Информационный колмогоровский поперечник и приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.982.256

Скориков Евгений Михайлович

ИНФОРМАЦИОННЫЙ КОЛМОГОРОВСКИЙ ПОПЕРЕЧНИК И ПРИЛОЖЕНИЯ.

Специальность 01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель; доктор физ и ком ате магических наук,

профессор И.Г. Царьков

Официальные оппоненты; доктор физико-математических наук,

профессор Г. Г. Магарил-Ильиев

кандидат физико-математических наук, A.C. Кочуров

Ведущая организация: Институт математики и механики

Уральского отделения РАН.

Защита диссертации состоится 19 октября 2007 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501,001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2. Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механ и ко- математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 19 сентября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001,85 в МГУ, доктор физико-математических наук, : /

П

профессор Си )) ■ *? ^ Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации изучается новая аппроксима-ционная характеристика множеств - информационный колмогоровский поперечник В ней вычисляются порядки убывания этого поперечника для многомерных классов Соболева и их конечных пересечений, а также исследуется проблема устойчивости решения задачи Дирихле для нелинейного уравнения Пуассона

Различные виды поперечников и копоперечников, являющиеся важными характеристиками множеств в нормированных пространствах, стали возникать и исследоваться по мере развития все более совершенных методов вычисления Как известно, для работы большинства вычислительных алгоритмов часть их исходных данных должна быть, в силу невозможности точного представления, заменена некоторыми "приближенными" данными Кроме того, и сами исходные данные могут содержать ошибку, возникающую при измерении Результатом работы алгоритма являются значения, "аппроксимирующие" или "восстанавливающие" истинные с определенной степенью точности Поэтому вопрос об удовлетворительной замене множества данных и множества результатов является одной из первых проблем, встающих на пути решения вычислительной задачи Для изучения этой проблемы оказались существенными понятия поперечника и копоперечника Фактически первые поперечники были определены Урысоном ПС 1 , Александровым П.С 2 и Колмогоровым А Н 3 , и известны сейчас, как поперечники по Урысону, Александрову и Колмогорову

Проблему аппроксимации множества решений некоторых задач математической физики иногда удается свести к вычислению поперечников классов Соболева и их аналогов

Определение А. При г € N, в случае одной переменной, классом Соболева Wp[0,1] называют множество г - 1 непрерывно-дифференцируемых функций /, у которых производная порядка г — 1 абсолютно-непрерывна и выполнено условие

ll/(r)IUf[0,i] < 1

1 Урысон П С Труды по топологии и другим областям математики — М ГИТТЛ, 1952, т 1

2 Александров П С Uber die Unsohnsche kostsanten, — Fund Math V20(1933) p 140-150

3Колмогоров А H Uber die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen

Funktionenklasse —Ann of math 1936 v37 p 107-110

Аналогично определяется периодический класс Соболева Wp(Т) (вместо отрезка [0,1] рассматривается одномерный тор Т)

Первый результат, касающийся вычисления колмогоровских поперечников dn(Wp, Lq) был получен в тридцатых годах 20-го века 4 , для поперечника dn(W"¿(Т1),!^'!'1)) одномерного периодического класса Соболева

В шестидесятых годах прошлого века были подсчитаны точные значения колмогоровских поперечников некоторых одномерных периодических и непериодических классов Соболева, и конечномерных множеств Эта задача исследовалась Тихомировым В М , Стечкиным С В , Рудиным У и многими другими авторами Но к сожалению, точное значение поперечника по Колмогорову удалось вычислить только при некоторых значениях параметров р и q, и, в связи с этим, возникла задача о вычислении асимптотического поведения колмогоровских поперечников Для случая функций одной переменной асимптотика поперечника по Колмогорову ^(П^Т1)), в случае rp > 1, была вычислена в семидесятых годах прошлого века В работах Тихомирова В М , 5 •6 Бабаджанова С Б и Тихомирова В М 7 , Маковоза Ю И 8 найден порядок поперечника при р > q, при 2 > q > р порядок был получен Исмагиловым PC 9 , а в остальных случаях Кашиным B.C. 10

В многомерном случае порядки убывания колмогоровских поперечников исследовались в работах Вабенко К И 11 , Митягина ВС12,

4 Колмогоров А Н Uber die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Rmktionenkiasse — Ann of math 1936 v 37 p 107-110

5 Тихомиров В M Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория приближений - УМН, XV, вып 3 (1960),81-120

6 Тихомиров ВМ "Некоторые вопросы теории приближения" Дисс доктфиз-матнаук — М ,1969

7 Бабаджаное СБ, Тихомиров ВМ О поперечнике одного класса в пространстве L", — Изв АН Узб ССР Сер физ -матем ,2 (1967),24-30

*Маковол Ю И Об одном приеме оценки снизу поперечников множеств в банаховом пространстве - Матсб , 87 (129), №1 (1972), 136-146

9Исмагилов PC Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими многочленами — УМН XXIX,вып 3 (1974), 161178

10 Кати» Б С Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций - Изв АН СССР Сер мат 1977, 41, № 2 ,стр 334-351

11 Вабенко К И О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими полиномами — Докл АН СССР, 1960, т 132, № 5, с 982-985

12Митягин В С Приближение функций в пространствах V и С на торе — Матем сб , 1962, т 58, №4, с 397-414

Никольской НС13, Темлякова В Н 14' 15' 16 и Галеева Э М 17>18■ 19 Для конечных пересечений классов Соболева порядки убывания колмогоровского поперечника были получены Галеевым Э М 19, при некоторых соотношениях на параметры

Порядки убывания александровских поперечников были получены Стесиным МИ20 Эти поперечники среди задач об оценках поперечников играют важную роль эталона, с которым, в первую очередь, сравниваются все остальные поперечники Поведение линейных, бернштейновских, проекционных, ортопроекционных, энтропийных и пр поперечников исследовалось в работах Тихомирова В М , Майорова В Е , Глускина Е.Д , Царькова И Г и многих других авторов.

Появление различных поперечников было вызвано расширяющимся классом задач, возникающих, как в самой теории приближения, так и в ее приложениях Например, так появились абсолютные поперечники 21,22 , порядки убывания которых для конечномерных множеств (точные в степенной шкале) были получены Глускиным Е Д 23 , а для некоторых некоторых функциональных классов Кочуровым А С 24 Другой пример связан с работами Витушкина А Г 25', Темлякова В

13Никольская Н С Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lp — Докл АН СССР, 1973, т 16, №4, с 761-780

14 Темляков В Н О приближении периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной разностью — Докл АН СССР, 1980, т 253, ДО 3, с 544-548

ls Темляков В Н Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных — Докл АН СССР, 1982, т 267, ДО 3, с 314-317

16 Темляков В Н Приближение функций с ограниченной смешанной разностью тригонометрическими полиномами и поперечники некоторых классов функций — Изв АН СССР Сер матем , 1982, т 46, № 1, с 171-186

17 Голеее Э М Приближение некоторых классов периодических функций многих переменных суммами Фурье в метрике £, —Успехи матем наук, 1977, т 32, в 4, 251-252

18Галеев В Ы Приближение суммами Фурье класса функций с несколькими ограниченными производыми —Матем заметки, 1978, т 22, в 2, 197-211

19 Голеее Э М Поперечники по Колмогорову классов периодических функций многих переменных и Щ в пространстве ¿, —Изв АН СССР Сер матем т49 №5,1985,916-934

20 Стесик U И Александровские поперечники множеств и классов гладких функций — Докл АН СССР, 1975, т 220, №6, с 1278-1281

21 Витушкик А Г Абсолютная £-энтропия метрических пространств —ДАН СССР 117 №5 1957 с 745-748

22Исмагилов PC Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими полиномами — УМН 1974 Т 29 №3 с 161-178

23Глускип БД Об оценках снизу поперечников некоторых конечномерных множеств — УМН 1974 Т 36 Вьш 2 с 179-180

2iKochurov A S, Tikhomirov V М About the definition of the notion width — East journal on approximation, v 1,№2, 1995, p 221-230

25 Витушкип А Г Некоторые оценки в теории табулирования —ДАН СССР 114 1957 с 923-

Н 26 , в которых были даны обобщения колмогоровского поперечника Появление этих обобщений было связано с новым методом аппроксимации — те-членным приближением Еще одно обобщение колмогоровского поперечника, связанное с необходимостью аппроксимации некомпактных классов функций, возникло в работах Магарил-Ильяева ГГ 27

Для задач аппроксимации решений нелинейных дифференциальных уравнений оказался полезным гельфандовский поперечник Его применение естественно возникло при исследовании асимптотического поведения бесконечномерных диссипативных динамических систем Во многих случаях задача определения асимптотического поведения системы оказывается некорректно поставленной, в связи с этим важным является вопрос об отыскании минимальных (или близких к минимальным) множеств естественных параметров задачи, которые однозначно и устойчиво определяют асимптотическое поведение системы Впервые данный вопрос рассматривался для двумерной системы Навье-Стокса в работах Фоиаса С , Проди Г 28 и Ладыженской О А 29, где было показано, что асимптотическое поведение решений полностью определяются динамикой первых N мод Фурье, если N достаточно велико После этих работ подобные результаты были получены для других параметров и уравнений В работе Чуешова ИД30 была развита теория исследования некоторого класса бесконечномерных диссипативных динамических систем в терминах "определяющих" функционалов, являющихся искомыми параметрами, определяющими асимптотическое поведение решения При этом большое значение для выбора функционалов приобретает значение гельфандовского поперечника некоторого вспомогательного множества

Существование конечного числа функционалов, определяющих асимптотическое поведение решения, привело к исследованию некото-

926

26 Темляков В H Нелинейные поперечники по Колмогорову — Матем заметки, 1998, т 63, в 6, с 891-902

27Магаргш-Ильлев Г Г Средняя размерность, поперечники и оптимальное восстановление классов Соболева на действительной прямой — Мат сборник 182,11(1991), с 1635-1656

2sFotas С, Prodt G Sur le comportement global des solutions non stationnaires des equations de Navier-Stokes en dimension deux — Rend Sem Mat Umv Padova, 1967,V 39, p 1-34

Ладыженская О A О динамической системе, порождаемой уравнениями Навье-Стокса — Зал научн семин ЛОМИ 1972 Т27 с 91-115 1967,V 39, р 1-34

30 Чуешов И Д Теория функционалов, однозначно определяющих асимптотическую динамику бесконечномерных диссипативных систем — УМН, 1998, т 53, в 4, с 77-124

рых некорректных задач в теории нелинейных уравнений в частных производных аналогичными методами Царьковым И Г 31 показано, что решение задачи

{Ащ(х) -F(us)(x) = tp(x) + 5<p(x), щ аа(ж) = х G сЮ,

(где Sip - некоторое возмущение, вносимое погрешностью измерения правой части, Octf - компактная область с гладкой границей) при определенных условиях на функцию F (которые, вообще говоря, не обеспечивают ни единственность, ни существование решения задачи) полностью определяется значением us на некоторой конечной сетке Более того, когда значения us на сетке известны, то решение оказывается устойчивым по отношению к погрешностям Sip Естественным образом возникает вопрос об аналогах теоремы Царькова И Г для случая произвольных функционалов

Данная работа посвящена изучению нового поперечника - информационного колмогоровского, соединяющего в себе свойства гельфандовс-кого и колмогоровского поперечников Этот поперечник возникает при решении задачи аппроксимации с учетом дополнительной информации о приближаемом объекте и является удобным инструментом при решении обозначенных выше задач

Актуальность данной темы определяется еще и тем, что теория поперечников находит все более широкое применение в смежных разделах математики, таких как вычислительная математика, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория уравнений в частных производных и др

Цель работы. Исследовать поведение информационного колмогоровского поперечника в зависимости от его параметров Установить соотношения между информационным колмогоровским поперечником и известными классическими поперечниками Найти порядки убывания информационного колмогоровского поперечника одномерных и многомерных классов Соболева Исследовать задачу устойчивого восстановления решения задачи Дирихле нелинейного уравнения Пуассона

Методы исследований. В работе использованы не только классические методы теории приближения классов функций, общей топо-

31 Царьков ИГ Устойчивость однозначной разрешимости в некорректной задаче Дирихле — Матем заметки, 2006 т29, в 2, с 294-308

логии и теории банаховых пространств, но также развиты новые и современные методы теории поперечников, в частности, геометрический метод получения неравенств между поперечниками

Научная новизна. Главные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

1 Получены неравенства между информационным колмогоровским поперечником и линейным, колмогоровским, гельфандовским, бернштейновким, александровским поперечниками Доказана справедливость аналогов аддитивного и мультипликативного неравенств для информационного колмогоровского поперечника

2 Получены порядки убывания информационного колмогоровского поперечника конечных пересечений классов Соболева сРт(Щ,ьч(Т*)) ( О), Р.), Ч - векторы), в случае 1 < q < р, < оо, когда параметры пит независимо стремятся к бесконечности, а так же в случае 1 < q, < оо, когда параметр п равен параметру т и стремится к бесконечности

3 Установлено, что оценка устойчивости решения задачи Дирихле для нелинейного уравнения Пуассона тесно связана с вычислением информационного колмогоровского поперечника

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер и является вкладом в теорию приближения классов функций Полученные результаты могут найти применение в вычислительной математике, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории уравнений в частных производных

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством академика

П Л Ульянова |, д ф -м н , профессора М.К Потапова, д ф -м н , профессора М И Дьяченко, д ф -м н , профессора В А Скворцова и д ф -м н , профессора Т П Лукашенко в 2006 г, на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством чл -корр РАН, проф Б С Кашина и проф С В Конягина в 2005 г, семинаре по теории вариационного исчисления и оптимального управления под руководством д ф -м н , проф В М Тихомирова в 2006 г, неоднократно на семинарах по теории приближения под руководством д ф -м н , про-

фессора И Г Царькова, в 2003 — 2007 г, а также на международных школах по теории функций им С Б Стечкина (Миасс 2003, 2004, 2006) Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, список которых приведен в конце автореферата Работ, написанных в соавторстве, нет

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 47 наименований Общий объем диссертации составляет 73 страницы (из них 69 страниц — текст диссертации и 4 страницы — список литературы)

Краткое содержание диссертации

Во введении содержится обзор исследований по тематике диссертации, приводятся определения основных используемых понятий, непосредственно связанных с темой диссертации Вводится понятие информационного колмогоровского поперечника

Определение. Колмогоровским поперечником множества М в банаховом пространстве X называется

dm{M,X)= mf sup inf \\f-tp-a\\x, tmCA, a€X м tp€Lm

где infLmcx берется по всем подпространствам из X размерности ш Определение. Информационным колмогоровским поперечником множества М в банаховом пространстве X назовем величину

X) = mf sup dn{M П (Vn + b),X), v" hex

где inf у» - берется по всем подпространствам коразмерности n Также определяются вспомогательные величины

dnm(M,X)^rnidm(MnVn,X)!

d%n(M, X) mf sup inf sup mf II f — <p — a||x V",Lm b&x ae* f£MC\(Vn+b)

Первая глава состоит из пяти параграфов В ней устанавливаются неравенства, связывающие линейный, александровский, колмогоров-ский, гельфандовский, бернштейновский поперечники и информационный колмогоровский поперечник Доказываются ряд теорем технического характера, которые используются в последующих главах

В § 1.1 доказано, что поперечник по Бернштейну оценивает информационный колмогоровский поперечник снизу, а линейный поперечник сверху Устанавливается, что для выпуклых, центрально-симметричных относительно нуля множеств величины X) и d^(M,X) совпадают по порядку

Также показывается, что александровский поперечник оценивает снизу информационный колмогоровский поперечник для широкого класса множеств

Пусть Cornpm(X) - класс всех компактов из X топологической размерности не выше т, a C(U, V) - класс всех непрерывных отображений из метрического пространства U в метрическое пространство V

Определение. Александровским поперечником множества М в банаховом пространстве X называется

ат(М, X) = ш£ sup \\х - д(х) ||х

NeCompm(X), <peC(X,N)xeM

Теорема 1 8. Пусть М С X - замкнуто, ограниченно Тогда ап+т(М,Х)

В §1.2 получены оценки сверху линейного, проекционного, гель-фандовского поперечников через колмогоровский поперечник, умноженный на некоторую величину, которая выражается в терминах проекционной константы пространства (проекционные константы классических пространств вычислены в 32 ) Показана точность доказанного неравенства на классе всех выпуклых, центрально - симметричных множеств

В §1.3 устанавливаются соотношения двойственности для информационного колмогоровского поперечника

§ 1.4 посвящен изучению аддитивного и мультипликативного неравенства для информационного колмогоровского поперечника Приведен пример, показывающий, что

+ X) К <C(Mi,X) + С2(М2,X),

вообще говоря, не справедливо Однако, если множества М\ и Мч оказываются в подпространствах Ln размерности N и VN коразмерности N, для которых Ln © VN = X, то неравенство выполнено

32НКотд, D R Lews,Р К Lin Finite dimensional projection constants — Studia Math 75(1983), p 341-358 1983

§ 1.5 посвящен изучению проекционных свойств экстремальных подпространств, для колмогоровского поперечника

Во второй главе вычисляются порядки убывания информационного колмогоровского поперечника классов Соболева.

В §2.1 устанавливаются правильные порядки убывания информационного колмогоровского поперечника конечномерных шаров, что используется в следующем параграфе

§ 2.2 посвящен вычислению порядков убывания информационного колмогоровского поперечника классов в пространствах Lq(Tn)

Обозначим Lp - пространство функций с нулевым средним по всем аргументам, состоящее из функций х £ Lp('Р1)

п

«(*) ~ £ хке<к>*\ где W = {* € Z" . f 0}, fcez»

Xk - коэффициенты Фурье для х Для вектора а £ Ж" на пространстве Lp введем формально операцию дробного дифференцирования по формуле

п

х{а) ü -sp £[(»*, W' =1 к3 I"'

kez»3=1

(сходимость ряда понимается в смысле Lp - сходимости)

Определение. Для векторов а, р £ К", 1 ^ р3 < оо, j — 1, , п, классом Соболева называется множество функций из ¿p(Tn)

К = Ы)еЦ 11®(о)11Р^1}

Для конечного набора р = {р1, ,рга} С М", 1 < рг < оо,г = 1, , m и а = {а1, , ат} с Ж™ определим класс

Щ = n

Обозначим % = (0, +оо)"

Теорема 2.13. Пусть q,pr,ar £ Rn 1 < q < pr < оо, г = 1, , rn, А - выпуклая оболочка {а1, . , ат} Тогда

({N + К)'1 log1 {N + K))^, при 9

где М - значение, а I - размерность множества решений задачи (s, 1) sup, (s, ar) < 1, г = 1, ,то

Теорема 2.14. Пусть q,pr,ar е I" 1 < q, рг < оо, г = 1, .,т, А - выпуклая оболочка {а1, ,о:т} Тогда

(AT-Mog^)®, при (.А — 1) П К™ ф 0,

где М - значение, a Z - размерность множества решений задачи (s, 1) -4 sup, (s,ar)<l, г = 1, ,m

Таким образом в случае большой гладкости порядки убывания поперечников an(Wg, L^T1)) и d%(Wg,Lq(Т1)) совпали

В третьей главе исследуются некоторые приложения поперечника по Гельфанду и информационного колмогоровского поперечника к задаче устойчивости решения задачи Дирихле для нелинейных уравнений Пуассона

Пусть О с tf - открытая, ограниченная связная область с С°° -гладкой границей, 1 < р < оо Рассмотрим множество уравнений

где <£>(•) е Lp(Cl), -r(-) е Lp(dCl), Stp, St - некоторые возмущения, вносимое погрешностью измерения <£>(•) и т() Обозначим X = LP(Q) Решения уравнения ищутся в пространстве W^iQ) Предполагаем, что для Stp = 0, St = 0 существует решение щ(х) £

Возмущения Sip и St рассматриваются в банаховых пространствах Ф(£2) и T(dQ) соответственно

Обозначим через Qv - множество решений задач [*], получающееся при всевозможных вариациях прогрешностей, подчиненных условию ||<М1ф + ||<5г||г ^ т], где параметр rj отвечает за точность измерения

Для некоторого подпространства V" = П™=1 ker < , у\ >, с выбранным двойственным базисом Y = {yl}, для произвольного вектора х € X, через < x,Y > мы будем обозначать вектор из R™ с координатами < х, Y >*>=< х, у*к >

Наша задача состоит в приближенном восстановлении решения из Qn по дополнительной информации, заданной неточно Для этого рассмотрим множество

Ащ(х) - F(ug)(x) = ip(x) + Sip(x), х е О, щ (х) = т(х) + 5г(ж), гбЭй

Q(v, rj, Y) - {щ 6 Qn, <щ- и0, Y >= v}, 10

где вектор v € ! Пусть

W° ={и»| Зм 6 (0,1] = + щ,

- F(ui>) - ф р, ||ш ||r<l},

¿742 J

Wl =Lin< w\ Д(ги + «о) - F(w + u0) = cp} w ==o[

v I9SI J

Обозначим

W = J( U

eer-1,1]

Через < W, У > будем обозначать множество

< W, Y >= {< u,Y > ueW},

diam(W, X) - диаметр множества W

Устанавливается теорема, показывающая, что задача приближенного восстановления решения по значениям нескольких линейных непрерывных функционалов связана с задачей вычисления информационного колмогоровского поперечника множества W Теорема 3 6. Пусть

d%l(W,X)< ос, diam(W,X) < оо,

тогда для произвольного 7 > О

mf sup dm(Q(v, V, Y),X) < (W,X) + 7diam(W,X), vn veR" p<W,Y>(V)^J

где p<w,Y>{) R™ К - функция Минковского множества < W, Y > (Неравенства в утверждении теоремы не зависят от выбора двойственного базиса Y)

Одна из сложностей применения теоремы 3 6 заключается в том, что величина p<wy>{v) уменьшается при "раздутии" множества W, именно

WtCWz => P<W2,Y>(V) ^P<Wr,Y>(v)

Эту сложность преодолевает следующее утверждение Теорема 3.7. Пусть

d^(W,X)< 00, 11

тогда для произвольного г) > О

mf sup dm+1(Q(v, tj, У), X) ^ X)

vn иеж"

Автор выражает благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору И Г Царькову за плодотворные обсуждения поставленных задач и постоянную поддержку

Работы автора по теме диссертации

1. Скориков Е М "Информационный колмогоровский поперечник и некоторые точные неравенства между поперечниками "// Изв РАН, Сер матем 2007, т 71 №3, с 173-196

2 Скориков Е М "Информационный колмогоровский поперечник для пересечения соболевских классов "// Матем заметки, т 80, вып 4, 2006, стр 638-640

3 Скориков ЕМ "Информационный колмогоровский поперечник классов функций с несколькими ограниченными производными "// Тезисы докладов международной конференции по функциональным пространствам, теории приближений, нелинейному анализу, Москва, 2005 с 195-196

4 Скориков Е М "Вычисление интерполяционного колмогоровско-го поперечника в гильбертовом пространстве "// Труды участников международной школы по геометрии и анализу Абрау-Дюрсо, 2002 с 135

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж | СО экз. Заказ № 2 7

Введение

1 Неравенства между поперечниками

1.1 Оценки информационных колмогоровских поперечников.

1.2 Некоторые точные неравенства между поперечниками.

1.3 Порядковые оценки и двойственность.

1.4 Мультипликативные и аддитивные неравенства.

1.5 Некоторые свойства экстремальных подпространств.

2 Порядковые оценки поперечников.

2.1 Порядки информационных колмогоровских поперечников конечномерных шаров.

2.2 Порядки информационных колмогоровских поперечников функциональных классов.

Различные виды поперечников и копоперечников, являющиеся важными характеристиками множеств в нормированных пространствах, стали возникать и исследоваться по мере развития все более совершенных средств вычисления и появления задач о создании оптимальных средств вычисления. Как известно, для работы большинства вычислительных алгоритмов часть их исходных данных должна быть, в силу невозможности точного представления заменена некоторыми "приближенными" данными. Кроме того, исходные данные могут быть заданы с ошибкой, возникающей при измерении. Результатом работы алгоритма являются значения "аппроксимирующие" или "восстанавливающие" истинные с определенной степенью точности. Поэтому вопрос об удовлетворительной замене множества данных и множества результатов является одной из первых проблем, встающих на пути решения вычислительной задачи. Для изучения этой проблемы оказались существенными понятия поперечника и копоперечника. Исторически первые поперечники были определены Урысоном П.С.(по сути дела, как потом это стало ясно - копоперечники) [39]), Александровым П.С. [1](александровские поперечники) и Колмогоровым А.Н.[17] (колмогоровские поперечники).

В дальнейшем особые требования, предъявляемые при решении той или иной задачи, привели к введению и активному изучению этих и других поперечников, различающихся прежде всего способом аппроксимации, кодирования данных и учетом погрешности. Задача аппроксимации, в общем случае, состоит в том, что после выбора совокупности объектов Е, используемых для аппроксимации (например, конечные множества, конечномерные пространства, конечномерные компакты) и совокупности 0, используемых для аппроксимации отображений (всевозможных, линейных, непрерывных), нужно указать наилучшие или в определенном смысле удовлетворительные (р е в и X 6 Е, для которых замена исходного множества при помощи пары (<р, X) отвечает требованиям вычислительной задачи. При этом большое значение для выбора того или иного алгоритма приобретает величина получающегося поперечника. Учет погрешности измерения и погрешности вычисления накладывают определенные рамки на совокупность отображений 0 и Е.

Задача восстановления состоит в том, что после выбора /С - совокупности кодировочных множеств (конечномерные пространства, конечные множества) и Ф - совокупности кодирующих отображений исходного множества в одно из множеств /С (линейные, непрерывные, всевозможные отображения), указать наилучший, в некотором смысле, способ кодирования. То есть нужно указать пару К Е /С, (р Е Ф, для которой произвольный элемент х исходного множества наилучшим (или достаточно удовлетворительным) образом восстанавливается по информации ср(х). Погрешность наилучшего алгоритма есть соответствующий копоперечник.

В ряде задач классические средства приближения и восстановления дают недостаточно точную замену исходного множества приближенным. Возникает идея для исследования подобных задач совместить аппроксимацию и восстановление. Первым этот подход использовал Темляков В. Н. [33] для получения новых методов оценок п-членных тригонометрических приближений.

В диссертации теория поперечников и копоперечников применяется для аппроксимации решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Одно из направлений применения теории копоперечников в этой области естественно возникло при исследовании асимптотического поведения бесконечномерных диссипативных динамических систем. Основной объект, который возникает в этих исследованиях, это аттракторы. Их изучение позволяет ответить на ряд вопросов принципиального характера о свойствах предельных режимов, которые могут возникать в рассматриваемой системе. В настоящее время выработаны некоторые универсальные методы и подходы, позволяющие доказывать существование и конечномерность глобальных аттракторов для широкого класса динамических систем, порождаемых нелинейными уравнениями в частных производных. Однако детально исследовать структуру аттрактора удается лишь для весьма ограниченного класса задач. В этой связи важным является вопрос об отыскании минимальных (или близких к минимальниым) множеств естественных параметров задачи, которые однозначно определяют асимптотическое поведение системы. Впервые данный вопрос рассматривался для двумерной системы Навье-Стокса в работах [44], [19], где было показано, что асимптотическое поведение решений полностью определяются динамикой первых N мод Фурье, если N достаточно велико. После этих работ подобные результаты были получены для других параметров и уравнений. В работе [43] была развита теория исследования некоторого класса бесконечномерных диссипативных динамических систем в терминах "определяющих" функционалов, являющихся искомыми параметрами, определяющими асимптотической поведение решения. При этом большое значение для выбора функционалов приобретает значение линейного копоперечника (определение будет дано позднее) некоторого вспомогательного множества.

Существование конечного числа функционалов, определяющих асимптотическое поведение решения привело к исследованию некоторых некорректных задач в теории нелинейных уравнений в частных производных аналогичными методами. Царьковым И.Г. [42] показано, что решение задачи

Ащ(х) — F(us)(x) = <р(х) + Scp(x), х Е Q us (х) = т(х), х Е 5П, дП где Sep - некоторое возмущение, вносимое погрешностью измерения правой части, Qci4- компактная область с гладкой границей) при определенных условиях на функцию ^(которые, вообще говоря, не обеспечивают ни единственность, ни существование решения задачи) полностью определяется значением щ на некоторой конечной сетке. Более того, когда значения щ на сетке известны, то решение оказывается устойчивым по отношению к погрешностям Sip.

Исследование одной, новой характеристики множества(информационного колмогоровского поперечника), совмещающей понятия аппроксимации и восстановления, является основной темой данной диссертации и применяется для изучения обозначенной выше задачи. В первой главе исследуется структура информационного колмогоровского поперечника и его взаимосвязь с другими классическими поперечниками и копоперечниками. Во второй главе находятся порядковые оценки информационного колмогоровского поперечника для классов функций

Третья глава посвящена приложению теории поперечников ( и, в частности, информационного колмогоровского поперечника) к исследованию задачи Дирихле для нелинейного уравнения Лапласа.

Введем определения.

Пусть X - нормированное пространство, М - непустое подмножество X. Будем говорить, что множество М - центрально симметрично, если оно центрально симметрично относительно нуля.

Через IntМ будем понимать множество всех внутренних точек М, М -замыкание М.

Через X* будем обозначать сопряженное пространство с X, для х Е Х,х* Е X* действие х* на х будем обозначать < х, х* >.

Обозначим через Вх = {х Е X : ||ж||х ^ 1} - замкнутый единичный шар пространства X.

Если подпространство Lm С X имеет нижний индекс m Е Z+, то будем понимать, что подпространство Lm является подпространством размерности m (dimLm = m). Если подпространство Vй С X имеет верхний индекс, то будем понимать, что подпространство Vn является подпространством коразмерности п Е Z+.

Для пары подпространств Ьп, Vй таких, что Ьп ® V" = X, проектором Р^" на Ьп вдоль Vй будем называть проектор, обладающий свойствами

1т Р]Г = ЬП1 кет Р^" = Vй.

Обозначим С(и, V) - множество всех линейных ограниченных операторов из нормированного пространства II в нормированное пространство V. Определение. Пусть Ь С X - подпространство. Множество

Ь1 = {х* е X* : Ух£Ь < х,х* >= О}. называется аннулятором подпространства Ь. Для Ь* С X* преданнулятором

Ь*)± называется (Ь*)± = {х е X : Ух* е Ь* < х, х* >= 0}.

При вычислении поперечников бывают полезны соотношения двойственности между видами поперечников. Эти соотношения основываются на применении операции поляры.

Определение. Полярой множества М е X называется следующее множество п Ао*

М° = {х*еХ* : УхеМ <х,х*>^1].

Предполярой множества М* С X* называется множество

М*)о = {х е X : Ух* е М* < х, х* >^ 1}.

Пусть X - банахово пространство, М С X. Определим функцию Минковского множества М цм(х) = Щ\>0:хе\ М}.

Пусть множество М - центрально-симметрично, ограничено и выпукло. Ь -линейная оболочка М. Обозначим через Хм - пополнение Ь по норме /¿м(")-Определение. Пусть Ь - подпространство X. Уклонением множества М от подпространства Ь назовем величину

Е(М,Ь,Х)^ 81ф Ы II/-ии. /ем

Диаметром множества М называется сНат(М,Х) = вир ||ж1 — а^Нх-х!,х2ем

Дадим определения некоторых поперечников, которые будут использованы в статье. Колмогоровским поперечником множества М называется

4>(М, X) = ц* Е(М, Ьт + а, X). Ьтсх, аех

Если М центрально-симметрично, то это определение равносильно следующему

ЦМ,Х)^ Ы Е(М,Ьт,Х). ьт сх

Будем считать, что колмогоровский поперечник пустого множества равен нулю. Величина dm(M,X) была рассмотрена Колмогоровым А.Н.[16].

Заметим, что для т = 0 данное определение есть определение чебышевского радиуса множества М rx{M) = inf sup ||/ - ср\\х. /ем

Гельфандовским поперечником множества М называется

Г(М,Х) = inf sup ||®||х.

Линейным копоперечником множества М называется

An(M,X) = inf sup diam(Л-1 (Л(я)) П М).

Lncx, АеС{Х,Ь„)хем

Величины dn(M,X) и Ап(М,Х) были определены Тихомировым В.М. в работах [36] и [37], соответственно.

Отметим хорошо известный факт([38]), что для центрально симметричного, выпуклого множества М dn{M,X) = l\n(M,X). л

Линейным поперечником множества М порядка п называется величина XJM, X) = inf inf sup ||/ - Af - a\\x. nK ' LnCX, AeC(X,Ln)aeXfeZtnJ J

Если множество M центрально-симметрично, то это определение равносильно следующему

А Я(М,Х)£ inf sup ||/ - Af\\x

LncX, AeC(X,Ln) feM

Обозначим V(U, V) - множество всех линейных ограниченных проекторов из нормированного пространства U в нормированное пространство V. Проекционным поперечником множества М порядка п называется величина тгn(M, X) = inf inf sup ||/ - Pf - all*. } LnCX, P6V(X,Ln)aeXfefoUJ J l|A

Для центрально-симметричного множества M это определение равносильно следующему тгп(М, X) = inf sup ||/ - Pf\\x. пк J ьпcx, РеЯВД/6м

Если в пространство X, плотно вложено некоторое предгильбертово пространство Нх, то для множеств М С Нх определяется ортопроекционный поперечник (или Фурье-поперечник)

Рп{М,Х)^ inf sup II/ - PlJWx,

LnCHx f£M где - оператор ортогонального в Нх проектирования.

Величины 7ГП,ЛП были введены Тихомировым В.М. [37], величина (рп определена Темляковым В.Н. [32].

Бернштейновским поперечником порядка п центрально-симметричного множества М называется величина bn(M, X) = sup{R : 3Ln+i С X RBx П Ln+1 С М].

Поперечник Ьп(М,Х) был определен в [25]. Размерностью подмножества М (dim М) в метрическом пространстве U будем называть его размерность по Менгеру-Урысону. Обозначим Compm(X) - класс всех компактов из X размерности не выше т, Обозначим C(U,V) - класс всех непрерывных отображений из метрического пространства U в метрическое пространство У.

Александровским поперечником называется ат(М,Х) = inf sup \\х - д{х)\\х. iV€Compm(X), <peC{X,N) хеМ

Поперечник ат(М,Х) был введен в работе Александрова П.С. [1].

Другие подходы к определению асимптотических характеристик, подобных поперечнику, были предложены Пичем А.[47] и Осипенко К.Ю. [27]. Отметим также, что в связи с рассмотрением ряда задач о приближении некомпактных множеств стали активно изучаться так называемые средние характеристики аппроксимации и восстановления(Магарил-Ильяев Г.Г. [20]). В данной работе мы не будем затрагивать случай средних характеристик, хотя отметим, что определяемый в диссертации информационный колмого-ровский поперечник допускает аналогичные модификации.

Теория поперечников и копоперечников активно применялась для изучения аппроксимативных и кодировочных характеристик различных множеств решений ряда задач математической физики по причине необходимости учета погрешности в данной задачи. Каждая такая задача порождает соответствующее этой задаче множество решений. Для получения порядковых оценок убывания поперечников и копоперечников множества решений используется техника вложения множества решений дифференциальной задачи в другое, модельное множество. В теории поперечников и копоперечников исследовался широкий спектр модельных множеств. Для изучения устойчивости решений дифференциальных уравнений полезным оказывается изучение классов Соболева и их обобщений на многомерный случай.

Сделаем необходимые определения различных множеств. При г 6 Н, в случае одной переменной, классом Соболева \¥р[0,1] называют Ьр[0,1]-замыкание множества {/ € С°°[0,1]: ||/^||ьр[од] ^ 11

Основной изучаемый в диссертации класс - это многомерное обобщение периодического класса Соболева. Условимся далее равенства и неравенства для конечномерных векторов понимать, как покоординатные. Через 1,оо будем обозначать п-мерные векторы, состоящие только из единиц и бесконечностей.

Через х+(х-) будем понимать положительную (отрицательную) часть числа х. (1е{. х+ = тах{я,0}, ¡с = тт{а;,0}.

Пусть Т™ = [—7г, 7г]п - п-мерный тор. Обозначим через

1Р = ¿Р(Т), р = (рь.,рп), 1^р1<оо, э = пространство измеримых 27г-периодических по каждому аргументу функций ж(£) = . ,£п), для которых конечна смешанная норма

Обозначим Щ - пространство функций с нулевым средним по всем аргументам, состоящее из функций х 6 Ьр п х(Ь) ~ ^ хке*№\ где Ъп = {к 6 Ъп : Д к5 ф 0}, кф ¿=1

Хк - коэффициенты Фурье для х. Для вектора а 6 1" на пространстве Щ введем формально операцию дробного дифференцирования по формуле п х(а) м £ 1[(гк^хке^г\ =\ Щ \а> кФ ¿=1 сходимость ряда понимается в смысле Ьр - сходимости).

Определение. Для векторов а,р 6 Ж", 1 ^ р^ < оо, ] = 1, —,п, классом Соболева называется множество функций йу ё {«(•) 6 Ц : ||а>>||р < 1}.

Для конечного набора р = {р1,., рт} С М", 1 ^ рг < оо, г = 1,., тп и а = {а1,., ат} С К" определим класс

Щ =

Если рг = р при всех г = 1 , .,т, то класс будем обозначать И^. Классы Шр и различные поперечники этих классов исследовались в работах Галеева Э.М. и Динь-Зунга [12], [8].

В ряде случаев оценки поперечников функциональных классов удается свести к оценкам поперечников конечномерных множеств. Через обозначается пространство К1, снабженное нормой:

Чц = \ ¿=1 п 1 I х* )р ПРИ 1 ^ р < max I xi \ при р = со.

Через Вр обозначается единичный шар в

Через р' везде далее будем понимать число сопряженное р: ^ + ^ = 1. История вычисления порядков поперечников по Колмогорову классов Соболева развивалась следующим образом.

Первые результаты, касающиеся поперечников dn(Wp, Lq) были получены Колмогоровым А.Н. в тридцатых годах 20-го века, им было найдено точное значение dn(W%(Т1), Ь2(Т1)).

В шестидесятых годах 20-го века в работах Стечкина С.В., Рудина У. и Тихомирова В.М. были подсчитаны точные значения поперечников dn(Wp,Lq) при некоторых р и q. Тогда же Тихомировым В.М.[35] было установлено соотношение двойственности между поперечником по Колмогорову и поперечником по Гельфанду.

Для случая функций одного переменного асимптотики поперечников по Колмогорову (¿„(W^TT1), ^(Т1)) были вычислены в семидесятых годах прошлого века. В работах Тихомирова В.М., Бабаджанова С.Б.и Тихомирова В.М., Маковоза Ю.И. (см. [35], [2], [37], [23]) был найден порядок поперечника при р ^ q :

При 2 ^ q > р порядок был получен Исмагиловым P.C. [14], dniW^lL.ÇT1)) х п"г+И, при г >(---)

Р Я. им же было обнаружено, что эквивалентность dn(Wp,Lq) х нарушается при р = l,q = со. Исмагилов P.C. [14] и далее Майоров В.Е.[21] разработали метод сведения задачи об определении порядка величины dn(Wp, Lq) к задаче о нахождении порядковых оценок величины dn(Bp,l Этот метод получил название "дискретизации задачи" о поперечниках функциональных классов. Кашин B.C.[15] получил оценки величин dn(Bp, ф, и, пользуясь методом "дискретизации", установил порядок убывания dn(Wp, Lq), при г > в случаях p^2^qu2^p<q dn(Wp,Lq) х п~г, 2^p<q, dn(Wrp,Lq)xn-r+1p-K

Задача определения порядка величин dn(B™,l™) при произвольных т,п была решена Глускиным Е.Д.[10].

Вычисление поперечников классов периодических функций многих переменных началось с работы Бабенко К.И.[3], в которой был найден поперечник djv(Wjf,L2)- Порядки величин d^(Wp,Lp) (а - вектор с целочисленными координатами, 1 < р < оо) а так же поперечников классов функций, определяемых гипоэллиптическими операторами, найден Митягиным Б.С.[24]. Порядок наилучшего приближения класса W*(p-скаляр) в метрике пространства Lp, 1 < р < оо, определен Никольской Н.С.[26].

Порядок для l<q = p<ooH2<q^p<oo, a G I" определен в работах Галеева Э.М.[6], [7]. Скорость убывания dpj{Wp, Lq) при

1 < р < q < оо (р-скаляр) найден Темляковым В.Н.[31], [30], [32]

Далее Галеев Э.М.[8] подсчитал порядок наилучшего приближения в случае векторных p,q в случае l<q^p<oo. В этой же работе подсчитаны поперечники dN(Wp,Lq) конечного пересечения шаров Wp = DWp3 (оу, р, q - векторы), в случаях l<q^p<oo, l<p^q<2,

2 ^ р ^ q < оо, l<p^2^q<oo.

Порядки убывания александровских поперечников an(W5(T1),Lg(T1))xn-r были подсчитаны М.И. Стесиным [28]. Эти поперечники среди задач об оценках поперечников играют важную роль эталона, с которым, в первую очередь, сравниваются все остальные поперечники.

Асимптотика ортопроекционного поперечника в одномерном случае была найдена в работе Темлякова В.Н. [32]

X гГг+(И)+, при г > (i - ±)+ в многомерном, Галеевым Э.М. [9].

Дадим определение нового поперечника, исследуемого в диссертации. Определение. Информационным колмогоровским поперечником назовем величину с£(М, X) = inf sup dm(M П (Vя + Ь),Х), v" bex где infyn - берется по всем подпространствам коразмерности п. Это определение эквивалентно следующему inf supdm(Mfl(nLiker(4) + 6),x) = v 1 1 / inf sup inf sup inf ||x — ip — a||xbeX LmCX,a€X xeM (peLm <х,х^>=<Ъ,х)>

Название поперечника отражает тот факт, что при приближении множества мы хотим учесть некоторую (в данном случае наилучшим образом выбранную) априорную информацию. Априорную информацию мы получаем, как значения некоторых линейных непрерывных функционалов. Обладая данными о значении функционалов на векторе из множества М, мы подбираем афинное подпространство из класса всех т-мерных афинных подпространств для наиболее точного приближения этого вектора. Функционалы выбираются в классе всевозможных линейных непрерывных функционалов в количестве п штук так, чтобы приближение было наиболее точным вне зависимости от получившихся значений этих функционалов на векторе из множества М.

Нетрудно заметить, что информационный колмогоровский поперечник тесно связан с поперечником по Колмогорову и поперечником по Гельфанду(по сути копоперечником).

Определим так же некоторые вспомогательные величины.

Определение. Центральным информационным колмогоровским поперечником множества М будем называть величину dnm(M,X)^rnidm(MnV\X), уп через d™ обозначим inf sup inf E(Mn(Vn + b),Lm + a).

Vn,Lm ьех aeX \ J

Из сделанных определений следует, что

С(М, X) = inf supdm(M П (VUl +b),X).

Vni: codimF"! x

В первой главе изучается информационный колмогоровский поперечник и некоторые неравенства между поперечниками. Поскольку поперечник является новым, то требуется изучить положение этого поперечника в шкале классических поперечников в абстрактных банаховых пространствах.

Перед изучением этого вопроса, ответим на вопрос о взаимосвязи информационного колмогоровского поперечника и вспомогательных величин

Везде а первой главе предполагается, что множество М не пусто. Из сделанных определений следует, что в обратную сторону неравенство верно с точностью до константы на классе выпуклых, центрально-симметричных множеств.

Теорема 1.5. Пусть М центрально-симметричное, выпуклое множество в нормированном пространстве X. Тогда

Таким образом, для центрально-симметричных, выпуклых множеств эти величины достаточно близки.

Следующая теорема известна своими многочисленными применениями к оценкам поперечников.

Теорема(о поперечнике шара) [38, стр 220]. Для произвольного выпуклого центрально-симметричного множества М в нормированном пространстве X выполнено неравенство

Из определения линейного поперечников ¿п(М, X) и Лп(М, X) справедливо неравенство

4(М,ХКАП(М,Х), для произвольного множества М.

Для информационного колмогоровского поперечника справедливы аналоги этих неравенств.

Теорема 1.1. Для произвольного выпуклого центрально-симметричного множества М в нормированном пространстве X ип+т

Теорема 1.4. Для произвольного множества М ф 0 справедливо неравенство

Неравенство из теоремы 1.1, часто оказывается недостаточно точным для оценки снизу поперечников (^(М, X). Другое, хорошо известное неравенство для оценок снизу поперечников ёп(М,Х) - это неравенство ([18], [38]) ат{М,Х)^(1т{М,Х), справедливое для произвольных множеств М в нормированных пространствах X. I

Доказательство аналогичного результата для информационного колмогоровского поперечника получается значительно сложнее и при более сильных предположениях:

Теорема 1.8. Пусть М С X - выпукло, замкнуто, ограниченно. Тогда ап+т(М,Х)

Изучение структуры информационного колмогоровского поперечника, именно неравенства между этим поперечником и колмогоровским поперечником, неожиданно привело к получению некоторых новых неравенств, точных на классе выпуклых множеств: из определения поперечников с1п,\п, 7гп п(М,Х)^\п{М,Х)<тгп(М,Х).

В работе [10] был поставлен вопрос: с какой наименьшей константой(не зависящей от множества М) справедливо неравенство

Лп(М,Х) ^ С4(М,Х)?

В гильбертовом пространстве справедлива оценка (см. [38])

Р{М,Н)^<1п(М}Н).

Неясно верна ли оценка с1п(М, X) ^ Сс?п(М, X), где константа С на зависит от множества М, в произвольном банаховом пространстве XI

Ответ на поставленную задачу формулируется в терминах копроекционных констант.

Определение. Копроекционной константой пространства X порядка п называется величина хп{Х) =Г вир и* \\Руп\I, где эир берется по всем подпространствам коразмерности п, а игГ по всем линейным проекторам на это подпространство.

Определение. Проекционной константой пространства X порядка п называется величина где эир берется по всем подпространствам размерности п, а т£ по всем линейным проекторам на это подпространство.

В работе [45] вычислена асимптотика проекционных констант некоторых классических пространств и из этих результатов непосредственно следует ап(1[?п]) ~ п1) * п,Н1> ПРИ К > 1, ^(¿рОГ1)) х ^(¿ррГ1)) х п'И1.

Теорема 1.9. Для произвольного нормированного пространства X

Ап(М,Х) 7гп(М,Х) , s7dn(M,x)-s7dn(M,x)- [L) sup й (M y\ = sup J(u y\ = a w м an{M,X) M dn[M,X) dnm(M,X)

M <bi+m{M}A) где sup берется по всем непустым, выпуклым центрально-симметричным множествам М С X.

Отметим, что для q^ 2 из работ Тихомирова В.М.[35], Исмагилова P.C. [14] и Кашина Б.С.[15] следует, что

4(W2a(TP),L,fP)) " V

Детальное исследование этого явления привело к некоторым новым результатам о структурных свойствах экстремальных для dn подпространств.

Несмотря на то, что порядок величины dn(Wp[0,1], Lq[0,1]) в случае г > (р—g)> Р ^ Я> ^ известен, до сих пор не получены явно подпространства, реализующие поперечник хотя бы по порядку.

Назовем копроекционной константой подпространства L величину

Оказывается, что в ряде случаев экстремальные подпространства обладают "большими" копроекционными константами:

Теорема 1.22. Пусть г > — l^pCg^oo. Тогда для любого г Ч семейства подпространств {¿n}neN С Lq[0,1] такого, что E{w;[0,1],Ln,Lq[0,1]) = o{dn(W;[0,1],Lq[0,1])) выполнено

Ii 11 i(Lm Lq[0,1]) > п1Ьр при I < 1, р < 2, р q ct(Ln, Lq[0,1]) > пр" при р ^ 2.

Относительно ортогонального в L2 проектора на "экстремальное" подпространство справедлива

Теорема 1.17. Пусть М - центрально-симметричное, выпуклое подмножество X. Пусть так же в X вложено некоторое плотное предгильбертово пространство Нх■ Тогда для произвольного подпространства Ln С Нх

E(M,Ln,X)\\ld - Ptn||в(вд ^ ММ,Х).

Ключевая теорема, которая позволяет определить порядки информационных колмогоровских поперечников соболевских классов - это обобщение одного мультипликативного неравенства. Первым такое неравенство для колмогоровских поперечников было установлено Пичем А. [47]. Затем Ходулев А.Б.[41] установил это неравенство для линейных и александровских поперечников.

Теорема 1.13. [47], [41]. Пусть В, С, D С X - произвольные центрально-симметричные, выпуклые множества удовлетворяющие условию В С Xd,D С Хс- Тогда для произвольных неотрицательных целых чисел п,т справедливы неравенства dn+m(B,Xc) < dn(B,XD)dm(D,Xc), ап+т{В,Хс) ^ ап(В,Хп)ат(0,Хс), ^п+т(В,Хс) ^ (B,XD)\m(D,Xc).

Аналог мультипликативного неравенства для информационного колмого-ровского поперечника получается следующим:

Теорема 1.14. Пусть B,C,D С X - произвольные центрально-симметричные, выпуклые множества удовлетворяющие условию В С Xd} D С Хс. Тогда для любых неотрицательных целых чисел щ, П2, mi, тг ti+nUB,Xc) < ^{B,xD)dtrmHD,xc).

Специфика поперечника d^ такова, что некоторые неравенства, верные для колмогоровского поперечника, неверны, вообще говоря, для информационного колмогоровского поперечника. При оценке сверху колмогоровского поперечника функциональных классов в пространствах ¿р(Т") широко используется следующее очевидное неравенство dn+m{B + С,Х)< dn(B,X) + dm(C,X).

Оказывается, что в случае информационного колмогоровского поперечника подобная оценка, вообще говоря, неверна:

Пример. sup й * о-т

MuM2dn(MhX) + d0(M2,X)^ к h где sup берется по всем парам центрально-симметричных, выпуклых множеств.

Однако, если потребовать от множеств независимости, то можно гарантировать сохранение рассматриваемого неравенства:

Теорема 1.15. Пусть Ln,Vn подпространства нормированного пространства X : Ljv Ф VN = X, dimX = оо, Mi,M2 - замкнутые не пустые подмножества X. Если

Mi С Ljv, М2 С Vn, то для любых П1, П2, Ш1,т2 £ таких, что щ < N выполнено

СХпЦМ1 + м2, X) < с (Мь X) + С2(М2, X).

Один из инструментов исследования в теории поперечников - это теория двойственности, которая часто помогает сводить сложные величины к более простым, получать новые неравенства и пр.

В.М. Тихомиров установил двойственность колмогоровского и гельфан-довского поперечников.

Теорема 1.10. [38, стр 146] Пусть X - банахово пространство, В, С С X - два центрально-симметричных, ограниченных, замкнутых выпуклых множества таких, что 0 £ 1пШ. Тогда

Ъ&Хв) = ХЬ).

Центральный информационный колмогоровский поперечник получатся "самодвойственным11.

Теорема 1.11. Пусть X - банахово пространство, В, С С X - два центрально-симметричных, ограниченных, замкнутых выпуклых множества таких, что 0 6 1пЬВ Тогда

С,Хв) = €(В°,Х*С0).

Эта теорема позволяет получать двусторонние неравенства для информационных колмогоровских поперечников вида:

Теорема 1.12. Пусть X - банахово пространство, С - центрально-симметричное, ограниченное, замкнутое выпуклое подмножество X. Тогда

Й < тт{а\Х№+шЛХс°))С+к+% где < = <,(<?,X).

Отсюда, в частности, следует, что если параметры к, I невелики (порядка константы), то не имеет значения для отыскания порядка поперечника, стоят они вверху или внизу.

Во второй главе вычисляются порядковые оценки информационных колмогоровских поперечников конечномерных множеств и, с их помощью, порядки информационных колмогоровских поперечников классов Соболева.

Совмещение результатов первой главы и известных ранее результатов, позволяют получить

Теорема 2.3. Для любых 1 ^ р ^ д ^ оо верно асимптотическое равенство с константой, зависящей от р,

Теорема 2.6. Для любых С > 1 верно порядковое равенство , .

В[С(п+гп)}^[С(п+тЩ ^ (п + то)"?> с константой, зависящей от р, д.

Используя эти теоремы, некоторые результаты первой главы, и технику, развитую в [8], получаем

Теорема 2.13. Пусть д,рг,агЕГ 1 < я < рг < оо, г = 1,., ш, А - выпуклая оболочка {а1,., ат}. Тогда

Ъ9) х ((И + К)-1 + К))*, при А П Ч ф 0, где М - значение, а I - размерность множества решений задачи в, 1)вир, (я,аг) ^ 1, г = 1,.,771

Теорема 2.14. Пусть q, рг, аТ € М" 1 < Я, рг < оо, г = 1,., ш, А -выпуклая оболочка {а1,., ат}. Тогда

ДОу^х^-Чо^)^, при {А- 1)ПМ^0, где М - значение, а I - размерность множества решений задачи (я, 1) -»• эир, (й,аг) ^ 1, г = 1, .,т

Из последней теоремы следует, что в случае равных (или одного порядка) параметров, в случае "большой" гладкости, порядок убывания информационного колмогоровского поперечника классов Соболева совпадает с порядком убывания александровского поперечника, в случаях, когда последний известен.

Таким образом порядок убывания информационного колмогоровского поперечника классов Соболева оказался меньше порядка убывания минимального из колмогоровского и гельфандовского поперечников в случае 1<р<2<д<оо. Например, в одномерном случае, при г>1,1 < р, д < оо

Это служит "своеобразным" ответом на вопрос о отношении информационного колмогоровского и колмогоровского поперечника.

В третьей главе исследуются некоторые приложения поперечника по Гельфанду и информационного колмогоровского поперечника к задаче устойчивости решения задачи Дирихле для нелинейных уравнений Пуассона.

Пусть О, С - открытая, ограниченная связная область с С°° - гладкой границей, рассмотрим пространство Х(0) = Ьр(0.),1 < р ^ оо (в случае р = оо, пространство Х(^) = С(Ю)). Пространства Ьр(С1),С(0,),Ст(0,) определяются стандартным образом, как соответственно пространства суммируемых в степени р, непрерывных, т раз непрерывно-дифференцируемых функций с нормами

IMIL(n) = / Hx)\pdx,

Р JxEÍl 1М|ОД =SUp|u(x)|,

Ilu||cm(n) — Ilw^||c(íí) + IMIc(n)- (3)

Для г 6 N,1 ^ р < oo определим пространство Соболева - это множество измеримых функций, определенных на Q, для которых конечна норма х

IM к(0) = (/ J2\Dau(xWdxy, где а = («i,., c¿k), cxj - целые неотрицательные числа, |а| = a\+.+ak, Dk = щ, Da = Dj1.!)^, производные понимаются в смысле теории обобщенных функций.

Рассмотрим задачу

Аи(х) - F(u)(x) = <р(х), X G Q, и (X) = т(х), X е dQ. dû

В случае 1 < р < оо предполагаем, что <£>(•) Е Lp(ß), т(-) G Lp(dÙ) и существует решение мо(ж) в пространстве решений X% = В случае р = оо, предпологаем <£>(•) G C(f2),r(-) G C(dÜ) и существует решение в пространстве Х^ = C2(Q) П

Предполагается, что функции <£>(•), т(-) заданы с некоторой погрешностью. Таким образом вместо исходной задачи, рассматривается множество задач А щ(х) — F(us)(x) = (р(х) + S(p(x), X ей щ (х) = т(х) + 6т{х), хедп. где 5(р - некоторое возмущение, вносимое погрешностью измерения правой части, а 5т - некоторое возмущение, вносимое погрешностью измерения краевого условия. Предполагается, что выбрана некоторая норма на пространстве возмущений, именно задано пространство Ф(Г2) (вложенное в Х(£1)) и Т{дй). На Т(дй) налагается естественное условие: любая функция из Т{дй) может быть продолжено на все пространство Xjj, то есть для любой функции т G Т(дО) существует функция GT G Х^ такая, что ее след на дО, совпадает с т.

На возмущения накладываются условия

Иад|ф+И|г<1.

Исходная задача состоит в том, чтобы получить устойчивый к погрешности метод восстановления решения. Одно из возможных оснований устойчивости состоит в получении неравенства:

4)

В случае неединственности решения задачи или неустойчивости решения задачи по ошибкам измерения подобного неравенства ожидать не приходится. В этих случаях, для получения оценки нужна либо дополнительная информация о решении, либо потребуется сделать регуляризацию.

Наша задача состоит в том, чтобы при определенных условиях на нелинейность, по неточно заданной дополнительной информации в виде значений линейных непрерывных функционалов у1(щ),Уп(и5) восстановить точное решение.

Иначе говоря, цель последующих теорем состоит в получении оценки inf + + (5) где подпространство Lm выбирается по известным значениям функционалов у\, .,Уп на приближенном решении щ. Величина 7 характеризует точность измерения функционалов.

Отправной точкой для нас служит работа [42]. Теорема 3.3. [42] Рассмотрим задачу

Ащ(х) — F(x,щ(х)) = <р(х) + <5<р(х), х £ Q „ щ

Обозначим

М = max{||r||Loo(3Q), |MUoo(n)}, если выполнены условия a)УА > 03В > 0 : У(х,и) е х R \и\ ^ В F(x,u)Signw > А. b)ЧВ > 0 sup sup \F'u{x,v)I < 00, (6) хеО \и\^в тогда существуют числа £о, Р > 0, зависящие только от Q, F, М и такие, что для любого числа е £ (0, £о) и всякой £>сети G С £1, если решение щ задачи [**] удовлетворяет условию Щ то выполнено неравенство

IK - «olUooCn) ^

При получении оценок сверху величины (3.1) для решений задачи [*] полезно сделать некоторые определения. Обозначим Q - множество решений задачи [*], получающееся при всевозможных вариациях погрешностей х) = т(х). х G Ш. дп щ G

Для данного подпространства Vn = П"=1кег < -, у*к >, с выбранным двойственным базисом Y = {¡¡1}%=i> для произвольного вектора х G X, через < х, Y > мы будем обозначать вектор из R" с координатами < x,Y >к=< х,у*к >. Определим множество

Q(v,ri,Y) = {vseQ, \\6<р\\* + \\8т\\т ^ V, <u6-u0,Y>=v}, где вектор v G Ш1, г) G [0,1], 6(р, 0т - погрешности решения щ. Пусть

W0={weX2{Q),3ne(0,1]: u^ = (iw + u0 II- FM - И|ф <||rO}, ail j

W1 =Lin{î0 G Х2(П), IlA(w + «o) — + Mo) - = о, ||w ||r = o). dÙ J

Обозначим ---— w = w1\J( U

Отметим, что множество W получается замкнутым, звездным и центрально-симметричным относительно нуля. Теорема 3.5. Пусть оо, тогда для произвольного 77 > 0 справедливо неравенство mîdm[Q(0,V,Y(Vn)),x) ^rj^X).

Теорема утверждает справедливость неравенства (3.1) для решений щ, при условии совпадении точного и приближенного решений на оптимальным образом выбранных функционалах. Что будет, если значения точного и приближенного решений на некоторых функционалах будут совпадать не точно ?

Через < W, Y > будем обозначать множество

W,Y>={<u,Y>: utW}. Теорема 3.6. Пусть d%l(W,X)< 00, diam(W,X) < 00, тогда для произвольного 7 > О inf sup dm{Q{v,ri,Y),X) < r](Pm{W,X) + 7diam(W,.X), veR»: p<w,Y>(vH7 где p<w,Y>(') : М" R - функция Минковского множества < W,Y >. (Неравенства в утверждении теоремы не зависят от выбора двойственного базиса У).

Условие p<w,Y>{< Щ — uo,Y >) п0 смыслу означает нормировку на множестве значений функционалов. Если множество < W, Y > получилось выпуклым, то функционал p<w,Y>{•) порождает норму в Rn. Теорема утверждает, что если значения функционалов точного и приближенного решения по этой норме близки, то решения оказываются близки.

Одна из сложностей применения теоремы 3.6 заключается в том, что величина p<w,Y>iv) уменьшается при "раздутии" множества W, именно

WiCW2 ^ p<w2,y>{v) ^P<wuy>{V)

Можем ли мы чем-то "пожертвовать" для устранения этого "неудобства"?

Теорема 3.7. Пусть dnm(W,X)<oo, тогда для произвольного г) > О inf sup dm+i(Q(v,T],Y),X) < C(WtX)ri.

У" veRn

Основные результаты работы будут опубликованы в Математических заметках (декабрь 2006) (4 страницы), и в Известиях РАН (ближайщие номеры) (27 страниц). Они докладывались на семинаре по теории приближения под руководством проф. И.Г. Царькова, на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством чл.-корр.РАН, проф. Б.С.Кашина и проф. С.В.Ко-нягина, на семинаре по теории приближения под руководством проф. В.М.Тихомирова, на международных школах им. С.Б.Стечкина по теории функций (Миасс).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору И.Г. Царькову и доценту A.C. Кочурову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Александров П.С. Über die Urisohnsche kostsanten, — Fund.Math.V20(1933) p.140-150.

2. Бабаджанов С.Б., Тихомиров В.М. О поперечнике одного класса в пространстве UP, Изв.АН Узб.ССР.Сер.физ.-матем.,2 (1967),24-30.

3. Бабенко К. И. О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими полиномами. — Докл. АН СССР, 1960, т. 132, е 5, с. 982-985.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления и теоремы вложения, — М.:Наука. 1975. с.480.

5. Буслаев А.П. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы нелинейного анализа и теория приближений. Докл. АН СССР, 1985, 283, el, 13-18.

6. Галеев Э.М. Приближение некоторых классов периодических функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lq. —Успехи матем. наук, 1977, т. 32, в. 4, 251-252.

7. Галеев Э.М. Приближение суммами Фурье класса функций с несколькими ограниченными производыми. —Матем. заметки, 1978, т. 22, в.2, 197-211.

8. Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову классов периодических функций многих переменных и в пространстве Lq. — Изв. АН СССР. Сер. матем. т.49. е5, 1985, 916-934.

9. Галеев Э.М. Порядки ортопроекционных поперечников классов периодических функций одной и нескольких переменных. — Мат.заметки. т.43. е2, 1988, 197-211.

10. Глускин Е.Д. Нормы случайных матриц и поперечники конечномерных множеств. Мат. сб. 1983, 120, е 2 ,стр 180-189.И. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. — М., Изд-во иностр. лит., 1946, 232 с.

11. Динь Зунг. Приближение классов гладких функций многих переменных . — Труды семинара им. Петровского. 1984, е 10, с. 207-226.

12. Иоффе А. Д. Тихомиров В.М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи. — УМН, 23, е 6(144),51-116, 1968.

13. Исмагилов P.C. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими многочленами . УМН XXIX,вып. 3 (1974), 161-178.

14. Кашин B.C. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций. — Изв. АН СССР. Сер. мат. 1977, 41, е 2 ,стр 334-351.

15. Колмогоров А.Н. Избранные труды.Математика и механика.М.:Наука, 1985,470 с.

16. Колмогоров А.Н. Uber die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse. — Ann. of math. 1936. v.37. p.107-110.

17. Kochurov A.S., Tikhomirov V.M About th definition of the notion width.East journal on approximation, v.l,e2, 1995, p.221-230.

18. Ладыженская O.A. О динамической системе, порождаемой уравнениями Навье-Стокса. — Зап.научн. семин. ЛОМИ. 1972. Т.27. с.91-115. 1967,V.39, р.1-34.

19. Магарил-Илъяев Г.Г. Средняя размерность, поперечники и оптимальное восстановление классов Соболева на действительной прямой. — Мат.сборник. 182, 11(1991), с.1635-1656.

20. Майоров В.Е. Дискретизация задачи о поперечниках. — Успехи мат. наук,XXX вып 6(1975) 179-180.

21. Майоров В.Е., О линейных поперечниках соболевских классов и цепочках экстремальных подпространств. — Мат.сб.,1980, ИЗ, еЗ, 437462.

22. Маковоз Ю.И. Об одном приеме оценки снизу поперечников множеств в банаховом пространстве. — Мат.сб., 87 (129), el (1972), 136-146.

23. Митягин Б. С. Приближение функций в пространствах LP и С на торе.- Матем. сб., 1962, т. 58, е4, с.397-414.

24. Митягин B.C., Тихомиров В.М. Асимптотические характеристики компактов в линейных пространствах. — Докл. 4 мат. конгресса СССР, Москва, 1964, т. 3, с.299-308.

25. Никольская Н.С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике Ьр. — Докл. АН СССР, 1973, т. 16, е4, с. 761-780.

26. Осипенко К.Ю. О п-поперечниках, оптимальной квадратурной формуле и оптимальном восстановлении функций, которые аналитические в полосе. — Изв. РАН, сер. матем. 58(1994), с. 55-79.

27. Стесин М.И. Александровские поперечники множеств и классов гладких функций. Докл. АН СССР, 1975, т.220, еб, с. 1278-1281.

28. Стечкин С. Б. О наилучших приближениях заданных классов функций любыми полиномами. — УМН, IX, вып. 1 (1954),133-134.

29. Темляков В.Н. О приближении периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной разностью. — Докл. АН СССР, 1980, т. 253, е 3, с.544-548.

30. Темляков В.Н. Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных. Докл. АН СССР, 1982, т. 267, е 3, с.314-317.

31. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной разностью тригонометрическими полиномами и поперечники некоторых классов функций. — Изв. АН СССР Сер. матем., 1982, т. 46, е 1, с.171-186.

32. Темляков В. Н. Нелинейные поперечники по Колмогорову. — Матем. заметки, 1998, т. 63, в.6, с.891Ц902.

33. Тихомиров В.М. Об п-мерных поперечниках некоторых функциональных классов. ДАН СССР, 130, е 4,734-737, 1960.

34. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория приближений. — УМН, XV, вып. 3 (1960),81-120.

35. Тихомиров В.М. Замечание о п-поперечниках множеств в банаховых пространствах. УМН, 20, вып. 1 (1965),227-230.

36. Тихомиров В.М. "Некоторые вопросы теории приближения". Дисс докт.физ-мат.наук. — М.,1969.

37. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближения. — Изд-во Моск. ун-та, 1976.

38. Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики. — М. ГИТТЛ, 1952, т.1. 1976.

39. В.В. Федорчук, В.В.Филиппов Общая топология.Основные конструкции. — М.: Изд-во МГУ,1988.

40. Ходу лев А.Б. Замечание об александровских поперечниках конечномерных множеств. Функц. анализ и его прилож., 1989 г, Т.23. е 2. с. 94-95.

41. Царьков И. Г. Устойчивость однозначной разрешимости в некорректной задаче Дирихле. — Матем.заметки, 2006. т.29, в. 2, с. 294-308.

42. Чуешов И. Д. Теория функционалов, однозначно определяющих асимптотическую динамику бесконечномерных диссипативных систем. УМН, 1998, т. 53, в.4, с.77Ц124.

43. Foias С., Prodi G. Sur le comportement global des solutions non stationnaires des équations de Navier-Stokes en dimension deux. — Rend.Sem.Mat.Univ.Padova, 1967,V.39, p.1-34.

44. H.Kônig, D.R. Lewis,P.K. Lin. Finite dimensional projection constants. — Studia Math 75(1983), p.341-358. 1983.

45. E. Michael Continious selection. I.Ann.Math.1956. V. 63. e2. P. 361-382.

46. Pietsch A. s-numbers of operators in Banach spaces. — Studia Math.,1974, v.51, p.201-223.Работы автора по теме диссертации

47. Скориков Е.М. "Информационный колмогоровский поперечник и некоторые точные неравенства между поперечниками."// Изв. РАН, Сер.матем. 2007, т.71 еЗ, с.173-196.

48. Скориков Е.М. "Информационный колмогоровский поперечник для пересечения соболевских классов."// Матем. заметки, т. 80, вып. 4, 2006, стр. 638-640.