К теории параболических операторов второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

■'■•■<'.1.,>пвиа'.>.,г,.т1-----гти1щ1чц | т^яшттч—»и .1 ;

ВВЕДЕНИЕ Л Начальник управления ВАК России $

ГЛАВА

КРЫШКИ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ГРАНИЦЫ

§1.1 Ненулевое начальное условие

§1.20 точности оценок (1.1.26) и (1.1.27) теоремы

§1.3 Примеры к теореме

§ 1.4 Нулевое начальное условие

§ 1.5 О классе операторов (Ь,С) и точности оценки (1.4.7) теоремы

§ 1.6 Примечания к главе

ГЛАВА 2 . О ПРОБЛЕМЕ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

§ 2.1 О функциях из класса Т(Ъ)

§ 2.2 О единственности в классе Тихонова - Тэклинда

§ 2.3 О диссипативном эффекте в проблеме единственности решения задачи Коши

§ 2.4 Новый подход к проблеме единственности

§ 2.5 Контрпримеры

§ 2.6 Примечания к главе

ГЛАВА 3 . ОБ АНИЗОТРОПНОМ СТРОГОМ ПРИНЦИПЕ ЭКСТРЕМУМА

§3.1 Обозначения и определения

§ 3.2 Теоремы о знаке пространственной и временной производной

§ 3.3 О строгом принципе экстремума

Настоящая работа , состоящая из введения и трех глав , посвящена исследованию свойств решений параболических уравнений , не зависящих от гладкости коэффициентов операторов . Отсутствие каких бы то ни было условий гладкости не позволяет построить и затем исследовать само решение , так что проблема разрешимости уравнений здесь не обсуждается . Лишь одно фундаментальное свойство , ввиду его алгебраической природы , сохраняется в столь широком классе операторов ( и только операторов второго порядка) - слабый принцип экстремума . Это обстоятельство определяет инструмент исследования , метод барьерных функций , основанный на слабом принципе экстремума и широко используемый в теории для получения априорных оценок решений как линейных (см. , например , [6] с обширной библиографией ) , так и нелинейных (см. [23] ) уравнений с неотрицательной характеристической формой .

В первых двух главах рассматриваются следствия параболичности оператора второго порядка : оценки модуля решения вблизи нижней крышки параболической границы , зависящие от поведения начальной функции и правой части уравнения ( глава 1 ) , и , связанная с ними , проблема единственности решения задачи Коши в полупространстве ( глава 2) В главе 3 рассматривается общее для всех операторов второго порядка с неотрицательной характеристической формой свойство решений - строгий принцип экстремума в специфической для параболических операторов форме .

Поскольку в параграфе примечаний в конце каждой главы обсуждается место полученных результатов среди других ;работ , посвященных той же тематике ] !здесь мы приведем лишь их краткую

П (решение от"" 19 г {что характеристику. г ц присудил ученую степень ДОК.' 1'и:Л'

Объединение теорем из §1.1 и § 1.4 главы 1 дает информацию шгукВ о локальном поведении задач при ненулевом и при ь ]улевом начальном условии в самом широком из до сих пор рассмотренных диапазоне поведения начальной функции , как показывают примеры из § 1.3 . В теореме 2 § 1.2 доказано , что оценка теоремы 1 не может быть улучшена в классе рассматриваемых операторов . В случае нулевого начального условия неожиданным может показаться появление константы е в показателе мажоранты решения , без которой вид мажоранты совпадал бы с видом фундаментального решения уравнения теплопроводности и , тем самым , был бы неулучшаемым . Как показано в § 1.5 природа появления этой константы связана с включением в рассматриваемый класс операторов с сильно осциллирующими коэффициентами .

Проблема единственности решения задачи Коши для параболических уравнений и систем произвольного порядка имеет почти столетнюю историю и связана с преобразованием Фурье , как одним из главных методов решения и исследования дифференциальных уравнений . Первые результаты , посвященные этой проблеме , восходят к работам Хольмгрена (среди них см. [3] , где указана мажоранта решения при |х(-> +со вида ехр{с|х|21п(1+|х|)} , гарантирующая единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности).

Новую эпоху в истории проблемы открыла работа А.Н. Тихонова [2] , в которой а) впервые был построен пример отличной от тождественного нуля функции , удовлетворяющей уравнению теплопроводности и однородному начальному условию , б) указан точный в гауссовой шкале роста класс единственности для такого уравнения.

В работе [4] С. Тэклинд получил более точную мажоранту решения вида ехр{|х|11(|х|)} , где Ьф - непрерывная положительная возрастающая функция с расходящимся интегралом Тэклинда .

По мере построения теории преобразования Фурье для все более широкого класса функций (см. [9]) расширялся класс рассматриваемых уравнений и систем (см. , например , [10] , [12] , [13]) . Характерной чертой этих работ является выход в комплексную область и рассмотрение функционалов на различных классах аналитических функций . В современном виде многие аспекты теории задачи Коши обсуждаются в монографии [22] .

В главе 2 (см. § 2.2) доказано , что в классе функций Тихонова-Тэклинда (неулучшаемом для уравнений второго порядка) и в классе рассматриваемых параболических операторов (без каких либо требований гладкости коэффициентов) единственность решения задачи Коши является следствием слабого принципа экстремума . Как показывают контрпримеры § 2.5 , требования на коэффициенты операторов не могут быть ослаблены . В то же время класс единственности решения задачи для конкретных параболических операторов второго порядка может оказаться шире класса Тихонова-Тэклинда (см. [13]) , более того (см. [16]) , существуют классы вырождающихся параболических операторов второго порядка (с гладкими коэффициентами) , обладающие тем свойством , что для них решение задачи Коши определяется однозначно без каких либо ограничений на рост при |х|—>+оо . В § 2.3 рассматривается случай расширения класса единственности при сильном убывании ( к -оо при |х|-»+оо) коэффициента при и(хД) .

Новый подход к проблеме единственности предложен в § 2.4 , где по заданной мажоранте выделяется класс операторов , для которого задача Коши имеет единственное решение . При этом допускается анизотропное (по х ) поведение мажорант решения и коэффициентов рассматриваемых операторов , что редко встречается в литературе (см., например , [17]) .

Помимо преобразования Фурье и используемого здесь метода барьерных функций ( см. также [11]) рассматриваемая проблема изучалась и другими методами : использованием асимптотических свойств фундаментальных решений (см., например , [20]) , методом введения параметра (см. [18]), вероятностными методами (см. [17]) . Отметим , однако , что в этих работах авторы при установлении единственности классического решения задачи Коши налагают требования определенной гладкости на коэффициенты рассматриваемых ими параболических операторов .

Глава 3 посвящена исследованию хорошо известного свойства решений параболических уравнений , называемого анизотропным строгим принципом экстремума : решение уравнения , достигающее экстремального значения во внутренней точке области ( либо на ее верхней крышке) , равно постоянной в области , подчиненной данной точке . Для равномерно параболического оператора указанный принцип был доказан Л. Ниренбергом в [25] . Исследование строгого принципа экстремума для различных классов уравнений второго порядка с неотрицательной • характеристической формой было проведено в цикле работ А.Д. Александрова [30]- [33] . Основным моментом анизотропной теории является введение линий эллиптичности оператора и ориентированных линий параболичности , что создает эффект анизотропности . Признаком эллиптичности линии является существенная положительность вдоль нее характеристической формы оператора , так что отыскание таких линий сводится к использованию известной теоремы П.К. Рашевского (см. [24]) о соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства конечным числом дуг траекторий дифференциальных операторов первого порядка в нашем случае , построенных на собственных векторах , соответствующих положительным собственным значениям характеристической формы . Теорема Рашевского требует максимальности ранга алгебры Ли ассоциированной с этими операторами и , тем самым , требует гладкости коэффициентов характеристической формы , зависящей от размерности пространства .

Глава 3 является одним из возможных вариантов развития теории А.Д. Александрова . Существенным элементом этой теории служит доказанная им геометрическая лемма , вместо которой в работе используется доказанная в § 3.2 теорема типа Жиро о знаке пространственной производной . Это позволяет избежать использование теоремы Рашевского и получить достаточные условия справедливости строгого принципа экстремума (§ 3.3) в виде оценок характеристической формы оператора в некоторых обобщенных параболоидах.

Несмотря на отсутствие конструктивных указаний , метод барьеров имеет несомненное достоинство : оставляет полную свободу в поиске формы описания существа проблемы .

Впечатляющим примером точности результата , полученного методом барьеров , вселяющим веру в могущество метода , является работа И.Г. Петровского о проблеме регулярности и иррегуляр9 ности граничной точки для уравнения теплопроводности , опубликованная в 1935 году и до сих пор не утратившая своей актуальности (она приведена в [1] в переводе и с комментариями Е.М. Ландиса, о котором я храню светлую память ) .

К этому следует добавить , что моим первым научным руководителем , привившим мне вкус к поиску формы , дающей исчерпывающее решение задачи , был Владимир Александрович Ильин . У меня остались яркие воспоминания о той поре и благодарность необыкновенному учителю .

Я глубоко признателен Леониду Ивановичу Камынину , многолетняя творческая дружба с которым принесла и , я уверен , принесет в будущем результаты , достойные рассмотрения .

1. Петровский И. Г. Избранные труды . Дифференциальные уравнения . Теория вероятностей .- М.: Наука , 1987.

2. Тихонов А. Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности .- Мат. сб., 1935, т. 42, N 2, с. 199 216.

3. Holmgren Е. Sur les solutions quasianalitiques de F equations de la chaleur.- Arkiv mat.,1924, Bd. 18, p. 64 95.

4. Täcklind S. Sur les classes quasianalitiques , des solutions des l'equationes aux derive'es partielles du type parabolique. Nord. Acta. Regial. Sociatis schientiarum. Uppsaliensis, 1936, ser. 4, t. 10, N 3, p. 3-55 .

5. Феллер В. К теории стохастических процессов,- Успехи мат. наук, 1938 , вып. 5, с. 57 96.

6. Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения 2-го порядка параболического типа,- Успехи мат. наук, 1962 , т. 17, вып. 3, с. 3 146.

7. Мандельбройт С. Ряды Дирихле , принципы и методы . М.: Мир , 1973 .

8. Cannon I. R. Regularity at the boundary for solutions of linear parabolic differential equations.- Ann. Scuola norm. Super. Pisa , Sei. Fis. e mat., 1965 , 19 , N 3 , p. 415 427 .

9. Гельфанд И. M., Шилов Г. Е. Преобразование Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши,- Успехи Мат. Наук , 1953 , т. 8 , вып. 6 , с. 3 54 .

10. Эйдельман С. Д. Параболические системы,- М.: Наука , 1964 .

11. Смирнова Г. Н. Задача Коши для параболических уравнений , вырождающихся на бесконечности. Мат. сб., 1966 , т. 70 , N 4, с. 591 -604 .

12. Житомирский Я. И. Классы единственности решения задачи Коши для линейных уравнений с растущими коэффициентами. -Изв. АН СССР , сер. мат., 1967 , т. 31 , N 4 , с. 762 782.

13. Житомирский Я. И. Классы единственности решения задачи Коши для линейных уравнений с быстро растущими коэффициентами .- Изв. АН СССР , сер. мат., 1967 , т. 31 , N 5 , с. 1159- 1178 .

14. Protter M. H., Weinberger H. F. Maximum principle in differential equations.- New York , Prentice-Hall, 1967 .

15. Калашников А. С. О растущих решениях линейных уравнений 2-го порядка с нестационарной характеристической формой .Мат. заметки , 1968 , т. 3 , N 2 , с. 171 178.

16. Калашников А. С. О линейных вырождающихся параболических уравнениях произвольного порядка с конечной областью зависимости .- Мат. заметки , 1969 , т. 6 , N 3 , с. 289 294.

17. Сонин И. М. О классах единственности для вырождающихся параболических уравнений .- Мат. сб., 1971, т. 85 , N 5 , с. 459-473.

18. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Метод введения параметра для исследования эволюционных уравнений .- Успехи мат. наук , 1978 , т. 33 , вып. 5 , с. 7 76 .

19. Chueh К. N., Conley С. C., Smoller J. A. Positively invariant Regions for sistems of nonlinear diffusion equations.- Indiana Univ. Math. J., 26 , N 2 (1977), p. 373 392 .

20. Hayne R. M. Uniqueness in the Cauchy problem for parabolic equations .- Trans. Amer. Math. Soc., 1978 , v. 241 , p. 373 399 .

21. Бойматов К. X., Костюченко А. Г. О единственности решения задачи Коши для параболических уравнений второго порядка с растущими коэффициентами .- Вестн. МГУ, сер. I. Математика , механика , 1988 , вып. 5 , с. 5 17.

22. Дубинский Ю. А. Задача Коши в комплексной области .М.: Изд. МЭИ, 1996.

23. Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка .- М.: Наука, 1985 .

24. Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией .-Уч. Зап. Пед. Ин-та им. Либкнехта, сер. физ., матем., 1938 , т. 2 ,с. 83 -94.

25. Nirenberg L. A strong maximum principle for parabolic equations .- Comm. Pure Appl. Math., 1953 , v. 6, N 2, p. 167 177.

26. Выборны P. О свойствах решений некоторых граничных задач для уравнений параболического типа .- Докл. АН СССР , 1957 , т. 117 ,N3, с. 563 -565 .

27. Friedman A. Remarks on the maximum principle for parabolic equations and its applications.- Pacific J. Math., 1958 , v. 8 ,p. 201 -211 .

28. Pucci C. Propertieta'di massimo e minimo delle soluzioni di equazioni a derívate parziali del secondo ordine di tipo ellitico e parabolice.- Atti Acad. naz. Lincei. Rend. cl. Sei. fis. mat. e natur., 1957, v. 23, N6, p. 370-375.

29. Pucci C. Propertieta'di masâimo e minimo delle soluzioni di equazioni a derívate parziali del secondo ordine di tipo ellitico e parabolice , II,- Atti Acad. Naz. Lincei. Rend. cl. Sei. Fis. mat. e natur., 1958 ,v. 24, N1, p. 3-6.

30. Александров А. Д. Исследования о принципе максимума I Изв. вузов . Матем., 1958 , N 5 , с. 126 157 .

31. Александров А Д. Исследования о принципе максимума Ïï-Изв. вузов. Матем.,1959,N3,c.3-15.

32. Александров А Д. Исследования о приндипе максимума Ш.- Изв. вузов. MaieM,1959,N5,c. 16-32.

33. Александров А. Д. Исследования о принципе максимума IV.-Изв. вузов. Матем., 1960 , N 3 , с. 8 15 .

34. Александров А. Д. Исследования о принципе максимума V,-Изв. вузов. Матем., 1960 , N 5 , с. 16 26 .

35. Bony J. M. Sur la propagation des maximums et l'unicité du problème de Cauchy pour les operateurs elliptiques dégénérés du second order.- C. r. Acad. Sri., N 15 ,266 (1968) , p. 763 765 .

36. Bony J. M. Problème de Dirichlet et inégalité de Harnack pour une classe d'operateurs elliptiques dégénérés du second order.C. r. Acad. Sri., N 16 , 266 (1968) , p. 830 833 .

37. Bony J. M. Principe du maximum , inégalité de Harnack et unicité du problème de Cauchy pour les operateures elliptiques dégénérés.- Ann. Inst. Fourier , 19 , N 1 (1969), p. 277 304 .

38. Олейник О. A., Радкевич E. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой,- Итоги науки. Математический анализ , 1969 , М., Наука , 1971.

39. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения,-М., Мир, 1970 .

40. Химченко Б. Н. О поведении супергармонической функции вблизи границы области типа А(1),- Дифф. Уравн., т. V , N 10 , 1969, с. 1845- 1853 .

41. Химченко Б. Н. О поведении решений эллиптического уравнения вблизи границы области типа А(1).- М., ИПМ АН СССР , канд. дисс., 1970 .

42. Камынин J1. И., Химченко Б. Н. О локальном поведении решения параболического уравнения 2-го порядка вблизи нижней крышки параболической границы Сиб. Мат. Журн., 1979, т. 20, N1, с. 69 - 94 .

43. Камынин JT. И., Химченко Б. Н. Об априорных оценках решения параболического уравнения 2-го порядка вблизи нижней крышки параболической границы,- Сиб. Мат. Журн., 1981 , т. 22 , N 4 ,с. 94 -113.

44. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. Теоремы типа Жиро для параболических уравнений 2-го порядка , допускающих вырождение,- Сиб. Мат. Журн., 1980 , т. 21 , N 4 , с. 72 94 .

45. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. О строгом принципе экстремума для Д-(П,П)-эллиптически связного оператора второго порядка,- Матем. Сборн., 1980 , 112 (154), N 6 (5), с. 24 55 .

46. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. О проблеме Тихонова -Петровского для параболических уравнений 2-го порядка.-Сиб. Мат. Журн., 1981 , т. 22 , N 5 , с. 78 109 .

47. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. Об одном подходе к проблеме единственности для параболических уравнений второго порядка,- Сиб. Мат. Журн., 1983 , т. 24 , N 5 ,с. 59-70 .

48. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. Контртеорема типа Жиро для параболического уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой,- Дифф. Уравн., 1983 , т. 19 , N10, с. 1700- 1713.

49. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. Об анизотропных классах единственности решения задачи Коши для параболического уравнения второго порядка . II,- Дифф. Уравн., 1985 , т. 21 , N 8 , с 1399 — 1407 .

50. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. Об изотропной теореме единственности решения задачи для параболического уравнения второго порядка,- Дифф. Уравн., 1988 , т. 24 , N 1 , с. 73 -85 .

51. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. О диссипативном эффекте для параболических операторов 2-го порядка.- Сиб. Мат. Журн., 1988 , т. 29 , N 5 , с. 131 142 .

52. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. Об односторонних оценках решений задачи Коши для параболических уравнений второго порядка в классах быстрорастущих функций .1,- Дифф. Уравн., 1994, т. 30, N5, с. 838-846.

53. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. Об односторонних оценках решений задачи Коши для параболических уравнений второго порядка в классах быстрорастущих функций . И,- Дифф. Уравн., 1994, т. 30, N8, с. 1362-1369.

54. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. Об односторонних оценках решений задачи Коши для параболических уравнений второго порядка в классах быстрорастущих функций . III,- Дифф. Уравн., 1994, т. 30, N10, с. 1750-1759.