Абсолютно непрерывное подпространство несамосопряженного оператора и теория рассеяния тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный Университет

ОД..........-............—--:—

На правах рукописи УДК 517.9

РЫЖОВ Владимир Анатольевич

АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО НЕСАМОСОПРДЖЁННОГО ОПЕРАТОРА И ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ

(01.01.03 - математическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико - математических наук •

САНКТ - ПЕТЕРБУРГ

1995

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Санкт-Петербургской Государственной академии аэрокосмического приборострешшя (СНбГААН)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор С'ПбГ.У Набоко С. Н.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, ведущий научи, сотр. НИИ ВМ и ПУ СПбГУ Авдонин С. А.,

кандидат физико-математических наук, научн. сотр. ГЮМИ РАН Капустин В. В.

Ведущая организация: Симферопольский Государственный

университет (Украина)

Защита диссертации состоится ^Ь " ДАЛут 199 Гг. в Л 5" ч. 3& мин. на заседании специализированного совета К.063.57.17 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических наук в .Санкт-Петербургском Государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского Государственного университета.

Автореферат разослан

Учёный секретарь специализированного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Как известно, исследование большинства за дач физической теории рассеяния сводится к изучению асимптотического (в "бесконечно далёком прошлом" и в "бесконечно далёком будущем") поведения решений пары эволюционных уравнений. Наиболее хорошо изученной является ситуация пары линейных ди-намичеп их уравнений (в, вообще говоря, различных гильбертовых прострнич шах) первого или второго порядка по времени с самосопряжёнными операторами в правых частях (задач Коши). В приложениях этими операторами обычно являются дифференциальные операторы в частных производных (в частности, операторы краевых задач), описывающие исследуемую пару физических систем. В то же время давно стало ясно, что, - безотносительно к физическим приложениям, - методы, характерные для теории рассеяния, с успехом могут быть использованы в задачах спектрального анализа самосопряжённых операторов.

Развитие математической теории рассеяния в контексте общей теории операторов, стимулированное как запросами физических наук, так и своей внутренней логикой, неизбежно приводит к потребности в расширении круга рассматриваемых задач. Одним из направлений исследования, преследующих эту цель, является несамосопряжённая теория рассеяния, имеющая дело с парой динамических уравнений, операторы в правых частях которых не предполагаются самосопряжёнными. Желательность такого обобщения "самосопряжённой" теории естественно возникает при рассмотрении физических задач, описывающих неконсервативные системы, процессы в которых протекают с поглощением и/или с выделением анергии. С точки зрения теории операторов развитие несамосопряжённой теории рассеяния представляется весьма полезным в целях лучшего понимания спектральной структуры несамосопряжённого оператора.

Точная формулировка положений несамосопряжённой теории рассеяния неизбежно приводит к двум различным (хотя и взаи- ' мосвязанным) задачам. Первая - описание класса операторов, для которых можно в каком-либо разумном смысле ввести основной объект теории рассеяния - абсолютно непрерывное подпространство, элементы которого ответственны за "асимптотически регу-

3

лярное" поведение соответствующей физичеппй системы; вторая

- согласованное со свойствами этого подпространства определение волновых операторов для пары операторов выделенного класса, а также формулировка достаточных условий их существования. Также весьма важной, хотя и не основной, является задача описания так называемого сингулярного подпространства - совокупности векторов исходного пространства, не принимающих участия в процессе рассеяния.

В представленной работе предлагается вариант построения "несамосопряжённой" теории рассеяния, органически связанный с результатами проведённого предварительно исследования спектральной структуры одного класса несамоопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Этот класс включает в себя ряд важных для приложений оператороп в частных производных, описывающих конкретные неконсервативные физические системы (многочастичное уравнение Шрёдингера с комплексными потенциалами парных взаимодействий, рассеяние электромагнитных, упругих, акустических волн на "активном" препятствии, распространение волн в неоднородной среде с поглощением и др.). Его точное описание приводится ниже; здесь же укажем, что в большинстве физически значимых примеров входящие в него операторы характеризуются справедливостью для них некоторого варианта принципа предельного поглощения (существование в подходящем смысле граничных значений резольвенты на вещественной <н и-;.

Цель работы. Диссертация преследует следующие цели. Первая

- разработка и упорядочение тех положений теории линейных операторов, каковые могли бы служить фундаментом для дальнейшего развития несамосопряжёной теории рассеяния.'Здесь речь идёт о первую очередь о понятиях абсолютно непрерывного и сингулярного подпространств линейного оператора. Вторая определение различных типов волновых операторов, обычных для самосопряжённой теории, и формулировка достаточных условий их существования. В работе эти условия выражены в (характерных для так называемого стационарного подхода теории рассеяния) терминах граничных значений "окаймлённых" резольвент.

Методика исследования. Основным инструментом исследования спектральной структуры исгамосопряжёниого оператора в диссер-

тации является изучение; его функциональной модели, построению которой посвящены две первые главы. При определении волновых операторов для несамосопряжённой пары используется надлежащим образом модифицированная методика стационарного подхода "самосопряжённой" теории рассеяния. Развитие соответствующего математического аппарата опирается на технику теории оснащённых и интерполяционных пространств.

Научная новизна. ГЗсе основные результаты диссертации являются новыми.

1. Проведено построение функциональной модели вполне несамосопряжённого замкнутого оператора с непустым резольвентным множеством, форма которой удобна при изучении операторов, "не слишком сильно" отклоняющихся от самосопряжённых. Явно указаны формулы перехода в модельное пространство.

2. Рассмотрены примеры построения функциональных моделей несамосопряжённых расширений симметричных операторов с одинаковыми (возможно, бесконечными) индексами дефекта.

3. Изучен вопрос определения и эквивалентных описаний локальных абсолютно непрерывных и сингулярных подпространств несамосопряжённого оператора выделенного класса. -

4. Предложено согласованное с имеющимся функциональное исчисление для абсолютно непрерывной части несамосопряжённого оператора этого класса, а также сформулированы достаточные условия для отделимости и полноты его локальных абсолютно непрерывного и сингулярного подпространств. Исследован вопрос локализации абсолютно непрерывного спектра.

5. Предложено согласованное с имеющимся в самосопряжённой ситуации определение волновых операторов для пары линейных операторов выделенного класса.

6. Для "несамосопряжённого" случая доказаны основные теоремы существования различных волновых операторов: слабых стационарных, слабых и сильных нестационарных, абелевых.

7. Обсуждены свойства волновых операторов всех перечисленных типов и получены условия совпадения сильных нестационарных волновых операторов с операторами, связывающими асимптотики решений пары соответствующих динамических задач.

Научная и практическая ценность. Работа имеет теоретический

о

характер. .Полученные результаты представляют интерес для специалистов па спектральной теории несамосопряжённых операторов, дифференциальных операторов в частных производных, теории рассеяния, теории функциональных моделей. Развитая в диссертации методика может быть использована в задачах об абсолютно непрерывном спектре несамосопряжённых (дифференциальных) операторов: при .изучении волновых процессов, происходящих в неоднородной (возможно, активной) среде в присутствии поглощающего рассеивателя, в ряде задач квантовой механики, при построении спектральных разложений по собственным функциям абсолютно непрерывного спектра несамосопряжённых операторов, изучения свойств соответствующих 'преобразований Фурье", конструкции прямого интеграла Дж. фон Неймана и др.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах по теории несамосопряжённых операторов на кафедре математической физики СПбГУ (руководитель: Б. С. Пав-лои), на семинаре по спектральной теории операторов и теории функций лаборатории математического анализа Н! -'МИ РАН (руководители: Н. К. Никольский, В. П. Хавин).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре статьи.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на параграфы, приложения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 195 страниц машинописного текста. Библиография содержит 74 наименования.

Содержание работы

Во введении приводится краткий обзор работ, имеющих непосредственное отношение к теме диссертации. Описывается постановка задач, решаемых в диссертации, и формулируются основные полученные результаты.-

Первая глава носит предварительный характер. Здесь сообщаются основные сведения о диссипативных операторах (понятия самосопряжённой дилатации, характеристической оператор-функции и др.). Основной задачей параграфов 1.2, 1.3 является построение активно используемой в дальнейшем функциональной модели Б. -С. Надя Ч. Фчпши замкнутого вполне несамосопрнжённого дис-

сипативного оператора с резольвентным множеством, включающим нижнюю полуплоскость. При этом в основу кладётся конструкция С. Н. Набоко [1], обобщающая результаты Б. С. Павлова [2] по данному вопросу. Необходимые для построений предварительные результаты заимствованы из [3, 6]. В основном они приводятся без доказательств.

Глава 2 посвящепа построению функциональной модели недисси-пативного замкпутого оператора с непустым резольвентным множеством, приспособленной для изучения операторов, "не слишком сильно уклоняющихся от самосопряжённых". Следуя [1], в качестве модельного используется модельное пространство Б. С.Надя - Ч. Фояша некоторого "близкого" к исходному диссипатив-ного оператора, явный вид которого удаётся получить, опираясь на теорию пассивных линейных стационарных динамических систем. Отправной точкой при этом служит обнаруженная для более специального случая в [1] связь между характеристическими функциями исходного оператора и "близкого" к нему диссипа-тивиого. Она осуществляется посредством некоторого операторного дробно-линейного преобразования (преобразования Потапова-Гинзбурга, ПГ-преобразования) Получаемые здесь явные формулы, связывающие резольвенты исходного и "близкого" к нему операторов, позволяют провести построение функциональной модели в точности следуя плану [1].

Введём необходимые для дальнейшего изложения обозначения, используемые в работе.

Обозначения. В сепарабельном гильбертовом пространстве H рассматривается замкнутый оператор L с плотной в H областью определения V(L). Предполагается, что p(L) П С± ф 0 (p(L) - резольвентное множество L; С± := {z € С |"± Зшг > 0}) и, кроме того, L вполне несамосопряжён. Последнее означает отсутствие у L нетривиальных приводящих самосопряжённых частей. Пусть для определённости (—г) G p(L). Операторы Q := R + R* — 2R*R, Q* := R +- R* — 2RR*, где R := i(L + ¿J)-1 самосопряжены в Я и J := sign ОI J, '•= sign (2,1^, где E := clos QH, E, := clos Q,H, являются инволюциями в E, E, соответственно. Пусть G, G„ - замыкания отображений G := \Q\l'2(L + il), G, := |e*|1/2(I* - il), заданных на V(G) = V(L), и D(Gt) = D(L*) соответственно. При этом

(-i)[(Lu,v) — (u,Lv)\ = (JGu,Gv) для и, v £ V(L) (аналогично с заменой L, J, G на (—L*), Jt, G» для и, v 6 V(L*)). Нормированная характеристическая оператор-функция ©(•) оператора L аналитична на множестве p(L*), принимает значения в пространстве ограниченных операторов, действующих из Е в Е, и однозначно определяется тождеством (и € V(L), z € p(L*)): e(z)Gti = Gt(L* ~zI)~l(L-zI)u.

Глава 3 содержит результаты об абсолютно непрерывных (а. п.) и сингулярных (с.) подпространствах несамосопряжённого оператора выделенного класса. Всюду далее в диссертации считается выполненным следующее

Условие А. Существует почти всюду положительная функция £°(к), к е М, такая что k±ie € p{L*) при 0 < е < е°(к) и существуют пределы

w - lim в(к ± ie) =: в(к ± гО), е < s°(ir), п, п. к 6 R.

являющиеся слабо измеримыми оператор-функциями.

Смысл Условия А в ряде случаев может быть сведён к предположению о справедливости для оператора L некоторого варианта принципа предельного поглощения.

Сформулируем определения (локальных) а. н. и с. подпространств. С этой целью введём обозначение R(z) (L — г/)-1, г 6 p(L) для резольвенты L. Условие А обеспечивает с уществование пределов

w-lim[GR(k±ie)u], lim ± ie). u.v е Н.

где S£r(s) := (R(z)u,v),z € ^1)ПС±.

ПустьаГ„,„(£) := + «0) - 3ZJk - i0), п. в. к е R "скачок

резольвенты", f> С И - измеримое по Лебегу подмножество вещественной оси,

Д-'(Л) := {„.g Н | 0Ги,,.(к) = 0, п. в. к € <">, Vc g Я} , Л',*(/>)':= {г G Я | ОТиАк) = 0. п. в. к 6 Л. V» е И}. Л\П(Л) := Я©Л-(Л), Л'"(6) := Я © ЛТ(/>).

8

Определение. Для 6 С К подпространства N"(6), №(6) называются (локальными) сингулярным и абсолютно непрерывным подпространствами оператора Ь, соответствующими множеству 6.

По перечисленным выше вопросам в гл. 3 получены следующие результаты, которые можно рассматривать как развитие известных положений "самосопряжённой" теории.1

Теорема 1. Для и 6 Н следующие утверждения эквивалентны:

(1) и €N'(6),

(2) СЩк + Щи = СВ(к - ¿0)и, п. в. к € 6, где

вЩк ± ¿0)« := V - Ига£;0 [вЩк ± ¿е)ы].

Если для п. о. к 6 К <,, . ствуют пределы я - 1ипг(о [0(& ± г£■)]*, то любое из утверждений (1), (2) равносильно каждому из следующих ' четырёх:

(З*) Шп-ю е\\Щк ± г'с)и||2 = 0, п. в. к € 8, (4*) а^и, V; к) = 0 п. в. к £ 6, V е Н, где а±(и, г>; к) :— Нт£(о е(Л(к±ге)и, Л(kdЬг£)v), причём указанные пределы существуют при п. в. к 6 К для и, и € Н.

Теорема 2. (1) N"(6) =с1озЛ'(<5) =с1оз91(<5), где

N(6) := {« 6 Я | СЯ(*)и 6 Н?{Е),

<ЗД(Л + ¿0)и = - !'0)и, п. е. £еК\<$}, т(&) := {иен| €дги,„{к) = о, п. в. кек\б, у^€н}.

(Н*, Н^Е) - классы Харди скалярных и Е—значных функций).

(2) Для измеримого множества X, X С К обозначим через Нх максимальное инвариантное подпространство оператора Ь такое, что Цнх подобен самосопряжённому абсолютно непрерывному оператору со спектром в X (Нх = {0}, если такого пространства не существует). Тогда Нх С На(Х) и Ма{Х) = ярап (Яд- | X С Ь).

1 Чтобы не обременять изложение ненужными подробностями, мы предпочитаем не использовать здесь "модельные" термины, хотя основным инструментом исследования п гл. 3 служит построенная в гл. 1. 2 функциональная модель. По зтой же причине мы опускаем формулировки чисто

"модельных" результатов.

Теорема 3. Для и 6 Я утверждения (1) - (3) равносильны:

(1) ¿ея(«),

(2) и 6 51(6) и найдётся константа С = С(и) < оо такая, что

11^,Лк < С • 1М1 Щ'и всех V € II,

(3) Для любого оператора В: II —+ II класса Гильберта-Шмидта ВН(г)и е Я2±(Я) и ВЩк+Ю)и = ВЩк-Щи п. е. к 6 где ВП(к±Ю)и := Нш£|о [ВЩк±ге)и] существует для п. в. к € К-

Цитированные факты позволяют ввести функциональное исчисление для а. н. части оператора Ь (т. е. для сужения £|л"-(к)) "привычным" способом и проверить его согласованность с исчислением, определённым посредством функциональной модели. Сформулируем лишь один относящийся сюда результат.

Теорема 4. Пусть 6 С Ж. Тогда дЭ'и<„ 6 ¿1(6) для всех и е Н(6) := Л^Е) + N"(6), V 6 Н и оператор "Р(6), определённый на Н{6) своей формой {Т>(ё)и,1>) := (27гг)-1 /6 дТи<„{к) ¿к, и € Н(6), ») € Я, является спектральным проектором из Н(6) на N(6) параллельно N'(6) в смысле выполнения следующих равенств

Р(6)Щ6) = N{6), кегТ(6) = N'(6), [Р{6)}2 = Р(,5), ■Щг)Т{6)и = Т(6Щг)и, и 6 Н(ё), г 6 р{Ь).

Кроме тп^, Р(6)и — Л'л(£|лт«(®))и для и € АГ(К), где правая часть определена с помощью функциональной модели оператора Ь.

Следующая теорема является "локальным" обобщением на рассматриваемый случай нескольких известных фактов о подобии оператора самосопряжённому и об отделимости его а. н. и с. подпространств.

Теорема 5. Пусть для 6 £ К имеет место следующая оценка: еж8щ>(11(1+Л)е(к~Ю)(1+1)Ц + \1(1-^)в(к+Ю)(1-Щ < С(6) < оо.

Тогда: (1) ||Р(Л)|| < оо, (2) ЛГ«(/>)ПЛГ"(Й) = {()}, (3) N(6) = №(6),

(4) + - II. (5) = Нь (см. определение, в теоре-

ме 2).

10

Глава 4 играет подготовительную роль для проводимого в гл. 5 обсуждения задач несамосопряжённой теории рассеяния. Здесь описана некоторая трактовка а. н. подпространства песамосопря-жёппого оператора как оснащённого гильбертова пространства. Именно, на определённом в теореме 2 линеале N := jV(R) вводится норма (Х± := (1/2)[/± /], j . N):

ll/lll == 11/111/ + ^ - zir4\\],t + ||X-G(L - 2/)-7И2,;з-] ,

относительно которой N становится (полным) гильбертовым пространством Л/"+. Так как N плотно в N" := JV0(R), то есть позитивное относительно N" пространство. Индуцированная вложением N" цепочка jV+ С Na С Л/"-, где J\f~ - соответствующее' негативное пространство, является гильбертовым оснащением пространства N", изучению которого посвящен § 4.1. Мы затрагиваем вопросы о "локальной" структуре оснащения, об описании функционалов из Af~ и ряд других, представляющих, как нам кажется, методический интерес.

В § 4.2 для < С R вводится в рассмотрение (банахово) пространство Н+(6), определяемое как интерполяционная сумма пространств JV4" и N*(6), естественно вложенных в Н. Оказывается, трактуя линеал II(6) таким образом, можно не только упростить ряд формулировок теорем о функциональном исчислении для а. н. части оператора L, но и обрести удобный язык для разработки основных положений несамосопряжённой теории рассеяния, позволяющий максимально приблизить характер её утверждений к принятому в самосопряжённой теории; об этом речь идёт в гл. 5. Содержание главы 4 завершает сводка необходимых для дальнейшего свойств пространств вида ~Н+(6) и к ним сопряжённых Н~(6).

Глава 5 посвящена вопросу построения волновых операторов (ВО) для несамосопряжённой пары. За основу рассмотрений берутся результаты, известные из работ по самосопряжённой теории [5]2. Всюду в гл. 5 для (замкнутых, плотно определённых) операторов L0, Li, действующих в (различных) гильбертовых простран-

1 Подход работы (5] в вопросе определении волновых оператором ллп иеса-мосонрижёииой пары независимо ра ШИНД.И'Л А. С. Тихоновичи

11

ствах Но, #ъ считается выполненным следующее несколько более сильное, нежели Условие А,

Условие В. Существует почти всюду положительная функция е0(Л'), к 6 К, такая что к±¿е € р(£*) при 0 < £ < е°(к) и существуют пределы

з- Цт [в,-»£)]*, е < £°{к), п. в. кеЕ, ¿=0,1,

с10

являющиеся слабо измеримыми оператор-функциями. (Здесь в;(-) - характеристическая функция Ь/, = 0, 1.)

Для пары ¿о, , ограниченного оператора "отождествления" За! Но —* Н1 и борелевского множества Л' С К обсуждаются вопросы определения (локальных) волновых операторов различных типов, рассматриваемых обычно в "самосопряжённой" теории [5]. Это слабые стационарные ВО, слабые абелевы ВО, слабые и сильные нестационарные ВО, а также ВО, связывающие асимптотики решений'задач Коши (первого порядка по времени) с операторами 1о и ¿1 в правых частях, называемые нами "физическими ВО". Сформулируем здесь теоремы существования сильных нестационарных и "физических" ВО, дополнив введённые обозначения следующими: 0: ЛГ+ «—» N° - вложение позитивного пространства Л/"+ в основное, 3*: Я —» - сопряжённное отображение. Условимся также отмечать нижним индексом $ — 0, 1 связь того или иного объекта с оператором Ьо или Ь\.

Теорема 6. Предположим, что существует пара плотно заданных отображений О^ из ///, / = 0, 1 в некоторое вспомогательное гильбертово пространство таких, что С?о(£о — г)-1, — г)-1 ограничены при х € р{1*о) П р{Ь\) и

(?о(£о - -г)-1^,«!) - (Зо Ио,(£1 - г)_1«1) =

= (Со(1о - г)_1и0,С1(11 - г)_1и1), "о € #о,«П 6 НЛ.

Пусть, кроме того, .

Шпвир <Д\\й1{11 - кц^ ¿£-)-1|| < ос, п. в. кех,

и найдётся такое плотное в линейное множество Мо, что для Щ 6 Зо Mq при п. в. к б X

3 limGo(Lo - fe Т ге)-|ыо,

е J0

BlmiGiJ^YdoiLo-k + isy^Lo-k-ie)-1^.

Тогда существуют сильные нестационарные волновые операторы Wjf, ограниченно действующие из7{^(Х) в (Л'), для которых справедливы стационарные представления (f[i] - значение функционала С 6 Н~(Х) на векторе х 6 Н+(Х)}:

(W*/o)[/i]= f Ihn-iSoiLo-kTier'foALi-kTier'h)^, J ' 10 TT

■v

где /о € М0 + A'(f(.V). h € 7if(X).

Замечание. D диссертации операторы W^ определены "обычным способом" как сильные "временные" пределы последовательности ограниченных отображений из Н%(Х) в WJ"(.V). За неимением места это определение здесь не приводится.

X

Теорема 7. Пусть в предположениях теоремы 6 оператор L\ подчинён Условию В, для множества X справедливы оценки

««Кир(||еД* + ¿0)|| + \\Qj(k - .-0)||) < оо, j = 0,1, A-e.v

■где öj(-) - характеристическая функция оператора Lj, j — 0, 1 и 3 .ч - lim Л, (.V) (IIh - [Р, (Л')]*) во e-iL^V0{X) = 0.

1—'±ОС

Тогда существуют пределы

S lim cil",P1(X)30e-il"tr0{X)=-.Wi:,

t — ±riс

понимаемых■ в смысле сильной сходимости пространства ограниченных операторов ия Но в Н\. При атом

3s lim PH-VJk"'7"'^ - 3op-,/'°''A)(.V)1 = 0.

Г—.±0с L J

Вследствие последнего утверждения теоремы 7 определяемые ею (ограниченные) волновые операторы мы называем "физическими". Они обладают рядом обычных для волновых операторов свойств, известных из самосопряжённой теории рассеяния.

13

Глава 6 работы содержит краткое обсуждение вопроса модельного построения (локальных, отвечающих множеству X С М) "физических" волновых операторов для пары Ь, Ь*. Здесь мы следуем работе [1] и доказываем существование "модельных" ВО и их совпадение (с точностью до несущественных оговорок) с "физическими" ВО, построенными стационарным методом главы 5 в предположении выполнения Условия В для каждого из операторов X, Ь* и справедливости оценки нормы граничных значений характеристической функции из формулировки теоремы 7 (с опущенным индексом ]).

Приложение служит иллюстрацией материала, изложенного в основной части работы. Оно посвящено вопросам изучения несамосопряжённых расширений симметричного оператора, описываемых в терминах "пространства граничных значений". Изложение здесь проводится независимо от предыдущего и, аналогично [1], предлагает "прямое" построение модели недиссипативного расширения, основанное на явном указании "близкого" к нему дисси-пативпого оператора (также являющегося расширением исходного симметричного). Показано, что при этом характеристические функции исходного и "близкого" к нему операторов связаны ПГ-преобразованием и тем самым "прямой" подход из [1] в рассматриваемой нами ситуации эквивалентен изложенному в гл. 1, 2. Последняя часть Приложения содержит рассмотрение двух конкретных примеров симметричных операторов: один из них возникает в квантовомеханической задаче описания конечного набора потенциалов нулевого радиуса взаимодействия; второй - симметричный оператор, порожденный дифференциальным выражением Шрёдингера на полуоси с вещественным потенциалом, обеспечивающим ситуацию предельного круга Вейля на бесконечности. В явном ииде получены все объекты, знание которых необходимо для проведения спектрального анализа их несамсосопряжённых расширений ио изложенному в работе плану.

Список литературы

1. Набоко С. Н., функциональная модель теории возмущений и ее приложения к теории рассеяния, Тр. МИАН им. В.А.Стеклова 14Т (1980), 86 - 114.

2. Павлои Б. С., Самосопряжённая дилатация диссипатииного оператора Шрёдингера и ¡-ахю^ г.иие по его собственным функциям, Маг. сборник 102,

№ 4 (1975), 511 - 534.

3. Кудрлшов К). Л., CiLHMeinpu-HecKue и самосопряженные дилатации диссипа-тивных операторов, Теор. функций, функц, анализ и Их прилож. 37 (1982), 51 - 54, Харьков.

4. Makarov N. G., Vasjuilin V. I., A model for noncontraciiont and liability of ih« coniinuo«» »pecirum, Lect. Notes Math. 864 (1981), 365 - 412.

5. Бирман M. Ш.,Яфаев Д. P., Общая схема в стационарной теории рассеяния, Пробл. мат. физики, 12, изд-во ЛГУ, Л., 1987, с. 89 - 117.

6. Надь Б.-С., Фояш Ч., Гармонический анализ, операторов в гильбертовом пространстве, Мир, М., 1970, с. 431.

7. Тихонов" А. С., Принцип инвариантности волновых операторов для нес а-мосопряжённых и неунитарных операторов, Деп. в УкрНИИНТИ 25.10.88, 2727 - Ук88, Симферополь, 1988, с. 29.

Публикации по теме шссертации

1. Рыжов В.А. Построение функциональной модели несамосопряжённого оператора с непустым резольвентным множеством, Деп. в ВИНИТИ 21.12.89, 389-В90, С.-Петербург, 1990, 92 с.

2. Рыжов В. А. Функциональная модель одного класса несамосопряжённых расширений симметричного оператора, Деп. в ВИНИТИ 15.04.93, 973 - В93, С.-Петербург, 1993, 58 с.

3. Рыжов В. А. Локальныг абсолютно непрерывное и сингулярное подпространства несамосопряжённого оператора, Деп. в ВИНИТИ 03.11.93, 2732 - В93, С.-Петербург. '993, 58 с.

4. Рыжов В. А. Оснащённые абсолютно непрерывные подпространства и стационарное построение волновых операторов в не-самосопряжённой теории рассея! • \ Зап. науч.. семиняров С.-Петербургского отделения Мат. ин-та им. В.А. Стеклова Российской АН, т. 213, 1994, с. 149 - 177, С.-Петербург

РШОВ Владимир Анатольевич

АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО НЕСАМОС ОПРЯКЕННОГО ОПЕРАТОРА • И ТЕСРИЯ РАССЕЯНИЯ

Автореферат диссертации на ссискание ученой степени ■ '. кандидата физико-технических наук

Лицензия ЛР №020351 от 27.12.91 г. формат 60x84 1/16.Буыага тип.»3. Печать офсвтная, Усл.печ.л. 0,93. Уч.-изд.л.1,0. Тираж 100 экз. Заказ * 15 Подписано к печати гьМ.ЗВ,

' СПбГУ 199034.Санкт-Летербург,В-34 »Университетская

наб.,7

Отдел оперативней

полиграфии СПбГААП 190000, Санкт-Петербург, ул.Б.Морская,67