Интегральные представления положительно определенных ядер конечного и бесконечного числа переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

я

1 1 р' ^

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ Ордена Трудового Красного Знамени Институт Математики

На правах рукописи Л О П О Т К О Олег Вячеславович

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ ЯДЕР КОНЕЧНОГО И БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ЛЕРЕЩЩШХ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

кирв - 1992

Работа выполнена в Львовском Лесотехническом Институте им. акад. П. С. Погребняка

Научный руководитель: академик АН Украины доктор физико-математических наук профессор БЕРЕЗАНСКИЙ Ю. М.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, ведущий

Ведущая организация: Харьковский государственный университет

в часов на заседании специализированного совета Д01Ь.50.0

при Институте математики АН Украины по адресу: 252601 Киев 4, ГСП, ул. Репина, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

научный сотрудник Института математики АН Украины ШОЙЛЕНКО Ю. С.

кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа Киевского госуниверситета им. Т. Г. Шевченко УС Г. Ф.

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

Гусак Д. В.

Общая характеристика работы

Актуальность тепы. Интегральное представление ограниченных четно-положительно определенных (ч.-п. о.) функций одной переменной содержалось в работе Повзнера А. Я (1944), посвященной более общей ситуации, связанной с разложением позитивных функций в интегралы по решениям уравнения Штурма-Лиувилля, было получено с помощью теории банаховых алгебр. Соответствующий результат для, вообще говоря, неограниченных положительно определенных (п.о.) ядер установлен Крейном М. Г. (1946) е помощью метода направляющих функционалов. Общий метод получения интегральных представлений п. о. ядер конечного числа переменных, использующий разложение по обобщенным собственным функциям соответствующих дифференциальных операторов, предложен Бе-ре занским К1 М. (1956).

Основные результаты об описании продолжений п. о. функций одной переменной принадлежат Крейну М. Г. (1940, 1949). Теорема о нродоль*-нии п. о. функций с прямоугольника на всю плоскость установлена Лившицем М. 0. в его докторской диссертации, Девинатцем Л. (1959) и Зеки-ным Г. И. (1960). Схема описания продолжений и.о. функций нескольких переменных принадлежит Березанскому Ю. М. (1965). Связав п. о. Функцию с некоторой операторнозначной функцией, Березанский И. М. , Горбачук М. Л. (1965) получили описание всех продолжений с полосы на всю плоскость. Продолжение радиальных п. о. функций изучено Рудиннм В. (1970), Насебаумом А. Е. (1973). Описание продолжений и.о. ядер на ри мановом симметрическом пространстве ранга 1 получено Нассбаумом А. г. (1975). Другие подходы к описанию продолжений п. о. функция прияад-'*-кат Левину В. Я. , Овчарент .И. Р. (19*4), 'Трндриху Ю. , К/л гну Л ! 19Г.5).

Обобщение теоремы Ейхнера на случай п. о. функций, заданных на гильбертовом пространстве, получено Минлосом Р. А. (1959) и Сазоновым В. Е (1958) (известная теорема Минлоса - Сазонова).. Ее обобщение на случай слоя гильбертового пространства приведено 'Березанским ЕМ., Гали И. И. (1972). В этой статье также установлено интегральное представление п. о. функций на множестве C'^l/J * и изуче-

на задача о продолжении и.о. функций со слоя гильбертова пространства. Случай п. о. функций в банаховом пространстве изучен Де Acosta (1970) и Кондратьевым Ю. Г. (1976). Интегральное представление экспоненциально выпуклых, (э. в.) функций на удовлетворяющих достаточно сильным ограничениям на рост, получено Нгуеном <Ху Хи (1976). Аналог теоремы Минлоса (Минлос Р. А. (1959)) для. э. в. функций на ядерном пространстве и близкий результат для э. в. функций на гильбертовом пространстве установлен Калюжным А. А. (1982). В статье Тшценко С. Е (1Р82) изучены интегральные представления э. в. функций на гильбертовом и банаховом, пространствах. Рудинский И. И. (1982) доказал интег-раяьные представления ограниченных непрерывных ч. -п. о. функций на ядерном и гильбертовом пространствах, а также рассмотрел интегральные представления неограниченных ч.-п.о. функций на .Отметим, что теория интегральных представлений И.о. ядер тесно связана с теорией спектральных представлений для семейства операторов, связаних между собой соответствующими алгебраическими соотношениями, развитых в работах Курепы С. А. (1960), монографиях Березанского КЛ М (1978) и Березанского КХМ. и Кондратьева Ю. Г. (1988) и статьях Бере-ванского Ю. М., Калюжного А. А. (1984), РудинскогЬ И. И., Самойленко Ю. С (10йй) и монографии Самойленко КХ С. ( .934), а также со спектральной

теорией операторов, допускающих разделение бесконечного числа ле-ре-меннш (б. и. п.), развитой в работах Березанского ЕМ., Уса Г. Ф. (1973, 1975), Уса Г. Ф. (1976,1970) и монографии Березанского Ю. М. С1978).

Цель работы - получение интегральных представлений четно - положительно определенных (ч.-п.о) и связанных с ним функций конечного числа переменных, а также получение интегральных представлений для ч. -п. о. и экспоненциально выпуклых функций б. ч. п.

Методика гкгследования. Для получения интегральных представлений ч.-п.о. и связанных с ними функций конечного числа переменных используется теория интегральных представлений положительно определенных ядер конечного числа переменных, разработанная в монографии Березанского Ю. М. (1965). При описании продолжений положительно определенных ядер мы следуем методике продолжения положительно определенных функций, предложенной в работах Березанского Ю. М. , Горбачу -ка М. Л. (1956) Горбачука М. Л. (1964), Для получения интегральных представлений ч. -п. о. и экспоненциально выпуклых функций б. ч. п. попользуется теория получения интегральных представлений положительно определенных ядер б. ч.п. , разработанная в монографии Березанского Ю. М. , .Кондратьева Ю.'Г. (198В).

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. В работе:

1. Получены интегральные представления ограниченных четно-положительно определенных функций, задания на слоях пространств

и V ■

2. Получены интегральные представления четно-поучительно оп-оеделенных функций, удовлетворяющих оценке |К1«)| £ С 6 *ч * * ■( С Т-К,*** ) ка пространств К и ит гильбартовом иреетраистве.

3. Получено интегральное представление для экспоненциально вы-

я.

пуклых функций, удовлетворяющих оценке | К(Х)1 ¿се (С) Уп7°>

Т. на пространстве К .

4. Получены интегральные представления четно-положительно определенных и связанных с ними функций конечного числа переменных.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут представлять практический интерес в связи с приложениями к задачам математической физики при изучении математических моделей физических систем с бесконечным числом степеней свободы,. в связи с применениями в квантовой теории поля и статистической физике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по теории операторов математической физики в Институте математики ЛН Украины (1985г,1992г.), на конференции молодых математиков Украины при Институте математики АН Украины( 1987г. ).,'На семинаре по функциональному анализу при Львовском госуниверситете(1988г.).

■ Публикации. По материалам диссертации опубликовано шесть работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы {НН назв.) и занимает 3, страниц машинописного текста.

Основное содержание работы

Во введении приведены постановки задач и результаты, полученные в диссертации.

Первая глава посвящена четно-положительно определенным и связанным с 'ними функций конечного числа переменных. Результаты этой главы носят вспомогательный характер ч примыкают к циклу работ об интегральном представлении четно-положительно определенных функций я конечномерном пространстве.

Определение. Чэтную функции ¡((-Г) -¡{(х) <• С будем назы-

вать четной ч.-п. о., если для каждого ть&К/ и всех к 5. Р1'

Т-. О1 ей,11 выполняется неравенство

— — -

1.1. рассматриваются четные ч.-п. о. в смысле (1) функции и их простейшие свойства.

Определение. Четную по каждой переменной при фиксированной другой функцию К(Х}= И7сс,асег) € ССй'*/0 назовем ч. -п. о. , если для любой С{ДХ) = ЩХ^Х^) 6 СГ ( выполняется неравенство

+ О , (2)

В 1. 2 рассматриваются интегральные представления ч.-п. о. _в смысле (2) функций, удовлетворявших оценке |К(2С, Х^Ь Се / 0 '//о)_ В § 1.3 основным результатом является следующая Теорема 1.3.1. Пусть К1Х)=ККС,,ХА)& 0(3.1) (О^Л,^) ч. п. о. функция. Если при некотором А/7 О выполняется оценка

пах^л^се^ сх^С-а^а^), сс^а/, сто; ,

то имеет место представление

П' ■ '

Г]* ={ С Д,*0, ^еИ' } ,

ГДР

а ЯЛ • конечная неотрицательная мера. опр^'-ляс-к'М,

г'тгсг"г, к ':"

Доказательство проводим по следующей схеме. Введем по ч. -п. о. функции 6 С ¿<З.Ь) квазискалярное произведение

<£, «О 00

А СИ)^

С ч,тГ 6 Ь4 ) * е с^))

После отождествления и пополнения получим гильбертово пространство Нц • Затем докажем существование коммутирующих самосопряженных расширений в пространстве Н« эрмитовых операторов

С,и, * е ¿¿Хд))

дг,, д*

Воспользовавшись монографией Березанекого Ю. М. У, получим представление (3).

Замечание. Из (3) вытекает, что удовлетворяющая

условиям теоремы 1.3.1} допускает продолжение с полосы [."(-Щ * Я"* ( 0-й сЬ1 на всю плоскость А1 у Ц1

1. Береэанский XX М. Разложение по собственным функциям еамоепрякен■ пых операторов. -Киев: Наук. думка, 1965.-79? с.

Пусть КС-Х) ^ " четг-ш по второй

переменной ограниченная функция такая, что ядро

К12, Ъ) = ¿ГК( + К(ХГу,, Х^)] (4)

п. о., то есть для любой Ц(Х) = (¿(Ж^ОС^) €

выполняется неравенство

(5)

В § 1.4 с помощью техники ^ 1. 2 доказаны интеграяьные представления функций, п. о. в смысле ('5).

пусть К(»)= наа:,,^) е С£аь) (I-Ь&^О*^, (¡¿сЬ,*00) -

четная по второй переменной ограниченная функция, для которой ядро (4) п. о. Введем по Я?а.) (Х^бЦ1) квазнскалярное

произведзние

^ ¡и я*

После отождествления и пополнения получим гильбертово пространство Нц . Это пространство содержит элементы (ОСдбЦ^ (дельта - функции, сосредоточенные в точке Х^ ), непрерывно 'Зависящие от X^ как от параметра, причем

1'ассмотрим затем билинейную форму

< = £ 5 Ш(6)

Так как - 1<и.,гГ?х I ± С1Ш-Л"-]1 (II- II - норма в Нк ),

то форт (6) ограничена для произвольных (СС.,6 С-3.с11>ХсСн)) и допускает представление .

МЛ, ' (7)

1 ик

где - п. о. операторная функция, допускающая представление

- п ¿Ясс^

№> = 5 е Л«« (х^ес-ы.и,))

Ц1

- вообще говоря, обобщенное разложение единицы в Нк (см. работу Горбачука .

11з (6) и (7) следует равенство

а Нк

А

Обозначим - любое п. о. продолжение ГСХ,) па всю ¡эти.

1?(Х,5*0) - продолжение с полосы (-¿¿^£(1/ ■

У На плоскость, А - замыкание симметрического л

(и ^ СТ(^) в пространстве Нк . ошюде' результатом?!. 6 является следующая

1. Горбачук МЛ О представлении положительно оиредэ, фушший//Укр. мат. жури. -1965. -17, N2'- С. ¿0.

операторных

Теорема 1. 5.1. Для того чтобы функция К ХА) -

^СР^О^ } 5*о ) (была п. о. продолжением Л Нк

МХ^Х^) с полосы С~¿.¿^Ы,)* Я' на всю плоскость, необходимо и достаточно, чтобы при любом Я^И1 оператор ком-

мутировал с оператором А.

Вторая глава посвящена доказательству интегральных представле ний для ч. -п. о. и э, в. функций бесконечного числа переменных. В ? 2.1 по последовательностям гауссовских веров

\(1 .пг

гауссовские продукт-меры

на пространстве ¡{"'"И** И1*.,. введем

00 гг ОО т~Г Х^

¿рЮ'ЪЩе. "¿Л* и ¿Л»

определенные на б* - оболочке цилиндрических множеств из И°° ,

Определение. Четная по каждой переменной при фиксированных остальных вещественная измеримая, удовлетворяющая оценке

СеК'1 °° ) почти везде

относительно сС^.(х) функция называется ч.'-п. о., если для любой ци-. линдрической функции = (¿'¡А- 5

выполняется неравенство

я®0 я ^

Пусть £ К , тогдч несложно показать, что для каяДоро

существует сильный в смысле сходимости з прссграиспе.

Ь4( Г ¿/их» - Ъ иКШ

JV

S

еден $,пъ П CoS^X,, = Г} Co$ fa

преде

Теорема a 1.1. Пусть KlX) (X6& ) - ч.-п.о. функция.

oa

Если при некотором сходящемся ряде X Л4,А °°, An, 7 С выполняется оценка сеп*<¿С 7 о; почти везде

относительно (Ц tz) , то имеет место интегральное представление

О о°

К(Х)= д П СсЯ&ьХь^Ш 1 (8)

Ц

где ¿^ЧА) - неотрицательная, конечная мера, определенная ка (о - оболочке цилиндрических множеств из (/, . Равенство (8) понимается как равенство почти для всех ЗСбИ60 относительно меры с^ОДе) МеРа определяется однозначно.

• Доказательство проводится по схеме, предложенной в монографии Березанского «ХМ. , Кондратьева КХ Г. У. По ядру I ) вводится гильбертово пространство Нк • В этом

пространстве определяется семейство самосопряженных, коммутирующих операторов в п. ( 4-1}д.г-.) • • Используя соответствующее равенсп , Шрееваля, получим интегральное представление

- „ ПСо^л.Хп.Со^Цп. ,

1. Берегине кий Ю. М., Кондратьев Ю.Г. Спектральные методы мерном анализе.-Кн&в: Наук, думка, 1988-0.680.

•нечно-

л

( С С*) 7/0,6.70 ; а^бЯ00 ; ¿¿67/^ -неотрицательная

конечная мера). Интеграл и предел понимается в смысле нормы пространства Н-®Н1 , где Н_ - негативное пространство, построенное по нулевому и позитивному пространствам,

н+=Но-- ь^а00, сцмх»

( ^СХп,) - положительный вес, 6 =(■(,-),... ) < вложение квазиядерное). В заключение доказывается, что мера в интегральном представлении (5) сосредоточена на (/,.

Интеграпьное представление ч. -п. о. функций на пространстве , удовлетворяющих оценке

¡К(х)|4Се (с^/7

получено Рудинским НИ. (1984).

В ? 2.2 доказывается интегральное представление для ограниченных ч.-п. о. функций б. ч. п. Доказано что С другой стороны, из'теоремы 2.1.1 следует,-что С (/,

Следовательно, для ограниченных ч.-п. о. функций £ С {/л /1

В £ 2. 3 доказано интегральное представление д'ч ограниченных ч.-п. о. функций К7х), заданных на слое

Определение. Назовем вещественную, измеримую, удовлетворяющую.

оценке

12 „Л

1К£Х)|£ С ел*' (С К70') почти везде

относительно функцию э. в., если для любой цилиндрической

функции ЩтйяНьСХь...,^) ОйД)

выполняется неравенство

Основным результатом | 2. 4 является следующая

Теорема Е-4.1. Каждая э. в. функция ИСХ.) ( X. бЦ™ )

допускает интегральное представление с

К(х;= л е с^ш ) (10)

еЬ

где - неотрицательная мера, определенная на (3 оболоч-

ке цилиндрических множеств ив!^. Равенство (10) понимается гак ра венство почти для всех ДС б Я00 относительно меры (•£) ■ Мера с(^>СА) по К£х) определяется однозначно.

При доказательстве теоремы 2,4.1 используется техника £ 2. I. Пели а. в. функция при любом принадлежит Ьр, , то инте;

ральное представление было доказано Нгуеном Фу Хи (1976).

Пуст., Н- действительное сепарабельное гильбертово проо1- • ■ тво и |((ОД (ОС £-Н) - чётная по кавдой переменной ч.-п. о. ду - ,;> 'го есть для любых, а^.,., сь'^бИ и ; ? й Г1 I ? ) выполняется неравенство

X" ,, • ф РО ф (V) -) с Т ,

Напомним, что £ - топологией в Н называется топология, которая задается окрестностями нуля вида { ХбН 1 X,)1 3 , где Л - неотрицательные ядерные операторы.

Основным результатом ? 3.1 является следующая Теорема 3.1.1. Пусть К(0О (Х6Н) - ч. -п. о. функция, равноме-номерно непрерывная в ^ - топологии. Если при некотором неотрицательном ядерном операторе N выполняется оценка

|К£2Ц|&се (с^о, ссен) ,

то существует базис . в Н такой,' что справедливо

интегральное представление

г> 00

где сб^'А) - неотрицательная, конечная мера,определенная на некоторой <о - алгебре борелевских множеств из {/< , СС«, - коэф -фициенты разложения элемента ХбН по базису ■ Мера

по функции К/ас) определяется однозначно. При доказательстве теоремы 3.1.1 пользуемся схемой работы 5е-резанского Ю. М., Гали И. М/. Рассматривается координатная реализация гильбертова пространства Н , то есть , затем равномерно непре-рерывная а ] - т01ЮЛ0гии функция (ХбЬ) продолжается с

пространства на & = { X 6 | £ * ** } ,

1. Березанский Ю. М. ,Гали И. М. Положительно определенные функции бесконечного числа переменных В слое //.Укр. мат. курн.-1972.-N4.-С. 435-464.

с сохранением оценки.. На множестве R03\ ^ полагаем К£Я}=6' • Воспользовавшись теоремой .2.1.1, получим интегральное.представление (И).

В f 3. 2, используя технику 3.1. и теорему Колмогорова, получено интегральное представление для ограниченных ч.-п. о. функций, равно мерно непрерывных в о в j - топологии на слое гильбертова пространства ^¿¿^ (0<• При ¿= оо интегральное представление бу.ио получено Рудинским И. И. (1982).

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Лопотко О.В. Представление четных положительно определенных функций бесконечного числа переменных.-Новосибирск,Д97У.- iä с.-Деи. Е ИШИ 29.06.79 & 3181.

2. Лопотко О.В. Опредсгавлешш ограниченных, четных доложителыю определенных функций бесконечного числа переменных.-Львов, 1980.- 9 с. - ДепТв ВИНИТИ 22.09.80 Ш30.

3. Лопотко О.В. Интегральные прсдставлешш четно-пол(жительио определенных и связанных с ними функции// Докл. АН У1лл\ оер. маг. -1990. - й 10. - С. 24-27.

4. Лопотко О.В. Четно-полшштельно определенные функции бесконечного числэ переменных// Докл. АН УССР. Сер. А.-1991.-А>а.-ъ.и.-л.

5. Лопотко 0.13., Олексив И.Я. О продолжения четных поломтельш определенных Функций двух переменных// Вести. Львов, политехи ин-та » 150: Дифференц. уравнения и их прил.-19Ы.~ 0. 64-6о.

6.

полой

переменных,

Поди, в печ. 27.08.92. Формат 60x84/16. Бумага тип. о печать. Усл. печ. л. 0,93. Усл. кр.-отт. 0,93. Уч.-изд. л. Г Тирад ICO экз. Бак. 28? Бесплатно.

Отпечатано в Институте математики АН Украины <52601 Киев 4, ул.*Репина, 3