Корректность краевых задач для псевдодифференциальных уравнений, порожденных сингулярным оператором Бесселя тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

^ \\С^АКАДЕМ1Ш НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ пм.В.И.РОМАНОВСКОГО

На нраа;ис рукописи УДК 517.957

Назарова Махмуда Хуспуддппоппа

КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫХ СИНГУЛЯРНЫМ ОПЕРАТОРОМ

БЕССЕЛЯ

01.01.02. — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фнопко- математических наук

ТАШКЕНТ - 1998

Работа выполнена на кафедре уравнений математической физики Ташкентского Государственного Университета

Научный руководитель:

Доктор физнко-математнческкк наук Умаров С.Р.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук

Кисло» Н.В.

Ведущая организация:

Кандидат физико-математических наук

Карачик В.

Самаркандский Государственный Университет

Зашита диссертации состоится "25* ИОЗ 5р Я 1998 г. в -/4- час О О минут на заседании объединенного Специализированного Совета Д. 015.87.0? в Институте математики им. В.И. Романовского АН РУэ по адресу: 700ИЗ, г. Ташкент, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН РУз.

Автореферат разослан " ОКШЯ&рЯ 1998 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета, кандидат физико-математических наук

Тахнров Ж.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Начинал с 70-х годов при изучении уравнении п частных производных широко используется теорий псевдодиф-ферешшальных операторов. Множество задач механики и квантовой физики. приводимые к изучению уравнешш с псепд' дпфференциаль-ным оператором позволяют утверждать, что изучение таких уравнений имеет важное теоретическое и практическое значение. Этим, прежде всего, объясняется активное исследование псевдоднффереп-ппальных уравнений п г.оявленче многочисленных работ.

В современном виде основы теории псевдодпфферепциальпых операторов были заложены в работах Дж.Копа, Л.Ннренберга и Л. Хер-ыаидера. Существенное приложение и дальнейшее развитие ото« теории даны в работах М.С.Аграповича, Л.Д.Волевича, П.В.Грустна, Ю.В.Егорова, Х.Кумапо-го, Ф.Трева н других. Отметим, что п классической теории пссвдоднфферспцняльиых операторов предггояога-ется гладкость символов п кокасателыюя расслоении.

Однако, пр исследовании ¡»яда задач математической физики воз-пикает необходимость в псевдодифференццальных операторах, спм-„ полы которых допускают особенности к кокасательпом расслоении. Такие операторы появляются при исследовании простейших нелокальных задач: разрешающие операторы двух- (илп много-) точечлых 1>а-дач являются псовдодифференшмлышмн операторами с символами, имеющими особенности. Такие операторы возникают также а квап-товой механике, стохостнческой теорт» упругости и т.д.

С начала 80-х годов началось актпвиое исследование теория псе-вдодпффе1)енцпальных операторов, символы которых имеют особенности относительно двойственной го-ременной. В настоящее время существуют несколько подходов к разработке ¡»той теории, имеющих своп спедшфическне характеристики.

Отметим также, что исследование задач гпдроапро?пнампкп вязкой жидкости и идеального газа, а также многие задачи акустики привели к изучению дифференциальных Уравнений с сингулярным оператором. Среди них отметпм работы Н.А.Килрштова, Л.А.Иванова, Ю.В.Засорппа, М.Б.Богочева. Ф.Г.Мухлпсова и других.

В настоящей работе рассматриваются задачи для псепдоднффе-ренпнальных урагшешш, порожденных сингулярным оператором Бессиля. Отмеченные выше обстоятельства позволяют утверждать, па наш взгляд, об актуальности темы диссертации.

Цель работы. Целью диссертационной работы являются:

1. Изучение однозначной разрешимости и пс 'учение оценки устойчивости решения краевых задач для дифференцшиьнс*- операторных уравнении. порожденных сингулярным оператором Бесселя с граничным оператором дробного порадка.

2. Нсследонаиие корректных постановок общих граничных (вообще говоря, нелокальных) падач для псеидодифферснииальиых уравнении, порожденных сингулярным оператором Бесселя с вещественно-аналитическими символами.

Научная новкапа. Все основные результаты диссертации являются новыми. Онн состоят в следующем.

1. Найдены точные условия разрешимости для краевых аадач с диф ференциально- операторным уравнением, порожденных гиш/лярным оператором Бесселя при граничном операторе дробного порядка в весовых классах Соболева:

2. Построены пространства безусловной разрешимости краевых задач для дифференциально- операторных уравнений, порожденных сингулярным оператором Бесселя при граничном операторе дробного порядка;

3. Получены условия корректности общих граничных задач для псевдодпфференцпальных уравнении, ^врожденных сингулярным оператором Бессоля с вещественно- аналитическими символами п некоторой области из

4. Исследованы свойства пространств, являющихся областями V лре-дгаения псевдоднфференцнальных операторов с аналитическими в области па И" символами в весовых пространствах Соболева:

5. Найдены точные условия замыкаемости »тих пространств в весовых пространствах Соболева:

6. Получены условия корректности граничных аадач для дифференциально- операторных уравнении, порожденных сингулярным опера-

тором Бессе.тя, в весовых пространствах Соболева,

Методы исследования. В первой главе в основном испозьзооаЯЫ . методы теории линейных зллпптичоских краевых задач, теории самосопряженных операторов и методы функционального гшалппа.

Во сторон главе применен метод, опирающийся на аамыкпшш разрешающих onepaToj)OD n весовых классах Соболева. Та:;ой подход основан на локализации особенностей символов p¡. фешающнх операторов с помощью множества <7, являющегося множеством гладкости символов и впервые применен и работе С.Р.Умароиа. Вис множества. G симшшл могут иметь особенности произвольного 'ЛШа. С помощью результатов о плотности основных пространств в вессшх классах Соболева, а также оамыкаемостп операторов п отпк классах, удается укапать псобходнмые и достаточные условия корректности

рассматриваемых задач в весовых пространствах Соболева,

t

Практическая и теоретическим ценность. Диссертаций в основном носит теоретически» характер Ее результаты и методы могут быть использованы в поучении падач квантовой механпхи, теории упругости, ак/стикн, а также в задачах гпдроаэродшшшки вязкой жидкости и идеального rana.

Апробация работы. Основные результаты докладывались па семинарах: net современным методам математической фпзпкц на кафедре дифференциальных уравнении (pys. проф. Абдинаоаров С., проф. Ашуроп P.P., "р°Ф- Умаров С.Р.), научно- исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям з ИМ АН РУз (рук.акад. АН РУз Джураев Т.Дж., акад. АН РУз Салахитдпнов М.С.), ио теории оптимальных управлении и дифференциальных игр на кафедре теории оптимальных управлений (рук.чя.корр. АН РУз, проф. Сатимов Н.Ю.), ежегодно докладывались на конференциях профсссорско- преподавательского состава ТашГУ.

Публикации. Основные результаты диссертация опубликованы в работах [1-3]. список которых приведен в копце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит па введений, двух глав п списка литературы. Каждая глава разбита на параграфу. Объем диссертации 91 страниц, включая литературы, содержащей 50 наименований.

Основное содержание диссертации.

Во введении содержится постановка задачи, краткая история вопроса и точные формулировки основных результатов диссертации.

В §1 главы 1 вводятся ряд функциональных пространств, испольоу-емые при исследовании краевых па дач. Пусть В" полупространство в н- мерпим евклидовом пространстве Я" -тп > 0. Пусть КГя~ множество функции /(х1). бесконечно дифференцируемых, четных по х„ и финитных ПО совокупности переменных х = (XI ). Обозначив

через П*(Н'\.) замьшише множества Кж„ по следующей норме

где Гц/(г)- преобразование Фурье- Бесссля функции /(х),-) > Некоторые свойства преобразования Фурье-Бесселя рассматриваются

в §2.

Далее, при $ = 0 пространство #*(/?!{.) обозначим через Через 1Ц еотр(Щ) будем обозначать совокупность элементов #-,'(/?!;), имеющих компактный носитель /?+. Далее, пусть простран-

ство футшщй/(я) € Я*(Я"), для которых имеет место

/ 1{х)г1Чх = 0, |р| +13„1 < 2(т - 1).

В §3 рассмотрим следующую краевую задачу ,

+ хбЛ»+. ? >0 ' (1)

£>Г«(х,0!,=0 = Р(Х). хбЛ-; (2)

|и(х-,<)| < М равномерно по всем а- при < -* ос. (3)

Здесь Л„_1- оператор Лапласа б Д,- оператор Бесселя по последней координате, о- любое положительное число. Ф(х)~ заданная функция.

Доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:

1. если 0 < а < 5 + т, то ф{х) € Я' ,отр(Л;);

2. если 2(ш -1) + 5 + 7 < « < 2т + 5 + 7, то <?(х) е ;етр{11%). Тогда существует единственное решенпс задачи (')-(З), принадлежащее пространству Я'+° (/?")), для которого справедлива оценка

Обозначим через //*''" (■/?!}.) замыкаппе множества /О. по следующей норме

. унш^-те=Ц\+}гчу{1+^у^т^г,

где г' = (гьг2,...,гп_|), з' = (Л1,а2,...,ап_1). ^реа Л?/0"шр(Л1) будем обозначать овокупность элементов Ну''п{И\), имеющих компактный носитель, пложенный в полосу {х б : хп £ Аг} при N > 0. Далее, пусть >+) пространство функций /(х) е Ну ""(Л"), для кото-

рых имеет место

для почти всех г*.

54 посвящен изучению следующей краевой задачи в введенных пространствах

+ хеЛЦ, *> 0 (4)

Д?вФ,<)1<-в = (5)

ОФ.О, _0 п -"ТЕГ4'-0 ' >а

1«(х< 01 5 равномерно по всем лг прп < -»оо. (6)

Отлпчнезадачн (4)' (0) от рассмотренной ранее задачи (I)- (3) в том, что в данном случае в краевом условии берется оператор а >0;

при о — 1 длппый оператор совпадает с "касательной" производной. Доказана следующая теорема.

Тйэоремп 2. Пусть выполнены следующие условия:

1. если 0 < о < ;; + ^, то о{х) с-

2. если т - 1 + | + < а < т + ^ + 5-. то о(г) е Я^^,,,^/?" )• Тогда гуиич'твует единственное решение задачи (-1 !-(о), принадлежащее пространству 1Ю(Я+,Щ',Ы+'"(Я1)), для чоторого справедлива оценка

Позшкает естественный вопрос: можно ля построить пространства безусловной разрешимости для краевых задач с днфференцпально-операториьт уравнением при граничном операторе дробного порядка?

В 55 строятся пространства Ф-,, А'-,. в которых рассматриваемые краевые задачи (1}-(3) и (4Ц6) соответственно при любом а > О имеют единственное решение без дополнительных условий ортогональности.

Отнесем к множеству основных функций Ф-,(/?") все функции /(х) класса убывающих в бесконечности вместе со вс.-мн про-

изводпыми быстрее любой етепепи полинома, четных по последней переменно!!, а также удовлетворяющих условиям

(Я1' о }(0) = 0. при |Г| + 2А-„ = 0,1,....

Класс фуикпий, образованных воздействие!,! обратного преобразования Фурье- Бесселя к элементам Ф, (П'1) обозначим через Ф-,(Л"). Другими словами, элементы класса ФУ(П'±) суть функции бесконечно Дифференцируемые, убывающие в бес>онечностп вместе со всс.\ш производными быстрее любой степени полинома, четных по последней переменно!! и удовлетворяющие ус ловиям:

/ = 0, при + 2к, = 0.1.....

.Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть <р(х) £ Ф-,(/?"). Тогда существует единственное решение и(х,*) задачи (1)-(3). принадлежащее классу СК(Л+,ф-,(Я!}.)).

Обозначим через У'7(/?+} все функции /(х) класса убыва-

ющих в бесконечности вместе со всеми производными быстрее любой

стспешх полинома, четных по посяедссй перемегозюй, а ташке удозлг-творяющих условиям

=0, прп & =0,1,..., дош в'-ех х'.

Класс функций, образованных воздействием обратного врсобрасо-вапия Фурье- Бесселя к элемента У7(Л+) обозначим через Х^Щ). Другими словами, элемекты класса Л'7(Щ.) суть фущщв® б-естаиетжо дифференцируемые, убывающие в бесконечности емс«. а со псешв производными быстрее любой степени полппома5 чегкш. по последней переменной и удовлетворяющие условигм:

=0, при к = 0,1,..., да всех а;'.

Теорема 4. Пусть ф{х) € Х-,(Щ.}. Тогда существует единственное решение ы(г, /) задачи ({)-(6) принадлежащее ггассу Сс5{/2->-,Х^Д^)).

В §6 изучается слабая разрешимость зраесых надет (1}-(3), (4)-(б) в пространствах обобщенных фугпщшЁ, сяредеяекнык яа элеиентах Л'■)(/?"). пусть ',(№{.)- просграготпа зссзс линей-

ных непрерывных функционалов, опердеяенньгх над Ф^Л+^-Л-ДД") соответственно.

Функционал и(х,() е С2(Л^,Ф^(Щ))аСа(Щ,Ц(1Щ.}) буцеи кглы-вать слабым решением задачи (1)-(3), если для любого € Ф-)(Щ) выполняются условия

< >у + < и(г,г),(Д„_| + В„)1<(х) >.,= 0, I > 0;

< >7 |г=0 =< ф(х),ь(х) >у .

ТЪорема 5. Пусть ф(х) е <Ц,(Л1). Тогда, храевая садача (1)-(3) пмеет единственное слабое решекне.

Функционал и(х,г) е будем паоы-

вать слабым решением задачи (4)-(6), если для любого 6 Ху(Д") выполняются условия

< >т 1<=о =< Ф(х)А*) >т .

Теорема б. Пусть ф(х) е Тогда, краевая задача (4)-(6)

имеет единственное слабое решение.

Вторая глава лосвидала п^уадшю к. ^ректности общих граппч-ных задач для псевдодифференцпальных уравнений, порожденных сингулярным оператором Бесселя, следующего вида:

С^+Ц-М»* 0^=0, (7,

ЕМ®»)5^-.«'). * = °.....■»-!■ № '

Здесь 1 б (ТЬТ2), -оо < 2\ < Т2 < оо, «у € (ТЬГ21, х е Л!}.; гп >

I; £>я = .....А,-ьД,), где £>,• = } = 1.....» - 1, Вп =

+ г^а^); а также и непрерывны по * в замкну-

том множестве {Т\» Т^Ь а также вещественно- аполитичны по переменкой г а некоторой области С с 7?!}; 4>ь(х)(к = 0,...,т -1)- заданные функции, ы(г,2)- искомая функция.

В §1 вводатег пространства Нцс,у,Н'о,г;\т Обозначим через Но,с,ч~ совокупность функции /(х) € ¿2-,(В"), носитель образа Фурье- Бес-сеаа которых компактно вложен в область С с И+. Совокупность всех линейных непрерывных функционалов, определенных на Нц,с л обозначим через Н'ВС!. Г Отметим, что в случае отсутствия сингулярности подобные пространства ранее были введены в работах Ю.АДубпнского (случай элементарного оператора дифференцирования) н С.Р.Умарова (сл чаи спектральных в смысле Данфорда- Шварца операторов). Здесь доказывается, что пространство Яд,о,-» плотно в весовых пространствах Соболева тогда и только тогда, когда п- мерная мерз \ С) = О. Аналогичный результат при отсутствии спигувярностк получен в работе С.Р.Умарова.

§2 посвящен изучению алгебры нсевдоднффереицпальиых операторов с вещественно- аналитическими символами, порожденных сингулярным оператором Бесседя.

В §3 наследуются граничные задачи для цсевдоднффер1 дцпальпых уравнений с вещественно- аналитическими символами, порожденных сингулярным оператором Бесселя в пространстве основных функции. Пусть система функций £/*(«,г) = {и5(*, г), «{(*, г),...,«;;_,(<, г)} есть фундаментальная система решений обыкновенного дифференциаль-

ного уравнспшг

рп—I

*=о

Пусть, далее, Л/(г) есть т- мерная квадратная матрица с олемектааш

3=0

Введем обозпачепне

М° = {теП1: 4еШ(т) = 0 }.

Доказана следующая теорема.

Теорема 7. Пусть в задаче (7),(8) фк(х) е Яв.с.т и А/0 Г) <? = 0. Тогда существует единственное решение этой задачи, прнпад.'гяжащее пространству С(т){(Г1,Г2);Яд,о,7Ь протем для решепия ымест место представление

и(1,т) Пв)Фк(х),

4=0

где 0Г1)~ оператор с аналитическими в С? символами и\(1,Ва) — (j^/'*",(г}Lr(í,г}),. Здесь через (■)j обозначена/- компонента вектора.

В 54 доказан двойственный аналог этой теоремы. Предположим, что функции к = 0,1,..., г/г - 1, аналптычны со г в областяг

С = {(г', г„): (-г*, г, € С}. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Пусть в задаче (7),(8)€ п М°п£?' = 0.ТЪ-

гда существует единственное слабое решение этой задачи, принадлежащее. Пространству С(т>[(7\,Т2);#^1С. 7). Кроме того для решения имеет место представление

т-1

«('>*) = Е К№в)Фк(х). *=о

§5 посвящен исследованию замыкаемостп псевдодифференциального оператора А(Од). Здесь приводятся необходимые и достаточные условия замыкаемостп оператора А{Вд) до весовых классов Соболева.

Последний параграф этой главы (§0) посвящен изучению (/,?)- хор-• ректпости граничной задачи (7), (8). Пусть/ € Л1 п? = (<?0,8ь—

/Р. Будем говорить, что оадача (7), (8) явл -тся (/,»)- корректной, ешг дм язобого } ~ 0,...,ш-1, существует функционал

ъ:(£,х), ¡ярннздяежашш ирастрапству С^'КГьТг);^^.^] и удовлетворяющий ¡задаче (7), (8) такой, что

2) гшлет место оцешха

«П-1 <£л , ш-1

4=® ¿=0

Доказывается следующая теорема о (3,3)- корректности.

Таорема 9>о Дпл того, чтобы аадача (7), (8) была (/,3)- кор-р£ктной» Е'Зобходго:о в достаточно, чтобы для всех < ^ [^ьТг], к,] ~ О,ш — 1, -имена место ощеета

где С- положительная константа, не зависящая от функции Рци°{т,1).

Б ©акшочелле автор "заражает нскренюю признательность своему научному рувоиодмтеш» доктору фаз.- мат. наук С.Р.Умарову за по-стоеташе швшагаиг я неоценимую помощь при работе над диссертацией.

Сямсок янублмкадмй по теме диссертации.

1. Назарова М.Х. О краевых задачах для В- эллиптических уравнений с граночным оператором дробного порядка. // Узб. мат. журнал. - 1997. - N 1. - С. 76-83.

2. Умаров С.Р., Назарова М.Х. О слабой корректности некоторых краевых задач, порожденных сингулярным оператором Бесселя. // Узб. мат. журнал. - 1997. - N 8. - С. 63-70.

3. Назарова М.Х. К корректности краевых задач для дифференциал ык>-операторпыхуравнений с граничным оператором дробного порядка.// Докп. АН РУЬ. - 1997. - N 8. - С. 3-6.

Сйпгуляр Вексель оиератор® ча'гшаетаа псеэдоднффаресэдкал теиглар^аяар учуй чегарайкй масаладаарйииг коррек-глета!»

Хулоса

Диссертация икки г'сыдап пбкрат булмб, бприктш вдсида царапин оператор« паср тартибяи булг«н, сккгукгр Бэссель «итератора цатпашгап дифференциал- оиераторли тсЕгяамалар v чуя чегаращщ масалалартшг воррсктздЬшгп ургаиилггн. ÏSsuama ^псмда ссг. спм-аолп пккиламчя -аргуиепта буйича ма. с уелгпсгга зга булгатг, сгнгу-ляр Бегсель оператори дотяашгаи дсевдодиффгрслпиая ?еиглак?лар учун умумпй иолокал «гегарасий масаладаргжнг счша швжуклпга муаммоларп 5'Ргасшлгап-

Днссертацияда олнигап асоспй катшхгздр цугшдшвдардап пборат:

1. Чегаравий оператора каср тартибяи б$'ггаи, спгкгуяяр Еессель оператори цатнашг.ш дифференциал- операторян • тенгявиалар учун чегаравий масалалартюг вапилп Соболев фюоларида ечама мава:удли-лпги на ушшг ягоналигп ксбстлапгая.

2. Чегаравий оператори каср тартпбпи болтан, сцптуляр Бессель оператори ердампда тузилгая дифферевцкаж- оаератврли тентя&ма-лар учун чегаравий масалалартшг кушамча шартско ечияша фало-лари ашцлаиган.

3. Сингуляр Бесселж оператори ёрдаютда туо&игаи зсазвдзй аналитик символга эта бумган псеадодпфферекшггш теагяамаяар учун келсь кал чегаравий масаладар учуй корректив: теорсмаси цсбот ДЕЯНЕгаи.

Carrectroess^?*bouffl<ds®y value ¡proMo-113 for pseudodifferential equaiioaas, generated! fey giba nmgulat Bessel's operator.

Summary

The dissertation consists of two parts. Id the first part we study correct! ss of foauodasy value problems for diffr&oiitial- operator equatious generated by the singular Bess?!'s operator and with boundary operator of fractional ordey." lu".the second pHt of the dissertauuu we cousider correctness of nonlocal bomadary value problems for pseudodifferential equations generated by the singular Dessel's operator. The :uaia ¡reswlls obtained ia tSie dissertatioa are:

L The solvability and uaiq»mcss theorem for boundary value problems with boundary operator of fractional order for differential- operator equations generated by the angular Dessel's operator is proved.

2. The spase of mncoraditioaal solvability of boundary value problems for differential- operator equations generated by the singular Dessel's operator and with boundary operator of fractional order is constracted.

3. The well- posf/ ess theorem for nonlocal boundary value problems for pseudodaflerentiaS equations generated by the singular Besscl's operator that have real analytir symbols in some domain from /?+ is proved.

Подписано в печать 28,(W.98. Формах 60x8* I/I6. 8ак. 615. rap.' 100.

Tm,