Нелинейные задачи кондуктивного и радиационного теплообмена тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

- - ™ Г Л

На правах рукописи

2 г ДПР 1896

УДК 517.946.9

АСЛАНОВА Елена Михайловна

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ КОНДУКТИВНОГО И РАДИАЦИОННОГО ТЕПЛООБМЕНА

01.01.03 — математическая фжшха

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев — 1996

Диссертация является рукописью.

Работа вилолнена в отделе математической физики и теорйи нелинейных колебаний Института математики HAH Украины ,

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор БЕРЕЗОВСКИЙ A.A.

Официальные оппоненты: доктор физико-математические наук, профессор СЕЛЕЗОВ И.Г.

доктор физико-математических наук, профессор КАРНАУХОВ В.Г.

Ведущее предприятие: Киевский национальный университет им.Тараса Шевченко

Защита диссертации состоится " „LiQ-JL 1996 г. в часов на заседании специализированного совета Д 01.66.02 при Институте математики HAU Украины по адресу: 862501 Киев - 4, ГСП, ул. Терещен-ковеная, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

AÜ л/J

Автореферат разослан * _* с ' 1996 г.'

Ученый секретарь специализированного совета

ЛУЧКА A.D.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Развитие теплотехники высоких и низких температур постоянно выдвигает задачи по расчету сложного теплообмена, в котором наряду с ковдукгивным и конвективным существенную, если не главную, роль играет теплообмен излучением. В связи с этим особенно актуальными становятся вопросы разработки эффективных математических методов исследова^я сложных задач теплообмена излучением в сочетании с теплопроводностью.

Для многих технических приложений бвжны задачи по определению температурного поля и(Р,£) в твердых выпуклых телах О, с поверхности которых Э осуществляется отвод тепла излучением по закону Стефан--Больцмана. Это приводит к необходимости решения линейного уравнения теплопроводности при нелинейном краевом условии.

Другой класс задач связан с расчетом только лучистого теплообмена между диатермически разделенными нагретыми телами. В рамках геометрической оптики последите сводятся к решению линейных интегральных уравнений лучистого теплообмена относительно интенсивности потоков падающего полусферического теплового излучения Е(РД), Р?5 когда температура тепдоизлучвщих поверхностей предполагается известной.

Наконец, в наиболее сложных задачах для систем диатермически разделенных тел, а также тел с вогнутой частью поверхности 5 с 5 определению подлежат как температурное поле ц(Р,г),РеО, так и падающие потоки теплового излучения Р^,. При постановке таких задач,

нелокальных по своему существу, приходится рассматривать уравнение теплопроводности при нелинейном краевом условии совместно с интегральным уравнением лучистого теплообмена. Математическое исследование таких штегро-дифференциальянх задач сложно, требует привлечения разнообразного аппарата и до сих пор в общем виде не выполнено. Среди этих задач особое место в практическом отношении занимают стационарные и нестационарные одномерные задачи переноса тепла излучением и теплопроводность» в тонких ободочках, а также нелинейные задачи кондуктивного, конвективного и радиационного теплообмена для ограниченных и неограниченных цилиндрических тел.

В настоящее время практически отсутствуют аналитические или простые численные метода и алгоритмы, позволяющие с достаточной для практики точностью и быстротой выполнять тепловые расчеты задач кон-

дуктивного, конвективного и радиационного теплообмена. В связи с вышеизложенным особую актуальность приобретают численно-аналитические методы исследования температурных, полей и интенсивностей потоков падающих излучений в тонких оболочках, ограниченных и неограниченных цилиндрических телах, представляющих собой конструктивные элементы высокотемпературных агрегатов. Разработке таких методов и посвящена настоящая работа.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является разработка и исследование новых по постановке нелинейных, нелокальных задач кондуктивного и радиационного теплообмена в телах сложной геометрической формы применительно к запросам шергоналрянениой, в том числе космической, техники. Наряду с вопросами разрешимости полученных задач значительное внимание уделено построению алгоритмов отыскания их приближенных численно-аналитических решений.

ОБЩИЕ МЕТОДЕ! ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используется метод нелинейных интегральных уравнений, вариационный и проекционно-сеточные метода, основанные на использовании финитных функций, асимптотические и численные метода. При доказательстве теорем существования и единственности решений применялись метода последовательных приближений:, монотонных операторов, априорных оценок и другие метода функционального анализа.

НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В диссертационной работе рассмотрены новые по постановке задачи кондуктивно-радиационного теплообмена с нелокальноотями как в краевых условиях, так и в дифференциальном уравнении, а также нагруженные нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштейна по координате и Волътерра по времени. Разработаны приближенные численно-аналитические метода решения нелокаль--них нелинейных задач кондуктивного и радиационного теплообмена. Осуществлена редукция рассмагрвваешх задач к система^ нелинейных алгебраических уравнений или к системам нелинейных уравнений Вольтер-ра. Получены условия, при которых нелинейная краевая задача теплоизлучения имеет единственное решение на множестве положительных функций, а приближенные решения* построенные методом последовательных приближений, образуют вилку.Изучена двумерная нелокальная задача для несимметрично разогреваемого бесконечного полого цилиндра. Получены априорные оценки в энергетической норме и доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения из класса Полученные результаты доведены до алгоритмов численных расчетов и могут

бить исполъзовани при исследовании процессов теплопередачи в топках и печах, различных теплообманшх аппаратах, а также в космосе.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. По материалам диссертации сделаны доклады на научном семинаре отдела математической физики и теории нелинейных колебаний (руководитель семинара академик О.А.Митропольский), на отчетных научных конференциях и научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений у функционального анализа математического факультета Кабардино-Балкарского госушшерситета. Результаты диссертации представлены на двух Международных научных конференциях по уравнениям математической физики (г.Киев,1995; г.Тернополь, 1995).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты проведенных исследований опубликованы в семи работах.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИЯ. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 85 наименований и содержит 135 стр. машинописного текста.

содержание РАБот

Во введения обоснована актуальность и практическое значение темы, приведен обзор существующей литературы, изложена структура и содержание диссертации.

Первая, вводная, глава посвящена постановкам основных задач по исследовании температурных полей теплоизлучвщих тел. Принимается, что внутри выпуклого тела П температура удовлетворяет уравнении теплопроводности, а на части его поверхности 3 имеет место излучение тепла по закону Стефана-Больпмана, приводящее к нелинейному краевому условию. Дана общая характеристика задач сложного теплообмена, включающая интегральные и дифференциальные постановки зздач. Особое внимание уделено выводу условий сопряжения на поверхностях раздела составных сред и рассмотрены импедаясшэ, локальные и нелокальные краевые условия. С помощью формул и функций Грина осуществлен переход от начально-краевой задачи•

г cput = - ш, Р<Г), Ц(Р,0) = и0(Р), Р*П, С )

\ ^ + СШ си4 » Р^, Г-О

к интегрзльннм уравнениям минимальной размерности типа Гаымерштейна по координате Ре£ и Вольтерра по времени t

+ Ср(?,<3;0-Пил(а)с1зо 4- } рСР.вЛ-Пд^СО.^Зсга^т, РсЭ. (2)

з 4 о а 4

Здесь К9 рассмотрены вопроса разрешимости соответствующих стационарных задач (1), когда к=ц(Р), начальное условие исчезает, имго-дансноэ краевое условие становится нелинейным краевым условием, а уравнение (2) - нелинейным интегральным уравнением типа Гаммерштейна

и(Р).= /(Р) - ^ 1С(Р,а)[е(и)и4(д)-е(ис)и^(д)1аа<3, Рб5. (3)

• 9

При определенных ограничениях установлены теорем?- единственности и существования положительного решения задачи стационарного теплоизлучения. Рассмотрен вопрос построения обобщенной функции Грина для оператора Лапласа.

' Во второй главе рассматриваются различше постановки задач кон-дуктивного и радиационного теплообмена для невкпуклых тел и оболочек, когда на вогнутой части поверхности имеет место теплообмен излучением. Дан вывод интегрального уравнения радиационного теплообмена и с помощью резольвенты Я(Р,Я) его ядра К(Р,С2) получены выражения для интегральной полусферической интенсивности падающего излучения Е(Р) через температуру поверхности -

Е(Р> = р(р,и) + г;н(р,д)р[д,и(а)1сг81э, (4)

где г= 1-е;

аг

Р1Р,и(Р)1 = 2И0Т(Р> + еа/ЖР.фы4«?)^;

аг

соз(Р&пр) • 002(0Р"по)

■ . К(Р.д> --2--

% \Р- СЦ2

Осуществлена конкретизация ядер К(Р,Я) интегрального уравнения лучистого теплообмена для тел, ограничениях параллельными, плоскими или цилиндрическими поверхностями.

Рассмотрена общая естественная постановка задач кондуктивного и радиационного теплообмена, сводящаяся к совместному решению нелиней-

той начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности вПи интегрального уравнения лучистого теплообмена на г, -

а(и(Х#гсйц) - ср^ = -г», Р^О, £>0,

иСг.О) = и0(.х), РеП, (5)

X + <хи + ех(РЖ(Р,?) + <Р0(Р.П - Ф,(РД,И), Рбг, 00;

г),. (в) 31

где %{Р) - характеристическая Функция поверхности Я,, представляющая собой одну из слокннх практичэсни не исследованных задач математической физики. С помощью полученного выражения для В(РЛ) через и(Р^) (4) осуществлен переход к начально-краевой задаче для уравнения теплопроводности (5) о нелокальным нелинейным краевым условием

К + + Cut" exmhK0V(P,t) ^ U-S)JR(P,Q)EKQ1;(Q,t)aeQ +

si

+ Xfl(PtQ)V,(<},t,U<Q,t))cfeJ + ip0(P,t) -<p,(P,t,u), P€S, f >0. (7) д ^

В этой же главе рассмотрены задачи кондуктивного и радиационного теплообмена в термически тонких оболочка!, когда изменением температурного поля по их толщине можно пренебречь. Здесь введено понятие оболочки переменной толщины и получены дифференциальные соотношения, связывающие срединную Ф и ограничивающие такую оболочку поверхности Ф_,Ф+. Осуществлено усреднение температурного поля по толщине оболочки, в результате чего получены новые постановки существенно нелинейных начально-краевых задач с нелокальностями как в краевом условии, так и в дифференциальном уравнении -

_ гаезф f л пев<р г -i

eivxagniaxTvi) -н ¡^(^и +■ С+Ut] + ¡¡¡щ=|с<_и + с_utJ - Cut .

тевр . . . ч иезф г ,

■ т + К <*•*•«>) + ЙЩг[в(Еяет(р'4) +

+ r^R(P,Q)EncT(Q,t)dsQ + ^(P.OVjfQ.i.uia.f +

+ Ф (P,t) - ф (P.f,и>] Р'Ф, Г>0;

и(Р,0) = и0(Р), Р € Ф1ЛеФ, х + свх + си = <р0(Р,г') - ©, + I-

г иезЗ

+ ех(Р)[Еиот(РЛ) +■ (1-8)Пр(Р,(3)ЕИ0Т((ЗД) ш^ <я +

+ ЦЩР.СНф^ал.и«!^)} сЯ 1 РеБ, (9)

х **

Кроме интегро-дифферанциальной (5) и нелокальных (7)-(9) постановок рассмотрена интегральная формулировка задачи,.объединяющая интегральное уравнение минимальной размерности и интегральное уравнение лучистого теплообмена

я(РД> = нЛР,1) - е}$С(Р,в;т^)[сш4«2,т) - йз^йх,

03 4

Р.Яев, 1,т>0, (Ю)

Е(Р^) = ЕИСТ(Р.*> + ;К(Р,С)СгЕ(0Л)+еот4(д,г)]сЗзв, Р<=5,, *,г>0. э|

Осуществлено усреднение полученных интегральных уравнений задач кондуктивного и радиационного теплообмена (10) для термически тонких оболочек. Это достигнуто посредством усреднения функций Грина И ядра К(Р,<3). С помощью такого усреднения и последующего учета симметрии получены простейшие одномерные нелинейные интегральные уравнения стационарных задач кондуктивного и радиационного теплообмена вида

и>[х) я цуя) - е| е(Е,;г)[сщЛ£)-2(£)]<3£ , х(<хсг2, г)

а • ' (11)

2

Е(:г) = Еист(г) +• 1 Нг-еЩ Нестар (?)]<3£ , х,<х<хг.

Приведены явные выражения для g(x,t) и &(£,?> в случае конечной и "бесконечной цилиндрических.оболочек.

В последнем, пятом, параграфе второй главы рассматривается метод конечномерной аппроксимации решения получен,шх интегральных уравнений,-основанный на использовании финитных, функций. Приближенные решения разыскиваются в виде линейных комбинаций в классе кусочно-непрерывных функций

И(Р) а УЛ?) = 2 Е(Р) а = I Е{Х((Р), <12)

1 = 1

где 5? и - средние значэния искомых функций на подобластях разбиения области Я. Метод Вубнова-Галеркина для системы интегральных уравйений соответсгвуюпцх (10) стационарных задач приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений вида

ш. = ш

Л л/ у

(13)

Конкретные задачи кондуктивного и радиационного теплообмена в цилиндрических оболочках и системах параллельных пластин рассмотрены в третьей главе диссертации. Для конечной цилиндрической оболочки осуществлено усреднение температурного поля по толщине, применен метод Ротэ и для определения безразмерных температуры и(х) и интенсивности падающего потока теплового излучения е(х) на каждом временном слое получена следующая система нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерттейна:

"о •

е(х) = <р(г) +• / К(*-£)/,[и(£),е(5Ш5,

о

(14)

и 0

и(х) = (¡>{х) - 3}п4{х0)х - ;С(л:,$)/.,Ци(5)1е<5)]<35,

где

ф(л;) = 1 + ^ /с(з.5>й<£>а5. |р(л> = * ^ -г], " 0 /х2- 4

/,(и,е) = ¿(ей4 4- /2(и,е) = г^и4- е) +

К[х-1) = 1-|>-51 , С(х,5) = зч- (5-х)т)№-5).

Исследованы свойства ядра К{х-1), построена его резольвента и с ее поморю разрешено первое из интегральных уравнений (14).После исключения е{х) из второго уравнения (14) получено нагруженное интег-ро-степенное уравнение типа Ляпунов а-йящт а для определения и(г)

u(x) = fix) - Shu*{a:0)x - ^ f°e(z,£)u(£)d£

- s. S Ф(x.i)u4(№t, л о

где At - временной шаг; Sk, Sd - коэффициенты Старка; f(x) - известная функция; определяется по G(x,£) и сверткам ядер G{x,t), KU-E) и й(аг,0.

На каждом временном слое получена система нелинейных интегральных уравнений минимальной размерности для определения усредненного по толщине нестационарного температурного толя u(cp,t) и интенсивности падающего излучения £(cp,t) несимметрично разогреваемой бесконечной цилиндрической оболочки

2(<р)

2%

ЕИСТ(Ч>) + S Г(чн|»€рВ(ф> + Ли«1))]>(4>.

г%

(16)

где

u(<P) = g(<p> + f С(<(нр)(рЕ(ф)-у/[и(ф)1Щ. о

К«Н>) = I 8in| ^ |, G((H>) = chik(n-1ф-фj) 1/2йаШс,

а £ис4Лф).£(<р) - известные функции. Построение нриблпх&яного ревэюш системы (16) провкцйонно-свточным-мвтодом»истользуицам фшпшше функции-крышечки и линеаризацию функции /(«) на интервале us Е ,. сведено к решению следующей системы нелинейных алгебраических уравнений относительно узловых значений и. и Е. искомых функций и и В:

n~£>

r> I, E

Jo ы n

p — г t£t it о

(19)

W Е0=ЕЙ- Ь0Г7ГГТТ

Элементы матриц и правые части система получены в виде интегралов от произведений ядер й(ф-ф) и g(<M>) на функции-крышечки (ф). Выполнено простое, но довольно трудоемкое вычисление таких интегралов. Решение .система (19) может быть получено методом Ньютона.

• Изучена двумерная нелокальная задача для несимметрично'разогреваемого бесконечного полого цилиндра. Получены априорные оценки в энергетической норме и доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения из класса fl^'0^).

Два последних параграфа третьей главы содержат исследования задач радиационного и кондуктивного теплообмена в системе двух неограниченных и ограниченных диатермически разделенных параллельных пластин. В случае неограниченных пластин задача сведена к системе четырех нелинейных интегральных уравнений типа Гвммерштейнэ. Проекцион-но-сеточным методом в сочетании с методом Ротэ осуществлена их конечномерная аппроксимация к системам нелинейных алгебраических уравнений на каждом временном слое. Предложен итерационный процесс решения таких систем. Результаты численных расчетов проиллюстрированы графиками динамики температурных полей э конкретных системах бесконечных параллельных пластин.

Рассмотрены также нелокальные постановки задач кондуктивного и радиационного теплообмена в системе двух тонких параллельных пластин. В простейшем случае они представлены следующей нелокальной задачей:

- сГ\ - ô~1u - С~7(Ю - eS"'j R{x,t)fMl)№ = - w,

11

u(£,0) = uQ U), (20)

u^. - fui = 0, x = l(; ия + Ш = 0, x = l2,

где R(x,Ç) - резольвента ядра R(i\ ? )=(d2/2 ) ld2+ )2Г3/2. Методом Ротэ эта нелокальная начально-краевая задача сведена к нелокальной краевой задаче относительно значений и(г) на данном временном слое. Решение последней можно получить проекционна-сеточшм методом.

Получены нагруженные нелинейные интегральные уравнения двумерных задач кондуктивного и радиационного теплообмена в случае параллельных пластин конечных размеров. В частности, в простейшем случае, - следующее уравнение:

u(P.t) = ujp.t) - s} ^(P,Q-,t-i)u4{Q,%)á3Qán: -t .

. - sj rG(PIQ;í-i)u4(Q1'C)dlndT:, L= l(x,y):x=±c&¡u-D. (21)

O L 4

Предложен специальный проэкционно-сеточшй метод гостроения приближенного решения этого уравнения, основанный на использовании конечномерных аппроксимаций с помощью фаштных функций как в области П, так и на ее границе L -

u(P,t) в fñ.(t)x,(P), Peo, w(P,t) в Tw.(t)w,(P), FeL. (22)

iSI 1 J=t J J

Методом. Бубнова-Галаркина получены следующие системы нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра относительно средних значений 5{(í) и соответственно в подобластях 0{ и разбиения облас-

тей 0 и I:

= »»i ~ f K^í-t^Cc) - Y JdL.(t-<r)w*(<t)<íc, г=Т7¥.

Для решения этих систем применимы итерационные методы.

Основные результата диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом:

- Разработаны новые по постановке задачи кондуктивного и радиационного теплообмена с нвлокальностями как в краевом условии, так и в дифференциальном уравнении.

- Исследована ядра K(P,Q) интегральных уравнений лучистого теплообмена к их резольвенты R(P,Q) и установлена однозначная разрешимость линейного относительно Е интегрального уравнения лучистого теплообмена.

- Развит метод нелинейных интегральных уравнений применительно к построению приближенных решений одномерных и двумерных задачокон-дуктивного и радиационного теплообмена.

- Рассмотрены вопросы конечномерной аппроксимации решений полученных нелинейных интегральных уравнений кондуктивного и радиационного теплообмена, основанные на использовании финитных функций (ха-пчктеристических и функций-крышечек). Проекционно-сеточным методом,

•'«лезущим такие аппроксимации, метод Ротэ и предложенную линеари-

зацию нелинейностей на отрезке задача сведена к нахожде-

нию решений систем нелинейных алгебраических уравнений как для стационарных, так и для нестационарных задач, или к решению систем нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра.

' - Изучена двумерная нелокальная задача для несимметрично разогреваемого бесконечного полого цилиндра. Получены априорные оценки в энергетической норме и доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения из класса Я^'0^).

- Рассмотрены двумерные задачи кондуктивного и радиационного теплообмена в системе двух параллельных пластин. Методом интегральных уравнений в простейшем случав задача сведена к двумерному нагруженному нелинейному интегральному уравнению относительно температуры Предложен вариант проекционно-оеточного метода, использующий аппроксимацию решения как в области, так и на ее границе.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Асланова. Е.М. Интегральные уравнения кондуктивного и радиационного теплообмена/ТНелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Киев: Ия-т математики НАНУ, 1994. - С. 5-8.

2. Асланова Е.М. Интегральные уравнения кондуктивного и радиационного теплообмена в конечной цилиндрической оболочке //Краевые задачи математической физики.- Киев: Ия-т математики НАКГ, 1995.-С. 35-43.

3. Асланова Е.М. Нелокальные задачи кондуктивного и радиационного теплообмена в системе двух тонких параллельных пластин // Краевые задачи математической физики. - Киев: Ин-т математики НАНУ, 1995. - 0.10-14.

4. Асланова Е.М. Радиационный и кондуктивный теплообмен в системе двух параллельных пластин//Чэтвэрта м!жнародна наук.конф. 1м.ака-демйса М.Кравчука, Ки1в, 11-13 трав. 1995 р.: Тез.доп.- Ки1в,1995. -С.22-23.

5. Асланова О.Ы. Нелокальн! задачх кондуктивного тепломасопереносу //Шжяародна наук.конф. до 150-р1ччя 1вана Пулюя,Терноп1ль, 25-28 трав.19Э5 р.: Тез.доп. - Терноп1ЛЬ,1995. - С. 12.

6. Асланова Е.М. Нелинейные нелокальные задачи теплопроводности для несимметрично разогреваемого полого щшшдра//3адачи со свободными границами и нелокальные задачи для нелинейных параболических уравнений.- Киев, 1996. - С.1-10. - (Препр./АН УССР, ин-т математики; 96.7).

7. Асланова Е.М., Березовская Л.Я. Кондуктивно-радиационный теплообмен в системе двух параллельных конечных пластин//Нелинейные щ>а-евне задачи математической физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики НАНУ, 1995. - С. 14-18.

Асланова Е. U. Нелинейные задачи кондуктивного и радиационного теплообмена

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физике, Ин-т математики HAH Украины, Киев, 19Э6.

Разработаны и исследовании математические модели кондуктивного и радиационного теплообмена в телах сложной геометрической формы применительно к.запросам энергонапряженной, в том числе космической, техники. Наряду с вопросами разрешимости полученных новых по постановке нелокальных задач основное внимание уделено разработке конструктивных методов решения таких задач.

Aslanova E.li. Nonlinear problems oi conductive and radiant heat exchange.

The dissertation is presented ior obtaining the degree of Candidate oi Sciences in Physics and Mathematics on subject 01.01.03 -mathematical physics. Institute of Mathematics, Ukrainian National Academy of Sciences. Kiev, 1996.

The mathematical models of conductive and radiant heat exchange in bodies oi complicated geometrical form applying to needs oi power-tense, including cosmic, technique are elaborated and investigated. Side by side with questions oi solvability of obtained new in setting nonlocal problems the main attention Is devoted to elaboration constructive methods for solving such kind problems.

Клтевые слова: теплоизлучение, интегральные уравнения, нелокальна"? задачи, конструктивные методы.

Подо, в печ. 12.02.95. Формат 60«84-16.- Бумага тан. Офс. печать. Усл. тч. л. 0,93. Усл. кр.-отт. 0,а3 . Уч.- изд. л. 0.75. Тираж 100 экз. Заказ . Бесплатно.

Отпечатано в Институте математики НДН Украина Я53Р01 Киев-4, ГСП, ул.Терещэнковгкая,,