Эволюционные представления гильбертовых случайных функций и нестационарные стохастические процессы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

л„ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

}Г8 ОД

1\ ДПР 1994

На правах рукописи

ЯНЦЕВИЧ Артем Артемович

ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГИЛЬБЕРТОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

01.04.03 — радиофизика 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ХАРЬКОВ 1993

Диссертация является рукописью.

Работа выполнена в Харьковском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, зав. теоретическим

отделом ФТИ АН Украины, профессор Бакай Александр Степанович

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ИРЭ

АН Украины, профессор Басс Фридрих Гершонович

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник НИИ

ядерных проблем при Белорусском государственном университете

Слепян Григорий Яковлевич.

Ведущая организация — Симферопольский государственный университет.

Защита состоится « _ 1994 г. в час. на

заседании специализированного совета Д Харьковского государ-

ственного университета (310077, г. Харьков, пл. Свободы, 4, ауд. ).

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библио-

теке ХГУ.

Автореферат разослан «

г.

Ученый секретарь специализированного совет;

Чеботарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование 'флуктуационных явлений при распространении волн в случайно-неоднородных средах требует статистического описания свойств волн и сред распространения. Таким исследованиям посвящено большое количество научных публикаций и сообщений, издан ряд монографий и сборников статей, отражающих многие аспекты современного состояния этой сложной и актуальной'проблемы. Следует отметить, что изучение различных вероятностньор'задач, возникающих в радиотехнике и радиофизике, опирается, в основном, на корреляционную и спектральную теорию стационарных случайных процессов и статистически однородных случайных полей.

а

В отличие от традиционного-подхода к исследовании случайных процессов как однопараметрического семейства случайных величин, развитого в работах М №слс/>'*, £ Ъооё-. А.Я.Хинчи-на, Р. и др. А.Н.Колмогоров предложил рассматривать случайный процесс как кривую в специальном гильбертовом пространстве. При этом, ийучение случайных скалярных процессов как математических объектов достаточно сложной природы по сути дела сводится к изучению уже регулярных,, хотя и векторнозначных функций. Это позволило использовать мощный аппарат функционального

анализа, в частности, теорию линейны* операторов, для построе-

, ■ - * *■

Ния корреляционной и спектральной теории стационарных случайных процессов и решения ряда задач фильтрации и прогноза таких процессов.

В дальнейшем такой подход получил развитие в работах Н М, ¿сеур , А. Ы. Яг л ома, ¿.¿.Розанова, НСгатег* М.И.Яд- .

ренко и др., что привело к построению завершенной корреляционной теории стационарных случайных процессов и однородных слу-

чайных полей.

Что касается нестационарных случайных процессов, то к настоящему времени изучены лишь некоторые отдельные классы: процессы со стационарными приращениями (А.М.Яглом, М.С.Пинскер); процессы, порождаемые фильтрацией нестационарного белого шума ' ( клСтап.)-, процессы, порождаемые ортогональными разло-• жениями (В.С.Пугачев, К. КагАипеп. ).

Достаточно полной теории нестационарных случайных процессов в настоящее время не существует, в частности, например, отсутствуют: достаточно корректное понятие такой фундаментальной ' величины чрезвычайно важной для приложений, как спектр нестационарного случайного процесса; мера нестационарности, классификация нестационарных случайных процессов и др. Кроме того, не изу* чен целый ряд специальных нестационарных случайных процессов, которые могут играть важную роль для приложений, например, при распространении волн в случайных статистически неоднородных или нестационарных средах, задачах фильтрации и прогноза случайных сигналов и др.

Цель работы. Обобщить Колмогоровский подход на достаточно широкие классы нестационарных случайных процессов (эволюционно представимых), построить корреляционную и спектральную теорию таких процессов и разработать соответствующий математический аппарат. Рассмотреть также приложения к задачам фильтрации нестационарных случайных сигналов, распространению волн в статистически неоднородных (с конечным рангом неоднородности) средах.

Методы исследования, являются спектрально-аналитическими. Теория несамосопряженных или неунитарных операторов в гильбертовом пространстве, треугольные и универсальные модели операторов. Используется также теория Целых функций многих комплексных переменных и теория оператор-функций с операторным аргументом.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

I. Впервые построена теория эволвционно предстявимых решений линейных'динамических систем в гильбертовых пространствах, ассоциированных с операторными узлами, содержащими несамосопряженные или неунитарные .операторы.

I Л. .Установлено соответствие между'законами сохранения •{изменения) энергии условиями операторных узлов.

1.2. Предложен общий пособ расширения линейных динамических, систем до ассоциированных с операторными узлами..

1.3. Изучены передаточные оператор-функции операторного аргумента и установлена их связь с унитарной эквивалентностью операторных узлов. -

1.4. Построены универсальные моделивоператоров и систем операторов, используемые, в частности, в корреляционной теории нестационарных случайных процессов и неоднородных случайных полей,' , •

П. Впервые предложен новый метод исследования нестационарных случайных процессов и неоднородных случайных полей, основанный на треугольных и универсальных моделях операторов и на теории ассоциированных открытых систем.

2.1. Введены новые характеристики нестационарных случайных процессов и неоднородных случайных полей: инфинитезимальная корреляционная функция, корреляционная разность, ранг- нестационарности или неоднородности, и на их основе предложена классификация нестационарных случайных процессов и неоднородных случайных полей.

2.2. Для широких классов так называемых эволвционно предста-вимых случайных Процессов и'неоднородных случайных полей доказаны теоремы, являющиеся аналогами теоремы Бохнераг-Хинчина и дающие критерий эволюционной Представимости случайных процессов и

полей в терминах корреляционных функций.

. 2.3. Для эволюционно представимых нестационарных случайных процессов и неоднородных случайных полей построена корреляционная теория, позволившая получить спектральные разложения нестационарных случайных процессов и неоднородных случайных полей в' виде-континуальных или дискретных суперпозиций гармонических колебаний с комплексными частотам«..

2.4. Установлена- связь между классами нестационарных случайных процессов и решениями.нелинейных операторных уравнений, позволившая построить новые спектральные разложения нестационарных, случайных процессов с помощью стандартной стохастической ортогональной меры.

Ш. Впервые построена теория фильтрации нестационарных слу- ■ чайных сигналов, основанная на теории операторных узлов в гильбертовых пространствах.• ' ■•'".-■

3.1. Используя, теорию, операторных узлов получено явное решение суммационного уравнения Винера-Хопфа, определяющего пере- . даточную функцию оптимального-среднеквадратичного фильтра, минуя решение матричного уравнения Риккати.

3.2. С'помощью спектральной теории неунитарных операторов исследована устойчивость оптимального среднеквадратичного фильтра. ..,.■■'•.;

3.3. Предложена процедура нахождения: оптимального среднеквадратичного фильтра в случае, когда уравнения состояния являются' интегральными. ■ .

3.4. Предложен способ обращения некоторых классов интегральных операторов, основанный на операторных коммутационных соотношениях. ' ' .

1У. Впервые решена'задача о восстановлении неоднородного аналитического, случайного поля по значениям в узлах пространст-

венной решетки и исследована устойчивость соответствующих интерполяционных формул (аналог теоремы отсчетов Котельникова-Шзннона-Уиттекера). '

4.1. Построены интерполяционные представления для некоторых новых классов детерминированных целых аналитических полей и ■ исследована устойчивость таких представлений.

4.2. Построены интерполяционные представления для неоднородных случайных аналитических пространственных сигналов и.исследована устойчивость таких представлений.

' 4.3. Измены аналитические свойства выборочных функций неоднородных случайных полей.

. У. Исследование вопросов, связанных с прикладными радиофизическими задачами и демонстрирующих новые возможности построенной корреляционной теории нестационарных случайных процессов к неоднородных случайных полей. '

5.1. Решение задачи дифракции монохроматической волны на статистически неоднородном экране.

5.2. Учет статистической неоднородности среды при решении ' задачи о деполяризации электромагнитной волны, распространяющейся в такой среде. ■ ' , '

5.3. Решение задачи о прохождении света.через турбулентный пограничный слой, когда предположение о статистической однородности полей скоростей или давления нарушаются»

«

5.4. Исследование структуры среднего электромагнитного поля в статистически нестационарных средах.

Результаты диссертации составляют содержание нового научного направления "Эволюционные представления гильбертовых случайных функций и корреляционная теория нестационарных случайных процессов и статистически неоднородных случайных полей".

Научная новизна. В основные положения, выносимые на защиту, ^включены только новые результаты. Они представляют собой основу корреляционной теории нестационарных случайных процессов и неоднородных с-тучайных полей, играющей важную роль при решении ряда задач статистической радиофизики и статистической радиотехники*

Введены новые характеристики -случайных процессов и полей, _ такие, как ранг нестационарности или неоднородности, инфинитёзи-мальная корреляционная функция, корреляционная разность, спектр нестационарного случайного процесса или неоднородного случайного поля.

Новыми являются также интерполяционные формулы для детерминированных и случайных аналитических сигналов, играющих важную роль в теории кодирования сигналов. Изложены также новые математические результаты автора по спектральной теории несамоссп-ряженных или неунитарных операторов, по,теории дифференциаль-. ных или разностных уравнений в гильбертовом пространстве. Новыми являются, результаты автора по построению оптимальных среднеквадратичных фильтров, перспективных в плане применений в статистической радиотехнике.

■

Обоснованность и достоверность результатов и выводов обусловлена использование^ строгих математических методов и качественным совпадением с результатами экспериментальных задач при решении ряда прикладных задач.

Диссертация выполнена в русле важной научно-исследовательской тематики "Теория несамосопряженных и неунитарных операторов с приложениями в теории линейных систем и случайных функций" (номер государственной регистрации 0182.4029433).

Теоретическая и практическая значимость. Работа связана с построением и обоснованием новых .методов для статистической радиофизики. Часть результатов относится непосредственно к теории

распространения электромагнитных волн в случайных средах, оптимальной обработке случайных сигналов. Другая часть - к теории дифференциальных и разностных уравнений в гильбертовых пространствах (теория ассоциированных открытых систем), к которым сводится математическое описание широки.« классов нестационарных случайных процессов и неоднородных случайных полей;

Новые характеристики случайных функций, введенные в диесер-т тацйи (ранг нестационарности и неоднородности, инфинитезималь-ная корреляционная функция, корреляционная разность), корреляционная теория случайных функций конечного ранга, 'построенная в диссертационной работе, представляют существенный интерес для статистической радиофизики и статистической радиотехники, т.к. позволяют создавать новые модели случайных сред или случайных сигналов. Теория среднеквадратичной фильтрации, построенная В'диссертации на основе операторных узлов, позволяет-строить оптимальные фильтры с улучшенными характеристиками.

Развитие данного научного направления'также нашло отражение в работах аспирантов, выполненных' под руководством автора.

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались: на Третьем Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной математике, на У•Всесоюзном симпозиуме по" дифракции и распространению волн, на У1 Всесоюзной акустической конференции, . на Всесоюзной конференции по теории функций комплексного пере- , менного (Харьков, 1971 г.), на 1У и У1 Всесоюзных симпозиумах "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики", на Всесоюзном симпозиуме по статистике случайных процессов (Киев,. 1973 г.), на П Всесоюзном семинаре.по численным методам нелинейного. е.рограымирования; на научных семинарах академика Марченко В.А. (Харьков), проф. Кужеля A.B. (Симферополь), проф. Третьякова O.A. (Харьков).

Основные результата диссертации опубликованы в 41 работах, . приведенных в конца автореферата, среди них монография, переработанный вариант которой был издан в США в 1979 г.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, выводов и списка цитированной литературы и занимает ЗЬО страниц машинописного текста,

',""СОДВРШИЕ РАБОТи!

Возведении обоснована актуальность исследований, проведенных в диссертации, сформулирована цель работы и проведено краткое изложение диссертации.

В § I первой главы рассматриваются случайные процессы второго порядка, т.е. для которых М/Ш>/*<ао. Если рассмотреть линеал ^С^и)} . ввести в нем

, ЛГ1 ■ /У

скалярное произведение • К X, — X,у6 оС, и попол-

нить по этой метрике «йС , то получаем.сепарабельное гильбертово пространство , при этом случайный процесс,

'можно рассматривать как кривую в .а

корреляционная функция КФ £ ) М £(-6)у полу-

чается как скалярное произведение в : - ^н

Определение. Случайный процесс £(£) называется аволю- ^ ■ ционно представимым; если соответствующая кривая в

гильбертовом -пространстве ■ является решением АЗК /абст-

рактной задачи Коши/

^ £ —¿АР и ооответ°твУющие (I)

? £ *г начальные условия

где . - скалярный линейный. дифференциальный или интегро-

диф£еренциальный оператор, а А - линейный,.вообще говоря, неограниченный Оператор в /¡^ '. ■'■..'"

При > = — получаем стандартную задачу Коши, еОЬ

> с-ЬА ^

которая приводит к решению зг е • являюще-

муся одним из основных., эволюционных представлений, исследуемых .'■ в диссертации. '

Для случайных полей ^ заменяется мультииндёксом, а А семействои операторов «

Далее доказывается два важных для дальнейшего утверждения, состоящие в том, что если у двух случайных процессов или полей КФ совпадает, то они унитарно эквивалентны в соответствующих гильбертовых пространствах, и если один из процессов (полей) эво-люционно представим, то эволюционно представим и другой (теоремы 1Л и 1.2) .

В терминах корреляционной функции дается критерий эволюционной представимости: , ■ • *. ' ' ■ Теорема 1.3. Для того, чтобь! комплекснозначная функция действительных переменных

Смогла быть^^

представлена в виде^ ¿¿(Ку) ~ <СА(X), А(у^ где Д

Ь0еН) Х=(к!.^ХП') и А/ * линейные,

коммутирующие, ограниченные операторы'в гильбертовом пространст-■ ве , необходимо и достаточна, чтобы

. I. Функция /¿(^у) была эрмитово неотрицательной. • '

2. дважды непрерывно.'дифференцируема.

3. Существовала: такая константа > О • ' , что ,

'о,

Для случайных последовательностей . Х^ и заменяют-

и т. , а ~* исе,т.)=К1

■ корреляционная функция случайнс

ся на С и /ги , а • гДе

- корреляционная функция случайной последовательности

В дальнейшем изучаются в основном, экспоненциально предста-_вимые. случайные процессы и поля.

В § 2 изучается связь между операторными узлами в гильбертовых пространствах и эволюционными уравнениями.

Определение. Пару отображений £ и ^ : £ СЕ Н]

СЕ, В] » где Е и // два гильбертовых пространства, .будем называть открытой системой.

Если /2 и линейные отображения, то в пространствах И и Е (пространствах состояний) эти отображения обычно задаются.парой уравнений/ .

А^СН,и]) Ч>е[Ен]л -цгеСЦЕ], ШЩ г*ш„\№е£.

■ Введем в пространстве Е наряду- с обычным скалярным произведением индефинитное скалярное произведение: где $ - оператор инволюции; "сопряжение"

по отношению к этой метрике будем обозначать "+".

Если для (2) выполняется закон "сохранения" энергии

** то как легко непосредственно

проверить, что А^Т^Гне независимы, а связаны соотношениями

(3)

которые в теории'несамосопряженнкх операторов называются условиями операторного узла, , а совокупность ( А, Н, у? У) < удовлетворяющая" (33 > называется операторным узлом. Систему (2), где А, У* уг удовлетворяют (3) будем называть ассоциированной системой (АС).

Любой оператор можно включить в операторный узел, а любая система вида (2) может быть расширена до ассоциировянной систе-

мы только за счет расширения внешних пространств (теорема 1.4).

В § 3 изучаются дискретные линейные системы и выводится соответствующий закон изменения энергии. . .

Далее доказывается важная теорема 1.5 о. расширении любой линейной дискретной системы до ассоциированной с операторным узлом.

В заключении этого параграфа показывается, что непрерывные АС и дискретные АС тесно связаны между собой и дискретная АС может быть получена из непрерывной АС дискретизацией по времени, причем для "свгласованной" дискретизации существенную роль играет закон сохранения энергии.

В § 4 конструируются треугольные и универсальные мсдели

операторов и операторных узлов,.необходимые для построения корре-

*

ляционной теории нестационарных случайных процессов и неоднородных случайных полей. Треугольная-модель оператора является аналогом треугольной матрицы в бесконечномерном случае и впервые была построена'М.С.Лившицем.'

Универсальные модели "конструируются" из треугольных моде- , лей, построенных для случая (/¿{П. <2 Ум АИ= / (или

) (теоремы 1.6-1.10). Существенным условием при построении треугольных моделей систем операторов является их коммутируемость и дважды перестановочность.

Рассмотрим теперь абстрактную задачу Коши (АЗК) в гильбер-

»

товом пространстве

В § 4 доказаны следующие теоремы

Теорема 1.11. Если Д полный диссипативный ограниченный оператор, то решение АЗК (4)' асимптотически устойчиво.

Теорема 1.12. Если оператор Д . в АЗК (4) является сцеп-:

лением полного диссипативного оператора и вольтеррова оператора, то решение задачи Коши асимптотически устойчиво.

В заключении этого параграфа вводится понятие унитарной эквивалентности узлов и доказываются теоремы 1.13 и 1.14 об унитарной эквивалентности, причем предложен оригинальный метод доказательства, основанный на свойствах функций ¡У(У,у) й \У(л.{т), . тесно связанных с соответствующими корреляционными функциями 'и • ■ играющих фундаментальную роль в корреляционной теории нестацио-, нарных случайных функций и .неоднородных случайных полей.

Во второй главе исследуются эволюционно представимые решения неоднородшх линейных дифференциальных и разностных уравнений в гильбертовом пространстве. Предполагается, что эти уравнения являются уравнениями эволюционной системы, ассоциированной с операторным узлом (АС).

■ • В § I вводится понятие корреляционного оператора = У? Т&) V7 операторного узла. Свойства

описаны в теореме 2.1.

Существует следующая связь между Б) и характеристи-

ческой оператор-функцией операторного узла:

-1 г Г /

где' {у - контур, охватывающий спектр оператора /I .

Далее- изучается эволюционная представимость внутренних со- стояний и выходов непрерывных АС, порождаемая эволюционно пред-ставимым входом.' Соответствующие необходимые и достаточные условия содержатся в теореме 2.4.

При исследовании вопроса об эволюционной представимости естественно возникает следующая операторная функция- З^СА) ■ операторного аргумента (А) =Т~ . ^ » которая

. является продолжением характеристической функции на область

операторных аргументов. Эта функция играет фундаментальную роль при исследовании вопроса об унитарной эквивалентности оператор... них узлов.

В качестве примера'иллюстрирующего полученные выше результаты, рассмотрены эволюционно представимые состояния ассоцниро-. ванной системы, соответствующей четырехполюснику. В этом же параграфе' исследованы специальные линейные 'системы, связанные с ( операторными функциями^ (А:)Л(Т~А) f v. «5^ (А)' Т~ ^ (^А)^ и изучено поведение этих функций при сцеплении операторных узлов и соответствующих АС»

Во втором параграфе при псмощи теории метрических оператор-...ных узлов исследуется проблема эволюционной представимости для

линейных дискретных систем типа (-4 ) и г.су1учен следующий крите, рий эволюционной представимости'('теорема 2.5). ■■'., Приведены два примера АС, для которых построены матрицы Для сильно неунитарных. М -узлов доказано более

сильное утверждение, чем теорема 2.5..

В заключении этого- параграфа изучена структура оператор. функций

¿А С*)

и У^ СМ при-сцеплении, операторных'узлов. ;.В § 3 подробно-исследуются свойства оператор-функции возникшей при изучении вопроса об эволюциолной представимости непрерывных АС.. Показано, что ^ является в верхней операторной- полуплоскости

двусторонним . $ -растяжением, а в нижней операторной полуплоскости - двусторон- ■

ним »У-сжатием; если'же оператор А самосопряжен,, то (А) является $ -унитарным. ■ . При дополнительных.условиях доказано (теорема 2.9), что если -операторные узлы унитарно эквивалентны, то Х*. (А) (Л) А теоремы 2.10 и 2.Г2 содержат обратное утверждение. -

В § 4 исследуется проблема унитарной эквивалентности метри-• ческих узлов в терминах операторной функции Н^ (А-) • Доказано при некоторых дополнительных предположениях, что из унитарной эквивалентности метрических узлов 1зытекает равенство оператор-функций (а) (А) (теорема 2.14). Показано, что имеет место и обратный факт.

• Если же один из простых узлов сильно неунйтарен, то из совпадения оператор-функций И^ (А) - (л) в окрестности . бесконечно удаленного оператора следует, чтс ^ и , где /Д/=г/ .

• В. третьей главе.вводятся характеристики случайных процес--сов и полей, с помощью которых можно описать степень нестацио-. нарности или неоднородности.

Определение. ИнфинитезимальноЙ корреляционной функцией случайного процесса (ИКФ) называется производная от корреляционной

функции вида ...

- (б)

Определение. Корреляционной разностью (КР) случайной последовательности называется функция ]/У(л1,Л-) » определяемая по корреляционной функции следующим образом

= - //{к <-(, ЛН) (7)

Очевидно, что для стационарных случайных функций и \У(/*1,л)=0 , поэтому эти функции могут служить "мерой" отклонения от стационарности.

Для случайных полей вводятся частные инфинитезимальные корреляционные функции (ЧИКФ) или частные корреляционные разности (ЧКР), а для векторных случайных процессов - инфинитезимальная корреляционная матрица (ИКМ).

Для эволюционно представимых случайных кривых и последова-

тельностей ИКФ и'КР имеют соответственно влд:

г *•»

<2%А ?<Л>, §л> (8)

где £ «е £> ' а <Гл~ '

Из (8) видно, что нестационзрность случайной функции тесно связана с отклонением оператора от сопряженного ини унитарного. .

С помощью ИКФ и КР можно ввести числовую характеристику нестационарности. Для этого рассмотрим квадратичные формы вида

Л о)

/ / ■

(для нестационарных последовательностей > и "С/п. заменяются соответственно на и /Ч- ). .

Определение; Рангом нестационарности назовем максимальный ■' ранг квадратичных форм (9). *

В силу (8) имеется тесная связь между рангом нестационарно-^ сти и размерностью подпространства неэрмитовости оператора /4 " .или размерностью подпространства неунитарности

~ Т*ТУН оператора ; оказывается, ранг нестационарности и размерность" ( ^т) совпаДа1°т (теоремы 3,1 и 3.2), Аналогичные утверждения справедливы для рангов случайных полей и векторных случайных процессов (теоремы 3,3 и 3.4).

В 5 3 "третьей главы вводится понятие спектра эволюционно представимой кривой или эволюционно'представймого случайного процесса. * - *

Определение. Спектром эволюционно представимого случайного процесса будем называть спектр.оператора А или Т & эволкк циошшх представлениях ^ ; ~ Т ^ % о\

Если спектр оператора А или 77 дискретный," то случайная функция име.ет чисто дискретный спектр, если у А . или . спектр непрерывный, то и у случайной функции непрерывный спактр.

В общем случае у операторов А и Т спектр смешанный, поэтому структура спектра случайного процесса смешанная. В отличие от стационарных случайных функций, у нестационарных функций появляются принципиально новые случаи спектра, например, изолированный бесконечнокрзтный спектр (Вольтерровы операторы). Поэтому использование эволюционно представимых процессов расширяет возможности описания реальных случайных процессов по,сравнению со стационар" ными процессами или процессами со стационарными приращениями.

Если все квадратичные формы ^(У^^^ неотр:щатель-

ны, то соответствующий случайный процесс называется диссипатив-

ным.

Для диссипативных случайных процессов Ж/£) невозрастаю-

щая функция ^ , и, следовательно, существует

г~2 л ■ 4 •*<»..■ ■

Если 0«, ~ О, то случайный диссипативный процесс будем

называть асимптотически затухающим,;в противном случае - асимптотически незатухающим.

Для диссипативного случайного процесса всегда существует £цп + - (теорема 3.5), причем К (¿-Г)

можно рассматривать как КФ некоторого стационарного случайного ■ процесса. Из определения ИКФ и'теоремы 3.5 получаем следующую важную формулу для диссипативного случайного процесса

КЫ^^Н^и--*) + Ыи+тг^+г:)^ (Ю)

Если процесс-асимптотически затухает, то

по /У/т?, 5)

, восстанавливается однозначно:

■ .Ми,*) * (И)

с 0

•Если процесс оволмционно представим, то из диссипатив-

ности процесса следует диссипативность оператора" А ' « т.е. неотрицательность мнимой части

' Определение. Эволюционно представимый случайный процесс бу-

. дем называть полным, если соответствующий оператор - А является полным диссипатив.ным оператором (замыкание линейной оболочки •' всех инвариантных подпространств, отвечающих' невещественным ' точкам: спектра оператора ' А < совпадает с .'Н^ ).

■.Очевидно, что полный диссипативный случайный процесс всегда является асимптотически затухающим. Асимптотически незатухающие процессы могут возникнуть только в связи с неполнотой оператора .•'■.■ -

Аналогично вводится понятие.диссипатнвности для нестационарных последовательностей и доказывается, что для полных диссипа-тивных последовательностей^

л) = 2] +7г,п+Т) (ш

Сформулирован-и доказан также критерий диссипативности для векторных случайных последовательностей (теорема. 3.б), а также исследованы диссипатив'ные случайные поля. •*•'-.' •".■*.

В § 4 изучаются'эволюционно представкмые случайные процессы, порождаемые'задачей Коши в соответствующем гильбертовом прост. ранстве с нестационарным оператором А (£) ' . Дан критерий -эволюционной представимости'в терминах КФ (теорема 3.7). .

В прикладных задачах.для часто приходят к уравнениям, в частных производных... В связи с этйм представляют интерес классы нестационарных эволюционно представимых случайных процессов, порождаемых уравнениями для КФ, при этом Для А(Ь) получаются -Нелинейные эволюционные операторные уравнения. В .ряде случаев -, .решение этих уравнений найдено'в явном виде, что приводит к новым спектральным представлениям некоторых классов нестационарных случайных функций. ' .

Так, если КФ №^^.удовлетворяет уравнению -ЭА/■ * То для /{/^получаем нелинейное • ■ . '• - 19 - .'■' '.

уравнение Риккати с самосопряженной правой частью у- £ а для кривой ^ уравнение ^ = 8% £ • Воспользовавшись спектральным разложением самосопряженного оператора- в , для

АС'Ь). поручаем представление

л, (13)

г- ~~

где - разложение единицы, а для представление

£ = Г^УХ^Ы, (14)

где -процесс с ортогональны ли приращения-

ми, ^ал") при этом имеет вид

(15)

■ —(¡а '.-■-..'

где

/Г»

- неубывающая функция ограниченной вариации. ,

Аналогично можно исследовать случаи, когда 5 ) являет-

ся решением уравнений ~0 Г?^ - ^

{[% -ре*)]- [ % -/>(*#}

Предложенный подход может быть распространен и на случай . двух эволюционных операторов (эволюционно представимые поля). В , этом случае приходим к нелинейным операторным уравнениям в частных производных, в частности, получаем уравнение Бюргерса. В . этой же главе исследованы эволюционно представимые кривые, к которым приводят уравнения для КФ в частных производных со специ-' альной правой частью, т.е. когда оператор АС~Ь) несамосопряжен.

В четвертой главе на основе треугольных и универсальных моделей несамосопряженных и унитарных.операторов, а также ассоциированных систем, построена корреляционная теория случайных функций конечного ранга нестационарности (неоднородности).

В § I получен общий вид ИКФ 5 )/ и КФ для

„ >- мМ>.

нестационарных диссипативных случгиных процессов ¿"■.-с? <>■

Г ^о)

конечного ранга с непрерывным.временем (теоремы 4.1, 4.3, 4,5. 4.7) & ._^

¿а/ г 00

кк?)^ с^^^г . (17)

О " А

" • В случае чисто дискретного спектра у, оператора /Д функции

. в,формулах (16-1?) строятся только по спектру* операто-

ра /4 и начальннм условиям и имеют вид :

л»

^ш-Т.с^А^)^ <*« аз)

где

Если оператор. ^ - вольтерров, т.е.'имеет'Йе'сконёчнократнаЯ' спектр, сосредоточений только в. нуле, то вычисляется

по формуле ' £ ' • ' , .

= иоММ¥ь ¿х, (20)

* О г

причём

о ; ■■

Таким образом, КФ и ИХФ строятся только, по спектру оператора. и начальным данным/

В этом же параграфе показано (теоремы 4.2, 4.4, 4,6, 4,8),. как по КФ или'ИКФ можно решить обратную задачу, т.е. восстановить гауссовский диес'кпативный случайный процесс конечного ран' га, имеющий заданную ИКФ или 1®. ." ' ;

.. Отметим, что при решении' прямой и обратной задач существен- . ную роль играют-треугольные и.универсальные модели диссипативных операторов. ■• ■ ^' ■ •• '.-

В 5 2 на основе треугольных и универсальных моделей для-сжимающих операторов получен вид КР и КФ для нестационарных случайных последовательностей (теоремы 4.9-4.12), причем как и • в случае диссипативных случайных процессов, структура КФ и КР ; определяется только спектром соответствующего оператора и начальными данными.

■ Отметим, что использование универсальных моделей несамосопряженных и неунитарных .операторов'позволяет построить процедуру нахождения ИКФ, КР и КФ случайных функций конечного ранга по ' И®, К®.и КР случайных функций только первого ранга. Это связано с тем, что все универсальные модели операторов строятся по-сути дела только.по'спектру оператора,. " ... .

В § 3 на основе, треугольных, моделей систем. коммутирующих ■. операторов получен общий вид ИКМ для векторных эволюционных процессов в случае чисто дискретного,спектра у-соответствующих операторов, непрерывного спектра и смешанного'спектре■(у одного оператора чисто, дискретный спектр, а у другого - чисто непрерывный).

В § 4 строится корреляционная теория эволюционно представи-мых случайных полейконечного ранга. Дан критерий «дважды перестановочности , операторов и Дэ в'терминах корреляционной функции (теорема 4.12).

Получен ;общий вид ИКФ для различных случаев спектра. Далее рассмотрен случай," когда операторы /4/ и А^ являются неограниченными. . .' • .' ■'

• " § 5 посвящен построению ИКФ, КР и КФ для конкретных слу-. чаев спектра и начальных условий.'

Для полных диссипативных случайных эволюционно представи- ■ -мых процессов введен нестационарный случайный процесс первого; ранга, который назван процессом Бари-Рисса в ¿¡> , ИКФ которого имеет вид У/Н^^МУЮ , где .

21 /у Ч ■/ <0°

кг, к ■

-все- - различные и-простые, К® процесса-Бари-Рисса имеет

вид ■

. . " (21)

с(

Больтерровым случайным процессом в в диссерта-

ционной работе.назван.диссипагивный случайный эволюционно представимый процесс.первого ранга со спектром в нуле и начальным условием, совпадающим с каналовым элементом, -Для такого прсцес-са где

а ЩБ имеет вид ¡^ . ■■ • •

. т) - е Г шшщ^^,,,

- <гИ ,2

В случае'процесса . вида ^ в ¿¿¡б] >

где /4 9х » т.е. .отсутствия спектра в конечной части комплексной плоскости, КФ и^еет. вид *-

.С о 8

где ^^ - произвольная функция из ^ ^

В § 5 получен также общий вид КР и КФ для нестационарных последовательностей Бари-Рисса и вольтерровых нестационарных последовательностей, приведен пример Ш® для случайного поля в случае смётанного спектра,

.Приведенные, примеры можно использовать для моделирования, нестационарных 'случайных процессов в -различных' физических системах/ ■■ ■',' .,.'-, •'.'''-

5 б посвящен получению спектральных разложений нестационарных случайных функций и неоднородных случайных полей.

■ Введено понятие, каналового процесса, т.е. процесса, значения которого принадлежат каналоьому подпространству. Каналов.ые процессы разделяются на два класса: прямые и обратные, соответствующие "положительной" и "отрицательной" части инволюции. Установлена связь между ИКФ процесса и КФ входного и выходного.ка-нпловых процессов (теорема 4.29).

В случае полного диссипативного случайного процесса конечного ранга получено представление процесса ''

а &) определяются из системы рекуррентных уравнений.

Разложение (23), представляющее собой суперпозицию внутренних .состояний осцилляторов с комплексными частотами и некоррелированными амплитудами можно рассматривать как спектральное представление нестационарного случайного диссипативного процесса в случае чисто дискретного спектра. При этом элементы разложения (оказываются связанными между собой при помощи случайных процессов, лежащих в фиксированном гильбертовом пространстве, размерность которого совпадает с рангом нестационарности.

Разложение (23) является обобщением соответствующего спектрального разложения стационарного случайного процесса. При.

каналовое пространство и внутренние со-

стояния осцилляторов не связаны между собой, а - являют- ,

ся вещественный и разложение (23) переходит в этом случае в известное представление для стационарных процессов.

Следует отметить, что представление (23) является одной из разновидностей ортогональных разложений случайного процесса в

гильбертовом пространстве. Однако в отличие от известных ортогональных разложений Лоова-Карунена-Пугачева, представление (23) имеет явный физический смысл суперполиции внутренних состояний осцилляторов'с комплексными частотами и некоррелированными амп-". литудами.

. Если спектр оператора сосредоточен в нуле и он вполне несамосопряжен, то спектральное разложение соответствующего случайного процесса имеет более сложную структуру

¿V - / (24)

где - стандартная случайная спектральная мера (процесс с

некоррелированными пр1фащениями), а -£■()(, 4:) строится по решению специальной системы дифференциальных уравнений в частных . производных гиперболического типа, т.е. снова ^^ представляет собой суперпозицию, н'о уже; континуальную, внутренних состояний осцилляторов (струн).

В этом параграфе также получены спектральные разложения некоторых классов нестационарных случайных последовательной и неоднородных случайных полей."

В пятой главе рассмотрены некоторые приложения развитой в диссертационной работе теории нестационарных случайных процессов,

В первом параграфе исследуется поведение случайных нестационарных сигналов при .линейных преобразованиях. Необходимость рассмотрения такого круга вопросов связана с тем, что значительное число прикладных задач (фильтрация случайных сигналов, корреляционная обработка случайных сигналов, распознавание образов и др.) может быть сформулирована в терминах стохастических дифференциальных или интегральных уравнений, осуществляющих линейные преобразования случайных сигналов. Показано, что ранг роше-

ния линейного дифференциального уравнения с'переменными детерминированными коэффициентами и с правой случайной частью.конеч-^ ного ранга.тоже конечен. Рассмотрены.также линейные преобразования кривых в гильбертовом пространстве. . ••

Определение. Кривая' ^ называется дилатацией 2/ -го ранга кривой, '■, если 3 оператор & ^ ^ H^J

такой, что ^ t d(M(l-8*ß)Hg~Z . В терминах КФ по-

лучены-необходимые и достаточные условия для того, чтобы ^ былг. дилатацией первого.ранга стационарного-случайного процесса^ (теорема 5.1), •'..".•

. . Во. втором'Параграфе теория операторных узлов используется '.'■ для решения задачи фильтрации нестационарных случайных последовательностей на конечном интервале, определяемых-следующими уравнениями в- Пространствах состояний ' . '

X/ttf = Тхп. + + . V». = ^ (25)

.где

Л.

; Система. (25") ассоциирована с. метрическим узлом. Требуется оценить Хд/ на основании известны;: значений выхс^а /у 'Если искать линейную оценку в виде ~ 2.• то для передаточной матрицы'оптимального фильтра получается сум-.'-

. маторное уравнение ВинерагХопфа, решение -которого.с использова-■ нием узловых соотношений найдено в.явном-виде. -Принципиальным.' моментом является'то, что И^ находится., минуя решение разностного уравнения Риккати, которое значительно усложняет процеду-. . ру нахождения передаточной матрицы оптимального фильтра при . . стандартном подходе (Винера-Калмана):

т%*(7- т"-'п * > Т'^т'У

В третьем параграфе получена следующая оценка для среднеквадратичной ошибки оптимального фильтра

в X, - £ //* £} (26)

Зта оценка не зависит от и, следовательно, ограничена при ' любом Ы .

При получении оценки (26) существенно использовался факт ассоциированности исходной системы .'с операторным узлом. Отказ -'от этого условия может приводить к неограниченному росту среднеквадратичной ошибки при увеличении У .

При ^ '-*» О получена более, точная .оценка для среднеквадратичной ошибки .

ЦХ-л, ' (27)

■ </

где. 2 - число собственных.значений .матрицы '/ ' , по модулю равных единице. Эта оценка показывает, что в случае сильно неунитарной матрицы,'как и следовало ожидать, среднеквадратичная ошибка стремится к нулю, когда дисперсия шума ¿¿д. стремится к ну. лю. Это свойство среднеквадратичной ошибки существенно связано с тем, что исходная система является ассоциированной» Если же система • не . является ассоциированной с операторным узлом, то, как хорошо известно, передаточная матрица оптимального фильтра неограниченно возрастает, когда дисперсия шума стремится к нули,

В четвертом параграфе решаются задачи оценивания вектора состояний непрерывных линейных сисгзм. Рассмотрены различные . случаи, для'которых можно найти в явном-виде передаточную матрицу оптимального среднеквадратичного фильтра, а также изучена .роль узловых соотношений при нахождении передаточной функции оп-

. тимального фильтра. . . '

Пятый параграф посвящен построению теории, оптимального оценивания решений интегральных уравнений при наличии шумов,' учитывающих в частности, возможную точность измерения соответствую- " щих величин и в .качестве примеров рассмотрены задачи фильтрации волны, дифрагирующей на круговом диске или круговом отверстии в плоском экране, а также фильтрации решения интегрального уравнения для функции ослабления при возбуждении электромагнитного поля вертикальным• диполем вблизи по-верхности земли,, когда ,на процесс измерения соответствующих полей налагаются.шумы.

. В шестом параграфе рассматривается, задача обращения интегральных матричных операторов со специальными ядрами '

^ ^мжм. При-этом существенную роль

играет вырожде'нность (конечномерность) оператора ■ или 3" Т~ » гЛе Ар . и-.7" соответствующим, образом подоб,-: ранные операторы,в частности, в качестве А о часто выбирается / ~ * Г к ) с/ X . Исследована структура оператора £ и (теоремы 5,2-5.7). Решена также обратная задача о выбо-

. ро ядра интегрального оператора £ , если вырож-.

ден (теорема 5.8). Изучена также задача обращения .в Классе . . обобщенных функций.■ В качестве примера приведено решение задачи •' оптимальной фильтрации в случае матричного интегрального операто- . ра Винера-Хопфа, •' '

Отметив, .что коммутационные соотношения, используемые при • обращении интегральных операторов, представляют собой, по сути , . дела, обобщение определения операторного узла. ' ■ '

В шестой главе рассматривается проблема восстановления до- . стат?очно широкого класса аналитических случайных полей по их . • ■ : значениям в некоторой системе интерполяционных узлов. Оценивает-,ся рост выборочных функций случайного поля и исследуется устой.- 28 - '

чивость интерполяционных формул. ■ '

Для исследования этих вопросов впервые применен математиче-. ский аппарат теории целых функций многих комплексных переменных, что позволило получить новые результаты не только для случайных,., но и для детерминированных полей.

Отметим, что привлечение такого математического аппарата к изучению случайных полей совершенно естественно, так как эволю-циошо представимыё поля вида ) ~ GtyfíJffÁ/tlJ^/fj)^ ог-

, раниченннми инфинитеэимальныш операторами /ff и А^ являются, . в частности, одним из классов аналитических случайных функций.

Интерполяционные формулы как в детерминированном, так й в стохастическом варианте без должного обоснования широко исполь- . зуются в радиофизических задачах: аппроксимация профиля показателя преломления, оптическая обработка радиосигналов в реальном времени (интерполяционные, представления передаточных функций), теория синтеза антенн при реализации диаграмм, составление морских сейсмических карт, цифровая обработка изображений и др.

В первом параграфе на основе теории целых функций многих • комплексных переменных получена интерполяционная формула для детерминированных аналитических полей (теорема 6.1):

iZ* Ti ы ¿г, -Х7С /гъ - eje } (28)

причем, при.достаточно большом fbx ' •■• .

/Аа)

^ с/-р-Г^*' .

где <Cf¿i, - функция, ограниченная на. каждом ограниченном , i

множестве и не зависящая от вида функций- I о/>,

Р ** о t а ^toj Ого — сопряженные .типы, отвечающие угловой точке гиперповерхности сопряженных типов iЬ

при 2%2-к^О, К* (,2.

Во втором • naparpiu$e исследуется устойчивость интерпоЛяцион-■ ной формулы (2Q) в случае," когда узлы интерполирования не лвля- . ются равноотстоящими и могут выбираться произвольно.из .некоторой окрестности узлов решетки (теоремы 6.2-6.3),

, В третьем параграфе/получен аналог теоремы отсчетов Котель-никова-Уиттекёра-Шеннона для.случайно аналитического поля (теорема 6.4):

Представление. (30) справедливо для,-Почти всех выборочных, функций сфгчайных полей. ^C^tjX*-} вида. ' .• л ;

где V, ■fj - случайная .спектральная, ортогональная мера,- а '¿(XiiXi, ) относительно й может, быть доопределена в произведении'комплексных плоскостей до целой функции экспоненциального типа такой» что

Sup SUP /-ffKM, )} = -sub / А ь) V4^'^6^

tA. У*- ' далее показано, что если си-

стема, узлов не является равноотстоящей, то реализации случайно-' . го поля так??-могут быть,восстановлены по значениям в.этих уз- ' лах.

При выполнении условий■теоремы 6.4 почти все выборочные функции поля являются целыми функциями, причем,

если , то

т -30' -

1о °2г>

Из неравенства (32) следует* что для 3Л^^О

такая, что при всех У/( У^ с вероятностью единице справедлива ' оценка . (теорема 6.5).

В четвертом параграфе исследуется устойчивость интерполяционной формулы для аналитического.случайного поля, когда узлы интерполяции могут выбираться произвольно в некоторой достаточно малой области, содержащей соответствующий узел решетки (тео- > , рема б.б).

Отметим,.'что если в стандартных интерполяционных формулах Котельникова-Уиттекера-Шеннона шаг интерполяции выбирается в■ соответствии с шириной Фурье-спектра, то- в предложенной в этой главе методике' шаг интерполяции определяется характеристиками роста целых функций многих комплексных переменных.

В седьмой главе рассмотрен ряд прикладных задач корреля ционной теории статистики неоднородных.полей.

В первом параграфе рассматриваются детерминированные линейные преобразования случайных полей вида

^Л'/'-Гбг Ы¥)£Су№у • (33)

где

и (К)

- искомое поле, а ^(у)- случайные источники, (Х,у) - функция.Грина соответствующего оператора, учитывающая граничные'и другие условия. Такие преобразования включают в себя линэйные задачи распространения волн, индуцированных заданной системой случайных источников. Если (^(х,^ = ^ (У~ ^^ а неоднородное поле конечного ранга, то как показано в .

этом параграфе,- ранг Ц(х) также конечен.. В качестве одного из

приложений преобразований типа.(33) подробно "изучена задача Ко-ши для уравнения теплопроводности со.случайными"начальными данными, в частности, к такой задаче сводится проблема турбулентности в стадии вырождения или .задача дифракции монохроматической волны на статистическинеоднороднои экране в приближении параболического уравнения. '

В отличие, от случая, когда начальные данные однородного случайного поля и. все решения убывают при. неограниченном возрастании времени; в случае статистически неоднородного поля (в начальный момзнт времени) появляются как убывающие, так и возрастающие или осциллирующие решения, характер которых определяется- свойствами спектра начальных данных. Предложенный метод ре-• шения .задачи Коши, основанный на эволюционном представлении решения, позволяет проследить, вотлйчие'от стандартных методов решения, как:пространственный спектр формирует временной-спектр.

; ' - Второй параграф, посвящен задаче о. нахождении электромагнитного поля, созданного системой флуктуирующих'статистически "неоднородных источников, находящихся на.экране, В приближении па. раболического уравнения для комплексной .амплитуды ¿шеем следую.;' щую задачу Коши (волна распространяется вдоль направления оси

Ж*.*) <34'

-. Э.та задача для статистически однородного океане, или^когда КФ А.(¥) имеет вид

• ■•(сепарабельная корреляционная функция) хорошо изучена.

. ; ■• '..-Для выяснения физических возможностей, заложенных в рас- . сматриваемых.в'диссертационной работе моделях, статистически ье-

однородных полей, в этом параграфе, в частности, рассмотрено" случайное поле А0(*£) , образованное системой некоррелированных статистически неоднородных источников. Показано, что сепарабельность КФ соответствует не только плавности пространственного или временного изменения статистически неоднородности на масштабе корреляции, но и системе некорреляционных источников с одинаковыми законами изменения интенсивностей вида '

Ье™.

Модели, которые рассматриваются в диссертационной работе не предполагают некоррелированности источников и совпадения-за-' конов изменения интенсивностей и поэтому соответствуют, по сути дела, но только системе некоррелированных источников, но и си-' стеме источников с существенно различными интенсивностями и за-■ конами их изменения в поперечной плоскости *

Если ше ст виДд, . .

^и/К 5 ) - ^;* Ш

где К л , сепарабельная корреляционная фунёция, то для .

' 0 . /Г»)

КФ решения задачи Коши с начальными данными Лв( с / вида А6(?) = Аа(%) +А С , где А„(£) - сепарабельное случайное поле, а А ) /р ~ эволюцион-

но представимое поле, некоррелирующее с •» получено

представление

ХЯМЪ , (36)

•Л. то

где

К отвечает сепарабельным начальным данным.,

АД '

Дальнейший анализ_связан с конкретными предположениями отнреительно структуры операторов ' А{ и' А^ > входящих в выра-

жение (36) и характеризующих типы статистических неоднородностей

экрана П;

ного спектра у А( для несепарабельной части КФ

Пусть, в частности, ..А^.-О. Тогда в' случае чисто дискрет-

нмеем

ехз

е-,

• где ОО • , (?

В случае спектра в нуле у оператора ' имеет вид ' £ ■

КАЛ ' / ^к* Г) '(38)

О ■■ ' ' ' .-■ • где . ое

/е

если, ^ -^^где- - каналовый элемент оператора А] . 'Полученные выражения для ,Ш А могут быть" ис-.. пользованы для построения .моделей различных- статистически неоднородных, экранов. В качестве примера рассмотрено влияние-статистической неоднородности на степень пространственной некогерентности источника, имеющего форму кругового диска радиуса ¿2- ,

К°ГА- : ГТМ^) Л ¿а

мЛ я^ф. (39)

Тогда на расстоянии от плоскости экрана и при . Х* ~0 и для' КЛА С Ъи ^ Ъ) получаем выражение

о

В случае, когда спектр оператора' А^ в нуле, то для

^ «¿г г • ■ .

где . . г '

= Ш /.С«

Таким образом, в КФ ^-д- наРяДУ с размерами экра-

на, соответствующими, например,-линейному размеру звезды, появляется информация и о масштабе статистической,неоднородности источников, расположенных в плоскости экрана. При этом, как вид; но из (40), на фоне обычной КФ появляются дополнительные осцил-, ляции с масштабом, соответствующим масштабу неоднородностеЙ источников, что в принципе позволяет по известной КФ определить не только линейные размеры экрана (звезды), но, и масштаб и ин-' тенсивность статистически неоднородных источников, находящихся ' на светящемся экране.

В третьем параграфе рассматривается задача о рассеянии электромагнитной волны'в статистически неоднородной среде. В рамках Борковского приближения получено выражение для средней' интенсивности рассеянной еолны в условиях, когда среда описывается. статистически неоднородным полем первого ранга; Изучены ее свойства для различных случаев спектра случайного поля. Рас- . смотрена также задача о деполяризации электромагнитной волны, распространяющейся в статистически'неоднородной среде. В Борнов-,

ском приближении получено общее выражение для среднего потока энергии, из которого видно, что средний поток энергии нелинейным образом зависит от пройденного лучом света пути, в отличие от линейной зависимости, когда среда! статистически однородна, . Этот факт может быть использован для интерпретации результатов экспериментов, когда электромагнитная'волна распространяется вблизи земной поверхности, так»что статистическая однородность среды нарушается. .

В четвертом'параграфе изучена задача о прохождений света •через турбулентный .поток жидкости,-подобные задачи естественно , возникают, например,' при оптической диагностик^ .турбулентных потоков жидкости, В,этом случае флуктуации диэлектрической про-.ни'цаемОсТи линейно, зависят от градиента давления или тензора.' .скоростей деформации. В рамках приближения геометрической оптики получено . выражение для .среднего квадрата миан* смещения луча света, прошедшего слой'жидкости толщины. 3 :

: г ■■■' . 0 О

где-

показатель преломления среды,

причем =

Выражение (41) может служить основой для учета статистических неоднородностей в.турбулентных пограничных слоях при изу- . чении распространения света в таких.средах.

Так, если [¿^ является КФ статистически неоднородного поля первого ранга с чисто дискретным спектром, то для

М ШЮ/2 тоем

оа

О £

£

Как видно из

(42), М ¡»((В)/' содержит в себе информацию о спектральной энергии вихрей (, о пространственном масштабе вихрей С^ ) и масштабе пространственного убывания турбулентного пограничного слоя.

В этом же параграфе рассмотрена кратко задача о рассеянии света в неоднородном турбулентном потоке жидкости в трубе. Экспериментальное изучение этого явления и попытка использования его для исследования явления перехода движения жидкости из ламинарного в турбулентное и измерения гидродинамических характеристик турбулентности были предприняты в работе В.В.Струминск'о-го и В.М.Филиппова. Параллельный пучок света пропускался через • поток жидкости при различных режимах движения. Оптическая система отбирала рассеянный свет из исследуемого объема жидкости для фотоумножителя. По измерению величины анодного тока фотоумножителя можно было судить .об интенсивности рассеянного света. В частности, было установлено, что интенсивность рассеянного света возрастала практически скачком при переходе ламинарного движения в турбулентное. Однако цель эксперимента (изучение структуры потока и измерение характеристик турбулентности) была достигнута далеко не полностью из-за отсутствия теоретического рассмотрения, устанавливающего связь между-' электродинамическими и. гидродинамическими полями. При.объяснении этого явления механизм рассеяния принимается обычным, т.е. рассеяние света происходит в пренебрежении поляризационными эффектами нп малых флуктуациях диэлектрической проницаемости £ , вызванных , . флуктуациями поля давления р . Учет поляризационных эффектов приводит к тому, что необходимо рассматривать флуктуации

тензора диэлектрической проницаемости,' вызванные флуктуациями тензора скоростей деформации У ¿у , Специфика эксперимента (анализ анодного тока фотоумножителя) приводит к тому, что все экспериментально измеряемые величины выражаются через четвертый четырехточечный момент флуктуационной части диэлектрической .. проницаемости. Вычисления, которые можно произвести с использо- . в&нием гийотсзы М.А^Миллионщикова о структуре четвертых момен-'•то'в и. которые опущены ввиду, громоздкости, дают качестгенное со-ответствиа с экспериментальными'данными работы В.В.Струминского и В.М.Филиппова. Но .для количественного'сопоставления данных работы недостаточно.'Можно показать-, что скачкообразное ■ возраста,: нйе интенсивности рассеянного света в области перехода объясняется "пятнистой" структурой жидкости - .образование в ламинарном потоке, турбулентных пя?ён, число которых резко возрастает при переходе ламинарного движения жидкости в турбулентное.

; Увеличение интенсивности рассеянного света связано с увеличением числа турбулентных пятен, попадающих в рассеивающий : объем, формулы рассеяния,-полученные стандартным способом, указывают на возможность непосредственного измерения оптическим '.. способом частотного и пространственного спектров'поля давления, что невозможно осуществить в обычном гидродинамическом экспери- , , менте."' , ' - •'.-•'.••"''''

Пятый параграф посвящен задаче нахождения'средних поцей в ', статистичесии' нестационарных средах, при этом используется представление поля-в.виде-разложения по собственным функциям неэволю-. донной.'самосопряженной части о.ператора Максвелла. Кооффициен-... ты разложения удовлетворяют'стохастическим эволюционным диффо-. ■ ренвдальным уравнениям, .причем исследование этих уравнений су- . ' . 'щественно зависит от характера случайного изменения с точением • . .времени диэлектрической проницаемости £(£) . Если огрпничить-

ся борновским приближением, то для среднего поля влияние флук-туашонной составляющей £(i;) . приводит к перенормировке постоянных среды. В случае, когда - ffc)), где -марковский процесс, то для среднего поля получено точное уравнение, содержащее кинетический оператор марковского процесса '

ш..

А ^л

Если £(4)s?0 i- ♦ где.^^-телеграфный случайный '

процесс, то в этом случае также получено точное уравнение для-, среднего поля, минуя технику инфинитезимальн^х операторов марковских случайных процессов. - .

Анализ этого уравнения показывает, что при различных пред-- . положениях о параметрах, описывающих флукТуационную часть диэлектрической проницаемости наряду с регулярными волновыми свойст- -вами среды, появляются существенно новые (затухающие колебания, появление неосциллирующих решений). Возможна.также полная потеря средой своих регулярных волновых свойств.

Основные публикации по тема диооертаций.

1. Янцевич A.A. Об одной задаче электродинамики неоднородной анизотропной среды//Изв.Вузов. Сер. Радиофизика. - 1967. -т.Х, № I. - С.137-139. .

2. Янцевич A.A. Учет перекоса цилиндрической аппаратуры при оптических измерениях в потоке вязкой несжимаемой жидкости// УФЖ. - 1966. - Т,Х1, III. - C.I238-I242.

3. Янцевич A.A. Исследование гидродинамической устойчивости оптическим мзтодом//Аннотации- докладов Ш Всесоюзного оъезда по"теоретической и прикладной механике. - М., 1968..- С.332.

4. Белозеров Д.П., Янцевич A.A. Модуляция световой волны ультразвуком в круглом волноводе//Гезисы- докладов' У1 Всесоюзной

,акустичсской конференции, - М., 1968; - Б14. - 4 с.

5. Янцевич A.A. Поляризационные свойства электромагнитных волн, распространяющихся в ламинарных потоках вязкой несжимаемой жидкооти//Радиотехника..-Харьков:dnma школа, 1987. - вып.4, -0.130-138. '

6. Ливший М.С.,■Янцевин A.A. Теория операторных узлов в гильбер- ■ тойых пространствах. - Харьков: Изд-ьо Харьк. ун-та, 1971, -mo с. ■ . : ,

7.: LivshLh M.5.,yariiseyl-tlv A.A.j Operator соССуайок ia Hifbert spaces, ^ok Ше^ arui Sonsj VeW-Yoii;

V; 1979, гоа p. , • • : ■

8. Клебанова Г.Б., Инцевич A.A. Об .интерполяции аналитических случайных "полей/Дезисы'докладов всесоюзной конференции по

■ ' теорий функци'й комплексного, переменного. - харькей, ,1970. -С.33-97. •'.■■;' '.

9. Клебанова Г.Б., Янцевич A.A.'Об одно;-; задаче -интерполяции " случаЯнл; полей//г4ате;латическпя физика й .¿утимоиалышЯ

диализ, '¿ТИНТ -АН УОСР.' - Ь71. - иып.П'. - C.4I-44, - Ю.Янцавич-А. А. О стохастических интегральных уравнениях теорий распространения волн//Аннотации докладов У Всесоюзного .,-, симпозиума по дифракции и- распространению воля. -Л., 1970. -С,20-21, -

II.Янцевич A.A. .'Операторные узли и .ассоциированное открытые си-стемы/Деория функций,'функцйон.анализ и их прил, - Харьков: ,. Вища шк., ,1973. - вып. L7. - С.215-220. ' '

. 12,.Янцевич A.A. Об одном классе не самосопряженных операторов//

с двумерной мнимой компонзнтой/Деория Функций, функцйон. . .. анализ и их прил. - Харьков: ¿ища шк., 1У75. - вып.28. -' С. 124-127. ■,•..'■'•.

13.. Янцевич A.A. Применение теории операторных узлов к исследованию нестационарных случайных процессов и пооледонательно-стей//Материалы Всесоюзного симпозиума по статистике случайная процессов. - Киев, 1973. - С.229-232.

14. Маркус Л.Г., Цекановокий Э.Р., Янцевич A.A. Линейно представимте решения дифференциальных уравнений в гильбертовых про-странстЕах//г(атзштические методы кибернетики, - Киев, 1980,0.28-38.

15. Когут Е.А., Янцевич A.A. Унитарная эквивалентность линейных •■ дискретных систем и передаточные функции операторного аргу-мецта//Вычислитедьные метода кибернетики. - Киев, 1982. -

С.61-69. . '

IS. Герман и. Л., Янцевич A.A. Оптический метод исследования по- ■ токов вязкой несжимаемой жидкости//Вестн.Харьк. ун-та. -1966. - Am. 32: математика и. механика. - С.17-34.

,17. Янцевич A.A. Распространение электромагнитных волн в турбулентных потоках вязкой несжимаемой жидкооти//Вестн.Харьк. ун-та,-

1966. - Вып. 32: математика и механика. - С.35-39.

18. Янцевич A.A. Распространение электромагнитных волн в пуазей-левеком потока вязкой несжимаемой жадности //'Вептн.Харьк. ун-та. - 1967. - вып. 33: математика и механика. - С.120-124.

19. Ажажа Ж.С., Янцевич A.A. Двойное лучепреломление в турбулентных потоках вязкой несжимаемой жидкостя//Вестй.Харьк.уя-та.~

1967. - Вып. 33:. математика и механика, - С.125-132.

20. Соколовский В.З., Янцевич A.A.- Оптимальная фильтрация случайных полей, описываемых интегральными уравнениямя//Тезя- . • сы П Всесоюзного семинара по численным мзтодам нелинейного программирования. - Харьков, 1976, - С.285-287.

21. Когут Е.А,, Янцевич A.A. О линейной,представимости оостоя-

■ ний дискретных открытых систем, ассоциированных о операторными узлами//Вестн.Харьк.ун-та, - 1982. - & 220: механика,' теория управления и математическая физика; - С.60-36. :

22. Когут В.А., Янцевич.А.А. О сцеплении операторных узлов и ассоциированных с ними■ открытых сиотем//Бестн.Харьк.ун-та. -

. 1982, - № 220: механика, теория управления и.математическая физика. - С.66-69.

23. Александров ¡O.A., ЯкцеЕич.А.А. Об определения вероятности первого достижения одномерна* -случайным процессом 'фиксированных границ//Вестн,Харьк.ун-та. - 1970,В-ш,- 34: мате--

, матика.и механика. - 0.130-133. ■ 24. Александров Ю.А^, Янцевич A.A. Уравнения, для .одномерных •■ ддотноотей распределения вероятностей в случае линейных 'динамических сиотем второго порядка//йеста.Хзрьк,ун-та. -' . 1970. - рыл.34: математика.и механика..-г С. 134-138.■

25. Александров iQ.A., Янцевич. A.A.. О "некоторых классах случай; ных процессов.с пооледейотвием//Ве'стн.Харьк.ун-та. - 1970. -

в^п. 34: математика « механика. -. 0,139-157.....' - -

26, Кргут E.Ä.", Янцевич A.A. Применение теории операторных уз,-

■ лов к решению задачи фильтрации/состояний линейных систем//: . Харьк. ун-т. - Харьков,4984. - 2$ с. Леи. в УкрНИИНТИ, ' . ' й 2132'Ук-84. ■'.-..'. • ..■',..■,-.' '' 2?. АбЗауи л., Янцевич А.А-. Нек'оторца клаооы неоднородных случайных' полей//Хяры<.ун-т. - Харьков, 1984.- - 52 .с. - Леи.' ' ' в УкрНШШ, № 2206 Ук-84., ...

28. Янцевич-A.A. Неотационарные. последовательности в гильберто-' вом .пространстве. J. Корреляционная теория/Деория функций, •функцион;анализ и их прил. - Харьков: Вища шк., 1986.-- ' вый.45. '-..0,139-141.

29. Пишель Р., Янцавич A.A. Дилатации. случайных процессов// Теория Функций, функцион;. анализ и их прил. - Харьков: Вища шк., 19.86. - вып. 46. - С.06-90. . '

30. Лнцевич A.A. Нестационарные последовательности в гильбертовом пространстве; П. Спектральные прздставления/Деория функций, функцион. анализ и их прил. -.Харьков: Вища тк., 1986. - вып. 45..C.I42-I44.'- »■

31. Когут Е.А.,.Янцевич A.A. Оптимальные оценки состояний линейных дискретных систем//Тезисы докладов И Всесоюзного симпозиума "Метод дискретных особенноотей в задачах математической физики". - Харьков, 1987. - С.192.

32. Когут S.A., Лнцзеич A.A. Об одном способе решения дискретного аналога интегрального уравнения В1шера-Хоп1>а//Тезисы докладов 1У Всесоюзного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". - Харьков, 1989. --ч. I. - С.134-136.

33. Янцевич A.A. 0 Фильтрации решений интегральных уравнений// Тезисы докладов 1У Всесоюзного симпозиума "Метода дискретных особенностей в задачах математической физики". - Харьков, 1989. - с.П. -С.302-303.

34. Когут Е.А., Янцевич A.A. Оценивание вектора состояний линейных непрерывных систем//Рад'иоэлектронные устройства лета-тельяых'аппаратов, Харьков,- 1990. - G.66-73.

35. Стоян Ю.Г., Золотарев В.А., Янцевич A.A., Барруш ф.С»'Обра® щение интегральных операторов методом коммутационных соотно-

• шений. - Харьков, 1990. - 57 с, /препринт ИПМ АН УССР: препринт-2332/. ' , • '

36. .Янцевич A.A., Барруш Ф.0. Системы коммутирующих операторов

и корреляционная теория одного класса кривых в гильбертовых ,. 'пространствах//Харьк.ун-т. - Харьков, 1991. - 30 с. деп. в

ВИНИТИ » 24I5-iÖI. . •.

37. Золотарев Б.А., Янцевич A.A. Нестационарные кривые в гильбертовых пространствах-и'нелинейные операторные уравнения// Теория операторов, оубгармоничеокие функции. - Киев, 1991, ' С.52-80. ■ - -

.38. Золотарев В.А., Янцевич A.A. Об одном классе нелинейных one-раторных.уравнений о несамосопряженной Ярввой частью//Тео-. рия функций, функцион.анализ и их прил. - Харьков: Вища шк., -I99I. - вып., 55. - С.74-78. ' . ' ,

39.■Бабий В.И., Беррабах Б., Янцевич А.А.' Универсальные модели сжимающих операторов//Харьк.ун-т. - Харьков, 1993. - 15. с. - -

1 ' flen. в ГНТБ Украины 27.04.93 »,859, Укр.93.

40. Аршава Е.А., 'Янцевич A.A. Обращение интегральных'операторов методом коммутационных соотцошений//Тезисы докладов. У1 Международного симпозиума "Методы дискретных особенностей а

. • задачах математической физики". - Харьков,' 1993. - П. С.117.

41. Золотарев H.A.,' Янцевич A.A. Интегральные -уравнения оо спе- -

, циальными ядрами/Дезибы докладов У1 Международного симпозиума "Методы дискретных особенностей' е .задачах математической фи- • . зики". - Харьков, 1993. - П. 0.189. '