Наилучшие оценки в методах аппроксимации производных функции, заданной с погрешностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

С

Скорик Георгий Григорьевич

НАИЛУЧШИЕ ОЦЕНКИ В МЕТОДАХ АППРОКСИМАЦИИ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ С •ПОГРЕШНОСТЬЮ

01.01.07 —Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2006

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Уральского государственного университета им. A.M. Горького

Научный руководитель: член-корреспондент РАН

Владимир Васильевич Васин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация: факультет вычислительной математики и

кибернетики Московского государственного университета им М.В. Ломоносова

сертационного совета К 004.006.01 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата наук в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан £ 17- » Но$ 6 Р-^_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 00'

Виталий Владимирович Арестов, доктор физико-математических наук Вячеслав Иванович Максимов

Защита состоится «. 7.0 » g-ei

2006 г. на заседании дис-

кандидат физ.-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Некорректно поставленные задачи возникают во многих областях науки и техники: — геофизике, гидродинамике, гидромеханике, астрономии, спектроскопии.

Основы общей теории и методов решения некорректных задач были заложены в фундаментальных работах выдающихся математиков А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, а также в работах их учеников и последователей.

Некорректно поставленные задачи можно условно разделить на два класса: решение операторного уравнения Ах = у с неограниченным обратным А'1, вычисление значений неограниченного оператора Ту = х на элементе у, заданном с погрешностью. Задача численного дифференцирования за-шумлённой функции относится ко второму классу и, следовательно, является некорректно поставленной.

Работа посвящена методам аппроксимации производных целого и дробного порядка функции, заданной с погрешностью, и оценкам погрешности этих методов на различных классах корректности. Основными результатами данной диссертации являются точные или оптимальные по порядку оценки погрешности, полученные для метода средних функций. Проблема получения наилучших оценок погрешности метода представляет несомненный теоретический интерес и является актуальной.

Задача численного дифференцирования возникает во многих прикладных задачах. Поэтому построение оптимальных процедур аппроксимации производных представляет интерес для многих приложений.

Проблеме аппроксимации производных посвящено множество работ. Задача приближения оператора дифференцирования ограниченными операторами и построение оптимальных методов исследовалась в работах С.Б Стечки-на, В.В. Арестова, В.Н. Габушина, Ю.Н. Субботина, В.Н Страхова, А.П. Буслаева, O.A. Тимошина и других. Различные алгоритмы численного дифференцирования, в том числе оптимальные, содержатся в работах В.К. Ива-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-ПетерОург

нова и Т.Ф. Долгополовой, Л.П. Грабаря, В.А. Морозова, Э.В Колпаковой и В.И. Колпакова, В.Б. Демидовича, А.Г. Рамма, Л. Си11ит и многих других. Оценкой погрешности метода средних функций занимались В.В. Васин, СЖ Сгое^Ь, Г.В Хромова, Е.В Шишкова.

Целью работы является всестороннее исследование метода средних функций, а именно: изучение свойств усредняющих ядер интегральных операторов, на основе которых строятся регуляризаторы, получение точных или точных по порядку оценок погрешности на классах равномерной регуляризации, сравнение полученных оценок с оптимальными оценками. Кроме того, уточняются некоторые результаты по конечно-разностным методам и тихоновской регуляризации. При этом рассматривается случай задания функции как на действительной прямой, так и на отрезке.

Методы исследования. В работе использовались методы и подходы теории некорректных задач, теории приближения функций и функционального анализа.

Научная новизна. Все результаты, касающиеся точных оценок погрешности метода средних функций на классе, являются новыми или получены впервые.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер с выходом в различные приложения, где необходимо численно дифференцировать зашумленные функции.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

в Всероссийская научная конференция «Алгоритмический анализ некорректных задач». Екатеринбург, 2-6 февраля 1998 г.

• Всероссийская научная конференция «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». Екатеринбург, 2-6 февраля 2004 г.

• Всероссийская молодежная школа-конференция «Численные методы решения задач математической физики». Казань, 27 июня - 3 июля 2004 г.

в 37-я региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики?». Екатеринбург, 30 января - 3 февраля 2006 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 48 наименований. Диссертационная работа изложена на 96 страницах и имеет 10 иллюстраций.

Во введении приводится краткий обзор литературы по теме диссертации, дается обоснование актуальности исследуемой проблемы и излагаются основные результаты данной работы.

Первая глава состоит из четырёх параграфов, в которых даётся материал, необходимый для изложения основных результатов диссертации. Приводятся определения и свойства усредняющих ядер, с помощью которых конструируются регуляризующие алгоритмы в задаче численного дифференцирования. Вводится понятие дробной производной и излагается примыкающий к этому соответствующий материал. Формулируется задача Стечкина [6] об аппроксимации неограниченного оператора ограниченными и устанавливается её связь с задачей об оптимальном регуляризаторе (задачей Страхова,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

[7])-

Вторая глава посвящена исследованию метода средних функций

(1)

с ядрами вида

(2)

для устойчивой аппроксимации т-й производной

функции у, заданной с погрешностью 5, т.е. ||у — ys\\ < 5. Ядро w{s) тп раз непрерывно дифференцируемо и тождественно равно нулю вне отрезка [-1,1]. Величина са выбирается из условия саи> ds — 1, откуда

следует са = h= / w(s) ds.

В первом параграфе в пространстве С(—оо,оо) точно вычислена величина погрешности метода

7|(Т; Ra;Мпр) = sup {||Дуа - Ту\\с: у € ||у - ys\\c < 6}

на классе функций

м; = {у. »<«+") ес(-оо, оо), ||у<т+">||с < р),

для произвольных натуральных тип; при подходящей связи между а и Sep показана его оптимальность по порядку. Дан отрицательный ответ на вопрос о возможности построения оптимального регуляризатора для случая т. = 1,п = 1 на основе метода средних функций с гладкими ядрами (2), и указан способ построения регуляризатора, сколь угодно близкого к оптимальному.

Теорема 1. Если п = 1 или п > 1 и / w(s)sk ds = 0 для любого к: I ^ к ^ п — 1, то справедлива оценка

Ъ[1'Ка,М") ha'" + h(n-l)\'

где

I J I И"

dt,

г )\dm

h = Jw(s)ds, vm = J\-rr-w(t)

-i

1 sgni

/*„=/ J u{B){t-a)n~ld8 -l i

dt.

В противном случае т¿(Т;#а;М£) = оо, т.е. погрешность метода неограниченна.

Теорема уточняет и обобщает результаты работ В.В. Васина и С.\У. СгоексЬ [2, 9] по мажорантной оценке погрешности метода средних функций.

Во втором параграфе исследуется метод средних функций в пространствах Lp(—oo, ОС'). Найдена оценка сверху величины погрешности метода

7S(T; R] М*) = sup {\\Rys - Ty\\Lr: ||у - yj||ip <

у 6 Л/р, ys € 1р(-оо, сю)}

на классе функций

Щ = {у.у€ Lp(-00,00), y<m+n) £ Ья(-00,00), ||?/<m+n>||i? ^ р} ,

для всевозможных натуральных m и га. В частном случае эта оценка является точной.

Теорема 2. Пусть функция ш 6 С'т)(~со, со) имеете своим носителем отрезок [—1,1] и, в случае п > 1, / w(s)sfcds = 0 с/ля любого k: 1 ^ к ^ п — 1. Пусть р ^r, q ^r, 1 ^ г < со. 7Wa справедлива оценка

Яи пп п>п+Г~'-9~1

где

i

h=Juj(s)ds, i/m = |Мт)||; -1

fn = ||ПЦд , »

П(в) =

О, \s\ > 1

sgns

Ju(t){s~t)n-1dt,

Пусть 1^р^оо,1<9<оо, r = oo.

Тогда скя оператора Т: Lp -ь С, из (3) и регуляризующего алгоритма (1) справедливо равенство

Sum , рцпап~4'1

Здесь подразумевается, что в случае Ьм(-со,оо) рассматривается пространство С(—оо,оо).

Правая часть неравенства (4) достигает минимума при связи

а _ ат _ (¿^(т + р^-г-^п-гуЛ «+-Н-Л-.-^ \ р^п + г-^-д-*) ) При этом значении параметра а

__ _ п+г"1 -о"'_ т-И>~* -г"1

ъ{Т\ Яац); м;1) < ( (5)

где

п+г-'-и

( П+Г-' -^1 \ т+п+р"1 , / т+Р"1 -г"1 Л т+п+р-1 -

\т+р"1 -г-1) /

т+Р~*-г"1

((п - 1)!)т+п+Р-'-,-' /г

Известно, что из обобщенного неравенства Колмогорова (см. например [3]) вытекает соотношение для оптимального регуляризатора Щ задачи (3)

_ , п+г-'-»-1 т+р-'-г-'

щт-, = ) (6)

где константа зависит как от гп, п, так и от р, д, и г. В |1] приведена таблица значений величин т, гг, р, <?, г, для которых найдена константа .

Если сравнить (5) и (6), то видно, что метод средних функций будет оптимальным по порядку при всех значениях параметров.

В третьем параграфе рассмотрен метод средних функций для задачи вычисления смешанной производной

(Ту)М^^^-^хМ, (7)

где функция двух переменных у известна с погрешностью <5 по норме С(К2), т.е. ))г/ - у$\\с < 8.

Используя обозначение

метод средних функций для задачи (7) можно записать в виде

2 ¿2+02 ¿2+аз _ £ I _ д \

«X ,_(. Г^Г' ^г)2/5(51152) ^ (8)

С»2 <1-01

где ядро и: обладает следующими свойствами:

1. Функция и^ьвг) — дважды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных (в частности, бесконечно дифференцируема).

2. Носителем функции Зг) является множество [—1,1] X [-1,1].

3. / / и)(31,в2)(181(1з2 = Ь. -1-1

Теорема 3. Для погрешности метода средних функций (8) на классе МР = {у. у е С3(М2), ||»йа||0 < Р, Ш\с < р} справедливо неравенство

оцачЬ,

Л

(9)

где

1 1 к = J си(з) ¿в, V = I Щ'гСв) , -1 -1

-1 1

К = / -1 1

-1

1 Й6ПГ

I ]

-1 Г

1 вёпт

[ I о»(в1, йг) йвг

-1 Т

с1т,

¿Т.

Правая часть неравенства (9) достигает минимума при следующем значении параметров

«1: «2 ;

, КР 4

При такой связи между параметрами а^, аг и погрешностью 6, на массе Мр метод средних функций (8) имеет погрешность

75(Т;КаЛ5)а1(5)-,Мр) < З^Д

В четвёртом параграфе построен регуляризатор на основе метода средних функций для задачи численного дифференцирования функции, заданной на отрезке. Оценка погрешности проводится в пространстве С[а, 6] на классе функций

Задача аппроксимации первой производной на отрезке рассматривалась в [4], где был построен оптимальный регуляризатор, а также оптимальные функционалы для восстановления производной в точке отрезка [а, 6]. Заметим, что объединяя эти оптимальные функционалы в один линейный оператор, получаем регуляризатор, обладающий свойством оптимальности в каждой точке, с параметром регуляризации а, зависящим также от конкретной точки отрезка. По такому же принципу строится регуляризатор на основе метода средних функций

(Да,АуШ = + «А), А е [-1,1], (Ю)

где оператор В.а имеет вид (1). Здесь параметры а и А зависят от точки £ отрезка [а, 6] и на них накладываются условия а + +

Поскольку параметры регуляризации зависят от конкретной точки отрезка, оценивается величина

7б{Т\ Да,а; М1^) = 8ир{|(Да,А1м)(*) - Ту® I: ||у - у4||0 < 6,

у € ю € СМ]}. (11)

Доказано, что для неотрицательного четного ядра и> из (2),

с |А|

76(Т-, ЕаХ1 М1-, *) = ^ + ^ + £ / «(Г)(|А| - |г|) От. (12)

Параметры а и А выбираются из условия минимальности правой части (12).

Третья глава посвящена регуляризации дробной производной на всей числовой оси и на отрезке.

В первом параграфе строится регуляризатор на основе метода средних функций для задачи аппроксимации дробной производной Маршо [5]

2 Г[ГТ) [М ~* = 0<13<1' (13)

где оператор действует из пространства Ьр{—оо, оо) в пространство Ьг(-оо, оо), 1 < р, г < оо. Найдена оценка погрешности регуляризатора

1

= (14)

на классе корректности

пЧ • тУ+Ч/т =

<И

Щл = \У 6 1Р(-оо,оо): = £ А,(-оо,оо),

ИВ^УН^Р}. (15)

Теорема 4. Для погрешности метода регуляризации (14) задачи (13) на классе (15) справедливы следующие утверждения:

есл«р = 9 = г = оо, то 74(Г; М^00) = ^ + (16)

если 1 ^ р, д < г < оо, то 7л(Т; М™) ^ ^^-'-г-'^4"

+ -, (17)

г«?в «/д = , , = 1Ш11д , ,, «(О = Ти(в)<1а.

Заметим, что задача Стечкина для дробной производной функции, заданной на полупрямой рассматривалась в работе [8].

Во втором параграфе исследуется метод Тихонова для аппроксимации дробной производной Римана-Лиувилля

в пространстве Ьц[а,Ь\.

Регуляризатор строится в виде Rays = уа> где уа—решение задачи

min {||у - уг+ : у 6 w£[a, 6]}, (18)

где Ц2/о - ш\\ < 8 и W$[а, Ь] — пространство Соболева с нормой \\y\\2 = f(\y(t)\2 + №ßy(t)\2)dt.

а

Теорема 5.- Задача (18) имеет единственное решение уа и при связи параметров 52/а(6) —> 0, ct(¿) -»• 0, S 0 имеет место сходимость

lim ®Ч|| = 0.

Четвёртая глава состоит из примеров реализации метода средних функций для случая одной переменной, а также результатов, полученных методом Тихонова, с регуляризатором на основе дробной производной для одномерных и двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. В пространстве С{—оо, оо) получена точная оценка погрешности метода средних функций в задаче аппроксимации т-й производной на классе функций с ограниченной (т + п)-й производной.

2. При восстановлении т-й производной в пространствах суммируемых функций установлена мажорантная оценка погрешности метода средних функций, оптимальная по порядку. Доказано, что для некоторых пространств эта оценка является неулучшаемой.

3. В задаче аппроксимации дробной производной получена точная оценка погрешности метода средних функций в пространстве С(-оо, оо) и мажорантная оценка в пространствах суммируемых функций. Доказана сходимость регуляризованных по Тихонову приближённых решений к дробной производной в пространстве Ьч[а, Ь].

12

Автор работы глубоко благодарен научному руководителю чл.-корр. РАН

Владимиру Васильевичу Васину за постоянное внимание, помощь и всестороннюю поддержку при работе над диссертацией.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1| Арестов В.В. Приближение неограниченых операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. - 1996. - Т. 51, вып. 6. - С. 89-124.

[2j Васин В.В. Регуляризация задачи численного дифференцирования // Мат. зап. Урал, ун-та. - 1969. - Т. 7, тетр. 2. - С. 29-33.

[3] Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Уч. зап. МГУ. Математика. - 1939. - Т. 30, кн. 3. - С. 3-16.

[4] Колпакова Э.В., Колпаков В.И. Восстановление математических объектов по неполно заданной информации. - Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1995. - 136 с.

[5] Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

[6] Стечкин С.Б. Наиучшее приближение линейных операторов // Матем. заметки. - 1967. - Т. 1. - № 2. - С. 137-148.

[7] Страхов В.Н. Теория приближенного решения линейных некорроектных задач в гильбертовом пространстве и ее использование в разведочной геофизике // Изв. АН СССР. Физика земли. - 1969. - №8,- С. 50-53; № 9. - С. 64-96.

[S] Aiestov V.V. Inequalites for fractional derivatives on the half-line // Approxim. Theory. - Warsaw: PWN-Pol. Sci. Publ, 1979. - V. 4. - P. 1934.

[9] Groetch C.W. Optimal order of accuracy in Vasin's method for differentiation of noisy functions // J. Optimiz. Theory. Appl. -1992. - V. 74, № 2. - P. 373378.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Скорих Г.Г. К вопросу об оптимальности метода средних функций в задаче дифференцирования // Алгоритмический анализ некорректных задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. 2-6 фев. 1998 г. - Екатеринбург, 1998. - С. 237-238.

2. Скорик Г.Г. Об оптимальных в точке методах аппроксимации производных зашумленной функции // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. конф. 2-6 фев. 2004 г. - Екатеринбург, 2004. -С. 67-68.

3. Скорик Г.Г. К вопросу о точной оценке погрешности метода средних функций в задаче дифференцирования // Изв. Урал. гос. ун-та. - 2004.

- № 30. - С. 138-156.

4. Скорик Г.Г. О наилучшей оценке погрешности метода усредняющих ядер в задаче дифференцирования зашумлённой функции // Изв. вузов. Математика. - 2004. - № 3. - С. 76-80.

5. Скорик Г.Г. Об оптимальности метода средних функций в задаче численного дифференцирования // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 37-й Регион, молодеж. конф. 30 янв. - 3 фев. 2006 г.

- Екатеринбург, 2006. - С. 146-150.

6. Скорик Г.Г. Оценка погрешности метода средних функций в задаче численного дифференцирования зашумленной функции // Изв, Вузов. Математика. - 2006. - № 2. - С. 35-41.

Подписано в печать 07.11.06 Формат 60x84/16. Объем 1 усл.-печ.л. Тираж 100 экз. Заказ 215

Размножено с готового оригинал-макета в типографии "Уральский центр академического обслуживания". 620219, г. Екатеринбург, ул. Первомайская, 91.

20C6Á

дэ 2 8 i i S

Введение

Глава I Предварительные сведения

§1. Усредняющие ядра интегральных операторов и их свойства

§2. Оценка нормы оператора свёртки.

§3. Дробные производные и их свойства.

§4. Оптимальные методы и их связь с задачей Стечкина

Глава II Устойчивая аппроксимация производной т-то порядка на основе метода средних функций

§1. Оценка погрешности в С(—оо,оо).

1.1. Оценка погрешности метода сверху

1.2. Исследование точности мажорантной оценки.

1.3. Проблема оптимальности метода.

§2. Оценки в пространствах суммируемых функций

2.1. Постановка задачи.

2.2. Оценка погрешности метода сверху

2.3. Исследование точности мажорантной оценки.

2.4. Оптимальность по порядку.

§3. Вычисление смешанной производной в пространстве С(К2)

§4. Аппроксимация производных функции, заданной на отрезке

Глава III Устойчивая аппроксимация дробной производной

§1. Метод средних функций.

§2. Вариационный метод регуляризации.

Глава IV Численные эксперименты

§1. Некоторые примеры использования метода средних функций для численного дифференцирования.

§2. Использование дробной производной в методе Тихонова для регуляризации уравнений Фредгольма первого рода

Во многих областях науки и техники возникают некорректно поставленные задачи. Эти задачи обычно формулируются в виде операторных уравнений 1-го рода или в виде задачи вычисления значений неограниченного оператора. Напомним соответствующие определения корректности и регуляризирующего алгоритма для задачи вычисления некоторого неограниченного линейного оператора Т,

Ту = х, (В.1) действующего на паре нормированных пространств У, X (см. [21]).

Определение В.1. Задача (В.1) называется корректной по Адама-ру, если выполнены условия:

1. 2)(Т) = У, т.е. область определения оператора Т есть всё пространство У;

2. Т — однозначный оператор (каждому у соответствует единственный элемент х = Ту);

3. оператор Т непрерывен (ограничен).

Определение В.2. Задача (В.1) называется некорректно поставленной, если нарушено по крайней мере одно из условий 1-3.

Обычно идёт речь о нарушении условий 1,3.

Определение В.З. Семейство операторов {Д?}, У ->• X, называется регуляризующим семейством операторов для задачи (В.1), если для любого у Е Т>(Т) имеет место сходимость

Нтвир \\Rsys — Ту\\ = 0. (В.2)

У5,

Семейство {Л^}, У —»■ X называют также регуляризующим алгоритмом (РА).

Заметим, что часто сначала строится семейство {Да}, зависящее ог некоторого параметра регуляризации а, а затем при подходящей связи конструируется РА.

Возможность конструирования эффективных методов решения некорректно поставленных задач (регуляризующих алгоритмов), было показано в работах М.М. Лаврентьева, А.Н. Тихонова, В.К. Иванова. Результаты исследования этих авторов и их учеников изложены в [21], [23], [41], [42].

В настоящей работе изучается задача численного дифференцирования зашумлённой функции, т.е. задача приближённого вычисления т-й производной (для целого и дробного т)

1Ш 3 ^ = *(()■ (Е-3) например, на паре пространств X = У = С[а, Ь] или Ьр[а, Ь], в условиях, когда функция у задана своим ¿-приближением уз, ||у — ^ 5. Как известно [21], эта задача является некорректно поставленной. Нетрудно показать, что на любой разумной паре функциональных нормированных пространств У, X, задача вычисления производной (В.З) по приближённым данным уй, является некорректной (оператор Т неограничен), если нормированная топология X не слабее топологии У. Поэтому для построения устойчивого приближённого решения задачи (В.З) необходимо привлечение идей регуляризации и методов некорректно поставленных задач.

В связи с рассмотрением задачи дифференцирования (В.З), возникают следующие проблемы: а) построение регуляризующего алгоритма при заданном параметре m и паре функциональных пространств Y, Х\ б) оценка погрешности метода R = Rs в точке или на заданном классе М при фиксированном уровне погрешности S

7S{T; R\ М) = sup {\\Rys - Ту\\: у еМ,\\у- у6\\ ^ 5}, (В.4) причём в качестве М обычно используют множество м; = {у: y{m+n) G С, Цу^ИсО}, либо

Мп {у: У^еь,, ||y<m+n)||if ^ р}, где п — натуральное число; в) исследование оптимальности метода R, т.е. сравнение величины 7 как функции 6, с погрешностью оптимального метода

В.5) где В(У —> X) — пространство линейных ограниченных операторов из У в X] г) построение на основе РА численно реализуемых алгоритмов и проведение вычислительных экспериментов.

Все эти вопросы рассматриваются в диссертационной работе для задачи (В.З) на функциональных пространствах Ьр[а, Ь), С[а, Ь], причём, как для целочисленного, так и для дробного дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля и Маршо (см главу I, §3).

Заметим, что задача численного дифференцирования зашумлённой функции часто возникает во многих прикладных задачах, поэтому исследование сформулированных выше проблем представляет несомненный интерес, как с теоретической, так и с практической точек зрения.

С задачей (В.5) тесно связана задача Стечкина об оптимальной аппроксимации на классе М неограниченного оператора Т ограниченными

Ем(Т;М)= т| 8ир||Яу-Ту|| (В.6)

Оказывается, что при некоторых условиях согласовании параметров 6 и ./V, из решения одной задачи можно построить решение другой (см., например, [10], [4]).

Задача Стечкина хорошо исследована и во многих случаях найдены экстремальные операторы, на которых достигается нижняя грань (В.б). Эти операторы можно использовать при консгруировании оптимальных регуляризаторов, в частности, задачи (В.З). В данной работе задача Стечкина не исследуется.

Проблемой численного дифференцирования зашумлённой функции и родственной ей задачей Стечкина занимались многие исследователи, что нашло отражение в многочисленных публикациях. Задача восстановления производных зашумлённой функции рассмотрена в [7], [8], [12], [16] ,[17], [18], [19], [24], [25], [26], [43], [45], [47], [48] и многих других.

В некоторых работах ограничиваются построением конкретного РА [16], [17], [24]. В [18], [19], [26] доказывается сходимость приближённого решения к точному. В других статьях устанавливаются мажорантные оценки погрешности метода и доказывается их оптимальность по иоряд-ку [19], [7], [8],[25], [48],[43].

Оценки погрешности методов регуляризации и модулей непрерывности для операторов дифференцирования на отрезке получены в работах [22], [44].

Задаче Стечкина посвящены рабогы [36], [2], [3], [5], [6], [13], [15], [38], [39]. Подробный обзор см. в [4].

В [36] приведены наилучшие формулы численного дифференцирования для пространств X = У = С[0, оо) при 1 ^ т < 3, т + п = 3.

В [2] даётся решение задачи Стечкина и найдено точное значение Е^ в пространстве С{—оо, оо) для т+п = 4, бив пространстве Ь\{—оо, оо) для т + п = 2, 3, 4, 5.

Проблема существования решения задачи Стечкина для различных значений т, п в пространствах С и Ьр рассматривается в [3] на прямой и в [14] на прямой и полупрямой.

В [13] исследуется неравенство Колмогорова для общего случая. Вы-иисано условие для конечности константы в неравенстве Колмогорова.

В [15] задача Стечкина решена для пространств X = ¿2[0,оо) и У = С[0,оо) при всех 0 ^ ш, п, М = {у: \\у\\ь2 ^ р}- Найден наилучший приближающий оператор.

В [39] решена задача Стечкина для пространств X = ¿2(-оо,оо) и У = С(-оо,оо) при всех 0 ^ т, п, М = {у: \\у\\ь2 ^ р}- Найден наилучший приближающий оператор.

Задача Стечкина для оператора дробного дифференцирования, действующего на полупрямой, рассматривалась в [46].

Обзор по задаче Стечкина для неограниченных операторов и, в частности, для операторов дифференцирования в пространствах С и Ьр, можно найти в [1].

Конечно, более трудной задачей является получение точных (неулуч-шаемых) оценок погрешности, а также построение оптимальных на классах или в точке алгоритмов.

Определение В.4. Метод (оператор) Щ: У -»■ X называется оптимальным на классе М для задачи (В.1); если он реализует нижнюю грань в (В.5), т.е. его погрешность совпадает с величиной

Будем называть Щ оптимальным регуляризатором.

Определение В.5. Оператор Щ называется оптимальным по порядку, если для некоторой константы выполняется неравенство

7¡(Т; Д; М)

-щщ * 0 < (в'7) где С? = 1 соответствует оптимальному алгоритму.

Известны немногочисленные случаи конструктивного построения оптимальных методов для задачи дифференцирования (В.З) на классах равномерной регуляризации

М™'п = {у: у^еС(-оо,оо), Ыт+п)\\с < р], например, при значениях параметров т = 1, п = 1,2; т = 2, п = 1, [35], (см. подробности в §4 главы I).

Эти результаты могут быть получены как на основе известных оценок снизу [10] оптимальной погрешности через модуль непрерывности

П5(Т; М)>ы5(Т,М), и использовании неравенства Адамара-Колмогорова иЛс ^ кмг-ть, так и на основе связи задач (В.5), (В.6) и результатов, полученных для задачи Стечкина [35], [4].

Упомянутые выше оптимальные регуляризаторы являются конечно-разностными, следовательно, вполне конструктивными.

К сожалению, при тп+п^ 4 экстремальные операторы в задаче Стеч-кина являются уже бесконечно-разностными, что не позволяет говорить о конструктивности регуляризаторов, построенных на их основе.

Значительная часть диссертационной работы посвящена исследованию регуляризующего алгоритма для задачи (В.З) на основе метода средних функций

ЯМ()= / ^'^юМФ. (В 8) с гладкими усредняющими ядрами в). Этот метод был предложен в работе [8] для ш = 1, п = 1 и в частном случае были получены мажорантные оценки на классе. В работе [48] с аналогичных позиций был рассмотрен другой частный случай для т = 1, п = 2. В [45] рассматриваются интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами, в частности для регуляризации задачи (В.З) для т, п ^ 1 и для дробных производных (точнее, для решения уравнения Абеля); получены оптимальные по порядку оценки сверху и снизу для погрешности метода.

В диссертации существенно усиливаются и обобщаются эти результаты. При этом исследуется случай не только целочисленного, но и дробного дифференцирования. Более того, для некоторых троек {X, У, М}, получено точное значение величины погрешности л на классе. Кроме того, изучается задача построения оптимального регуляризатора в каждой точке конечного огрезка [а, Ь], что уточняет результаты работы [22], относящиеся к оптимальным на классе методам численного дифференцирования в пространстве С[а,Ь] при т = 1, п = 1.

Перейдём к более подробному изложению результатов настоящей работы.

В первой главе даётся материал, необходимый для изложения основных результатов диссертации. Приводятся определения и свойства усредняющих ядер, с помощью которых конструируются регуляризую-щие алгоритмы в задаче численного дифференцирования. Вводится понятие дробной производной и излагается примыкающий к этому соответствующий материал. Формулируется задача Стечкина об аппроксимации неограниченного оператора ограниченными и устанавливается её связь с задачей об оптимальном регуляризаторе (задачей Страхова, [37]).

Во второй главе исследован мегод средних функций с ядрами вида для регуляризации задачи (В.З).

В первом параграфе в пространстве С(—оо, оо) точно вычислена величина погрешности метода 75 для произвольных тип, при подходящей связи между а и 5 с р показана его оптимальность по порядку. Дан отрицательный ответ на вопрос о возможности построения оптимального регуляризатора для случая т = 1,п = 1 на основе метода средних функций с гладкими ядрами б) = саш((Ь — з)/а), и указан способ построения регуляризатора, сколь угодно близкого к оптимальному.

Во втором параграфе для пространств Ьр{—оо,оо) найдена оценка сверху величины погрешности метода 75 для всевозможных тип. Показана оптимальность по порядку найденной оценки. При определённом выборе пространств доказано, что эта оценка является точной.

В третьем параграфе рассмотрен метод средних функций для случая функции двух переменных и найдена оценка величины 7,5 для смешанной производной.

В четвёртом параграфе построен регуляризатор на основе метода средних функций для задачи численного дифференцирования функции, заданной на отрезке. Найдена величина 75 для пространства С[а, 6] при связи п = т + 1.

В третьей главе исследован случай дробной производной. Для всей числовой оси применялся метод средних функций, а для отрезка — метод Тихонова.

В четвёртой главе приведены примеры реализации метода средних функций для случая одной переменной, а также приведены результаты, полученные методом Тихонова с регуляризатором на основе дробной производной для одномерных и двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

Основные результаты данной диссертации опубликованы в [30], [31], [33], а также в тезисах [28], [29] и [32].

1. Арестов В.В. Приближение неограниченых операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. -1996. - Т. 51, вып. 6. - С. 89-124.

2. Арестов В.В. О наилучшем приближении операторов дифференцирования // Матем. заметки. 1967. - Т. 1, № 2. - С. 149-154.

3. Арестов В.В. О наилучшем равномерном приближении операторов дифференцирования // Матем. заметки. 1969. - Т. 5, № 3. - С. 273284.

4. Арестов В.В., Габушин В.Н. Наилучшее приближение неограниченых операторов ограниченными // Изв. вузов. Матем. 1995. - № 11. - С. 44-46.

5. Бердышев В.И. Наилучшее приближение в Ь0, оо) оператора дифференцирования // Матем. заметки. 1971. - Т. 9, № 5. - С. 477-481.

6. Буслаев А.П. О приближении оператора дифференцирования // Матем. заметки. 1981. - Т. 25, № 5. - С. 731-742.

7. Васин В.В. Регуляризация задачи численного дифференцирования // Матем. зап. Уральский ун-т. 1969. - Т. 7, № 2. - С. 29-33.

8. Васин В.В. Об устойчивом вычислении производной в пространстве С(-оо, оо) // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. - Т. 13, № 6.- С. 1383-1389.

9. Васин В.В. Оптимальные методы вычисления значений неограниченных операторов. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1977, препринт 77-59 - 17 с.

10. Васин В.В. Методы решения неустойчивых задач. Свердловск: Ур-Гу, 1989. - 94 с.

11. Васин В.В. Аппроксимация негладких решений линейных некорректных задач // Сборник трудов Ин-та матем. и механ. «Динамические системы: моделирование, оптимизация и управление» 2006.- Т. 12, № 1. С. 64-77.

12. Габушин В.Н. Оптимальные методы вычисления значений оператора Их, если х задано с погрешностью. Дифференцирование функций, определённых с ошибкой // Тр. МИАН СССР. 1980. - Т. 145.- С. 63-78.

13. Габушин В.Н. Неравенства для норм функции и её производных в метриках Ьр// Матем. заметки. 1967. - Т. 1, № 3. - С. 291-298.

14. Габушин В.Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования в метрике Ьр // Матем. заметки. 1972. - Т. 12, № 5. -С. 531-538.

15. Габушин В.Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования на полупрямой // Матем. заметки. 1969. - Т. 6, № 5. -С. 573-582.

16. Грабарь Л.П. Применение полиномов Чебышева, ортонормирован-ных на системе равноотстящих точек, для численного дифференцирования //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1967. - Т. 7, № 6. -С. 1375-1379.

17. Демидович В.Б. Восстановление функции и её производных по экспериментальной информации //В кн.: Вычисл. методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1967. - вып. 8. - С. 96-102.

18. Долгополова Т.Ф., Иванов В.К. О численном дифференцировании // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1966. - Т. 6, № 3. - С. 570-576.

19. Долгополова Т.Ф. Конечномерная регуляризация при численном диффенецировании периодических функций // Матем. записки Урал, ун-та. 1970. - Т. 7, тетр. 4. - С. 27-33.

20. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: «Мир», 1965.

21. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

22. Колпакова Э.В., Колпаков В.И. Восстановление математических объектов по неполно заданной информации. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1995. - 136 с.

23. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - 91 с.

24. Морозов В.А. О задаче дифференцирования и некоторых алгоритмах приближения экспериментальной информации //В сб.: Вычислит. методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1970. - Т. 14 -С. 46-62.

25. Рамм А.Г. О численном дифференцировании // Изв. вузов. Математика. 1968. - № 11. - С. 131-134.

26. Савёлова Т.И. Об устойчивом дифференцировании функций //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1980. - Т. 20, № 2. - С. 501-505.

27. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

28. Скорик Г.Г. К вопросу об оптимальности метода средних функций в задаче дифференцирования // Алгоритмический анализ некорректных задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. 2-6 фев. 1998 г. Екатеринбург, 1998. - С. 237-238.

29. Скорик Г.Г. Об оптимальных в точке методах аппроксимации производных зашумленной функции // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. конф. 2-6 фев. 2004 г. Екатеринбург, 2004. - С. 67-68.

30. Скорик Г.Г. К вопросу о точной оценке погрешности метода средних функций в задаче дифференцирования // Изв. Урал. гос. ун-та. -2004. № 30. - С. 138-156.

31. Скорик Г.Г. О наилучшей оценке погрешности метода усредняющих ядер в задаче дифференцирования зашумлённой функции // Изв. вузов. Математика. 2004. - № 3. - С. 76-80.

32. Скорик Г.Г. Об оптимальности метода средних функций в задаче численного дифференцирования // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Регион, молодеж. конф. 30 янв. -3 фев. 2006 г. Екатеринбург, 2006. - С. 146-150.

33. Скорик Г.Г. Оценка погрешности метода средних функций в задаче численного дифференцирования зашумленной функции // Изв. вузов. Математика. 2006. - № 2. - С. 35-41.

34. Соболев С.Jl. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: изд-во СО АН СССР, 1962.- 255 с.

35. Стечкин С.Б. Наиучшее приближение линейных операторов // Ма-тем. заметки. 1967. - Т. 1, № 2. - С. 137-148.

36. Стечкин С.Б. Неравенства между нормами производных произвольной функции // Acta Sei. Math. 1965. - Т. 26, № 3-4. - С. 225-230.

37. Страхов В.Н. Теория приюлиженного решения линейных некорро-ектных задач в гильбертовом пространстве и ее использование в разведочной геофизике // Изв. АН СССР. Физика земли. 1969. - № 8.- С. 50-53; № 9. С. 64-96.

38. Субботин Ю.Н., Тайков JI.B. Наилучшее приближение оператора дифференцирования в пространстве ¿2 // Матем. заметки. 1968.- Т. 3, № 2. С. 257-264.

39. Тайков JI.B. Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования // Матем. заметки. 1968. - Т. 4, № 2. - С. 233-238.

40. Тимошин O.A. Наилучшее приближение оператора второй смешанной производной в метриках L и С на плоскости // Матем. заметки.- 1984. Т. 36, № 3. - С. 369-375.

41. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М: Наука, 1974. 224 с.

42. Тихонов А.Н., Морозов В.А. Методы регуляризации некорректно поставленных задач // Сер. Вычислительные методы и программирование. М. :Изд-во МГУ, 1981. - Вып. 35. - С. 3-34.

43. Хромова Г.В. О дифференцировании функций, заданных с погрешностью // Диф. уравнения и теория функций. Саратов- Изд-во Сарат. ун-та, 1984. - Вып. 6. - С. 53-58.

44. Хромова Г.В. О модулях непрерывности неограниченных операторов // Изв. вузов. Математика. 2006. - № 9. - С. 71-78.

45. Шишкова Е.В. Интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами и их применение в некорректно поставленных задачах // Дисс. . канд. физ.-матем. наук. Саратов, 2006.

46. Arestov V.V. Inequalites for fractional derivatives on the half-line // Approxim. Theory.- Warsaw: PWN-Pol. Sci. Publ, 1979. V. 4. - P. 1934.

47. Cullum J. Numerical differention and regularization // SIAM J. Numer. Anal. 1971. - V. 8, № 2. - P. 254-265.

48. Groetch C.W. Optimal order of accuracy in Vasin's Method for differentiation of noisy functions //J. Optimiz. Theory. Appl. 1992. -V. 74, № 2. - P. 373-378.