Оптимальное восстановление операторов мультипликаторного типа и решения волнового уравнения по неточным начальным данным тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

Выск Наталия Дмитриевна

ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ МУЛЬТИПЛИКАТОРНОГО ТИПА И РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ПО НЕТОЧНЫМ НАЧАЛЬНЫМ ДАННЫМ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003460966

Москва - 2009

003460966

Работа выполнена на кафедре "Высшая математика"МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор К.Ю. Осипенко.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Г.Г. Магарил-Ильяев,

кандидат физико-математических наук, доцент А.С. Кочуров.

Ведущая организация: Московский государственный

геологоразведочный университет им. Орджоникидзе.

Защита диссертации состоится 03 марта 2009 г. в 17 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117923, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117419, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы

При решении многих задач математической физики и особенно при их численной реализации естественным образом возникают задачи, связанные с дискретизацией функций, восстановлением функций, функционалов или операторов от них по некоторой неполной и неточной информации о функции. Такого рода задачи, интенсивно изучающиеся в последнее время (особенно в связи с развитием компьютерной техники) составляют новое направление, получившее название — оптимальное восстановление. Круг исследуемых в этой области проблем содержит такие важные задачи, как построение оптимальных методов восстановления функций, заданных точно или приближенно в конечном числе точек, построение оптимальных квадратурных формул, восстановление производных (численное дифференцирование), выбор оптимальным образом информации, которую необходимо знать о функции, чтобы с наименьшей погрешностью восстановить ее, аппроксимация функции по ее приближенным коэффициентам Фурье или преобразованию Фурье и др.

Если при классическом подходе, как правило, задаются средства приближения (алгебраические или тригонометрические полиномы, рациональные функции, сплайны, вейвлеты и др.), то в задачах оптимального восстановления вид метода восстановления заранее не фиксируется — он ищется среди всевозможных методов (алгоритмов), использующих значения аппроксимируемой функции. Важность такой постановки обусловлена тем, что при фиксированной информации выбирается наилучший способ приближения функции или функционала (в общем случае — оператора).

Цель работы

Цель диссертационной работы состояла в получении оптимальных методов восстановления решения для уравнений в частных производных гиперболического типа. Для достижения указанной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Найти способ построения оптимального метода восстановления линейного оператора <3: X /2 мультипликаторного типа, заданного равенством

<2х - {щхигцхг,...), з

в случае, когда последовательность ^ = г)? не является монотонной, по известным значениям N компонент, заданных в погрешностью в метрике /2.

1

2. Решить ту же задачу, если погрешность задается в равномерной метрике.

3. Применить полученные результаты для определения оптимального метода восстановления решения однородного и неоднородного одномерного волнового уравнения с различными типами начальных условий.

4. Найти оптимальные методы восстановления решения обобщенного волнового уравнения на [й - 1)-мерной сфере и в ¿-мерном шаре.

Научная новизна

Научная новизна работы заключается в том, что предложены оптимальные методы восстановления операторов мультипликаторного типа в случае, когда коэффициенты мультипликатора и коэффициенты в ограничениях не являются монотонными. Это потребовало построения новых методов поиска оптимального метода восстановления.

Практическая ценность

Практическая ценность работы состоит в том, что найдены оптимальные методы восстановления решения волнового уравнения по неточным начальным данным, заданным с погрешностью в метрике ¡2 и в равномерной метрике. Кроме того, показано, что для построения оптимального метода восстановления решения достаточно знать ограниченное количество приближенных значений начальных данных. Установлена связь между погрешностью в исходных данных и объемом полезной информации, используемой в оптимальном методе восстановления.

Апробация работы и публикации

По материалам диссертации опубликовано 5 работ [1-5].

Основные положения работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

• Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2006 г.;

• Международной конференции ЕРСоИА2007, Москва, 2007 г-;

• 3-й Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", Москва, 2008 г.;

• научном семинаре кафедры "Высшая математика"МАТИ-РГТУ им. К.Э.Циолковского

• научном семинаре кафедры "Общие проблемы управления" механико-математического факультета МГУ;

• научном семинаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 78 страниц. Список литературы содержит 19 наименований.

Краткое содержание работы

В 1-й главе рассматривается общая постановка задачи восстановления линейного оператора и приводится ряд предварительных сведений об обобщенном решении гиперболических уравнений.

Во 2-й главе строятся оптимальные методы восстановления решения обобщенного волнового уравнения и одномерного волнового уравнения по неточным начальным данным, заданным с погрешностью в метрике ¡2 и в равномерной метрике.

В 3-й главе получены оптимальные методы восстановления решения обобщенного волнового уравнения на (с! — 1)-мерной сфере и в (¿-мерном шаре.

В 1-й главе рассматривается общая постановка задачи оптимального восстановления линейного оператора; для векторного пространства X, нормированного пространства 2 и оператора Т требуется восстановить значения Т на некотором множестве IV С X по неточной информации о каждом элементе г € И', задаваемой с помощью некоторого информационного отображения 1(х), вообще говоря, многозначного, из № в векторное пространство У. Даются определения понятий погрешности восстановления для данного метода ¡р, погрешности оптимального восстановления и оптимального метода восстановления. Описывается метод построения оптимального восстановления линейного оператора по информации, заданной с погрешностью, разработанный в работах Г.Г.Магарил-Ильяева и К.Ю.Осипенко. Формулируются следствия из этих работ для задач восстановления некоторых линейных операторов.

Определяется такое понятие, как обобщенное решение гиперболического уравнения в частных производных.

Во 2-й главе строится метод оптимального восстановления решения обобщенного волнового уравнения для начальных данных, задаваемых функциями из Ьг.

Пусть D — некоторая ограниченная область n-мерного пространства R„■ Рассмотрим в (п 4- 1)-мерном пространстве Д„+1 = Rn х {-оо < t < +00} ограниченный цилиндр QT = {х е D, 0 < t < Т} с боковой поверхностью Гу = {х е 3D, 0 < t < Т}. Обозначим Д. = {х £ D, t = г} сечение этого цилиндра плоскостью t = т, 0 < г < Г. В частности, Do— нижнее основание цилиндра, jОт— его верхнее основание.

Рассмотрим в цилиндре <2г однородное гиперболическое уравнение

(1) Utt - div(k(x) Vu) + а(х)и = О,

где к(х) е Cl{D), а(х) е C(D), к(х) >к0 = const > 0, с начальными условиями

(2) w|t=o = /> где f(x) е L2(D),

(3) Ч=о = 0

и граничным условием

(4) м|Гг=0.

Пусть vi(ж),^(ж),.. ■ — ортонормированная в L2(D) система обобщенных собственных функций первой краевой задачи

(5) div(A;Vi>) - av = Xv, х 6 D, v\D = О,

a At, Аг,. •. — последовательность соответствующих собственных значений. Тогда vl(x),v2(x),... — ортонормированный базис в Li{D), А* -)■ -оо при к оо, и при а(х) =0 0 > Aj > Аг > .... Разложим f{x) в ряд Фурье по системе Vi(x), vi(x),... :

00 00

f(x) = £ Шх), h = (/, «»)!.№). £ Л2 = ll/llliD)-*=1 к=1

Тогда обобщенное решение первой смешанной задачи (1) — (4) имеет вид:

00

(6) u(x,t) = ^Uk(t)vk(x),

к=1

где

Uk(t) = Acos^i,

U:(t) = Д.

При этом функция u(x,t) € #'(Qt)■ Предположим, что f(x) е W2(D), где

WHD) = {/(х) € Lt{D) : f>IA|2 < 1, 7* > 0}.

к=\

Будем считать, что нам известны приближенные значения первых N коэффициентов Фурье функции /, причем погрешность задания этих коэффициентов определяется условием

(7) ¿ll/t-ytllil(D,<ia. «>о.

к=1

Поставим задачу поиска оптимального метода восстановления решения задачи (1) — (4) в момент времени Т на классе IV27(£)) по информационному оператору Ff, который каждой функции /(■) 6 W27(D) сопоставляет множество векторов у = (yi удовлетворяющих условию (7).

В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные операторы ¡р: RN —> L2(D). Погрешностью восстановления для данного метода ip назовем величину

sup \\и(х,Т) — v(y)(l)'|i2(D)-

/(x)eM(Dl 1г=(и,...,»)еля Zf,! ЫЛ-к I3 а1

Величина

Е(Т, = Ы е(Г, 1ОД,

у.

называется погрешностью оптимального восстановления,. а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления.

Рассмотрим вначале общую задачу оптимального восстановления некоторого линейного оператора мультипликаторного типа X ¿2, заданного равенством

С}х = (ц!],»,...), ] 6 N.

где х = [хъх2,.. •) 6 X, а

V, > 0,1 € N. Положим = и будем предполагать, что ^lj¡Vj -* 0 при ] -> оо. Тогда при всех С}х £ 12. Нас интересует задача

восстановления оператора С} по приближенным значениям первых N компонент хц-

Перейдем к точной постановке задачи. Положим

Будем считать, что для каждого х б нам известен вектор у = (1/1,...,Ы такой, что

Р*

/А \1/2

(здесь 1цх = (х\,..., хк}). В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения —> к- Погрешность восстановления для данного метода ¡р определяется равенством

е(<3, 1ц, 5, <р) = вир ||фг - <р(у) ||,г. Погрешностью оптимального восстановления называется величина

а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления оператора <3 на классе IV по информации 1ц, заданной с погрешностью в норме ■

Предположим, что щ < ... < иК, < 1>г,г+2 < ... и

Ит,_>+00= 0. Обозначим через е^, з = 1,2,..., — стандартный базис в ¿2

Введем следующие обозначения

А= тах —, В = тах—. 1<><« Vj ц

Пусть l<p<N,q>Nиp<r<N таковы, что

Иг. = А, — = Б, Цг-Вчг = тах (^ - ВиЛ

ир Vя ^ Р<У<ЛГ 31

(для однозначности будем считать, что р — наибольшее, а ? и г — наименьшие из чисел, обладающих соответствующим свойством). Пусть, кроме того, 3/ь+1 — наибольшее из чисел таких, что < <г и

" ^ = тах Л = 0,1,... ,т — 1,

где в0 = р, вт = г.

Начнем с одного вспомогательного результата, описывающего свойства последовательностей и

Лемма 1. Последовательности

ГМ и -/*.>) КЛ I "п+1 - /

строго монотонно убывают и при всех 1 < ] < а к (8) ~ ^ > ~

Положим

I Ч - ".Л

Теорема 1. Яри В > А для всех 6 > О

V ^

о метод ф(у) = 0 — оптимальный. Если В < А, то (г) при & > —^

а метод ф(у) = 0 — оптимальный; (п) при <6< ——, к = 0,1,..., т - 1,

, „ 1 - ¿X

Я«, Ж, /я, 5) = _ „ +

а метод

— оптимальный; (ш) при 6 < —=

а метод

Ш = £ т (1 + ^ ул

— оптимальный.

Далее полученный результат используется для поиска оптимального метода восстановления решения обобщенного волнового уравнения (1) — (4). Вводятся обозначения:

. cos2 y/-\kt cos2 J-Xst

A = max -----—,

i<*<w 7* Ъ

„ cos2 %/-Att cos2 J-ХЛ В = max-----—,

k>N 7fc 7,

r : cos2 \/-Art - Byr = max (cos2 y/-Xkt - ВуЛ,

p<k<N

и доказывается

Теорема 2. При В > А для всех S > О

E(T,Wi(D),Fn=]C°S^tl,

v7a

а метод ф(у) = 0 — оптимальный. Если В < А, то (г) при 5 >

V%

ъ

а метод ф(у) = 0 — оптимальный;

(»») при< 5 < / = 0,1,...,ш-1, V 'Ji+i у

cos^

.с +cos, fj^tlzfT*.,

J4+1 7»i 7ji+I 7JJ

а метод

Ш =

cos ^ + ^ cog _ ^ сод2

— оптимальный; (Ш) при 6 < ——

Vbr

Е(Т, W](D), Ff) = cos2 yf^t + cos2 y^il— у 7?

о метод

${у) =

£ СО. f 1 + ) " ykVk[x)

V Ъ cos2 v-Aft - 7r cos2 v/-A,i )

— оптимальный.

Полученные результаты применяются к решению задач оптимального восстановления решения волнового уравнения с нулевыми граничными условиями и нулевой начальной скоростью

Пи = ихх, u(0,i) = u(7T,i) = 0,

t; «M ) = /(*),

ut(x,0) = 0;

волнового уравнения с нулевыми граничными условиями, нулевой начальной формой струны и ненулевой начальной скоростью:

«ti = "ni

u(0,i) = u(7r,i) = 0, 1 1 u(x, 0) = 0,

ut(x,0) = /(s);

неоднородного волнового уравнения с нулевыми начальными и граничными условиями и стационарной неоднородностью:

«и = «IX + 9 (г),

u(i,0) = 0,

«¡(г, 0) = 0.

Далее рассматривается задача оптимального восстановления решения волнового уравнения с погрешностью, заданной в равномерной метрике. Предполагается, что для каждого х eW нам известен вектор у = (jii,...,улг) такой, что

\xj-Vj\<Sj, i = 1.....JV-

В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения tp: ->■ h- Погрешность восстановления для данного метода <р определяется равенством

e(Q,W,IN,5,<p) = sup ||Ф-*>(») ||h xew, y&S, l*j-Vi№ i=1.--.Д

(здесь 6= (5l,...,6n),inx= (х\,...,хц))-

Погрешностью оптимального восстановления называется величина

(12) E(QtW,Iy,S)= inf e(Q,WJN, 6,?),

а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления оператора Q на классе W по информации In, заданной с погрешностью в норме Пусть Uj монотонно возрастает,

lim и, = +оо, Jim aJvi — 0.

j-f+OO ' ;->+«.■" 3

Без ограничения общности можно считать, что

Е± > El > > El

V\ ~ Vi ~ "' - vN

(этого можно добиться соответствующей перенумеровкой). Пусть д > N таково, что

N Н ^ = тах^.

Ug }>N Vj

Если v,6\ < 1 и — >

Vl Vq

положим

p0 = p0(i) = maJp:V^<l, & > 1<р<А

1 j=i "Р J

в противном случае считаем, что ро = 0. Положим

Теорема 3. Имеет место равенство

(13) E{Q,W,IN,6) =. при этом метод

(14)

<р(у) =

Р О / \

является оптимальным.

Полученный результат применяется для построения оптимального метода восстановления решения уравнений (9)-(11).

Результат теоремы 1 используется для решения задачи оптимального восстановления к-й производной функции из следующих классов:

1) Соболевский класс И^(Т), состоящий из 2тг - периодических функций, у которых (г - 1)-я производная абсолютно непрерывна

и1|*(г)(0ИъГО<1-

2) Класс Харди-Соболева Т) — множество 2к - периодических функций я(-), аналитически продолжаемых в полосу Sg = {z е С : < /3} и удовлетворяющих условию

ll^Oll^m ^ 1.

где H^il) — пространство Харди 27г-периодических функций х(-), аналитически продолжаемых в полосу Sp и удовлетворяющих условию

IM-)llwJ(T) = MP f (\x(t + ip)|2 + |x(t - ip)\2)dtj ' < oo.

3) Класс Бергмана-Соболева A!f(T)— множество 2n - периодических функций x(-), аналитически продолжаемых в полосу Sp и удовлетворяющих условию

ll*(r)(-)ILfm < 1.

Здесь (Т) — пространство Бергмана 27г-периодических функций z('), аналитически продолжаемых в полосу Sp и удовлетворяющих условию

/ 1 " V"

llx(') 1Цт = ^¿р Idt /1*(* +г» <

Оптимальный метод восстановления строится по информации l]N+l, заключающейся в том, что нам известны числа {Уj}|j[<ЛГ такие, что для коэффициентов Фурье {xj}\j\<n функции х(-)

Ы<лг

или по информации Is, если мы располагаем числами {l/j}jez такими, что для коэффициентов Фурье функции х(-)

JSZ

Оператор дифференцирования обозначается через Dk. В качестве метода восстановления допускается любое отображение ip :

Погрешностью этого метода назовем величину e(Dk,W,ltN+\<p)= sup Р>**(.)" P(¥)(-)IU,ro

x(-)ew, ye la

в случае, если задана информация или

х(-)£УУ, у&г

если задана информация Ц.

Соответственно погрешность оптимального восстановления определяется как

или

= цЦ е(&М,<р). Ч>: !з-»£2(Т)

Обозначим Ц] =

[рщш, \у = АУ( Т).

-1 _1 Найдем при < 6 < V, 2(Ш), в > 1, такое Ао, что

Тогда справедлива следующая Теорема 4. При <6< г > 1, метод

где {е^'Узег — ортогональный базис в соответствующем функциональном пространстве, является оптимальным.

Таким образом, для оптимального метода восстановления можно использовать только значения У] 6 [-N0, Л'о], то есть ограничиться только частью исходной информации.

В 3-й главе получены оптимальные методы восстановления решения обобщенного волнового уравнения на единичной сфере в семерном пространстве:

Б*"1 = {% 6 Г*: |х| = 1}.

Рассмотрим обобщенное волновое уравнение с нулевой начальной скоростью

«* + (-Дя)о/2и = О, (15) «1«, = /,

«(¡1=о = О,

где / е

Здесь Д5У — сферический лапласиан или оператор Лапласа-Белътрами\

Д 3У(х1) = А У , х> е в""1;

оператор (—Д5)а/2 определяется следующим образом:

оо ш

(-д =

к=1 ¿=1 оо ок

где Л* = к(к + с! - 2) — собственные числа оператора Лапдаса-Бельтрами на сфере, У}к\ к = 0,1,..., 3 = 1,..., ак, — система однородных сферических гармоник (к — степень многочлена У}к\ а* — размерность пространства сферических гармоник степени к), которая является ортонормированным базисом в Начальное условие понимается здесь в следующем смысле:

lim t—>о

J \u{x',t) — f(x')\2dx' = 0.

Решение этой задачи имеет вид

(16) и(х>, t)=f; f; су cos A°/4tr/) (i/),

*=1 ¿=1

где

*=1 j=1

Будем считать, что нам известны приближенные значения первых N коэффициентов Фурье функции /(х) yi,. Уп, причем

fco—1 fco fco-1

fc=i t=i fc=i

При этом

«:=i J=i j=i

Поставим задачу поиска оптимального метода восстановления решения задачи (15) в момент времени г на классе

WH&-1) = {/ 6 : ||(-Д^2/[к(з<->) < О

по информационному оператору Рр, который каждой функции /(х) € (Б11-1) сопоставляет множество векторов у = ..., у к), удовлетворяющих условию (17).

В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные операторы <р\ Iм —» Ь2(§л~1). Погрешностью восстановления для данного метода <р назовем величину

вир И-, г) -ч>Ш\ы&-1)-

ЕЙ.!1 Е& М/)-«1а+Е?.1 К-иМ-й!'«*1 Величина

Е(т, а, ^УЦВ*-1), Р?) = я Ы е(т, а, И^'"1), Р?, <р)

называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления. Положим

с082Л°/47- с052Л?/4т

А = max

I ьиэ ilp

liicul — ----3--— -7Г--

а£ л?

cos2A?/4r cos2A,°/4t В = max ---------—

шал ~ — д .

*>*« л£ л?

г определяется из условия

cos2Лг^т - ВА? = max (cos2 Л?/4г - ВЛ£), r r p<k<ko *

последовательность sj определяется равенствами

cos2Af/>-cos2Af/4t cos2A°/4r-cos2A°/4r -г-s-max д « «

•i+i - Л?, Af-Af,

/ = 0, l,...,m -1,

где s0 = p, sm - t, a

¿ = 0

Тогда из теоремы 1 вытекает

/ = 0,... ,m — 1,

Теорема 5. При В > А для всех 6 > О

Е(т,а, УУ?^-1)^?) = |со3Л°/4т| /д/Х?,

и ¡р{у) = 0. Если В < А, то

(г) при 6 > ——= и £(у) = О,

(¿¿) при . < б < ,-, г = 0,1.....7П

Г^а.ВД"-1),-^)

£(у) =

§ % 008 * + Л?,+1С082ЛЬ-Л?,С082Л|+1<Л;') ^ )

1

(ггг) при 5 <

у/Я

Е(т, а, УУ^З"-1), = ./соз2 Л?/4< Р + соэ2 Л?/4<- 52Л'

Л« ' =

Аналогичным образом найдены оптимальные методы восстановления для обобщенного волнового уравнения с нулевым начальным значением и и ненулевой начальной скоростью

и« + (-Д5Г/2Ч = 0,

(18) и|«=о = 0,

и»|»=о = /;

и для обобщенного волнового уравнения с погрешностью, заданной в равномерной метрике.

Получен оптимальный метод восстановления решения обобщенного волнового уравнения в ¿-мерном шаре В*. Функции Бесселя

первого рода р-го порядка Jp(x) являются собственными функциями оператора Лапласа, равными нулю на отвечающими собственным значениям -(/^')2, где рф —а-й корень функции Бесселя Jp. Тогда ортонормированным базисом в L2(Bd) является система функций

W*) = Jf—П-Zk,j{x),

где

= * = 0,1,..., а = 1,2,..., ; = 1,..., at.

Здесь fiР — s-й корень функции Бесселя Jp.

Пусть / е Требуется найти функцию u(x,t), удовлетво-

ряющую уравнению

(19) utt + {-A)at2u = О с начальными условиями

(20) им=/: «(|t=o = 0

и граничным условием

U|s<(-i = 0.

Точное решение этой задачи имеет вид

оо оо а h

(21) «(яг) = ¿2£ Ё^ cos {{^Т'Н) Yksj{x),

*=0 а=1 3=1

где Cjtaj — коэффициенты Фурье функции /.

Поставим задачу оптимального восстановления решения уравнения (19) в момент времени г по неточно заданному набору коэффициентов Фурье функции / на соболевском классе И'/(Вй), определяемом как множество функций / е ¿2(Bd), для которых

l|(-As)^/l|W < 1.

Будем считать, что нам известны приближенные значения N коэффициентов Фурье функции f(x) y^j € YN такие, что s < s0, к < к0. При этом для некоторых фиксированных s и к могут быть известны все приближенные значения коэффициентов Фурье для j = 1,..., а*, а для других s и к известна только часть приближенных значений коэффициентов. Доказана следующая

Теорема 6. При В >А для всех 5 > О

и <р(у) = 0.

Если В < А, то а)пРиб>-±=

Е(т,а,\У2( = Ж

V П

и ф(у) = О,

(Й) при < 6 < I = 0,1,...,771 — 1,

^и.Д2-1 , .о 1 ~ ¿У,

"г Я/тг

П|+1 ^1711+1 ^т;

<р(у) =

Е ¿со5((^)Г/4г) (1+ цУ

(¿¿г) при 5 <

уУг

_ . 1л и , .и 1 " ^"г

=

Е Е«»((лМ)в/4г) (х+^-А^)

-1

Основные результаты работы

В данной диссертационной работе получены оптимальные методы восстановления решения для уравнений в частных производных гиперболического типа. Основные результаты работы:

1. Найден способ построения оптимального метода восстановления линейного оператора С}\ XГ -¥ /г, заданного равенством

С}х = {тцхъ тй®2,...), 3 6 К,

где

X = |ж = : |Ми = (|>Ы2) < °°}>

в случае, когда последовательности = и г/3- не являются монотонными, по известным значениям N компонент, заданных с погрешностью в метрике ¿2,

2. Решена та же задача, если погрешность задается в равномерной метрике.

3. Установлена связь между погрешностью в исходных данных и объемом полезной информации, используемой в оптимальном методе.

4. Полученные результаты использованы для определения оптимального метода восстановления решения однородного и неоднородного одномерного волнового уравнения с различными типами начальных условий.

5. Найдены оптимальные методы восстановления решения обобщенного волнового уравнения на (d - 1)-мерной сфере и в d-мерном шаре.

Публикации

1. Выск Н.Д., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным. Матем. заметки, 2007, 81, вып. 6, с. 803-815.

2. Выск Н.Д. О решении волнового уравнения при неточно заданных коэффициентах Фурье функции, задающей начальную форму струны. Владикавказский матем. журнал, 2006, 8, вып. 4, с. 12-17.

3. Выск Н.Д. Об оптимальном восстановлении решения волнового уравнения по неточным начальным данным. Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Ростов-на-Дону, 2006, с. 221-222.

4. Vysk N. Optimal recovery of solutions of the wave equation from inaccurate, External Problems in Complex and Real Analysis, Albany, NY, 2007, 52 p.

5. Выск Н.Д. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным, заданным с погрешностью в равномерной норме. Тезисы докладов третьей международной конференции, посвященной 85-летию Л.Д. Кудрявцева, Москва, 2008, с.243-244.

Отпечатано в ООО «Компания Спутник+» ПД № 1-00007 от 25.09.2000 г. Подписано в печать 11.01.09. Тираж 70 экз. Усл. п.л. 1,12 Печать авторефератов: 730-47-74,778-45-60

Введение

Краткое содержание работы

Доклады и публикации

Глава 1. Общая постановка задачи восстановления и используемые результаты

1.1. Общая постановка задачи восстановления

1.2. Обобщенное решение волнового уравнения для начальных данных, задаваемых функциями из Ь

Глава 2. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным

2.1. Оптимальное восстановление линейного оператора мультипликаторного типа по неточным значениям первых N компонент

2.2. Оптимальное восстановление решения уравнения гиперболического типа с погрешностью, заданной в метрике

2.3. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения с погрешностью, заданной в равномерной метрике

2.4. Оптимальное восстановление производных функций по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью

Глава 3. Оптимальное восстановление решения многомерного уравнения гиперболического типа

3.1. Оптимальное восстановление решения обобщенного волнового уравнения на сфере

3.2. Оптимальное восстановление решения обобщенного волнового уравнения в шаре 75 Список литературы

При решении многих задач математической физики и особенно при их численной реализации естественным образом возникают задачи, связанные с дискретизацией функций, восстановлением функций, функционалов или операторов от них по некоторой неполной и неточной информации о функции. Такого рода задачи, интенсивно изучающиеся в последнее время (особенно в связи с развитием компьютерной техники) составляют новое направление, получившее название — оптимальное восстановление. Круг исследуемых в этой области проблем содержит такие важные задачи, как построение оптимальных методов восстановления функций, заданных точно или приближенно в конечном числе точек, построение оптимальных квадратурных формул, восстановление производных (численное дифференцирование), выбор оптимальным образом информации, которую необходимо знать о функции, чтобы с наименьшей погрешностью восстановить ее, аппроксимация функции по ее приближенным коэффициентам Фурье или преобразованию Фурье и др.

Первый этап теории приближений состоял в приближении индивидуаль-ных элементов некоторого множества с помощью элементов линейного подпространства, то есть в определении величины min lire — z\\, zeL 11 11 где x e X, X — нормированное пространство, L — аппроксимирующее подмножество X.

Теория приближений функций берет свое начало от работ П.Л. Чебышева. Он ввел одно из основных понятий теории — понятие наилучшего приближения функции полиномами, а именно: наилучшим приближением непрерывной функции / на отрезке [а,Ь] обобщенными полиномами вай(ж) в метрике С([а,Ь]) называется величина п

En(f)c = min ||/ - ^a^fc(:r)||c([a,b]), к=1 где cpi,.,(pn — некоторая система непрерывных на [а,Ь] линейно независимых функций, а минимум берется по всем числам ai,.,an. Полином, для которого достигается этот минимум, называется полиномом наилучшего приближения. В частности, Чебышев установил, что наилучшее приближение функции хп+1 на отрезке [—1,1] в метрике С([—1,1]) алгебраическими многочленами степени п равно 1/2", а многочлен наилучшего приближения таков, что для него п хп+1 - ^afc:cfc = (1/2)" cos(п + 1) arccosz. к=О

На следующем этапе теории приближений изучалось приближение на классе, то есть ставилась задача приблизить функцию из некоторого класса W функциями заданной системы L (например, многочленами), и определить величину sup min Ц/ — z\\. few zeL

Примерами таких задач являются приближение функции из соболевского класса W* многочленами степени не выше п, или

Eng{w;)= sup inf||/-P„|U?. f€W£ Pn

A.H. Колмогоров начал изучение задачи о нахождении при фиксированном п такой системы функций <pi ,.,срп, для которой наилучшие приближения функций заданного класса полиномами Y^k-i ahlPk{x) были бы наименьшими. В 1936 г. работой [2] был открыт новый этап исследований в теории приближений. В этой работе были определены аппроксимативные характеристики нового типа — поперечники. Поперечником называется величина, характеризующая уклонение множества в нормированном пространстве от некоторой системы объектов (как правило, конечномерных) при определенном методе приближения, а также величина, характеризующая точность восстановления элемента из данного множества:

Рч>(с>х) = lnf SUP II® - /(ж)11> где X ~ нормированное пространство с единичным шаром В, С С X — аппроксимируемое подмножество в X, А с X, — некоторая совокупность аппроксимирующих подмножеств, F(C, А) некоторая совокупность отображений / : С —У А, <р заданная совокупность отображений из аппроксимируемого в аппроксимирующее множество. В частности, поперечник по Колмогорову: dn(C,X) = iDf{d{C,LN,X)\LN е LinN(X)} = inf sup |]ж — .РЧяОН, F£F(C,LinN(X)) Х£С где Ыпк{Х) — совокупность подпространств X размерности < N, Т{С1Ып^{Х)) — совокупность всех отображений F из С во всевозможные линейные подпространства Ljy G Ып^(Х).

Идея поиска самого лучшего поперечника лежит в основе задачи, сформулированной С.А.Смоляком [3]. С.А.Смоляк рассматривал вопросы оптимального восстановления линейного функционала L на некотором множестве W линейного пространства X по значениям линейных функционалов 1г,., 1п. Положим для х E.W

Ix := (kx,., lnx).

Оператор / : W -> Кп, где К = R или С, называется информационным оператором. Величина e(L,W,I) := inf sup \Lx - S(Ix)\

S:Kn-±K xeW называется погрешностью оптимального восстановления функционала L на множестве W. Всякий метод So, для которого sup \Lx-S(Ix)\ =e{L,W,I), xew называется оптимальным методом восстановления. В [3] было доказано, что в вещественном случае для выпуклого и центрально-симетричного множества W среди оптимальных методов восстановления существует линейный и имеет место равенство e(L,W,I) = sup \Lx\. xew Ix=0

С работами, посвященными исследованию задач восстановления на классах гладких функций, можно познакомиться по статье [4] и монографии [5].

Дальнейшее развитие теории оптимального восстановления связано с работами В.М. Тихомирова, Г.Г. Магарил-Ильяева и К.Ю. Осипенко. Ими разработан единый подход к решению задач оптимального восстановления, использующий принцип Лагранжа.

Была показана связь задачи опимального восстановления значения линейного функционала х' на классе С, принадлежащем линейному пространству X, по информации у = Fx, где F : С —» Y — линейный оператор из X в другое линейное пространство Y, то есть задачи определения погрешности оптимального восстановления

E(x',C,F)= inf sup | (а;', ж) — ip(Fx)\ с выпуклой экстремальной задачей

Re(rr', х) —> max, Fx = 0, х е С.

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид х, А, А0) = AoRe^',:!;) + Re(A,Fx), где А0 < 0 и А £ Y' (У — алгебраически сопряженное к У) — множители Лагранжа. В [6] доказана следующая теорема:

Теорема 1 (Принцип Лагранжа для задач восстановления). Пусть X и У — линейные пространства над Ж или С, С — выпуклое уравновешенное подмножество X и F : X —ь Y — линейный оператор. Тогда для того чтобы допустимая в рассматриваемой экстремальной задаче точка х была решением этой задачи, необходимо и достаточно, чтобы нашелся такой множитель Лаграноюа А е Y', что min£(a;, Л, —1) = С{х, А, —1). хЕС

При этом х — оптимальный метод восстановления и

E(x',C,F) = Re(x',x).

В [7], [8] разработан метод построения оптимального восстановления линейного оператора по информации, заданной с погрешностью (теорема 7, глава 1).

Краткое содержание работы

В 1-й главе рассматривается общая постановка задачи оптимального восстановления линейного оператора: для векторного про-странства X, нормированного пространства Z и оператора Т требуется восстановить значения Т на некотором множестве W с X по неточной информации о каждом элементе х е W, задаваемой с помощью некоторого информационного отображения 1(х), вообще говоря, многозначного, из W в векторное пространство Y. Даются определения понятий погрешности восстановления для данного метода <р, погрешности оптимального восстановления и оптимального метода восстановления. Описывается метод построения оптимального восстановления линейного оператора по информации, заданной с погрешностью, разработанный в работах Г.Г.Магарил-Ильяева и К.Ю.Осипенко. Формулируются следствия из этих работ для задач восстановления некоторых линейных операторов.

Определяется такое понятие, как обобщенное решение гиперболического уравнения в частных производных.

Во 2-й главе строится метод оптимального восстановления решения обобщенного волнового уравнения для начальных данных, задаваемых функциями из L2

Рассматривается общая задача оптимального восстановления некоторого линейного оператора мультипликаторного типа Q: X —У ^2) заданного равенством

Qx = (7]iX1,rj2X2, .), где х = (xi, гс2,.) € X, а

X = |ж= (жьж2,.) : ||®||* = ^^^l^'l2) < 00 }'

Vj > 0, хj е R, j g N. Пусть fij = г/J. Предполагется, что ^j/uj —> О при j —> оо. Тогда при всех х Е X Qx Е h- Требуется восстановить оператор Q по приближенным значениям первых N компонент Xi, . .,xN. Положим

W = {хеХ : < 1}

Будем считать, что для каждого х G W нам известен вектор у — (Уъ ■ ■ •, Vn) такой, что N \ 1/2 \\Inx ~ y\\i» = ( Y1 \xi -Уз?) ^ 5 здесь /дjx = (жх,. В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения <р: —>

Погрешность восстановления для данного метода у? определяется равенством e(Q, W,IN,6,(p) = sup \\Qx - tp(y)\\h. x€W, yel? WlNX-yW^^S

Погрешностью оптимального восстановления называется величина E(Q,W,In,6)= inf e(Q,W,IN,6,<p),

Ч>: -И2 а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления оператора Q на классе W по информации In, заданной с погрешностью в норме

Предположим, что l>i < . < им, uN+l < и^+г < . и Нт^^+оо Hjjvj = 0. Обозначим через ej, j = 1,2,., — стандартный базис в 12 k = .

Введем следующие обозначения л Из „ АЧ

A — max —, В = max—. l<j<N Vj j>N Vj

Пусть l<p<N,q>Nnp<r<N таковы, что = A, — = В, \ir-BvT = max - Buj).

Up Vq P<]<N

Пусть, кроме того, sfc+1 — наибольшее из чисел таких, что < Sk+l <г и Ы д max т - »sk к = 0,1,. ,т — 1, Vsk+l - Vsk °k<j<r Uj - VSk где s0 = p, sm = r. Положим к = 0,. ,m — 1,

I Vj uSk+l - u3k J

Jm = |jGNn[l,iV]:^>B|.

Теорема 2. При В > А для всех 8 > О

E(Q,W,IN,6) =

V V4 а метод ф(у) = 0 — оптимальный. Если В < А, то г) при 5 > —^ y/Vp

E(Q,W,IN,5) = V а метод ф(у) = 0 — оптимальный;

1 1 (и) при < S < , к = 0,1,., т — 1,

E(Q,W,IN,6) = J»Sk k+> v + /i<M,

V ^Jfc+l u*k uSk+\ ut>k а метод m=£«(i+„y ч)«* оптимальный; (Hi) при 5 <

E(Q, W, IN, 6) = x Lr6* + /i/ ^ у ия а метод m = £ m (i + -it*^?) ул

Jc«/m оптимальный.

Полученный результат используется для поиска оптимального метода восстановления решения обобщенного волнового уравнения.

Далее рассматривается задача оптимального восстановления решения волнового уравнения с погрешностью, заданной в равномерной метрике. Предполагается, что для каждого х Е W нам известен вектор у = (yi,., y?f) такой, что xj-yj\<Sj, j = 1, .,iV.

В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения <р: /2- Погрешность восстановления для данного метода (р определяется равенством e{Q, W, IN, S, (р) = sup \\Qx - y{y)\\h xew, xj-yj\<6j, j=l,.,N здесь 5 = (Si,., SN),INx = ., a^)).

Погрешностью оптимального восстановления называется величина

1) E(Q,W,In,6)= inf e(Q,WjN,S,v), ч>- tSo->12 а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления оператора Q на классе W по информации /дт, заданной с погрешностью в норме Пусть Uj монотонно возрастает, lim Uj — +оо, lim ш/и* = 0. j-++oo оо

Выбирается q > N такое, что цд uj = max—.

Vq j>N Uj

Если щ51

V\ Vq положим р0=р0(5) = тах{р:^2и$<1, 1<P<N),

I ,-=1 VV V4 J

3=1 в противном случае считаем, что ро — 0. Положим Я, qo =

Ро +1,

Теорема 3. Имеет место равенство

2) E(Q,W,fN,S) =

Vpo+l vq ~ UP0+1

Ei ^ Vpo+l

V4 ^po+l ро / \

ЯО j=1 \ Яо / при этом метод

РО / \

3) = j=1 \ "чоН-з/ является оптимальным.

Полученный результат применяется для построения оптимального метода восстановления решения одномерных волновых уравнений.

Результат теоремы 2 используется для решения задачи оптимального восстановления к-й производной функции из следующих классов:

1) Соболевский класс (Т), состоящий из 27г-периодических функций, у которых (г — 1)-я производная абсолютно непрерывна И ||®W(-)lk(D < 1.

2) Класс Харди- Соболева (Т) — множество 27Г-периодических функций х(-), аналитически продолжаемых в полосу Sp = {z е С : /3} и удовлетворяющих условию l|z(r)(-)lk(T) < 1. где %2(T) — пространство Харди 27г-периодических функций х(-), аналитически продолжаемых в полосу Sp и удовлетворяющих условию

1И-)И«£(Т) = f^ +г»I2 + - г»\2)d\ оо.

3) Класс Бергмана-Соболева — множество 2тг - периодических функций х(-), аналитически продолжаемых в полосу Sp и удовлетворяющих условию ll*(r)(-)IU(T) ^ L

Здесь Л? (Т) — пространство Бергмана 27г-периодических функций ж(-), аналитически продолжаемых в полосу Sp и удовлетворяющих условию р у/2

IK-)IUf(T)= \^fTdtJ № +

Оптимальный метод восстановления строится по информации I$N+1, заключающейся в том, что нам известны числа {yj}\j\<N такие, что для коэффициентов Фурье {xj}\j\<N функции х(-) или по информации Ig, если мы располагаем числами {yj}jez такими, что для коэффициентов Фурье {%j}jez функции х(-) jez

Оператор дифференцирования обозначается через Dk. В качестве метода восстановления допускается любое отображение уз : ► Ь2{ Т). Обозначим nj — j2k, j2 rf w = WZ(T),

J2r ch 2j/3, W = HT/{T), j2 rsh2M W = Ar/(T). I i

Найдем при vs+\(W) < 5 < vs 2{W), s > 1, такое iV0, что дг r, Hk V-S+1 — Ms

N0 = max{/c : — > -}. k Vs+l ~ Vs

Тогда справедлива следующая Теорема 4. При 1'7+(2(W) <5 < v7l,2(W), s > 1, метод ie[-JV0,JVb] 4 s+i ^+1 s/ является оптимальным.

Таким образом, для оптимального метода восстановления можно использовать только значения yj € [—7V0, Nq], то есть ограничиться только частью исходной информации.

В 3-й главе получены оптимальные методы восстановления решения обобщенного волнового уравнения на единичной сфере в d-мерном пространстве:

Sd1 = {xeRd: |z| = 1}.

Рассмотрим обобщенное волновое уравнение с нулевой начальной скоростью utt + (-As)a^u = 0,

4) u\t=0 = /, t|t=o = 0, где / G L2(Sd~l).

Здесь AsY — сферический лапласиан или оператор Лапласа-Бельтрами.

Решение этой задачи имеет вид оо ак

5) u(x',t) = sA£/4tlf V), fc=o j=i где система однородных сферических гармоник к =

0,1,., j = 1,., является ортонормированным базисом в Ak = к(к + d — 2) — собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на сфере, а оо ajfc fc=0 j=1

Будем считать, что нам известны приближенные значения первых N коэффициентов Фурье функции f(x) yi,.,yN, причем ко—1 ко ко—1

Еа* < N <Ea*> N = N-^ak. к—0 к=0 fc=0

При ЭТОМ fcp-1 ак N fc=o j=i j=i

Поставим задачу поиска оптимального метода восстановления решения задачи (4) в момент времени г на классе

S"-1) = {/ € Ы^-1) : ||(-A5)^/2/||L2(S<'-1) < 1, / X 1 } по информационному оператору Fg*, который каждой функции f(x) G Wf (Sd1) сопоставляет множество векторов у = (у1}., у^), удовлетворяющих условию (88).

В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные операторы <р: lN —> L2(Sd~1). Погрешностью восстановления для данного метода ip назовем величину eCr.a.WftS*-1),*/^) sup ||и(-,т) - ^(j/)||La(S"-i)enf (S'*-1), Al1 Zjii \ckj(/)-»,-l2+£f=1 К-1,ДЯ-ад12<<^

Величина

E(r, a, WHS*-1), FSN) = inf e(r, a, WjCS""1), FSN, <p) ip: 1% -+L2{Sd-1) называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления.

Положим cos2 Л ?/4т cos2 Л£/4т

А = max -/— —-£-, i<*<*o Aj Л£ cos2A?/4t cos2A°/4t

Б = max--ё— =-4-, o A* г определяется из условия cos2 Л°/4г - В A? = max (cos2 Л£/4т - BA%), p<k<ko последовательность si определяется равенствами cos2 Aaf+i т - cos2 Л?/4т cos2 A^4r — cos2 Л°/4т -5-a-— шах л n щ

S+i-A J si<k<r Af-Aj

I = 0,1,., m где s0 = p, sm = r, a J, . < * 6 N n [1 До] : fT >cos2 -cos; X-!'T

ЛI

I = 0,. ,m

I , X.T r, , 1 COS2 ttt^T „ 1

Jm = { A; G N П [1, k0] :-^->B\.

Тогда из теоремы 2 вытекает Теорема 5. При В > А для всех 5 > 0

B(T,a>w£(Sd-1)>J/r) = IcosAfrl/^, и метод ф(у) = 0 является оптимальным. Если В < А, то г) при S > —

Л"

E(T,a,Wi( Sd~1),F5N) = |cosA«/V|/^, и метод ф(у) = 0 является оптимальным; (м) при —, < S < —j=, I = 0,1 ,.,771 rfafW*(S-1)f*,/r) 4 /cos2 л^А'*"1 + cos2 A*'4 tlzlhL — \l cos лв, i-^I +cos д^ >

Ф(у) = fceJ,j=i V Asi+1 cos2 As,t — Л?, cos2 Asl+1t J оптимальный метод; iii) при 6 < J—* V К

E{r, a, Wf (S^1), F?) = у cos2 A?/4t S2 + cos2 ^, p(v) = оптимальный метод.

Аналогичным образом найдены оптимальные методы восстановления для обобщенного волнового уравнения с нулевым начальным значением и и ненулевой начальной скоростью utt + = О,

7) о = О, t|t=o = /; и для обобщенного волнового уравнения с погрешностью, заданной в равномерной метрике.

Получен оптимальный метод восстановления решения обобщенного волнового уравнения в d-мерном шаре Bd.

Пусть / € L2( Bd). Требуется найти функцию u(x,t), удовлетворяющую уравнению

8) ии + (-А)а/2и = О с начальными условиями

9) = L W ищ=о = О и граничным условием it|§d-i = 0.

Точное решение этой задачи имеет вид

ОО ОО Ofc ю) и(х) = £ Е сыcos ((^r72*) к=О S=1 j=1 где Cksj — коэффициенты Фурье функции /.

Поставим задачу оптимального восстановления решения уравнения (8) в момент времени т по неточно заданному набору коэффициентов Фурье функции / на соболевском классе Bd), определяемом как множество функций / £ L2 (®d), для которых

-Д5У/2/11ыв<) < 1.

Будем считать, что нам известны приближенные значения N коэффициентов Фурье функции }{х) y^sj € Yn такие, что s < so, к < ко. При этом для некоторых фиксированных s и к могут быть известны все приближенные значения коэффициентов Фурье для j = 1а*,, а для других s и к известна только часть приближенных значений коэффициентов. Доказана следующая

Теорема 6. При В > А для всех 5 > О td\ tpN\ /^fcisi ukisi

Е(т, a, Wj (В ), Fg) = и ф{у) = 0.

Если В < А, то г) при S > и ф{у) = 0, гг) при < 5 < , I = 0,1,.,т

Vmi+i у ^т/ flfc / ,9 ,9 \ к7шп=1 V - У ггг) при S < —7= s/Vr

E(r, a, ) = < + 1

9 4 p{v) = ak , a \ -1 £ cos((tf))°/4t) 1 + „ , w*).

МбЛ/, j=l ^ r q q r /

Доклады и публикации

Основные результаты работы были представлены на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2006 г.; Международной конференции EPCoRA2007, Москва, 2007 г.; 3-й Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", Москва, 2008 г.; научном семинаре кафедры "Высшая математика" МАТИ-РГТУ им. К.Э.Циолковского; научном семинаре кафедры "Общие проблемы управления" механико-математического факультета МГУ; научном семинаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН и отражены в пяти публикациях ([15]-[19]).

1. Колмогоров А. Н. О наилучшем приближении функций заданного функционального класса. Ann. Math. 1936, v. 37, p. 107-

2. Смоляк А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них. Канд. дисс. М., МГУ, 1

3. Miccelli Ch. A., Rivlin Th. J. Optimal estimations in approximation theory. New York: Plenum Press, 1976, 300 p. Трауб Док., Вожнъяковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов. М.: Мир, 1980, 664 с. Магарил-Илъяев Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. М., Эдиториал УРСС, 2

4. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью. Матем. сб. 2002. Т. 193, с. 79-

5. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных. Функ. анализ и его прил., 2003. Т. 37, с. 51-

6. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю., Тихомиров В. М. On optimal recovery of heat equation solutions. In: Approximation Theory: A volume dedicated to B. Bojanov (D. K. Dimitrov, G. Nikolov, and R. Uluchev, Eds.), 163-175, Sofia: Marin Drinov Academic Publishing House, 2

7. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., Наука, 1

8. Осипенко К. Ю. О восстановлении решения задачи Дирихле по неточным исходным данным Владикавказский мат. журн. 2004. Т. 6, вып. 4. 5

9. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных Функ. анализ и его прил. 2003. Т. 37. 51-

10. Стейн И., Вейс Г. Введение

11. Осипенко К. Ю. Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа для аналитических функций из пространств Харди-Соболева Матем. сб. 2006. Т. 197. Выск Н.Д., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным. Матем. заметки, 2007, 81, вып. 6, с. 803-

12. Выск Н.Д. О решении волнового уравнения при неточно заданных коэффициентах Фурье функции, задающей начальную форму струны. Владикавказский матем. журнал, 2006, 8, вып. 4, с. 12-

13. Выск Н.Д. Об оптимальном восстановлении решения волнового уравнения по неточным начальным данным. Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Ростовна-Дону, 2006, с. 221-

14. Vysk N. Optimal recovery of solutions of the wave equation from inaccurate initial conditions, External Problems in Complex and Real Analysis, Albany, NY, 2007, 52 p. Выск Н.Д. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным, заданным с погрешностью в равномерной