Применение спектральной теории систем коммутирующих несамосопряженных операторов к исследованию неоднородных случайных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§ I. Неоднородные случайные поля, корреляционные функции, инфинитеземальные корреляционные функции . . Z

§ 2. Линейно представимые случайные поля. Теорема о линейной представимости случайных полей . ZS

§ 3. Ранг неоднородности. Теорема о ранге для линейно представимых случайных полей. . . . . и

§ 4. Классификация линейно представимых случайных полей

ГЛАВА П. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНО ПРЕДСТАВИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

§ I. Общий вид инфинитеземальной корреляционной функции случайных полей классов К^ , К^ • 4 $

§ 2. Универсальная модель для системы дважды перестановочных операторов.

§ 3. Общий вид корреляционной функции неоднородных случайных полей некоторых классов

ГЛАВА Ш. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ЛИНЕЙНО ПРЕДСТАВИМЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ. Ц

§ I. Открытые системы ассоциированные с операторными узлами.

§ 2. Спектральное разложение случайных полей класса

§ 3. Спектральное разложение линейно представимых полей в случае, когда Л^ и Л^ полные диссипативные операторы

ГЛАВА 1У .ЛИНЕЙНО ПРЕДСТАВШИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ Л/с . . . 8 $

§ I. Определение. gg

§ 2. Линейно представимые случайные поля с инфинитеземальными операторами с чисто дискретным спектром. ?

§ 3. Линейно представимые случайные поля с инфинитезе-мальными операторами без спектра в конечной плоскости. .-f

ГЛАВА У. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ./10?

§ I. Критерии дважды перестановочности операторов для соответствующих линейно представимых случайных полей.j Of

§ 2. Вычисление ИКФ для линейно представимых случайных полей класса К„ .но

§ 3. Равномерно ограниченные линейно однородные случайные поля.

§ 4. Линейные преобразования однородных случайных полей .лъь

В данной работе методами теории несамосопряженных операторов изучаются некоторые классы неоднородных случайных полей, а именно, строится их корреляционная теория. Пусть (1Л. j

К Ю

- вероятностное пространство, Л -множество элементарных событий, V & - алгебра его подмножеств и Т* - вероятностная мера.

Как известно, если %(иэ- случайное поле*),со£CL (ОСрСС^) £ R^ , такое, что

М z (со^ ocuxL~) =r О j М 1&(со,ае^оел-)1Л<о* для любых (х^ j сер £ R2 , то его можно рассматривать как поверхность в сепарабельном гильбертовом пространстве Hg . Н^ представляет собой линейную замкнутую оболочку случайных величин %(сс>, CC.J J , когда ос<, Ос^ пробегают Rj . Н^ является подпространством более широкого пространства:

LL(n)= Ь (О»: (|35(СО-)^ V а*) <Соо] 1 л со скалярным произведением: fo.,2,) = я'Р&ЬО (0.1) ^СШ Л

В этом случае корреляционная функция поля ^C^u^s.) представляет собой скалярное произведение в Н^ : н*

Ограничение двумерным случаем не является существенным. Все результаты могут быть непосредственно обобщены на п -мерный случай.

Зависимость от со опускается). [4] 7 5] ■

Вместе с корреляционной функцией в диссертационной работе вводятся и изучаются инфинитеземальные корреляционные функции (ДО)

Щъ »м*)=- Mi С t}=4J= о

Однородные случайные поля, т.е. поля для которых корреляционная функция зависит лишь от разности аргументов:

0.3) хорошо изучены в рамках корреляционной теории случайных полей. Отметим, что для однородных случайных полей =

0 , поэтому когда ИКФ не равны нулю, их можно взять в качестве меры отклонения поля от однородного.

В работах £Z5] , [Z3J получены спектральные представления однородных случайных полей и спектральные разложения их корреляционных функций:

R^ (0.4)

RL

FO - конечная мера на б' -алгебре борелевских множеств в , % (• ) - аддитивная случайная функция, заданная на -алгебре борелевских множеств в и F^nsj

Непрерьюные однородные поля допускают представление в пространстве н^

V,*»' (0.5) где Ti^ ^ - двухпараметрическая группа унитарных операторов в Hg , Zq - фиксированная случайная величина из .

Используя спектральное разложение группы унитарных операторов в гильбертовом пространстве, легко получить спектральные представления (0.4).

В данной работе рассматривается класс линейно представимых случайных полей, т.е. класс случайных полей, которые допускают представление:

2 хД + гэе^

О > где ^ ) $2. ~ линейные ограниченные коммутирующие несамосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Н % , %0 - фиксированная случайная величина из Н^ • > •

В работах J , [ 5"J 7 [3 4 ] с помощью спектральной теории несамосопряженных операторов построена корреляционная теория линейно представимых случайных процессов: %(t)=z Q1 Z0 , Л - линейный ограниченный несамосопряженный оператор в

Hg ? £ hl^ .

С помощью треугольных и универсальных представлений несамосопряженных операторов, был найден общий вид корреляционной функции в зависимости от спектральных свойств оператора j? Для линейно представимых случайных полей, кроме спектральных свойств операторов ^ и , играет роль и отношение между ними, а именно, свойства коммутаторов ? J?2j } ^ , Л2j • Использование результатов спектральной теории систем коммутирующих несамосопряженных операторов с к], га,[9] , [ю] ) позволяет исследовать некоторые классы неоднородных случайных полей.

В настоящей работе, при помощи треугольных и универсальных моделей систем коммутирующих операторов, изучаются некоторые классы неоднородных случайных полей.

В первой главе указывается связь корреляционной функции и ИКФ, рассматриваются некоторые примеры. Одним из главных результатов этой главы является критерий линейной представимости.

Теорема I.I. Для того, чтобы комплекснозначная функция i-u действительных переменных Ж (ос: у) ? €>!)$£ Q R.n могла быть представлена в виде: i Л об х>,у-)=(1ю ц .где i.(x)=e Я0, с -i0CH ; Лое = + + , и - линейные ограниченные коммутирующие операторы в гильбертовом пространстве Н » необходимо и достаточно, чтобы:

I. Функция ое,гр была эрмитово неотрицательна: для любых последоваlm=i jf тельностей векторов из JL f 02 • f. и комплексных чисел

Л 1 Jim

•F

Z. Же

Ц) была дважды непрерывно дифференцируемая. 3. Существовала такая константа со ju )> 0 , что

J\& А i г Z-V^Kti • > л

К" ^ <> { " п0СлеД0вательн0СТИ векторов из , ki^ ) { ^ ~ последовательности комплексных чисел о

Пусть £ неоднородное случайное поле. Рангом неоднородности называется максимальный ранг квадратичных форм ,

-^т-у если он конечен.

Для линейно представимых случайных полей доказана следующая теорема о ранге;

Теорема 1.2. Для того, чтобы линейно представимое случай-нов поле acx,,*i)= , где 20 £ Но , Н.= ИкЩ Л iJm^H и дважды перестановочные, было неоднородным ранга t , необходимо и достаточно, чтобы Н0 было конечномерным и cUm Н0 = ^ •

В конце главы I предлагается классификация линейно представимых случайных полей с учетом спектра операторов Л^Л^ .

Если %(ос^зех)=: (z. Zq - линейно представимое случайное поле с 10 £ Н0 , clwn. Н 0 = Ъ и операторы Jj, дважды перестановочны, то поле £ принадлежит а) классу г\ . , если спектр каждого сосредоточен в нуле;

I/ W tt б) классу » если спектр каждого Л^ = ) чисто дискретный, т.е. непрерывный спектр отсутствует; в) классу , если спектр J?^ сосредоточен в нуле и спектр Л^ чисто дискретный. ^ ^

В главе П вычисляются ШВ полей классов К ,, , К и 1/И) ^ 22 члщ . Ш> имеет вид: где Ф(а41Я1)аа ь, А'М 1 Urn4 1= л - комплексное число, Я0 - действительное число. Функция имеет вид:

-0 а) в случае, когда поле ^ , ОСпринадлежит классу К

0 О

71- о О/) б) в случае, когда поле Z ( j Х^) принадлежит классу К^ ф(Ч,хг)= ОчО ("О > p-i 1 1 ^" i

71 f~ гтп pf fM J—fT p f 1 — где в) в случае, когда поле £ , ое^) принадлежит классу

JV ^ fC = W О где Л^ и О; определяются как в а) и б).

Одним из главных результатов главы П является теорема об универсальной модели систем дважды перестановочных операторов.

Теорема 2.1. Пусть Л( > ;., Jn - система линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве и удовлетворяющих следующим условиям:

I. Операторы Лц попарно дважды перестановочны, т.е. Л^Лд = -t Л к Яд = (^ФЛ)

Kz Л, а,. • тО вполне несамосопряженные диссипатив-ные операторы.

3. Невещественный спектр каждого Л к, > . .,tl) может иметь предельные точки лишь в нуле.

4. Вещественный спектр каждого ,(/< = <j,2}. ,тг) сосредоточен в нуле.

5. Резольвента сужения оператора J ^ на подпространство Hi/ е°ть функция экспоненциального типа от Л = , где к .С-о У

П^ - ортогональное дополнение к линейной замкнутой оболочке всех инвариантных подпространств, отвечающих невещественным точкам спектра оператора пг

К •

6. clum МЛ = , Нл = П Н тогда систео j о ма операторов Д| ; ^ .унитарно эквивалентна сужению на инвариантное относительно всех операторов Лр Л^ Л^ подпространство модельного пространства Н , системы операторов Л| 3 jl^ j. .; Jj, модельное пространство и модельные операторы определяются следующим образом:

Пусть о < А, < а* и о = <£'<. .< С*" е^ если JfK=« точки из интервала [0> -fr^ и т^(сс^) у • ■ > 9С^*) комплексно-значная функция TL действительных переменных, где О, J причем, если зафиксировать координаты X^ то функция • • \>ое^ ) ступенчатая, непрерывная слева в интервале [0 } , точки разрыва которой С^5 , i - . ,

Пусть ju^ (х^) - ограниченная, неубывающая; ступенчатая, непрерывная слева функция в интервале 0; fr^") , точки разрыва которой ггЛ, . . и скачок в точке cj^ равен i")

Рк) ) Рк. С«к)г К0Гда £ » «*] ' *

Пространство Z- ( ГТ {^0^ О.-J . ,;ju ^ определим как р ' совокупность комплекснозначных функций •£[Xj ? ■ ■ .} X удовлетворяющих выше указанным условиям и для которых

0 О

Скалярное произведение определяется следующим образом: о 0

После факторизации по ядру получается гильбертово пространство. Модельное пространство п определим как прямую сумму:

2 ^ V П

П ГТ[0; к)

Ы 4 i-W у

Модельные операторы определяются формулами:

Дс f l^r-^n) ; чХп)} = К /. о

Ок ак (я^ о на [ О ) ступенчатая, непрерывная слева комплекснозначная функция, точки разрыва которой 1 = Jj.9Jf

ДО * К и скачок в точке равен Лк , а на /ir^ ; аК - 0 •

При помощи теоремы об универсальной модели изучаются неоднородные поля конечного ранга и получены представления для их корреляционных и инфинитеземальных корреляционных функций.

В главе Ш при помощи дифференциальных уравнений в частных производных,связанных определенным образом с операторными узлами, строятся спектральные представления некоторых классов неоднородных поле^.

Пусть hi и с. гильбертовы пространства,

J), ■ ЛИ— И

4 А , .^}Т}Т линейные ограниченные самосопряженные операторы действующие в

Е и, наконец, ^ - линейный ограниченный оператор действующий из

Н в Е .

Совокупность Л = называется операторным узлом J , если имеет место:

I. ЛД-ЛД z. 1 (4-0 = = г * *•

3. tv = eivJFj

4. f - Т = г )

Пусть А = (Л 1 Jl операторный узел, > it (t^, t£) и ^(t,,^*) -вектор-функции из Hj El и ЕГ соответственно.

Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений ъ tj

0.6) dtz с начальными данными: (0; Ь^) = -R^Ct^) , =•

Соотношения (0.6) и (0.7) определяют пару отображений, которую будем называть открытой системой ассоциированной с операторным узлом

-HCt,,to = ft

Е13 j PL C-/7J •

Используя операции сцепления и разложения для операторных узлов и опираясь на (0.6) и (0.7) получаем следующие две теоремы

Теорема ЭЛ. Пусть & O-l > - линейно представимое случайное поле с операторами JL, и Л i , удовлетворяющими условиям:

1. Л и вполне несамосопряженные операторы.

2. Спектр каждого Л ^ , (К= -1, 2.) сосредоточен в нуле. 3 тогда существует элементарная ортогональная стохастическая мера £(Д)» где А - конечное или счетное объединение непересекающих прямоугольников, содержащихся в

X [о, Pj ; ^ , ^<оо такая, что поле £ (Х^ , представляется в виде: f f (^A^^i^C^dU) 2)

Функция определяется из системы интегральнодифференциальных уравнений: г ^(^^.^л^^гЬ.^д.^г = о о к2 о f & А, 0, ®i) = £ С ^i.*thf(ti,l2> ^ Ъ)

Теорема 3,2. Пусть £ (х^ } - линейно представимое случайное поле и операторы и i?^ полные, диссипативные с конечномерными неэрмитовыми подпространствами, тогда имеет место представление: к foe,, a*) =ZX С*J ^ > и У Г Г п=У1 М fii^ где И 5 = и (jj ^ ^ определяются из системы: ^ г + = g М on

•^/e >(* K= Л, .) - собственные числа оператора , rt ; 0* = • • ^-i.") - собственные числа оператора

GO о ^

- ортонормированный базис в подпростран

00 - - ^ стве ч

СЮ

О ОС j

J <£ (о) »(*к = т

I f л

1г > ■ ) - последовательность собственных чисел оператора J/y ;

V • • А*) последовательность собственных чисел ^ ^ оператора ;

J of=4 - ортонормированный базис в подпространстве Н^ = 1 Ут Д Hg .

В главе 1У обобщается понятие линейной представимости для случайных полей. Будем говорить, что поле ) является линейно представимым, если существует сильно непрерывная двухпараметрическая полугруппа операторов ТО-*, а?*) в Hz., и % CEji , где -фиксированная случайная величина из Н^ .

Рассматривается лишь случай, когда сжимающая полугруппа:

ЦТ^а^Н < А

Полугруппу ое^можно записать в виде: т со ОО где - Т 0) . Т^=Т(0, -pGO

Очевидно ; (к - сильно непрерывные коммутирующие с сжимающие полугруппы операторов в Н^ с инфинитеземальными, вообще говоря, неограниченными, производящими операторами.

При помощи спектрального анализа неограниченных несамосопряженных операторов и их приведения к треугольному виду ([8] > [9], [зад*]) изучаются некоторые классы линейно представимых случайных полей и вычисляется их корреляционная функция. Доказаны следующие две теоремы:

Теорема 4.3. Пусть задано линейно представимое случайное

-г—(К) поле / I %0 , где I -полугруппы операторов с инфинитеземальными производящими операторами (и.п.о.) гЛк = . • Если и.п.о. J/fc удовлетворяют условиям: а) Д, } Л^ дважды перестановочны, простые диссипативные операторы; б) За и 4 а имеют чисто дискретный спектр; в) точки 1 и -i - регулярные,как для , так и для Jf^ ;

D си садпвдь^,*,

-i

Я™ + 1 irA j = то корреляционная функция поля £ fcc^ , ) имеет вид:

A3 tfO о о где t .

Эх9 dJCjdXg оо ос jl-'f I I л0) л(1)

-УЬ^и имеют вид:

АрЧИ b егЫ<

21ri frO V г—f.

-ft - произвольный замкнутый контур, расположенный в верхней полуплоскости и содержащий j -д^' j ftC

- последовательность точек спектра сужения оператора if, на подпространстве Н^ = Hg

Aj f*i)=

Г2) при tf1. cj - произвольный замкнутый контур, расположен

Л\ ный в верхней полуплоскости и содержаний Ж

Is*

У г последовательность точек спектра сужения оператора на подпространстве Н^ - В^ Н^ CD £i п (1) . М

Теорема 4.5. Пусть задано линейно представимое случайное поле z0 где - полугруппы операторов с и.п.о. г <11 ^ /Kir 4,1) и t0 & Djf^ Л Если и J?^ удовлетворяют условиям:

1. Hj и дважды перестановочны, простые диссипативные операторы;

2. и ^ не имеют точек спектра в конечной части плоскости; ucinji;1)H. ncvOH, = со то корреляционная функция поля £ (Х^ , ОС^ ") имеет вид:

О; --( w если ^ ®

О при прочих С ^ ; ^ ^ ; f V-/ '

Функции ° ( ^; ) абсолютно непрерьгоны относительно к,и fc,. в ® = [0,aJx[0,at]H К

В главе У рассматриваются некоторые обобщения и дополнения. Вычисляется корреляционная функция линейно представимых случайных полей ясх^ье1^^^ для которых операторы Л| и £у Нг] коммутируют, но не дважды перестановочны, при предположении, что коммутатор [ Л^ ; Лр одномерный и некоторых других предположениях. Изучаются линейные преобразования однородных случайных полей.

Поле £ (ос ,, > эсг) <£о называется равномерно ограниченным линейно однородным (р.о.л.о.), если существует константа оа С 0 такая, что

17L И . £ о <

4»-/ /с--/ 1 ж т.

ОМ ЦИ^^л) для произвольных

Для р.о.л.о. полей доказана следующая теорема Теорема 5.5. Пусть X (X^f - р.о.л.о. случайное поле, тогда существуют однородное случайное поле у (ty ) oct) и линейный ограниченный самосопряженный оператор В в Н^ с ограниченным обратным В такие, что

X (Zj>ocz) = б у (x^acg.)

Случайное поле £ называется дилатацией -t -ого ранга случайного поля £ (X^jX^l, если существует линейный ограниченный оператор В в Hg. такой, что ('ос^ , =

В & (сс^ ;ЭС£) и (Ai/m. С J В*В) Н • Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы заданная функция

ЗС (СС-1 ; ^, ) была корреляционной функцией дилата-ции -ого ранга однородного линейно представимого случайного поля.

В конце главы У вычисляется корреляционная функция случайных полей вида: где - р(<С- Я ) ^ В - линейный ограниченный оператор в Hgтакой, что

Б, Лк] = «к$к + ?к& > т.е. В образует с каждым оператором J?^ •>(!£= Л, £) алгуб-ру Ли.

В данной работе внутри глав принята сквозная нумерация теорем, лемм и формул, в которой первое число указывает номер главы, а второе - соответствующего утверждения главы.

Настоящая работа выполнена в Харьковском государственном университете им. А.М.Горького. Основные результаты опубликованы в работах £3 8J и докладывались на конференциях преподавателей и сотрудников Харьковского университета и на семинаре по теории линейных операторов при Харьковском университете.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНЕСЕННЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Теорема о линейной представимости для случайных полей.

2. Теорема о ранге.

3. Универсальная модель систем коммутирующих операторов со спектром в нуле и общий вид Ш соответствующих линейно представимых случайных полей.

4. Универсальная модель систем коммутирующих операторов с чисто невещественным спектром и общий вид КФ соответствующих линейно представимых случайных полей.

5. Спектральные разложения линейно представимых случайных полей конечного ранга неоднородности.

6. Линейно предетавимые случайные поля с неограниченными операторами.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доценту Артему Артемовичу Янцевичу за постоянное внимание и помощь при выполнении работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Связь между спектральной теорией систем самосопряженных коммутирующих операторов и теорией однородных полей (или по лей с однородными прирашениями)общеизвестна.В диссертации была предпринята попытка установить связь между спектральной теорией несамосопряженных операторов и теорией неоднородных случайных полей.

1.Введение понятия линейно представимого поля позволяет установить тесную связь между построением корреляционной и спектральной теорий такого поля и спектральной теорией систем коммутирующих несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.

ВО U о диссертации дан критерии линеинои представимости, т.е. найдены необходимые и достаточные условия которым должна удовлетворять К.Ф некоторого случайного поля для того, чтобы данное поле было линейно представимым.Этот критерий является аналогом теоремы Бокнера-Хинчина о представлении эрмитово неотрицательной функции, которая используется в спектральой теории однородных случайных полей.

2.Для описания отклонения поля от однородного вводятся новые характеристики :ИКШ и ранг неоднородности, с помощью которых удалось исследовать структурунеоднородности случайных полей.Доказанная в диссертации теорема о ранге устанавливает связь между рангом неоднородности и размерностью неэрмитово подпространства систем соответствующих операторов.В случае конечного ранга эти величины сов--падают.Понятие ранга позволило дать классификацию неоднородных случайных полей.

3.Методика построения корреляционной и спектральной теорий линейно представимых случайных полей основана на треугольных и универсальных моделях систем коммутирующих несамосопряженныхоператоров.Эти модели строятся при некоторых предположенияхо спектральных свойствах операторов,фигурирующих в представлении линейно представимого случайного поля.В диссертации исследования ведутся для некоторых классов линейно представимых случайных полей, причем , классификация прозводится именно по спектральным свойствам соответствующих операторов.Для этих классов найдены спектральные представления и спектральные разложения соответствующих КФ.

4.Рассматривается обобщение понятия линейно представимости на случай, когда операторы, фигурирующие в представлении поля, неограниченны.Использование треугольных и универсальных моделей для систем таких операторов дает возможность исследовать некоторые более широкие классы линейно представимых случайных полей.

5.Рассматриваются некоторые линейные преобразования линейно представимых случайных полей и строятся спектральные разложения их Ш.

Неоднородные поля рассмотренных классов можно использовать при решении некоторых задач фильтрации случайных полей на фоне помех. Следует отметить, что развитые в диссертации спектральная и корреляционная теории неоднородных случайных полей можно применить для построения конкретных моделей неоднородных случайных полей.Например, модели неоднородных случайных полей возникают при изучении рассеяния электро-магнитных волн от морской поверхности вблизи островов, берега или других неоднородностей.

Построение треугольных и универсальных моделей для других классов систем коммутирующих несамосопряженных операторов позволить получить аналогичные результаты для соответствующих классов линейно представимых случайных полей.Например, можно рассматривать систем операторов с вещественным спектром.Результаты работы могут быть продолжены в направлении построения как спектральной так и корреляционной теорий случайных полей класса К^т.е. когда соответству L гощих операторы коммутируют но не дважды перестановочны, причем

1. Лившиц М.С., Янцевич А.А. Теория операторных узлов в гильбертовых пространствах. Харьков, изд-во ХГУ, 1971, 160 с.

2. Бродский М.С. Треугольные и жордановы представления линейных операторов. М., "Наука", 1969, 287 с.

3. Золотарев В.А. О треугольных моделях систем дважды перестановочных операторов. ДАН Арм.ССР, ХП, № 3, 1976, с. 136-140.

4. Ваксман Л.Л. Гармонический анализ многопараметрических полугрупп сжатий. Рукопись депонирована в ВИНИТИ, РШ "Математика",1Б1055, 1981, с. I-I67.

5. Янцевич А.А. Применение теории операторных узлов к исследованию нестационарных процессов и последовательностей. Материалы все союзного семинара по статистике случайных процессов. Киев,1973.

6. Лившиц М.С. Операторы, колебания, волны. (Открытые системы). М., "Наука", 1966, 300 с.

7. Бродский М.С., Лившиц М.С. Спектральный анализ несамосопряженных операторов и промежуточные системы. УМП, т. 13, № I, М., 1958, с. 3-85.

8. Кужель А.В. О приведении неограниченных несамосопряженных операторов к треугольному виду. ДАН СССР, т. 119, № 5, 1958,с. 868-871.

9. Кужель А.В. Спектральный анализ неограниченных несамосопряженных операторов. ДАН СССР, т. 125, № I, 1959, с. 35-37.

10. Ю.Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Изд-во "Наука", М., 1970.1.. Оо^оЖешь, тЛ fo&n &. Т-Яотм. Аже J^enta

11. MuLmwytieb oj? пшсЬгя -рлоееиеь liaJ; one. aLiast WetWw^vrf MayJM^

12. B. cU ■ C Oti у^гфгппВу. Ниплсиь угеы

13. Ы^ЛсЬли- MM. Szeged,, vel-H j f/ъ jsz-js?12.

14. Золотарев В.А. О треугольных моделях систем одного класса перестановочных операторов. Рукопись депонирована в ВИНИТИ от

15. Шварцман Я.С. Функциональная модель вполне непрерывного дис-сипативного узла. Математические исследования, Кишинев, т.З, вып. 3, 1978.

16. Золотарев В.А. Об открытых системах и характеристических функциях коммутирующих систем операторов, ^копись депонированав ВИНИТИ от 16.02.79, № 858-79 Деп. 1979.

17. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтеровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М., 1967.

18. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М., 1965.

19. Золотарев В.А. Об одном классе перестановочных операторов. Fy-копись депонирована в ВИНИТИ от 29.06.76 № 2437-76, ДЕЛ. 1976.

20. Колмогоров А.Н. Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные по отношению к однопараметрической группе движений. ДАН СССР, 1940, Том ХХУТ, № I.

21. Колмогоров А.Н. Спираль Винера и некоторые интересные кривые в гильбертовом пространстве. ДАН СССР, 1940, Том. ХХУ1, № 2.15.аЬосЙльЬс. Цдосеме*. Da/се МаW.

22. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов, М., 1977.

23. Яглом A.M. Корреляционная теория процессов со случайными стационарными 71-ими приращениями. Математический сборник. Том 37 (79) № I, 1955, с. I4I-I96.

24. Яглом A.M. Введение в теорию стационарных функций. УМН, Том. вып. 5 (51), 1952, с. 3-168.

25. Яглом A.M. Некоторые классы случайных полей в 71 -мерном пространстве, родственные стационарным случайным процессам. Теория вероятностей и ее применения. Том П, вып. 3, 1957, с.292-338.

26. Цзян цзэ Пей. О линейной экстраполяции непрерывного однородного поля. Теория веротяностей и ее применения. Том. П, вып.1, 1957, с. 60-91.

27. Яглом A.M. Спектральные представления для различных классов случайных функций. Труды 1У Всесоюзного Математического Съезда, 1963, Том. I.

28. Ядренко П.И. Спектральная теория случайных полей. Киев, 1980.

29. Сл&т&ьЦ:Случайные процессы как кривые в гильбертовом пространстве. Теория веротяностей и ее применения. Том.9, № 2, 1964, с. 193-204.

30. Бродский В.М., Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Определение и основные свойства характеристической функции, "Функциональный анализ