Универсальные модели сжатий и нестационарные кривые в гильбертовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

I

' (

ь

• ХАРЬКОВ СНИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

0/1. На гравах рукописи

' Бабий Владимир Иванович

' УНИВЕРСАЛ ЬШЕ МОДЕЛИ СЖАТИЯ ■ И НЕШШШРШЕ КРИВЫЕ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВА '

0Г.01.01 . - катематкческий анализ

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата . ' физико-математииеских' наук

Харьков - 1994

Диссертация является рукописью. , ■

Работа выполнена в Харьковском государственном университете

Официальные оппоненты: .■/■''

.доктор Физико-математических наук, профессор Харьковского институт инженеров железнодорожного транспорта Коваликина Ирина Васильевна • доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математи--.-чеокого моделирования Харьковского государственного, университета, профессор Руткас Анатолий Георгиевич._ ...

Ведущая организация - Институт математики АН-Украины, г. Киев. ' Защита состоится

19У4 г. . в /' час. на заседании специализированного совета К 05S.06.02. Харьковского государственного университета (310077, г.Харьков,пл.Свободы, 4>, ауд. 6.-48).-

■ ■ С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке ХГУ.. . '

Автореферат разослан " ^ " ¿^уЦ/М? 1994 г..

Ученый секретарь специализированного совета . А.С.Сохин

ОБЩ ХАРАКТЕРИСТИКА РАГОТЦ

Актуальность ге>,;ы. Объектом исследования в диссертационной

.работе являются нестационарные кривые, пороадаемыо задачей Коши

■ з гильбертовом пространстве Н вида ос} = х0,

И »о

.где А - нзунитарный оператор, 'пру,чей степень неунитаркости описывается неотрицательным числом %- скит. (1-А*А)Н При по.моцк скалярного произведения строится корреля-

ционная теория некоторых классов случайных процессов, рассматриваемых как- кривые в сьотзетс-хзую^ем гильбертовом пространстве.

Такой подход к исследованию случайных процессов реализован А.К.Колмогорову« з случае Д = А* , т.о. для стационарных в широком смысле случайных процессов. А.Н.Колмогоров построил корреляционную и спектральную теорию стационарных случайных процессов на основе спектральных разложений самосопряженных или унитарных операторов. Впоследствии подход А.Н.Колмогорова был развит в работах К.Бохнера, Г.Крамэра, М.Лсэва, К.Карунена. А.М.Яглома, Ю.А.Розанова, М.С.Пинснера и др., в которых эффективно использован гильбертов подход к исследованию стационарных или тесно связанных с ними случайных процессов.

3 1971 г. ГЛ.С,Лившицем и А.А.Янцэвячам на основа спектральной теории лес амосопряженных оперзторов с конечномерным подпространством неэрмиговосги построена корреляционная теория неста-. циояаряых случайных процессов конечного ранга несхационарности.

Треугольные и универсальные модели операторов, сконструированные М.С.Лившицем, А.В.Ку«селам, М.С.Бродским, оказались адекватным аппаратом для построения корреляционной спектральной теории широких классов нестационарных случайных процессов,..причем была дана вероятностная интерпретация таких понятий,' как, размерность неэрмитова подпространства, спектр оператора,-характеристическая оператор-функция. Аналогично, на основе спектральной теории неунитарных операторов, созданной в работах М.С.Лившица, . А.В.Кужеля, С.Надя, К.Фойяша, В.Г.Поляцкого, В.М.Бродского, . И.Ц.Гохберга, А.А.Янцэвичем и Б.Ееррабахом построена кпрвляци-онная и спектральная теория широких: классов нестационарных по- . следовательностей гильбертовых пространств.

В

Другими аргументами для выбора темы диссертационной работы являюгся возможность применения развиваемых математических методов к иадачам фильтрации и прогноза процессов, а такке тесная связь о теорией аналитических функций в случае ограниченного оператора.

Цель работы. Построить универсальные модели квазиунигарных операторов и на их основе создать корреляционную и спектральную теорию нестационарных кривых бесконечного'ранга нестационарности.

Методы исследования являются в основном спектрально-анали- . тическими: теория квазиунитарных операторов в гильбертовом пространстве, теория аналитических функций, уравнения в частных производных математической физики. • •

Основные положения диссертации, аыиосиыыв на защиту:

1. Построение универсальных моделей сздтий.

2. Представления эрмитово неотрицательных ядер, отвечающих нестационарным'кривым в гильбертовом пространстве бесконечного

р .та,

3. Выделение л реализация классов нестационарных кривых в гильбертовых пространствах, конструируемых при помощи треугольных и универсальных моделей операторов.

4. Методы продолжения линейных систем до ассоциированных о операторными уаяами,

. 5. Установление связи мекду хауссовскими аналитическими случайными процессами и каноническими разложениями целых функций. •

6. О порядке убывания произведения Бляшке в верхней полуплоскости.

?. Связь между вполне регулярностью роста функции и слабой сходимостью некоторого семейства функций.

Научная новизна. Б основные положения, выносимые на защиту, включены только новые результаты. Построенные универсальные модели .квазиунигарных сжатий иопольэуются для введения «'доследования новых классов нестационарных кривых в гильбертовых простран- . отвах. Излокены таккз новые результаты автора по теории роста голоморфных функций в верхней комплексной полуплоскооги, тесно свя-, эанные со свойствами выборочных функций аналитических случайных процессов.

Обоснованность и достоверность результатов' и выводов обсулов-лена использованием строгих математических методов.

• 4

. Диссертация выполнена в русла важнейшей научно-исследова-'тельской темы "Теория несамосопряашнных и неунитаркых операторов о приложениями в теории линейных систем и случайных функций" (roo. per. te 0182.4029433), , •

. - Теоретическая и практическая значимость. Работа связана с по--строением универсальных моделей ctóriifl и их использованием в корреляционной теории нестационарных кривых в гильбертовых пространствах бесконечного ранга. Достроенная в диссертационной работе кор--реляционная теория некоторых классов нестационарных случайных процессов может быть использована при моделировании нестационарных случайных сигналов и случайных сред в радиофизике, а также для анализа и синтеза линейных систем в пространствах состояний.

Апробация рао'отц к пуо'ликации. Результаты диссертации докладывались на семинарах по теории линейных операторов на кафедре высшей математики и информатики Харьковского государственного университета, на семинарах по теории функций многих косплексных переменных проф. Л.И.Ронкина, на 1У Международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики и Оингуляр-. ные интегральные уравнения" (май 1993 г., г. Харьков), на Всесоюзной конференции по теории функций в г. Черноголовка (1986 г.), на школе по теории функций в г.'Донецке (1986 г.). ■

.. Основные.результаты диссертации опубликованы в 7 работах, приведенных в конце автореферата.

- Объем и структура работы. Диссертация излокена на 138 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 68 наименований работ советских и зарубежных авторов й 2- рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ' '

В первой главе отроятся универсальные модели оялыаюдих операторов. В § I главы I рассматривается некоторые свойства преобразования ¡Сэли Операторов.

В § 2 главы I отроятся уяиврроальные' модели сжимающих операторов.

Пусть Т - кваайунитарное сгатиё ранга /т ¿со , такое что оператор (t-т) - обратим в.узком смысла. Обозначим через ПиУ^" последовательность собственных значений оператора Т . внутри единичного круга. Рассмотрим оператор A= ¿(l+T)(l-T) ,

Известно, чю для детерминанта характеристической оператор-функции \л/д(?0 оператора А имеет место представление

d* WAfx).n^be^{i f-àS- } (t>o)J (ОЛ)'

последовательность нвввлествеиных собственных значений оператора А ограниченная неубывающая адикция на Со, il. '

Определим в Lz(iо,(где - специальным образом

построенная мера) оператор А :

Д + i Щ, (0.2)

где ¿(%)на 10^)- ступенчатая, непрерывная слева, комплекснознач-ная функция, точки разрыва которой ск = , и скачок в

этих точках ¿(1+ ^ а на ¿(х-в), где

функция d(x) взята из представления (0.1),

Теорема 1.5. Пусть Т - простое квазиунитарное сжатие ранга , такое чю оператор (i-T)"1 существует в узком смысле. Тогда существует унитарный олерагор В , действующий в гильбертовом пространстве 711 , такой что Т - унитарно эквивалентен сужению оператора ? = Т ©5. » действующему в пространстве

1_а(го|йЛ,/1) ®© à-XyQs ТЧ , на некоторое инвариант-

ноэ подпространство. Оператор Т задается формулой Т ^Т

Т= (А - i I)(Â-+ il, где Л имеет вид (0.2). г

В § 3 главы I отроится универсальная модель для системы Дважды перестановочных операторов сжатия и доказывается'

теорема 1.6. Пусть Т^.-^Тп. - система двавды перестановочных операторов сжатия, действующих л гильбертовом пространстве И и удовлвгворяющих условиям: "

I. Операторы Т^.-.Тк. вполне неунитарные. ■ 2. Непрерывный спектр каждого Т^ сосредоточен

в точке X--L .

• ■' 3. Дискретный спектр какдого Т< может иметь предельные точки лишь в точке f--L . • ^

V Т/4 --Т^ H»s H / П (1-TS*TS)H. '

г v.jf^o к s--1 ■

Тогда оистемб Т1,...,ТИ. унитарно эквивалентна сужению на инвариантное относительно вс8х^операторов_Т.,^...,'Ти подпространство модельного пространства H система « которые

6

отроятся только по спектру.

Во второй глава рассматриваются ассоциированные отрытые системы. В первом параграфе изучаются линеШше дискретные системы, ассоциированные о локальным узлом X :

»-«ич*/»**** ' (О.з)

для которой закон "сохранения энергии" имеет вид < гч , > + <*>,, яги+1> - II и,, ц1-

Во второй параграфе получен закон "сохранения энергии" вида Л к. ^ X

оЙ" " М'-!^! для .линейных непрерывных открытых сис-

тем, ассоциированных о метрическим узлом М .

тГ= К м. + Г Я

-•([!)- 1-т*т>ч,*ч/, 1~кЧ--<р>,т*<?=-т+к).

В третьем параграфе произвольная'линейная дискретная систе-. ма вида (0.3) расширяется до системы, ассоциированной с локальным узлом только за счег внешнего пространства, причём внутреннее состояние исходной системы совпадает о внутренним состоянием расширенной при специальном входе вида и = и1(к)) о) » а выход исходной системы совпадает о 4-й компонентой выхода расширенной системы. Аналогично, произвольная линейная непрерывная оио-гема вида (0.4) расширяется до системы, ассоциированной о метриче-1 ским узлом, тоае только эа счег внвияего пространства. Внутреннее ■ состояние исходной системы совладает о внутренним состоянием расширенной оиотемы при входе вида » а выход исходной сиотемы совпадает оо 2-й компонентой выхода раоширевной -системы.

Четвертый параграф поовяиаи построению правил оцепления открытых систем для рассмотренных выше двух специальных случаев.

В § 5 построена более обдая ¡теория расширения линейных оио-тем до Ассоциированных с операторными узлами.

Вводится понятие ЬЬ -продолжения. ^ , Определение 2Л. Назовем локальный узел X* ("Г, Н^Д,/*) Ы-продолкением линейного уела Х = (Т,V. В) ♦ воли еуиеотвуют такие линейные отобраквкия Ь : а ^е^Е , удовлвтворяю-

- 7

щие условию L i =1 , что Ч", ~f. Поставим в соответствие метрическому узлу X два уравнения: fl. =Tf +ч> и.

л . « И^^ 1 ' К w И-

К-О; гъ-ь.* Кгс^ . Эта пара отображений .

является ассоциированной открытой системой. ( Определение 2.5. Открытая система ^С^З;) называется LL-продолжением открытой системы F* (R S) % если внутренние пространства у них совпадают и существуют линейные отображения [_,'•£->£ и L '• Я £ . удовлетворяющие условию LL =1 , такие что' íbRL ; S = ÍSL.

Теорема 2.1. Всякий линейный узел X обладает- LL -продолжением X i ПР" эгои открытая система, ассоциированная с X » является ¡IL -продолжением открытой'системы, ассоциированной с X .

Георема 2.2. Пусть заданы линейные уалы Xw nY'

. .t .> ~ nt v )'••> '

У них^существуют такие Lb L^ гпродоляения Х^ , что локальный узел X^X,V... V Хл являетоя CK,ti -продолжением узла Х= X„v... v Хп..

Далее вводится понятие оцепления по подпространству и доказывается, что сцепление по подпространству локальных узлов есть ло~. кальный узел (теорема 2.3).

В этом параграфе рассмотрено также продолжение с боковыми. . каналами связи.

Третья глава содержит четыре параграфа.

. В. первом параграфе получен критерий линейной^представимости.

Определение 3.1. Кривая называется аволюционнЬ предста-вимой в гильбертовом пространстве Н5 , если она является решением дифференциального эволюционного уравнения L^ $4 -¿А j:(±)} где А -^линейный ограниченный оператор, а оператор L^ имеет ■

вид L.-Z С„(4)—- i где С, W- скалярные комплекснозначные

. * К-о ¿4* .

функции.

Рассмотрим теперь операторы ' Д , слабо отклоняющиеся от операторов, удовлетворяющих соотношению А* А ' < означа-

ющие по сути дела условие унитарности (для А = А .. ). Класс операторов о /А*/4=с/1 >о) обозначим через . По аналогии с работами М.С.Лившица и А.А.Яяцевича введем инфинитезимальную корреляционную) функцию wf^s).- (-t,S). я назовем рангом нестационарности yyvo# ранг квадратичных форм вида ■ 8

^.Очевидно, чю. и ранг характеризу-

ют отклонение нестационарной кривой ог кривой класса . Для кривых вида % - £ легко получить, что

Атаким образом отклонение кривой ог класса тесно связано с отклонением оператора А от унитарного, а именно справедливо следующее утверждение.

Теорема (о ранге) З.Т. Для того чтобы эволюциояяо представи-мый процесс был процессом "конечного ранга нестацио-

нарности", необходимо и достаточно, чтобы подпространство нвуни-гарности £ = (х - А*А)Н было конечномерным, при этом совпадает с максимальным рангом всех квадратичных форм

В § 2 изучаются кривые о унитарным операто-

ром А

Рассмотрим случайный процесс как кривую в гильбйртовом пространстве Н , воспроизводящим ядром которого является кор--реляционная функция К(*,5)= >м . Поскольку ядро

по сути определяет кривую в Н (с точностьо до унитарного отображения), то характерные свойотва . проявляются в свойст-• вах . .

Пусть ^ - случайный процесс в Н , порождаемый задачей

Коши ^ = ; ЗА : =*гв. .

сИг I ± = °

Пусть = удовлетворяет уравнению

= о Тогда .

Теорема 3.2. Длп того чтобы функция К О, являлась корреляционной функцией линейно представимой кривой в 'гильбертовом пространстве » 0\ Л А*-= о(*>о) «добходимо и

достаточно, чтобы она имела вид 1

где ГО) -"неубывающая функция ограниченной вариации.

Теореь-.а 3.3. Для того чтобы комплекояозначная функция была корреляционной функцией эволюциояно представимого процеоса, .необходимо и достаточно, чтобы:

1) была эрмитово неотрицательная;

2) - 2К раз непрерывно дифференцируемая функция?

9 . . ' • •: •.

^ 3) 3ptr(o,<x>) t i эк а я что

iv а л и ,

л/i Ж

U+tMa^ ¿/IK^)^!. К

В § 3 изучаютоя нестационарные кривые первого ранга

dim а7А*Л)Н=1, , Пусть ^ - линейно представимая кривая в гильбертовом пространства. Ее мокно представить в виде а^п го. Корре-, ляциснную функцию вычисляет по формуле К 2S>. Пусть

для опэратора ,А выполняется условие 1-А*А = g- » W

каналовый элемент А , тогда J^— , где

vfeKe" , - Са' -> '

а Г - произвольный замкнутый контур, охватывающий весь спектр •' оператора Д . _ .

В случае чисто дискретного спектра вычисление значения ре-вольвенты на каналовом элементе сводится к решению неоднородного линейного разностного уравнения 1-го порядка вида

я,,Я J

о начальным условием - • '»fofe ,

Доказана следующая теорема. • '

Теорема ЗЛ. Для того чтобы'функция «("¿»О была корреляционной функцией случайного процесса' в пространстве

где А - квазиунитаряый оператор ранга f= 1 с чисто дискретным спектром,-необходимо и достаточно, чтобы К(% S) удовлетворяла уравнению .. • . ,

где Eei>0-A.K'l-t) » a -A^CO отроятоя только по спектру

. оператора Д .

В случае кваэиунитаряого оператора первого ранга вида (0.2) с eL(x)-0 . . •• • ' имеет ивою теорема:

Теорема 3.5. Для того чтобы функция K;(t, О была корреляционной функцией олучайного.лроцеоса г^е^-йь ' в пространстве l5ro,0 » где А - квазиуяитарный оператор вида (0.2) ранга р=1, необходимо и достаточно, чтобы - У(-ь) yes) ,

У 10 ' .

где I

а Рас 30(2\[ТПТ),

В § 4 изучаются нестационарные кривые "конечного" ранга. Обозначим класс таких кривых через (ц Используя уни-

версальные модели и рзэультаты предыдущего параграфа, получаем следующие теоремы. В случав дискретного спектра:

Теорэ.уа З.Ь. Для того чтобы функция XV [4,5) била иифпнихв-эишльной- корреляционной пункцией линейно представимся привод с ин'ршштеэишлъным производящим оператором класса , необ-

ходимо и достаточно, чтобы и/(+,?,) имела .вид

^С-О^ти где % (4:)= <е <Ь>.

с<- Л /и

В случае, операторов А вида (0.2) о с</Х)= О Теорема 3.7. Для того чтобы функция \л/была инфините-аимальяой корреляционной функцией линейно представимой кривой с инфинитезимальным производящим оператором класса необхо-

димо и достаточно, чтобы имела вид

ы&^^Ъ^сыГ), ГД8 ■

Рассмотренные ранее процессы вида - € в случае

ограниченного оператора А. являются'аналитическими случайными процессами, так кзк корреляционная функция К(+,$) является' аналитической функцией двух переменных во всей плоскости. Иавест-но, что для гауссовских процессов аналитичность корреляционной функции является необходимым и достаточным условием аналитичности процесса. • ,

В § I главы 1У исследован вопрос о представлении случайного аналитического процесса в вида -

е' п. ' • <о.5)

»4 и

где $(4). - комплексный гаусоовский целый случайный процесс,

- корни ^ , отличные от нуля, - порядок корня в нуле.

Для целых случайных функций а (А) вида С*^14

, _. г к»; - »-=1

где М{СКС)}= * ' , доказана следующая, теорема:

Теорема 4.1. Для того чтобы аналитический случайный.процесс допускал представление (0.5), необходимо и достаточно, чтобы, его

II

корреляционная функция шала ввд ' Ñíao

Во втором параграфе изучается поведенке в верхней плоскости <С+= {g е С : Tu«. Z>o} канонического произведения^ стоящего в правой части разложения (0.5).,

Определение 4.1. Пусть 4^) - Функция, голоморфная в С* Порядком такой функции называется число - и^л-х ( úbf

^■f^v^) , где -{дЛ - мнокество таких чисел -j*>o , что имеет место асимптотическая оценка

UHtie)\ t (чГ) а - множество таких чиоел У>о . ¿ для которых

Для функции -fis) конечного порядка с корнями . г*1 € . lístjZ,-.. (нумерация произвольная), следуя Н.В.Говорову, введем в рассмотрение считающую функцию ее корней, т.е. функции (Ц ot)= £.(*)=. Si sin . Порядок этой функции обозначим

: lèKl<-t —;—; Í ' л /+) * t.e. положим.' рСЯ)= tin. —-it—• Обозначим

' ' 4 -Ï » Ut-t

так te 48 раз j>(4w|fl, 6) порядок функции на луче

art^Z'6, определяя его равенотвом. ■

. ..

' ^ т^» гГ +

Для функций конечного порядка в С Н.В.Говоровым была получена теорема о факторизации, а именно было показано, что .всякая голоморфная и порядка /го функция Fía) в верхней лолуплоокости ' С* представлена в виде

П(г)=е. . <* П ¿ П £у *

IJ.U1 * |2»4>i

•Л«.;.- tj^V'dW

M

u(t) I, + f (Ч-г-и; <t

t© * где г* = 7ме нули Fit) , . ^ - ааименыпее целое, для ко-

торого сходится ряд

ич г*" '

1с.

первичный множитель Вейерштрасса-Неванлинны, -.вещественные постоянные, =. ti^ 'PCt) - граничная неубывающая

сингулярная функция.

Одним'из множителей этого разложения является каноническое

произведение Г] Из результатов

Н.В.Говорова следует (хотя в явном виде не сформулировано), что если ^yz-l »'Ю ' =РСп) • При .^-о и, следовательно,' f <Lw (t)

J ——<оа . каноническое произведение совпадает о произведением Бляшке для полуплоокости. Очевидно, что в этом случае

а с| s sup p('(nl-{.¡,в).

• В четвертой главе доказана следующая теорема. Теорема 4.2. Пусть - голоморфная- функция _в верхней

полуплоскости , являющаяся произведением Бляшке, a ft(-t) -считающая функция ее корней ё' - Тогда

Уточнить этот результат, заменив неравенство Р£Я)

равенством - J> С (справедливым, как отмечалось выше,.при <}/?!) нельзя, так как справедлива следующая

теорема 4.3. Пусть числа удовлетворяют уоловию

О ir^t f <1; , а в остальном!, произвольные. Тогда существует функция -ffe) - произведение Бляшйе,- такая .что />, = , а

уСпУР • 4 ■

В третьем параграфе показано, что вполне регулярность роста.-функции -fte) в верхней полуплоскости С+ эквивалентна некоторой слабой сходимости семейства функций -t"/ 1ц_

Теория целых функций вполне регулярного роста, созданная В.Я.'Левиным и А.Пфлюгером, была распространена Н.В.Говоровым на функции, голоморфные в полуплоскости „С*" и, следовательно, на

13- " . • : .■

функции, голоморфные в произвольном угле. При этом были обнаружены явления, существенно отличающие случай функций в <f+ - от случая целых функций. .

■Й.И.Ронкиздм было установлено, что функция, голоморфная в верхней полуплоскости и на более чем нормального'типа при порядке f7"^ будет иметь вполне регулярный рост в С+ тогда и только тогда, когда VfOH С С В,,) где ' 6R= е <r+: R]

3 (W. t~f J U 11 МгО)-¡-In (asux 2) =

■i-^oo eosi/t '

= [ ^ I zl'Z Ъ) d&z.

Здесь - элемент'площади в С , a индикатор

функции , т.е.

4 ■

При изучении оценок индикатора снизу рассматривается сходимость последовательности функций in-|-f (-tjZOI^j в Справедлива следующая _

георема 4.Л. Пусть -fCZ:) - голоморфная функция в полуплоскости <Tf и не более чем нормального типа при. порядке f >о Тогда следующие утверждения эквивалентны:

I) f- С&) - функция вполне регулярного роста в <С+ ; г) s W Ift-teMlitf* ЧС9.) с(б%

VY £ сбВ,) ;

■ 3)3 e^w 4.-/ 1м.

в,

Vy e 5) С *>.

Отметим, что из этой терремы вытекает как следствие соответствующий результат Л.И.Ронкина и в случае o^y-^i .

й^Как обычно, 2>СВ,) - пространство функций i(г)«. ■ о компактным носителем в . • •

It

Основные публикации по тем^диссертации:

1. Бабий В. И, 0 порядке убывания произведения Бляшке в полуплоскости / ХГУ,- X., 1986.- 17 о. Библиогр.: о. 17.- Дёп. в ' УкрНИИНТИ 12.07.86 Ш 1696 - Укр 86. .'

2. Бабий В.И. О голоморфных функциях вполне регулярного pooia' в полуплоскости / ХГУ.- X., 1986,- 15 о. Библиогр. : о. 15. Дел в УкрНИИНТИ 12.07.86 16 1697 -Укр 86.

3. Бабий В,И. О голоморфных функциях вполне регулярного роога в пблуплоскостй // Теория функций, анализ и их прил,- Харьков : Вида школа, 1987.- Вып. 47,-С. 120-125.. •

4. Бабий В.И., Бендука Б., Янцевич А.А. Универсальные модели оиимающих операторов / ХГУ.- X., 1993,- 15 о. Библиогр.: с. 15.-' Деп. в ГНТБ Украины 27.04.93 № 859 - Укр 98.

5. Бабий В.И. Об одном классе нестационарных кривых в гильбертовом пространстве. Часть 1 / ХГУ.- X., 1993,- 16 о. Библиогр.: о. Ib.- Деп. а ГНТБ Украины 27.04.93 Ь 860 - Укр 9В.

6. Бабий Bill. Об одном классе нестационарны.: кривых в гильбертовом пространстве. Часть И / ХГУ.- X., 1993,- ?0 о. Библиогр.: с. 20,- Деп. в ГНТБ; Украивы 29.04.93 16 .861 - Укр 98.

7. Бабий В.И. Интегральные и суммационные уравнения в теории, нестационарных случайных процессов / У1 Международный симповиум "Метод дискретных особенностей в задача* ма1ематичеокой физики", тезисы докладов,'И,. Харьков, май 1993,

Подп. к Печ. /У. оУ1. 34- Формат 60 x 84'/,,. Бумага тип. Печать офсетная. Усл. печ. л.Уо, • Уч.-изд. л. 1,0. Тирак{00- экз. Зак. М Ч/о 6. - Бесплатно.

'Харьковское межвузовское арендное полиграфическое предприятие. 310093, Харьков, ул. Свердлова, 115.