Поперечники функциональных классови конечномерных множеств в пространствах со смешанной нормой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

од

1 У МАР РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Математический институт им. В. А. Стеклова

На правах рукописи УДК 517.5

Изаак Александр Давидович

Поперечники функциональных классов

и конечномерных множеств в пространствах со смешанной нормой

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Кашин Борис Сергеевич

Москва 1995

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

Б.С.Кашин

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

В.Н. Темляков

- доктор физико-математических наук Э.М. Галеев

Ведущая организация - Саратовский государственный университет

Защита диссертации состоится а^ ра^- 1996г. в 14 часов на заседании специализированного Ученого Совета Д. 002.38.03 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 117966, Москва, ул. Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан , са- 1996г.

Ученый секретарь

специализированного Совета Д. 002.38.03

доктор физико-математических наук В. А. Ватутин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В работе изучаются поперечники различных конечномерных множеств в пространствах со смешанной нормой и даются приложения конечномерных результатов к вычислению поперечников классов гладких функций нескольких переменных.

Приведем основные определения.

Определение 1. Колмогоровским N-попер ечникомпошяожест-ва V банахова пространства X называется величина

dN(V, X) = inf sup inf ||® - у||x, lN xevycLx

где внешний инфимум берется по всем подпространствам Lдг пространства X, dim!/ту ^ N.

Определение 2. Линейным N-поперечникомподмножества V банахова пространства X называется величина

AN(K,X) = inf sup Ня-ТхН*, т xev

где инфимум берется по всем линейным операторам Т: X —у X, rang Т ^ N.

Исследование порядков поперечников функциональных классов в последние годы являлось одним из центральных направлений в теории аппроксимации. При этом вопрос о нахождении порядков поперечников различных функциональных классов часто сводится к задаче о поперечниках некоторых множеств в конечномерных пространствах.

Так, например, для оценки колмогоровских поперечников соболевских классов в пространствах Ьч используют поперечники 1 ^ N ^ М, и, в частности,

где Вр1 - единичный шар в М-мерном пространстве ¿^ с нормой / м и /р

||х||£м = ^ \хк\Р1 • Точные по порядку оценки последнего поперечника известны при всех значениях р, д, 1 ^ р, д ^ оо, а именно,

справедлива

Теорема А. Пусть 1 ^ р,д < сх>. Тогда

1, если 1 ^ р ^ д 4: 2,

дП/д-1^ если 1 2 ^ оо,

к если 2 ^ р ^ оо или 1 ^ д ^ р ^ оо.

В случае ^ р имеет место точное равенство (Пич [3], Стесин [4])

= = (М - N + 1)1/«,-1/Р

1 < 9 $ р ^ оо.

Случай р ^ д ^ 2 немедленно следует из равенства, полученного С. Б. Стечкиным в [5]

= = - ~)1/2 VI ^ ^ < М.

(0.2)

Остальные случаи доказаны в работах Б.С. Кашина [б], [7].

Отметим также, что к 1983 году были вычислены точные по порядку оценки как колмогоровских ¿н [В^1,^), 1 ^ р ^ д < оо, так и линейных поперечников 1 < р ^ д < оо, при различных значениях 1 < N < М.

Отметим здесь работу Р. С. Исмагилова [10] 1974 года. Наиболее важные результаты в этом направлении были получены Б. С. Каши- . ным в работах [6]-[9]. В них был вычислен точный порядок величин Адг (-В}*, = ¿я {Вх1, при q < оо, а также получены точные в степенной шкале оценки ¿н (В^1, при 1 ^ р ^ 2. Точные по порядку оценки поперечника , найдены А. Ю. Гарнаевым и Е. Д. Глускинымв работе [11].

Уточняя результат Б. С. Калгана [7], Хёллиг [12] получил оценку сверху поперечника А^(В^1, 1/р' = 1 — 1/р < 1/2, которая, однако, была точна не при всех; значениях N и М.

Окончательно задача о порядке величин Л дг (ВрГ и йм (В^1,1™), <7 < оо, была решена в работах Е. Д. Глускина [13], [14].

Для чисел 1 ^ Р1,Р2 ^ оо, п,т € Нв пространстве Кт" введем норму

т. / \р2/р1\1/р2

12 ( 12 ¡я*!1" ) ) . если 1 ^р1,р2 < оо, »=1\кел, / /

\Х\\еп,т — < 1 "4Р1,Р2

\ 1/Р1

тах I |Хкг1 1 , еслирг = оо,

V 1

Е ЫРЧ

где Д3 = {Аг 6 N : (в — 1)п < к ^ зп), я = 1,...,то. Тем самым получим (тгг)-мерное нормированное пространство ¿^ с единичным шаром = {ж : ЦатЦ^п.т ^ 1}. Заметим, что при р\ = ръ = Р

II • Игу;™ = II • ||/т»,1 00.

Итак, задача о поперечниках шаров В

в пространствах можно считать исследованной с достаточной полнотой. В диссертации рассматривается более общая задача о ¿дт (Вр^2, Р2,91 ф 12-Задача об оценках поперечников ¿м [Вр{™2, ) имеет самостоятельный геометрический интерес, однако в последнее время при нахождении порядков поперечников функциональных классов возникла потребность в оценках таких поперечников при различных значениях параметров Р1,Р2><71><?2- Например, в [15], [16] Э.М. Галеевымполучены

оценки колмогоровских поперечников классов Гёльдера-Никольского Нр(Тп) периодических функций нескольких переменных в пространстве Lq при некоторых значениях р, q. Оценки снизу с1м(Нр(Тп), Lq) сводились при этом к оценкам снизу поперечников шаров В™в пространствах Приведем соответствующие теоремы.

Теорема В [15]. Пусть 2 ^ q < оо, l^p^oo. Тогда существует постоянная с = c{q) > 0, что при N ^ стп

Теорема С [16]. Пусть q > 1, N < mn/2. Тогда

М^ЛТ)-™1'4-

Научная новизна. Теоретическая и практическая ценность.

Основные результаты диссертации являются новыми. Диссертация носит теоретический характер. Оценки поперечников конечномерных множеств, привешенные в первых двух параграфах, могут быть использованы при изучении поперечников классических функциональных классов, а также их пересечений. Примеры такого использования приведены в третьем параграфе.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре под руководством Б. С. Кашина в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН (1993-1995 г.г.), на VII Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (январь-февраль 1994 г.), на Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (апрель-май 1995 г.) и на VIII Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (январь-февраль 1996 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [А1]-[АЗ], приведенных в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех параграфов и списка литературы. Объем текста работы составляет 56 страниц. Список литературы включает 32 названия.

Содержание работы

Первые два параграфа диссертации посвящены изучению поперечников конечномерных множеств.

В ряде случаев задача о поперечниках йдг (Вр{™2, легк0 сво"

дится к теореме А (когда pi = р2, Ч\ — <72)- Несколько примеров подобного сведения приведено в § 1 (предложения 1-4).

В теореме С оставался нерассмотренным случай q = 1, которому посвящен п. 1.2 первого параграфа. Задача о порядках колмогоровских поперечников множества Z?"'^ в пространстве ¿^ 'i™ не решена окончательно, однако нами получена следующая

Теорема 1. Пусть N ^ тп/2. Тогда

mybglogm , n,m n,mv , .

—ь^— ^ N ^ i'00' 2Д ^ ' ( '

где с > 0 - абсолютная постоянная.

Нижняя оценка в (0.3) отличается от верхней на множитель

logm

■v/loglog

т

(0.4)

В третьем пункте первого параграфа изучается более общая ситуация. Мы исследуем поперечники с?/у (£" , 'хт), где т' и п', т'п' = тп, - произвольные натуральные числа.

Теорема 2. Пусть N < тп/2, тп'п' = т.п. Тогда

i) если т! ^ т, то

т ^ л /п"'.™1 цП,т\ ^ /

01 Лд Km>

где Ci > 0 - абсолютная постоянная;

ii) если тп ^ т' < comlogm, mo

<ЛТ) * ')1/2-

где С2 = 02(00) > О - некоторая постоянная;

iii) если т' ^ com log m, mo

ез(^)1/2 < М^Г'^'Г) < {mm')1/2,

где сз = сз(со) > 0 - некоторая постоянная.

Здесь мы используем известный вероятностный результат (теорема Н), который в случае т' = т> п' = п позволяет получить лишь оценку (замечание 3)

dN (В?£,е2П;Г) » ¡^ , 1 ^ N < тп/2, (0.3')

более грубую, чем (0.3).

Однако в случае т' х т log та верхняя и нижняя оценки соответствующих поперечников отличаются на множитель

\Zlogm (0.5)

(см. следствие 2), ср. (0.4).

Обозначим через V™ множества, являющиеся выпуклой оболочкой в К" точек, укоторых к любых координат равны±1, а остальные-нулю. Приведем известные результаты о колмогоровских поперечниках этих множеств в пространстве ££.

Теорема Б. Пусть N < п/2, 1 ^ к ^ п. Тогда

если 1 ^ д ^ 2, » т1п{к1/с1,п1/ч{к1Щх'2}, если 2 ^ д < оо.

Доказательство теоремы Б содержится в работах Е.Д. Глуски-на [13], [17], [18]. Частные случаи этой теоремы рассматривались также Э. М. Галеевым [19], [20]. Множества V™ используются при оценках снизу поперечников конечномерных множеств и функциональных классов (см. [13], [16], [18], [20]).

Множества Б"'™ можно рассматривать как произведения то множеств V™:

I?™'™ = У" х ■ • • х V". Обобщением этих множеств являются множества

Как отмечено Э. М. Галеевым в [21], множества появляются, например, при дискретизации задач об оценке снизу поперечников пересечения классов Гёльдера-Никольского Н£(Тп) периодических функций нескольких переменных.

В работе [21] Э. М. Галеевым определяется порядок Колмогоровой« поперечников в пространстве для 1 < <71 ^ тт{д2,2}, 1 <

52 ^ оо и (71 = 2,1 < Ц2 ^ оо, а именно, доказывается.

Теорема е. Пусть N ^ тп/2, 1 < 52 < оо, 1 ^ к ^ п. Тогда при 51 = 2 или 1 < <л ^ тт{д2,2} •

Для случая <71 = 2, г/2 > 1 теорема Е была анонсирована Э.М. Га-леевым на VII Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (январь-февраль 1994 г.). Там же им было обращено внимание на то, что случай = 2, q■2 — 1 остается открытым.

В § 2 нами доказывается следующая

теорема 3. Пусть N ^ тп/2. Тогда для любого к, сок^т ^ к ^ п, со > 0, выполняются следующие неравенства:

где C4 = С4(со) > 0 - некоторая постоянная.

Зазор между верхней и нижней оценками величин c/jv (Vj?'™, ^2,1") при k log т здесь получается равный \/log km (ср. (0.4), (0.5)).

Третий параграф посвящен изучению линейных поперечников классов Гёльдера-Никольского Нр(Тп) периодических функций нескольких переменных с доминирующей смешанной производной.

Для того чтобы определить класс введем некоторые обозначения.

Пусть Г" = (—77,7г] "-n-мерный тор, реализованный в виде произведения п полуинтервалов (-7Г, 7г]. Как обычно, Lp = Lp(Tn),l ^ р sj оо, - пространство функций x(t) = x(ii,..., tn), периодических по каждой переменной с периодом 2тг таких, что норма ||х( • )\\lp конечна.

Будем рассматривать функции с нулевыми средними по всем аргументам, т.е. функции, коэффициенты Фурье которых, имеющие хотя бы один нулевой индекс, равны нулю:

x(t) = £ хье'М, k€Zn

о

где := {А = (Ах,..., А„) € | Ал- ^ О, У = 1,... ,п}, Ъп -п-мерная

п

целочисленная решетка, (А, := ^ к^^.

.7=1

Для таких функций а;( ■) и вектора г = (гх,..., гп) £ Жп введем операцию дробного дифференцирования по формуле

®(р)(0 = £ хк{%к)те*к*\

где (гА)г = (гАх)7^ ■ ■ ■ (г'Ап)г», (г^р = , ] =

1 ,...,п. Каждому вектору й = («х,..., вп) £ сопоставим множест-

о

во 7Г3 С по следующему правилу:

тг, = {А е Ь I г'*"1 < |Ад| < 2'>, з = 1,...,7»}.

Тогда

= £ хке*к-*> = £

где 8,х{*) = хке*(к>4

Лля вектора г £ Е™ и числа р, 1 ^ р ^ оо, определим класс Гёльде-ра-Никольского следующим образом:

н; = Щ{Тп) = {*(■) : ||х( • )\\Нг = вир \\6ах^{ • )||р ^ 1}.

а

В работе [22] Э. М. Галеевым изучаются линейные поперечники этих классов в метрике пространства Ьч. В частности, там доказана

Теорема F. Пусть г е Жп, 0 < тг = - • • = ri+1 < rl+2 < • • • < rn, 1 < р, q < оо. Тогда

1) при l/p+1/q < 1, р ^2, Г! > 1 - l/q

/W' дг\п-1/2+1/ч

а"Г*г) l0g'/?iV

Лп<гг АГ\п-1/2+1/?

« XN(H;(Tn),Lq) « (^-j logJV,

2) при 2 < р < q, r\ > 1/р- l/q 'log1 ЛЛ

алг

jv ;

/W' ЛГ\ г1-1/Р+1/?

<£\N(HTv(Tn),Lq) « (^^^J log'/'JV,

Vloglog log A'

zde адг = —-—5--— .

log log N

Оценки снизу получены Э. M. Галеевым в [22] с помощью сведения задачи к оценке поперечника d^ {В™п, ¿2'™), после чего Галеев использовал такое следствие из теоремы 1 (приведенное в § 1 настоящей работы):

Следствие 1. Пусть N < mn/2, 1 < р < 2. Тогда

т1

-1/pv/loglogm <<: ^ <<с ш1_1/р

log 771 4 ' ' '

В третьем параграфе, с испо ль з ос а; тем теоремы 2 из § 1, нами получена (теорема 4) более точная оценка снизу величины с/дг (В™п, £2'™) '■

т1—1/р

» (1 )1/р , ЛГ ^ тпп/2, п » 1о8т, 1 < р < 2,

которая, в свою очередь, позволяет несколько улучшить оценки снизу в теореме Р:

Теорема 5. Пусть г е Кп, 0 < ri = • • • = rl+1 < гг+2 ^ • • • ^ гп, 1 < p,q < со. Тогда

i) при 1/р+ Ijq < 1, р ^ 2

Пае1 ЛГ\ п-1/2+1 /?

ii) при 2 ^.p < q

(\nrr1 M\ n-i/p+i/9 \N(H;(Tn),Lq) » /?(iV) (-^J \ogl/gN,

где /3(ЛГ) = (к^к^ЛО1/'"1.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Б. С. Кашину за большое внимание к работе.

Печатные работы автора по теме диссертации

А1. Изаак А. Д. Поперечники по Колмогорову в конечномерных пространствах со смешанной нормой // Математические заметки. 1994. Т. 55. Xе 1. С. 43-52.

А2. Изаак А. Д. Поперечники конечномерных множеств в пространствах со смешанной нормой // Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (апрель-май 1995 г.). Тезисы докладов. М.: Изд-во ПАИМС, 1995. С. 137-138. АЗ. Изаак А. Д. Поперечники классов Гёльдера-Нйкольского и конечномерных множеств в пространствах со смешанной нормой // Математические заметки. 1996. Т. 59. №3. С. 459-461.

Литература

1. Kolmogorov A.N. Uber die beste Annäherung von Functionen einer gegebenen Functionklasse // Ann. Math. 1936. V. 37. P. 107-110.

2. Тихомиров В. M. Поперечники множеств в функциональном пространстве и теория наилучших приближений // УМН. 1960. Т. 15. №3. С. 81-120.

3. Pietsch A. s-numbers of operators in Bariach spaces // StudiaMath. 1974. V. 51. P. 201-223.

4. СтЕСИН M. И. Александровские поперечники конечномерных множеств и классов гладких функций Ц ДАН СССР. 1975. Т. 220. №6. С. 1278-1281.

5. СтЕЧКИН С. Б. О наилучших приближениях заданных классов функций любыми полиномами // УМН. 1954. Т. 9. №1. С. 133-134.

6. Кашин B.C. Колмогоровские поперечники октаэдра // ДАН СССР. 1974. Т. 214. С. 1024-1026.

7. Кашин Б.С. О поперечниках октаэдров // УМН. 1975. Т. 30. №4. С. 251-252.

8. Кашин Б. С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1977. Т. 41. №2. С. 334-351.

9. Кашин Б. С. О некоторых свойствах матриц ограниченных операторов из пространства £2 в // Изв. АН Арм.ССР. Матем. 1980. Т. XV. №5. С. 379-394.

10. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими полиномами / / УМН. 1974. Т. 29. №3. С. 161-178.

11. Гарнаев А.Ю., Глускин Е. Д. Поперечники евклидова шара // ДАН СССР. 1980. Т. 30. С. 200-204.

12. HÖLL1G К. Approximationzahlen von Sobolev-Einbettungen // Math. Ann. 1979. V. 242. №3. P. 273-281.

13. Глускин е. Д. О некоторых конечномерных задачах теории поперечников // Вестник ЛГУ. 1981. №13. С. 5-10.

14. Глускин Е. Д. Нормы случайных матриц и поперечники конечномерных множеств // Магем. сб. 1983. №2. С. 180-189.

15. Галеев Э.М. Оценки колмогоровских поперечников классов Нр периодических функций многих переменных малой гладкости / / Теория функций и ее приложения / рея. П. Л. Ульянов. М.: Иэя-во МГУ, 1986. С. 17-24.

16. Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову классов периодических функций одной и нескольких переменных // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54. №2. С. 418-430.

17. Глускин Е. Д. Пересечения куба с октаэдром плою аппроксимируются подпространствами малой размерности / / Приближение функций специальными классами операторов. Архангельск, 1987.

18. Глускин Е. Д. Геометрические характеристики операторов в симметричных пространствах // Дис. ... канд. физ.-матем. наук. Л., 1981.

19. Галеев Э. М. Некоторые оценки поперечников пересечения классов функций // УМН. 1982. Т. 37. №6. С. 153-154.

20. Галеев Э. М. Поперечники по Колмогорову пересечения классов периодических функций и конечномерных множеств // Магем. заметки. 1981. Т. 29. №5. С. 749-760.

21. Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову некоторых конечномерных множеств в смешанной норме // Матем. заметки. 1995. Т. 58. №1. С. 144-148.

22. Галеев Э. М. Линейные поперечники классов Гёлцдера-Никольского периодических функций многих переменных // Матем. заметки. 1996. Т. 59. №2. С. 189-199.