Исследование количественных характеристик операторов вложения классов аналитических функций в весовые пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ Физико-технический институт низких температур

На правах рукописи Парфенов Олег Гарланович

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕШСПЖ ОПЕРАТОРОВ ВЛОЖЕНИЯ КЛАССОВ АНАЖЕПЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Специальность 01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Харьков - 1992

Работа выполнена в Ленинградском Государственном Университете Научный консультант: доктор физшсочлатоматических наук, профосс ор Соло;.шк М.З.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профоссор Тихомиров В.М. доктор физикоч.:атоматачоск2х наук, профоссор Лонгвиненко В.Н. доктор физикочлатематических наук, профоссор Пекарский A.A.

Ведущая организация: Математический институт им. В.А.Стеклова

" _^_199 ^г.

Защита состоится " __199 'с-т. в_час

на заседании специализированного совета Я. 016.27. П при Физико-Техническом институте низких температур АН Украины по адресу: 310064, г.Харьков, пр.Ленина, 47, ФТИНТ

С диссертацией моано ознакомиться в бибилотеке ФТИНТ

Автореферат разослан "_"_199_г.

Ученый секретарь специализированного совета В.А.Ткаченко

. Пт-О - 3 -

.!

Общая характеристика работы.

/Актуальность теш. Работа посвящена операторам вложения классов аналитических функций в весовые пространства. Речь идг? прежде всего об изучений таких операторов в гильбертовой ситуации. Критерии ограниченности и компактности, вместе с соответствующими оценками нормы, получены в работах Л.Карлесона,,Л.Хер-мандера, В.С.Павлова и В.Л.Олейника, С.А.Виноградова и ррда других математиков. В известном смысле проблематика ограниченности операторов вложения завершена. Актуальна тематика дальнейшего исследования свойств операторов вложения. Прежде всего нас интересуют возможно более точные оценки сингулярных чисел/ 5 - чисел этих операторов в случае их компактности.

Далее, актуальность теш основана на том, что Б -числа операторов вложения можно трактовать как поперечники единичного шара соответствующего класса аналитических функций и в этом плане наша тема относится к теории наилучших приближений аналитических функций.

Цель тзаботы. Найти критерии принадлежности операторов вложения операторным идеалам. Исследовать 5 -числа ряда операторов вложения (вычислить точно или найти асимптотику в том или ином смысле). Рассмотреть приложения к оценкам опектра интегральных операторов с аналитическими ядрами и к оценкам скорости рациональной аппроксимации.

Методика исследования. В большей части работы нам достаточно ютодов гильбертова пространства, точнее теории операторных идеалов в гильбертовом случае. Так как ш работаем с конкретными объектами (классы Харда, Бермана, Фока и т.д.), то юпользуем соответствующие аналитические факты (интегральные 1редставленвя, разложения в ряды, граничные свойства, конформные этображения и т.д.).

Научная новизна. Вопросы о принадлежности операторов вложения операторнш идеалам стали разрабатываться в середине 80-х годов. Автор является одним из инициаторов этого направления. В работе предложен общий подход к этой проблематике, на основе которого полечен ряд критериев в конкретных ситуациях.

Исследование 5 -чисел операторов вложения основано на изучении экстремальных задач для произведений Бляшке. Такой подход предложен автором (и независимо Фишером и Мичелли).

В работе начат количественный анализ теорем вложения типа Карлесона в случае их компактности..

Приложения. Работа носит теоретический характер, поэтому приложения относятся к другим разделам анализа, таким как оценки спектра интегральных операторов с аналитическими ядрами и оценки скорости рациональной аппроксимации.

Атзобашя т>аботн. Результаты работы докладывались на семинаре по линейному и комплексному анализу в ЛОМИ (рук.проф.Н.К. Никольский, проф. В.П.Хавин), на семинаре по спектральной теории в ЛОМИ (рук.проф.М.З.Соломяк), на семинаре по теории приближений ь '.¡ГУ (рук.проф.В.М.Тихомиров), в отделе ТФКП в МИАН (рук.академик А.А.Гончар), на всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Новгород 1989, Ульяновск 1990), на международной конференции-семинаре в Германии (Георгенталь 1990), на международной конференции по теории приближений в Ленинграде (Ленинград, май 1991).

Основные публикации. По теме диссертации опубликовано 19 работ, из них 4 в "Математическом Сборнике", 4 работы в "Математических Заметках", 2 работы в "функциональном анализе и его приложениях", одна работа в "Алгв-?бре и Анализе".

Краткая истотая исследования. Теория наилучших приближений классов аналитических функций начинается с задачи Колмогоро-ва-Ерохина. Эта задача состоит в вычислении асимптотики £ -энтропии или Ц -мерных поперечников класса A q -класса функций в пространстве С (К) , аналитически продолжимте с данного континуума К" в данную область G , причем для любой f € Л q и Ze Q имеем . Этой задачей за-ти-

мались В.Д.Ерохин, А.Л.Левин и В.М.Тихомиров, Н■ IlA' donb? В.П.Захарюта и Н.И.Скиба, а также и другие математики. Основной итог этих исследований - это асимптотическое соотношение для колмогоровских поперечников:

CiA^eyibp'MA"' ср

Сар (К, & ) -гринова емкость /Г относительно Q _

Автором начато исследование задачи Колмогорова-Ерохина в интегральной метрике. Если не стремиться к уточнению (I), то выбор метрики не очень существенен. Поэтому смысл дальнейших исследований состоял именно в гораздо более точных оценках. Вместо А £ рассмотрим оператор вложения ¿J класса В.И. Смирнова ^(Q) в (iff) , 'ff -некоторая спрямляемая кривая в G . Цусть 'ff -замкнутая жорданова кривая класса + В> О , Q -односвязная область. Тогда { f I jf)

SJ3)~exp("icap%G)lk-*co (2) ^

Зостношение Cin h-* oO. 'означает, что £im Лн «j

Далее возникает задача исследования оператотк. вложения

jit - некоторая мера на ^ . Уже в простейшей ситуации

задача нетривиальна (в плане получения аналога (2), аналог (I) очевиден). При изучении оператора вложения Ц ■]~1 (^}

ключевой оказалась следующая экстремальная задача для произведений Бляшке: найти точно или асимптотически точно величины:

(3)

о Ъ '

и^ -произвольное произведение Бляшке степени П . Независимо от автора, задачи типа (3) стали рассматривать

М'сАеМ Ск. , а также в связи с оптимальными квадратурами Л? -функций Ап^ЧЯъОК У- Е.

Исследование задач типа (3) есть весьма эффективный подход в изучении наилучших приближений аналитических функций. При этом связь между задачами теории приближений аналитических функций и теории потенциала становится очень отчетливой. Отметим, что и в других задачах теории аналитических функций эта связь играет важную роль, что явствует из выступлений А.А.Гончара, Е.А.Рахманова, С.П.Суетина, по аппроксимациям Паде и ортогональ ным многочленам и выступлений ^^ /мя // по вопросам

близким к тематике данной работы, на международной конференции в Ленинграде (май 1991).

Следующим этапом работы явилось изучение операторов вложения вида !] ' XV& ) (у) * / ~ некоторый класс аналитических функций в области £ иуМ мера, носитель которой имеет предельные точки на границе области

$ . Эта постановка задачи вплотную примыкает к теоремам'вложения типа Карлесона и может рассматриваться как количественный анализ этих теорем.

Прежде всего интересны задачи описания классов мер, . ля которых соответствующий оператор вложения принадлежит тому или иному операторное идеалу. Для одного класса операторов вложения, а именно для операторов вложения вида:

задача сразу сводится к ганкелевым операторам. Критерии принадлежности операторов Ганкеля различным операторным идеалам были получены В.В.Пеллером в 1980 г. Автор Г 21 получил ряд критериев ядерноети операторов вложения. В это же время

0. подучил критерий принадлежности классу Шат-тена-Неймана бр

> Р> 0 для оператора вложения $ класса Дирихле в Лц ) • Сопоставление результа-

тов и работы ¿иескиЦ 0. привело автора к результатам такого типа в общей ситуации - к критериям принадлежности различным операторным идеалам операторов вложения вида

У ' ) ¿¿(^ ) » ) -некоторое гильберто-

во пространство о воспроизводящим ядром [з] .

Несколько слов о приложениях. Собственно оценки спектра интегральных операторов о аналитическими ядрами и были отправной точкой работы. Располагая информацией об операторах вложения, не трог дно подучить хороша оценки спектра Факте интегральных операторов.

Приложения к теории рациональной аппроксимации основаны на известной теореме Адамява-Ароваг-Крейна о Б -числах ганке левых операторов. На згой основе автор подучил решение одной задачи А.А.Гончара [4^ , а также подучил оценки скорости рациональной аппроксимации потенциалов Коши [*5J .

Содержание паботы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Первая глава посвящена критериям принадлежности операторов вложения операторным идеалам. Пусть 17 оператор вложения в (у ) , Ш) -гильбертово функцио-

нальное пространство с воспроизводящим ядром Тривиальный, но полезный результат - описание идеала операторов Гпльбарта-Шмидта 6*2 . Именно тогда и только тогда, когда

Для формулировки дальнейших результатов введем разбиение области (я : м

£ = Ц=4 (4)

Будем говорить, что для разбиения (4) выполнено свойство

(А)

(при фиксированном классе

ХЧ6) ), если справедлива следующая теорема вложения: оператор У ограничен тогда и только тогда, когда

^р 1^)= ьир ^ КЬ

00

(5)

а

ТЕОРЕМА I. Пусть дано разбиение (4), для которого выполнено свойство (л ). Пусть 01 операторный идеал, обладающий доминационным свойством (см.ниже). Тогда существует постоянная С , не зависящая от , такая, что

1Щ01Йс.на«»

'«А - идеал в пространстве последовательностей С0 , соответствующий операторное идеалу 01 .

Напомним, что идеал ог обладает дошнационным свойством ((*"-дем писать 01 есть и -идеал), если из условий Л* Я, 8 £ &~оо ) -идеал компактных операторов) и Б,/!^]

при всех П , следует, что и ИВШЦ^ИЛИлИ.

Для формулировки обратного результата определим свойство (В) разбиения (4): будем говорить, что выполнено свойство (В), если существуют точки и постоянная ^ > $ ,

такие, что для всех Я. и для всех -г7<£

Класс

опять фиксирован. Далее, будет говорить, что выполнено усиленное условие (В), если в (7) имеем ^ > ^ Определим дискретную меру ро : ^

^ и ) =

ТЕОРЕМА 2. Дуоть выполнены условия:

а) условие (В) «

б) оператор вложения и '■ ) (^о ) ограничен

в) (Я - й

- идеал

Тогда существует постоянная С , С ~> О »не завиоящая от такая, что .

Теоремы 1,2 несколько "несишетричны". Теорема 2 охватывает все нормированные 0 -идеалы, а теорема I относитоя

лишь к 0 -идеалам, промежуточным между и .

"Равновесие" частично восстанавливается, если доказать теорему I в квазинормированном еду чае, а затем применить вещественную интергэляцкю. Тем самым можно описать идеалы Щаттен&-1оренца бр^^ . Некоторая общая схема в случае областей, обладавших дополнительными свойствами симметрии, будет предложена в §1 гл.1.

Естественно также рассмотреть необходимые условия в квази-норыированном сдучае. Для идеалов 6р имеет меото:

ТЕОРЕМА 3. Цусть выполнены условия:

а) усиленное условие (В) 7 1

б) оператор вложения У0 ■ Х. / (^о / ограничен Тогда существует постоянная С} С > 0 . такая, что при 1

I »

Обозначим { ^ убывающую перестановку последова-

тельности { ) ^ в одучаа компактности оператора. При-

веденные выше результаты побуждают к более подробному исследованию связи между величинами $>а ) и ) . Легко эанетить, что оценка оверху типа ) ^ С • (ул ) невозможна в принципе (например для мер о компактным носителем). А вот оценка снизу линогда возможна. Определим матрицу

вь,*)-(ихьЩ[ ¡кГ'ЛУКк:}!/*

ТЕОРЕМА 4. Пусть выполнены уолошя:

а) усовие (В)

б) матрица ^ обратима

Тогда оущеотвует постоянная С > 0 ,. такая, что для всех УЬ

рассмотрим две теоремы, вытекающие из теорем 1-4. Пусть О оператор вложения класса Харда Н * в единичном круге О в пространство . Положим

Обозначим {"гд.'^ ^ убывающую перестановку последовательноо-ти в случае Ьг^ (р) —> 1 (Последнее

условие есть критерий компактности оператора У ). ^

ТЕОРЕМА 5. Пусть 3 компактный оператор вложения !Н . Пусть

(Я - о

-идеал. Тогда существует „ > 0 , такое, что при ^^ ^ о имеет место критерий: [] £ (П тогда и только тогда, когда

. {К-чуР] * I.

Георема 5 верна и для квазинормированных идеалов ^Р? ^

р >0 , > О

. Соответствующий критерий имеет вид:'

Пусть теперь

Р1 - класс целых функций на плоскости, € -

1амыкание множества полиномов в пространстве ((Г. \

I Н л '■>

(1 р - плоская мара Лебега. Положим .

1-' ^ I " Че2<Ш)11

С = и ;

Л, т.

Уоловив (у) -* 0} т ею является критерием ком-

пактности ^ператора вложения 3 • —> ^ ) .

Пуоть *[ убывающая перестановка ^ ^ Ц

ТЕОРЕМА. 6. Цуоть Л компактный оператор вложения ^ в Л/д ^и ) . тогда существует

, такое, что при имеет место критерий I/€ ОЬ тогда и только тогда, когда

Последние два параграфа гл.1 посвящены операторам вложения в банаховой ситуации. Рассматриваются проблемы ядерноети и

X -абсолютной суммируемости. Класо Бершана есть замыкание множества полиномов в

пространстве 1р • Рассмотрим оператор вложения 3

класса

А? в ка (М I . Цусть ,

^ Да

Некоторое разбиение ¿1/ типа Уитни (или конечнократное покрытие типа Уитни).. Это означает, что диаметр (1ц множества Л а. пропорционален расстоянию до границы Д) • Положим

ТЕОРЕМА 7. Пусть ^ ^ р < . Тогда оператор

является ядерным в том и только в том сдучае, если

При ; оловяи 5 £р оо оператор ^ является ядер-

ным в том и только в том случае, если

<г <ю, i - ;

Для -абсолютной суммируемости вводится понятие пре-

дельного показателя дня операторов вложения %! '• А. ).

Именно

Мы показываем, что этот показатель совпадает о "обычным" предельным показателем (для диагональных ошцшоров Т.' ). Далее приводятся оценки нормы в идеале $ г^ - £ - абсолютно оуммируицих операторов. В частности

ТЕОРЕМА 8. Цусть 3 •' .Д ^ ) оператор вложения.

Пусть 1 ~ ^ ■> 1 ^¿О . Тогда является £ -

абсолютно суммирующим оператором в том и только в том случае,

Теоремы 7,8 опубликованы в [б] . В главе П рассматриваются задачи наилучшей адпроксимацгй функций из единичного шара класса Харда в метрике ^

Особый интерес представляют случаи р = ^ = Л у р - 00 ■ Самый простой, но не тривиальный случай - это вычисление ■чисел оператора вложения И •' -* ('^Ьу^- ) ТЕОРЕМА 9. ( О]

). Пусть ^ произвольная март на Т Тогда , _,

С1т. - нормированная мера Лебега на Для *ер вида

-Л

¿у [?)= 1Ь„(г)\ (11)

- произведение Бляшке степени , все нули которого

лежат в круге , удается точно вы-

числить Ь -числа оператора 3 • А именно при П & Ъ.

о

Далее, если корни простые, то числа {

являются корнями уравнения ^

¿UA-дА)- о ,

"г * а 7 (12) 1 \

j

Для кратных корней также можно выписать алгебраическое уравнение степени /71 0 для определения чисел { ) J ^ Пусть теперь мера J4. имеет вид:

c((u= р ¿т. ; р£ f >0. (13)

Определим функцию Cere ^ fp 7 2 ) для веса р на J^ оладующим обраэом: ^

!fi №г); ; ijfp,z)i

Определим функцию в D^ :

С ' 1 - целая часть (• ) .

ТЕОРЕМА 10. ( Св7 ). Пусть ^ мера вида (13). Тогда для

5 -чисел оператора вложения _ ]~] (1,г )

меет место соотношение ^

/С«: м ~ V*0

Н-+ оо

(14)

Далее рассмотрим оператор вложения Ц •' —^^^ [0^ - произвольная мера в

ТЕОРЕМА II. ([э-]). Пусть (я(ро)-ф О . Тогда

^ У^т^о) Т ^ К^оо (15)

Теорема II дает интересный пример сохранения асимптотик;. К мере ^ о на Т^ прибавляем произвольную конечную меру в [) :

~1} п ^ — ^ о . Если "V достаточна, мала, то сохранение асимптотики следует из известной теоремы Келдыша-Крей-на о слабом возмущении спектра. Для-применимости этой теоремы требуется, чтобы оператор вложения д) }{ ) у* }

компактным. В условиях же теоремы II оператор ^ мажет быть не только не компактным, но даже и не ограниченным, тем не менее аисмптотика сохраняется.

В §2 гл.П рассматриваются операторы свертки вида

К ■■lz(L0jTj)^Izaú72r]7ju)i

'о

k -5т

-периодическая функция (ядро). Есж JÜ мера Лебега на [О, сЫ , то спектр /1 совпадает с множеством гчэффициентов фурье ядра k - / А' 4 __ . Далее, если ¿Ь-pÍx.

L j . xJjJgQ '

Р -непрерывный положительный вес на J и i b V

I i f .i ) fe 1 t

перестановка последовательности 7 / í?^! у в убывающем порядке, то очевидно, что sn (К") ^ J¿* ^-*¡x> . Соотношение Clh ^ означает, что существуют постоянные Сй ( ¿^ такие, что Сл ¿ ¿ • Проблема состоит в вычислении

сильной асимптотики и вычислении соответствующего асимптотического коэффициента. Если коэффициенты фурье убывают степенным образом, то задача решена Г.В.Розенблюмом с помощью техники псевдодифференциальных операторов (ПДО). Асимптотический коэффициент в формула (JC) <v С{р) }h->eo есть среднее степенное веса р соответствующего порядка. В случае быстрого убывания последовательности "j k* ^ ■ техника ПДО в ее стандартном варианте неприменима.

Итак, рассмотрим ядра k вида Л А Л

i = о, ь^о ; Mv* • •• <I6>

причем оущеотвуе* мера "V на t 0 j 00 ) такая, что

lil'1- П*^." — m

4 Л

и нооитель "т) содержит точку I : (, d .

- 17 -

ТЕОРЕМ 12. ( tío] ). Цусть выполнены условия (16), (17) относительно ядра k. и мера /U имеет вид ¿¡и - О ([ху

¡>€ C(l°¿Tl) ■ Toi*a А

bjK)^Í£(ju) /kJ7H-"0 (18)

Условие (17) существенно. Это видно на примере лакунарных ядер. Ядро f¿ называется лакунарным, если

ОО ^ ' м Т /

/ , /

ТЕОРЕМА 13. ( [iol ). Пусть ядро & лонунарно и yj-pfa

ре С(С0?Ят]). Тогда у д

b/KHfX^I^Lj^

В §3 гл.П рассматриваются операторы вложения вида rZ

■у-- Л - l% (f )-,

tts»)

причем носитель меры ^ некомпактен в Ц) . Глава I дает критерии принадлежности !} операторным идеалам; здесь же интересуемся индивидуальными оценками Б -чисел. Ясно, что при этом надо накладывать оильные ограничения на меру ^ , так как закон убывания Ъ -чисел оператора (19) может быть любым (это показано ва примере дискретных мер).

Простейший класо мер - это радиально-симмеуричныа меры:

Пусть У оператор вида (19) и ^ -радиально-симметричная мера. Тогда а й 2п

Далее естественно рассмотреть меры вида

(3).(\ Сш),^,.

¿^Ы)~рГг)<!11)(1)х<1у> (21)

Если р непрерывный положительный вес в окрестности Т7 , то легко заметить, что 1/п

Снова нетривиальна лишь задача о сильной асимптотике. Результат удобно сформулировать в терминах функции распределения

Итак, рассмотрим операторы вложения

I : Л*-* к ( ^М

3 = Л^-4

ТЕОРЕМА 14. ( [4^] ). Пусть выполнены условия

а) вес р непрерывен в окрестности Т"*

б) имеет меото оценка

'о

в) имеет место оценка

т!(Гм,*).)« 0/г), г-о

Тогда справедлива асимптотическая формула

да) ~ ¡^/рГ^Ы-л) . с-о а»

Рассмотрим одно приложение формулы (22). Пусть -одао-связная область с гладкой границей Г и -класс В.И.

Смирнова, класс Бершана. Пусть J оператор вложения

класса ЕЧе) в Ал{£) . Хорошо известно, что ^ комп-пактный оператор. Из (22) легко получить асимптотику Э -чисел этого оператора при следующем ограничении: пусть (р конформное однолистное отображение единичного^ круга \£) на -Будем предполагать, что ^ € С ( & ) • Тогда

кг '

Теорема 14 содержательна при условии р(0 на множестве С с Т , Ье2 2^0. Поэтому дальше в §4 гл.П анализируется поведение 5 -чисел для мер , носитель

которых имеет единственную предельную точку на окружнооти Т В первую очередь интересно исследовать влияние геометрии носителя меры ^ на асимптотику Э . -чисел. В диссертации рассматриваются два основных типа "выхода на границу". Первый -это касание. Положим

г], 0<

и рассмотрим оператор вложения $ : Сй^ } ] •

ТЕОРЕМА 15. ( [41 ). Имеет место соотношение

- 20 -

Для сравнения отметим, что если У оператор вложения из

н2 и ып(ёпт)Фо

то имеет место соотношение (3) X У1~ ¡^—ьсю Второй тип "выхода на границу" - угловой. Положим

^ - -I г 1/<*; а - г , Н-"Д? „■ з 'I ^

ТЕОРЕМА 16. ([а]). Пусть оператор вложения -Н

в 5 (1$) • Тогда

■ х. Гл, <25)

Формула (25), конечно, грубая, но и она показывает насколько резко меняется асимптотическое поведение Б -чисел при переходе от касания к угловоцу подходу.

Пооледщий §5 гл.П посвящен поперечникам единичного шара Н в весовых пространствах ) . Сначала отметим

простой, но принципиальный результат о гельфандовских поперечниках:

ТЕОРЕМА 17. Пусть

Ш)

-идеальное пространство на окружиооти . Тогда существует постоянная

такая, что

Коли X в и Р^ ^ , то ( [и] )

' с/Ж),/;, О- бЧр).

При ^ вначение постоянной С ^Х^),^) нам неизвестно. Некоторые оценки ее приводятся в диссертации.

О других поперечниках (линейных, коломогоровоких и т.д.) единичного шара В Я^ в при известно

. еще меньше. Отметим точную оценку линейных поперечников: пусть р* 3, '¡¿ул'рат.) )

Тогда

со

-1 _ -I

здесь -Ь ~ р ~ % • Точность оценки (27) подтверждается недавним результатом К.Ю.Осипенко и М.И.Стесина:

\ (ь\1\С(\)) ~ г К(1-VгГ %- -

Приведем еще два результата. . . ~ /■„ )

ТЕОРЕМА 18. Пусть 1 оО, ?р * ( А. /

а для бернштейновских поперечников имеет мест<

Тогда для бернштейновских поперечников имеет место формула

¡г -* 00

У '

Рассмотрим интегральный оператор вида

(т)

с ядром Коши - (¿же) {? - "И^)

сь ((мхрсЬп. р

ТЕОРЕМА 19. Пусть ((мхрЖщ. , р€ . Тогда

^/тс)

Отметим, что близкая задача - о поперечниках ^

сложнее. Во всяком случае, мы показываем, что

1м

- 22 -

В заключении §5 гл.П рассматриваются поперечники единичного шара в метрике ) для мер^/* с некомпактным носителем в Ю . Рассмотрим аналог теоремы 14.

ТЕОРЕМА 20. Пусть ^ оператор вложения УГ в 1а мя)

(ре С(Ъ) • Тогда ^ 4 у 3

Следующий результат - аналог теоремы 15 . ^ .

ТЕОРЕМА 21. Пусть I/ оператор вложения Н в {й^^о/ Тогда " . _ 3/ '

¿/У] * К %

И наконец, - аналог теоремы 16 . оо у ,

ТЕОРЕМА 22. Пусть оператор вложения 17 в ,

'Чз) ± Сп \

К 0°

В главе Ш продолжается изучение б -чисел и поперечников операторов вложения. Рассматриваются операторы вида:

Л. ) - некоторое пространство аналитических функций (чаще воего

ЯР или класс В.И.Смирнова ) и - компакт

в £ . В гл.П рассматривался лишь случай У{ = ^ или

- , поэтому порядок приближения усматривался непосредственно (геометрическая прогрессия 1 ^ ) и проблема соотояла лишь в вычислении соответствующего асимптотического коэффициента. В случае более или менее произвольного К уже нахождение порядка приближения есть содержательная задача.

- 23 -

Если (х , /Г - область и компакт на комплексной плоскости (£ , то порядок приближения вычислен в работах, посвященных задаче Колмогорова-Ерохина (см.формуду (I)). В §1 гл.Ш напоминаются основные понятия теории потенциала (функция Грина, равновесная мера, емкость). На основе этих представлений легко получается следующий результат: р >

ТЕОРЕМА 23. Пусть оператор вложения Л

К компакт в П) . Пусть Д. О ) поперечники в смысле Гель-фанда или Колмогорова ( ' ) . Тогда

Далее рассматриваются лемнискаты Бляшке - по-видимому, наиболее естественное обобщение окружности о точки зрения теории приближений:

В0 - произведение Бляшке степени IV-о • Обозначим равновесную мэру на

ТЕОРЕМА 24. Пусть Л ~ -/ '"о, ^ / . Тогда а) при Я = Ш0 К имеем

б) пусть N - произведение

степени , причем нули Ь // лежат внутри С

Бляшке

Тогда при К = т0 К + .И имеем"

Из теоремы 24 легко следует слабая асимптотика. Приведем сразу результат о сильной асимптотике:

ТЕОРЕМА 25. Пусть К-- Г{в„ I) и У1Щ / - идеальное пространство. Пусть !) оператор вложения —> .Х^/Г) Тотаа существуют константы С0 (Х7Ь. . , (ЭС-,^)

такие, что при П = К+ 0,. ., ^

<1Н(3) ъ С% (Х,1>) I *у оо .

§2 гл.Ш посвяцен одаосвязноцу случаю (см. [1,121 )• Сначала приводятся два доказательства следующей теоремы ^

ТЕОРЕМА 26. <Г1]>. Пусть Л 'оператор вл9жения Е (&} - одноовязная область, ^ - замкнутая жорданова кривая в (л ' класса С £ >0 • Тогда

В основе обеих доказательств лежит теорема В.Д.Ерохина о конформном отображении двухсвязной области на кольцо, позврляющая. свеоти задачу в случаю фаберо^ой конфигурации (область (л ограничена линией уровня конформного отображения внешности ^ на внешнооть Ц) с обычной нормировкой). Первое доказатель- • отво попользует форцуду асимптотики многочленов, ортонормированию: в ). Второе - операторное. Оно основано на изучении проектора Кош (проектор Коши есть неортогональный проектор в Х>2 ^ £ 0 нул0ВЫМ подпространством , вдесь ^ область, ограниченная кривой ). Доказывается, что проектор Коши почти ортогонален (отличается ' от ортопроектора на компактный оператор).

Далее рассматривается весовая задача:

ТЕОРЕМА 27. ( [12J ). 1&сть J оператор (29), ^fy),

ТГб CUi) £>0 - Toiwa '

sjaUG^ezpfn^-'fpS)),

(я fp ) - среднее геометрическое относительно равновесной меры JUq на ^ . Приводятся также два доказательства. В первом используется свойство почти ортогональности проектора Ко-ши и функция Сеге веса р . Таким образом удаетоя редуцировать задачу к изученной в гл.П задаче об операторе вложения <£n(%.>J* ^ ' ®Т0Р°9 доказательство состоит в сведении теоремы 27 к теореме 26 с помощью произведений Бляшке.

В §3 гл.Ш выяисляется порядок убывания S -чиоел оператора вложения

Q область в (£ , К. - гладкий компакт. Пооледвее означает, что Уа лежит на гладком подмногообразии РЛ ^ Or^ причем внутренность 1С относительно топологии ТУ! непуста. Рассмотрим в каждой точке р С /С касательное пространство

Тр в смысле и максимальное комплексное подпространство TDC = TR П i L I С R. ~ размерноотью

КГ . I Г гр г

в точке р называется комплексная размерность /р .

С d - размерностью J^ назовем чиоло

CR-iitn. К = bull L '

реК Г

Наконец будем считать, что мера ^л. не сшиулярна относительно меры Лебега на / , ТЕОРЕМА 28. При условиях, указанных выше и Ш- Л ¿¿К К дая функции распределения оператора

^] имеем

Мг.З) ^ (к г^'^^о

Очевидно, что М- Б , причем равенство достигается в том и только в том случае, если -комплексное многооб-

разие. Тем самым при заданной четной размерности #1 наименьший рост функции распределения при £ —> 0 реализуется на комплексных подмногообразиях.

§ 4 гл.Ш посвящен исследованию -чисел оператора вло-«ения

б") А области Рейнхарта в С - Напомним, что . & называется областью Рейнхарта, если из условий 5Г £ ? № I $ |, ^ я - - (I следует,что . . К/^) <Г & .

Можно считать, что ?С ^ логарифмически выпуклы, то есть образ облао'ти 6 в /К. при отображении

Г?*., . А^/]

являетоя выпуклой областью. Обозначим д соответствующую опорную функцию. Предположим, что мера ^и симметрична в следующем смысле: существует мера ~\) на ¡КI , такая,что

ТЕОРЕМА 29. При условиях указанных выше имеет меото соотношение Л Л £ Г \-(( I

В § 5 гл.Ш вычисляются $ -числа оператора вложения, О •' НгС[В^) ), 1Е> - единичный шар в С ~

Тг -произвольная окружность о центром в нута и радиуоа . Разумеется, интерес представляет лишь олучай расположения н^сомплексной плоскости. С фондируем результат (ограничимся случаем € ). Пусть

\ - Тг ^ р) = М = ^ ^ ли р?}

Положим' . ■ . _Г ^

ТЕОРЕМА 30. Пусть -2

к И) - (4т'гТ1[1- гг 'Ы Ь < ) ]

J /> * 1°°

и 7 Ку, [ убывающая перестановка последовательности модулей коэффициентов Фурье ядра к. . Тогда 5 -числа ^ выяичляются следующим образом ^

Глава 1У посвящена приложениям. Рассмотрим интегральный ■ оператор в ¿¿(со.П) вида

Исследование спектра оператора ТС в зависимости от свойств ядра -тема, которой посвящены работы многих математиков, начиная с Фредгольма. Этой теме посвящены фундаментальные обзорные статьи Хилле и Тамаркина (1931 г.), М.Ш.Бирмана и М.З. Соломяка (1977 г.), монография А.Пича (1987 г.). С известной полнотой изучен случай ядер конечной -гладкости. Ядра бесконечной гладкости, в частности, аналитические, изучены меньше. В данной работе, сладая М^Ш.Бирману и М.З.Соломяку, делается акцент на оценках оишулярных чисел вместо оценок спектра.

Специфической чертой нашего подхода является сведение оце-ное Б -чисел интегральных операторов к оценкам Б -чисел операторов вложения. Поясним это подробней. Пусть ядро£/а>^ допуокает аналитическое продолжение (2 7 ^ ) в область

£ , не зависящую от [0> 1 3 • Пусть далее существует гильбертово пространство } аналитических функций в области С , причем следующий оператор: .

ограничен. Раооиотрии оператор вложения

Имеем очевидное соотношение

К* У°Т. (з2)

Из (32) получим оценку Ь^ (К)*Uli s« (3), которая сводит вопрос к изучению S -чисел оператора вложения $ . Если пространство X (&) выбрано так, что one-' ратор Т обратим, то имеем и обратную оценку.

Эта схема исследования применима и в более общем случае:

К :'£л №,_/>) -*IJ[cJi,i)).

Выделено два класса интегральных операторов на отрезке, тесно связанных с операторами вложения. Первый класс - это интегральные операторы с воспроизводящими ядрами (см.§ I ГЛ.1У). Приведем типичный результат ; . • \

ТЕОРЕМА 31. Пусть К интегральный оператор в • ^V? f1 J

Тогда

а) оператор j\ ограничен тогда и только тогда, когда

Sup I expfxz) ¿¡Ufx) < °° 6 !Z Jm ' J п

б) оператор J\ принадлежит классу Ор у р^ U тогда и только тогда, когда m^i ' \Р

Второй класс операторов связан с производящими функциями ортонормированных систем (см. § 2 гл.1У).

Приведем типичный результат.

ТЕОРЕМА 32. Цуоть j^T интегральный оператор вида

к -k шъм-ffofc4 '>

о ядром (+"XZ)~ " ^ . Тогда

а) оператор ограничен тогда и только тогда, когда

sap Г^ Т){Ьк)<соо ; йк*[í-i^í-C1]

б) оператор JK принадлежат клаооу (Sp , ^ тогда и только тогда; когда . л, Р/

§ 3 глЛУ поовящен оценкам S -чисел интегральных операторов о аналитическими рдрами (произвольными). Сформулируем ооновной результат ' .

ТЕОРЕМА 33. Пусть А оператор вида (30) и ядро л/эг,^) допуокает аналитическое продолжение ^ ) в область

б- при воех £й> i J . Цуоть [Ojl] Q

и выполнено условие: функция _ ¿ /.2

локально ограничена в $ . Тогда

• С (К) < eocb(- cabrío,i],

А)

. (33)

Л- OO . '

Оценка (33) является точной. Это видно на примере ядер при соответотвупцем выборе чисел .

- 31-

§ 4 гл.1У посвящен задаче А.А.Гончара. Постановка задачи: пусть / аналитична в окрестности оо '.

Обозначим множество рациональных функций степени Л. и ^п. наилучшее приближение элементами из

в метрике

@ I 0^ ,/?>/?/" . Пусть, далее, -множеотво воах компактов в круге со связным дополнением, таких, что ^

допускает однозначное аналитическое продолжение в (/? | р*1 ^ р7 ё . Положим .

. Ъ](арС-ар-УР, 4 )))у Ре Т.

Из известных классических результатов имеем

%

—> со _Г

(34)

Я

А.А.Гончар выдвинул гипотезу, что

. и * 4

п -*> оо ■ X

ТЕОРЕМА 34. ([4]] ). Для любой аналитической функции имеет место (34).

§ 5 гл.17. посвящен оценкам наилучших рациональных приближений в метрике ВМО на окружности 'У . Положим

я" с и"* %к

И 00

Пусть j функция вида

4 . -1 I

"О '

ТЕОРЕМА 35. ( ГбЗ ). Пусть ^ функция вида (35) и р не отрицательный, убывающий вес на

Г о, Я . Пусть

Dfx) О- эС-> j . Тогда существуют постоянные Л Л А I 1 а гч. л' о

такие, что при всех И и при всех О ■ J

имеем

(¡)к f-j? ) , зная порядок убывания р . Например, если

то имеет место оценка

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Парфенов О.Г. Асимптотика сингулярных чисел операторов вложения некоторых классов аналитических функций. // Мат. Сб. -1981-Т. 115/157/, М/8/-С. 632-641.

2. Парфенов О.Г. Ядерность операторов вложения некоторых классов аналитических функций в весовые пространства. /Мат.Заметки -1988-Т.43,вып.б-С.794-807.

3. Парфенов О.Г. О свойствах операторов вложения некоторых классов аналитических функций.//АЛгебра и. Анализ.-1991-Т.З вып.2-С.199-222.

4. Парфенов О.Г. Оценки сингулярных чисел оператора вложения Карлесона. //Г,!ат. С б. -1986-Т. 131/173/-М/2/-С. 501-618.

5. Парфенов О.Г. Оценки сингулярных чисел ганкелевых операторов.//Мат.Заметки-1991-Т.49,вып.б-С.82-86. .

6. РаТ^псМОМ. СъЬил о^шСеаиЬ о^етШ<ч?

аскиа Мшееч йеЫмсщ Цаа>Ъ ан(1 Щ]дШ Мфе ухгаЪ.

// Ы^аск. ~ у. 15Н - Р 105-115

7. Парфенов О.Г. Поперечники одного класса аналитических функций.//Мат.Сб.-1982-Т.1Г7/159Л-№2-С,279-285. , /

8. Ыгш ОМ. М ШсЦе ШисЪ ст1

ь^скъ ШШ11Ш-Ш шщ

МеУгсЬ аррЫ'^акыь ¿И СотрГеХ <*м1

(к. гЕиРп НаМЛпЖые - 1еЩчрас1, ^ .

та

9. Парфенов О.Г. Асимптотика сингулярных чисел оператора в

№5-С.729-734.

10. Парфенов О.Г. Сингулярные числа взвешенного оператора свертки.//Мат.Сб.-1987-Т.133/175/, ЖЗ/7/-С. 314-324.

иа^опис • дишшхихлла илшх^.ид^ил шорахи^а

вложения Нг в Их (//Мат• Заметки-1984-Т.35,

II. Парфенов О.Г. Поперечники по Гельфайлу единичного шара

1985 - Т.37, Я 2-С.171-175.

12. Парфенов О.Г. Асимптотика сингулярных чисел операторав вложения некоторых классов аналитических и гармонических функций. В сб.Линейные и нелинейные уравнения в частных производных. Спектральные асимптотики. Вып.Э-Ленинград: изд.ЛГУ,1984-С.56-66.

13. Парфенов О.Г. Асимптотика сингулярных чисел интегральных операторов с ядрами Кони и Бершана.//фА и его приложения-1978-Т.12, вып.2-е.88.

14. Парфенов О.Г. Асимптотика поперечников некоторых классов

I

аналитических фунвдрй.//ФА и его приложания-1981-т.15, вып.4-0.87-88. "

в весовых пространствах./Д1ат. З&метки-

Подписано к печати 7.04.92. Заказ 5116. Формат 60x84/16. Объем 2 п. л. Тираж 120 экз. Бесплатно.

Ломоносовская тшюграфк» Ленупркэдата. 189310, г. Ломоносов, пр. Юного ленинца, 9.