Задачи продолжения положительно определенных обобщенных теплициевских ядер и радиальных положительно определенных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Академия наук Украины Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики

На правах рукописи

БЕННЕР Мирон Борисович

ЗАДАЧИ ПРОДОЛЖЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ ОБОБЩЕННЫХ ТЕПЛИЦЕВСКИХ ЯДЕР И РАДИАЛЬНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев - 1992

Работа выполнена в Физико-химическом институте им.А.В.Богат-ского АН Украины.

Научный руководитель: член-корреспондент АН Украины,

профессор КРЕМ М.гТ

Официальные оппоненты: академик АН Украины, профессор

БЕРЕЗАНCKИй D.M.,

кандидат физико-математических наук ОВЧАРЕНКО И.Е.

Ведущая организация: Институт прикладной математики и

механики АН Украины.

Защита состоится "7 " pL^lS). в

IL

часов на

заседании специализированного сойета Д 016.50.01 при Институте математики АН Украины по адресу: 252601 Киев-4, ГОТ, ул.Репина, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан $ «М&рТй 193&.

Ученый секретарь специализированного совета

ГУСАК Д.В.

~—' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. Положительно определенные обобщенные тепли-цевские ядра встречаются при доследовании различных задач, К таким задачам относятся, например, следующие:

1) классические интерполяционные задачи(

2) задачи теории операторов (теория дилатаций, теорема о листинге и пр.);

3) задачи теории рассеяния!

4) задачи корреляционной теории стационарных случайных процессов; ■>

5) задачи гармонического анализа.

Решение задачи продолжения положительно определенных (п.о.) обобщенных тегшщевских ядер (дискретных и континуальных) содержит, как частный случай, решения классических задач Каратеодори и 3.Нехари (в случаях дискретных ядер); в олучае же континуальных ядер получаются решения задачи М.Г.Крейна о продолжении п. о.функции с отрезка и решение континуальной задачи 3.Нехари.

Исследованию обобщенных тегшщевских ядер, в первую очередь в связи с перечисленными выше задачами, посвящен большой цикл работ М.Котляра, К.Садоски, Р.Ароцены. йце раньше специальный класс обоб-щешшх тетпщевских ядер рассматривался в работах В.М. Адамяна, Д.З.Арова, М.Г;Крейна. В работах М.Г.Крейна и Ф.Э.Мелпк-Адамяна рассматривался специальный класс континуальных обобщенных тешпщев-ских ядер.

Другой объект, который рассмотрен в работе - это класс радиальных п. о. функций. Такие функции пояатяются в задачах корреляционной теории стационарных случайных полей, а также в задачах гармонического анализа на ортогональной группе.

Проблема продолжения радиальных п.о.функций представляет собой обобщение задачи М.Г.Крейна; возможность прододжеяия таких функций с шара была доказана в работах У.Рудина и Э.Нассбаума, однако описание всех возможных продолжений до настоящего времени отсутствовало.

Цель работы. Получение формул интегральных представлений и на их основе - доказательство теорем существование продолжений п.о. обобщенных тегсшцевских ядер и радиальных я.о.функций; доказательство критериев ед;шстБ5НН0зти продолжений и описание гнохестза npoAO.Tse.4ic1 в случае ноедпнсгзекаэстк для матрлчнах коитануатьных п.о.обобщенных тзлличезскта ядер и радиальных п.о. функций.

.¿этодкаа исследования. Дня достижения поставленных целей в работе попользованы методы теории операторов в гильбертовом пространстве, в частности, разработанный автором метод направляющих отображений дая изометрических операторов.

Научная новизна и практическая ценность. В работе разработан метод направляющих отображений доя изометрических операторов; показано, что преобразование устанавливает взаимно однозначное соответствие ыевду. множеством всех изометрических операторов с направляющими отображениями к множеством всех симметрических линейных отношений с направляющими отображениями; доказана теорема о необходимом условии существования направляющего отображения. Новьш утверждением является теорема об интегральном представлении одного класса континуальных п. о.ядер через решения канонического дифференциального уравнения. Частный случаем этой теорема является теорема об интегральном представлении континуальных п.о.обобщенных теплицевских ядер.

Во второй главе диссертации получены формулы, параметризующие множества решений соответствующих задач продолжения во вполне неопределенных случаях при некоторых естественных дополнительных предположениях. Эти формулы имеют вид дробно линейных преобразований. Автором впервые получены соотношения между коэффициентами этих дробно линейных преобразований и соответствующим ядрами.

Результаты диссертации несомненно будут полезны при изучении перечисленных выае задач математического анализ^. и теории стационарных случайных процессов и полей. Полученные в диссертации формулы могут оказаться полезными при изучении некоторых моделей статистической механики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по п.вранным проблемам функционального анализа и математической физики (руководители чл.-корр. АН Украины М.Г.Крейн, проф. Д.3.Аров), на УШ Всесоюзной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (Черноголовка, 1989 г.), на республиканской конференции "Функциональный анализ и его приложения" (Одесса, 1930 г.).

По материалам диссертации автором опубликованы три статьи.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, которые распадаются на 9 параграфов, и занимают 126 страниц машинописного текста. Библиография содержит 35 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор проблем, связанных с темой диссертации. и краткое изложение результатов работы.

Первая глава диссертации посвящена изложению метода направляющих отображений для изометрических операторов и симметрических линейных отношений, а также применению этого метода для доказательства теорем существования продолжений п.о.обобщенных теплицевсглк ядер и радиальных п.о.функций.

§1.1. Посвящен собственно методу направляющих отображений.

В этом параграфе результаты М.Г.Крейна, Г.Лангера и Б.Тексте-риуса по симметрическим оператора!.! и симметрическим линейным отношениям с направлянщими отображениями переносятся на случай изометрических операторов.

Дустъ сС - линейное многообразна с (возможно,вырожденным) внутренним произведением <•, *>. Обозначил через V" действующий в Л изометрический оператор с областью определения (V). Пусть Н -некоторое гильбертово пространство со околярным произведением («., •). • Обозначим через ТГ0 открытый интервал (О, 2?Г).

Определение. Отображение ^■'(/■¡Л)-*-^/ изсСк7Г0 в Н называется направляющим дал изометрического оператора V > если:

1) при каждом Л £ Но отображение /-«-Уд/ линейно;

2) при каждом /е X отображение Л -*■ % / голоморфно на ТГо ; ,,

3) равенство выполняется тогда и только тогда, когда существует вектор fe^T(У') такой, что справедливо равенство

4) для каждого замкнутого интервала ЛсТГо существует отображение из И'■Л в«С такое, что:

а) для каадого Лей отображение линейно на И и

для кавдого X отображение Л—голоморфно на внутренности А ; в) « X ,

хе Н, ле & 4

с) при фиксированном Л£ Д

с некоторой постоянной С , зависящей от Л и Я .

Бзлц пространство И конечномерно, сЦт Н-р , то услоеи? 4) эквивалентно условию 4') существует по крайней мере одно 1о С Я о та-•кое, что

мЧ'хоЛ^р

где

Обозначим через Vi/ класс всех функций F , определенных на множестве 7Гж[о,27г) > значениями'которых являются ограниченные самосопряженные операторы в Н , такие, что:

1) F(0)±0 и функция Р(Л) непрерывна при X = 0;

2) функция J.-~(F(A)j?,3c) не убывает и непрерывна слева и при произвольном ОсеМ.

Основным результатом § 1.1 является теорема -1.2, устанавливающая соотношения типа равенства Парсеваля и неравенство Бесселя.

Теорема 1.2. Пусть V - изометрический оператор, действующий \ линейном многообразии J. и обладающий направляющим отображением f. Тогда существует такая функция Fe Vh , что для любого {еЛ

</,/>« S(dfU) 1& Л i). ш

Г ■ Ко ,

Если oL есть полное гильбертово пространство ¡ то для любых ft Cj £cL

F\¡ - ортопроектор на ядро (7-1)»

Далее i в § 1Л. приводится определение симметрического линейного отношения с направляющим отображением; формулируется теорема 1.2 , аналогичная теореме 1.2.

Обозначим Vh класс всех функций Г • определенных на вещественной оси ¡Л , значениями которых являются ограниченные самосопря женные операторы в Н , такие, что F(0)'(7 и функция J.-*-(F(JL)x,x)m убывает и непрерывна слева при произвольном СС6'Н •

Теорема 1.2'. Пусть S - симметрическое линейное отношение в<£, обладающее направляющим отображением 5>. Тогда существует такая функция Fe Un . что для любого /еХ имеет место неравенство

</,/>« I <РХП, (2)

— оо

причем для •/£ i7(области определения линейного отношения S ) имеет место знак равенства.

Затем в § I.I. устанавливается связь между, обладающим направляющими отображениями изометрическими операторами и симметрическими линейными отношениями. Наш доказана следующая теорема.

Теорема 1.3. Между множеством всех изометрических операторов о направляющими отображениями , J.C Ifo и множеством всех симметрических линейных отношений с направляющими отображениями íe/R. существует взаимно однозначное соответствие, устанавливаемое преобразованием Кэли. При этом

8"í>'' а -я

t < (2-zeu)/{i-eíJi).

Теорема 1.3. позволяет применить к изометрическим оператора!/ о направляющими отображениями утверждения, доказанные ранее для симметрических линейных отношений и операторов.

Наиболее ванным для нас является следующее утверждение. Теорема 1.4'. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством функций Г(,Л)£ 1/н даюцих представление (2), и множеством обобщенных спектральных функций симметрического отнокения Д . Это соответствие устанавливается с помощью формулы

где ^ - минимальное самосопряженное расширение отношения £ ., Функция /"(А) единственна тогда и только тогда, когда 5 -максимальное симметрическое отношение.

В соответствии с теоремой 1.3. в качестве линейного отношения 5 , фигурирующего в формулировке 1.4, можно рассматривать преобразование Кэли изометрического оператора V- . обладающего направляющим отображением. Отсюда следует, в частности, что функция Г(Л) . дающая представление (1), единственна тогда и только тогда, когда V" - максимальный изометрический оператор.

В § 1.2 рассмотрены дискретные п.о.обобщенные теплицевские ядра, значениями которых являются ограниченные операторы, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н ,

Обобщенным теплицевским ядром ) мы называем ядро следу-

ющей структуры

где Кц , I , у = 1(2 - скалярные, матричные или операторозначлые функции, а 5 , ( пробегают некоторое множество £ . Множество £ может быть множеством Ж ы неотрицательных целых чисел, не превосходящих //(/У*о«э) (дискретные ядра), либо промежутком [0,С ®о) вещественной оси (континуальные ядра). Из условий п.о.ядра следует, что и Кгг&Ъ) представляют собой п.о.ядра, а К,г -

К&

Для формулировки теоремы 1.5, являющейся основным результатом § 1.2, обозначим через г;иьборто£о пространство :.упк-

ций / , определенных на Ж^ы со значения:,¡и б И к таких, что

£ /1{&)11гн <оо.

Теорема 1.5. Пусть обобаеяюе тс-аищевское ядро ) по-

рождает ограниченный оператор в ^ (И; ) . Я'Л того, тт'Ла су-

Шествовала оператор-функция /^1)= (¡Ц/зС^^.^Ун такая> что о о

2ЧГ

о

необходило к достаточно, чтобы ядро !Я было полошгаельно определенным.

Теорема 1.5 представляет собой теорему существования продолжения дискретного п.о.обобщения теплицевского ядра на все множество целых чисел.

3 качестве следствия теоремы 1.5 мы доказываем георему Пейд-жа( представляющую собой операторозначный вариант теоремы Нехари.

§ 1.3 посвящен доказательству интегрального представления для одного класса п.о.континуальных матричных ядер. Интегральное представление континуальных п.о.матричных обобщенных теплицевских ядер получается как частный случай доказанной в этом параграфе теоремы 1.6.

Пусть эрмитова & матрица-функция (м.-ф.), опреде-

ленная на промежутке 8'[0,6) » °° > причем НИ) суммируема на любом сегменте [0,&]с 8 •

Обозначим через локально абсолютно непрерывное ре-

шение канонического дифференциального уравнения

удовлетворяющее условию Y{0;A)~Tn • Здесь Л. - вещественны!! параметр, £1-п*п матрица, имеющая следующую блочную структуру;

Теорема 1.6. Для того, чтобы непрерывное Пчг матричное ядро $(¿,5) почти всюду на §' удовлетворяло соотношению

■ оО

где р(Л) £ С/с" , достаточно, чтобы ядро было п. о. ив

смысле обобщенных функций удовлетворяло соотношению

В частности, если с(е1Н({)4 0 112 дооаество ^ лалоадтояыюй

меры, то дая всех справедливо равенство

Если * О п.в. на 8 , то п.о.ядра и выпол-

нение равенства

Й э„_0

(в смысле обобщенных <1ункций) является не обходила; и достаточны:,: условием для справедливости указанного вше интегрального предетав-ления ядра £(¿,5) зеюду на 8*8 •

В. Э.Кацнельсоном был анонсирован аналогичный результат для -случая Н$)>0 • 3 этой ситуации интегральное представление ;;лл ядра аакге быть получено с помэдыз методов, разрабзтанны::

Ю.Л.Бзрезанским и примененных в гораздо более о5:;;;к ситуациях.

Теорема об интегральном представлении континуальных п.о.обобщенных теплгцевекпх ядер является простим частным случаев теоремы 1.5. Легко видеть, что при ^(г1 5)х".1еет структуру обобщен-

ного телищевского ядра

где и 7г - соответственно и эрмитовы м.-ф., а Г -м.-ф. При этом есть

\ е е'х11}/

Далее в § 1.3 доказывается теорема 1.7, яаляющаяся континуальным аналогом теоремы 1.5. Аналогично тому, как из теоремы 1.5, в качестве следствия, мы получаем теорему Пейдка, так из теоремы 1.7 мы получаем континуальный вариант теоремы Пелджа,

§ 1.4. посвящен доказательству интегрального представления гдя радиалышх функций, п.о.относительно ортогональной группы О (П.) • Д/сть - шар с центром в начале- координат к радиуса 2

(/?$«>) , лежащий в П - мерном (/7 ь 2) евктадсБбч пространство /\?/г.

Определение £.4. Непрерывная фунгция Уф), опродел•?:•'::а;'. О^Х<2/2, называется и.о. относительно ортогональной грул::;; О(-г) , если для люЗо.1 радиальной рушс^и (8 я?*)

нераь зство

J 1 hi) fVi-sOHUtds^o.

(4)

Heцрврывная функция У(Х), определенная при Оё х<2^называется радиальной и.о.функцией, если ддя любой функции A(t)£ имеет место неравенство (4).

Очевидно, что всякая радиальная п.о.функция является функцией, п. о. относительно ортогональной группы OQi).

Обозначим через ас) функцию, определяемую следующим

образом t

Функция Si р ({J X) при фиксированном X является целой функцией Л , вещественной при вещественном значении Л •

Теорема 1.8. Для того, чтобы непрерывная функция х), определенная при 0&Х<2б I /2 £• 0°, была п.о. относительно ортогональной группы 0(H), необходимо и достаточно, чтобы она допускала интегральное представление

с»

= f Qnzl ш x)d&u), (5)

-л 2

где 6"(/0- некоторая монотонная ограниченная функция такая, что интеграл сходится при всех 0s зС <2Й •

Из теоремы 1.8. мы выводим далее такое следствие. Следствие. Для того, чтобы непрерывная радиальная функция , заданная в шаре ), была п.о., необходимо и доста-

точно, чтобы на допускала интегральное представление

■■(G)

у (/*/;«/йд^ (а ¡¿пики),

о г

где & и) - некоторая иютонная и ограничешая функция. Представление'(6) можно записать в вице

ПпО^^ехрищМду),

где с1(> - некоторая конечная мера в ¡2п , инвариантная относительно 0 (р.).

Отсюда видно, что п.о.радиальная функция У(161) , заданная в шаре конечного радиуса /2 , допускает продолжение на все пространство /2П с сохранением п. о.

фи £ = интегральное представление (6) бто доказано И.Шенбергом, а при £<<=о_ У.Рудшым.

Вгорач глава диссертации посвящена решению задачи описания интегральных представлений для некоторых из объектов, рассмотренных в первой главе. Именно, мы рассматриваем матричные континуальные п.о.обобщенные тетицевские ядра, заданные на конечном промежутке л на полуоси, функции, п.о. относительно О(л) и радиальные п.о. функции. Для обобщенных: теплицэвскпх ядер и радиальных п. о.функций описание интегральных предстаачений эквивалентно описанию всех продолжений соответствующих объектов.

Интегральные представления объектов, рассматриваемых во второй главе, получены применением метода направляющих отображений к некоторым симметрическим операторам. В соответствии с теоремой 1.4 описание продолжений этих ядер и функций эквивалентно описанию самосопряженных расширений соответствующих операторов. Для описания самосопряженных расширений мы используем формулу Ш.Н.Саакяна.

§ 2.1 содержи необходимые вспомогательные сведения по теории оснащенных гильбертовых пространств. В своем изложении мы следуем книге Ю.М.Березанского "Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов" (Киев : 'Наук. . думка , 1965).

§2.2 посвящен получению едитериев единственности продолжения непрерывных п.о.обобщенных тешшцевских ядер.

С /г*/г - матричным обобщенным теплицевским ядром ^¿(¿,5), определенным при ¿г$£ 8 , где § - конечный или бесконечный промежуток, мы связываем некоторый оператор К . Этот оператор действует в гильбертовом пространстве измеримых П. - компонентных

вектор-функций /(5)= • определенных на промежутке 8 и

таких, что

Наше предположение относительно ядра 5) удобно выразить в терминах оператора К. . Именно, мы предполагаем, что оператор, определяемый равенством

IQ

является строго положительным ограниченным оператором с нормой, не превосходящей { , т.е. для любой функции JeL^y (<?) выполняются условия

O<[KU]* iit/o-

Здесь [•, ■>] - внутреннее произведение в L%.)(_$).

В случае конечного промежутка $*[0,£]> оператор К автоматически оказывается непрерывным (и даже вполне непрерывным) в виду непрерывности ядра ка8*8 .

В терминах разложения единицы самосопряженного оператора К формулируется общий критерий единственности продолжения ядра

вд. ы

Лемма 2.3. Пусть - столбцы м.-ф. diay -¡еСг Ip, е'* jA •

Для того, чтобы продолжение ядра на все множество

5<<=о было единственным, достаточно, чтобы при некотором невещественном 2 и необходимо, чтобы при любом невещественном £ , принадлежащем хотя бц одной из полуплоскостей или (С „ имели

место соотношения: I

Ц d[ElUj(г; t), Uj(I; i)} —, J - l.2,...,n.

0

Из лемш 2.3 следует, в частности, что продолжение ядра будет единственным только тогда, когда оператор К~* неограничен. В случае тлеет место следующее утверждение.

Теорема 2.5. Пусть Ц , иг (t) , ... - полный набор ортонормировании собственных функций оператора К в отвечающих собственным значениям , С>г <••'(> О )• Для того, чтобы продолжение ядра на все множество ->x><tyбило единственным, достаточно,чтобы при некотором невещественном Z и необходимо, чтобы при любом невещественном 2 , принадлежащем хотя бы одной из полуплоскостей (£fnra £ имели место соотношения

т. a"1 Q

Эту теорему можно рассматривать как обобщение на изучаемый масс ядер утсервдения, принадлежащего Ы.Г.Крейну.

В работе сформулирован еще один критерий единственности продолжения ядра У. . Он формулируется в терминах блоков оператора /( ,

11 г 2

связанных с разложением L(n)(ß)*L(p)(8)(B L у.) (8) , Этот критерий наиболее удобен в случае . Для его формулировки обозначил

9' столбцы матрица • Ана-

логично пусть j = — t р - столбцы матрица

Очевидно, что ззктор-функции Uj~ (ß ^ принадлежат пространству ¿ф(0,оа)( ¿.*(р) (0,*>о)) .

Теорема 2.3. Для того, чтобы продолжение ядра $(¿,5) на все мнолсество < было единственным, достаточно, чтобы при

некотором невещественном 2 , и необходимо, чтобы при любом неве- , ществепном Z имело место хотя бы одно из следующих условий:

1{(К«-¿п-к♦67<r<fV,

(Здесь и I единичные операторы в пространствах И

L2^,) соответственно .)

§ 2.3 посвящен доказательству формулы, описывающей все продолжения матричного Их ri п.о. обобщенного теплицевского ядра J^^s) заданного при Q ¡f, 5 < С, ¿<<=а на множество - оо <. ¡^ 5 < °о . Напомним, что это продолжение получается из формулы интегрального представления, которая имеет вид

оо 4

iQj\i)dRX)exp(L Sl Л s), W

-oO

где с[Г(Л) - некоторая ПхП матричная мера.

Описание всех продолжений ядра эквивалентно опи-

санию множества мер d.F(^A) , дающих прадставление (7). В предположении, что имеет место предельный случай неоднозначности продолжения (так называемый вполне неопределенный случай) нами доказана формула, параметризующая множество мер dF(A) , дающих представление (7) с помощью элементов множества ßn голоморфных в верхней полуплоскости и норастягивакщих м.-ф.я-го порядка {1ц -£*(г)€Сг)иО>

Обозначим чорез ф (¿) м.-ф., которая удовлетворяет соотношение

Л \0 Це Ч

Здесь К - некоторый оператор, который строится по К в результате оснащения пространства А^) (О, I)?

Пусть, кроме того, £

Теорема 2.4. Между"множествами всех ИхП матричных мер О^-А), дающих интегральное представление (7), и всех м.-ф. Ь(Л) в №>п существует взаимно однозначное соответствие. Оно устанавливается с помощью формулы

В работе получены явные выражения для коэффициентов Я (¿Г),

йф.есо и2>сг).

В § 2.4 рассматриваются матричные Н*п п.о.обобщенные тепли-цевские ядра , Б) , заданные при . При этом мы допол-

нительно предполагаем, что в представлении

М*.5)-

\Г (¿ + &) Тг - $) /

все блоки имеют одинаковый порядок р , т.е. П-2р. Считая задачу продолжения такого ядра на множество $< 00 вполне неопре-

деленной (крайний случай неоднозначности), мы списываем множество мер с1р(Л) , дающих представление (7) для такого ядра. По сравнению с ситуацией, рассмотренной в § 2.3, здесь есть некоторые отличия, на которых мы остановимся.

Будем записывать Ыр(2) в блочном виде: (С^Ш),'

с блокаш порядка р .Из интегрального представления дяя ядра $!({,$) и матричного варианта теоремы Бохнора следует, :что блоки с1р„(2) и (¿Р22(Л) определены однозначно. Более того, .всякая такал т.юра с1Р(Л) абсолютно непрерывна, т.е.

- причем

плотность М(Л) удовлетворяет условию О п.в. на 12

Отсюда следует, что если ядро Ж порождает ограниченный оператор в пространстве Л^ДО,«о),то всякое его продолжение на всю веще-ствотгую ось с сохранением п. о. порождает ограниченный оператор в ("00.00) с той же нормой. Кроме того.дз строгой положительности оператора К следует, что блоки Ма(А.) и обратил пуп г.очти всех Л 6 Д? .

Основным результатом § 2.4 является следующая теорема. Теорема 2.6. Мевду множествами мэрdF(X)-(iV^'СА)аЛ).i > Да_ ющих интегральное представление матричного 2р*2р п.о.обобщенного теги киевского ядра S) , заданного при О < i,5<«>, и множеством м.-ф. 1; (2)6 /Е>р существует взаимно однозначное соответствие. Оно устанавливается с помощью формул

-ora _оО

Здесь € (Л) - цредельное значение на действительной оси м.-ф.

¿(г) ев р.

В работе получены явные выражения для коэффициентов J¡ , $ ,

С ,9) .

Раздел 2.5 диссертации посвящен описанию интегральных представлений радиальных функций. Мы рассматриваем функцииУ/Сс),0^Х<2/е п.о. относительно ортогональной группы OOt) и радиальные п.о.функции. С функцией iP (X) мы связываем ядро $(t,S), определенное на * б'а 1 с помощью формулы

mt s>nn-s»-

По ядру Л строится интегральный оператор К . действующий в гильбертовом пространстве Но измеримых и суммируемых с квадратом по мере Лебега в Цп функций i £ fig1' , которые зависят только

от Ш . Этот оператор определяется равенством

ф

Как и при изучении п.о. обобщенных тешпщевсккх ядер,мы пред' полагаем, что оператор К является строго положительным оператором с нормой, не превосходящей i , т.е.

о< [кЦ]*Ц{11г0 *

([•'•]- скалярное произведение в//»).

При Q- интегральное представление (5) п.о. относительно О (п) функции У (а:) единственно. При единственность пред-

ставлегаш может теряться. Критерий единственности представления (5) дается теоремой 2.6.

В идейном плане эта теорема полностью аналогична.теореме 2.1 Б случае, если интегральное представление не единственно,в § 2.5

доказана теорема 2.7, описывающая все представления вида (5). Множество мер сСв~(Х) , дающих представление (5), описывается в виде

Ой

J

Ш) dea) -

л- 2 0(г)

Функции

. йсг) , €(2) и ЯС?) явным образом строятся по ядру Ж^.З) , а параметризующая функция if С?) принадлежит классу & голоморфных в верхней полуплоскости и нерастяги-ващих функций ( /tfC?)/ ^ t при 5т2 >0).

Далее мы перехода к анализу условий единственности интегрального представления (6) радиальных п.о.функций.

Из доказательства этого интегрального представления (следствие из теоремы 1.8) и теоремы 1,4 следует, что представление (6) будет единственным тогда и только тогда, когда соответствующий оператор А либо самосопряжен, либо имеет единственное положительное самосопряженное расширение.

Оператор А определяется следующим образом: L) на радиальных функциях ) определяется оператор

Т по формуле

<ГА№--йА(г-Ш);

Ц) А есть замыкание Т в пространстве Н. , порожденном ядром

где У - радиальная п.о.функция.

Если функция if определена во всем пространстве Щп , то интегральное представление (6) единственно. Этот факт составляет содержание теоремы И.Шенберга.

Обозначим через Ua {X) функцию

Теорема 2.8. Цусть оператор А таков, что А * А* • Тогда, для того чтобы представление (6) было единственным, необходимо и достаточно, 'чтобы

sup .

4em iKTfJ]

В случае, если представление (в) не единственно, в теореме 2.9 дается параметризация множества мэр üf6"(A) » дающих (6).

Эта параметрическая формула имеет вид дробно-линейного преобразования с параметризующей функцией, принадлежащей классу Стилтьеса (S). Коэффициенты этого дробно линейного преобразования легко получаются из коэффициентов, выписанных в теореме 2.7.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Беккер М.Б. Об одном интегральном представлении эрмитовополо-жительных матричных ядер специальной структуры^Ущз.мат.журн.— 1988.- 40, И б.- С.626-628.''

2. Беккер М.Б. Изометрические операторы с направляющи,ш отображениями. // . Современный анализ и его приложения . - Киев: 'Наук. .думка , 1989 .-С., 3-9.

3. Беккер М.Б. К задаче продолжения о полуоси непрерывного положительно определенного обобщенного тепляцевского ядра // Докл. АН УССР. Сер. А..- 1989.- № 4.- С.3-6.