Приближение оператора дифференцирования линейными ограниченными операторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Список обозначений

Введение

1 Приближение операторов дифференцирования первого и второго порядка на классах И^Я^) дважды дифференцируемых функций на полупрямой.

§1. Постановка задачи и некоторые общие результаты.

§2. Наилучшее приближение оператора дифференцирования первого порядка.

§3. Наилучшее приближение оператора дифференцирования второго порядка.

2 Конечноразностная аппроксимация оператора дифференцирования.

§1. Постановка задачи и предварительные результаты.

§2. Аппроксимация оператора дифференцирования первого порядка.

§3. Аппроксимация оператора дифференцирования высокого порядка.

§4. Сравнение аппроксимативных свойств наилучшего и конечноразностного опёраторов.

3 Относительная константа Юнга пространства I

§1. Постановка задачи и предшествующие результаты.

§2. Относительная константа Юнга пространства

Диссертация посвящена задаче наилучшего приближения операторов дифференцирования линейными ограниченными операторами в пространстве С на оси и полуоси и родственнным экстремальным задачам.

Задача о наилучшем приближении линейного неограниченного оператора Ы\ действующего из банахова пространства X в банахово пространство F, линейными ограниченными операторами S : X -» У на классе Q из области V = Т>(Ы) определения оператора U была поставлена С. Б. Стечкиным в [25]. Задача состоит в нахождении величины

E(N) = E(N,U,Q)= mf snp\\Ux-Sx\\Y (1) s:\\s\\^n xeq и построении экстремального оператора S* = S*'(N.U, Q). то есть такого оператора, на котором достигается точная нижняя грань в (1).

Известно, (см. [7], [25], [4], [6] и приведённые там ссылки), что задача (1) тесно связана с другими экстремальными задачами: некорректными задачами восстановления операторов, заданных с погрешностью, задачами численного дифференцирования, неравенствами Колмогорова. Этим задачам посвящено большое количество работ А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, С. Б. Стечкина, Н.С. Бахвалова, Ч. Мичел-ли, Т. Ривлина, В. В. Иванова, В. А. Морозова, В. В. Васина, В. П. Та-наны, A.A. Женсыкбаева, Г.В. Хромовой, В.В. Арестова, В.Н. Габуши-на, Ю.Н. Субботина, JI. В. Тайкова, В.М. Тихомирова, А. П. Буслаева, Г. Г. Магарил-Ильяева и др. (См. [7], [8], [31], [6], [19] и приведённую там библиографию.)

Функцию Ф, определённую на полуоси [0,оо) формулой

Ф(^) = sup {\\Ux\\Y : х G Q, < /¿}, (2) называют модулем непрерывности оператора U на классе Q. Как показал

С. Б. Стечкин [25], имеют место следующие неравенства

E(N) > sup {Ф(» - Nfi : fi > ()}, N^О, Ф(/л) ^ inf {E(N) + Nfi : N ^ 0}, fi ^ 0.

3)

4)

На данный момент наиболее изученной является задача о приближении оператора дифференцирования порядка к на класе п раз дифференцируемых функций, 0 ^ к < п, в пространствах Ьр на числовой оси и полуоси; почти во всех случаях, когда задача решена точно, класс ф имеет вид рывна. Эту задачу изучали С. Б. Стечкин, В. В. Арестов, В. Н. Габушин, А. П. Буслаев, и др. (см. библиографию в [7], [8]).

Основная цель данной диссертации состоит в изучении задачи о наилучшем приближении оператора дифференцирования в пространстве С на классах с заданной мажорантой модуля непрерывности старшей производной и построении (в классической ситуации) аппроксимирующих операторов S возможно простой структуры.

Первая глава диссертации посвящена задаче о наилучшем равномерном приближении операторов дифференцирования Df = f и D2f = f" на полуоси на классе функций с выпуклой мажорантой модуля непрерывности f". Вычислена величина (1) и построены соответствующие экстремальные операторы. Как следствие, получены точные мультипликативные неравенства для норм первой и второй производных функции / в терминах нормы функции и константы Липшица порядка а, 0 < а ^ 1, второй производной.

Пусть / = (-оо, +оо) или I — [0, +оо). Обозначим через С = С{1) банахово пространство непрерывных и ограниченных на I функций / с нормой

Q = {/ G С : < ^6<оо} оо

11/11 = М\с(1) =*up{\f(x)\:xel}.

Через С(1) обозначим пространство равномерно непрерывных на I функций д. Модулем непрерывности функции g G С(1) называют функцию, определённую на полупрямой [0, +оо) формулой u(S) = u(g,S) = sup{|^(ii) - g{t2)\:tl}t2 G J, |ii - t2\ < S}. S > 0.

Модуль непрерывности, как известно, обладает следующими свойствами u,(0) = limoi(i) = 0, (6)

7)

2) < w(^) + а;(52), ô],(52 ^ 0. (8)

Произвольную функцию, определенную на [0, +оо) и удовлетворяющую условиям (6)-(8), называют модулем непрерывности. Для заданного со обозначим через H (и) множество функций / G С(/), для которых w(/,(Г) ^ Со>(<5), <5 0. Введём класс

WnI:l(u) = {/ G C(I) : /(") G H (и)} n раз (n ^ 0) дифференцируемых функций на /, чья п-я производная принадлежит H {со).

Пусть С, = С{С{1)) есть множество линейных ограниченных операторов из С(1) в С(/), и (для N ^ 0) — множество операторов S G X, таких что ||5||с ^ N.

Рассмотрим частный случай задачи (1), — задачу о наилучшем приближении оператора дифференцирования Dkf = на W„H(oj), (1 ^ ^ к ^ п), операторами из £дг. Более точно, требуется найти величину

E{N) = E(N,Dk,WnH(w)) = mî{U(S):Se£N}, (9)

Ще

U(S) — sup{||/^ — 5/|j : / G WnH(cu)}, и построить экстремальный оператор S* = на котором достигается точная нижняя грань в (9). Задача (9) была решена С. Б. Стечкиным [25] для п — 1 и произвольного модуля непрерывности со.

Важным частным случаем задачи (9) является случай и(6) = 5°, 0 < < а < 1. Обозначим в этом случае WnH(u) через WnHa. Для оператора Se£(C(I))

U(S) = U%(S.) = sup {||/W - Sf\\c{1) : f e Wjr). (10) Согласно этому, величину (9) можно записать в виде

E(N,Dk\ WnHa) = inf {U$(S) : 5 G CN}.

Пусть WnHa = WnHa(Ij есть класс всех дифференцируемых функций / из С(1) с n-ой производной, удовлетворяющей условию Липшица порядка а, то есть, для которой

S > 0, (11) с константой L — L(f) ^ 0. Для конкретной функции / G WnHa будем обозначать через ||/^+а)|| наименьшую константу L — L(f) в неравенстве (11). Таким образом, it=SUP Г1/("Ч^1)— /(п)(*г)| . . , rJ , )

Pl—|ii - --^eMi^j.

Связь между задачей о точной константе в неравенстве Колмогорова и задачей о наилучшем приближении оператора дифференцирования была впервые отмечена Стечкиным в [25], [26]. Позднее эта связь рассматривалась при изучении задач для различных функциональных пространств в работах С. Б. Стечкина, В. В. Арестова, Ю. Н. Субботина, Л. В. Тайкова, В. Н. Габушйна, А. П. Буслаева и др. (см. библиографию в [7], [8]).

Наряду с задачей (9) рассмотрим задачу поиска величины e(N) = e(N,D\WnH(uj)) = inf sup |/<*>(0) - s/|, (12)

SH^ fewnH(u) которая является задачей о наилучшем приближении функционала /М(0) линейными функционалами s £ С*(1) с нормой, ограниченной числом N. Задача (12) является частным случаем задачи о наилучшем приближении функционалов. Эта задача была детально изучена В. Н. Га-бушиным [13]. Он показал, в частности, что всегда существует экстремальный функционал 5* для (12).

В первой главе мы приводим решение задачи (9) для выпуклого модуля непрерывности ш на полупрямой I = [0,оо) при п = 2, к = 1,2 и, как следствие, получаем наилучшую константу К(к,п,а) в неравенстве Колмогорова для функций / е УУпЯ"

В случае а = 1 это неравенство было получено А. П. Маториным [22].

Близкие результаты относительно неравенств Колмогорова получены позже независимо С. К. Багдасаровым [9, 28].

Мы рассмотрим также задачу об оптимальной регуляризации вычисления значений неограниченного оператора. Пусть, как и для (1), Ы — линейный неограниченный оператор, действующий из банахова пространства X в банахово пространство У, класс содержится в области V = = Т)(и) определения оператора Ы, 71 — некоторое множество операторов из X в У. В качестве 71 рассматриваются обычно множество 0(Х, У) всех отображений пространства X в У, множество £(Х, У) линейных операторов, множество линейных ограниченных операторов и (для фиксированного N > 0) множество См{Х, У) линейных операторов с нормой, не превосходящей N. Для $ > 0 полагаем М-вир ДОж - : х € X, ||ж - хд\\ <

13)

Задача состоит в вычислении величины (13) и построении оператора, реализующего в (13) точную нижнюю грань.

На связь задач (13) и (1) впервые обратил внимание С. Б. Стечкин (см., например, [19], [6]).

Приведём здесь следующую теорему (см. [7], [19]).

Теорема О. Если Ы — однородный оператор, С} — центрально симметричное выпуклое множество, оператор Б* = в* (N,14, С]) — экстремальный оператор в задаче (1) и число $ > 0 удовлетворяют соотношению

Ф (#) = E(Nj + N0, (14) то S* — экстремальный оператор в задаче (13) (для 7Z = О) и имеют место равенства a^U, Q, О) = йф, Q,Ln) =E(N) +.N0.

В первой главе приводится также решение задачи (13) регуляризации вычисления первой и второй производных на классе функций W2Н(ш). Сформулируем основные результаты первой главы. Введём функцию fi -ЦЛ t ё [о, щ, \ * е- |Л» определённую на [0, г] для любых положительных Ji и г > Л. Здесь и далее d — выпуклый модуль непрерывности/Определим функцию р = — р(х) (см. известную лемму Корнейчука-Стечкина [21], стр. 191) на [О, с], где с = соотношением ж р(х)

J X(t) dt = J X(t) dt 0 < с, с < p(x) < r, о 0 и положим с f со' (p(u) — и) du, x G [0, с], cp(x) - (p(x, w) = { ж ж (15)

J u'(u — p~l(u)) du, x G [c, f], где p~l — функция, обратная p.

Лемма 1.2. Пусть uj — выпуклый модуль непрерывности. Тогда длА любого N > 0 существует пара чисел h, г (0 < h < г) таких, что и г t р(и) - К) dudt = 0, (17)

OA' ■ где г к = тЬ,1 ^ м Ли' (18)

Теорема 1.4. Пусть N > О, и — выпуклый модуль непрерывности, а пара к, г (0 < к < г) удовлетворяет условиям (16)-(18). Тогда с

А \¥2Н(и)) = У х(щг,к)ш(р(и) -и)йщ где о ад оператор 8* = определяемый по формуле гк с г + к' = -^/(х) + ^/(х + Н) - фщК* + г), является экстремальным.

Этот результат для ш(8) = 5 был получен ранее С. Б. Стечкиным [25]. В этом случае г — 3/г, к =

Для оператора дифференцирования второго порядка имеют место следующие аналогичные утверждения.

Лемма 1.3. Пусть ш. — выпуклый модуль непрерывности. Тогда для любого N > О существует пара чисел к, г (0 < к < г) таких, что выполняются следующие равенства

2 г г , .г ,. [ и(г)<а~ [ га)(ь)<и = о. (20) к(г — к) ] к о

Теорема 1.7. Пусть N. > 0, ш — выпуклый модуль непрерывности и пара к, г (0 < к < г) удовлетворяет условиям (19), (20). Тогда к I

В\ И) = К- //И«) - К) ¿и ей,

0/1 где г

К = К (и) = —^ ! о;(£) ь, и оператор S* = S^^N), определяемый по формуле

5-/)M = ¿/w - Щ^Н*+*)+тргцН*+: является экстремальным оператором в задаче (1).

С. Б. Стечкиным [25] был получен этот результат для = S. В этом случае г = 3h, h = \J~jl-.

Вторая глава посвящена конечноразностной аппроксимации операторов дифференцирования.

В случае = S класс Wn-\H{uj) превращается в класс

Wn-\Hl =Qn = if G Cil) : ||/(n)|UTO(/) <1} (21) функций / G C(J) с локально абсолютно непрерывной (n — 1)-й производной /(n1) на /, такой что G Ьоо(/) и \\f^\\Lœ(i) ^ 1- Задача о наилучшем приближении оператора дифференцирования Dk порядка к на классе Qn (0 < к < п) была решена в случае / = (—оо,+оо) для п = 2,3 С.Б. Стечкиным [25], для n = 4,5 — В. В. Арестовым [1]. Для п ^ 6 значение величины наилучшего приближения выписал В. В. Арестов [2] с помощью результата Домара [29]; окончательное решение при п ^ б получил А. П. Буслаев [12], в частности, он выписал явный вид экстремального оператора. При п > 3 экстремальный оператор является бесконечноразностным. В случае I = [0,+сю) решение известно только для п = 2,3 (см. [25], [26]).

Цель второй главы состоит в построении и исследовании операторов, которые дают хорошую оценку сверху в задаче Стечкина для I = (— —оо,+оо) на классе функций Qn и имеют наиболее простую структуру. Впервые задачу такого рода рассматривал В. В. Арестов [1]. Точнее, будут изучаться аппроксимативные свойства конечноразностных операторов с минимальным числом равномерно и „симметрично" расположенных узлов. В зависимости от того, является ли число к нечётным или чётным, эти операторы берутся соответственно в виде т.

7/) (,:) = + Л,-) + Ач/(х - А,-)),

Щ = (2] - 1 )Л, 1 ;] ^ т, к > 0; (22)

5/) (®) = До/М + + + 1

Л, = 1 < к > 0. (23)

Оператор 5 строится исходя из условия, что на классе величина уклонения

1/(5) = ^>п(5)=8ир{||/^-5/||с: /£<Эп} (24) конечна; а точнее, число т берется минимально возможным, при котором найдутся коэффициенты {А/}, обеспечивающие условие конечности величины и (в). Имеет место следующее утверждение.

Лемма 2.2. Для операторов (22) и (23) величина (24) конечна в том и только в том случае, если выполняются равенства

Зри){х)=р1к\х), р„(х) = х\ 0<1/<-п-. 1. (25)

Отметим, что рассматриваемые операторы инвариантны относительно (любого) сдвига, поэтому они однозначно определяются функционалами 0); а именно, имеет место формула (5/) (ж) = 5(гж/), где оператор сдвига тж задается соотношением (тж/)(^) = /(ж + ¿). Положим = «М («) = внр{|/(/с)(0) - : / € £„}. (26)

Нетрудно видеть, что гл*|П(в) = £4,п(5) и что для операторов (22) и (23) справедливы соотношения

И^Цсмс ~ 1М1<-*- (27)

14 т

В зависимости от того, будет ли число к нечётным или чётным, в классе операторов (22), (23) можно ограничиться соответственно операторами вида т

Sf)(x) = (Slf)(x) = ^^ Aj (/(ж + hj) - f{x - hj))," j=i hj = {2j-l)h, j = TjTi, A>(J; (28) rn

Sf) (x) = (Shkf)(x) = Aof(x) + + hj) + f{x -hj)).

3=1 v' hj = jh, j = 1, m, h > 0. (29)

Действительно, если число к нечётно, то по оператору (22) определим оператор 5 формулой

Sf)(x) = s (ffl) , ff>(t)=l-{f(x + t)-f(x-t)): а если число к чётно, то по оператору (23) определим оператор S формулой

S/)W =, (/Г"), /Г"(г) = +1) + /(*.-1)).

Нетрудно проверить, что эти операторы будут иметь вид (28), (29) соответственно и будут обладать (не худшими в сравнении с S аппроксимативными) свойствами

S\\ < ||5||, U(S) < U(S).

В дальнейшем будут изучаться именно операторы (28), (29).

Для построения операторов (28), (29) могут быть использованы следующие два подхода. а) Формула (28) содержит т, а формула (29) — (т + 1) коэффициентов '{Aj}, которые предстоит выбрать. Условия (25) можно записать в эквивалентной форме s(xu) = Skit/k\, О^г/^n—1. 15

Эти соотношения дают п условий (линейных уравнений) на коэффициенты {Д?}. Для операторов вида (28) (вида (29)) равенства (30) при чётных v (при нечётных у) выполняются автоматически. Оставшиеся условия в обоих случаях представляют собой системы линейных уравнений с матрицей типа Вандермонда и имеют единственное решение для нечётных к при п £ {2га, 2т +1} и для чётных — при п 6 {2га + 1,2гп + 2}.

Ь) Пусть % = %{к,т) есть множество узлов формул (28) и (29); в первом случае множество % состоит ш N — 2га точек, а во втором — из N = 2га + 1 точек. По функции /, точке х £ (—оо,оо) и множеству % построим полином Лагранжа Г(у) = Рк-\(у,х,/) порядка N — 1, интерполирующий функцию {тх/)(у) = /(ж + у) в точках множества Этот полином будет иметь вид где ^ = есть фундаментальные многочлены Лагранжа системы точек И. Положим Р<*>( 0) = Х)1«(0)/(х+.А,-)- (31)

Операторы (то есть, коэффициенты операторов), полученные этими двумя способами, совпадают. Действительно, во-первых, поскольку множество % узлов интерполирования симметрично относительно нуля, то фундаментальные многочлены Лагранжа симметричных точек и — /¿;у-связаны соотношением Ц{х) = 1^(—х). Следовательно, оператор (31) имеет вид (28) для нечётных & и (29) — для чётных. Во-вторых, оператор (31) по построению точен на полиномах степени не выше п — 1, другими словами, он удовлетворяет условиям (30). Отсюда следует конечность величины и(31), и в силу единственности решения системы (30) линейных уравнений — совпадение операторов.

Используя соображения, приведённые в [25], нетрудно показать (см. также лемму Стечкина 1.1), что ■'№ = ¿115*11. «/(#) = ¿-4/(3). (32)

Поэтому операторы (28), (29) достаточно изучать при К — 1.

Во второй главе вычислена норма \\$1\\ оператора (28) при к — 1 для к — 1, к — 2т — 1, п 6 {2т, 2т+1}; вычислено уклонение оператора (28) от оператора дифференцирования для к = 1, к = 2т - 1, п = 2т + 1; получены оценки сверху и снизу для уклонения при к = 1, п — 2т.

Сформулируем основные результаты, относящиеся ко второй главе.

Теорема 2.1. Для нормы оператора (28) Б = при к —А, любом п и к — 1 имеет место формула т— 1 1 у п

121 тт (2и)\\ 22"Ы)2 п 1 V в которой Ии = (2^+1)!!'~ (2н-1)!> и ~ * •■•>'и выполняется предельное соотношение т +оо. г М

Теорема 2.2. Для любого т ^ 1 при нечётном п = 2т -{- 1 и к = 1 имеет место формула си ((2т- I)!!)2 (2т- 1)!! 1

2т + 1)! (2т)!! 2т+1

X" 7»! и верхняя грань в (26) достигается на функции (полином,е) /(ж) =

Теорема 2.3. Для любого т ^ 1 при чётном п — 2т и к — 1 имеют место соотношения

Щт) ^ С/^тЙ1) < Щт), в которых ч ((2т-I)!!)2 з Щт = . " , . ' ' . X т 2 т +оо. V ; (2т)! (2т- 1) (2т- 1)!! 1 и(т) = —гтт—-—о—г X т ^ т +оо. ~1 ; (2т)!! 4т2 - 1 '

Теорема 2.4. Для нормы оператора (28) 5 = 5^--! пРи ^ = ~ п 6 {2т, 2т + 1}, /г = 1 имеет место равенство

5|| = 1.

Теорема 2.5. Для любого ш ^ 1 при нечётном п = 2т + 1 и к = 1 имеет место формула ж", п!. и верхняя грань в (26) достигается на функции (полиноме) /(ж) =

Далее мы сравниваем аппроксимативные свойства построенных операторов (28) и наилучших (экстремальных) операторов в задаче. Известна (см. [2], [13], [12]) формула, связывающая величину Е(М) — Е(АГ, /.:, п) с константой К = К(к,п) в соответствующем неравенстве Колмогорова [20]. Она имеет вид / п~к п)к (33)

При N > 0 выберем параметр к = /¿(./V) > 0 так, чтобы ||5д?|| = N. Отношение ■17')/Ё(Ы) можно считать характеристикой аппроксимативных свойств операторов (28). С учётом (32) эта величина не зависит от а зависит лишь от параметра п. Введём обозначение

Ясно, что всегда сг(к,п) ^ 1.

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 2.6. Для величины ег(1,п) имеет место соотношение п+еп £п = 0(у/п), 71 ^ ОО.

Теорема 2.7. Для величины сг(2т — 1,2т + 1) имеет место соотношение а(2т— 1,2т 1) X т, т —> оо.

Третья глава диссертации посвящена задаче вычисления относительной константы Юнга пространства

При построении и изучении конкретных методов восстановления операторов рассматриваются геометрические характеристики пространств и множеств (см., например, [7]).

Пусть X — банахово пространство, V(X) — совокупность выпуклых ограниченных замкнутых множеств в X, состоящих более чем из одной точки. Для ограниченного множества М из X величина d(M) - sup ||х - у\\ есть диаметр множества М, r(M) = inf sup \\х-р\\ (35) х£М его чебышёвский радиус, а rs(M) = inf sup \\х - q\\ (36) q£M xeM относительный чебышёвский радиус. Если существуют точки, на которых достигается нижняя грань в (35) и (36), то они называются соответственно чебышёвским и относительным чебышёвским центрами множества М.

Рассмотрим следующие характеристики пространства X

J(X)=sup {|g : MeV(X)} (37) константа Юнга пространства X,

Л(Х) = sup Men*)} (38) относительная константа Юнга и, наконец,

7(X) = sup{^g:MeF(X)}. (39)

Легко видеть, что для всех М С X верны неравенства r(M) ^ r,(M) < d(M) < 2г(М). 19

Отсюда очевидно следует, что

Js(X)^j(X) <2Je(X); п

Юнг установил, что если X есть n-мерное евклидово пространство R то J(Rn) = у + 1) доказал Боненблюст, для любого пмерного банахова пространства X справедливо неравенство J(X) ^ ^ и существуют пространства размерности п, для которых имеет место равенство J(X) = (см. [17]). Исследованием констант Юнга пространств ¿р, £р занимались В. JI. Дольников (р = 1) [18], С. А. Пичугов (1 ^ р < оо) [23]. С. А. Пичугов вычислил константу Юнга пространств Lp[0, 27г) [23] и относительную константу Юнга пространств Lp[0,1] и £р для 1 ^ р < оо [24]. Кроме того, в работе [24] доказана оценка (числа р' и q' определяются соотношениями i + i = 1 и 14-^ = 1 соответственно)

1 п -щу —¡7р' Я = тт(р,р'), 1 < р < ОО. обращающаяся в равенство при р < 2 в случае п таких, что существует матрица Адамара размерности п + 1. В. Кли (см. ссылку в [16, стр. 114]) и А. Л. Гаркави [15] доказали, что чебышёвский центр всякого ограниченного множества пространства X принадлежит выпуклой оболочке этого множества тогда и только тогда, когда X гильбертово или размерность X не превосходит двух. Более того, из доказательства этого факта следует, что эти же условия эквивалентны выполнению для пространства X равенства ч(Х) ■— 1. Связь константы 3 с теоремой Джексона о наилучшем приближении отметил С. Б. Стечкин (см. [11]). Константы Юнга и геометрические свойства перестановочно-инвариантных пространств изучаются в [30].

Константа 7 возникла в работе [6] В. В. Арестова, посвященной задаче о наилучшем восстановлении операторов.

В третьей главе вычислена относительная константа Юнга пространства А именно, при п ^ 2 справедливо следующее равенство

Кроме того, описаны экстремальные множества, то есть, множества М со свойством т (Р* \ - Т'*(М)

Моо) ~ (1(м) •

Как следствие выписано значение константы

Автор благодарит научного руководителя профессора В. В. Арестова за постановку задач и внимание к работе.

1. Арестов В. В. О наилучшем приближении операторов дифференцирования // Матем. заметки. 1967. Т. 1. # 2. С. 149-154.

2. Арестов В. В. О наилучшем приближении операторов дифференV цирования в равномерной метрике: Дисс. . канд. физ.-мат. наук.МИАН СССР им. Стеклова, Москва, 1969. 89 л.

3. Арестов В. В. О наилучшем равномерном приближении операторов дифференцирования // Матем. заметки. 1969. Т. 5. № 3, С. 273-284.

4. Арестов В. В. О некоторых экстремальных задачах для дифференцируемых функций одной неременной // Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 3-28.

5. Арестов В. В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Матем. заметки. 1977. Т. 22. № 2. С. 231-244.

6. Арестов В. В. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи // Тр. МИАН СССР. 1989. Т. 189. С. 3-19.

7. Арестов В. В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51. № 6. С. 89-124.

8. Арестов В. В., Габушип В. Н. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными // Известия вузов. Математика.1995. № И. С. 44-66.

9. Багдасаров С. К. Общая конструкция чебышёвских (¿/-сплайнов данной нормы // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10. № 6. С. 93-134.

10. Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: Наука, 1973.

11. Бердышев В. Я. Связь Между неравенством Джексона и одной геометрической задачей // Матем. заметки. 1968. Т. 3. № 3. С. 327-338.

12. Буслаев А. П. О приближении оператора дифференцирования // Матем. заметки. 1981. Т 25. № 5. С. 731-742.

13. Габушин В. H. Наилучшее приближение функционалов на некоторых множествах //Матем. заметки. 1970. Т. 8. N 5. С. 551-562.

14. Габушин В. Н. Оптимальные методы вычисления значений оператора Ux, если ж задано с погрешностью. Дифференцирование функций, определённых с ошибкой // Тр. МИАН СССР. 1980. Т. 145. С. 63-78.

15. Гаркави A.JI.yO чебышёвском центре и выпуклой оболочке множества // Успехи мат. наук. 1964. Т. 19. № 6. С. 139-146.

16. Гаркави А. Л. Теория наилучшего приближения в линейных нормированных пространствах // Итоги Науки. Сер. мат. 1967. С. 75-137.

17. Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли. — М.: Мир, 1968.

18. Дольников В. Л. О константе Юнга в // Матем. заметки. 1987.Т. 42. №4. С. 519-526.19\ Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. — М.: Наука, 1978.

19. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Избранные труды. Математика, механика. — М.: Наука, 1985. С. 252-263. •

20. Корнейчук H. П. Экстремальные задачи теории приближений. — М.: Наука, 1976.

21. Маторин А. П. О неравенствах между максимумами абсолютных значений функции и её производных на полуоси // Укр. мат. журн. 1955. Т. 7. С. 262-266.

22. Пичугов С. А. Константа Юнга пространств Ьр // Матем. заметки. 1988. Т. 43. № 5. С. 604-614.

23. Пичугов С. А. Относительная константа Юнга пространства Ьр // Укр. мат. журн. 1990. Т. 42. № 1. С. 122-125.

24. Стечкин С. В: Наилучшее приближение линейных операторов // Матем. заметки. 1967. Т. 1. № 2. С. 137-148.

25. Стечкин С. Б. Неравенства между нормами производных произвольной функции // Acta Scient. Math. 1965. V. 26. P. 225-230.

26. Фихтенгольц Г. M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. — М.: Физматгиз, 1966.

27. Bagdasarov S.K. Chebyshev splines and Kolmogorov inequalities. Series: Operator theory advances and applications. V. 105. Birkhauser Verlag. Basel, Boston, Berlin, 1998.

28. Domar Y. An extremal problem related to Kolmogoroff's type inequality for bounded functions // Arc. Mat. 1968. V. 7. P. 433-441.

29. Franchetti C., Semenov E. M. The Jung constant in rearrangementinvariant spaces // C.R. Acad. Sci. Paris 1996. V. 323. Serie 1. P. 723.728.

30. Micchelli Ch. A., Rivlin Th. J. A survey if optimal recovery' // Optimal estimation in approximation theory. N. Y. etc. Plenum Press, 1977. P. 1-54.

31. Shadrin A. Yu. Error bounds for Lagrange interpolation // J. Approx. Theory. 1995. V. 80. Ж 1. P. 25-49.

32. Berdyshev S. V. Approximation of differentiation operators on the class of twice differentiable functions on the half-line // East J. Approx. 1996. V. 2; № 1. P. 49-69.

33. Бердышев С. В. Относительная константа Юнга пространства // Труды Института Математики и Механики УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 97-103.

34. Бердышев С. В. Кончноразностная аппроксимация оператора дифференцирования // Известия Уральского государственного университета. Математика и Механика. Вып. 3. №18. 2001. С. 20-33.

35. Бердышев С. В. Относительная константа Юнга пространства // Современные методы теории функций и смёжные проблемы: Тез. докл. школы. Воронеж: ВГУ, 1997. С. 178.

36. Бердышев С. В. Относительная константа Юнга пространства // Оптимизация численных методов. Конференция, посвящёниая 90-летию С. J1. Соболева, 06-11 сентября 1998 г.: Тез. докл. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 1998. С. 67.

37. Бердышев C.B. Аппроксимативные свойства конечноразностного оператора // Школа по теории функций "Озёрск-99", 16-19 апреля 1999 г.: Тез. докл. Озёрск: ОТИ МИФИ, 1999. С. 23-24.

38. Бердышев С. В. Конечноразностная аппроксимация оператора дифференцирования // Тез. докл. Междунар. конф., посвящ. 80-летию со дня рождения Сергея Борисовича Стечкина (Россия, Екатеринбург, 28 февр.-03 марта 2000 г.) Екатеринбург: УрГУ, 2000. С. 34-35.