборки будем обозначать буквой С*.).

В § I.I на множестве V(Y) всех выпуклых замкнутых подмножеств Y определяется проектор Штейнера

и рассматривается оператор усреднения

точек .Штейнера ~ i

о

в

Основным результатом §1.1 является

ЛЕММА 1.4. Пусть У - линейное нормированное пространство (ЛШ), V - конечномерное выпуклое замкнутое множество. Тогда.' для любых Хь ОС).£ X} тлеют место оценки

а) НаСЪлЛ-ЕМъЛг)!!*-

б) если ¡[Х,-&!! ± Г^ , то

%)-(ИГ,-ЪН(71^)) .

т»

Примечание, Здесь и далее знаки <¿4 , 7> означают наличие в правой части неравенства положительной константы, зависящей только от размерности Y .

В § 1.2 устанавливаются оценки сверху констант Липшица £ -выборок.

Пусть В = (х^ X : II ОС II 1 ] . Обозначим Ж(<?) - ^ир 3 В} с/1)

, причем верхняя грань берется по зсем одномерным подпространствам 2 £ X . Пусть ^р(-Ь) - обратная функция к модулю гладкости пространства X :

На . основе проектора & , построенного в § 1.1, доказывается

- в -

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть X - ЛШ, У - конечномерное, выпуклое Замкнутое множество, 0<£'У . Тогда для любого £>0 ' существует такая мультипликативная ' £ -выборка

N •• X У . что

где

СЛЕДСТВИЕ 1.3. Пусть X = I?(Т} где (Т, - пространство с положительной

(> -конечной мерой У ^ X - конечномерное

выпуклое замкнутое множество, О £ У . Тогда для любого £ > О существует такая мультипликативная' £ -выборка

М : X "»» У •

Ус/Ь-о о)(М>Х}Я4С1(1>)(1 + £ ' )(Г.

(I)

Получены аналогичные результаты об аддитивных выборках на единичном шаре в X .

Б § 1.3 исследуются оценки снизу констант Липшица. В частности, доказано, что при X = 1-1>Со}-12) У-{Сош^ , для любых ¿>0 , ¡мультипликативной <£. -выборки N : X —> У и о^>0 зерна оценка

со CM ; X ; (А) ъ аф (i н- £-т-"Р) «Г-.

Отсюда следует, что оценка (I) точна по порядку относительно сР^ £ при вышеуказанных У Y

Из ^ следует, что для любого £>0 существует ■ ■ мультипликативная £ -выборка N : X Y такая, что

Wb-o соСМ}Х}<Л)«(4 <2>

В § 1.3 установлено, что оценка (2) точна по порядку при

В § 1.4 доказывается следующая теорема, из которой вытекает точность порядка оценки (2) в пространстве непрерывных функций.

ТЕОЕЕШ.. 1.4. Пусть У — C(S) - пространство вещественных непрерывных функций на связном метрическом компакте S у У £ X - конечномерное подпространство.

-I) Пусть у = Lin [у(-t)J -, причем (j({:)>О • . для любого •£ € vT . Тогда оператор метрической проекции Ру лишшщев.

2.) Пусть либо c&m У>"/ , либо V — L<n » причем существует такое "Ь^ é S^

что . Тогда для любых ¿<£(o,-i J , адди-

тивной £. -выборки А •' В У и сЛ<£ ¿"о, имеем

СО 64 ) В } J1) » - £) т<п {•£, -1] .

В § 1.5 рассматриваются £ -выборки на компактных • классах в CEcLj£J.

Пусть =

- 10 -С0(4 ыЩ ?

где СО(<Р~) - заданная неотрицательная неубывающая подуаддитивная функция. В этом случае оператор метрической проекции Р К У гельдеров. Точный показатель гель-деровости функции Сл)(Р> с/1] установлен П.В. Галкиным 9 и А.В.Калуиовым . В § 1.5 доказывается следующий результат:

ТЕОРЕМА. 1.5. Пусть К - М^Нсо, V -пространство многочленов степени не выше Ц? Л ^ О • Дм любога £>0 существуют мультишшкативная £ -выборка М : У и аддитивная £ -выборка А • такие, что для любых Хи ССД £ К

I) ЙНх, -мх*в а т<п | , со(Р> ;

^ ГНХ^ХгН при или т = 1>А

щм £4 4 ?

ССг.) - хаусдорфово расстояние между графиками функций СС), Я*. В К2 .

•где

9 Галкин П.В. О модуле непрерывности оператора наилучшего

приближения в пространстве непрерывных функций // Матем. ■ ■ заметки. 1971. Т.Ю, № 6.. С.601-614.

ТО Колунов А.В. Задача корректности наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций // Ыатем. заметки. 1978'. Т.23, Я 3. С.601-614. '

Б теореме. 1.6 утверждается, что порядок этих оценок точен: а) при , б) при 1~0 и СО (сЛ) = </1"1>

' причем это верно как при ' <Л"= Ц х, -^¿11 , так й при = ¿(ос*, Хг_) .

Втопая глава диссертации посвящена дитреренцируемнм £ -выборкам; глава состоит из пяти параграфов. В § 2.1 изучается свойства классов И^ • Определение. Пусть X, Х^ - ЛНП, СС С X ~ замкнутое множество, отображение Р' Ы. Х^ определено и непрерывно в некоторой окрестности множества (Л ;

^>0, г=£4-Г , где. К = ^ 7

[г—), ?

О<4 .

Будем писать Р^Н*С(СС) /если

где константа . не зависит от ОС^, зСг .

Пусть . Будем писать X £ (Их) > если

осж ХМНг)

' В параграфах 2.2 и 2.3 доказывается существование £ -выборок, имеющих ту же гладкость, что и норма пространства. X •

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть X 6 (На), У с X - конечномерное подпространство. Тогда для любого ¿>0 существует мультипликативная". £ -выборка М ' Х~*У такая,_

что

М £ Н^аэс'-^МП^}) у^>0 .

Следующая теорема показывает, что наличие мультипликативной £ -выборки, дифференцируемой в окрестности множества У , накладывает яесткие ограничения на X и V ■

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть для любого. £> О существует мультипликативная £ -выборка М '• X У , обладанщая непрерывной производной по Гато М '(о). Тогда существует линейный непрерывный оператор - выборка из метрической проекции Р : X У .

ТЕОРЕМА 2.3. В условиях теоремы 2.1 для любого £>0 существует аддитивная £ -выборка /4 : X У такая, что

А* \/Л>0.

Отметим, что здесь возникает вопрос: верно ли, что если при некотором % > -/ и £ > О существует аддитивная £ -выборка А такая, что А ^ Н (X) . то-существует линейная выборка из метрической проекции. Ответа на него автор не знает.

- ■ Известно, что дая любого пространства с мерой

авали р четно, то ( Ту ^ (Н<*>)~

В § 2.4 доказываются вспомогательные утверждения, в частности, усиливается результат С.М.Семенова .о симметрических функциях на' - В § 2.5 эти

'II Семенов С.Ы. Симметрические функции на пространствах

• Рясс. канд. физ.-мат. наук. М., 1973.-

результаты используются для доказательства того, что построить £ -выборку на , имеющую гладкость большую, чем' р /вообще говоря, нельзя. А именно','доказана

ТЕОРЕМА. 2.5. Пусть X ~ LPÎO, l] , -ii D £ °° ,

jj не является четным числом, Y= { COnSéJ . Тогда для некоторого £. не существует аддитивной £ -вы-

борки Л : X Y такой, что на множестве

llXllù А ] дая любого достаточно малого имеет место соотношение

СОСАФ&аВ&'Ф) при -Ь-> о.

Автор выраяает благодарность С.В.Конягину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертация

1 Альбрехт П.В. Об операторах почти наилучшего приближения // Проблемы нелинейного- анализа. Тезисы докл. Первой всеросс. научной конф. Махачкала, I9SQ. С.18.

2 Альбрехг П.В. Об операторах почти наилучшего приближения на классах W'1 И со // Теория функций. Двфференц. уравнения в штем. моделировании. Тезисы докладов школы. Воронеж, 1993. С.8.

3 Альбрехт П.В. Об операторах почти наилучшего приближения на классах Ул/^Нш // Вестник ЦСУ, сер. матем., мех. 1393, JS 6. С.22-29.

4 Альбрехт П.В. Порядки модулей непрерывности операторов почти наилучшего приближения // Матем. сборник. 1994. Т. 155, & 9. С.3-28.