Линейные пассивные системы в гильбертовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОПЕРАТОРНЫЕ ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭРМИТОВОЙ ЧАСТЬЮ

§ I. Основные понятия и обозначения. Основные пространства. Преобразование Фурье

§ 2, Тензорные произведения пространств скалярных функций и гильбертова пространства. Интегрирование по РО - мере

§ 3. Преобразование Фурье-Лапласа в ХШНЪН){£).,.

§ 4ф Свертка.Сверточные алгебры. Сверточное представление трансляционно-инвариантных отображений

§ 5. Операторные голоморфные функции с неотрицательной

§ 6. Положительно-вещественные операторные функции в трубчатых областях над конусом

ГЛАВА Пф ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ

ПРОСТРАНСТВЕ .V

§ 7. Линейные трансляционно-инвариантные пассивные системы в гильбертовом пространстве

§8."' Теорема о реализуемости линейных трансляционно

-инвариантных пассивных систем в гильбертовом пространстве.

§ 9. Невырожденные линейные пассивные системы.

ГЛАВА Ш. ЗАДАЧА КОШЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ПАССИВНЫХ

СИСТЕМ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 10. Фундаментальное решение в сверточной алгебре

§ IIv Обобщенная задача Коши для линейных пассивных систем в гильбертовом пространстве

§ 12. Многомерные дифференциальные пассивные системы в гильбертовом пространстве.

ГЛАВА 1У. ПРИЛОЖЕНИЯ.

§ 13. Обобщенная задача Коши для гиперболического дифференциального уравнения в частных производных с операторными коэффициентами .V V

§ 14. Обобщенная задача Коши для волнового уравнения с переменным коэффициентом

§ 15. Обобщенная задача Коши для нестационарного линеаризованного уравнения Больцмана

§ 16. Асимптотика решения задачи Коши двумерной системы уравнений вращающейся сжимаемой жидкости.

§ 17? Пассивные системы, описывающие волноводы

ЛИТЕРАКГРА

Начиная с 50-ых годов математическая идеализация ряда задач теории электрических цепей, термодинамики, теории рассеяния частиц в квантовой механике оформилась в теорию одномерных скалярных линейных трансляционно-инвариантных пассивных систем. Разработка этой теории была завершена в работах ряда авторов Е.Баль-трами и М.Волерса [22] , Х.Кенига [28] , Т.Мейкснера [32] , Д.Юо-лы, Л,Кастриоты и Г.Карлемана [40], А. Земаняна[42] и др; [25], [33],[3б],[38],[39] .

В 60-70-х годах дальнейшие исследования в теории пассивных систем развивались в двух направлениях.

Первое направление разрабатывалось В.Хакенброком [2б], А.'Зе-маняном [41-44] , Х;Кенигом[29] , М.Волерсом [37] . Они распространили одномерную теорию пассивных систем сначала с скалярного случая на матричный и затем на случай операторов в гильбертовом пространстве.

Второе направление нашло отражение в цикле работ В.С.Владимирова [2] , [з], [5] .В этих работах было введено понятие пассивной системы, учитывающее пространственно-временную динамику физического процесса, была построена теория линейных многомерных матричных трансляционно-инвариантных пассивных систем на основе разработанной им теории голоморфных матриц-функций с неотрицательной эрмитовой частью. При этом широко использовались методы многомерного преобразования Лапласа и оценки для голомофрных функций с неотрицательной мнимой частью в трубчатых областях над конусом [4] . В монографии [5] изложены некоторые применения этой теории: для изучения матрицы рассеяния, систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами, а также разрешимости обобщенной задачи Коши для пассивных систем.

- б

В последние годы теорию В.С.Владимирова на случай многомерных линейных матричных не трансляционно-инвариантных дифференциальных пассивных систем обобщил Ю. Н. Дрожжи нов [1з] ,[14-]. Следует отметить, что в этом последнем направлении мощный аппарат теории преобразования Лапласа не используется, что затрудняет развитие теории пассивных систем в не трансляционно-инвариантном случае (см. также [в] ).

Настоящая работа посвящена изучению линейных многомерных трансляционно-инвариантных пассивных систем в гильбертовом пространстве.

Теория пассивных систем возникла на основе математической идеализации моделей физических процессов. Математическая модель таких процессов строится по принципу "черного ящика": физическая система описывается некоторым линейным оператором У1 , который действует из некоторого топологического векторного функционального пространства в другое аналогичное функциональное пространство, при этом оператор 71 удовлетворяет некоторому неравенству энергетического типа, отражающему свойство физической системы поглощать или рассеивать энергию. При таком рассмотрении, условиями физической задачи выделяется часть параметров, описывающих такую систему, называемых "входом" и оставшаяся часть - называемых "выходом" системы. Если входной и выходной сигналы зависят как функции от одной переменной (как правило, времени), то такие системы называются одномерными, если же от л - переменных (пространственные координаты и время), то такие системы называются многомерными. Если входной и выходной сигналы являются функциями со значениями в гильбертовом пространстве Н , то такие системы будем называть гильбертовыми или пассивными системами в гильбертовом пространстве Н . Когда пространство конечномерно, т.е. , где то такие системы называются матричными, если кроме того,Л/=/ , то такая система - скалярная.

С подобными математическими моделями можно познакомиться, например, в работах fl] ,[2] ,[5] ,[20] ,[25],[32].

В математических моделях физических процессов (пассивных системах) очень важна структура топологического векторного функционального пространства. Грубо говоря, в силу ядерности этого пространства из линейности, непрерывности и трансляционной инвариант' ности оператора следует сверточное представление для этого оператора, т.е. JI—Z* , где Z - называется ядром пассивной системы и является отображением из одного специального пространства в другое аналогичное. Этому и другим вспомогательным общим математическим вопросам посвящена первая глава.

Как правило этот оператор обладает рядом дополнительных свойств: сохраняет гладкость выходного сигнала, пассивен относительно некоторого острого телесного конуса. Свойство пассивности системы, выражаемое в виде неравенства энергетического типа, является чрезвычайно сильным свойством: из него, в частности, вытекают причинность и умеренный рост ядра пассивной системы. Эти вопросы и составляют содержание второй главы, в которой излагается теория пассивных систем в гильбертовом пространстве.

Учет пространственно-временной динамики физических процессов приводит к многомерным пассивным системам. Многочисленные примеры многомерных матричных пассивных систем рассмотрены в монографии В.С.Владимирова [5] . Например, такими системами являются система уравнений сжимаемой вращающейся жидкости и акустики, магнитной гидродинамики, уравнения теории упругости, уравнение переноса, уравнение Дирака, уравнения Максвелла и др.

Различные краевые задачи для симметрических гиперболических систем изучались С.К.Годуновым и У.М.Султангазиным[ю], А.А.Де-ЗИНЫМ [il] ,K.Friedrichs[2^, P. Lax И R Phillips [l б] , [30] И P.Leonard [31]

В работах f7],[l2] методами теории многомерных матричных пассивных систем получено решение обобщенной задачи Коши для систем уравнений вращающейся сжимаемой жидкости (пространственно двумерный случай) и магнитной гидродинамики. Явное представление этого решения позволило в упомянутых работах исследовать его временную асимптотику. Заметим, что временная асимптотика решения задачи Коши для системы уравнений вращающейся сжимаемой жидкости (общий случай) другим методом изучена В.Н.Масленниковой (см., например, [i?] ).

Ряд конкретных систем уравнений математической физики, являющихся в нашей терминологии многомерными матричными дифференциальными пассивными системами, а также разрешимость задачи Коши для таких систем рассмотрены в работах F.Garnir - Mon^oie [24-] и M.Povoas [34.] . Делая преобразование Лапласа по временной переменной, они далее, пользуясь обычными методами функционального анализа, исследуют спектральное разложение полугруппы операторов в гильбертовом пространстве.

Необходимость рассмотрения одномерных пассивных систем в гильбертовом пространстве впервые возникла при решении задач теории распространения электромагнитных сигналов в волноводах [27] . Многомерные гильбертовые линейные трансляционно-инвариантные пассивные системы возникают в ряде задач математической физики: им-педансные системы в теории волноводов (с переменной диэлектрической проницаемостью поперек волновода), линеаризованное нестационарное уравнение Больцмана, описывающее физический процесс переноса молекул газа с учетом их поглощения и рассеяния [зб] .

Еще одна область применения многомерных гильбертовых тран-сляционно-инвариантных пассивных систем-решение обобщенной задачи Коши для дифференциальных уравнений в частных производных с операторными коэффициентами, а также решение задачи Коши для волнового уравнения с переменным коэффициентом.

Четвертая глава, содержащая перечисленные выше применения теории пассивных систем в гильбертовом пространстве к конкретным моделям из математической физики, завершает диссертацию.

Здесь уместно подчеркнуть свойство замкнутости теории невырожденных пассивных систем относительно ее ядра в некоторой свер-точной алгебре: фундаментальное решение пассивной системы тоже определяет трансляционно-инвариантную линейную пассивную систему.

Перейдем теперь к краткой характеристике глав диссертации.

В первой главе излагается теория операторных голоморфных функций с неотрицательной эрмитовой частью в трубчатой области над конусом, которая будет использоваться на протяжении всей диссертации.

В первом параграфе излагаются основные понятия теории оператор-нозначных обобщенных функций: пространства [&(Н),Н] ЛУШ], где £>(Н) и У(Н) - основные пространства.

В § 2 вводятся тензорные произведения пространств скалярных функций, в частности ь£> и if , и гильбертова пространства Н . Излагаемая здесь теорема о топологическом изоморфизме пространств существенно облегчает использование фактов теории операторнозначных обобщенных функций при исследовании пассивных систем в гильбертовом пространстве. Здесь же кратко напоминаются сведения из теории положительных операторных мер (РО - мер) и интегрирования гильбертовозначных функций по таким мерам.

- 10

Аналитическому аппарату теории трансляционно-инвариантных пассивных систем (теории преобразования Фурье-Лапласа операторно-значных обобщенных функций) посвящен § 3.

Выяснению условия существования свертки двух операторнознач-ных функций в алгебрах [с&(Н), Н] (S+) и H](S+) уделяется основное внимание в § Приводится доказательство теоремы о сверточном представлении линейных непрерывных трансляционно-инвариантных отображений т50>(Н) в .

Центральное место в первой главе принадлежит §§ 5,6, в которых излагается: теория эрмитово-неотрицательных операторнозначных

Тс положительно-вещественные операторные функции в трубчатой области, а также доказывается лемма о пространствах инвариантности неотрицательных операторов в гильбертовом пространстве.

Во второй главе строится теория многомерных линейных непрерывных трансляционно-инвариантных пассивных систем в гильбертовом пространстве.

В § 7 аксиоматически вводятся линейные непрерывные трансля-ционно-инвариантные пассивные системы в гильбертовом пространстве. Устанавливается ряд свойств ядра пассивной системы.

В § 8 решается вопрос: всякое ли ядро будет определять линейную трансляционно-инвариантную пассивную систему? Теорема реализуемости таких систем в гильбертовом пространстве дает необходимое и достаточное условие того, что операторнозначная обобщенная функция определяет сверточную пассивную систему.

В § 9 доказывается теорема о том, что для невырожденности пассивной системы достаточна обратимость ее импеданса в одной фикси

Гс. . Эта теорема дает эффективный способ проверки невырожденности пассивной системы.

- II

В третьей главе рассматриваются вопросы корректности постановки обобщенной задачи Коши для пассивных систем в гильбертовом

В § 10 исследуются условия существования и единственности фундаментального решения пассивной системы в сверточной алгебре нием фундаментального решения пассивной системы.

В § II ставится обобщенная задача Коши для пассивной системы в гильбертовом пространстве и доказывается корректность постановки такой задачи. Устанавливается связь между невырожденностью пассивной системы и разрешимостью обобщенной задачи Коши для нее.

В § 12 изучаются многомерные дифференциальные пассивные системы с операторными коэффициентами. Для таких систем устанавливаются условия пассивности, невырожденности, корректности постановки обобщенной задачи Коши.

Четвертая глава посвящена применениям теории пассивных систем к некоторым конкретным моделям математической физики.

В § 13 рассматривается задача Коши для гиперболического уравнения с операторными коэффициентами.Она сводится к обобщенной задаче Коши для многомерной дифференциальной пассивной системы в гильбертовом пространстве. Устанавливаются условия существования и единственности решения задачи Коши.

В § 14 решается задача Коши для волнового уравнения с переменным коэффициентом с использованием теории пассивных систем. Переход к пассивной системе в гильбертовом пространстве совершается с помощью метода Роте.

Физически интересным примером пассивной системы в гильбертовом пространстве является нестационарное линеаризованное уравнение Больцмана с учетом процессов поглощения и рассеяния молекул пространстве связь между невырожденностью и существова' газа, возникающее в ряде математической физики. Изучению условий, при которых это уравнение порождает пассивную систему, уделяется основное внимание в § 15.

В § 16 получено решение задачи Коши для двумерной системы уравнений вращающейся сжимаемой жидкости и исследовано асимптотическое поведение этого решения при t —► ^

Примеры пассивных систем в гильбертовом пространстве, возникающие в задачах теории волноводов, рассмотрены в § 17.

Резюме. Основные результаты, полученные в диссертации;

1. Исследованы эрмитово-положительные операторные функции в трубчатой области под конусом Т и на .основе результатов этого изучения построена теория пассивных систем в гильбертовом пространстве (глава I, § 5, теорема 5.1; глава П, § 7, теорема 7.1).

2. Получены необходимые и достаточные условия положительно-вещественности операторных функций в трубчатой области над конусом С и доказана теорема реализуемости пассивных систем в гильбертовом пространстве (глава I, § 6, теорема 6.1; глава П, § 8).

3. Доказана корректность постановки обобщенной задачи Коши для пассивных систем в гильбертовом пространстве (глава П, § 9; глава Ш, § II).

Основные результаты, приведенные в диссертации, опубликованы в работах [7], [в], [9] и неоднократно докладывались на семинарах отдела Математической физики Математического института им.В.А. Стеклова, на семинарах отдела математики и физики с ВЦ Башкирского филиала АН СССР (г.Уфа).

Автор приносит искреннюю благодарность своему руководителю Ю.Н.Дрожжинову, а также благодарит всех сотрудников отдела Математической физики МИАН, особенно Б.И.Завьялова и В.В.Жаринова за полезные советы и помощь в работе.

Математические обозначения и определения, используемые в работе, совпадают с обозначениями в работах [5],[44] . Нумерация параграфов по главам сквозная. Нумерация же формул и теорем в работе своя в каждом параграфе. Так, например: (7.6) - означает 6-ую формулу в § 7, теорема 9.2 - означает 2-ую теорему § 9.

1.З. Пассивные линейные стационарные динамические сис-темы.Сио.мат.ж., XX,2(1979),21.-2I8.

2. Владимиров B.C. Линейные пассивные системы. Теор.и мат. физика, 1(1969), 67-94.

3. Владимиров B.C. Многомерные линейные пассивные системы, в сб."Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа", M.I972, с.121-134.

4. Владимиров B.C. Голоморфные функции с неотрицательной мнимой частью в трубчатой области над конусом.Мат.сб., 1969,79, te I, 128-152.

5. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М., 1979, Наука.

6. Владимиров B.C., Дрожжинов Ю.Н. Линейные пассивные системы и обобщенные функции."Обобщенные функции и их примененияв математической физике". Труды Международной конференции., Москва, 24-28 ноября 1980 г., М., 1981, с.121-124.

7. Галеев Р.Х.;, Дрожжинов Ю.Н. Асимптотика решения задачи Коши двумерной системы уравнений вращающейся сжимаемой жидкости. Дифф.уравн., X,1(1974), 53-58.

8. Галеев Р.Х. Многомерные линейные пассивные системы в гильбертовом пространстве. Дифф.уравн., ХУП, 2(1981),278-285.

9. Галеев Р.Х. Задача Коши для пассивных систем в гильбертовом пространстве.Дифф.уравн., ХУШ, 10(1982), I7I8-I724.

10. Годунов С.К., Султангазин У.М. О диссипативности граничных условий В.С.Владимировадля симметричной системы метода сферических гармоник. Ж.вычисл.мат. и матем. физики,11(1971), 688-704.

11. Дезин А.А. Граничные задачи для некоторых симметричных ли- 118 нейных систем первого порядка.Мат.сб., т.49,4(1959),459-484.

12. Дрожжинов Ю.Н. Асимптотика решения задачи Коши линеаризованной системы уравнения магнитной гидродинамики. ДАН СССР, 212(1973), 831-833.

13. Дрожжинов Ю.Н. Линейные пассивные системы дифференциальных уравнений в частных производных. Мат.сб., т.116,3(1981), 299-309.

14. Дрожжинов Ю.Н. Тауберовы теоремы и гладкие пассивные системы. Дис. на соискание уч.ст.докт.физ.-мат.наук:М.:МИАН, 1982, 165 с.

15. Иосида К. Функциональный анализ.М., 1967, Мир.

16. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния.М., 1971, Мир.

17. Масленникова В.Н. Явное представление и асимптотика при1.—> &о решения задачи Коши для линеаризованной системы вращающейся сжимаемой жидкости. ДАН СССР, 187(1969), 989-992.

18. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М., 1967,Мир.19 1^дин У. Функциональный анализ.М., 1975, Мир.

19. Силин В.П., Рухадзе А.А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред. М., 196Х,Атомиздат.

20. Шефер X. Топологические векторные пространства.М., 1971,Мир.

21. Beltrami S.J., Wohlers М.Е. Distributions and Boundary-Values of Analytic Functions.New-York: Academic Press,1966

22. Friedrichs K. Symmetric Hyperbolic Linear Differential Equations. Commun. Pure and Appl. Math., 7(1954),345-392.

23. Camir-Mon^oie F.S. Spectral resolution of boundary value problems in a half space for partial differential matrixoperators of the first order. Bull. Soc. Royale Sci. Li^ge, 47 an., № 3-4, 1978, 113 131.

24. GUttinger W. Generalized functions in elementary particle physics and passive system theory: recent trends and prob -lems. SIAM J. Appl. Math., 15 ( 1967 ).

25. Hackenbroch W# Integraldarstellungen einer Klasse dissipa -tiver linearer Operatoren. Math. Z. 109 ( 1969 ), 273 287.

26. Jones D.S. The theory of Electromagnetism. Macmillan, New York, 1964.

27. Konig H. Zur Theorie der linearen dissipativen Transforma -tionen. Arch. Math., 10 ( 1959 ), 447 451.

28. Konig H., Zemanian A. H. Necessary and Sufficient Conditions for a Matrix Distribution to have a Positive Real Laplace Transform. SIAM J. Appl. Math., v. 13, 4 ( 1965>, 1036 1040.

29. Lax P., Phillips R. Local Boundary Conditions for Dissipa-tive Symmetric Linear Differential Operators. Comm. Pure and Appl. Math., 13 ( 1960 ), 427 455.

30. Leonard P. Problems aux limites pour les operateurs matri-ciels de derivation hyperboliques des premier et second ordres. Mem. Soc. Sci. Lidge, 11 ( 1965 ), 5 131.

31. Meixner J. Thermodynamische Erweiterung der Nachwirkings-theorie. Z. Phys., 139 ( 1954 ), 30 43.

32. Mc Millan B. Introduction to formal realizability theory. Bell. System Tech. J., 31 ( 1952 ), 217 279, 541 - 600.

33. Povoas M. Some notes about Maxweell's equations. J. Math. Annal. and Appl., 69, 1 ( 1979 ), 35 50.

34. Seiji U., Kiyoshi A. On the Initial Boundary Value Problem of the Linearized Bolzman Equation in an Exterior Domain. Proc. Japan. Acad., v. 56, ser. A ( 1980 ).- 120

35. Toll J.S. Causality and the dispersion relation. Logical foundations . Phys. Rev., 104(1956), 1760-1770.

36. Wohlers M.R. Lumped and Distributed Passive Networks. Academic Pross, New York, 1969»

37. Wu T.T.Causality and the Radiation Conditions. Tech. Rep. No.211, Cruft Lab., Harvard Univ. Cambridge, Massachusetts, 1954.

38. Wu T.T. Some properties of impedance as a causal operator J.Math.Phys., 3(1962), 262-271.

39. Youla D., Castriota L. Carlin H. Bounded real scattering matrices and the foundation of linear passive network theory. IRE Trans Circuit Theory, 0Т1б(1959), 102-124.

40. Zemanian A.H. N port realizability theory based on the theory of distributions. IEEE Trans. Circuit Theory, СТ-Ю (1963), 265-274.

41. Zemanian A.H. Distribution Theory and Transform Analysis. Mc Graw-Hill, New York, 1965.

42. Zemanian A.H. Realizability conditions for time-varying and time-invariant Hilbert ports. SIAM J. Appl. Math., 22(1972), 612-628.

43. Zemanian A.H. Realizability Theory for Continuous Linear Systems. Academic Press, New York, 1972.