Функциональные пространства, связанные с дробными степенями волновых и близких к ним операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

■Н 6 Он

- 5 Инт

На правая. рукописи

СУХИНШ ЕВГЕНИЙ ВИКТОРОВИЧ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА, СВЯЗАННЫЕ С ДРОБНЫМИ аьиь.нтп ВОЛНОВЫХ И БЛИЗКИХ К НИМ ОПЕРАТОРОВ

Специальность 01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1995

Работа выполнена в Ростовском ордена Трудового Красного знамени государственном университете.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент НОГИН В. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

профессор СИМОНЕНКО И. Б.

кандидат физико-математических доцэнт ЧУВЕНКОВ А. Ф.

Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита состоится ЛЗг илои^, 1995 Г. В Лк часов на заседании диссертационного совета К 063.52.13 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ростовском государственном университете по адресу: 344104, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, РГУ, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-ва-Дону, ул. Пушкинская, 148. Автореферат разослан 2.4 чллоио. 44951.

Ученый секретарь диссертационного совета К 063.52.13, доцэнт

наук, наук,

В. Д. Кряквин

- ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель работы - описание функциональных пространств r = Lr Л где l"(Lp) - об раз гиперболического потенциала

(±П}~с,/г, дробного потенциала Клеяна-Гордона-Фока (гд2♦ □}, m

<4

> О, или дробного потенциала Шредингера Нк =(Ш Дг + ifl/at) 2,

к Ж 1». i -- ММ N > И,

Актуальность теш. В настоящее время имеется ряд рзбот, посвященных исследованию пространств гладких функций типа г = е Ьг: Iff е Re oi > О, порождаемых дробными степенями эллиптического оператора 23. К таким пространствам относятся в частности пространства бессолевых и риссовых потенциалов, изучавшиеся в работах А. Кальдерона, Е. Стеина, Р. Стрихарца, С. М. Никольского, П. И. Лизоркина, С. Г. Самко и других. С. Г. Самко исследовал пространства I* г = {/ € £г: (-А)а/ с совпадаю-

щие при г = р с пространствами бесселавых потенциалов и с пространствами риссовых потенциалов при г = пр/(п-ыр), 1 < р < n/d. Им было показано, что С = L П ), где ¡C(L ) - образ

р.г г Л Л

риссова потенциала, и дана конструктивная реализация положительных степеней (-A)"/, oi > 0,-в виде гидарсингулярнчх интегралов (ГСЛ). ,

Функциональные пространства типа г, порождаемые дробными степенями неэллипгических операторов, ранее фактически не рассматривались {исключение составляют пространства параболических потенциалов, порожденные дробными степенями оператора теплопроводности. являющегося ляюэллштги'чоским >. В диссертации исследуются- пространства функция указанного типа, порождаемые дробными степенями неэллштгических операторов id, тг » я > 0 и опера-

тора Шрединге'ра й = О, 1 {который не является также и гипо-эллиптическим).

Задача реализации положительных (Не о! > 0) степеней (±0)с,/г/. <иг ± 0)а/г/ и / е г, фактически является

задачей обращения соответствующего дробного потенциала с плотностью из 1р. В связи с этим отметим, что ранее строилось обращение операторов типа потенциала с ядрами, имеющими особенность в точке (С. Г. Самка, В. А. Ногин, С. Ы. Умархадаивв, Б. С. Рубин и др.). Обращение потенциалов с ядрами, имеющими особенность, "размазанную" по тому или иному множеству в Я", в рамках 1р-пространств ранее фактически не строилось (за исключением одного случая параболических потенциалов, рассмотренного В. А. Ногиным, а также В. А. Ногиным и Б. С, Рубиным). Отличительной чертой рассматриваемых в диссертации потенциалов (±а)"а/2ф к («в2 * 0)-а/г<р является то, что их ядра при О < йе ы < п имеют особенность на конусах, локально несуммируемую, если 0 < Не ос £ п-2. Ядра дробных потенциалов имеют особенность на гипер-

плоскости при и < Ие с* < п+2, локально несуммируемую для 0 < йе с* £ п; кроме того! эти ядра при любом л, Не с* > 0, не ' убывают (осциллируют) на бесконечности.

Обращение интегралов типа потенциала тесно связано со свойствами их символов. Так, при построении обращения значительную трудность представляет случай, когда символ обращается в бесконечность на том или ином множестве в К", отличном от точки. Ранее был рассмотрен только один такой случай акустических потенциалов с символами, обращающимися в бесконечность на сфере (Б. С. Рубин, В. А. Ногин, М. М. Зазолженский). С этой точки зрения интерес представляют потенциалы, рассмотренные в диссертации; из символы обращаются в бесконечность на конусе, гиперболоиде или

параболоиде,

Методика исследования. В работе использованы метолу теории Функций; интегральные представления, максимальные фунюцта, обобщенные функцки, в особенности над гтростоанствами <ъ, типа Лизоп-хина-Самко и др.

Научная новизна и практическая значимость работы. В ииссяп-

ТНИШЛ III |.я»ияни ^попу1ппп*л ППТ>ЛТ1111 "> »-у ~—.

1. Под/чана конструктивная реализация положительных степэ-Н8Я волновых операторов ±0, операторов Клейна-Гордона-Фока тг±0„ и > 0 и оператора Шредингера Нк, & = О, 1, на функциях из пространств г мзтодом аппроксимативных обратных операторов (АОО).

2. Дано описание пространств г в терминах АОО.

3. На "достаточно хороших" гладких функциях построено обращение операторов (*0)~а/г, (тг * а)~°/г и Не о( > О, с помощью ГСЙ с обобщенными взвешенными разностями.

Перечисленные результаты являются новыми» они могут быть использованы в теории дробных степеней неэллштгических операторов, в теории интегральных уравнений с особенностями ядер или символов на том или ином множество в Я" и в прикладных задачах, приводящих к таким уравнениям.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международном конгрессе математиков (Швейцария, г. Цюрих, 1994 г.); на зимней школе "Теория функция. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании" (г. Воронеж, 1593 г.); на зимней школе "Современные метода теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики" (г. Воронеж, 1995 г.) и многократно на семинаре профессора С. Г. Самко "Линейные операторы в функциональных пространствах" (г. Ростов-на-Дону).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в

работах П-9], список которых приводится в концэ автореферата. Работа [1-81 выполнены совместно с научный руководителем В. А. Ногиным. Их результаты принадлежат каздому из авторов в равной кзре.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трах глав (13 параграфов) и приложений. В приложения шнесекы те моменты доказательств, которые хотя и требуют зачастую кропотливых выкладок, но представляет чисто технический интерес. Объем работы - 162 страницу машинописного текста; в списке литературы 65 названия.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В шрвой главе исследуются дробные степвни волновых операторов D и -D в рамках пространств На "достаточно хороших* функциях ф(х) дробные степени этих операторов определяются в образах Фурье равенствами

<к**/г<р)Ш = qfr^ül^wte). Ot сева { ,

1. г2^) < 0.

(Р(~0>°/г<р)Ш » (г*а№о)а/г(Яр)Ю. «t(C,

r^U) = tf - - - t«. Отрицательные степени □Re el > О, опэратора □ ерэдеггавины гкперболическиш потенциалами М. Рис-са

13р<х> = —— f ra'tt<yXHx-yi Оу. V>

D H (ol) i

к

Я -

|у ? Я": г2(у) > О, >" о| - "световой конус

будущего, а

этрицательные степени (-□>±°1/г, Ие о1 > О, оператора -О гиперболическими потенциалами вида

Я^р(х) = | г\<а(у)ф(х-у) <2.7,

(?)

где

=

•

■* о

7„<*>

(Г2(у)±1о)(С,"П)/г, 01-71 ¿о, г, 4.....

<гг<у))(а"п)/21п(г2(у>±1о). и-п = О, 2, 4.....

(если 0 < Яе и $ п-2, то интегралы (1), (2) с локально несумми-руемыми ядрами на конусах понимаются в смысле регуляризации).

На функциях ф € I потенциалы ф и Я^р понимаются в "обычном" смысле (как интегралы (1) и (2)) для тех с* и р, для которых

операторы и ^ ограничены из I в Ъ яли из £ в (ограни-

р 1 р ч

чонность оператора из Ъ в I доказана в работе Д. М. Оберли-

наа а ограниченность, операторов и из в Ь_ доказывается

в диссертации) и в обобщенном смысле для остальных и и р.

5 1 носит вспомогательный характер. В нем собраны необходимые для дальнейшего обозначения, вспомогательные сведения и утверждения.

В § 2 строится обращение потенциала / = Т^р, Не > 0, ы. *

1, 3, 5, ...» с помощью ГСИ с обобщенными взвешенными разностями

1 ич/)(х)

--1 -I > Яе а, (3)

п. » 1 ->

где R™ ={(i,.t") € й": i, > 0, Гей""1], разность <л| >)t. (/)(x)

определяется равенством

(г 1 sr О+сЛ,)0

к. |t. ,/)<*>. I w-zz^

(n+a)/2

k=0 l+u l1

X' -

(хг,...,хп), постоянная a e a > 1, выбирается так, чтобы и / s + 2Jncf/ln a, s = 1, 2, 3, 2\(0) (при указанном

выборе a нормировочная постоянная dn г(а) в (3) не обращается в нуль)'. Плотность ф берется из инвариантного для оператора . пространства ®к = Р~1 <©к). где - класс шварцевых функций, обращающихся в нуль вместе со всеми своими производными на конусе « = |х € я": Гг(х) = о|.

Заметим, что идея обращения операторов типа потенциала с помощью ГСИ с обобщенными разностями принадлежит Г. А, Калябину. Эта идея была, в частности, реализована в работах И. А. Кувшин-никовой для риссовых потенциалов и Б. С. Рубина для риссовых, бессолевых и акустических потенциалов. Общая схема обращения потенциалов

„ г в(Х-у)

«¿<P(D = -rrs Ф<У) Ф. О < Re d < n, (4)

в

с плотностями ф € £р с помощью ГСИ с обобщенными разностями была построена Э. Д. Алисулгановой и В. А. Ногиным.

Отметим, что обобщенные разности другого вида использовались Г. А. Калябиным для описания анизотропных пространств, Бе-сова-Лизоркина-Трибеля.

В 5 3 в терминах А00 дается конструктивная реализация поло-

витальных степеней волнового оператора О (являющихся обратными к отрицательным степеням) на функциях fix, та пространств ^.Г = Lr Л < ^ Р. г « 2. Не ы > 0, где l£(bp> = {/: / =

а ^

Ij^p, (р е Например, в случае» когда Re dl > n-? положительные

степени tf^ реализуются в виде

(L )

-г-а - iJJ"

С* О

где

= ^«Г1!^)!0'2 ехр(-Б|е1|-8||'|»(®> =

00

о

г* {0 х) - "Р^р-р)] , лж, п+сл-1. 2-1. -Рг1*Чг |

Здесь гР (а,Ъ;с;г) - гипергеометрическая функция Гаусса, 9<у) -функция Хевисайда; предел по 1р~норме в (5) можно заменить так»» пределом почти всюду. Доказана формула обращения = ср. гд& / € £г, / = (р ( I . Получено списание пространств г, йе ы > 0, 1 « р, р « 2, в терминах операторов г = /с Гг,

Заметим, что применение ГСИ (3) к реализации положительных степеней Оа/г/» / € г, неясно.

Метод АОО применялся ранее к обращению операторов типа потенциала (4>, а такте некоторых потенциалов другого вида с I -плотностями (В. к. Ногин, И. М. Заволженский, А. В. Абрамян, Э. Д. Алисултанова). Кроме того, этот метод применялся при описании анизотропных пространств гладких функция, построенных по

произвольному нвэллигтгичвскому дифференциальному оператору дробного порядка (А. Н. Каратотянц, В. А. Ногин).

В §§ 4. 5 аналогичные, полученным в §5 2, 3 результаты, установлены для дробных степеней оператора -О. Заметим, что при п-2 < Ие с* < п-1 формула обращения

= ф. / = Я^ф. Ф б 1р, 1 < р < (п-1 )/Ие ы,

где оператор построен подобно оператору (5) по символу потенциала Я1*, доказана на всем образе (без дополнительного условия / € £г. как это делалось в $ 3 для потенциала / = Г^р).

Во второй главе исследуются дробные степени ошраторов Клейнз-Гордона-Фока тг+а и тг-0, я > 0. На "достаточно хороших" функциях ф(х) дробные степени указанных ошраторов, определяются в образах Фурье равенствами

(Р(0+тг)а/гф)(4) = д1гг(е)нпг|в/г<йр)(е>, й е Сс (б)

ст I .

е

2 \ гг<е> > ш й

1. Г2(6) < яг,

(?(тг-0)"/гф)(£) = (тг+гг(()ПоГ/г(Р11»а>0 о* г С. Отрицательные степени (0+я1г).~а/г, Ие ос > 0, представимы дробными

потенциалами вида

лф(х) = I Са к{г{у)Щх-у) Оу, (7)

где (а:)= а <оО<т/х>(п~в)/гГП1 „(их), Г„<г) - функция Бесселя

а^ (I о—т» V

г

первого рода порядка V. (Если О < Не е£ £ п- 2, то интеграл (7) с локально несуммируемым на конусе ядром понимается в смысле регу-

ляризации.) В продельном случае, когда т о. потенциал ® стремится к гиперболическому потенциалу И. Рисса (1). Для отрицательных степеней {тг-0) "^/2, Не а > п-?„ справедливо представ-

ление

где

г

Хи(г) - функция Мандональда порядка у.

В 5 б для оператора (7) на функциях <р{.г) из пространств

Фу 5 построенных подобно Ф по гшьрЗолоаду = с К"; ггШ

т «.

= жг^с доказана формула (6). Строится обращение потенциала / =

(Й ш, ® е Ф„ , Не а( > О, <* * 1, 2, 3, .... с помощь» ГСИ с

обобщенными взвешенными разностями

1 (А1 ■/)'.£) ЕР/(х) = - [ . I > Ве о£„ (9)

А •

где разность (Л^ определяется равенством

я

)=0 к^О

(ш'^у, 1У I) ¡у | >

" (1-аг*!у'|г>)з:,1)71

х /(х,-^,. /(1-аг*|у'1г)+). г^г+п-г.

II/ I

постоянная а е а > 1 выбирается так, чтобы et t t + t2nJe/ln а, t = 1, 2, 3, ..., fee 2\CO} <при указанном выборе а нормировочная постоянная dn г(с£) в (9) не обращается в нуль).

Заметим, что при т —► О ГСИ (9) стремится к ГСЙ £g/t обратному к потенциалу ф е Фк. Таким образом, ГСИ можно рассматривать как еще одну конструктивную реализацию обратного к потенциалу / = I^p, ф е Фк оператора. •

В § 7 в терминах А00 получена конструктивная реализация положительных степеней оператора 0+т2, и > О, на функциях fix) из пространств г = Ъг П TOdp). 1 < р. г $ 2, Re «t > 0, где G^ m(Ip) = {/: / = G^ жф, ф € Ip|. Потенциал С^(ЯФ понимается в

"обычном" смысле (как интеграл (7)) для тех р и d, для которых оператор С^ m ограничен из 1р в или из Lp в 1_+Ь_ (соответствующие теоремы доказываются в диссертации) и в обобщенном смысле для остальных р и ct. Для произвольного п £ 2 положительные степени if реализуются в виде

СГ(х) = lim lim )(х). Re ot > О, (10)

** б-»о «-»о •

где

<«":"•/>(*) - ^«rV2«) - и2Г/г «

« e"<5lirlI<m2-r2(t) + (e|5|2)-" (m2-r2 «))")<*> =

' ^¡рряПРё-¡J 1 [ J (m2 - t2 + рг - sl«n tto)2 . x е-^р^-п/г (n2 + (^.^г + ;i+te)p2)_tl «

" т«п-Э)/г(Р1а:'' !> Ц й£: (11)

редел по X -норме в (10) можно заменить также пределом почти

гюду. Доказана формула обращения й^/ - ц>, где / € Ьг, / =

* яф„ <р { £ . Дано описание пространств С^ г, Ие с( > О, 1 < р, $ 2, в терминах операторов

поп пни II = г и п = .-1 иппиимнм нпугяи (Птллгааа ггг |1ии _

олее эффективная реализация положительных степеней оператора леана-Гордона-Фока ш2+0 на функциях из С^ г. Так в случае п = положительные степени строятся в виде

1%Г(х) = 11т (I® *Г)(х), Нео£>0. (12)

£+0

т'е I (т -г (£)+1гЦ\ ) ]

да а - произвольное фиксированное число, удовлетворяющее усло-ию 0 < а < 1/2, 1 <р< б/(3+2а), 1 ^ г ^ 2; предел в (12) по-имается по норме пространства Ьр + 1д, в'1 = р"1 + <7~' - 1, /(3-2а) < ц < 3, или почти всюду. Ядро £ представимо в виде 11) с О = еа. Получено описание пространств г в терминах першоров (12).

В случае п = г даются три конструктивные реализации положи-

ельных степеней оператора тг+П на- функциях из р, 1 < р, г <

» .... :„ Ие с£ > О, отличные от (10). Во-первых, положительные степе™

©ализуются в виде аналогичном (12). Получено описание простран-

:тв С^ г в терминах указанных операторов.

Во-вторых, положительные степени строятся в вида

■#<»>-¿2^ <1з>

Я1

1 +ю + «.2 Р > г 1-Я

« (тМД.ИеГ'кх) = —* —^- *

—СО

+ йв об > 0.

ОЯ < ._„

Здесь 1 = е , если 51{г > г и а = 1, если < и*1.

тап <

е 2 (4-шг±10)С1/гКо(2-/ (е±{х^101 Же±1хг)|1|], (14)

где К0(2) - функция Макдональда. Предел в (13) понимается по норме пространства ^ = р ~ 1<р<г;о<7< 2, или почти всюду.

Наконец, показано, что в случае, когда Не сС £ 2, 1 $ р, г £ 2, реализацию положительных степеней 'тг+0)а/г на функциях / с

С"- можно осуществить в виде р•

5^(х). = Ит 4 | 1 2. 1 ,22 ']/«) «,,(15)

й2

где

„а' 1 Г 1 ? I + Ч

= Г\^г~т\е )<у> =

^ +<о

О* с(у,1) - функция (14); предел в (15) понимается по норме пространства или почти всюду.

В } 9 аналогичные полученным в 55 7, 8 результаты установ-

Ш1ы для дробных стопоной оператора """ .....

В ? 10 на всем ойрпза yl r<I h 1 < р < 2(n-1 )'(Пе ciirs-1 i, ■-2 < Re о£ < n-1 (О < Re с£ < 3 при n-Z), доказана формула обратил

■lft <• = ф, / <n„ Bf L ,

•то T^ _ nnana-rnnu nnirrnnfiirmw» ппппЛвг, ппппатспам i 105. (12) i-

[или ei и ¿налогу при n-i ), (¡3) или (¡5), «ц

fl m (без дополнительного условия / e Ir, как это делалось в

> 9).

В третьей главе исследуются дробные степени оператора Шрэ-дтагера Bh = РЕ + hs + ld/dt\ к - 0, 1, а также более общих ого-заторов £ = -P(D,D) + 0/flt» где Р(х,х) = Р,(х,х) + iP2(x„x) -

ювырожденная квадратичная форма такая, что Р{(х,х) - Еовыро;«-[ценна, Pj(x,x) ^ О (операторы I в рамках обобщэнных функций рассматривались Л. Хермандером). На "достаточно хороших" фулкцияг p(x,t) дробные степени Н^ оператора f/Ä определяются з образах Ьурье равенствами

<и£фК4.х> = <& + г - |t|2 + io)a/2(Bp)(t.i). et е с. (16)

Для отрицательных дробных степеней (т. е. для дробных потенциалов) справедливо представлений

¿£tyx,t) = J Oy drj, Ве Ы > О, <17)

а"**

где

= С^т,'"""-2»'2 exp(ifti) + t^J,

(если о < Re et < п, то интеграл в (17) понимается в смыслэ регуляризации).

В $ 11 для оператора (17) на функциях ф(х,{) из пространст1 4>Л, построенных по параболоиду Рк = е йп+1-. |||г-1 =

к = О » 1» доказана формула (16). Строится обращение потенциала j = ф € Фк, Не с* > О, с помощью ГСИ с обобщенными взвешенны-

ми разностями

О < Ее о£ < 21

где *(у,т}) = е"п"</4(4хт))_п/гехр({|у|г/4т]), а конечная разносп (Д^-^/Их.г) определяется равенством г

= £ С^е1к°,т,Лх-а-'/гу.<-сг'т]). г с и.

¿=о

В 5 12 в терминах АОО подучена конструктивная реализации положительных степеней оператора на функциях /(х»1) из прост ранств = П НГа(Ь ), 1 $ р, г 2, Ие й > 0. При этом, н; функциях из оператор Н^" трактуется в смысле свертки с ядро! Л^у.т,) в классе Ф^. В случае, когда й = О положительные стеши Ле е* > О, на функциях из 1 < р < 2. -1 < г < 2, реали

зуктгся в виде

№р)

= 11ш <а<;0>«/>(х.0. <18

'«-»о ••

где

Г| р^-1(1-рг+{о)а/2 р -Р2»У»г " п>а 11 (е+ерг+1т)){п+а+г ,/г 1 Н-?-' д(е+ерг+1'п)^ ^

? pn"1(1-p2>a/2 rnW:n. -P2IVI2

£/<x.t>=

дось ^ (a;ft;z) - вырожденная гипергеометрическая функция Кум-юра; предел по Ьр-норме в (18) можно заменить также пределом ючти всюду.

Для к = 0, 1, положительные степени оператора Нк на фун-'(ip)(b2)

Ни lim 6»f)(x,t), 0<Re ct<2(n+1), oi^J, ./=77«

<5-»0 «-»O " '

«V

lim ¿ff)(x,t), Reo£2(n+1) v d=2J, J^TTn,

6-»0 *

(19)

где

а ^

+ 00 00 I J

" <2it){2+n)/2 J^ 6 i (ft+ie+irp2)n S

* Г(»-г>/г<РМ> <P tft, e>0. 0 > 0;

предел по 1р-норме в (19) можно заменить также пределом почти всюду. Доказаны формулы обращения Л^/ = <р, где / t / = Н^ф, Ф ç Lp. Получено описание пространств Н^'*. 1 S р, г < 2, Не ы. > О, в терминах операторов

3 5 13 для отрицательных степеней оператора L*-P{D,D)+8/Qt в случае, когда Р^(х.х) > 0 приведено новое доказательство теоремы об ограниченности из 1р в Lq (аналога теоремы С. Л. Соболе-

ва душ потенциалов Рисса), Известное ранее доказательство (V. Gopala Rao) основано на применении интерполяционной теоремы М; цинкевича. Приводимое в $ 13 доказательство представляется i более простым, так как использует, по существу, только факт i раниченности. максимального оператора Харда-Литтлвуда в 1р, 1 С «я. Что касается реализации положительных степеней оператора то при Р1(х,х) = 0 эта реализация сводится к обращению дроб потенциалов Шредингера и к обращению параболических потенциа в случае, когда Pjd.i) >0.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю центу В. А. Ногину за постановку задач, помощь и постоянное ь мание к работе, а также профессору С. Г. Самко за полезное суждение результатов диссертации.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ногин В. А., Сухинин Е. В. Обращение и описание гиге болических потенциалов с 1р-плотностями // Рук. деп. в ВИН 03.08.92, № 2512гВ92. - 50 с.

2.-Ногин В. А., Сухинин Е. В. О дробных степенях незлл тических дифференциальных операторов второго порядка с посто ными коэффициентами // Рук. деп, в ВИНИТИ 11.02.93, № 344-В - 27 с.

3. Ногин В. А., Сухинин Е. В. Обращэниа и описание гип болических потенциалов с Iy-плотностями // Докл. АН (Росси 1993. Т. 329. № 5. С. 550-552.

4. Ногин В. А., Сухинин Е. В. О дробных степенях неалл тических дифференциальных операторов второго порядка с поете ными коэффициентами // Тезисы докладов школы: Теория функх

Дифференциальные уравнения в математическом моделировании. Воронеж, 1993. С. 96.

5. Ногин В. А., Сухинин Е. В. Обращение и описание гигар-

болических бесселевых потенциалов с L -плотностями // Рук. дел.

v

В ВИНИТИ 07.12.93» J* 3027-В93. - 88 С.

6. Попгт .*■ •, гутт™™ »•- п. ¿¡ройныа

Шредингерз в Хр-пространствах // Рук. доп. в ВИНИТИ 12.05.94, я 1190-В94. - 23 с.

7. Nogln Ч. А., Sukhinin I. V.'Fractional powers of the wave operators and Klien-Gordon-Fock operator In £p-speces // International Congress of Mathematicians. Zurich, 1994. Abstracts of short conmmications. P. 111.

8. Ногин В. к., Сухинин Е. В. Дробные степени оператора Клеяна-Гордона-Фокз в L -пространствах // Докл. АН (Россия). 1995. Т. 341. « 2. С. 166-168.

9. Сухинин Е. В. О лробных степенях оператора Шредангера р пространствах Ь (if1*1) // Рук. Д0П. в ВИНИТИ 4.04.95, Я 925-

В95. - 15 с.

Подпноано к печати 22.05.95 Формат 60x04/16 Бумага ?пп Л 3. Объем 2,0 уол.п.л., 0,9 .уч.-изд.л

• в

Ростовский ЦНГИ