Некоторые задачи, связанные со стохастическими дифференциальными уравнениями параболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Академия наук Украины Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики

На правах рукописи

10НЧАРУК Наталья Юрьевна

УДК 519.21

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ СО СТОХАСТИЧЕСКИМ ДНТФЕРШЩАЛШШ УРАВНЕНИЯ® ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени качдипата ¡лгико-чатематических наук

Клев - 1992

Работа выполнена в Киевском политехническом институте

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ДМЕЦКИИ Ю.Л.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник КОЧУБЕИ А.Н.

доктор физико-математических наук, профессор МИШУРА Ю.С.

Ведущая организация: Институт прикладной математики и механики АН Украины /г.Донецк/

Зашита диссертации состоится в "(Ъ часов на заседании специализированного совета Д 016.50.01 при Институте математики АН Украины по адресу: 252001, Киев, ГСП, ул.Репина, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан " " _¿.г.

Учаный. секретарь специализированного соЕета

Д.В.Гусак

окная характеристика рлготи

Актуальность течц. Стохастические дифференциальные уравнения параболического типа - гаянкЯ класс стохастических дифференциальных уравпвш'.Я в Сесконечнсмарннх пространствах, язучочие которого представляет интерес как в сбя:»и о внутренними потребностями развития теории случайных процессов, так и в связи с при-ложеншг.и в теории управления, популншюнной генетика, статистической гидромеханике и других областях.

Теория стохастических дифференциальных уравнений в конце сороковых - начала пятидесяти* годов была предложена независимо и в разных формах К.Кто и й.И.Гихманом, а затем развита А.Б.Скороходом /19С1/ для конечномерного случая. Гюрбши работами в направлении обобщения теории на бесконйчномернгТ случай были работы В.Р.Л-анланя /1^вЗ-1Р65/ и Т.Л.Чантагаязо /1964-Н-с5/. В работе Ю.Л.Яалецкого /1РС7/ дается инвариантное изложение теории стохастических уравнений с огракиЧёкшмй операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве.

Уравнение йто вина

<йс11) + , (А /1/

в гильбертовом простанствэ, где А\ь) - неограниченный производящий оператор сильно непрерывного эволюционного секейстга и ^I а В ограничен и удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу, впервые бнло рассмотрено В.Б.Бакланом /1564/. Точнее,им изучалось уравнение

К) = 1Ш.)и. + 5 0(1,«.) /2/

■¿Ч

без доказательства его пквивалеяткости /1/., Впоследствии иептл рядом авторов было показано с использованием уптоцое теории по^ лугрупп, что при некоторих дололнительннх условиях решение уравнения /2/ принадлежит области определения и имеет стохастически"! дифференциал /1/.

Г.Л.Розовский /1575/ для доказательства разрелимостк задачи Коии /1/ использовал методы теории потенциала.

Г; работ? А.Генсуссана /1571/ для построение решения урпннч-ния типа /1/ в банахово:/ ."ространстЕе с 8 п.Г и /!({), упов-летгоряюшкм условии коэрпнтивнссти, использовался ^етол яискре-

тизацки по времени о последуют™ слабим предельным переходом. Позднее А.Бепсуссан совместно с Р.Темаыом применил этот :ю метод для Ниследования уравнения

<Ли(И - АЦи1Ы)(М + е,н,цн\) Ли/щ, ищ =и„ /з/

е банаховом пространства с неограниченным нелинейным опэраторо;. "сноса" Д. , удовлеткорякцим условиям монотонности И коэрци-тиености, и

Дальнейшее развитие метод монотоннкх отображении применительно к стохастическим дисНеренш'.альнь'м уравнения!.! вида /3/ получил в работах 3.Нарду /1572,1975/, И.Нио /1974,1576/, М.И.Виши-ка и А.И.Комэча /1577/, Н.Г.Крылова к ];.Л,Розоьского/197<У и ряда других авторов, Р работах Э.Парду и л1.Вио рассмотрено стохастическое уравнение вица /3/ с неограниченными нелинейными операторами "сноса'1 А и "диффузии" & . Результаты Э.Парду обобшены Н. 13. Крыловым и Б.Л.Розовским /107?/ на случай, когда операторы Д и В зависят от случая неупрендагипм ооразом.

Б работах Я.И.Гелопольской и З.И.Наголкинол /1577,1582/ получил развитие применительно к стохастическим диЭДеренциатышм уравнениям метод мультипликативных представлений решений диффе-ренвдалышх уравнений. В частности, с помощью этого метопа ими доказана разрешимость задачи Конш-Еида /3/ в случае, когда А -производящий оператор нелинейного эволюционного семейства в паре плотно вложеюшх гильбертовых пространств, удогчзтворякиего условию Липшица в паре пространств с постоянно1.:, равно:' оцинл-це, а В - Оператор Гильберта-Шмидта, удовлетЕОряпци;» условию Липшица по второму аргументу.

Перечисленные гиае результаты для уравнений вида /3/ с нелинейном неограниченным "сносом" не охватывают класс уравнении с А1ии)Ы и.)и. , где при казгаом -I им. Л({}ц) есть производящий оператор сильно-непрерывной пслугрушш с плотной областью определения в гильбертовом пространстве /например, эллиптический оператор второго порядка о коэффициентами, зависящим от решения/. Поэтому изучение такого класса уравнений представляется актуальном.

Наглой задачек является исследование некорректных абстрактных параболических эаиач в банаховых пространствах /примером такой задачи мотет слукить оератная по времени задача Чоща гтя уравнения теплопроводности/. Для их изучения могут ггть црк;.^ ■

н<знц методы теории полугрупп /такой подход реализован С.Г.Крей-ном /1967/ /. Исследование возможности стохастической регуляризации некорректной абстрактной параболической задачи также представляет интерес.

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению некоторых классов стохастических дифференциальных уравнений параболического типа в гильбертовых и банаховых пространствах.

Цель работи. 1.Изучение класса нелинейных стохастических дифференциальных уравнений вша

£Ы1к) = ян, ит) и аш + и Ю) , и а.) - (/. /4/

в гильбертовом пространстве при условии, что при каждом и

и, ~ ограниченный справа оператор с постоянной

плотной областью определения, сильно непрерывно диф)аренциру-емий по и, на области определения, Ви,и) - опоратор Гильбер-та-Шидта, удовлетворяющий условию Липшица по и, 2.Изучение возможности стохастической регуляризации некорректной абстрактной параболической задачи в банаховом пространстве и исследование возникавши в процессе рассмотрения линейных стохастических дифференциальных уравнений параболического типа.

Методика исследований. Б настоящей диссертации применяйся метода теории стохастических уравнений в бесконечномерных пространствах, теории полугрупп операторов, другие методы теории случайных процессов и функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коли для нелинейного стохастического дифференциального уравнения вида /4/ в гильбертовом пространство; исследованы свойства случайного операторного семейства,' порожденного решением задачи Коти /4/; установлено, что решение задачи Коши / 4/ обладает марковским свойством.

2. Результаты, полученные для абстрактного уравнения в гильбертовом пространстве, применен!- к доказательству разрешимости некоторых нелинейных стохастических ди-ЭДяренивальннх уравнений с частными производными параболического типа в ограниченней обтп-оти и во всем яростраясгвь .

3. Установлена возможность стохастической регулчраэанг» некорректно;; абстрактной ндг^о.тнчосноЯ эчеччи г бчшневеч простран-

стге; для ооотвотоТЕуюяего линейного стохастического дй'Мерен-игольйого ураышнк.ч построено яркое решение; иеследовайн его свойства к свойства случайного операторного сег.юй&тга, порожденного решением с^ЬхестичоскоГо уравнении.

'¿'еорет/ческея к йцактцче-скад цонкооть; Результаты диссертационной работы могут быт*, использованы в научных исследованиях по теории с»0хас;ич&еких дгл^рендарльних' уравнений с честными про»з£сяннмЬ| Йри из/чейки пекорректькх абстрактных параболических задач< Рад результатов вйжет йкть иопольяоеэн для разработки япоретхов численного решения нелинейных стохастических дисй«ренШ1айЬннх уравнений к&рабйлического типа, воаникаюиих в приложениях.

Апро'Зсотя работК и пуолякэциг.» Ссногннё результаты диссертации цоклаавВйлись в институте математики АН Украины /рук. семинара айадЭШЮ АН УКрайны А.В.Скоротал и проф.Г.Л.Лалеикий/', на респусШканбкой Конференции по эволШиотшм стохастическим системам /КйцйвёЛй(1589/» Пятой .международной Вильнюсской конференции Ьо теории вероятнойтей и математической статистике /1989/, 1 КрнмЬкой Обенйей математической школе /Ласпи,1990/, 22-24 Воронежских йймних математических школах /1989-1991/, Восьмой РейпуЬлйкайикой конференции да кблинв^нам задачам математической фиЭййй Донецк,1Й91/, в Университете г.Ноттингема/рук. семинара проф^ЬХадсонА Университете Уорика /рук.семинара проф.К.Злворей/, Рур-Унивэрслтёте г.Бохума /рук.семинара нрсф. С.АльбеЕврио/ п Опубликованы в С13-153

Структуру к объем работы. Диссертация состоит из введения, двух йпийка литвратурй й содержит ^^ стр. машинопис-ногЬ текста^ В списке Мтёратуры наименований.

содержание работы

Во введении НрйГеден краткий исторический обзор результатов, связанных с темой диссертации и краткое изложение основннх результатов диссертации.

Глава 1 посвящена исследованию нелинейных стохастических дифференциальных уравнений вида /4/ в гильбертовом пространстве.

Введем некоторые обозначения. Пусть

s

1. 2£ (У;Y) - пространство лкиойных ограниченных операторов из гильбертова пространства X в гильбертово пространство Y ,

<34 С >OY) ~ пространство операторов Гильберта-икидта кз X в Y с норкой С^у , б X) - банахово пространство

непрерывных на CUîU функций со значениями в X и стандартной Нормой 'II' illx ;

2. ИвэЩэ^ - цепочка плотно вложенных вещественных сепарабель-них гильбертовых пространств с нормами K'II«,, IMI^ »IHIg » соо'г~ встствешю, причем для любого ц,£ Hj> t!и!Ц 5 41 С*ti-ц £ 11и"г •

3. -'Полное вероятностное пространство, Е - среднее

по С-Л^?); ¿р CJii X, Ê) (pef/) - бонахоио пространство измеримых функциН M!u))(u_iêvl) со значениями в X и нормой

«U»K(P * ( в ни«/) ЧР,

6 - мера Лебега На ti^tl с . ^ борелевская. б" - алгебра на c-t«iL3 , LF ( КЛ , X ) £ X £ ) - банахово пространство изчеримнх функции и. ( t,uj) (t £ C<-nt3, UJ€ Л) со значениями в Хс нормой ^

<•« u>i>> Xi р » ( j « о dt ) W ;

4. ЩЖ- -векественике селарабельнке гильбертовы пространства,

реализовано , где вложение J- VIесть

оператор Гильберта-Имидта, \V(t) - стандартный винеровский процесс в с тождественный в У? корреляционным оператором, w(tD)^o , 4.£i!jt>sib ~ поток G" - подалгебр i? , согласовании;! с wlt) , tf (.X) - совокупность Jj. - измеримых элементов тлз 1ф CJltX,P) > Чр (u4.»iXl I ~ совокупность согласованных с {Ftîftit» • непрерывных по t на [ia,ïj случайных функций из

¿Р (ct>,u *л, х,ех е) ■

Pace-'orpiw в //„ нелинейное стохастическое уравнение вида /■!/> me J}tt,u) - измеримая функция на CÎtitJxA'o , значение которой - ограниченный справа оператор в f)a с постоянной областью определения Sb(j}f(,tt)) , сильно непрерывно диЭДерен-пир.7чмнй по il на Hf , Brt/Ц» - измеримая функция на со значения.«; ь g^lff, tfj . Под сильным решением гадачи Коши /4/ в /4 на Ct»»t3 понимаете! нолрврчянчЯ, соглэсорчннкй с потоком случайная nDo:ie"3 со зтчеквкчи в , узоа^етгор^гс^ /п.и./ при кях-доч ttCioitl интеградънсм',- урарненго Ито

G

i t

M ItJ ~ Ltc f- í j /5/

В Mr .

Иалсцошнло задачи Коми /')/ проводится с пэмо'чь»: амрок-иимз::«онной процедура. Для этого в Ц, и 1Уг рпссиатршзсвтся после п.о ^ате явно сгь стохастических .впОДаренкголып'х i равнений

К I - fhli,(t^H))un)i)dít А'/'

с ограниченными окерлторпглп "счооа", ашгркзпп'рзп'ят«! неогра-пичешшИ оператор Л-ibu) в сл9'1./"''ем «коле: попчецоичтельпость операторов {^(í,u))i,Ti cxoimot v ротору iHUO в смгеле рйыюотрной на £1,,Тзх схолию эти р ¿f (М,, tf „) при .

и /1 (tiuj - замыкание ÍTKiU) 53 И,

Б $1.1 вне сяяэи с уравнением /4/ и не!огр;?ч;'ч?чиыч оператором MiUu.) рассматривается иослецовательиооть стохастических уравнении /6/, и при определенных условиях устачаг икается сходимость их рэ,тений.

l£2£S5íS_lt Пусть при г.ита.ок п £ fíj

i/ дал лм5нх te a,,tj, и , л» , Яп а,и.)

{•te С it-П, измерила по -Ь ей. на C'f°|T.:j Xf¿<e . ос-

тавляет ившрпаятним Hz , и семейство операторов JJh({tu} UeUbjtJtUeHfc) равномерно на % Hfc ограничено

в X.C4tUt6{o,2}) 5

г'7 ifh ft,u) (.te [ín,"ll I ЧбНц) -сильно во.фррнгно т'и;р|орендир7-оми по ц. на Цк . и селе 'глво отос поров Lt£íJ:*¿-J

М.£Че)лри колом Ьс-Нк равномерно на íAo,T.3 * Míe ограничено в сШг-1) ;

3/ семейство операторов fih (t,ui) ( „сМ tet/Uta, я семейстго cy*em:>i операторов ЯиИ/Ч^Цпе А/, tecto.n t'j ) па ограничены справа в равномерно на

Ci»it3 * Ио И в Цх шгиоглсрао на ^/VxLUiX'J .

соответственно;

4/ при наглом he И, ое::ойотг,- операторов IVt))» (.»€ A'jteríe.Cl, Wf//в) ограничено рипюмерго ч-ч A/xct^U 5/ поггледо&тгелг.ность 'onepav.pon •¿Jl!>i{¡ui) „Г? 6угдя';»нгсдьна в ^мызле равномерно? па СЛ^ХЗ х//0 сходяшств в ЗЛУ?,Ho) Пусть В (-ti«.) (-te tu e:ít ) с ce (о.гЬ) - ятлрри-.г..д ш t

n u. 'J.yira'm F-itto,^ xífic r:íl эяпокчяиа к Ик.) • п

¡■íeci-nyer констант <i такая, что д.чя л^Сих •{ t¿ cUit:], ti, Hk И'нют мпсто неравенства

^.Wfc с ai-tt«j) .-á с» с -(+ iiuiikf )i

e2Hu сe(t.u>-e>(t,a)) й e uu-<fU¿.

Яусть такт-e ц0 ¿ 6 \ f., CMJ t^e^J),

Топа np¡! кагдом ис-я/ и , 'fo,J.a существует сильное решение задачи /('/ К» (I) (Л£С1о f t J ) в Mt на cb.tl , " в СШ^ЧТ,!/,,) существует p_e¿wi , причем €

Gca.,o,w0) /п.ч./. -

Пусть Т - залкнутчй пол^титед* ио-опрсдрлвннвй линейный оператор в гетчстг-эннсм cenai-a'/pльном гподкоттегч п^осгогнстк? И с юютчоЛ область« опт»»пл..шгня SCT) такой, что IITu.ни * к««н те ©сп).

Буд^м говорить, что гильбертова цепочка W« эМл ¿>Ц2 построена по оператору Т . если Н„-Ц с нормой )1«1С,--циЛ|м сие'А) . ИЛ-.9СГ) с нормой Щ!!^ =. {(Tu.ll ,ч (<(.6ЙК'П); Ht = g)C Г««) Сто ИЗ) С норг.? |!Ш(г Г. HT'^Uilj, LUí ácTHS))

IViOLQ'-u'-.^. Цу;ть г!'лг/;ертовч кепочка |/t aM¡ ностроев-я no с1юрчг<*ру Т . и выполнены условип теорсмн 1. Топа

Р ¿¿-ИС^ПхЛ i 'hi ) Q <гаУ) • г'г0

le ''л /(. п определит тэк , къг и в теореме 13 причем при кат-лом u lUtl С- СНг) •

lÜLWL ику/г"гея случайное операторное семейство, горот-лерние тг'я-'щооиншл в тгороме 2 пррвельнш случаЧи«-л процессом. <:пт«!!'елн' пти т атиом \ ^ Cintl

i"*)-

'5лучг»йнор ото"'гп-,!ч-яг'п, :;срг)'-':'а:5г.г;? no Топ'ут^ ил ti - VUi<ej? ÍA, , *_'nr; ! t f VC'i,4,4TtTv ^'■S''1CVY"1 '/¡ГС1'"'''

V!lr.~) ( t>, í Ь <"t /л.". ' H¿ • !-■"■■•:.:--■

,.,..„,,..,,,,,,,,_ 7,, ...,.-. T,,„ :.X Ц p (f-t ^,

"'i :''■', '>•'■ i, t <r , !!.:'. "w^ i* ■••■ r'.

б'

V и л) »л/(б, \)»и V Ж м• .

В §1,3 устанавливается, Что при определенных условиях предельный случайный процесо из §1.1 есть сильное решение задачи Коши /4/ в на •

Таоремо 4.Пусть выполнены условия теоремы 2, М„€ с г» ' последоштельност1, операторов {А ¡-^и)^ иГ]5

.ц£4*0) скоцитоя к оператору /П^ц) в смысле равномерной на зхМ„ сходимости в .

Пусть - его замыкание в Ц, - линейный оператор с по-

стоянной областью определения . Пусть также операторы

Семейства .¿^Ц) (Д е(Ч<.|1-3 ¡и&Ца) подчинены оператору Т равномерно на г •

Тогда предельный случайный процесс из теоремы 2

^ИгЬ) *Чь есть сильное решение задачи Коши

/4/ в на С.-иД"3 •

Пусть *£ - разложение единицы Т в II, , построенное но ОператоруТ в соответствии со спектральной теоремой. Тогда £ сй/х) - оператор проектирования 6 М0 /здесь

Ьезде дальше предполагается, Что цепочка Ц0 зНг. построена Но ошратору Т . Теорема 5. Пусть ЛН(Ц.) ~ измеримая функция на [.Ытах»в , значение которой - замкнутый линейный оператор в Ц, о постоянной областью определения Ц., , сужение оператора /(-Ьч) на 2)(т Ж) есть измеримая функций на Е-и^акН* . " = ЛН^) Ри ,.Ц£Нв) !

2. операторы.семейств , Т5 А и^и^^Т-*" (.Н (Ч. |ТЭ,

.Ч-^М.) И Т^АМЛТ1*» иесиаэ.игеНг)

подчинены оператору Т равномерно на х Но 11

' [Л^Х'эхН! • соответственно;

3. операторы и ТН|Г 1Я-К|Чг)Т*"1Н'*) сильно непрерывно дифференцируемы по и иг е Нг , соответственно, на , И для любых бИг операторы семейств

Ли« И^)»»* КесигзДеН,,), (исЬхШбНг),

подчинены операторуТ равномерно на и С.-£о,ТЗ * Цг ,

соответственно;

4.Операторные семейства . ..

T^Mfti'/i) (-t€Clo,n,uliMl) ограничены оправа в

tit равномерно на £iotzjx4„ и [fol х? х Цг , соответственно.

Пусть такте ßfi(U) (t€C*e»T3 t )С К&£о,г>) -

измеримая по -t и и. функция на c-te|f3 * со значения-

ми в Wie), существует константа С такая, что для любых

I Чгл'Нк !Лесто неравенства

И «о е c^e/A/)

Тогда

1. при каждом ifW существует единственное /п.н./ сильное решение и„ tt) ¿4€Cl»it:j задачи Коши /6/ в и Нг на . принадлежащее при катдом ^¿ч+г ШоДТ, Ик) CJ6 А/) .

2. существует ии в L^ClUxIIxJl,ih, t*P) и Нг) .

3. выполнены условия теоремы 4, и продельная функция

W.(-ti^VHit»)®L*., (.tiCtoitl) есть сильное решение задачи Коши /4/ в М, на Lie,t3

В § 1.4 при некоторых дополнительных условиях доказывается, что задача Коей /4/ имеет единственное, с точностью до стохастической эквивалентности, сильное решение в некотором классе сильных решений.

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 4, операторы

сильно непрерывно дифференцируемы по и. на И-, , для любого ^е^г операторы семейства ßU U{u)h (t6Ci«iC3, И£-Ц0) подчинены оператору Т равномерно на Cto,C3*H,< и Wo & 5 (Нг)

с^ел/) . 2

Тогда случайный процесс u.ltr) - V (.Ы»}»u„ есть единственное /п.н./ сильное решение задачи Коши /4/ п Ha'fteit] . удовлетворяйте условию 6 "о? (-Кг.)

nit;es*<j+z сно t-te Li0lta)(%e.<v) -

Замечание 1. Условия- теоремы 6 внполненн, ес.пи внполнены условия теоремы 5, и UD€

В § l.b в условиях теоремы 6 устанавливается, что сильное ряиэнио задачи Коши /-V, построенное в §§ 1.3, 1.4, есть мар-

iO

коьский случайный процесс ь , но прежде коказыьеется ут-рерузолге о зегвсимоотк решения иг начального условия.

'Тес оста V. Пусть вшшнекн условия теоремы 6, цв i иИве Ь^'ьгг сиел/j и ¡w иИо

ь ¿Íír( (Л,иг1Р) . Тогда Víí.tojou«, U^TTo)

oîo7î!ï;.v< к V(t,U)»«<, (ttUdtT) в

¿¿f (.'línU KJaHt I é *£ ) "P" И-^-о

Voooír^a _6д_ Грусть цщгалненн условия теореми 6. Тогда iclt)-* Vlt.U)eu0 U(Cí.tf3) есть марковский случай-

ней процесс в , и его нерехсчшге вероятности задастся соотношением

pcs.u й)=е {«SlUit)t д)

где и^^ - решение уравнения

t t

%U itrj =■ ц -t $ (0)</£> + J Bf0, Uts,u<e})

s $

я Ma • Ut-Нг , At-tf^Mj , Pjp - борелетюкая Ç~ - алгебра (¡Oíi>:>ro.'-üCTí> Мг , tíéíU[t)el.2t- СЛ^г.Р) Lfb^)

В fj l.Q р^ссмэтрквпктся спз примера яелкнеКокх стохастических спдоренлтишн*. удоаониЗ с частик;.',i пооизсолтга парабо-jiCiocKoru тина, для которпх в ¡¡ег.отсру/. флглвкэнадышх прострн-иату&х ¡лиолпенн условия теоремы Б.

Калу.гт» 1. Пусть Q ~ ограниченная сьчзная оЧъчгть n 'RИ с траншей é!(? wmcca С6 , Т - радккачте спераюоа

Т'ц - ц. ~ ди éí-i (<?), где сг CSOSe") = {и еС2 Ci?ü¿&) ; и = )/)с),

Т имеет да-сгреткнГ еяектр -{ Vt Ьс, U\a¿ Х^с..., Xe<&|R, »к® «о. В соответствии со спектрчлмюй тпоремоЛ икоег "осто роэл!«ечк9 I —21 Xt Ре , где Рк - гонрчпо:.щр-

К- о

ирг' оргопреектогы г ¿г (.'6^ . j

Пусть M-L,C6-) , Л-i , Р„ = ¿ Р«с , и? кгндг-г;

С if " ù

té • Uç- есть зямыкян^е virpreopo

JT(1,u)o- C¿ (t^u.) Л tT- é<s>

[К,Т.Тк1г&) и Cíc,l3* Mz такте, что яри kwiov te(4«it;r ,

¿п,•) €C1(¿1í&))! oL(t,-),j>(iy) eCi cuí)t

и т>слнвнн условия: i»*laym kohctshth ti,, el-i , c¿i тесте ,

что плт л^их teiUll t и i f ¿t (¿) t Ut 6 Ht

0<Loít, <, с¿(ItUi) <cJt 3 s-ttys IJbtffU,) ! £

t í Lf-f

где u!t<(ii4i) - нрэтяго.пчуе (¿/Ь-'А) я frihu,)

по u^Uiiff-) ' ri'cjí^ü , fi'Ul - щчдоиюдига ¿

a по. y ? 7- f'j , ооотгето; гр».ч'о.

"пусть ¿, f/jj , , ¿>j . я

V/¿J ictl3) & ¡rt\ - "tfwtó! Шуи", CO>TWrCTry»:mf гильбортору преет ранет s;у 4 ££•)

т1устъ ßfif£<.j --гуякиил на £ <e ,t 7 • определяемая равенством

(ВГЛч) «гДСдг> »je. 111-т, j, U оц )dj¿ = j с ( t / Г, ) в ) é.u,

£ я-

^ / • I

где <1 С") Or', ; - трмерн'/ля .¡уютал in, £t»,ta vZj. ftrj и Lt«it3 Y Hi со ?»лчсчкч!-л в (ar4*e<?) тг.ган, что

глч лгбкх -íéct^n , «WirfÇS c/</,¿/,uje (!V((?),II для л^нх U», Ii? е ¿г ÍG), с/г / cr¿ Ç опряр«>гтига следукпие нор?-

с G ! i r' T í ' 'i •

-vwf! J ie (ti3Pliíl.<1)l1(.í'yotcc < (^mi/di,1 ) "»«tS le Iti'jr.^i^-eUiJ.^tfj) |?^сЬг -<■ >5" \(U.,-iJ-,l! " f )

s<4> 5 l M '-J; ( ? с tt, :f.. {/, uL) Irf* .£■ <Г с + «a/ il ¿ )

t Ç

ict-3Осеи^^мгуг^-^.^^Ч'^ *«'üM.-Jtí.^ ,

-t с*? ï--i u h?-

Тогда задача Коша для уравнения /4/ записывается в виде

*

I хе эб11 и (4,,*) |тс6Э5иб ""»«»О»

и для нее выполнены условия теоремы б в /г Пример 2. Пусть Т - замыкание оператора ¿¿С%ь> О Сс/ (Я?) ВС н» Т'(Г = Ц--Л1Х и (« н)

*©СТ) = > имеет спектральное разложение

И= 5Т ХЕ (с£Л) • • £ " разложение еди-

НИЦК В Йг^/Й*) . •

Пусть для каждого СЬ ,С1 с и (г1г 1®") оператор ЛИ,и) определен как замыкание

Сч ^

+ а-с-^ИЕ4)»

где = и

1/ пусть (Ш^исс)) еяМЬаги),

вещественчозначнне измеримые функции по -Ь и и. на ¿г ((К4,)

И с Сч^ахН? . ДЛЯ любых г/р'".),

кге^С1Ец) а ь3'^ ой*),

Г6 С (Г), а (V, и,) с С^ ' ^

2/ суи-естругт константы £?0| | ^», б11 такие, что для .любых ,1ле Циг), и/гу с

с <£?* ¿а <а4 , ¿„6 его.

^ / i , Wái,

•vtfj I D^e (^ï.w^l 4 аг ,

^ I J^ S:i-t,y.Mrïl «-Яг 1 leU^Ä", i

I Ъл ß 1£|Т,Чг.) I <ictr ,

3/ пусть для лгбкх -tt C-te iVJ , X е- /R* функнпи £ ( Í, • ) " 6 H/-ÏW бСЧ^иГ)) и Г1 £ IIP4)) ; лля ЛУХ5ЫХ -be L-t.,t3, U-t.Vi UCIR.V , «г, "il CIR")

£ úf (í Ss с/, j ^ € с2+£ * J С n > it/, U,j A, 6 С 2 J ¿Г],

где cl^ И,г, Vf) , ^ H,r,u<) и t-гД /f,r, í/J , -произ-

водные <г (f,r,c/.,) J и £ a,r,4í)t î tt,r,4i)

по u^üj f/ç") ¡1 Ц? éWi (Iß-*) . соответственно; 4/ пусть рнполчоп»; неравенства

Ktf1 l^^t^r.u,)^ I ¿а-i, Ictiol.

I H,xtUi) hj ,

l^íi/l UiJf.wij'iils««, W I 1? ¡'иг (t,r, I <аг , ¡di <4.

é/Xt Uz

Пусть W--L¿(sCh 'VfáV/c>£ ,

и /, i^W^Ccí^rj}®^ и§ -

"белый шум", соответствуй™: гильбертову пространству ¿cllR.^) , Пусть &(-Ьч) - (¡ункшш m Г_{.ЛЗ X¿t t'6") .-определяемая при каждом te' C-Í-ДЛ í UGLiOR4) равенством

У у,«) ¿u)^

К V ,

С f-t,■ , ■ , a) - измеримая Функция на [-Д.дз у HR )

со значениями в L^CíT X /x.Jft /, сужение

на L-íeílfi*1) ость измеримая функция по "t и и. на LioVC1 UR*) . и для любых teCi.rn, ueu//llg")

справедливы следующие- неравенства:

■i > sмь j iSitir.^-c it^a^il^'fc'ü jri|uH-ct»a.3-,

и

где <Г - константа.

Тогда задача Kornii для уравнения /4/ записывается в виде

IR*

u-lí», зсе1йи

и для нее выполнены условия теоремы 5 в ¿гСЛЕц)

Глава 2 посвяшена стохастической регуляризации некорректной абстрактной параболической задачи в банаховом пространстве. Рассмотрим линейное уравнение

Jiftj и oijf-$Hr¡ ,-ÍéÑt % )«= Чо /?/

г банаховом пространстве ЙЬ , хда Л - неограниченный производящий оператор аналитической полугруппы в 1Ъ ,

ÜR , Ü.CB

При оШ-t») > о решение зпдячи Коши /7/ существует и дастся формулой = . а при UH-t) <0 соответствуй >шая задача Коши не корректна.

Пусть V/t-t) - стандартный скалярный винерпвский процесс. %кйпгляя к коэффициенту Я "г.елнй шум" ({■) с ко:к[фи-. цис-üvom jb t , получим уравнение

имеющее смол как стохастическое диНеренпиэльное уравнение л в :

с1$Ц)~с14$Н)са Ыи/П) , /в/

Мо.тко показать, что щит задача Коии /8/ корректна

при произвольном энпке ^ ■ и ее решение дается фор-

мулой

где , <4 IV = \iili) -УУ/М , Эга формула может бить

получена из '¡ор'г.'лч Угго, ест операторная экспонента в /9/ определена, В атом случав можно говорить о стохастической регуляризации некорректной задачи Кошн /У/.

Ь качестве примера рассмотрим задачу Коши для линейного уравнения с частными производными, где Я - пллиптический оператор второго порядка

л4.*/т/

Здесь х= ( х*,..., хъ) £ ¡1?* , - скалярные $унг

п:'и, В случае, когда задача Копи для невозмуиенного уравнения корректна, падпча Утт /8/ с оператором типа /10/ о кояЭДиниен-тл'.и, лавислкнми только от ^ , рассматривалась Ил.ИЛ'ихма-поч и Т..1. 1еотечкшюй /1987/.

В 5 2.1 и § 2.2 рассматриваются два примера операторной экспоненты /?/ в банаховом и гильбертовом пространстве, соответственно.

Пусть - полное вероятностное пространство, В -

среднее по (у?, £) , уу 1-1) - стандартный винеровекий процесс в , (Ъ* - пространство, сопряженное к ЗЬ . <•■,*> спаривание в (.¡ГЬ,5Ъ*) , - Я - секториаявный оператор в (Ь о плотной в ХЬ областью определения.^,} , удовлетворяй.!;!."! условиям: а/ существует такое, что сектор во, ^ ~

{>(£€ 14*10^1 * Г )>Ц4о? с^-л • гтго ¿-Ь ~

рйоольЕвнтное множество оператора —/ -4 0 ; о/ с/.иисг-вует М такое, что для любого ЩИ +АГ1 II М/*>и1 •

где Т - единичный оператор в ^ . Тогда порождает в • 12> аналитическую полуг])уипу

= ^ Г сат-ЛГ^А, *

где ^ - кусочно-гладкая кривая в ^ , состоящая из двух лучей I нбг«^»3 у, 1'1-е1-1в1 и дуги

единичной окружности О^С в}; ^^ 6 Ж

Пусть ис(А-) - множество целых векторов оператора Д . р § 2.} доказана

Теорема 9. Для случайная функция /9/ с , оп-

ределяемым формулами

/и/

&

в ЧЬ , имеет стохастический дифференциал в 1Ь и удовлетворяет уравнению /В/ в <Ъ для 4 при и л ля при и,• Кроме этого, сымейство операторов (^Д.) обладает п.н. следушими свойствами: '

а/ Х^И.т^У/МаЧМ*,*) .

6/ :

в/ для любого лге-Йл , Ну^/М.)* - оеК= О .

г/ ^ И/1ь) - единственное эволюционное семейство запачи Коши /В/)

п/ для любого СС 6- Ц; (А)

Ну»К,я -е х1/=о. /13/

более того, для равенство /13/ справедливо для любого

;

о/при для любых -эс 6 й ,

Пусть Q-el - гильбертово пространство со скалярным произведением (•,•) , = А Е (с1л) - ограниченный справа самосопря^ент-'и оператор в с*/ с плотной в «У областью опрепе-ленип £>д г.^асе й" I L« (db)r,x)¿c*>] / здесь £ ~ рпзло-ение еги:н;шн в yf / .

Рассматриваемый пример является частным случаем проднпуиего, так гак - Jj епкториальный оператор в fb-"$f . По этой,у для тхчттронного семейства V^Mit») . опрелеленного как функция оператора Я г Л'/» справедливо представление в виде спектрального интеграла

-со ¿

(jtf>elR¡j>±ó)

я вое рез/чьтатн 5 2.1, касатешсся решения задачи Коши /8/ и сгойств семейсиа операторов \¡fi Hito) неликом переносятся на случай самосопряженного оператора в , Однако, пля рас-

сматриваемого оператора Л модно получить некоторые дополните-льике результаты, которое схормучированн и доказаны в § 2.2. А именно, в 3 2.2 полугены оценки для ИУд^Д,) || более простое, чем доказанные в § 2.1 для общего случая секториального оператора ? G» ; показано, что решение чатачи КЬии /в/, полеченное по ^ор-луле /9/ с V^Hit.) , енрецеленннм в /IV. единственно /п.п./ в

Основные положения диссертации опубликованы в слепуюпих работах:

1.1ончарук И. К/. Об одпо'.т классе квазилинейных стохастических дифференциал мтх уравнений параболического типа в гильбертовом просiранстве//Киев.политехи.ин-т.-Киев,1992.-43с.-Деп. в УкрНИИНХК 27.02.S2 *259-/к92. 2.1ончарук Н.К.,Далецкий Ю.Л. Случайнее Функции операторов, ои-репеллемне стохастическими ди ¡ференциальними уравнениями// Пятая междунар. Вильнюс, конф. по теория вероятностей п мат. статистике, Бплыгос, 1989г.: Тез докл. - Вильнюс, 1989.- Т.З.-0. -154-1^5..

3. Гончару к Н.Ю..Далецкий ЮЛ. Мет^ц расщепления для квазилинейных стохастических дифференциальная уравнений параболического типа// Восьмая Респ. конф. "Нелинейные задачи математической физики и задачи со свободной границей", Донецк, -1991 г.:Тез. : докл. - Донецк, 1991. - С. 34.

^.Dalacky Yu.L, ,Goncharulc N.Tu. Stochastic regular!zation of tha ill-posed abstract pernbclic probleo//Supplemeni; to chapter ill in Daleclcy Yu.l. .i'omin S.V. Кеавигез and tiiferen-tial Equations in Infinita-Dimensional Space.-Kluwar Acad.Pub. .1991.- P. 32J-553.

¿■.Goncharu'K H.Xu. .Dalecky Yu.L. 4andoo operator functions dsi'iued by etochaetic differential equatior.s//Ia "РгоЪ.Theory Muth. Btat." .E.Griealionis et al (Ede.),2990 VSP/MoTcalae.-Vol Л .P. 4-33-445.

Подл, в нач. i9.05.S2. Формат 60x84/16. Бумага тип. Сфс. печать. Усл. иач. л. ЗДб.Усл. кр.-огт. 1,-16. Уч.-изд. л. '1,0. Тираж 100 экз. Пак. (ь1Г • Бесплатно.

Подготовлено в отпечатано в Института математики АН Украины ЖЮ1 Киев, IVII, ул. FeniiHa.S