Абсолютная устойчивость нелинейных систем в вырожденных случаях и оптимальные линейные пассивные системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

РГЗ 2 7П

СЙЙТ-ПЕТЕРБЛТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

НУДЕЛШАН Марк Адольфович

АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТШ В ВЫРОВДЕНШХ СЛУЧАЯХ И ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ

Специальность: 01.01.09 - ыатематичб* ." -этика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

САНХТ-ПЕТЕРЕУРГ 1993 г.

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Д.З.АРСВ, , доктор физико-математических наук, профессор В.А.ЯКУЕСВИЧ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Н.Е.БАРАБАНСБ, кандидат физико-математических наук, доцент А.1.ЛИХГАРНИКСВ

Ведущая организация -Харьковский государственный университет ш. А.".Горького

Еамта состоится " % " риуц^х 1993 г. в Л^в часов на заседании специализированного совета К 063.57.49 по присуждению ученой-степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, г.Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, дом 2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, г.Санкт-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9.

Автореферат разослан ьШЭ+^йи 1933 г. *

Ученый секретарь специализированного Совета К 063.57.49, кандидат физико-математических наук, доцент А.И.ШШШЙ

0Н1АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Интенсивное развитие различных аспектов теории абсолютной устойчивости обусловлено гтк чисто теоретическим интересом к решению новых задач об устойчивости дифференциальных уравнений, так и тем, что метода этой теории применимы к исследованию ряда нелинейных систем автоматического регулирования, гироскопических систем и т.п. При этом случал, когда конструктивные параметры системы находятся внутри области абсолютной устойчивости, в настоящее время хорошо изучены, поэтому актуальной является задача исследования абсолютной устойчивости в тех ситуациях, когда параметры системы находятся на границе этой области.

С другой стороны, теория пассивных систем является одним из важных современных направлений теории операторов. В этой теории известно понятие Р -пассивной системы, однако это понятие до.сих ¡хор не было ;;сслодог;а::с. В ::астс.™с2 лдссортзггп до»«??«?

существование оптимальной и минимальной Р -пассивной системы, причем для этого применяются методы, заимствованные из теории абсолютдай устойчивости (метод полуограниченных квадратичных функционалов). Кроме того, найдены достаточные условия абсолютной устойчивости оптимальных и минимальных дискретных пасеизных . систем рассеяния бзз предположения о том, что спектр основного' оператора системы леяит строго внутри единичного крута. Последний результат является актуальным как для теории абсолютной устойчивости, так и для теории пассивных систем.

Цель работы - исследовать абсолютную устойчивость систем, у которых конструктивные параметры могут находиться на границе области абсолютной устойчивости (е частности, оптимальных и минимальных пассивных систем рассеяния) и оптимальные пассивные системы.

Научная новизна. Б диссертации.решаются новые задачи об абсолютной устойчивости систем обыкновенных ди^еренциальнях уравнений и систем с запаздыванием, а также оптимальных пассивных систем рассеяния. Репавтся такхе некоторые новые задачи теории пассивных систем.

Нетодака исследований базируется на применении методов теории а'сслзткой устойчивости и теории пассивных систем, а также тесрта пространств 15р.и: и теории делкх'СункьгА эксиг>ноя-

циального типа.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при отыскании условий абсол! тиой устойчивости, для доказательства существования оптимальных пассивных систем, а также при решении специальных задач управления техническими объектами и технологическими процессами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры теоретической кибернетики Санкт-Петербургского университета (рук. В.А.Якубович), на Одесском городском семинаре по теории операторов (рук. Д.З.Аров), на семинаре по спектральной теории функций Санкт-Петербургского отделения Математического института им, Б.А.Стеклова (^ук. К.К.Никольский, В.П.Хавин), на семинаре кафедры математики и механики Одесского гидрометеорологического института (рук. М.А.Рутман), на 1-й Украинской республиканской конференции по целым и субгармоническим функциям (Харьков, 1990) и на Украинской республиканской конференции "Функциональный анализ и его приложения" (Одесса, 1990).

. Публикаъш. Основное содержание диссертации отражено в работах [1-3] .

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех гчав и списка литературы (36 названий). Общий объем работы 100' машинописных страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

' Во введении дается обзор проблем, связанных с темой диссертации-, и краткое .изложение результатов работы.

В главе I исследуется задача об абсолютной устойчивосаи системы

- Дсс (i)+é¿r(t)

ÍI)

с интегральной квадратичной связью'

¿¡м ( OQx-it) .%(t))dt < г (л)

Т-оо ¿

(2)

где - эрмитова форма, заданная т£ .

Полным выходом системы (I) называется вектор-функция

CoC (x(t) . ?ct)) . Скалярным выходом называется функция вида v<t)«M,*fr;+Ma«t>

где Mf и M ¿-строки размеров соответственна /v и m .

Определение. Система (I) с квадратичной связью (2) называется абсолютно устойчивой по полному выходу, если соотношения (I),

La j

____________________ _. .¿О,с*>) , ç (• и L^ (0,°°)

и оценку

. + urnt^di 4 с (1|а||2£И +fca) .

для любых О, - начальных условий системы (I).

Определение. Система (I) с квадратичной связью (2) называется абсолютно устойчивой по скачярному выходу л?СЬ) , если соотношения (I), (2) влекут включение V С* ) £ Ц*(0;Сп) и оценку

1ГЮ\2(№ 4 С(0+ккс<ч)

о

для любых 0, - начальных условий системы (I).

Напомним, что пространством Харда Л2 в правой полуплоско-, сти называется гильбертово пространство, состоящее из функций , аналитических при |3е.р>£? и таких, что величина

шляется конечной. По определению

Щ1 = \jf\Zf ' Пространство И естественны.! образом отождествляется с некоторым замкнутым подпространством пространства 1_ на мнимой оси, та!; как граничные значения произвольной функции |е Н существуют почти везде, задают функцию из с такой же нормой и однозначно определяют функдаю ^ .

Известно, что.абсолютная устойчивость систеьи (I) равносильна полуограниченности снизу некоторых квадратична* функционалов вида

оа

' . / г

-V 2Яе ^

Здесь П (<р) - матрица размеров й1Х1и , принимающая эрмитовы значения на мнимой оси, ^СрР - столбец-функция высоты т. , Н (С ) - гильбертово пространство, состоящее из столбцов высоты га с элементами ез пространства Харда И в празой полуплоскости. В силу конечномерности системы (I), П(-) , ^ (•) суть рациональные матрицы-функции.

В рассматриваемой главе найдены необходимые и достаточные условия полуограниченности снизу функционала (3) для случая, ког^а матрицы-функции ГЦ- ) , ^С- ) рациональны

Пусть выполнены услои.л, обеспечивающие сходимость интегралов в правой части формулы (3): элементы матрицы-функции П (р) ограничены на V,шалой оси; элементы столбца ^С]5) ограничены на ыкимой оси и $ (со)в О

Теорема I. Пусть выполнены сформулированные выше предположения. Тогда для полуограниченности снизу фугаздюкала (3) на пространстве Харди Н (€ ) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) матрица П (1^°) эрмитово неотрицательна прк всех сибК. ;

2) для всякого У){< ) € НЧСт) тождество П(£и>)р (¡4)= О влечет включение ^ (• )'>)(.■ ) е И (С) .

В § 1.1 описана процедура построения коэффициентов квадратичных функционалов вида (3), полуограниченность которых равносильна абсолютной устойчивости слетели (I) с интегральной квадратичной связью (2).

Е § 1.2 приводится доказательство теореш I.

В § 1.3 приводится пример применения теорег.ш I к исследованию абсолютной устойчивости системы вида (I) с квадратичной связью Еида (2),

В главе 2 рассматривается система дифференциальных уравнений с запаздыванием вида

где , С^ , <Т,< ••.<1Г = Т ; В данной

главе мк предполагаем гп,= 1 . Интегральная квадратичная связь записывается следующим образом:

¿(-(а,); (5)

Т-*» О

здесь £ («= со1 (5(О,

^ ({) , ..., | ; Сг - эрмитова форма, заданная на

£П-Ос+о+т,(1с+у . у (а.) € .

Вопрос об абсолютной устойчивости систем с запаздывали еявп-да (4) при ¡71=1 приводит к рассмотрения квадратичных функционалов вида (3) на пространстве Харди М2 , для которых функция

ПО"«) есть отношение двух экспоненциальных многочленов ("ква-зирациональна"). Случаях, когда 1п.| ПС^) я О , назовем сингулярным. й,сР-

В данной главе для квазирациональной функции П(¿¿о) известные результаты о полуограниченности квадратичных функционалов вида (Л)-распространены на случай произвольного (возможно, бесконечного) числа нулей. Исходя из этого, рассмотрен вопрос об абсолютной устойчивости систем с запаздыванием для случая, когда все корни уравнения

М (|>1-А '16)

лежат в открытой левой полуплоскости (невозмущенное решение асимптотически устойчиво), а эрмитова форма Ст . задающая квадратичную связь, имеет матрицу вида

ГО К] [ К* и]

(7)

(форма "типа сектора").

Под экспоненциальным многочленом мы будем понимать выражение вида I ,

где , - алгебраические многочлены. Отношение двух

экспоненциальных многочленов мы называем квазиреционалъной функцией.

Пусть П (•) - ограниченная и неотрицательная на мнимой оси квазирациокалькая функция, причем П представляется з вддо

п л РСссс;

где ^ P( i О) есть экспоненциальный многочлен, Qg(i">) и QJ&i

- ограниченные положительные функции, га^О - целое vi ело. Пусть ГО'оо - наибольшее из целых чисел р*' таких, что

lita будем говорить, что функция j Cf>) принадлежит множеству > если она голоморфна в полосе -e<Rejf»<£ и sup ( 14 (ОС+t,tO)¡¿c(¿> <со .

-L J

Знаком "0 "-будем обозначать ортогональное дополнение. Теорема 2. Пусть J(y(-)) - квадратичный функционал вида (3), где ШИ , ПС«'*>)зг О - функция вида (8), Q е L* .

2 LI&

Потребуем, чтобы для некоторой функции ) е L О И

выполнялось равенство

где Íl(l0) аналитически продолжается в некоторую полосу—е <

и щ. .надлежит И£ . Тогда функционал J Су (')) полуограндчен снизу на ЬС .

Предположим, что для системы с запаздыванием вида (4) реыэ-гше уравнения

J

экспоненциально убывает при любом начальном условии (т.е. все корни уравнения (6) лежат в открытой левой полуплоскости).

Предположим, далее, что матраца эрмитовой форш G , задающей квадратичную связь, имеет вид С'7).

Для <0 , óc(рJé С" введем обозначения:

Z=co¿ Ц^е™ П),

X - col (£(p)j 3ícp)epr\ %Ср)ерТк). Свяжем X (f>) и £ соотношением

= f (II)

-prK. ■ CIO)

где

передаточная функция системы (4). При этих оглашениях определим функции П(Cbj) , равенствами

Здесь D - начальное условие системы

преобразование Фурье решения систёмы (9) с начальным условием Ь .

Ясно, что П(£м) есть 1шазирацконилъная функция, ограниченная на мнимой оса. Определил целое неотрицательное число т^» так же, как в теореме 2. ^

(-¿¿(Phi ), \л/й(р^ М,Х(р)+А1г£(р)

iiJfUi« • • w |

где£=^ , К >.2 ,Х связаны соотношениями (9), (10), а 1 ~ коэффициенты скалярного выхода. 'Для каждого а>0 рассмотрим функции ^ т г '

Будем говорить, что управление 4принадлежит классу

, если 5 СО в О на отрезке [О^Л] .

Теорема 3. При сделанных предположениях условие 7сое1К

(соответственно, П) при Есех 1.алых ' (Уо является необходимый и достаточным для абсолютной устойчивости системы (4) по полному (ссотЕетственно, по скалярному) выходу для управлений, принадлекаисих классу .

"•оо *

Замечание. Как будет видно из § 2Л и доказательства теоремы 3, значение Г^^Т точное (то есть при абсолютной устойчивости в классе не будет).

Б § 2.1 доказана лежа, сводящая вопрос о полуограниченности квадратичного ;Функцконача гида (3) к вопросу 'о. разрешимости некоторой краевой задачи Ркмана.

S

Е 5 2.2-2.4 исследуется разрешимость краевой задачи Рпмана, соогзетствутацей квадратичному функционалу вида (3) с квааирацио-нальной (Тушсцией П, представклой в виде (8). В § 2.5 приводятся доказательства теорем 2 и 3. В § 2.6 приводите пример применения теоремы 3 к исследованию абсолютной устойчивости системы вида (4) с квадратичной связью вида (5), причем в этом примере функция П(л<-4) имеет бесконечное число нулей. ■

В главе 3 рассматривается дискретная .линейная система Л

вида

° (12) (Гк = + и2)

с постоянными коэффициентами Де[Х>Х1 , ВеГЦ>Х] , С £ 1ЖУ] < Яе V] ; здесь X . Ь', V - сепарабелыше гильбертовы пространства, через [У, 2] обозначается множество ограниченных линейных операторов, действующих из гильбертова пространства У в гильбертово пространство 2, .

Пусть £ [ ЧФ Ц> V® V]- ограниченный и ограниченно обратимый индефинитный самосопряженный оператор и пусть £) =

эрмитова форма, заданная на

У® и

Определение. Система (12) называется р -пассивной системой с дискретным временем, если соотношения (12) влекут неравенство

В частности, при РС^О =- Ц1- Цсг^2" получается определение пассивной системы рассеяния. Если РС^ К) -(здесь У, , ^ - индефинитные ограниченные сзмосопряяеккые операторы е пространствах V к V соответственно, причем £ -I , ¿~ 5,2), тс получается определение пассивной системы прохождения. Б случае У-V эрмитова ферма ГСсг,$} <7*4 соответствует определению пассивной системы сопротпвления.

Передаточной сткккпеЕ систегтк (12) называется оператор-

ер) = Я + * С (г- 2 А)"1 ь с I- * С N

В теории пассивных систем ватную роль играет понятие оптимальной системы, которая в определенном смысле ке:конее чувствительна г. внешним воздействия!/!.

Пусть Л, , Лг - две систем; вида (12), . (г) ('

их передаточные функции. 1'к будем писать 0А (?) , если

* Д

0,(2) = в некоторой окрестности точки 2 = 0 .

Определешш. р -пассивная система А0 с дискретным вроиеьим называется оптимальной, если для любой Г -пассивной системы ?> соотношение = влечет неравенство

Ч {г-У С.У

( "''к* о (с* о

В нгстояцее время в работах Д.З.Арсва получены суиестБешп.е результаты по теории пассивных систем рассеяния, а также пассивных систем сопротивления к прохождения, Вместе с тем понятие Г - пассивной системы, введенное им не, до сих пор никои ко сило лссле; :БсШл. В этой связи представляет интерес вопрос о существовании оптимальной г. минимальней Г -пассивной спстегз в массе р - пасс.чвннх систем с заданной передаточной функцией.

Как следует из пменцихся исследований по теории пассивных систем прсхоздения, вазнуп роль в изучении этих систем играет существование так называемой двусторонне пассивной системы с заданной передаточной функцией. Наличие такой системы обеспечиваету судествоЕйпе лпнейной замены переменных, переводящей да^у» пассивную систему из рассматриваемого множества в некоторую пассивную систему рассеяния.

Б данное главе мы вводим понятие дьустсрокне -пассивной сгстеш, с пемодьэ дохода полусграш;ченнкн кг,сдгатнчш;?с фунгаио-катов даем новее доказательство существования оптимальной п минимальней р -пассивной скстйш.

Пусть Л -система, заданная уравнениями (12). Лт-ойная ста-Шюпарная система }{* в сепарабельных пространства/. X , У , У , заданная уравнениями

=А*ХК+ с\

К/

называется сопряженной к системе Л .

Пусть Считая . I/ ,

рассмотрим эрмитову форму % (^(т)* [д-]' (о"] . Мы вводим следующее определение.

Назовем систему .А двусторонне Г -пассивной, если она Г - пассивна и система ^ -пассивна. со

Система (12)' называется управляемой, если Х- V А Ь^ и

к к=о

наб.шдаемой, если Д = (знак "Vя означает за-

«80

мыкшгае линейной оболочки). Управляемая и наблюдаемая система называется минимальной.

В данной главе доказывается следующая теорема. Теорема 4. Пусть &&) - передаточная функция некоторой двусторонне р -пассивной системы А . Тогда существует оптимальная и минимальная р -пассивная система с передаточной функцией 6до(2>= 6-^(2) . Эта система единственна с точностью до

унитарного подобия.

В § 3.1 приводится новое доказательство известной теоремы о существовании оптимальной и минимальной пассивной системы рассеяния.

Е § 3.2 приводится доказательство существования оптимальной и ынкинальной Р -пассивной системы. Это доказательство существенно использует материал предыдущего параграфа.

В глазе 4 выводятся достаточные условия абсолютной устойчивости оптимальных и миндальных пассивных систем рассеяния в терупках передаточной функции.

3 настоящее вреул имеется большое число работ, посвященных •леслсдсванав абсолютной устойчивости систем вида (!),■ у которых с:.е:-:тр основного оператора удовлетворяет условию

^ Йе о(А)< 0, (14)

а в дискретном случае .

su.pl сгСА)|<1 (15).

.либо сразу, либо после введения стабилизирующей линейной обратной связи. Условие (14) обеспечивает экспоненциальную асимптотическую устойчивость в целом линейной части системи (I),- то есть

уравнения =Дос (соответственно, условие (15) обеспечивает

экспоненциальную асимптотическую устойчивость в целом уравнения

ОС

В рассматриваемой главе найдены достаточные условия абсолютной устойчивости дискретных систем, вообще говоря, не удовлетворяющих условию (15), для случая, который представляется наиболее удобным для исследования, а тленно, для оптимальных и минимальных пассивных систем рассеяния с локальной квадратичной связью вида

йи2- (15)

Будем говорить, что система (12) с квадратичной связью (16) абсолютно устойчива по состоянию, если соотношения (12) и (16) влекут предельное равенство

йтсск-0,

которое монет пониматься как в сильном, так и в слабом (мысле. 3 §4.1 доказана следующая теорема.

Теорема 4.1.1. Если ОСз) - сжимающая аналитическая оператор-функция в единичном круте, действующая из пространства V в пространство V и удовлетворяющая условию

то соответствующая оптимальная и мшпшалькая пассивная система рассеяния сильно абсолютно устойчива по состоянию. В § 4.2, доказана следующая теоре:«а.

Теорема 4.2.J.. Пусть передаточная функция минимальной пассивной системы рассеяния удовлетворяет условию

. , Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах. I

1. Нудельман М.А. Особый случай задачи об абсолютной устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб: р~ eifflfi матем.журн. - 1989. - Т.30, }Ь I. - С.194-198.

2. Нудельман U.A. Сингулярный случай задачи об абсолютной устойчивости систем с запаздыванием (со скалярным управлением) // Сибирский матем.журн. - 1991. - Т.32, № 5. - -С.112-125.

• 3. Нуделшан U.A. Оптимальные пассивные системы и полуограниченность квадратичных функционалов // Сибирский матем.журн. -1992. - Т.33, В I. - С.78-86.

Тогда система слабо абсолютно устойчива по состоянию.