Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными и им сопутствующие интегральные операторы

Гачаев, Ахмед Магомедович

Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными и им сопутствующие интегральные операторы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Гачаев, Ахмед Магомедович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нальчик МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными и им сопутствующие интегральные операторы»

Автореферат диссертации на тему "Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными и им сопутствующие интегральные операторы"

На правах рукописи

Гачаев Ахмед Магомедович

Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными и им сопутствующие интегральные

операторы

01.01.02 - «Дифференциальные уравнения»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Махачкала - 2006

Работа выполнена в НИИ прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук (НИИ ПМА КБНЦ РАН)

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Алероев Темирхап Султанович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кадиев Рамазан Исмаилович]

кандидат физико-математических наук Аттаев Анатолий Хусеевич.

Ведущая организация - Северо-Кавказский государственный технический университет, г. Ставрополь.

Защита состоится 25 декабря 2006 г. в 14-00 часов на заседании диссертационного совета K212.053.ll в Дагестанском государственном университете по адресу: 307025, г. Махачкала, ул. Дзержинского, д. 12, математический факультет, аудитория 3-70.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Дагестанского государственного университета.

Автореферат разослан 24 ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н

Э.И. Абдурагимов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка и им сопутствующих интегральных операторов.

В связи с важными проблемами уравнений в частных производных смешанного типа и газовой динамики трансзвуковых течений за последние годы существенно возрос интерес к краевым задачам для дифференциальных уравнений дробного порядка. Это обусловлено многочисленными эффективными приложениями дробного исчисления при описании широкого класса физических и химических процессов, протекающих во фрактальных средах.

Справедливо отмечено в монографии A.M. Нахушева "Дробное исчисление и его применение"(2003 г.): "дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред".

Дифференциальным уравнениям дробного порядка посвящены исследования Алероева Т.С., Алиева Р.Г., Барретта Д.Х., Вольтерра В., Вима-на А., Глушака A.B., Джрбашяна М.М., Зарубина А.Н., Карасева A.A., Килбаса A.A., Летникова A.B., Маричева О.И., Мейланова Р.П., Нахушева A.M., Нахушевой В.А., Нерсесяна A.B., Псху A.B., Репина O.A., Самко С.Г., Сербиной Л.И.

Вопросы распределения нулей функции типа Миттаг-Леффлера исследованы многими авторами (Wiman А., Джрбашян М.М., Нахушев A.M., Алероев Т.С., Островский И.В., Седлецкий A.M., Попов А.Ю., Пересел-кова И.Н., Псху A.B. и другие).

Важность изучения дифференциальных уравнений дробного порядка обусловлена их широким применением в теории дробного исчисления, а также в задачах физики, механики, химии, биологии, теории управления.

В последние годы интерес к исследованию дифференциальных уравнений дробного порядка возрос также в связи с тем, что эти уравнения поз-

воляют дать эффективные модели для изучения притока нефти к скважинам в трещинном деформируемом пласте.

Такие вопросы хорошо изучены в теории дифференциальных уравнений, теории дифференциальных уравнений дробного порядка, а ее приложения находятся на стадии становления и развития.

Таким образом, проведение фундаментальных исследований по данной теме является актуальным.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов существования и единственности решений начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках, изучение качественных свойств несамосопряженного интегрального оператора, порожденного уравнением смешанного параболо-гиперболического типа. И, наконец, исследованы вопросы полноты системы собственных функций краевых задач для дифференциальных операторов дробного порядка.

Методы исследования. При решении поставленных задач используются методы теории дробного интегродифференцирования, интегральных уравнений, функционального анализа и интегрального преобразования Лапласа.

Научная новизна. В диссертации, посвященной исследованию линейных краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка и их применению, получены следующие основные результаты:

1. Исследованы вопросы существования и единственности решений начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках, а также доказана теорема существования и единственности решения задачи Трикоми с нелокальным условием сопряжения и изучены качественные свойства неса-сопряженного интегрального оператора, порожденного уравнением смешанного параболо-гиперболического типа.

2. Для класса интегральных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка, получены в терминах функций типа Миттаг-Леффлера явные выражения для собственных функций и

собственных значений.

3. Доказана теорема, которая позволяет выделить области в комплексной плоскости, где нет собственных значений для класса линейных дифференциальных операторов дробного порядка.

4. Доказана теорема о системе собственных и присоединенных функций класса линейных дифференциальных операторов дробного порядка с полуограниченным потенциалом.

5. Для дифференциального оператора второго порядка с дробными производными в младших членах доказана теорема о полноте системы собственных и присоединенных функций с полуограниченным потенциалом.

6. Для дифференциального оператора второго порядка с дробными производными в младших членах установлена его диссипативность в случае полуограниченного потенциала.

7. Проведен конструктивный анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважинам в трещинном деформируемом пласте.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер и вносит определенный вклад в разработку теории краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка. Полученные результаты могут быть использованы в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений дробного порядка и их приложений при решении конкретных задач физики, механики, химии, биологии, теории управления и других прикладных наук.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на:

- семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН, руководитель - профессор A.M. Нахушев (Нальчик, 2002-2006 гг.);

- Региональной научно-практической конференции Чеченского государственного университета "Вузовская наука - народному хозяйству" (Грозный, 4-5 июня 2002 г.);

- Всероссийской научной конференции "Интеграция науки, образования и производства - решающий фактор возрождения экономики и социальной сферы в посткризисный период" (Грозный, 25-27 декабря 2002 г.);

- Международном Российско-Узбекском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 18-25 мая 2003 г.);

- Научно-практической конференции Грозненского государственного нефтяного института им. академика Д.М. Миллионщикова (Грозный, 2004 г.);

- Воронежской математической школе "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения-XVI" (Воронеж, 3-9 мая 2005 г.);

- Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 29-31 мая 2006 г.).

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[15].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, содержащей 106 наименований. Первая глава разбита на 7 параграфов, вторая глава состоит из 2 параграфов, третья глава - из 2 параграфов. Объем работы 123 страницы, набранные с исользованием пакета TeX.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткая характеристика работы, ее цели и задачи, описываются основные направления исследования и характеризуются результаты, полученные в диссертационной работе.

В первой главе приводится краткий обзор исторических сведений по вопросам, связанным с тематикой диссертации — теорией дифференциальных уравнений дробного порядка, описываются основные направления и методы исследования, а также дается краткое содержание работы.

Пусть: 7 = {7о, 7i, 72} - точка из трехмерного евклидова пространства

R3 с координатами 7е]0,1], j = 0,1,2; afc = YjIj ~ А4* = crk + I,

i=о

к = 0,1,2; р = 1/сг2 > 0, Dqx - оператор дробного дифференцирования порядка |/i| с началом в точке 0, который действует на функцию <р(х)

из области его определения с Ь[О,1], где Г(г) - гамма-функция

Эйлера; Ь[О,1] - пространство абсолютно суммируемых функций;

1 [ ч>{г)(И г(-/х) у (х-гу-^

Введем интегродифференциальные операторы

И^Нх) = " „ Лх) = —-

, V НТО

оНа) дР с1~(р~а)

№<и

1_[_Ж

- 7о) У (я -

¿)7о'

где р—1<а<р=1,2,...;

, ч /7-(1~72) ¿71 ¿70

= * м * * /(Ж).

^ ' Нх-^-п) Нх-п Нхъ-1 v ' Предполагается, что эти операторы имеют смысл, по крайней мере, почти всюду на [0,1].

Легко видеть, что £>(<7*>/(ж) = /с = 0,1;

= £&/(«), [а] — 1 < а < р = [а];

х^/ог) = дзг^глз/м.

Рассматривается следующая задача: найти решение и(х) уравнения

П(<Т2)и(х) - [Л + д(а:)]и(а;) = 0, (1)

где Л - спектральный параметр, д(х) € С[0,1], из класса С]0,1] П Ь[О,1], удовлетворяющее видоизмененному (локальному) начальному условию Ко-

ши

limx^uix) = So, lim ~ = gu (2)

x—»0 x—<-0 хЪ

где 7o > 1 — 72, a <50 и ¿i - заданные числа.

Решение задачи (1)-(2) ищется в классе Сг[0,1] функций, представи-мых в виде г;(ж)х-<5, где v(x) € С[0,1], 6 = const < 1. Доказана

Теорема 1.1. Пусть q(x) удовлетворяет условию Липшица. Тогда в классе Сг[0,1] задача (1)-(2) имеет и притом единственное решение и = и(х).

Рассматривается задача: Найти решение и(х) уравнения

^а0>(£) = [Л + 9(а:)Мх), (3)

где д2х — - регуляризованный оператор дробного дифференци-

рования порядка 7j с началом в точке 0 и с концом в точке х из класса С[0,1]ПСЧ0,1], удовлетворяющее краевым условиям

и( 0) = п(1) = 62, (4)

где 5о и ¿2 - заданные числа. Доказаны

Теорема 1.2. Пусть q(х) G С^О, 1] u > 0, А > -д(0). Тогда задача (3)-(4) безусловно и однозначно разрешима. Теорема 1.3. Пусть q(x) = const. Тогда условие

Ep(Xq;a2) ^0, Л > -q(0) (5)

является необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости задачи (3)-(4). При выполнении условия (5) её решение и(х) определяется формулой

и{х) = 60Ер(\ях1) + x^Ep{Xqx°2; a2)[S2 - S0EP{Xq; l)]/Ep{Xq; a2).

Теорема 1.4. Пусть q{x) = const, Ер(Xq; 1) ^ 0. Тогда смешанная задача

и(х) — и(0) л lim ——-= дг, и(1) — д2,

х—»0 xai

для уравнения

D£u'{t) = [X + q{x)}u(x), (6)

имеет единственное решение

и(х) = 60Ер(Хях<Т2] l) + 5lV(a2)Ep{Xqxa^a2)x(T\

где

¿о = [62 - 61Г(а2)Ер{Х<г- cr2)]/Ep(Xq, 1).

Теорема 1.5. Задача Коши и(0) = <5о эквивалентна интегральному уравнению Волътерра второго рода

и{х) = saxa°Ep(Xqx°2- fi0) - caxfflEp(Xqx°2;цх) + +T{o2)D^Ep[Xq(x - ty<J2}q0(t)u(t)y (7)

zdesa = <50r(/u0) uca = — ¿хГ(дх) - произвольные постоянные, Xq = A+g(0), 9о(я?) = - 9(0),

°° л

- функция типа Миттаг-Леффлера по терминологии М.М. Джрбашя-на, которое в классе С[0,1] всегда разрешимо и притом единственным образом.

При q(x) = const решение и{х) задаётся формулой

и(х) = *о[1 + Xqx^Ep(Xqx^; 1 + 72)]. (8)

Уравнение (1) при 7о = 71 = 1, 7г = с* — 1 переходит в уравнение

= + (9)

где д$х = - оператор, область определения которого принадлежит

классу 52[0,1] всех функций и(х), измеримых на [0,1] вместе со своими производными до второго порядка.

Уравнение (1) при = О, Л = и>а известно как дробное осциляцион-ное уравнение.

Теорема 1.6. Задача Дирихле (4) для уравнения (9) в классе ЛС1[0,1] имеет единственное решение и(х), если

д(х)еС1{0,1], А >-9(0), д'(х)>0. (10)

Во втором параграфе доказана теорема существования и единственности решения задачи Трикоми с нелокальным линейным условием сопряжения и исследованы качественные свойства несамосопряженного интегрального оператора, порожденного уравнением смешанного параболо-гиперболического типа.

На евклидовой плоскости с декартовыми ортогональными координатами х и у рассмотрим модельное уравнение в частных производных смешанного (параболо-гиперболичсского) типа

дх2 Эу1+"<-»)' {>

-С:

Н{у) = { "

- функция Хевисайда.

Уравнение (11) в верхней полуплоскости у > 0 совпадает с уравнением Фурье

а в нижнем - с гиперболическим уравнением

(■-уУ

д2и _ д2и

Пусть: О - область, ограниченная отрезками АА0, А0В0, В0В прямых х = 0, у = у0, х = г соответственно и характеристиками

уравнения (13); = {(х,у) : 0 < х < г, 0 < у < уо} - параболическая часть смешанной области - часть области лежащая в нижней

полуплоскости у < 0, ограниченная характеристиками АС, 0 < х < г/2, ВС, г/2 <х <г и отрезком АВ; ]0, г[= {(ж, 0) : 0 < х < г};

И10х - оператор дробного интегродифференцирования порядка \1\ с началом в точке 0.

Для уравнения (11) в области рассмотрим краевую задачу типа задачи Трикоми с нелокальным условием линейного сопряжения в следующей постановке.

Рассматривается

Задача 1. Найти регулярное в областях О"" решение (14) уравнения (11) со следующими свойствами:

и+ € С(П+) П С^+^О, г[), и~ € С(ГГ) П С\П-и]0, г[); (15)

и —

и+(х,у), V (х,у)еп+, и~(х,у), У(я;,у) € П";

(14)

и+(ж, 0) = и~(х, 0) - 0), 0 < х < г; (16)

д(и+ — и )

ду

= 0, 0 < х < г;

(17)

у=0

и+(0, у) = <Л)Ы, и+(г, у) = <Рг(у), 0<у<уо\ (18)

и~\лс = 0 < х < г, (19)

где - замыкание П, Л - спектральный параметр, ^о(у) и <Рг(у) - заданные функции из класса С1 [0, г], ф(х) = и ||, — - заданная функция из С3[0,г].

Нелокальное условие сопряжения задается уравнением (16), а локальные краевые условия (17) и (18) совпадают с условиями Трикоми. При Л = 0 задача 1 идентична аналогу задачи Трикоми.

Из (16), (19) при х = 0 и (18) при у = 0 следует, что равенство

<А)(0) = ^ (0) (20)

является необходимым условием согласования граничных данных.

В третьем параграфе исследуются различные случаи задачи (1)-(2), в частности, задача

и" + А П^и = 0, (21)

и{ 0) = 0, и( 1) = 0, (22)

которая возникает при исследовании аналога задачи Трикоми уравнения смешанного параболо-гиперболического в стандартной области.

Здесь же изложен способ нахождения собственных функций и соб-

ственных значений оператора

Ли = Г(2 — а) /(х " о

соответствующего задаче (21)-(22).

В параграфе 4 доказана

Теорема 1.8. Число Xj является собстве71Ным значением оператора А тогда и только тогда, когда является нулем функции Ер(Л; 2).

Соответствующие собственные функции оператора А задаются формулами

щ = хЕр 2^ .

Отметим, что оператор А был исследован ранее в работах Т.С. Алеро-ева.

Пятый параграф посвящен выделению областей в комплексной плоскости, где нет собственных значений операторов вида А.

Рассмотрим оператор

X 1

Ли = I (х- ¿)ИМ(*)«Й - I х(1 - ф-1и(г)<й.

о о

При 0 < р < 2 оператор А действует из С2 в С2. Мы будем предполагать, что р < 2, т.е. р может быть больше двух.

Теорема 1.9. Вне круга с центром в начале координат и радиуса 2/Г(р-1) оператор А не имеет собственных значений.

Тут же приводится более точная оценка для спектрального радиуса оператора А.

Теорема 1.10. Вне круга с центром в начале координат и радиуса 1/Г(р-1) оператор А не имеет характеристических чисел.

Сформулированные теоремы использованы для анализа распределения нулей функции Ер(\; 2).

В параграфе 6 излагается метод приближенного решения задачи

и" + АГ(2 - <*)£&« = ©(*). (23)

и{ 0) = 0, и(1) = 0. (24)

Здесь ©(ж) - любая известная непрерывная функция. Задача (23)-(24) эквивалентна следующему интегральному уравнению Фредгольма второго рода

' I

о о

1(а;) + х\[ х(1~ - !(х - Ь)1-аи(г)(И I = Г(х), (25)

где Р(х) = f £?(#,£)©(£) причем о

Г ¿(1 -х), о<х< г,

[ж(1-£), £ < гс < 1. В седьмом параграфе рассматривается задача

и" + Щхи = Хщ (26)

«(0) - ри'(0) = 0, и( 1) = 0. (27)

Доказаны теоремы:

Теорема 1.12. Число А является собственным значением задачи (26)-(27) тогда и только тогда, когда А является нулем функции

с+гоо

"(А) = /

в2 + - А

с—¿со

Теорема 1.13. Пусть Aj является нулем функции U(А). Тогда соответствующей собственному значению Aj собственной функцией задачи (26)-(27) является функция

c+ioo

ТТ(\ ^ f esx(l+0s) ^

с—too

Вторая глава посвящена изучению полноты систем собственных функций дифференциальных уравнений дробного порядка. В первом параграфе доказана

Лемма 2.1. Пусть д(х) полуограничена. Тогда задача

Б^у - д{х)у = 0, (28)

£>(<to)2/Lo = °> пЫ)у1=1 = 0

имеет единственное тривиальное решение у — 0. Доказана

Теорема 2.1. Система собственных и присоединенных функций оператора А полна в £г(0,1).

Наряду с операторами D^f(x) (к = 0,1,2) введем в рассмотрение аналогичные операторы дробного интегродифференцирования. Приняв обозначения

к к

ак = Y1 Ъ-i ~ = ок + 1 = 72-j, {к = 0,1,2).

j=0 j=0

Определим эти операторы следующим образом

¿-(1—уо)

**>/(*) = SZJI=*/(*).

D^f(x) = ° „ . " Дх), (29)

d~(1~72) d71 d70 D CT2 /(X) = dx-d-^dx-ndx7"^'

Отметим при этом, что если 70 = 7i = 72 = 1, то

D^f(x) = fW{x), (к = 0,1,2).

Рассмотрим следующую задачу типа Коши.

Задача. Найти нетривиальное решение z = z(x, А) уравнения

L[z, 7о, 7i, 72} = D^z - [А + q{x))z = 0,

ж € [0,1), удовлетворяющее условиям

£><*>*(:г, Л)|х=1 = sin/?, D^z(x, A)|i=1 = - cos/?.

Доказана

Теорема 2.2. Оператор

Az= { D{b2)z ~ =

^ \ D^z|i=1 = 0, D^z\x=q = 0

g L2(0,1) имеет полную систему собственных и присоединенных функций.

Во втором параграфе исследуются вопросы полноты систем собственных функций следующей задачи:

Си = -и" + Do*u + ч(х)и = Ли; (30)

»=1

и{ 0) = 0, и(1) = 0. (31)

Здесь 0 < a¿ < 1 (г = 1,2,..., га).

Отметим, что вопросы полноты для систем собственных функций ранее изучены Т.С. Алероевым для задач вида

-и" + ^ Oi(x)DgWi(x)u + Au = 0, t=i

u(0) = 0, u(l) = 0

- + Âz = О,

»=1

z(O) = 0, z( 1) = О.

Здесь (Dq!,.)* ~ оператор, сопряженный оператору дробного дифференцирования Dqx-

Доказана следующая

Теорема 2.3. Система собственных функций задачи (30)-(31) полна в пространстве С2(0; 1).

Третья глава посвящена рассмотрению модели деформационно-прочностных характеристик одного класса полимеров на основе производных дробного порядка.

Рассматривается стандартная модель линейного вязкоупругого тела, которая имеет вид

т Ji п />г

а + Т,Ь<^Г = Е°е + Т,Е<% (32)

»=1 ¿=1

где а = o{t) н е = e(t) - напряжение и деформация в момент времени i; bi, Е0, Ei — заданные величины.

Частным случаем (32) является модель Максвелла

dcr de ___.

°+ти = Ет1Е- (33)

В совместной с Кехарсаевой Э.Р. и Алероевым Т.С. работе изучены прочностные характеристики одного класса полимеров, приводящие к уравнению

<7о = EoDlfe. (34)

Здесь установлено, что участок эластичности деформационной кривой аппроксимируется интегральной кривой уравнения (34).

В параграфе 2 главы 3 проведен конструктивный анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважине в трещинном деформируемом пласте.

В промысловой практике зависимость действующей толщине пласта от градиента давления, аппроксимируется степенной зависимостью вида

Н = к( ^ , 0<а< 1.

В диссертации данная зависимость заменена на зависимость

ЬкрГ

■Р\1р, 0 < а < 1,

(35)

(36)

здесь - дробная производная Римана-Лиувилля. А широко используемое в промысловой практике уравнение

2а+1

= а

йр ¿г

+ Ъ,

(37)

где

а =

№рКр\аЯ

Ь =

а/ОДУркр!'

2тт кг

2тг Нкг

тогда заменится на уравнение

ао{ЩгР)2^7р = 4 + аугБ^р.

Показано, что решение последнего уравнения можно искать в виде степенного ряда при а « 0 или а ¡=» 1.

Заключение

1. Исследованы начальные и краевые задачи для широкого класса линейных дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках.

2. Изучены качественные свойства несамосопряженного интегрального оператора, порожденного уравнением в частных производных смешанного (параболо-гиперболического) типа.

3. Для класса интегральных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка, получены в терминах функций типа Миттаг-Леффлера явные выражения для собственных функций и собственных значений.

4. Доказана теорема, которая позволяет выделить области в комплексной плоскости, где нет собственных значений для класса линейных дифференциальных операторов дробного порядка.

5. Доказана теорема о системе собственных и присоединенных функций класса линейных дифференциальных операторов дробного порядка с полуограниченным потенциалом.

6. Для дифференциального оператора второго порядка с дробными производными в младших членах доказана теорема о полноте системы собственных и присоединенных функций с полуограниченным потенциалом.

7. Для дифференциального оператора второго порядка с дробными производными в младших членах установлена его диссипативность в случае полуограниченного потенциала.

8. Проведен конструктивный анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважинам в трещинном деформируемом пласте.

Публикации автора по теме диссертации

1. Алероев Т.С., Гачаев A.M. Об одном классе интегральных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка. ЧГУ, Грозный. 2003. - 11 с. Библ. 7. Рус. - Деп. в ВИНИТИ. 14.11.2003, № 1977-В2003.

2. Алероев Т. С., Гачаев A.M. К проблеме о нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Материалы международного Российско-Узбекского симпозиума. Нальчик, 2003. С. 13-14.

3. Кехарсаева Э.Р., Гачаев A.M., Алероев Т. С. Модель деформационно-прочностных характеристик хлоросодержащих полиэфиров // Пластические массы, 2004, №11. С.35.

4. Гачаев A.M. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка // Материалы Республиканской научно-практической конференции (27 ноября 2004 г.). - Грозный, 2004. С. 62-63.

5. Гачаев A.M. Об одном операторе, сопутствующем дифференциальному уравнению дробного порядка // Труды ГГНИ им. акад. М.Д. Мил-лионщикова, Грозный, 2004. Вып. 4. С. 16-24.

6. Гачаев A.M. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения дробного порядка. Тезисы докладов Воронежской математической школы "Современные методы теории краевых задач "Понтрягинские чте-нияХУН/ Воронеж: ВГУ, 2005. С. 44-45.

7. Гачаев A.M. О полноте систем собственных функций оператора второго порядка с дробными производными в младших членах // Материалы III Школы молодых ученых. Нальчик. 2005. С. 14-16.

8. Гачаев A.M. О полноте системы собственных и присоединенных функций одной краевой задачи // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук, 2005. Т. 7, № 2. С. 12-13.

9. Гачаев A.M. Применение операционного исчисления к решению краевых задач для дифференциального уравнения дробного порядка. Материалы региональной межвузовской научно-практической конференции "Вузовская наука в условиях рыночных отношений". 10-11 декабря 2003 г. Грозный, 2005. С. 13-15.

10. Гачаев A.M. Описание резольвентного множества оператора дробного интегрирования // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук, 2005. Т. 8, № 1. С. 16-18.

11. Гачаев A.M. // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения XVII". Воронеж. 2006. С.35.

12. Гачаев A.M. О полноте системы собственных функций оператора дробного дифференцирования // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2006. Приложение № 9. С. 14-19.

13. Гачаев A.M. Начальные и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 2006. Т. 8, № 2. С. 9-15.

14. Гачаев A.M. Анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважине в трещинном деформируемом пласте // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2006. Приложение № 10. С. 4-8.

15. Гачаев A.M. Об одном способе приближенного решения задачи Дирихле для дифференциального уравнения с дробной производной // Труды третьей Всероссийской научной конференции. Самара. 2006. С. 8284.

Формат 84x108 1/32. Бумага офсетная. Гарнитура "Тайме".

Усл.печ.л. 1.0. Тираж 100 экз. Отпечатано в НИИ прикладной математики и автоматизации

КБНЦ РАН

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Гачаев, Ахмед Магомедович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка и сопутствующие им интегральные операторы

§1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Начальные и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках.

§ 1.3.0 качественных свойствах несамосопряженного интегрального оператора, порожденного уравнениями в частных производных смешанного типа.

§ 1.4. Об одном операторе, сопутствующем дифференциальному уравнению дробного порядка.

§ 1.5. Области в комплексной плоскости, где нет собственных значений оператора дробного интегрирования.

§ 1.6. Об одном способе приближенного решения уравнений дробного порядка.

§ 1.7. Применение операционного исчисления к решению краевых задач для дифференциального уравнения дробного порядка

ГЛАВА 2. Некоторые вопросы полноты систем собственных функций операторов дробного дифференцирования

§ 2.1.0 полноте систем собственных функций оператора дробного дифференцирования.

§ 2.2. О полноте систем собственных функций оператора второго порядка с дробными производными в младших членах.

ГЛАВА 3. Применение дифференциальных уравнений дробного порядка

§ 3.1. Модель деформационно-прочностных характеристик одного класса полимеров на основе производных дробного порядка

§ 3.2. Анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважине в трещинном деформируемом пласте.

Введение диссертация по математике, на тему "Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными и им сопутствующие интегральные операторы"

В связи с важными проблемами уравнений в частных производных смешанного типа и газовой динамики трансзвуковых течений за последние годы существенно возрос интерес к краевым задачам для дифференциальных уравнений дробного порядка. Тому подтверждение монография A.M. Нахушева [75], посвященная основополагающим элементам дробного исчисления и их приложениям к проблемам математического моделирования различных процессов в живых и неживых системах с фрактальной структурой и памятью. Интенсификации фундаментальных и прикладных исследований в области дробного дифференциального исчисления значительно способствовали проблеме описания нелокальных краевых задач со смещением для основных типов уравнений математической физики и биологии [78], выход в свет в 1972 г. книги "Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений" коллектива авторов Х.Г. Бжихатлова, И.М. Карасева, И.П. Лесковского, A.M. Нахушева [21], а также весьма содержательного обобщающего труда С.Г. Самко, A.A. Килбаса и O.A. Мари-чева "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения", изданного в г. Минске в 1987 г. [91]. Необходимость развития теории дифференциальных уравнений сделала востребованными монографии Ю.И. Бабенко "Тепло- массообмеи. Метод расчета тепловых и диф-фузионых потоков" [1G] и "The Fractional Calculus (Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order) "[104] авторов Oldham Keitk В., Spanier Jerome, которая вышла в Лондоне в 1974 г.

Фундаментальное значение в развитии теории дифференциальных уравнений дробного порядка и ее прикладных аспектов безусловно сыграют монографии В.А. Нахушевой [84], A.B. Псху [88], Л.И.Сербииой [93].

Существуют различные определения операции дробного интегрирования и дифференцирования, которые для достаточного гладких функций, как правило, совпадают.

В предлагаемой работе эти операции понимаются в смысле Римана-Лиувилля и следуя A.M. Нахушеву [75] оператор дробного иптегродиффе-ренцирования порядка а с началом в точке а € M и с концом в точке X G R порядка |а|, действующего на функцию (p{t) G L[A, В] по переменной t, обозначается через D%x. По определению X sign (я —a) f (p(t)dt

Г(-а) J (x-t)a+v а < О,

DaMt) = p(t), а = О, я[а]+1

BignW+1 (х - а > О, где [а] - целая часть а, которая удовлетворяет неравенству [а] < а < [а]+1; Г(г) - гамма-функция Эйлера; а,х 6 [А, В].

При 0 < а < 1 класс функций и = и(х), представимых в виде и(х) = с(х - a)a~l + D^f[t, u(t)}, с = const, (1) f[x,u(x)] е L[a, b] порождает обыкновенное дифференциальное уравнение порядка а:

Daaxu(t) = fM а<х<Ъ. (2)

В частности, интегральное уравнение Абеля [98]

Д27М = 0 < а < 1, а < х <Ь (3) в случае, когда дробный интеграл D%~lu(t) от правой части и(х) является абсолютно непрерывным на сегменте [а, Ь] порождает следующее простейшее дифференциальное уравнение дробного порядка

0ХО = f(x). (4)

Через ACQ-1[a, b] обозначим класс функций и(х), представленный в виде (1). При а = 1 этот класс совпадает с классом АС[а,Ь].

В силу (1) для уравнения (2) можно задать видоизмененное начальное условие т(х-а)1~аи(х) = С. (5)

Поскольку - a)Q1 = Г (а) условие (5) можно заменить нелокальным условием

ИтГ^г^НСь (б) х-*а где С\, как и С, - заданное число.

Уравнение (4), как формула обращения уравнения Абеля (3), является первоосновой теории дифференциальных уравнений произвольного порядка, хотя предполагается (см. [91, с.615]), что началом развития этой теории следует считать дискуссию о способах решения уравнения xDl!2u = и. (7)

Здесь D\^u(t) - дробная производная порядка 1/2 от функции и = и(х).

Так как

1/2«№] = xD^'2u{t) + D~0lJ\(t), то замена v = DQ^2u(t) G АС[0, b] связывает (7) с вырождающимся при х = 0 дифференциальным уравнением первого порядка xv)' - Dl£v(t) = v(x), 0 <x<b.

Задаче Коши как в локальной, так и в нелокальной постановках для уравнений вида (2) с произвольным а > 0 посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных исследователей.

При 0 < а < 1 задачу (2), (5) принято называть задачей Коши в локальной постановке, а задачу (2), (б) - задачей Коши в нелокальной постановке.

Задаче Коши в локальной (в том числе классической) и нелокальной постановках для уравнения вида (2) посвящено значительное число работ. Среди работ последних лет следует отметить работы A.A. Килбаса и С.М. Марзана [61], A.A. Ворошилова и A.A. Килбаса [24], В.М. Головизнина и И.А. Короткина [39], В.А. Чадаева [95], [96].

В работах М.М. Држбашяна [40]-[49] исследованы задача типа Коши и задача типа Штурма-Лиувилля для обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка.

Диссертационная работа выполнена в этом направлении. Здесь исследуются вопросы существования и единственности решений начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках, а также доказана теорема существования и единственности решения задачи Трикоми с нелокальным условием сопряжения и изучены качественные свойства несамосопряженного интегрального оператора, порожденного уравнением смешанного параболо-гиперболического типа. Исследованы вопросы полноты системы собственных функций краевых задач для дифференциальных операторов дробного порядка.

Подобные проблемы находятся в настоящее время в центре внимания многих исследователей, работающих в области дробного интегродиффе-ренцирования и его приложений.

Справедливо отмечено в монографии A.M. Нахушева "Дробное исчисление и его применение"(2003 г.) ". дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред".

Дифференциальным уравнениям дробного порядка посвящены исследования Алероева Т.С. [1]—[15], Барретта Д.Х. [100], Вольтерра В. [23], Ви-мана А. [106], Глушака A.B. [ЗТ]—[38], Джрбашяна М.М. [40]-[47], Зарубина А.Н., Карасева A.A., Килбаса A.A. [91], Летникова A.B., Маричева О.И. [91], Нахушева A.M. [75]-[83], Нахушевой В.А. [81]-[85], Нерсесяна A.B. [48]—[49], Псху A.B. [88], Репина O.A., Самко С.Г. [91], Сербиной Л.И. [93].

Вопросы распределения нулей функции типа Миттаг-Леффлера исследованы многими авторами (см. Wiman А. [106], Седлецкий A.M. [87],

92], Попов А.Ю. [86]-[87], Псху A.B. [89]).

Содержательность класса целых функций типа Миттаг-Леффлера и его асимптотические свойства объясняют интерес к вопросу о вещественных нулях, тесно связанному с разрешимостью спектральных задач для уравнений дробного порядка, рассматривался в работах Алероева Т.С. [3]-[15], Джрбашяпа М.М. [41]-[43], Нахушева A.M. [75]-[83]), Нерсесяпа A.B.

48]—[49], Попова АЛО. [86]-[87], Псху A.B. [89], Седлецкого A.M. [87], [92].

Работа состоит из трех глав, посвященных исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка и им сопутствующих интегральных операторов.

Сформулируем основные результаты диссертации.

В первой главе рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка и им сопутствующие интегральные операторы.

Пусть: 7 = {7о>7ь72} ~ точка из трехмерного евклидова пространства Ж3 с координатами jj б]0,1], j = 0,1,2 ; (Jk = Yh Ъ~ ^ ^Jfe = ¿Hfe + l> к = 0,1,2; р = 1/сг2 > 0, Dqx - оператор дробного дифференцирования порядка \ц\ с началом в точке 0, который действует на функцию (р(х) из области его определения D(Dqx) С L[0,1], где Г(г) - гамма-функция Эйлера; L[0,1] - пространство абсолютно суммируемых функций; к з=о х 0 n/¿дхШ 0х

9М+1

Введем интегродифференциальные операторы пыт = = 1 /

J[ dx-V-ъУ ~ Г(1 - 7о) J (хо

DMf{x) = = 1 Г imL. n dx-^dxK1^)-Г{1-ъ) J (x-t)*' o

-(o) ¿P ¿-(p-a) где p - 1 < a < p = 1,2,.;

-(I-72) ¿7i ¿7o

Предполагается, что эти операторы имеют смысл, по крайней мере, почти всюду на [0,1].

Легко видеть, что D^f(x) = ^qTVM > & = 0,1; d"(a) f ЛИ DU(t), Н - 1 <а<р= Ы;

DMf(x) = D¡r1D¡lD¡¡f(n).

Рассматривается следующая задача: найти решение и(х) уравнения

D{<J2)u(x) - [Л + q(x)]u(x) = 0, (8) где А - спектральный параметр, q(x) £ С[0,1], из класса С]0,1] П L[0,1], удовлетворяющее видоизмененному (локальному) начальному условию Ко-ши

Hm x^uix) = So, lim W " = Slf (9) где 7o > 1 — 72, а и 51 - заданные числа.

Решение задачи (8)-(9) ищется в классе С<$[0,1] функций, представи-мых в виде v{x)x~5, где v(x) Е С[0,1], 5 = const < 1. Доказана

Теорема 1.1. Пусть q(x) удовлетворяет условию Липшица. Тогда в классе Cj[0,1] задача (8)-(9) имеет и притом единственное решение и = и(х).

Рассматривается задача: Найти решение и(х) уравнения dlu(t) = [X + g(x)}u(x), (10) где дЦ. = - регуляризованный оператор дробного дифференцирования порядка 7i с началом в точке 0 и с концом в точке х из класса С[0,1] П С1]0,1], удовлетворяющее краевым условиям tl(0) = 60i U( 1) = ¿2, (11) где ¿о и S2 ~ заданные числа. Доказаны

Теорема 1.2. Пусть q(x) € С^О, 1] u q'{x) > 0, Л > -д(0). Тогда задача (10)-(И) безусловно и однозначно разрешима. Теорема 1.3. Пусть q(x) = const. Тогда условие

Ер{\', 02) ф 0, А > -д(0) (12) является необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости задачи (10) —(11). При выполнении условия (12) её решение и(х) определяется формулой и(х) = S0Ep{Xqx^ 1) + хъEp(\qxa2] а2){52 - S0Ep(Xq] 1 )}/Ep(Xq] а2).

Теорема 1.4. Пусть q(x) = const, Ep{Xq, 1) ф 0. Тогда смешанная задача и(х)-и(0) lin£-= U(l) = S2, z-Ю Xai для уравнения

D£u'(t) = [\ + q(x)]u(x)t (13) имеет единственное решение и{х) = 50Ep(Xqx^] 1) + 51T{a2)Ep(Xqxa2-, а2)ха\ где о = [62 ~ SiT{a2)Ep{Xq; a2)]/Ep(Xq] 1).

Теорема 1.5. Задача Коши и(0) = ¿о эквивалентна интегральному уравнению Вольтерра второго рода

U(X) = SaXaoEp{XqXa2-fIo) ~ CaXaiEp(\qXa'lHi) +

T(g2)D-°*Ep[Xq(x - tf^MMt), (14) где sa = ^оГ(до) и ca = —- произвольные постоянные, Xq — А+<?(0), q0{x) = q(x) - g(0),

00 и zk k=0

- функция типа Миттаг-Леффлера по терминологии М.М. Доюрбашяпа, которое в классе С[0,1] всегда разрешимо и притом единственным образом.

При q(x) = const решение и(х) задаётся формулой и{х) = 6о[1 + Xqx^Ep(Xqx^; 1 +12)). (15)

Уравнение (8) при 70 = 71 = 1, 72 = а — 1 переходит в уравнение + (16) где 8qx = Dq~2^ - оператор, область определения которого принадлежит классу 52[0,1] всех функций и(х), измеримых на [0,1] вместе со своими производными до второго порядка.

Уравнение (8) при q(x) = О, X = Loa известно как дробное осциляци-онное уравнение.

Теорема 1.6. Задача Дирихле (11) для уравнения (16) в классе АС1[0,1] имеет единственное решение и(х), если q(x)eC1[0,1], X>-q(0), q'(x) > 0. (17)

На евклидовой плоскости с декартовыми ортогональными координатами х и у рассмотрим модельное уравнение в частных производных смешанного (параболо-гиперболического) типа яыЛ1'

О, Уу< О

- функция Хевисайда.

Уравнение (18) в верхней полуплоскости у > 0 совпадает с уравнением Фурье а в нижнем - с гиперболическим уравнением

Пусть: О, - область, ограниченная отрезками ААо, АоВо, В$В прямых х = О, у = уо, х = г соответственно и характеристиками

2 т+2 2 т+2

---(-г/ 2 =о, ВС:х +-- (-у)' = г га + 2 ^ ' т + 2 и> уравнения (20); = {(х,у) : 0 < х < г, 0 < у < уо] - параболическая

часть смешанной области О; - часть области Я,, лежащая в нижней полуплоскости у < 0, ограниченная характеристиками АС, 0 < х < г/2 ,

ВС, г/2 < х < г и отрезком АВ; ]0,г[= {(ж, 0) : 0 < х < г}; и+(х,у), У(х,у)е£1+, и={ и (х,у), ;

О10х - оператор дробного интегродифференцирования порядка |/| с началом в точке 0 [75, с. 9].

Для уравнения (18) в области О, рассмотрим краевую задачу типа задачи Трикоми с нелокальным условием линейного сопряжения в следующей постановке. Рассматривается

Задача 1. Найти регулярное в областях , решение (21) уравнения (18) со следующими свойствами: и+ € С(Й+) П С\П+и]0, г[), и е С{й~) П С^СГ и]0, г[); (22)

21 и+(я,0) = и"(ж,0) - 0), 0 < х < г; (23) д(и+ — и ) ду 0, 0 < х < г;

24) у=О и+(0, у) = (ро(у), и+(г, у) = <рг(у), 0 < у < г/о; (25) и~\АС = <ф(х), 0 <х <г, (26) где й - замыкание £2, А - спектральный параметр, (ро(у) и <рг(у) - заданные функции из класса С1[0, г], ф(х) = и §, - . заданная функция из С3[0, г].

Нелокальное условие сопряжения задается уравнением (23), а локальные краевые условия (24) и (25) совпадают с условиями Трикоми. При Л = 0 задача 1 идентична аналогу задачи Трикоми [20], [51].

Из (23), (20) при х = 0 и (25) при у = 0 следует, что равенство о(О) = ф(0) (27) является необходимым условием согласования граничных данных. Справедлива

Лемма 1.1. Пусть: существует решение (21) задачи (18); т{х) = и~{х, 0), ф) = Щ- ; х~Рр(х) G L[0, г]. Тогда у у=0 т"(х) - Хт(х) = и{х), (28)

Г(2 mlf0r(t) = [pmv(x) + х^ф(г)]т, (29) г r( 0) = <р0(0), r(r) -X J (г-t) r{t)dt = <pr(0). (30) o

Здесь Г(^) - гамма-функция Эйлера, вт- в

Исключая v(x) из системы (28)-(29), получим

Ьрт(х) = \т + фр(х), (31) где

Lpr(x) = T"(x)-fi0D1o-x20T(t), (32) от* =-é^'*®' (33)

Здесь же рассматривается

Задача 2. Найти решение т(х) уравнения (31) из класса С2]0, г[ П С1 [О, г[, удовлетворяющее условию (30). Доказаны

Теорема 1.7. Если 0 < А < 2/г2, то существует, и притом единственное, решение задачи 2.

В третьем параграфе исследуются различные случаи задачи, в частности, задача и" + А £0> = 0, (34) и(0) = 0, и(1) = 0, (35) которая возникает при исследовании аналога задачи Трикоми уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в стандартной области.

Здесь же изложен способ нахождения собственных функций и собственных значений оператора X т / х(1 - Ь)1~аиШ1, У

Г(2 о соответствующего задаче (34)—(35). В параграфе 4 доказана

Теорема 1.8. Число является собственным значением оператора А тогда и только тогда, когда Ау является нулем функции Ер(А; 2).

Соответствующие собственные функции оператора А задаются формулами иу = хЕр ^Луо:?; .

Отметим, что оператор А был исследован ранее в работах Т.С. Але-роева [1]-[4].

Рассмотрим оператор х 1

Аи = 1(х- ф~1и(1)сН - ^^у I х(1 - ф-'ит. о о

При 0 < р < 2 оператор А действует из £2 в £2 • Мы будем предполагать, что р < 2 , т.е. р может быть больше двух.

Теорема 1.9. Вне круга с центром в начале координат и радиуса 2/Г(/Г1) оператор А не имеет собственных значений.

Тут же приводится более точная оценка для спектрального радиуса оператора А [62], [94].

Сформулированные теоремы использованы для анализа распределения нулей функции Ер{\\ 2).

Далее в том же параграфе доказано, что оператор

X 1

Аи = - *)И«(*)(й - I Х(1 - ф-'и^М о о диссипативен.

Это свойство оператора позволяет доказать ряд важных утверждений, в частности

Следствие 1.1. Все нули функции Ер(А; 2) лежат в правой полуплоскости.

В параграфе 6 излагается метод приближенного решения задачи и" + АГ(2 - а)И1хи = &(х), (36) и(0) = 0, и( 1) = 0. (37)

Здесь ©(ж) - любая известная непрерывная функция. Задача (36)-(37) эквивалентна следующему интегральному уравнению Фредгольма второго рода и(х) + А х(\ - 1)1~аи(£)(И ~ ¡(х~ = (38) 1 где Р(х) = /(?(£, ¿)9(£)с/£, причем о <

Ь<х<\.

Заменяя ядро уравнения (38) на "близкое" к нему вырожденное ядро первого ранга, доказана

Теорема 1.11. Если 0 < А < (3 — а) (2 — а)/24; то уравнение и(х) + А 1^(1 - г)1-^)^ - 1(х - ^-"иЩЛ| = F(ж) имеет единственное решение и разность между этим решением и решением й{х) = Р(х) +

2-а)(3-<*)(-*) Пл л1а

3 — а) (2 — а) — Л

1 уравнения и(х) X

Г(2 - а) I удовлетворяет оценке

3 - а)(2 - а) - Л о

472ЛгЛ

23(23 - 47А)'

В седьмом параграфе с помощью операционного исчисления Лапласа изучается задача и" + И^и = Хщ (39) и{0) - ри'{0) = 0, и(1) - 0. (40)

Доказаны теоремы:

Теорема 1.12. Число X является собственным значением задачи (39)-(40) тогда и только тогда, когда X является нулем функции с+гоо го = [ У Й + в01 — А с-гоо

Теорема 1.13. Пусть А^ является нулем функции /7(А). Тогда соответствующей собственному значению А/ собственной функцией задачи (1.7.1)—(1.7.2) является функция с+гоо м- / ЙЩ

С—100

Лемма 2.1. Пусть д(ж) полуограничена. Тогда задача

В^у - д{х)у = 0, (41)

ВЫУ\Х=о = ВЫУ\Х=1 = 0 имеет единственное тривиальное решение у = О Следствие 2.1. Оператор

Б^у + ц (х)у = О,

Ау=< имеет обратный.

С помощью сформулированных предложений доказывается Теорема 2.1. Система собственных и присоединенных функций оператора А полна в £2(0,1)

Из теоремы 1 следует Замечание 2.1. Система функций у(х, А„) - х^~'1оЕр{Хх^, 1 + /л - /1о)+ 1 у (1 - - Ф, 112 - 1*0Ап)йЬ о полна в £2(0,1), здесь Ап - нули функции шр(\) = Ер(\, 1 + ¡11 - /¿0)+ 1

1 (1 - £)№-/1°1£?р(А(1 - М2 - Й)М*М*; о

В этом же параграфе изучены вопросы полноты системы собственных функций задачи в следующей постановке:

Наряду с операторами ^^/(я) (к = 0,1,2) введем в рассмотрение аналогичные операторы дробного интегродифференцирования.

Приняв обозначения к к 72-; - 1, Д* = °к + 1 = X] (к = 2)'

0 j=0 определим эти операторы следующим образом л (РО

Я^/М = т-п—ТТ-/М' (42)

-р-ъ) ¿ъ ¿10

0*2 =

Найти нетривиальное решение г(х, Л) уравнения 70,71,72} = ^г - {А + д(х)}г = 0, х € [0,1), удовлетворяющее условиям

В^г(х,\)\х=1 = з т(3,

В^г(х,\)\х=1 = -созр.

Доказана следующая Теорема 2.2. Оператор

В^г - = 0,

Ах =

В^г . = 0, В^х п = 0

Х-1 ' 2=0 в £2(0,1) имеет полную систему собственных и присоединенных функций.

Во втором параграфе исследуются вопросы полноты систем собственных функций следующей задачи:

Си = -и" + ^ В^и + д(х)и = \и; i=\

0) - 0, и(1) = 0.

43)

44)

Здесь 0 < а{ < 1 (г = 1,2,., п).

Отметим, что вопросы полноты для систем собственных функций ранее изучены Т.С. Алероевым [10]-[15] для задач вида п

-и" + ^ (ц(х)в$.ш{(х)и + Хи = 0, 1 и( 0) = 0, и(1) = 0 и п ¿=1

2(0) = 0, г{1) = 0.

Здесь (БцI)* - оператор, сопряженный оператору дробного дифференцирования .

Доказана следующая

Теорема 2.3. Система собственных функций задачи (43)-(44) полна в пространстве £г(0; 1).

Рассматривается стандартная модель линейного вязкоупругого тела [75, с. 149], которая имеет вид г=1 1=1 где о = <т(£) и е = - напряжение и деформация в момент времени Ь; Ь{, Ео, Е{ - заданные величины.

Частным случаем (45) является модель Максвелла йа ^ в,е + ТТГ Етж (4б)

В совместной с Кехарсаевой Э.Р. и Алероевым Т.С. работе [57], см. также [55]—[60] изучены прочностные характеристики одного класса полимеров, что привело к необходимости решения уравнения

70 = ЕоИ^е.

Здесь установлено, что участок эластичности деформационной кривой аппроксимируется интегральной кривой уравнения (47).

В этой части работы анализируется уравнение (47) и его решения.

В параграфе 2 главы 3 исследованы особенности притока нефти к скважине в трещинном деформируемом пласте.

В промысловой практике зависимость действующей толщине пласта от градиента давления, аппроксимируется степенной зависимостью вида Я >

0 < а < 1.

48)

В диссертации данная зависимость заменена на зависимость н = г^ЩгР, О < а < 1, (49) здесь - дробная производная Римана-Лиувилля. А широко используемое в промысловой практике уравнение

2а+1 р йГ а йр г

50) где а = ——-Н:-, о а№\Уркр\а

2-к кг

27г Нкг тогда заменится на уравнение а0(ад2Ур = а\ + ахгВ1тр.

Показано, что решение последнего уравнения можно искать в виде степенного ряда при а ~ 0 или аи1.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации, посвященной исследованию линейных краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка и их применению, получены следующие основные результаты:

5. Доказана теорема о системе собственных и присоединенных функций класса линейных дифференциальиых операторов дробного порядка с полуограниченным потенциалом.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Гачаев, Ахмед Магомедович, Нальчик

1. Алероев Т.С. Об операторах преобразования // Сборник научных трудов МФЮА, 2005. С. 3-8.

2. Алероев Т.С. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения 2-го порядка с дробными производными в младших членах // Дифференц. уравнения, 1982. Т.18, № 2. С. 341-342.

3. Алероев Т.С. К проблеме о нулях функции Миттаг-Леффлера и спектре одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения, 2000. Т.36, № 9. С. 1278-1279.

4. Алероев Т. С. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений дробного порядка // Доклады РАН, 1995. Т. 341, № 1. С. 9-11.

5. Алероев Т. С. О полноте системы собственных функций одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения, 2000. Т.Зб, № 6. С. 829-830.

6. Алероев Т.С. О собственных значениях одного класса несамосопряженных операторов // Дифференц. уравнения, 1994. Т.ЗО, № 1. С. 169-171.

7. Алероев Т. С. О собственных значениях одной краевой задачи для дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения, 2000. Т.36, № 10. С.1422-1424.

8. Алероев Т.С. О собственных функциях одного несамосопряженного оператора // Дифференц. уравнения, 1989. Т.25, № 11. С. 1996-1997.

9. Алероев Т.С. Об одной краевой задаче для дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения, 1998. Т.34, J№ 1. С. 123.

10. Алероев Т.С. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных операторов // Дифференц. уравнения, 1984. Т.22, № 1. С. 171-172.

11. Алероев Т.С. Формула для вычисления собственных значений одного несамосопряжешюго оператора. Труды института математики НАНУ, Киев, 1994. С. 3-8.

12. Алероев Т.С. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук, 1994. Т.1, № 1. С. 6-7.

13. Алероев Т. С., Гачаев A.M. К проблеме о нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Материалы международного Российско-Узбекского симпозиума. Нальчик, 2003.

14. Алероев Т. С. Об одном классе операторов, соответствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 6. С. 1201-1207.

15. Алероев Т.С., Гачаев A.M. Об одном классе интегральных операторов сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка I: ЧГУ, Грозный. 2003. 10 с: рус. - Деп. в ВИНИТИ. 14.11.2003, № 1977-В2003. № 1, 2004.

16. Бабенко Ю.И. Тепло- массообмен. Метод расчета тепловых и диффу-зионых потоков. Л.: Химия, 1986. 381с.

17. Баренблатт Г. И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. -М.: Наука, 1972. 287 с.

18. Бартенев Т.М., Бартенева А.Г. Релаксационные свойства полимеров. М.: Химия, 1992. - 381 с.

19. Бегли Р.Л., Торвик П.Дою. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка новый подход к расчету конструкций с вязкоупругим демпфированием // Аэрокосмическая техника. 1984, т.2, № 2. С. 84-93.

20. Бэюихатплов Х.Г., Нахушев A.M. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // ДАН СССР. 1968. Т. 183. № 2. С. 261-267.

21. Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев A.M. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик: КБГУ, 1972. 290 с.

22. Бленд Д. Р. Теория линейной вязкоу пру гости. М.: Мир, 1965. - 199 с.

23. Болътерра В. Теория функционалов, интегральных и иптегродиффе-ренциальных уравнений. М.: Наука, 1982.

24. Ворошилов A.A., Килбас A.A. Задача Копш для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто // Дифференц. уравнения. 2006. Т.42. №5. С. 599-609.

25. Гачаев A.M. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка // Материалы Республиканской научно-практической конференции (27 ноября 2004 г.). Грозный, 2004. С. 62-63.

26. Гачаев A.M. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения дробного порядка. Тезисы докладов Воронежской математической школы "Современные методы теории краевых задач "Понтря-гинские чтепияХУН. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 44-45.

27. Гачаев A.M. О полноте систем собственных функций оператора второго порядка с дробными производными в младших членах // Материалы III Школы молодых ученых. Нальчик. 2005. С. 14-16.

28. Гачаев A.M. О полноте системы собственных и присоединенных функций одной краевой задачи // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук, 2005. Т. 7, № 2. С. 12-13.

29. Гачаев A.M. Об одном операторе, сопутствующем дифференциальному уравнению дробного порядка // Труды ГГНИ, Грозный, вып. 4. 2004. С.16-24.

30. Гачаев A.M. Описание резольвентного множества оператора дробного интегрирования // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук, 2005. Т. 8, № 1.С. 16-18.

31. Гачаев A.M. Об одном способе приближенного решения задачи Дирихле для дифференциального уравнения с дробной производной // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ "Попт-рягинские чтения XVIIм. Воронеж. 2006. С.35.

32. Гачаев A.M. О полноте системы собственных функций оператора дробного дифференцирования // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2006. Приложение № 9. С. 14-19.

33. Гачаев A.M. Начальные и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 2006. Т. 8, № 2. С. 9-15.

34. Гачаев A.M. Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // Материалы III Международ, конф. B&Nak-2006. Нальчик, 2006. С. 78-80.

35. Гачаев A.M. Анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважине в трещинном деформируемом пласте // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2006. Приложение № 10. С. 4-8.

36. Глушак A.B. О задаче типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной // Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер. физ.-мат. Воронеж, 2001. К0- 2. С. 74-77.

37. Глушак A.B. О связи решений абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные // Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер. физ.-мат. Воронеж, 2002. № 2. С. 61-63.

38. Головизиин В.М., Короткий И.А. Методы численного решения некоторых одномерных уравнений с дробными производными // Дифферент уравнения. 2006. Т. 42. №7. С. 907-913.

39. Джрбашяи М.М. // Изв. АН АрмССР, 1970, Т.75, № 2. С. 71-96.

40. Дэюрбагиян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука. 1966. - 677 с.

41. Доюрбашян М.М. Об асимптотическом поведении функции типа Миттаг-Леффлера // ДАН АрмССР, 1954, 19, № 3. С. 65-72.

42. Дэюрбашян М.М. Об интегральных преобразованиях, порожденных обобщенной функцией типа Миттаг-Леффлера // Изв. АН АрмССР, сер. физ.-мат. наук, 1960, 13, № 3. С. 21-63.

43. Джрбашяи М.М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувилля // Изв. АН АрмССР, сер. физ.-мат. наук, 1970, Т. 5, № 2. С. 71-97.

44. Джрбашян М.М. Базисность биортогональных систем, порожденных краевыми задачами для дифференциальных операторов дробного порядка // ДАН СССР, 1981. Т. 261, № 5. С. 1054-1058.

45. Джрбашян М.М. Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики. Сборник докладов 7-го сов.-чехосл. семинара. Ереван: изд-во Ереван, ун-та, 1982. С. 103-111.

46. Джрбашян М.М., Акопяи С.А. К теории интегральных преобразований с ядрами Миттаг-Леффлера // ДАН АрмССР, 1964, 38, № 4. С. 207-216.

47. До/србашяи М.М., Нерсесян A.B. Дробные производные и задача Ко-ши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. АН АрмССР, 1968, Т. 13, № 1. С. 3-28.

48. Джрбашяп М.М., Нерсесян A.B. О примеиении некоторых интегро-дифференциальньгх операторов // ДАН СССР, 1958, Т. 121, № 2. С. 210-213.

49. Диткии В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 542 с.

50. Золииа A.A. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа // ЖВМ и МФ. 1966. Т. 6. №6. С. 991-1001.

51. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // Успехи математических наук. Т. 26, № 4. С. 1-41.

52. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР, 1951. Т. 77. С. 11-14.

53. Келдыш М.В., Лидский В.Б. Вопросы спектральной теории несамосо-пряжепных операторов. Труды IV всесоюзного математического съезда, 1963, 1. С. 101-120.

54. Кехарсаева Э.Р., Алероев Т. С. // Пластические массы. 2001. - № 3. - С. 35.

55. Кехарсаева Э.Р., Алероев Т. С. Модель деформационно-прочностныххарактеристик хлоросодержащих полиариатов на основе диана // Материаловедение, 2000. № 8. С. 50-51.

56. Кехарсаева Э.Р., Гачаев A.M., Алероев Т.С. Модель деформационно-прочностных характеристик хлоросодержащих полиэфиров // Пластические массы, 2004, № 11. С.35.

57. Кехарсаева Э.Р., Микитаев А.К., Алероев Т.С. Модель деформационно-прочностных характеристик хлоросодержащих полиэфиров на основе производных дробного порядка // Пластические массы, 2001, № 3.

58. Кехарсаева Э.Р., Микитаев А.К. Корреляция между деформацией полимерных пленок и молекулярными параметрами полимеров // Высокомолекулярные соединения, 1986. Т. 28Б, Ш 3. С.35-36.

59. Кехарсаева Э.Р., Микитаев А.К., Хадаев A.M. Исследование физико-химических свойств некоторых полиарилатов // Физико-химические методы исследования, Махачкала, 1996. С. 72-74.

60. Килбас A.A., Марзан С.А. Нелинейные дифференциальные уравнения с дробной производной Капуто в пространстве непрерывно дифференцируемых функций // Дифференц. уравнения. 2005. Т.41. №1. С. 82-86.

61. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

62. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. М.: Гостехиздат, 1950. 159 с.

63. Лидский В. Б. О полноте системы собственных и присоединенных функций несамосопряженного дифференциального оператора // ДАН СССР, 1956. Т.110, № 2. С. 172-175.

64. Лидский В.Б. Несамосопряжеппый оператор типа Штурма-Лиувилля с дискретным спектром // Труды Московского мат. общества. 1960, № 9. С. 45-79.

65. Лидский В.Б. Труды Московского мат. общества. 1959, № 8.

66. Маламуд М.М. О возмущениях оператора дробного интегрирования // Функциональный анализ и его приложения. 1979. Т.13, № 2. С. 8586.

67. Маламуд М.М. // Доклады национальной академии наук Украины. 1998. № 9. С. 39-47.

68. Мацаев В.И. Об одном классе вполне непрерывных операторов // ДАН, 1961. Т. 139, № 3. С. 548-552.

69. Мацаев В.К, Палант Ю.А. // Укр. мат. журнал. 1962. - Т. 14, № 3. - С. 329-337.

70. Мейлаиов Р.П., Янполов М.С. Особенности фазовой траектории "фрактального" осциллятора // Письма в ЖТФ. Вып. 1. 2002. Т. 28.

71. Наймарк М.А. О разложении по собственным функциям несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка // ДАН СССР, 1953. № 89. С. 213-216.

72. Наймарк М.А. Исследование спектра и разложение по собственнымфункциям несамосопряженного оператора 2-го порядка на полуоси // Труды Московского математического общества, 1954. Т. 3. С. 181-270.

73. Наймарк М.А. О некоторых признаках полноты системы собственных и присоединенных векторов линейного оператора в гильбертовом пространстве // ДАН СССР, 1954. № 98. С. 727-730.

74. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.7G. Нахушев A.M. К теории дробного исчисления // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 2. С. 313-324.

75. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. Нальчик: Логос, 1995. - 50 с.

76. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.

77. Нахушев A.M. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // ДАН СССР. 1977. Т. 234, № 2. С. 308-311.

78. Нахушев A.M. Математические модели вязкоупругого тела // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2000. Ш 3. С. 107-109.

79. Нахушева В.А., Нахушев A.M. О некоторых дифференциальных уравнениях дробного порядка и их приложениях. В кн.: Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. АМАДЕ-99.

80. Тезисы докладов Международной конференции 14-18 сентября 1999 г. Минск, Беларусь.

81. Нахушева В.А., Нахушев A.M. О некоторых прикладных аспектах дробного исчисления. В кн.: Тезисы XIV Международной конференции "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество". Тор-скол, 1999.

82. Нахушева В.А., Нахушев A.M. Дробное исчисление математическая основа уравнения состояния фрактальных сред. В кн.: Тезисы XVI Международной конференции "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество". Эльбрус, 2001.

83. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 173 с.

84. Нахушева В.А. Об одном классе дифференциальных уравнений состояния фрактальных сред. В кн.: Вторая международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". 3-7 декабря, Нальчик, 2001.

85. Попов А.Ю. О спектральных значениях одной краевой задачи и нулях функции Миттаг-Леффлера // Дифференц. уравнения. 2002. Т.38, № 5. С.611-621.

86. Попов А.Ю., Седлецкий A.M. Распределение нулей функции Миттаг-Леффлера // Докл. АН. 2003. Т. 390, № 2. С. 165-168.

87. Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

88. Псху A.B. О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Мат. заметки. 2005. Т. 77, № 4. С. 592-599.

89. Работное 10.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 261 с.

90. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

91. Седлецкий A.M. // Мат. заметки. 2000. - Т. 68, № 5. - С. 710-725.

92. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2002.- 144 с.

93. Треногий В.Л. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

94. Чадаев В.А. Задача Коши в локальной и нелокальной постановках для квазилинейных уравнений дробного порядка // Известия КБНЦ РАН. 2002. №1 (8). С. 123-127.

95. Чадаев В.А. Видоизмененная задача Коши для квазилинейного уравнения дробного порядка // Доклады Адыг. (Черкесс.) межд. акад. наук. 2005. Т. 8. №1. С. 64-67. С. 123-127.

96. Шаймуратов Р. В. Гидродинамика нефтяного трещинного пласта. -М.: Недра, 1980. 223 с.

97. Abel N.H. Solution de quellques problèmes a laide d'integrales defines

98. Gesammcite mathematische werke. Leipzig-Tuebner, 1881. T.l. P.ll-27. (First publ. in Mag. Naturvidenkaberne, Aurgnag 1. Bd 2. Christiania 1823).

99. Dagley R.L., Torvik P.J. A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelustically damped structures // J. Rheol. 1983. V. 27. № 3. P. 201-213.

100. Barret J.H. Differential equations of non-integer order // Canad. J. Math, 1954, 6, 4, 529-541.

101. Caputo M. Elasticita e Dissipazione. Zanichelli, Bologna (1969) (in Italian).X

102. GementA. A Method of Analyzing. Experimental Results, Contained from Elasto-Viscous. Physics. 1936. V. 7. P. 311-317.

103. Gement A. On Fractional Differential. Fhilosophical Magazine. 1938. V. 25, P. 540-549.

104. Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus (Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order).

105. Riemann B. Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation // Gesammelte Mathematische Werke. Leipzig: Teubner, 1876. P.331-344.

106. Wiman A. Uber die Nulstellen der Funktionen // Acta Math., 1905, 29, 217-234.