Спектральный анализ последовательностей бесконечного ранга нестационарности в гильбертовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна

Послідовності нескінченного рангу нестаціонарності у гільбертових просторах

01.01.01,- математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

-Черемська Надія Валентинівна

УДК 517.94

Харків - 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна Міністерства освіти та науки України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, доцент Янцевич Артем Артемович,

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, професор кафедри математичного моделювання та забеспечення ЕОМ.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Ковалішина Ірина Василівна,

Харківська державна академія залізничного транспорту, м. Харків, професор кафедри вищої математики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Аршава Олена Олександрівна,

Харківський державний технічний університет будівництва та архітектури, м. Харків, доцент кафедри вищої математики.

Провідна установа: Національний технічний університет України

“Київський політехнічний інститут ”, м. Київ (кафедра вищої математики № 1).

Захист відбудеться “28” грудня 2000 р. о 16.30 годині на засіданн

спеціалізованої вченої ради K64.051.ll в Харківському національному

університеті ім. В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, майд

Свободи, 4, ауд. 6.48.

З дисертацією можна ознайомитися в Центральній науковії

бібліотеці Харківського національного університету ім. В.Н.Каразіна.

Автореферат розісланий “28” листопада 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради _ Ігнатович С.Ю.

Актуальність теми. Дисертація присвячена вивченню нестаціонарних послідовностей нескінченного рангу нестаціонарності у гільбертовому просторі. Починаючи з робіт А. М. Колмогорова ефективним інструментом дослідження послідовностей у гільбертовому просторі була спектральна теорія лінійних операторів. Розвиток спектральної теорії несамоспряжених та неунітарних операторів не міг не виявитися поштовхом для різноманітних застосувань. Спектральний аналіз несамоспряжених операторів був з успіхом використаний М. С. Лівшицем га А. А. Янцевичем для дослідження нестаціонарних послідовностей у гільбертовому просторі, що відрізняються від стаціонарних тільки на скінченновимірному підпросторі. Подальші дослідження у цьому напрямку були реалізовані в роботах В. О. Золотарьова, А. А. Янцевича тг і'х учнів.Слід відзначити, що спектральна теорія несамоспряжених операторів ефективно використовувалась в квантовій механіці, радіофізш га ін. Спектральна теорія неунітарних операторів, початок якої було закладено в роботах М.С.Лівшиця, а подальший розвиток пов'язаний з іменами М. Г. Крейна, І.Ц.Гохберга, С.Надя, К.Фойяша, Л.А.Сахновича,

О.В.Кужеля, В.Т.Поляцького та інших фактично не мала свого застосовного двійника, як у випадку несамоспряжених операторів. Віздначимо тільки роботи А.А.Янцевича та Б. Беррабаха, в яких вивчалис нестаціонарні послідовності у гільбертовому просторі, які відрізняються від стаціонарних тільки на скінченновимірному підпросторі гільбертовогс простору (скінченний ранг нестаціонарності). При цьому істотну роль грала спектральна теорія стисків. У випадку, коли ранг нестаціонарності не є скінченним, спектральна теорія стисків вже не є ефективним методо\ як у випадку скінченного рангу нестаціонарності. В наслідок цього виникла необхідність у розробці інших підходів до побудови спектрально теорії нестаціонарних послідовностей у гільбертовому просторі. Підхід, що розвивається в дисертації, заснований на введенні специфічних характеристик нестаціонарності, що тісно пов'язані з відхиленням відповідних операторів від самоспряжених, а не від унітарних, як у випадку скінченного рангу нестаціонарності. Це дало можливість при дослідженні нестаціонарних послідовностей нескінченного рангу нестаціонарності використати апарат спектральної теорії несамоспряжених операторів зі скінченновимірною уявною частиною та ввести різні класи таких нестаціонарних послідовностей.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаці продовжує дослідження в межах теми “Побудова модельних зображень ггінійних операторів, спектральні розклади кривих у гільбертових

просторах та їх використання в теорії динамічних систем і в теорії випадкових функцій” 31198 №0198 и 005581.

Мета і задачі дослідження:

Основна мета роботи: розвинути теорію нестаціонарних послідовностей у гільбертовому просторі за допомогою трикутних та універсальних моделей несамоспряжених операторів. Основний зміст дисертації базується на розв’язанні наступних проблем:

1) ввести нові характеристики нестаціонарності послідовностей у гільбертовому просторі та дати класифікацію послідовностей з нескінченним рангом нестаціонарності, встановити зв'язок між нестаціонарними послідовностями та лінійними дискретними системами, що асоційовані з операторними вузлами, які містять несамоспряжені оператори;

2) дати опис деяких класів нестаціонарних послідовностей нескінченного рангу нестаціонарності у гільбертовому просторі в термінах кореляційних різниць та кореляційних функцій;

3) дати опис структури кореляційних різниць нестаціонарних послідовностей, що породжуються двопараметричними півгрупами двічі переставних операторів;

4) розглянути лінійні перетворення послідовностей у гільбертовому просторі;

5) дати операторні зображення розв’язків задачі Коші для лінійних диференційно-різницевих рівнянь з операторними коефіцієнтами. Теоретична та практична цінність та наукова новизна одержаних результатів. В дисертації продовжено вивчення нестаціонарних послідовностей у гільбертових просторах, що почалось в роботах А.А.Янцевича, Б.Беррабаха. Введено нові характеристики нестаціонарності, описані в термінах цих характеристик, деякі нові класи нестаціонарних послідовностей нескінченного рангу нестаціонарності у гільбертовому просторі, які породжуються одно- та двопараметричними півгрупами операторів. Досліджено лінійні перетворення послідовностей у гільбертовому просторі. Розглянуто нестаціонарні послідовності, що породжуються диференційно-різницевими рівняннями у гільбертових просторах.

Всі одержані в дисертації результати є новими. Одержані в дисертації результати можуть бути основою для моделювання достатньо широких класів нестаціонарних випадкових послідовностей, а також можуть бути використані в задачах фільтрації та прогнозу нестаціонарних випадкових послідовностей.

Апробація результатів роботи. Основні результати доповідались на

семінарах по теорії лінійних операторів та їх застосуванню (Харківський державний університет), на міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (1998 р. Чернівці), на міжнародній конференції з математичного моделювання (1998 р. Херсон).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1-7]. Особистий внесок здобувана. З роботи [1] в дисертації наведена тільки лема про зображення резольвенти, доведення якої отримано автором дисертації особисто.

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, п'яти глав, висновків та переліку використаної літератури з 75 найменувань і викладена на 134 сторінках.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дається обгрунтованість актуальності задач, які розв'язано у дисертаційній роботі, сформульовано мету дослідження та основні результати, одержані в дисертації. У вступі також стисло викладено зміст дисертації за главами.

Перша глава роботи присвячена аналізу лінійних систем, асоційованих з операторними вузлами, а також трикутним та універсальним моделям операторів. Ця глава з одного боку має допоміжний характер, а з іншого боку частково присвячена підготовці математичного апарату для розв'язку першої проблеми.

Розглянуто лінійні дискретні системи асоційовані з операторними вузлами, що містять несамоспряжений оператор; операції зчеплення такте систем, які використовуються для побудови спектральних розкладів нестаціонарних послідовностей у гільбертовому просторі.

Друга глава дисертації присвячена побудові кореляційної теорії деяких класів нестаціонарних послідовностей нескінченного рангу нестаціонарності у гільбертовому просторі на основі нових характеристю пестаціонарності, які введено в цій главі.

Введемо деякі означення та позначення.

Сукупність гільбертових просторів Я, Е та операторів А Є [Я, я],

(р Є [і?,і/], J Є [Я, /і] називається операторним вузломХ~ (А, Н, ф Е, 7), якщо виконуються вузлові співвідношення

^ ^ = итА = срср+ = (р.](р*,

з

де J- оператор інволюції, тобто J = J ,J2 = І.

Нехай £ (п) Є Н - випадкова послідовність з М^ (ґі) = 0 та

кореляційною функцією К(п,т) = MB, (її)В, (jTl) ■

Вкладемо £ («) стандартним чином в відповідний гільбертів простір

H,=Vj(n) , тоді К (ft, III) можливо обчислювати як скалярний

добуток К (n,rn) = (Хп, Хт , де X (її) відповідна послідовність у

гільбертовому просторі Н£ .

Означення. Послідовність X (п) в гільбертовому просторі зветься

еволюційно зображеною, якщо X (п) є розв'язком задачі Коші лінійного

різницевого рівняння в гільбертовому просторі з операторним коефіцієнтом

гХ(п + \) = АХ(п)

/Ц(«) = х(о) ’ __________________

Ае[н^,И^\ dim2JmAH = r<co Далі введено важливе поняття кореляційної різниці W{n, т):

W(n,m) = lx(n + \),X(m))-lx(n),X(m + \)) = K(m

Означення. Квазірангом нестаціонарності називатимемо max ранг

Т

квадратичних форм І ^ W (tl,rti)cinam (г = 1, 2,3,...).

п,т=\

Лема 1.1. Якщо X (п) еволюційно зображена послідовність в гільбертовому просторі, тоді W(n, т) має вигляд:

W (п,т) = i(lJmAX (п),Х (mfj.

Лема 2.1. Якщо dim 'IJmAH = Y < со, то

W(п,т) = і£<ра(п) Jap(рр (т), де(ра(п) = (Ап£0,ga),ga

аф=1

каналові елементи оператора А, а J — ар ) - інволютивна матриця г Л

^ар ~ ^Ра’ У1*Л/у^гД ~ ^ар ’ ^0 = ^ (О) Є ^Є, '

V У=1 )

Далі вивчаються нестаціонарні послідовності з квазірангом одиниця. Для знаходження ІУ(п.т) істотним чином використовуються трикутні моделі операторів. Нехай А - обмежений повний дисипативний оператор з дискретним спектром. Використовуючи лему 2А., трикутну модель оператора та зображення функції від оператора через його резольвенту, одержуємо вираз:

Г Г

IV (п,т) = Х&Л МІХЛр (т)’

і=і р=і

де Л к (гі )так звані А - функції, що будуються лише за спектром оператораА.

Аналогічно одержимо вираз для IV (п, т) для випадку вольтерового оператору, тобто для моделі оператора А в /|0 ^ вигляду:

X _____

(Дг)(*) = я(*)/(*) + і\/(у)(1у, а(х) = а(х)

о

а) у випадку, коли а (х) = 0

/_ЛИ+1 і ______

(р(п) = -—-— і” (я)(х-1)” сік, і¥(п,т) = (р(я)<р[т);

п і

п. 0

б) у випадку, коли £2 (х) = £70 = а0

п Г-іУ і1сп~1 К ,

НП) = ~11" л " а0~‘ €о (*)<&’

1=0 І-

IV (п,т) = і(р{гі)(р(т).

Далі розглядаються нестаціонарні послідовності скінченного квазірангу.

А — А

Нехай х(я) = А"х0, де dim—;—Н - г (2<г<со).

Теорема 2.1. Якщо х (п) - повна еволюційно зображена дисипативна послідовність г-го квазірангу (оператор А є повним) (і < Г < оо) з дискретним спектром, то її кореляційна різниця має вигляд:

Г

W(n,m) = ]T<pa(n)<pa(m),

а=1

де

00 00 . |2

<Р(п) = 11Ска)Ак(п)> ЕН <00> (а = 1,2,-,г)

к=1 *=1

М”) - спеціальні А -функції.

Означення. Зчислена або скінченна множина комплексних чисел /її, у^К , Лп,К називається Я - множиною, якщо виконуються умови

1)МЛк>0 (К= 1,2,...);

N

2) < 00 ;

К=1

3)|/1*|<С (Я =1,2,...).

Теорема 2.2. Нехай задана Я - множина та довільні г послідовностей

Н“1,

00 .

Е (а)

по*

*=1

Тоді існує еволюційно зображена повна дисипативна послідовність квазірашу < Г, кореляційна різниця якої має вигляд:

< 00.

Г ________

W (п,т) = і^Фа {п)(Ра

а~\

00

= (я).

і-=і

Теорема 2.3. Якщо х{п) повна еволюційно зображена дисипативна послідовність г-го квазірашу (і < Г < со) зі спектром у нулі, то її кореляційна різниця має вигляд:

Г ________ -П 1

IV(п,т) = /£>а (п)<ра (т), де <ра (п) = — \/а (х)хпсіх.

а=\ П- о

Справедлива теорема.

Теорема 2.4. Для будь-якої заданої функції

існує еволюційно зображена

дисипативна послідовність квазірангу г, кореляційна різниця якої має

Г ________

вигляд: Ж(п,т) = і^Фа (я)р« (т)’

а=1

—і" 1

Ж<ра (п) = — \/а (х)хпс1х. п\ '

Наприкінці другої глави одержано спектральні розклади нестаціонарних послідовностей.

Теорема 2.5. Якщо х(п) = АпХ0 послідовність скінченного квазірангу,

де А -повний дисипативний оператор з дискретним спектром, то для кожного п існують дві послідовності ік(п) та ик(п), такі, що має місце

00 00

зображення: Хп = '^2к (П) = (п)2к \

к=1 к=1

де щ(п) - детермінована послідовність при кожному п, 1^2к ,2^ — 8ц; послідовності щ(п) є каналовими ик (/?)а<ї,

а=1

и{“] (п) = (ик (п),аа)Е = (аа,ар)Е = 8ар.

Функції дискретного аргументу щ(п) знаходяться з системи різницевих рівнянь першого порядку:

т (и+О+К¥к (п) = Е м*а) М 4^ {аа > )я

а=1

. МЯ)|«=0=М0)

«й00 = «*в)(л)-і4®~а (гк,)£¥к(п)

4а)(«) |*=о=°>

- власні числа оператора >4; бУа - власні числа оператора 2J^^tA.

Теорема 2.6. Для кожної еволюційно зображеної послідовності Хп = скінченного квазірангу, де А цілком несамоспряженний

оператор зі спектром у нулі, існує спектральна міра 2Х (0 <*< о та

множина функцій 0а (х) {(X = 1, , які задовольняють наступішм

умовам:

1) ЛУ А22^ (^1 І ^2 ) ’ - прирости

відповідно на інтервалах Ак , р І^АХ І А2 ) - довжина спільної частини інтервалів Ак;

2) ЕМ*)^1 (0<Х<1);

а=1

/ ____________

3) |<9а(х)б>д(х>^ = ^а^

о

та такіх, що послідовність Хп можна зобразити у вигляді:

/

\ = \/{п,х)скх , де функція /(п,х) знаходиться з системи о

рівнянь:

/(п + \,х) = -і^еа (х)иа (п,х),

а=1

сіи,Лп,х) , „ . , ч

----—-----= -і/ (п +1, х) ва (*),

/(«^)|и=0 = /о М> /о М є 4,/]>

"Ли>*)|*=о = “Ли) =

Третя глава містить опис структури кореляційних різниць нестаціонарних послідовностей, які пов'язані з двопараметричними півгрупами двічі переставних операторів.

Означення. Поле В, (п, називається еволюційно зображеним, якщо

^(ії,р) = А" <^0, деАк(к=1,2) двічі переставні обмежені лінійні оператори у гільбертовому просторі. Біспектром еволюційно зображеного поля В, (/?, р) — А" А%<^0, називатимемо (Тх (А1) II <Т2 (А2 ), де

спектр оператора Лц(/с= 1,2).

Введено часткові кореляційні різниці

Щ (я, р, т, д) - К(п +1, р, т, д)- К(п,р,т +1,д) Ж, (я, т, д) = К(п,р + ],т,д)-К (п, р, т, # +1)

Щд р,щф-К{п; /н-1, Дл+1, #/ВД+І)-Ди+1, Р+ІЩф

-К{п,р,т+\д+\) де К(п,р,т,д) — (^(п, р),<^(пі,д}} кореляційна функція послідовності

Для еволюційно зображених полів мають місце наступні співвідношення для \Уі(п, р, т, ф (і -1,2) та IV (п, р, т, ф:

Щ(і% р, щ д) ={ЦтЩі% р), фцд)), Щ(ц рщч)={2Ітіф% рШщф) Щп> рмд)=(2Щ2Щ%п,р)&щд)).

Означення. Рангом квазіоднородності послідовності (р,Р) назвемо

тах ранг квадратичних форм ^ IV (Xк, Х1 )ака1 .

к,1=\

Лема 3.1. Нехай \У («, р, т, р) - кореляційна різниця еволюційно зображеного поля %(п,р) = А" А£<%0, тоді

їїГ{п,Р,т,д) = '£К(Ра(гг>Р)(Ра(т’(ї)’ЯЄ Ліа -дійснічисла,

а=1

<ра{п, р) = 1ф{п, р) ,е°а).

Теорема 3.1. Для того, щоб послідовність £(п,р) = А” А%<%0, мала скінченний квазіранг г, необхідно та достатньо, щоб (І1Ш /У0 = Г < со, де Н0 = итАхН І 2МА2Н.

Означения. Послідовність ^ (п, р} називається квазідисипативною,

N _

якщо невід’ємні усі квадратичні форми ^ Ж (Хк, X[ )ак а і,

1с,Ы1

^(Х^Х.-рл (у = 1,2).

к,1=1

Для знаходження загального вигляду кореляційних різниць істотно використовуються трикутні моделі системи двічі переставних операторів, побудовані В.О.Золотарьовим.

Теорема 3.2. Для того, щоб IV (п, р, т,р) була кореляційною різницею дискретного поля вигляду £(її, р) = А" , де Ак (к=1,2) - оператори

зі спектром в нулі, необхідно та достатньо, щоб

Щп,Р,т,4) = (р{п,р)(р{т,д),

■п+р п+1 р+\

де (р{п, р) = (- 1)р--------------5- -.

Д Ч'К V У („ + 1)|(/? + 1)|

Теорема 33. Для того, щоб IV (п, р, т, #) була кореляційною різницею дискретного поля вигляду (її, р) — А” А-2 , де Ак (к-=1,2) оператори з

дискретним спектром необхідно та достатньо, щоб №(п,р,т,д) = (р{п,р)(р(т,д\ де

ю

V "Я/ п у2 т=1д=\ 4п А \ А. •*=! Л Лп-5 Г=1 А. /$-г

Аналогічна теорема має місце і у випадку, коли у Аі - дискретний спектр, у А2 -неперервний.

В четвертій главі розглядаються лінійні перетворення послідовностей у гільбертовому просторі.

Нехай 2п = Ап 2§ - еволюційно зображена послідовність у гільбертовом

просторі. Широкі класи нестаціонарних послідовностей можна одержати, якщо розглянути лінійні перетворення послідовностей у гільбертовому просторі.

Послідовність Е,п називається дилатацією порядку г послідовності 2{гі), якщо у гільбертовому просторі виконується <^(я) = В2(п) та

сііш(/ - В*В)Н = г,дсВє[Н2;Н2].

Теорема 4.1. Для того, щоб була дилатацією першого порядку

стаціонарної послідовності, необхідно та достатньо, щоб її кореляційна різниця мала вигляд:

2 ____________________

УГц (я, т) = (п-т)+ ^фа(пУар фрі™)>

а,0=1

п

де УУ22:(п — т) = 2і (*БІПХе‘(п т‘>А'СІР(Л), Р(Л) -неспаднафункція

. . П

обмеженої варіації, Jар = , а Фа (/?) є лінійним

V ^

функціоналом від г(п) та Фі(я + 1) = Ф2(я).

Теорема 4.2. Для того, щоб була дилатацією першого порядку

нестаціонарної послідовності першого квазірангу з дискретним спектром, необхідно та достатньо, щоб її кореляційна різниця мала вигляд:

2 ____________________

(я, т) = 1¥% (я, т) + £ Фа (я)/^ ф р (т) -

а,р=1

де Ж22(п,т) = (р{гі)(р{т),

п

ф№) = > Акір) - спеціальні А функції,

К=1

<7

(А)

ак + і

Л

0 1 -1 о

-аФ„(«) («= 1,2) є лінійними

Х|Сг|2<оо,У = к-1 Ч"‘ "У

функціоналами від г(и).

Далі розглядається нестаціонарна послідовність першого квазірангу з неперервним спектром.

Теорема 4.3. Для того, щоб була дилатацією першого порядку

нестаціонарної послідовності першого квазірангу з неперервним спектром, необхідно та достатньо, щоб її кореляційна різниця мала вигляд-.

2

1¥^ (п, т) = ^ (п, т) + И Ф.Ж*»<М,п)-да

а,Р=1

\¥./у{п,т) = і(р(п)(р(т),

і і ____________________________________

р(и) = (/о(*)> А*пе) = І /оО)(А*пе\х)сіх = І /0( х)а(х)к е(х)ск

+ 1 е(т)с!т-^—-§Лпс1Аехр(-/| ■

2/Г0_0 V г^)“Д.

г° і'

"-10

1 1

’ ||/о(^)|2^<0°5 ||е(х)|2^<со,

' о о

а(х) - кусково-неперервна функція зі скінченним числом розривів, Фа(п) (а = 1,2) є лінійними функціоналами від г„та

Ф,(я + 1) = Ф2(л).

П'ята глава присвячена нестаціонарним послідовностям, що породжуються задачей Коші для дифереіщійно-різницевих рівнянь у

гільбертовому просторі Н0:

, ч д2и(х)

К* (*) = Ут

ОХ (1)

И„1»=о= "<>(*)■

3 (1) одержуємо рівняння для: Кт п (х,_у) = (ип (х),Ит

Яп

Кт+Ьп+1(х,у) = у2

ди

Кт,п(*>У\

дх1ду1

КтЛх’У)\^о= К*ЛХ’У)-

Розглянемо задачу Коші (2) для кореляційної функції, де

(2)

Ко,о(х,У) = <

оо

*0,0 (*> у) = \фъ О + г)(Ро (у + х, у;

0,

х < 0 ^<0

Якщо шукати розв'язок (2) у вигляді

СО

Кт,п(Х’У) ~ $<Рт(Х + 2)<Рп(У + їУк* т0 дая 9т (Х) одержуємо

0

задачу Коші

д2(рп (х)

<Рп+= -----

<рЛ*) |я=0

дх

[>0 (х), х>0‘

[0, х < 0

Далі у цій главі проводиться спектральний аналіз кореляційних функцій розв’язків диференційно-різницевих рівнянь у гільбертових просторах за допомогою операторного зображення розв'язку задачі Коші та трикутних моделей операторів.

1) Розглянуто задачу Коші

“«+»(*)= утз:и«№>

дх

м,

п л=О

8Їп(хА)и0,х > О,

и

п х=0

= О,

її розв'язок шукаємо у вигляді:

( 1 "\ г52”

ч,М = (-і)”и' 10

2я7

йх

2и

■ф$іп(х£)(^-Я/) 1 и0с1Л,

де у - контур, що охоплює увесь спектр оператора^.

Якщо А - обмежений дисипативний оператор д\ш.ишАН — 1 з дискретним спектром та М0 = £ каналовий елемент, то використовуючи трикутну модель для и„ (х), одержуємо:

2тгі

дх

2 и

Лк - Л у_, - я

Нехай А - оператор Вольтера та Щ — g каналовий елемент оператора А. У цьому випадку

(,,,).(_,)• гАЩ~г№)

л'у) V } дх2"£фк + Щ2У ' 21

, де Z0(x^ - функція Веселя уявного аргументу.

2) Розглянуто задачу Коші

/ \ ^ И„ (^) / \

, «»+1 (*) = V - -+МК (*),

Л(*)1«=о = щ(х)-

Нехай оператор А має спектр у нулі та и0 (х) каналовий елемент А Тоді для ип(х,у} одержано зображення

V.

//7 + у— дх

г V

У

Розглянуто випадок, коли А - оператор з дискретним спектром та И0 (х) каналовий елемент. Тоді

д

2 V

дх2

2 кі

Лхі

А

— Я- у=і Лу — X

3)Розглянуто задачу Коші

«п+і (*>.у) = у

ча*2 ' Зу2у

«Л^д')|и=о = «о(^д;):

«„ (^Д')

0;х,_у< 0

де /11 та /-?2 переставні оператори.

Розглянуто різні випадки спектрів операторів А^і-1,2). Візьмемо для А і та

А Л

А2 їх трикутні моделі А1 та Л2 для системи двічі переставних операторів. Нехай кожен має дискретний спектр, тоді

{и*Ах’У))рл='"

ґ

52 V/

1

2 пі

7\ У2

//Цх+іДоу

м

р

х

д'2) <4 і, - я*4, ’і /і, ~ я‘!;

* ■Пг—М-П-Г—Ш^МЛг.

д<:)-л і. л-4‘’.,Ул-я;

(2)

■?-Г

висновки.

В дисертаційній роботі побудована кореляційна та спектральна теорія деяких класів нестаціонарних послідовностей у гільбертовому просторі.

1

Введені нові характеристики нестаціонарності, які дозволяють класифікувати нестаціонарні послідовності нескінченного рангу нестаціонарності. При цьому виникла необхідність розвинути теорію дискретних систем, що асоційовані з локальними операторними вузлами, тобто з операторними вузлами, які містять несамоспряжені оператори з відмінною від нуля уявною частиною. Такий підхід дозволив дати повний аналог спектральної теорії нестаціонарних послідовностей скінченного рангу нестаціонарності, що побудована в роботах А.А.Янцевича, Б.Беррабаха. Отримані в дисертаційній роботі результати можуть бути використані для побудови конкретних моделей нестаціонарних послідовностей в задачах прогнозу та фільтрації нестаціонарних випадкових послідовностей та в інших лінійних задачах статистики випадкових послідовностей.

Публікації автора за темою дисертації.

1. Черемская Н.В. Об одном приложении дискретного преобразования Лапласа.//Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и их приложения: Сб.науч.тр.НАН Украины. Ин-т математики, Киев, 1997.-С 222-224.

2. Когуг Е.А., Черемская Н.В., Янцевич А.А. О представлении резольвент вольтерровых операторов.//Крайові задачі для диференціальних рівнянь:

36.наук.пр.-Київ, 1н-т математики НАН України,1998,- Вип.1(17).-С.99-101.

3. Черемская Н.В., Янцевич А.А. Спектральные разложения случайных последовательностей бесконечного ранга нестационарности.//Мат.модели и современные информационные технологии: Сб.науч. тр. НАН Украины, Ин-т математики, Киев, 1998,- С7262-263.

4. Черемская Н.В. Последовательности в гильбертовом пространстве бесконечного ранга нестационарности.// Вісник Харківського університету, сер. Математика, прикладна математика і механіка, 1999.-№444,- С.157 - 161.

5. Черемская Н.В. Нестационарные последовательности, порождаемые дифференциально-разностными уравнениями в гильбертовом пространстве. // Вісник Харківського університету, сер. Математика, прикладна математика і механіка. -1999.-№458.- С.205 - 212.

6. Черемская Н.В. Последовательности в гильбертовом пространстве, определяемые уравнениями в частных разностях.// Вісник Харківського університету, сер. Математика, прикладна математика і механіка. - 2000. -№475,-С. 366-374.

7. Черемская Н.В., Янцевич А.А. Дифференциально-разностные уравнения и нестационарные последовательности в гильбертовом пространстве.//Сучасні проблеми математики: Матеріали міжнародної наук, конференції. Частина 3,-Київ, Ін-т математики НАН України, 1998. - С. 198-200.

срсмська Н.В. Спектральний аналіз послідовностей нескінченного рангу нестаціонарності гільбертовому просторі. -Рукопис.

нссртація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за ісціальністю 01.01.01.-математичний аналіз. -Харківський національний університет ім. І і Каразіна Міністерства освіти та науки України, Харків, 2000 р.

нссртація присвячена розробці нового підходу до вивчення послідовностей нескінченного ангу нестаціонарності у гільбертовому просторі. При цьому введені нові характеристики .■стаціонарності такі, як кореляційні різниці, квазіранг та ін., за допомогою яких ірактсрізується нестаціонарність послідовностей і встановлюється зв'язок з вимірністю гсрмітових підпросторів операторів, що задають відповідну послідовність у льбсртовому просторі. За допомогою спектральної теорії несамосопряжених операторів ■вчена структура кореляційних різниць деяких класів нестаціонарних послідовностей та ^однорідних полів у гільбсртовому просторі. Реалізовано новий підхід до одержання ісктральних зображень нестаціонарних послідовностей, що заснован на аналізі варіантних підпросторів операторів, які дають еволюційне зображення послідовностей, держано операторне зображення розв’язку задачі Коші у гільбертовому просторі, що зроджує послідовність нескінченного рангу нестаціонарності.

лючові слова: оператор, гільбертів простір, еволюційне зображення, кореляційна різниця, шіоднорідність, спектр, спектральний розклад.

еремская Н.В. Спектральный анализ последовательностей бесконечного ранга ■стационарности в гильбертовом пространстве. - Рукопись. Диссертация на соискание (смой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01,-ітсматнчсский анализ. -Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина -Іинистерство образования и науки Украины, Харьков,2000 г. исссртация посвящена разработке нового подхода к изучению последовательностей ;сконсчного ранга нестационарности в гильбертовом пространстве. Исследуются юледовательности в гильбертовом пространстве, которые порождаются дискретной хіугруппой операторов, естественным образом связанной с задачей Коши для линейного иностного уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве. При этом вводятся >выс характеристики нестационарности, такие как корреляционные разности, квазиранг и >., с помощью которых характеризуется нестационарносгь последовательностей и :танавливастся связь с размерностью неэрмитовых подпространств операторов, которые дают соответствующую последовательность в гильбертовом пространстве.

[олучен общий вид корреляционных разностей в случае, когда размерность неэрмиягова юстраиства оператора, порождающего соответствующую полугруппу, конечномерна, ивариантность корреляционных разностей по отношению к унитарным преобразованиям «волила детально исследовать структуру этих разностей и на основе треугольных хделей диссипативных операторов дать общие представления для корреляционных □ностей, а следовательно и для эрмитово неотрицательных функций дискретных ігументов. В диссертационной работе изучены также последовательности в гильбертовом юстранстве, которые порождаются системой дважды перестановочных операторов, іторьіе определяют двупараметрическую полугруппу операторов. Для изучения таких (следовательностей в диссертации введены частные корреляционные разности и для них ілучсньї общие представления. Использование треугольных моделей систем дважды рсстановочных операторов позволило, как и в случае последовательностей,

•рождаемых однопараметрической полугруппой, исследовать структуру корреляционных

з ноете й и получить необходимые и достаточные условия принадлежности

перестановочных операторов позволило, как и в случае последовательностей, порождаемых однопараметрической полугруппой, исследовать структуру корреляционных разностей и получить необходимые и достаточные условия принадлежности последовательности, порождаемой двупараметрической полугруппой, тому или иному классу.

В диссертационной работе рассмотрены линейные преобразования последовательностей в гильбертовом пространстве, которые определяются оператором, имеющим конечномерные дефектные подпространства. Получены необходимые и достаточные условия на эрмитово неотрицательную функцию, которая определяется последовательностью в гильбертовом пространстве, для того, чтобы она порождалась линейным преобразованием (с дефектным одномерным подпространством) последовательности того или иного класса.

Рассмотрены также последовательности в гильбертовом пространстве, которые тесно связаны с гильбертовозначными функциями, зависящими от двух переменных, причем одна из них дискретная, а другая непрерывная. Такие последовательности естественным образом связываются с задачей Коши для дифференциально-разностного уравнения в гильбертовом пространстве с дискретным временем и непрерывной второй переменной. Если начальные условия представляют собой эволюционно представимую непрерывную кривую в гильбертовом пространстве, то в работе показано, как пространственный спектр влияет на эволюцию последовательностей с течением дискретного времени. При этом существенно используются операторные представления решения задачи Коши для дифференциально-разностного уравнения.

Ключевые слова: оператор, гильбертово пространство, эволюционная представимость, корреляционная разность, квазиоднородность, спектр, спектральное разложение.

N. V. Cheremskay. Spectral Analysis for the Sequences of Infinite Rank Nostrationarity in Hilbert Space. - Thesis for a Candidate of Physics and Mathematics degree. Speciality: 01.01.01 - Mathematical Analysis. Kharkov National University named of Karazin, Ministry of Education and Science of Ukraine. Kharkov, 2000.

A new approach has been developed to study the sequences of infinite rank nonstationarity in Hilbert space. New characteristics for the nonstationarity such as correlation difference, quasi-rank, etc. have been introduced to describe the sequence nonstationarity and to find its correlation with dimension of non-Hermitian subspace for the operators which specify a respective sequence in Hilbert space. The spectral theory of non-selfconjugate operators is applied to study the structure of correlation differences for some classes of nonstationary sequences and inhomogeneous fields in Hilbert space. A new approach allowing to obtain spectral representation of the nonstationary sequences is implemented, which is based on the analysis of invariant subspaces for the operators giving evolutional representation for the sequences. An operator representation has been obtained for the solution of the initial value problem in Hilbert space as applied to the linear differential-difference equation in Hilbert space which gives rise to a sequences of infinite rank nonstationarity.

Key words: operator, Hilbert space, evolutional representation, correlation difference, quasi-homogeneity, spectrum, spectral resolution.

піди, до друку 27.11.00 Формат 60x84 1/16 Папір друк.офсетний

Умов, друк арк. 1,0 Облік вид. арк. Зам. №3546

ТиражІООприм.

Надруковано РА “РЕКОТ” 61002, м. Харків, вул. Сумська,72