Гладкость классов функций и приближения сплайнами

Китбалян, Александр Анатольевич

Гладкость классов функций и приближения сплайнами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Китбалян, Александр Анатольевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

1990 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Автореферат по математике на тему «Гладкость классов функций и приближения сплайнами»

Автореферат диссертации на тему "Гладкость классов функций и приближения сплайнами"

ГОСКОМИТЕТ СССР ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ;Д.В.ЛО!ЮНОСОВА 'ЛЕННИКО-ГМТЕШЖЕСКШ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 5Г7.5, 517.24

КШТМЯН Александр Анатольевич

ГЛАДКОСТЬ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ И ПРИЕКШЕШИ СПЛАЙНА1ЛИ 01.01.01 - математический,анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1990

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.М.Тихомиров

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

в 16 час. 15 мин. на заседании специализированного Совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

профессор Ю.А.Брудный, - кандидат физико-математических наук С.Б.Гашнов.

Ведушря организация - Ленинградский государственный

университет.

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ

Актуальность темы. Начинал с конца сороковых годов началось систематическое исследование сплайн-функций и сплайн-приближений. Выяснилось, что сплайны (или кусочно-полиномиальные функции) образуют удобный и адекватный аппарат приближения функций конечной гладкости. Многочисленные применения сплайнов в различных областях теории приближений, теории экстремальных задач, вычислительной математики (см., например, [I] - £з]) позволяют отнести сплайн-функции, наряду с полиномами, тригонометрическими и рациональными функциями, к естественным средствам приближения.

В последнее время интенсивно развивается область многомерных сплайн-приближений и их применений (см. [4], [б]). Настоящая работа продолжает исследования в этой области. Она посвящена приближениям сплайнами классов функций многих переменных, име-

1. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976. - 248 с.

2. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. - М.: Наука, 1984. - 352 с. .

3. Schumaker L.L. Spline functions: baaic theory. - New York: John Willey and Sons. - 1931. - 533 p.

4. Dahmen W., Micchelli Ch.A. Recent progress in multivariate splines // In: Approximation Theory 4. - Acad. Press, New York. - 1984. - P.27-121.

5. Ciesielski 2., Figiel I. Spline bases in classical function spaces on compact С °° manifolds, 1,2 // Stud. Math. -1983. - 76, No.1. - P.1-58, No.3. - P.95-136.

ющих различные дифференциальные свойства по разным переменным. Полученные результаты лишний раз указывают на экстремальные свойства сплайнов, выявляют их практическую ценность. Целью диссертационной работы является

- исследование поперечников анизотропных классов функций Никольского , ¿с 6 . (см. [б]), поперечников пересечения таких классов;

- вычисление порядков сложности по Колмогорову £ -приближения классов Ир (Iм) 5

- решение некоторых экстремальных задач нелинейного анализа на классах функций конечной гладкости с граничными условиями.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Они состоят в следующем.

1. Методом дискретизации вычислены порядки колмогоровского, линейного, александровского и энтропийного поперечников классов функций Нр(1Ы) в метрике пространства

оо , а также порядки колмогоровского, александровской и энтропийного поперечников пересечения классов Н ^( при условии, что вектора ос* , ] = 1,... Д , лежат на одном луче в пространстве [К*"" с вершиной в начале координат.

2. Дано определение сложности £ -приближенного вычисления функций и классов функций в метрике'пространства 1.<^(1>1г) > обобщающее соответствующее понятие колмогоровской сложности при ближенного вычисления непрерывных функций, и вычислен порядок этой сложности для классов функций Нр (Х"")»

6. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1969. - 480 с.

3. Рассмотрена основная изопериметрическая задача с граничными условиями (см. [7]). Найдено ее решение в одномерном случае при альтернирующих краевых условиях и в многомерном случае при нулевых краевых условиях.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в некоторых областях теории приближений, теории экстремальных задач, а также в вычислительной математике и технике.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференции молодых ученых (Москва, МГУ, февраль 1987 г.), на семинарах кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ и кафедры оптимизации факультета математики Ер1У.

Публикации» Основное содержание диссертации опубликовано в грех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 81 наименование. Объем диссертации - 93 машинописных страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор результатов, относящихся к теме диссертации, приводятся вое необходимые определения, и формулировки основных результатов.

В параграфах I и 2 первой главы вводятся необходимые обо-

7. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. -М.: Изд-во МГУ, 1976. - 304 с.

значения и определения и формулируются предварительные сведения, касающиеся пространств функций конечной гладкости, поперечников, сложности £ -приближенного вычисления функций и классов функций.

Параграфы 3 и 4 первой главы посвящены свойствам пространст! гладких сплайнов и представлениям сплайнов суммами из В-сплай-нов. Для сплайн-функций доказываются аналоги хорошо известных теорем гармонического анализа: Марцинкевича-Зигмунда, Рисса, неравенства Бернштейна-Никольского, прямых и обратных теорем теорщ приближений (см. [б]). Эти теоремы лежат в основе приложений сплайн-приближений.

Глава 2 посвящена доказательству основных результатов диссертации. Сформулируем их. ^

Примем следующие обозначения. 1= [0,l] , X = [-1,1] , {et3ui - стандартный базис в IRm , (a)4.=max(a,0),

. p-i ,*eN

Определим аш13от£олное_п2ост£анство Функций конечной_глад-кости Hp (Iw) , pi оо , oC 6 IR^ , которое служит основным объектом наших исследований. Для функции обозначим ll^CiJll^^j.^^1

= sap Ket ,Im) /L^-WJ

К- = a . если «С./f $ , и K-t= 1 , если £ IR+\ f^ , где (JUK(x()/C~, X^ip - есть интегральный р -тый модуль непрерывности К-того порядка функции ОС(-) в направлении вектора f 6 . Теперь определим

Н*(Г) =1хое ¿рСГ)) II 3CC )||H^IW}< <*> J,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Начиная с конца сороковых годов началось систематическое исследование сплайн-функций и сплайн-приближений. Выяснилось, что сплайны (или кусочно-полиномиальные функции) образуют удобный и адекватный аппарат приближения . функций конечной гладкости. Многочисленные применения сплайнов в различных областях теории приближений, теории экстремальных задач, вычислительной математики (см., например, ([I] - £з]) позволяют отнести сплайн-функции, наряду с полиномами, тригонометрическими и рациональными функциями, к естественным средствам приближения.

В последнее время интенсивно развивается область многомерных сплайн-приближений и юс применений (см. [4], [б]). Настоящая работа продолжает исследования в этой области. Она посвящена приближениям сплайнами классов функций многих переменных, име-

1. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976. - 248 с.

2. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. - М.: Наука, 1984. - 352 с. .

3. Schumaker b.L. Spline functions: basic theory. - Hew York: John YTilley and. Sona. - 1981. - 533 p.

4. .Dahmen lП., Micchelli Ch.A. Recent progress in multivariate

splines 11 In: Approximation Theory 4. - Acad. Press, Hew York. - 1984. - P.27-121.

5. Cie3ielski z., Figiel T. Spline bases in classical function spaces on coapact С manifolds, 1,2 // Stud. Math. -1983. - 76, So.1. - P.1-58, Mo.3. - P.95-136.

- исследование поперечников анизотропных классов функций Никольского н^(Iм), ^р^оо.ЛбП^ , (см. [б]), поперечников пересечения таких классов;

- вычисление порядков сложности по Колмогорову £ -приближения классов Нр (Iм);

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Они состоят в следующем.

1. Методом дискретизации вычислены порядки колмогоровского, линейного, александровского и энтропийного поперечников классов функций Нр(Г*) в метрике пространства и (П.

1 $ ^ ^ оо , а также порядки колмогоровского, александровского и энтропийного поперечников пересечения классов при условии, что вектора вС* , ¿ = 1 , лежат на одном луче в пространстве [К** с вершиной в начале координат.

2. Дано определение сложности £ -приближенного вычисления , - функций и классов функций в метрике пространства (1™*) ,

обобщающее соответствующее понятие колмогоровской сложности приближенного вычисления непрерывных функций, и вычислен порядок этой сложности для классов функций Нр (1ГП)*

6. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1969. - 480 с.

3. Рассмотрена основная изопериметрическая задача с граничными условиями (см. [?])» Найдено ее решение в одномерном случае при альтернирующих краевых условиях и в многомерном случае при нулевых краевых условиях.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференции молодых ученых (Москва, МГУ, февраль 1987 г. ), на семинарах кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ и кафедры оптимизации факультета математики ЕрГУ.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор результатов, относящихся к теме диссертации, приводятся все необходимые определения, и формулировки основных результатов.

В параграфах I и 2 первой главы вводятся необходимые обо-

7. Тихомиров В.М." Некоторые вопросы теории приближений. -М.: Изд-во МГУ, 1976. - 304 с.

значения и определения и формулируются предварительные сведения,

касающиеся пространств функций конечной гладкости, поперечников, сложности £-приближенного вычисления функций и классов функций.

Параграфы 3 и 4 первой главы посвящены свойствам пространств гладких сплайнов и представлениям сплайнов сушами из В-сплай-нов. Для сплайн-функций доказываются аналоги хорошо известных теорем гармонического анализа: Марцинкевича-Зигыунда, Рисса, неравенства Бернштейна-Никольского, прямых и обратных теорем теории приближений (см. [б]). Эти теоремы лежат в основе приложений сплайн-приближений.

Глава 2 посвящена доказательству основных результатов диссертации. Сформулируем их. ^

Примем следующие обозначения. Г= [0Д1, I = [-1Д] ,

- стандартный базис в , (а")+=тах(а,0) ,

Определим аякзаг^опное_прост^анство санкций конечной_гла,2-кости Ир (Iм') , 1 ^ р^ 00 , 00 € 1К+' • которое служит основным объектом наших исследований. Для функции

гс()£ ЦСН

обозначим

К^ = а » если <£„6 А/ , и Кг= 1 , если сС-, £ ^ , где 1Л)к(х(-)/С; Хт)р - есть интегральный р-тый модуль непрерывности . К -того порядка функции ЭС() в направлении вектора "С 6 Теперь определим

где

-K^Vj'^VV'*1.....")■

Хорошо известно (см. , что при условии

[2"¡7"") ~ [ ТГ ~ Т") >0 пространство Hp (I™) компактно Ч=а ' / VP Y/+ _г m ^

вкладывается в ¿cj(I/. Величину £ ,Wl) = hi- (S^ J

называют эффективной гладкосгьк_п£Ост2анства Hp (i**) • Через H p обозначаем единичный шар пространства Hp (Iм) . Определим исследуемые в работе поперечники компактов линейного нормированного пространства. Пусть "W - компактное подмножество линейного нормированного пространства X • Для набора множеств (X — {А} , АсX и набора отображений Т(А)r { F } , F •' * Д назовем поперечником рфО^>Х) ,

следующую величину

рФад= sup и*-гс*>||

1 ' ' Меф л:

Тогда, если ОС - есть множество аффинных многообразий из X размерности N , a 7(A) - есть множество любых отображений из W в А , го получаем определение кол-могоеовского_поперечника d^ , X ) •

Если Oi вновь есть множество аффинных многообразий из X размерности N > а У (А) - есть множество аффинных отображений из W в А. » то получаем определение линейного поперечника А/у

(V/.X) •

Если (Н - есть множество А/ -мерных комплексов из X » а (А) - множество непрерывных отображений из W в Д. , то получаем определение алексадгщовского поперечника

Если, наконец, (К - есть всевозможные & -точечные подмножества X . а Г(А) - любые отображения из ¥ в А » го приходим к определению энтропийного_поперечника

Квадрат 1а= {( р-разобьем на следующие

пгоьоае»» 1= {(^ . | р % <> ] ,Ж= {(£ Р^«а),

Тогда утверждается следующая

Теорема I. Пусть , ¿С в ,

\п ( р ^]+ ^ и , тогда

а)

м-чр4

ЛИ)"*

при дополнительном условии > Ууг/З- I если <3.< р-^ ^ ,

и ¿(¿С,У*)> Ии./р , если р< .

б)

\,(н*цИ:

. А. ^

Р V (— — ¿ям), с 1'

«-"й-1*!-! (I ш

при дополнительном условии ¿(¿Е,»и) > УУ1/2.

если р<3.<(^

г)

£„(Н

т.

при дополнительном условии >УП.

Отметим, что утверждение г) теоремы доказано ранее В.В.Борзовым [в] для соболевских классов функций другими методами.

Следующая теорема касается поперечников пересечения клас-Ир ,]=1,..Д.Пусть Г = ,

где р^ ©О , ¿ = 1,...^ . Допол-

нительно будем предполагать, что точки оС^ лежат на одном луче в пространстве [К'п с вершиной в начале координат.

Теорема 2 вычисляет порядки колмогоровского, александровского и энтропийного поперечников классов функций Н ^ —

= П Ны в метрике ¿а (Х'и), 1 ^ ^ £ 00 . Подобная за-г

дача для колмогоровского поперечника в периодическом случае и с условиями 1 < р*5, ^ < оо решена Э.М.Танеевым [9]. Для обозначим через множество

= и сопоставим каждому такому множес-

тву область

.....

где , СО А ~ выпуклая оболочка множества Д , С0Я.€ А -выпуклая коническая оболочка множества .А. . Обозначим также

8. Борзов В.В. О некоторых применениях кусочно-полиномиальных приближений функций анизотропных классов Wp // ДАН СССР. - 1971. - 198, 115 3. - С.499-501.

9. Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову пересечения классов периодических функций и конечномерных множеств // Мат. заметки. - 1981. - 29, № 5. - С.749-760.

сУН^ЦГ)):

при этом величина р не зависит от с ввиду условия на вектора оС*

Теорема 2. Пусть <: ,

о£). тогда

а) г -

, ¿(?(Уа),т)

б) ¿са:® т) > \л/рс , тогда

Если задача о вычислении поперечников (особенно, порядковых оценок поперечников) компактов в линейных нормированных пространствах исследована многими авторами достаточно глубоко, то исследование величины, называемой сложностью задачи о приближенном вычислении функций, еще только начинается.

, В 1962 г. А.Н.Колмогоров [ю] наметил подход к определению понятия сложности 6 -приближенного вычисления (или £ -приближения) непрерывных функций и классов непрерывных функций.

10. Колмогоров А.Н. Различные подходы к оценке трудности приближенного задания и вычисления функций. - В кн. Теория информации и теория алгоритмов. - М.: Наука, 1987. -№ 8. - С.199-204.

Подход заключался в сведении проблемы к вычислению сложности булевых функций.

тх А

Пусть р: {0,1} —> {0,1] - булеЕа_ф£Шщия. Сложностью К(Р) булевой функции р называют минимальное число команд в программе вычисления этой функции для машины, в которой для ОС, ^ 6 {0,1] допустимы операции: ввести ОС ,

—I _ уо , х=1 _ о, и _ Г О ,г .л^Го 4 = 0 „

' ~ 11 , эс = у=1 . вывести ЭС.

Для П. £ /V , ^ € К обозначим через Ац, множество чисел вида К- 3, л , К £ "2, , через (^)ц, - ближайшее к t число из А и, , не превосходящее \ ,

га^з-ат*. пусть -> Ш]^,

и е>о. дляП^-^

под будем понимать число в двоичной записи

ЯоХ.Л* ,11 с {0,1} , ¿=0.1.....я , взятое со знаком 4- , если 10= 0 , и со знаком — , если 1 . Всюду пола-

гаем is0.il... ,-1=1.11... .

Обозначим теперь через Т . класс функций

№=П *) V* б Г, ?= к), ?с=в)^ I{«]•

Вычисляя булеву функцию р , мы тем самым вычисляем и соответствующею ей функцию € Т* • Поэтому определим сложность вычисления функции так: К7/()) =: К(Р) • Для функции ЭС(-) 6 С(Г)1) определим теперь сложность ее вы^ числешя_с_точностью_до £ следующим образом:

Vierj.

Сложность £ -приближения класса_ф^нкщй w<= cd^ij

K(W,e)= sup{K(ac(-),£)|a(-)6WJ.

Теорема 3. Пусть 1 4 р 3 «=ю, ¿С £ IR^ , ii^-^О.Югла

КС Н^е)—

Обобщим теперь колмогоровское определение сложности £ -приближения на функции Х( )6 i<j,(l^IJ и классы функций W с LfyCL**, 1) в метрике пространства Lt^ (I"*) . Сложностью £ -приближегаш в метрике ф/ШЩИИ

Х{-) ё Ly (Iм, I) Назовем величину

(r*))=i«f {к ll^O-^llli^r-f € 3.

Соответственно, сложностью £ -приближения в метрике ¿.суЦ**)

I):

К£(¥,Ц(Г))= sup {К£(*0,Ц(Г)) I XCOCW].

Теорему 3 удается обобщить следующим образом. Теорема З7. Пусть , сС € IR + ,

КЕ(Н*,Ц(П)~ С^'У^иг).

Предыдущие все результаты касались порядковых оценок различных величин в теории приближений. Следующие две теоремы касаются точных решений одной экстремальной задачи нелинейного

анализа: изопериметрическая одномерная задача с альтернирующими краевыми условиями - теорема 4, аналог изопериметрической задачи в многомерном случае с нулевыми краевыми условиями - теорема 5. В обоих случаях точные решения задачи доставляют полиномиальные функции либо сплайны.

Сначала - одномерный случай. Введем класс функций с краевыми условиями Г" • Пусть Т в N , 1 < р $ оо , тогда

где ¥р(Г) - соболевский класс функций:

АС (I)

- класс абсолютно непрерывных функций. Рассмотрим следующую задачу:

где Га означает альтернирующие краевые условия,- то есть

Га<£=> ос(-1)=хП)= асГ:1)=..х*л\(л?)= 0.

Теорема 4 дает явное выражение функции ЗСТвос^ (•) - ~ решения задачи (^(Т^/'ЬГа)).

Г+ Р

. ~ '-гч ц ) > 1 - четно, .1 ^ Ь | , 1 - нечетно,

где ЕгМ = С*' ^ ~ VI^ К - полиномы Эйлера степени Т , Е« - числа Эйлера, ^=0,1,...^ .

В многомерном случае рассматривается следующий класс функ-

ций. Дня X в , обозначим

= (*м е \уг'Р(Г)|х<-)|г^е г},

Мы рассматриваем следующую задачу где Г" означает нулевые краевые условия, то есть

Ж)!* 6 Г л

М^* — у лля произвольных

*€ и 1ё=:(к1г,ех" К* г ,

Теорема 5 утверждает, что решения задачи

еогь сплайн-функции специального вида.

Теорема 5. К^Зоо, р=Оо , г £ Ы*" ,

тогда ,

ы . « , т

где иГ5,••.,*-„)= Д )

ном Чебышева второго рода степени 1 .

- поли-

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Владимиру Михайловичу Тихомирову за постановку задач, постоянное внимание и поддержку в работе.

Публикации по теме диссертации

1. Китбалян A.A. Решение одной экстремальной задачи нелинейного анализа // Сб. "Экстремальные задачи, функциональный анализ и их приложения". - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. -С.5-8.

2. Китбалян A.A. О колмогоровской сложности неизотропных классов гладких функций. - Деп. в ВИШИ АН СССР 27.II.89г., № 7077-В89. -22 с.

3. Китбалян A.A. О поперечниках неизотропных классов функций конечной гладкости // УМН. - 1990. - 45, PI. - С. 177-178.

Заказ л 47-$$,. у""®'"ало в ПОРМ

■»»«« гкзеыолярах

Л-11029 В печать 01.06.90 Изд.й 36п Формат 60x84/16 Уч.-изд. л. 0,6 Печ. л. 0,75 Тираж 100 экз.

Разинонено в ЦНИШГШЖ