Обращение интегральных операторов с особенностями или вырождением их ядер или символов на различных множествах в R тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

5 Г о ОД I 3 МАЙ 1ЯЯ7

На правах рукописи

ЧЕГОЛИН Андрей Петрович

ОБРАЩЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОСОБЕННОСТЯМИ ИЛИ ВЫРОЖДЕНИЕМ ИХ ЯДЕР ИЛИ СИМВОЛОВ НА РАЗЛИЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ В Д*

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата физшаэ-матеыатическпх паук

Ростов-па-Лону 1997

Работа вглюплеиа с Ростовском ордщхл. Трудового Красного Знак:: государст0ешшы уншзарснтете.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Ногкн В.А.

Оффицаальпые оппоненты: доктор фтнко-иатештзческих паук,

профессор Сиыоясеео И.Б.

кандидат фознко-матеиатических каув доцедт Чувешаш А.Ф.

Ведущая организация: Екиорусозй государ ствжаый

университет

Защита состоится « ¿0 1&97 г. п (6 часоз па заседал

Диссертационного совета К 083-52.13 по ф1шш0-иатештгческтг наук и Ростовской государствгпшш университете по адресу: 344050, г.Ростс ца-Доиу, ул.Зорге, 5, иехиат, ауд. 239.

С днссертацксй ыогзпо ознакомиться в научной библиотеке РГУ адресу: г. Ростов-па-Допу, ул.Пунпашская, 148.

Автореферат разослан с апреля 1997 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета К 063.52.13 кандидат физико-математических паук, доцент

Кряквин В..

Цоль работы - обращение операторов типа потенциала с ядрами, ные-вщтга оссбсппоста па том ел гггшм шлхэестае а Я? я азлшгптасти п псэлллптлчоскога случаях.

Лнтуальпость темы. В пастоязцэе враш ныегтея целое гсшраздеште во шюгом завершенных псслядсзапгЛ по ебращешга операторов тнпа по-, тепцзала

(1?Ф)(*) = j ЩгЙ® ~ t)dt, 0 < Яеа < п, (1)

в»

с "достаточно глалкпьш" хараЕтершгпшзддн 0(t). Первые работы в втои палравлеппп принадлежат С.Г.Сгдгго, постропвшецу обратите риссо-вых потенциалов и обобщенных штеяцпалоэ Рпсса с однородными характеристиками в виде гаперспнгулярных интегралов (ГСИ).

В дальнейшем метод ГСИ пршяеааяса s обращению потепцззлоз (1) а эллиптическом случае, гогдз ш сянволы нэ вырогхаазэтея я IP, з работав С.Г.Сагссо, В.А.Нопша, С.М.Уизрхадлгтеза, Г.С.КостсгцгеЗ, Б.С.Рубншц М-МЗавоя^гснсБого, Э-Д-АллсуятагоЕой, А.В.Абраняп и др.

Метод ГСИ, успешно применявшийся к обращению операторов (1) в эллиптическом случае, озааазся плохо работающим, шш пе работгиогош вообще, в пеэллиптичясЕоЗ ентуацпп, погда символ потегщкала (1) выро-тадается на Eeicoropou шгогкгстэе в Я*. Начиная с SO-x годов в работах В.А.Нопша, М.М.ЗавожкгпсЕого, Е.В.Сухшшна, Э.Д.АллсултакзпоГг, А.В.Абрашш, А.Н.Каралетляда для обращения потенциалов (1) в пезлли-птическоы случае применялся шггод аппроксимативных обратных операторов (АОО). В рамках этого метода в работах В.А.Ногппа п М.М.Зазол-яжяского было, в частности, построено обращение потенциалов (1) с Lf - плотностями и символами, выроэдающиывел па произвольном, меры нуль, шюжсестве в Я*.

Исследования по обращению операторов тина потенциала (1), а также некоторых потенциалов другого зада отражены в шптге С.Г.Самко "Гнперспнгулярпые интегралы и их приложения* (Ростов п/Д: Изя-йо Рост, ун-та. 1334), ишгах С.Г.Сашго, А.А.Кплбаса, О.И.Марпчсва " Интегралы и производные дробетго порядка и некоторые их праяогзепая" (Милею Наука п техника. 1237), "Fractional intégrala and derivativo). ТЬеогу and npplic.itjcca" ("Gcrdon к ВплсЬ. Sd. Publ." Londoa - New-York. 1993) н обзорной статье С.Г.Саша} "Inversión theorems for poteatial-type integral transforma in #* and oa 5я"1" (Integral Transforma and Spedal Fucctkms. 1993. VqI.1, N2. Pp.145-163).

Естестзелпки развитием тенатикгт, связапной с обращением операто-

роа (1), является обропугппе операторов тша вотенцваяа с особенностям! ядер, "размазанными" па току шзд шгаму ubckscctdу в if. Tásese ноте» цпалы возпизшот в пршкюютиях, в теории комплексных стеасгей дифференциальных операторов, в частности, классических операторов иате м&тачссвой фпзппп: оператора теплощхжодЕостп, волновых операторов операторов Клейса-Гордона-Фока и Шредвнгера. Комплексные степенг указанных операторов изучались в работах В.А.Ношна, Е.В.Сухинииа Б.С.Рубина, А.В.Абрашш. В статье В.А.Нопша и А.В.Аброшш построена теаршг коютексных стеаш!ЕЙ произвольного гапоэяджптичесыого ont> ратора второго порядка с (постоянными) вещественными тиффнцигнташ (отрицательные (TZea < 0) степени итого онпратора реализуются как осе раторы типа потенциала с особенностями ядер на гиперплоскости).

В диссертации дало одно из указанных цршкшений: получено явное выражение для комплексных степеней телеграфного оператора

д & & 8*

Отрицательные степени оператора (2) реализованы в вида интегралов типа потенциала с особенностями «дер на Бонусе, поло&нтедышг степени -обратные к отрицательный - в пндз АОО и ГСИ.

Исследования в направлении, связанном с обращением операторов типа потенциала с особенностями ядер на некоторой множестве в Ü*, на существу только начинаются. Помимо упомянутьа выше работ имеется только статья В.А.Ногпда и АЛЛСарапетннца, в которой в рашеах Lr -пространств построено обращение ыультишшкаторных операторов с символами

"»«(IfD = ^Г«Р(«7|€|). 7 > 0, ~~ < Ilea < п,

где а(г) - "достаточно гладкая" функция. (Если а(г) стабилизируется на бесконечности степенным образом и о(оо) ф 0, то операторы с символами m£7(¡£|) являются операторами тина потенциала с особенностями ядер на сфере |х| = у.)

Методаиа Ессладовзншг. В диссертации используются методы теории функций: интегральные представления, максимальные функции, элементы гармонического анализа иа сфере, обобщенные функции и др.

Еаучпна новизна ш лртлттгетш значимость работы. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Рассмотрен широкий класс мультипликаторных операторов с осциллирующими символами. Исследованы свойства ядер этих операторов; в частности, показано, что операторы Щ являются операторами

тппа потенциала со стслепшпет ши логарифынчесгсша оссбешгостяь£И ядер на сфере. ГГоетросио сбращешгэ потенциалов с Ьг - плоггеостя-ьш зах а аллкгггичеегкш, таз п в псоллгпгпгзжсеоы случае, когда символ оператора пыроаздается па произвольной, меры нужь, шхкхестпе а Я*.

2. В райках Ьг - пространств построено обращение одного класса муяь-•гапликаторпых операторов с елмгояемя, вырозгдаэганмкея па сферах, цилиндрах, гиперплоскостях и других мшмзгстзах. Указанный класс со-дерззш-, я частности, негюторые операторы типа потетцкала с особсзно-ст.ияп ядер па сфере.

3. Рассмотрено ссзссйсгво (полугруппа) операторов с особенностям ддгр па конусе, содерхкадее ггпгерболпчееше бессезегы потенциалы а потенциалы, реализующие отрицательные (71еа < 0) степеяп телеграфного оператора (2). ПострссЕо обращение этих потенциалов с Ь, - плотеостлмп л дало описание пзс обрязоп а терминах обрещающих вонструкщхЗ.

Перечяслезгаые результаты язлязотся повъвш. Они могут быть кспозгь-зоаалы в теория кошхлексных степеней дифференциальных операторов, и теория интегральных уржзпзпаЗ с особенностями ядер на том иял иеом шккгзстве пЛ*пв прикладных задачах, приводящих к таюш уравнениям.

Ллхграбацзм работы. Результаты дпссертадпл докладывалась на цезздулародиоЭ конференции "Краевые задачи, специальные фушсцсп и дробное исчисление" (г.Мшсз, 19213 г.), па семинаре кафедры алгебры и дгезрепюй натеиатшет РГУ и многократно па сешшлре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений РГУ.

Дубдгтзптутп. Результаты диссертации опубликовали в работах [1-8], список которых приводятся в конце автореферата. Работы [1-7] выполнены совместно с научиьш руководителей, их результаты принадлежат каждому из авторов в рашюй пере.

Структура я объем работа. Диссертация состохгг из введения, трех мал, разбитых на 15 параграфов и прнлозкепий. Объем работы - 130 ггранпц машинописного текста. В списке литературы 60 названий.

Содерганее работа!

В первой главе исследуются нультапликаторпые операторы с сш вол ami

= £ = < < п, 7 > 0, в € С

Операторы реализованы в вдда интегралов типа потенциала

(щаФКх)=jbi7mx-t)dt (<

я»

с ядрами, имеющими степеапуи ш логарифмическую особенность п сфере |*| = 7 при 0 < Пса < (п + 1)/2 но = (»+ 1)/2 соответственно.

Изучено действие операторов в Lr - пространствах, 1 < р < n/Tiec Методом АОО построено обращение отнх операторов в ргшках L? - прс сграпста в элдиптическом и пеэдлпптичесиои случаях. В последнем сл> чае предполагается, что

е й*\{0}: = 0} = 0.

Интерес, нроявляеиый шши к оператораи Щп> вызван, в частноста следующий обстоятельством. Бели 0 € C^Se-i), то класс операторо: Bgfi с сниволаш m^j(f) = &(£)/совпадает с классом операторов тип. потенциала (1) с бесконечно гл&шш однородными харахтеристикаша В днссертащш показано, что

(по крайней мере для "достаточно хороших" функций ф{~)). Таким обра зом, класс операторов (1) с однородными, бесконечно гладкими харак тернстнкаии образует множество "предельных" операторов в более пш роком класса операторов {Bj7}7>о. Обращение операторов Bffi как i эллиптическом, так и в пеоллшгшческоы случаях строилось в работа! С.Г.Сгюга, В.А.Ногина, М.М.Заволжегского, поэтому мы рассматриваем только случай 7 > 0.

§1 носит вспомогательный характер. В нем собраны обозначения, вспомогательные сведения и утвергздешщ.

В §2 получено представление для ядра b%i7(t) - ГТри п - 1 < Леа < n опс имеет вид

W - (2*Ж~ I (5)

гда Mt(t\ у) - среднее фуисцки i>(i'). Hps О < 'R.ea < п — 1 ядро погш-

ул2£псп кал слалитачесяса продаязэкяэ (регуляризация) интеграла (5) в указанную область. При построении этого анашштчесзого продолгсеяия используется техника средних (па плоских сечгяяях) гладких функций, заданных на сфере, развитая С.Г.Санот при регуляризации символов потенциалов (1) с однородными характеристиками.

Показано, что ядра (при нецелых а) предсташшы в ппде суммы регуляризованных интегралов по отреззу [-1,1] и яисейных комбинаций гхь пергеометрпчеснях фупетзЗ Гаусса. Лозазала непрерывность »тих ядер л Я»\{{0}и{< : ¡íj = 7}}, получены сцепки в нуле и на бесконечности и исследовано их поведение при ¡f| —► 7. Занеттг, что при Пса < (п — 1)/2 ядро имеет яокальво иесушшруемуаэ стсиеппуш особешюсть на сфере |íj = 7, поэтому мы рассматривав!! случай (п — 1)/2 < 71еа < п.

В §3 показано, что оператор сзертзя с ядром bj>7(f) действительно пксет своим символом фушщшо т£7(£) (3): для функций ф класса Ф П.И.Лизортзша, состоящего нз пшарценых функций, ортогональных шго-гочяеязм, установлено равенство

(ГП?,ГФ№ = m?i7(£)(^)(í).

Это равенство выводится из формулы для преобразования Фурье в слабом смысле:

J Ь^(1)ф(х -i)dt = j±pj т?л(0(^)К)ехр(-и -Odf, Ф € <!♦. (0)

я* я»

Формула (б) доказывается вначале при а ф п — т, т = 1,2,.... При а-*п-т ядро 6?>7(0 (как функция от а) пьгеетустранимую особенность. Раскрывая соответствующую неопределенность (т.е. вычисляя предел при а -* п - т интеграла в левой часта (б)), получаец выраясение для этого ядра при а = п — т.

В §4, на основе результатов исследования ядра изучено действие операторов (4) в £,- пространствах.

В §5 в рамках метода АОО строится обращение потенциалов с L?-плотностяии в эллиптическом случае, когда 6(a) ф 0, er € 5»_¡. Обратный оператор имеет вид

= */>(»)• (7)

ГДе

gfn,(t) = Г-1 (j^exp(-¿7|í| - £|£|J))(Í), предел в (7) понимается по Ьр - норме или почти всюду.

В §0 построено обращение операторов а нсзляштхческом случа. когда mcs{i G i2*\{0} : С{£) = 0} = 0. В pausai Lf - пространств ояерато] обратный и Bfn, строится в виде

{Ц,) (h)

*/)(*), о

где __

Доказана следующая

Теорема 1. Пусть (п - 1)/2 < Пса < п, в € q - 2 при п =

Г (Зп —1)/2, п — нечетное, . _ . „ г , .

и 9 =М * /о . i при * > 3; £ € 1 < р < п Пса

( Зп/2+1, п-четное, * '

дополнительным ограничением р < 2 при 72са < п/2; 6 й* \ {0}

0(0 = 0} = 0. Тогда - ф, где Я,а>7 - оператор (8), предел по Lr

норме в (8) ыпзксо заменить пределом почта всюду.

В §7 рассмотрен содерхздтельпый пример исследуемых в первой г лая

операторов тина потенциала. Именно, рассмотрены мультиплнкаторны

операторы с символами

KI-

(я—1)/2 < TZea < п, п > 3, 7 > 0, где УдОО - сферическая гармоника поряд ка к. Получено явное выракадше для ядер операторов тина потенциал; с символами (9) через гармошшу У*(-*') и гппергеаиетрнческне функцш Гаусса.

В связи с тем, что обратный к потенциалу (4) оператор (8) в незллкптн ческом случае, когда mes{£ € \ {0} : 0{£) = 0} = 0, имеет достаточнс слогзиый вид (это относится и к аналогичным результатам, полученным i работах В.А.Нагшш, М.М.Заволгкепсмого, А.Н.Каранетянца), акгуально£ является задача: указать классы операторов -пша потенциала с вырождением их символов на множествах специального вида, для которых обращение в рамках Lf - пространств строится более эффективно. Один тавоС класс рассмотрен во второй главе, где речь идет об обращении в рамках Lf - пространств мультипликаторных операторов Kfс символами

мл(0 = РЖ - fc|)|i!"(a+m) expHllil). Kea > 0, (10]

я»

С = (6»—,&), k < n. Pm(z) = £ a,Л a, б С, 7 e R\ вырождающимися,

«1=0

в частности, на гиперплоскостях, цилиндрах, сферах. Множество операторов с символами (10) содержит классы интегральных операторов с особенностями ядер на сферах. Такими классами являются, например, класс

ЧЛО-^вфМЯ). (9

опаратороп с символами ■Рт(К!Ж1~*в+'*'езФ(— (6 = 0, к = п) п класс

операторов с символами (10), где = а^г3-', т - четное- ЕГострое-

по обраозшше операторов с символами (10) в рамках - пространств в эллиптическом и гоэллшггачесюш случаях.

В '8 восстановлен явный вид оператора по сто сЕыволу (10).

Показало, что операторы аредсталтш п ппда суиш етшюзпцгй

операторов типа поткэцхаяа с ядрами, пиеяпцемп особсгшоста па сфере, операторов тана потенциала вада (1), сверточпых операторов с суммнру-еиыип ядрагш и неапорых сингулярных хштегральных операторов.

На основании этого представления показано, что оператор Крлд7>4 при некоторых условиях на а п р ограничен ш Ьг в алгебраическую сугпху Ь{ - пространств.

Обращение операторов в р аилах Б, - прострел ста строзтся в

девятом параграфе диссертации. Формально обратяый к Крт^ ^ оператор иоззет быть записал в виде

= Р'Ч^к^АО) * /• (И)

Осповшге трудности, связанные с реализацией свертка (11), относятся п Ееоляшгетчесвоыу случаю, когда шюгочлел имеет неотрицательные вещественныекорпип атом случае функция 1 сбращает-

¥

ся в бесконечность на множестве Урщ = и {ч 1С — = Мы поступаем

;=1

следутопцш образом. Многочлел Рта(|С — Ь() возмущается в нногопсяях, содержащих корпя

- Ь|) = а»(|Г -Ь\-хх- к)х> ...(\С-Ь\-2У- х

где гу+1,..., г/ - все остальные корпи штогочлена Рт(х), Ду - краткость корпя Тогда

ТйВГЩ ' ¿(¿|>"(£)(|Г -61 -4 -

/ X,

+ Е (12)

]=и+1 /4=1

Показало, что оператор с символом (12) представим в вице

Им^/ = ¿(¿1:«/;^/+ ¿ ¿л^я^/),

где - СЕертачлые операторы с С-фупкцияьги Мейера в дерах. С уче том етото оператор, обратный к I(p„¿tJj$, строится в ецдз:

= Um{(B^a)71nPMf){x), (13

где Um{В%)~хЩф = ф, В* - оператор с символом |£|~eexp(-*7|£|). Прс

дел в (13) понимается по норме весового пространства 2/рл* = {/(ж)

/ 1/(г)Р"(1 + |х*|)Мх < оо}, т} < —р(к — 1)/2, шш почти всюду, /г»

В ©яяшггачесноы случае, когда многочлен Рт(г) не шгеет тшотрпцз тельных вощесгвенных корней, обратный к оператор в рздш&х L

- пространств строится в изаде

=¿ Е (14

где предел понимается но //?-норме или почти всюду.

Случай 7 = 0 представляет самостоятельный интерес, так как р accus тршшемый при о том класс операторов содержит некоторые потенциал! вида (1) с хараэтеристшиши, растущими па бесконечности, обращеша которых pacas не строилось. Простейшим примером таких потешшаяо! являются рпсссшы потенциалы

1 г |||3 + (а + 2- п)((а - 1) + (n - aXfr)1) (К"ф)(г) = —т-Цгг / ----^-—-- t)dí,

я*

0 < Titea < п- 2, с символами (1 - irHlÉl"40^. Г = (6, ->6»-i) (& = n- 1) Обращение операторов в эллиптическом и нееллшгшческо!

случаях могшо осуществить в виде (13),(14), заменив в втих равенства] оператор (B^4m)~¡ на оператор "усеченного" риссова дифференцирована!

В третьей гласе диссертации рассматриваются операторы типа потен циала с особенностями ядер па конусе. Именно, рассмотрены операторы

(*»)(.) = / - y)äy, о < п» < i, (15;

к

(&оФ)(г) = «,<a)/ CXP("^"y)dy = (16)

7¿ea > n — 2, с символами (—r*(£) + (1 — m3)/4 — Здесь г(у) =

•v/l/f - ííp - лорсдцеБо расстояние, ¿i = (jfc, ...,уа), К% = {у: у} > \у\г, pi > 0}

- светозсЯ копус будущего, - модифицированная функция Бесселя, «^(а), Св(а) - хжэторке

Интерес, проявляемый шиш к операторам (15),(16), вызвал следующп-ыа сбстагтак&сгвами.

1) При ш = 1 потенциалы (15) реализуют отрицательно (71еа < 0) степени телеграфного оператора п представляют интерес с тсЗ точен зрения, что ксшшексхше степени неоднородных неэяяшггачзсЕях операторов в рамках Ьг - пространств ранее рассматривались мало.

2) При 0 < т < 1 ядра операторов (15),(16) локально ведут себя так гге, хзгс ядра гиперболических потенциалов Рисса

<17>

и экспоненциально убывают па бесконечности (по й). Операторы (15),(16) при 0 < т < 1 являются гиперболическими аналогами бессеяепых потенциалов, играющих важную роль в аяализе.

В дяссертяцип ностроезю обращение операторов (15),(10) в ранжзг Ь?

- пространств методом АО О и дано описание образа Я°(£»у) в терминах обращающих пснструкцлй. На "достаточно хороших" гладких фушщзяя 4{х) построено обращение потенциалов Ъеа > 0, а £ 14, в гаде ГСИ с обсбщетпыик взвешенными разностями (при Яеа < п — 2 интегралы (15),(16) с ядрами, локально несушетруеиьшл па конусе, понпиаготсл в смысле регуляризации). Лаио татке описание классов ЬТ П Н°{Ь?) = являющихся аналогами соответствующих пространств типа рнссозых и гиперболических потенциалов.

В десятом параграфе

диссертации изучено действие оператороз и - пространствах. Показана суммируемость ядер операторов

Я£, 0 < га < 1, откуда следует ограниченность этих операторов в ЬТ, 1 < р < оо. При т = 1 па основе Ьг — Ьг - оценок для гиперболических потенциалов Рисе» (17) (В.М.ОЬег1ш, 1889г.) доказана теорема о действии операторов И? из Ьг п Ь, или в алгебраическую сумму - пространств.

В случае т > 1 показано, что лора Л® (у) экспоненциально растут па бесконечности внутри некоторого усеченного конуса К С К+, следовательно, операторы Я™, т > 1, на функциях из Ь?, вообще говоря, не определены.

Кроме того, оператор Щ рассмотрен как предельный при т -* 0 оператор в классе операторов {Я£}ооя<1- На основе полученных равномерных оценок для ядер /£(у), 0 < т < 5 < 1, доказано, что

ЬЪ(/0)(.т) = (Щф)(х), ф е 1 < р < оо.

- 12В §11 вычисляется преобразование Фурье потенциала (3^ф)(х). Лоиа зала формула

(ГЕ1ФШ) = (~г\о + - хЬТЧГФЖ),

гдз ф € ¿1, если 0<т<1,и^бФ, если т = 1.

В §12 построено обращение потенциалов Исас > О, а ?

1,2,3,..., где ф € 5 при 0 < го < 1 и ^ 6 если го = 1, в виде ГСИ < сбобэдшшьши взвешенными разпоеттш.

В §13 построено обращение операторов Я£ в р&ццах X, - простропсп методом АОО. В случае 0 < тп < 1 обратный оператор строятся в ваде

= (18;

где а

Предел в (18) понимается по - норме или почта всюду. Доказана следующая

Теорема 2. Пусть Пеа > п — 2, 1 < р < оо. Тогда,

гдз - оператор (18).

Для операторов Я" приведены две схемы аппроксимативного обращения. Именно, обратный к Н° оператор строится в виде

(0?Я(*) = !&№,*/)(*). (19)

где ядро <у^(<) задается одним из равенств:

зт = «рМ*!' -|))(<);

¡им = ^((-ло - * >»- ^

Предел в (19) понимается по Ьг - норме шш почти всюду.

Основным результатом третьей главы является подученное в §14 описание образа Я^(Ьр) в терминах построенных в §13 обращающих конструкций:

ВД») = {/€*: €&€£,},

где X = Ьг, 1 < р < оо, если 0 < т < 1, н I - одно из пространств, в которое оператор Я," (ш = 1) ограниченно действует из Ьр.

В §15 дано описание классов LT П !Ц(ЬТ) = L^, Rea > 0. Интерес, проявляемый к описания) классов такого типа, вызвал следующими сб-стоягельсгоами.

Пусть дал оператор типа потенциала Ia ф = ка*ф (т.е. оператор свертел с ядром, имеющим степепнузэ шга логарифмическую особенность на кештором мвсЕяестве в Д*). Одной из осжшпыг задач в теория таких операторов является оппсаяие функций, пред стан иных потенциалом Ia ф с плотностью из Lf, т.е. описание образа Ia (Lf). Ядро яря некоторых в шхзат расти па бесЕспачпостп, а таггсе моя5эт быть догадыш иесум-млруемьш па псххегором «го^жстве в Я*. В этом случае интеграл 1аф, вообще говоря, расходятся на функциях из Lf; потенциал Г* трактуется sas оператор, действующий пз в специальное пространство €>' обобщенных функций над основным пространством в котором ta(s) является свертывателем. Конструктивно списать образ Ia(LP) в таизй ситуации вряд ли возможно. Однако, в некоторых случаях удается описать класс ¡"{LJnLr, 1er <оо.

Пространства L*7 — LT Л I"(Lr) были впервые введены и исследованы С-Г.СамЕо в ситуации, когда Ia (Lp) - пространство рзгссспых по-тетцзалез. В работах В.А.Ногнна и Е.В.Сухшшяа в рамках метода АОО было получено описание пространств указанного типа, в которых Ia(Lf) - образ гиперболического потенциала дробного потенци-

ала Клейна-ГордопагФогса (m1 ± m > 0, и дробного потенциала

Шредангера Hk = (kE + A* + k = 0,1.

В диссертации доказала следующая

Теорема 3. Пусть 1 < р < со, 1 < г < со, Кеа > 0. Torca L"r = {/ G Lr : G%f G Lf}, где Gf - оператор (19); предел в (19) понимается по Lr - порме.

Аналогичным образом описываются классы П L,, Tica < п -

2, 0 < m < 1, в терминах операторов (18) (в случае %еа < г» - 2 ядра операторов 0 < m < 1, имеют локально песуммнруемую особенность на конусе К+).

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доцепту В.А.Ногину - за постановку задач и постоянную помощь в работе, а также профессору С.Г.Самко - за внимание к работе.

CUSCOS риЙОТ, ОПубЯагэгОШШХ по тшг yt^accертацпз

1. Нопш B.A., Чстояки А.П. Обращение некоторых интегральных one раторов с вырождающимися и осциллирующими символаздн. - Рук. дев в ВИНИТИ 8.11.94, N2517-B94. - 42с.

2. Ногин В.Л., Чстолпи А.П. Комплежные степени телеграфного one ратора в Lt - пространствах. // Труды международной копференцш "Краевые задачи, спецзшлыше функции и дробное исчискепгж". - Менсе Белгосуиизерситет. 1926. - C.25S-2i31.

3. Ногея В.А., Чепшш А.П. Обращение некоторых шггегранышз операторов с выройщающншася п осциллирующими символ айн // Изв высш. учеб. заведений. Мат. - 1923. - N10. - С.36-39.

4. Нопш В.А., Чеголкн A.II. Обращение некоторых интегральных она ратороз с особенностями ядер па конусе. - Рук. деп. в ВИНИТИ 18.01JJ7

5. Ногин В.А., Чего лип А.П. Применение метода аднроксииатилЕШ обратных операторов к обращению операторов тиш*. потенциала с осо

бгшюстяни ядер на сфере. - Рук. деп. в ВИНИТИ 18.01.27, N65-697. ■

0. Chegolin А.Р., Nogia V.A. Complex powers of the telegraph operator in

дробное исчисление". Часть 1. - Минск, 1935. - С.11&-119.

7. Chegolin А.Р., Nogin V.A. Inversion of some multiplicative operator» witb degenerating and oscillating symbols // Тезисы конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление". Часть 1. - Минск, 1996.

8. Чего лип А.П. Обращение некоторых мулътишшкаторных операторов с гармоническими характеристическими частями символов. - Рук. дел. в ВИНИТИ 14.03.97, N772-B97. - 15с.

N65-B97. - 69с.

62с.

- С.120.