Колмогоровские поперечники геометрических конфигураций и функциональных компактов в гильбертовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1. Понятие n-поперечника по А. Н. Колмогорову.

2. Методы исследования п-поперечников.

3. Компактные множества, исследованные в работе.

4. Результаты исследований.

1. Поперечники геометрических конфигураций

1. О нахождении точного значения колмогоровских поперечников компакта в гильбертовом пространстве

1.1. Интегральные оценки поперечников dn(K, Н)

1.2. Колмогоровские поперечники набора равноотстоящих точек в вещественном гильбертовом пространстве

1.3. Вычисление 1-поперечника спирали Винера.

2. Один частный случай задачи о поперечниках набора равноотстоящих точек в комплексном гильбертовом пространстве

2.1. Наборы равноотстоящих точек в комплексном гильбертовом пространстве.

2.2. Поперечники набора F^-(R) с циклической корреляционной матрицей.

2.3. Наборы Fs(R) и их поперечники.

3. Поперечники множеств, связанных с процессом Леви . 37 3.1. Множества, связанные с процессом Леви.

3.2. Слабая асимптотика поперечников dn{ip(Km), Н)

3.3. О точном значении ?г-поперечников множеств <р{К\) и W.

3.4. О приближенном значении тг-поперечников множеств <р(К\) и W.

2. Поперечники ограничения некоторых некомпактных функциональных классов на единичную окружность

1. Леммы о коэффициентах Фурье.

2. Доказательство теорем об асимптотике n-поперечников множеств Mi(Lm)\s^ и М2(Ьт)\$1.

3. Об асимптотике n-поперечников одного класса компактных множеств в пространстве L2 (R)

1. Достаточные условия компактности множества Sa,b • • •

2. Производящая функция n-поперечников компакта Sa$ • ■

3. Асимптотика n-поперечников компакта Sa>b.

1. Понятие п-поперечника по А. Н. Колмогорову

1 Теория поперечников является сравнительно новым разделом теории приближений, сформировавшимся в середине пятидесятых годов прошлого века. Возникновению теории поперечников предшествовали два этапа классической теории приближений. Кратко опишем задачи и результаты этих этапов.

Начало первого этапа принято связывать с работами П. JI. Чебышева 1853 и 1857 г.г. Чебышев ввел понятие наименее уклоняющихся от заданной функции алгебраических многочленов и рациональных дробей, вычислил величины наилучшего приближения некоторых функций и нашел сами многочлены наилучшего приближения. Основная задача первого этапа - приближение конкретных функций при помощи многочленов или рациональных дробей. Исследованиям П. JI. Чебышева предшествовал ряд работ математиков 18-го и начала 19-го веков по отдельным вопросам приближения функций.

В 1885 г. был получен положительный ответ на вопрос о возможности аппроксимировать с любой заданной точностью непрерывную на отрезке функцию при помощи алгебраических и тригонометрических полиномов. С появлением теорем К. Вейерштрасса возникла общая проблема: как по свойствам функции узнать, с какой скоростью функция приближается полиномами. Результаты, полученные С. Н. Бернштейном и Д. Джек

1 Данный раздел содержит сведения из обзоров по теории приближений и теории поперечников из монографий В. М. Тихомирова ([26]) и К. И. Бабенко ([2]). соном (1911 г.) в связи с решением этой проблемы, можно считать началом второго эпапа теории приближений: было установлено, что порядок убывания наилучших приближений является характеристическим свойством, то есть определенная гладкость функций обеспечивает соответствующий порядок убывания наилучших приближений, и наоборот. Основная тематика второго этапа - приближение классов функций заданной гладкости тригонометрическими полиномами. Эта тема, начатая Лебегом, Валле-Пуссеном, Фейером, Бернштейном и Джексоном, была затем продолжена в работах Колмогорова, Фавара, Ахиезера, Дзядыка, Корнейчука, Крейна, Надя, Никольского, Стечкина и других авторов.

В середине пятидесятых годов на основе результатов классической теории аппроксимации в связи с потребностями вычислительной математики получили развитие неклассические методы приближений, например, приближения кусочно-полиномиальными функциями. С расширением спектра аппроксимирующих множеств возникли задачи третьего этапа теории приближений - о наилучшем методе приближения и наилучшем методе кодирования, о наилучшем приближении в заданном классе аппроксимирующих множеств. При точной постановке этих задач появились величины, называемые поперечниками.

Еще в 1936 г. А. Н. Колмогоров предложил ([12]) в качестве средств аппроксимации рассматривать всевозможные линейные многообразия заданной конечной размерности. С задачей нахождения n-мерного линейного многообразия, осуществляющего наилучшее приближение класса функций, связано понятие n-поперечника по А. Н. Колмогорову.

Определение 1. Пусть L - линейное нормированное пространство (вещественное или комплексное) и дано произвольное множество К С L. Его п-поперечником (по А. Н. Колмогорову) называется величина dn(K, L) = inf d(K, а + L„), a, Ln где а е L, Ln - есть n-мерное подпространство в L, d(K, а + Ln) означает отклонение К от линейного многообразия а + Ln: d(K, а + Ln) = sup d(x, a + Ln) — sup inf \\x — (a + г/)||. хек хЕКУ^Ьп

Нередко используют частный случай данного определения, полагая а равным нулевому вектору из L, что приводит к величине d°n(K, L) = mf d(K,Ln).

Поскольку2 dn(K,L) ~ d°(K,L) при n oo для любого компактного множества К, использование величин d°п несколько упрощает исследование n-поперечников компактов. В случае центрально-симметричного множества К величины dn(K,L) и d°n{K,L), очевидно, совпадают при любом значении п.

Теория поперечников, наряду с n-поперечниками по Колмогорову, изучает также го-поперечники по Александрову, Гельфанду, Бернштейну, Урынсону, емкостные и другие виды поперечников, связанные с задачами о наилучшем методе приближения и наилучшем методе кодирования. После первой работы Колмогорова 1936 г. теме n-поперечников до середины пятидесятых годов были посвящены только две работы У. Рудина и С. Б. Стечкина. Активное развитие теории началось с шестидесятых годов. В работах Бабенко, Глускина, Исмагилова, Кашина, Корнейчука, Маковоза, Митягина, Рубана, Смоляка, Софмана, Стесина, Субботина, Тихомирова, Фрум-Кеткова, Хенкина и других авторов были исследованы соотношения между различными видами поперечников (см. [26]) и вычислены поперечники ряда функциональных классов.

Целью данной работы является исследование колмогоровских гг-по-перечников компактных множеств в гильбертовых пространствах. Условие компактности множеств и наличие структуры скалярного произведения позволяет эффективно использовать различные методы исследования п-поперечников.

2 Здесь и далее для положительных числовых последовательностей ап, Ъп пишем ап ~ Ъп, если lim = 1, и пишем ап х Ьп, если существуют постоянные А > 0 и В > 0 такие, что А < < В n-j-oo Ьп Ъп для всех гг. В первом случае (ап ~ Ъп) будем говорить об асимптотическом равенстве, во втором случае (ап х Ьп) - о слабом асмптотическом равенстве последовательностей ап и Ъп.

Заключение

В заключительной части работы укажем на некоторые обобщения рассмотренных задач и отметим оставшиеся открытыми вопросы.

• Напомним, что задача о поперечниках множества Xn сводится к исследованию тг-поперечников ортонормированного набора векторов в вещественном гильбертовом пространстве. Естественным обобщением данной задачи является исследование п-поперечников ортогональной системы векторов

BN = {bkek е я, к = 1,., N : (еЛ, е^) = 5kj, Ък > 0}, где Н - вещественное гильбертово пространство. Отметим, что задачу о наилучшем приближении множества Вn n-мерными подпространствами решил Л. Б. Софман ([24]).

• Задача о поперечниках множества Fn(R) - набора равноотстоящих точек в комплексном гильбертовом пространстве - решена только в случае циклической матрицы R. Представляется интересным поиск других видов корреляционных матриц, для которых могут быть вычислены значения поперечников набора F^. Возможна и более общая постановка задачи: для произвольного конечного метрического пространства требуется описать его изометрические вложения в комплексное гильбертово пространство и исследовать n-поперечники полученных вложений.

• В случае спирали Винера W остается открытым вопрос о возможности совместить интегральные оценки поперечников dn(W, L2([0, 1]))? п > 2, в классе мер da(x) = p(x)dx, сг({0}) = mo, с({1}) = mi. Можно также поставить задачу об изометрическом вложении спирали в комплексное гильбертово пространство и исследовании п-поперечников вложения.

• Для множеств </?(Кт), связанных с процессом Леви, остается не найденной точная асимптотика n-поперечников (за исключением случая т = 1, разобранного Р. С. Исмагиловым ([9], теорема 3)). По-видимому, для любого натурального т верна формула: dn(ip(Km), Н) ~ Amn~lt2m при п —> оо, где величина Ат - та же, что в теореме 1.5. Однако, это предположение не доказано.

• Задачу о поперечниках множеств Mi(Lm)|si и M2(Lm)|si можно обобщить, рассмотрев оператор Лапласа в пространстве Rn и р-мерную единичную сферу Sp, где JV, р- произвольные натуральные числа, N > р. Вместо оператора Лапласа можно также взять произвольный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, а сферу заменить произвольным компактным многообразием.

• В задаче о поперечниках множества открытым остается принципиальный вопрос о равенстве замыкания множества и компакта, полученного замыканием более естественного семейства функций

GL2(R): J(о|/|2 -f b\F(f)\2)dx < 1}. R

По всей видимости, можно также ослабить ограничения роста функций a, b и их производных, использованные для доказательства теоремы 3.1. Одно из предположений состоит в том, что условие не более чем степенного роста функций а, b и их производных можно заменить условием принадлежности функций а(х)е~х2!2 и Ь(х)е~х2//2 пространству Шварца. Обоснование этого предположения требует изучения свойств обобщенных функций, определенных на пространстве основных функций вида: е-х2/2где Р - произвольный многочлен. Отдельной, весьма нетривиальной, задачей является вопрос о критерии компактности множества Sa,b- Кроме того, не известны ограничения на рост функций а и 6, при нарушении которых множество вырождается в точку - функцию, тождественно равную нулю (напомним, что в данной работе найдены достаточные условия компактности и бесконечности множества Sa,b)•

1. Алгебраические и дискретные системы: Межвуз. сб. науч. тр. / Ивановский гос. ун-т. / Отв. ред. Д. И. Молдаванский. Иваново.: ИвГУ, 1988. - 138 с.

2. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит, 1986. - 744 с.

3. Бирман М. Ш., Павлов Б. С. О полной непрерывности некоторых операторов вложения // Вестник ЛГУ. Серия "Математика. Механика. Астрономия". 1961. № 13. - С. 61-71.

4. Birman М. 5., Solomyak М. Z. Asymptotic behaviour of the spectrum of weakly polar integral operators // Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 1970. - Vol. 34, № 5. - P. 1154-1155.

5. Бирман M. Ш., Соломяк M. 3. Асимптотика спектра псевдодифференциальных операторов // Вестник ЛГУ. 1977. № 13. - С. 14-15.

6. Геометрия линейных пространств и теория операторов: Межведомственный тематический сб./ Ярославский гос. ун-т./ Отв. ред. Б. С. Митягин. Ярославль: Изд-во ярославского гос. ун-та, 1977. - 202 с.

7. Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз, 1963. - 300 с.

8. Грушин В. В. Псевдодифференциальные операторы. М.: Изд-во МГУ, 1975. - 107 с.

9. Исмагилов Р. С. Об п-мерных поперечниках компактов в гильбертовом пространстве // Функциональный анализ и его приложения. 1968. - Т. 2, Вып. 2. - С. 32-39.

10. Картье П. Введение в теорию многопараметрического броуновского движения // Сборник Математика. 1974.- Вып. 18:2. - С. 169-170.

11. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. / Пер. с англ. Б. М. Левитана. М.: Изд. иностр. лит., 1958. - 474 с.

12. Kolmogorov А. N. Uber die beste Annaherung von Functionen einer gegebenen Functionalklassen // Annals Math. 1936. - Vol. 37. - P. 107-110.

13. Колмогоров A. H., Петров А. А., Смирнов Ю. M. Одна формула Гаусса из теории метода наименьших квадратов // Изв. АН СССР. Серия математика. 1947. - № 11. - С. 561-566.

14. Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985. - 470 с.

15. Копсон Э. Т. Асимптотические разложения. М.: Мир, 1966. - 120 с.

16. Костюченко А. Г., Саргсян И. С. Распределение собственных значений. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1979. - 400 с.

17. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа: Учеб. пособие. М.: Высш. школа, 1982. - 270 с.

18. Magaril-H'yaev G. G., Osipenko К. Yu., Tikhomirov V. М. On exact values of n-widths in a Hilbert space //J. Approx. Theory. 2001. -Vol. 108. - P. 97-117.

19. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. - 526 с.

20. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. - 456 с.

21. Пугачев В. И. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. - 744 с.

22. Пухов С. В. Колмогоровские поперечники правильного симплекса // Вестник Московского университета. Серия 1, Математика, механика. 1980. № 4. - С. 34-37.

23. Rudin W. I/2-approximation by partial sums of orthogonal developments // Duke Math. J. 1952. № 19. - P. 1-4.

24. Софман Л. Б. Поперечники октаэдров // Матем. заметки. 1964. -Т. 5, № 4. - С. 429-436.

25. Стечкин С. Б. О наилучшем приближении заданных классов функций // УМН. 1954. - Вып. 53:1. - С. 133-134.

26. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Издательство Московского университета, 1968. - 304 с.

27. Тихомиров В. М. Одно замечание об n-мерных поперечниках множеств в банаховых пространствах // УМН. 1968. - Вып. 20:1. - С. 227-230.

28. Усков К. В. О нахождении точного значения колмогоровских поперечников компакта в гильбертовом пространстве // Матем. заметки. 2002. - Т. 72, № 4. - С. 570-575.

29. Усков К. В. Один частный случай задачи о поперечниках набора равноотстоящих точек в комплексном гильбертовом пространстве // Вестник МГТУ. Серия "Естественные науки". 2001. № 2. - С. 3-8.