Спектральный анализ несамосопряженных периодических операторов, возникающих в задаче когерентного усреднения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ОАНКТ—ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ /НИВЕРОИТЕТ

на правах рукописи УДК 517.9

ПАНКРАТОВ Максим Александрович

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ЗАДАЧЕ КОГЕРЕНТНОГО УСРЕДНЕНИЯ

Специальность 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт—Петербург 1992

Работа выполнена на кафедре высшей математики Санкт-

Петербургского Института Авиационного Приборостроения.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ПАВЛОВ B.C.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических ваук,

профессор ДЕРГУЗОВ В.И. доктор физико-математических наук, профессор АЛАМЯН В.М.

Ведущая организация : Математический Институт имени

В.А.Стеклова (Санкт-петербургское отделение).

Защита диссертации состоится « ' 1 » 1992г.

в 15^ ч, 'УО мин. ва заседании специализированного совета К.063.57,17 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д.7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета,

Автореферат разослан * £ » ДсСчЯу 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

С.Н.МАНИДА

к

ОВШАЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Создание материалов с заданным комплексом свойств является важнейшей задачей физики твердого тела. Один из путей ее решения состоит в использовании сложных многокомпонентных систем, обладающих нерегулярной структурой. С точки зрения теорий первым шагом в ее решении является построение одночастичаых моделей, которые позволяют объяснить структуру и свойства реальных систем и предсказать характер их поведения в различных условиях. Наибольший интерес в настоящее время вызывают системы, твда сплавов замещения и легированных стёкол, ^ моделирование которых встречает определенные трудности, в частности, концерт туального плана. Построение простой явно решаемой; приводящей к наблюдению качественно правильных (^иэдчесвдх йффектов поэтому представляет несомненный Интеле.

Цель работы заключается в построении математической модели двухкоыпонентной системы, обладающей случайными свойствами марковского типа, исследование ее спектральных характеристик, и установление адекватности построенной, модели реальным физическим явлениям в моделируемых системах.

Методика исследования основывается, на использовании теории расширений симметрических опе^аго^ов ц Гильбертовых пространствах с заданными граюдещмд условиями. Для построения модели берется за основу с?церато{з Дирака. Спектральный анализ базируется на конструкции прямого интеграла пространств. Для вычисления дроводимрсти используется стационарная постановка задачи рассеяния и, формула Ланда-увра.

Научная новизна работы состоит в вычислении эффективного 'несамосопряженного оператора случайной системы в

рамках построенной модели и его спектральном анализе. Операторы этого класса ранее в 'задачах, связанных с реальными матфизич есюши моделями, не возникали и их спектр ве был в достаточной степени исследован.

Практическая и теоретическая ценность. Исследование" перестроек спектра модели в зависимости от параметра приводит к наблюдению эффектов, которые можно качественно интерпретировать как образование кластеров (возникновение сверхструктуры проявляется в данном случае как удвоение периода эффективного оператора). При исследовании спектра и его эволюции с изменением параметра отработана методика численного анализа дисперсионного уравнения в комплексном случае; а также вычисления мультипликаторов и проводимости. Результаты исследования структуры спектра и его эволюции с изменением марковского параметра могут быть интересны специалистам по теоретической и математической физике, занимающимся задачами теории твердого тела и интересующимся вопросами проводимости и фазовых переходов в неупорядоченных системах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на XIV всесоюзной школе по теории операторов (1989 г.), на семинарах Одесского и Санкт-Петербургского университетов (1991 г.).

Публикации. По теме работы автор имеет три публикации, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации 103 страниц машинописного текста. Библиография содержит 35 наименова-.

Н11Й.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Изложение материала идат в соответствии со следующей схемой.

В терминах теории расширений построена модель квазиодномерной структуры. В основу ее описания положено мо-

£

дельное уравнение Лирака, и, следовательно выбрано релятивистское приближение. Картина свободного пространства возмущается потенциалами нулевого радиуса, расположенными в целых точках. Последовательность атомов считается марковской цепью с двумя состояниями и стационарным распределением. .

Для построенной системы проводится «когерентное» усреднение, основанное на усреднении фундаментальной матрицы.

• Устанавливается связь усредненной матрицы с фундаментальной матрицей некоторого надстроенного оператора, подучен^ формулы для вычисления средних характеристик (коэффициентов рассеяния, проводимости) по характеристикам надстроенного оператора.

Надстроенный оператор оказывается периодическим несамосопряженным оператором четвертого порядка, вследствие чего возникает необходимость развития для этого класса операторов схемы спектрального анализа. Этому посвящена основная часть диссертации. Изложение ведется на общем уровне, однако привязано к нуждам изучения конкретного класса.

В наиболее общей ситуации приведена схема исследования и описан спектр несамосопряженных периодических операторов. Структура спектра описана в предположении, что рима-нова поверхность квазиимпульса, определяемая дисперсионным уравнением, как подмногообразие пространства К4 = СхС обладает только устойчивыми особенностями. Прослежена связь

особенностей спектра с точками ветвления мультипликаторов и приведена полная классификация устойчивых особенностей спектра и условий их возникновения. Особое внимание при втом уделялось эволюции спектра при изменении дополнительных параметров (марковского параметра в конкретном случае).

Для операторов указанного класса выписаны формулы для резольвенты в спектральных терминах матрицы монодромии. Доказана теорема разложения по собственным функциям.

Для конкретных операторов, описывающих квазиодномерные структуры,. спектральные характеристики вычислены в приближении малой стохастичности. В этом же приближении аналитическими методами теории возмущений исследована структура спектра.

Конфигурация комплексных зон и их эволюция с изменением марковского параметра модели квазиодномерной структуры исследована численными методами, основываясь на решении дисперсионного уравнения относительно спектрального параметра. Получена картина, подтверждающая аналитические выкладки в случае малой стохастичности, и иллюстрирующие структуру спектра в случае общего положения во всем интервале значений марковского параметра т б [0,1].

На основ£ изучения комплексных зон предсказывается особенно сильное увеличение проводимости при тех значениях г € [О, Ц, при которых точка резонансного туннеяирования совпадает с точкой ветвлеяия римавдиой поверхности мультипликаторов, т.е. является особенностью зоны типа острия. Приведены результаты численного счета, подтверждающие этот вывод в рамках выбранной модели.

Материал распределен по главам следующим образом.

Введение посвящено краткому обзору предыстории исследований по темам, близким к теме диссертации и отношения

результатоа работы к более ранним результатам других авторов.

Глава 1 посвящена тачной математической постановке задачи и ее физической интерпретации.

В § 1.1 описана модель цепочки атомов. За основу взят оператор Дирака

(тп 0 \ ( О Л cfu

'"U=U -mM-l OÍS'

»■-С:)-®"1

Атомы, располагающиеся в целых точках оси R, моделируются средствами теории расширений. Между различными формами записи граничных условий типа

с=те

u(s + 0) = 7u(s — 0)

установлена связь

где h

-U о-

7 = (Пг — I) (ГН + /),

Полагая последовательность атомов (граничных условий) 7« марковской иепью с двумя состояниями 71, ■у2, в § 1.2 предложен метод, позволяющий производить усреднение по марковскому процессу в явном виде. Для интересующей нас величины - средней матрицы монодромии марковской цепочки ■¡иакш. длинной N получена следующая формула

и

Лемма. 1. Средняя матрица монодромии

где

Т(ЛГ,А) = о1"р

_ / (1 - г)Т* гТ1 ~ V гТ3 (1 - г)Г3

(1)

о : ^Ц1 ^ м и] 4- и2, р: и ^ }"^ , Т* = Му, где М - фундаментальная матрица оператора 6, г - параметр марковского процесса.

В силу специального вида матрицы Т (1) оказывается, что усредненные волновые функции при помощи отображений р и а могут быть связаны с волновыми функциями некоторого «надстроенного» («эффективного») несамосопряженного оператора, для которого Т является матрицей монодромии. Следовательно, становится возможной интерпретация Т как «аффективной» матрицы монодромии и востановление по Т «эффективного» усредненного оператора С становится физически оправданным.

§ 1.3 посвящен восстановлению эффективного оператора С по вычисленной «эффективной» матрице Т и описанию связанного с ним неэрмитова граничного условия. Доказана следующая теорема.

Теорема. Т является матрицей монодромии Г(1,А) неслучайного оператора С, являющегося (несамосопряженным) расширением оператора £0 © ¿0 с однородными (т.е. одинаковыми во всех точках л€ Z) граничными условиями.

Вычислена матрица граничного условия Г, определяющая указанное расширение

Г = Ь((7+ /)-3((7— /),

/ ЪР (1 ~Р)71 \ Ч7з(1 ~Р) ЪР /'

и Ь=/1фЛ, Л=

где

Присутствие в формуле для у обращения (С?+/)-1 нак-ладшает ограничение на параметры модели. В рассматриваемых случаях недопустимые соотношения параметров имеют вид

, (1+а,).(1+аа) . - (НаГ'М^+аГ1) __

марковского процесса, а а; - собственные числа 71.

§ 1.4 включает в схему изложения дополнительный класс задач, связанных с разностным моделированием волновых процессов (дискретный аналог уравнения Шредингера). .

§ 1.5 продолжает исследование физических аспектов задачи. Здесь установлена связь между усредненной матрицей рассеяния марковской цепочки и матрицей рассеяния эффективной («надстроенной») задачи. Доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть 5 - матрица рассеяния надстроенной системы, а з - средняя матрица рассеяния квазиодномерной системы. Тогда

0) Если 5*23 •+ = + И £и + 5и = ¿и + 5«, то » = (г8р. (а) Если 5а> 4- 5ц 5« + и + 54а ф Яц + 544, то вц = Лз + | / '

= 7 !(5п + 5,1 + й» + 5,,) - /?(5И 4- 5И + 5н + $«)]; Ли = 543 + 5ч41

51» = + + + - ^'^п + 5ц + $3 + 5||)].

Лля вычисления проводимости применена формула Лавда-уэра,. Матрица рассеяния и проводимость вычислены в приближении малой стохастики 0 < г < 1.

5 1.6 цосвящен интерпретации полученных результатов. .Подразумевая под квазиодномерной структурой модель твердого тела, а точнее, неупорядоченный сплав, оказывается возможным предсказание структуры его спектра. Необходимыми данными для втого являются спектры индивидуальных систем каждого. типа и параметр перемешивания. Следовательно, может быть предсказала. проводимость такого сплава. Поскольку проводимость связана в основном с подвижностью электронов вблизи уровня Ферми, то резкое повышение проводимости возможно при совпадении точек абсолютной прозрачности (их 'иногда называют еще точками резонансного туннелирования) с уровнем Ферми,

Дальнейшая часть диссертации - главы 2,3,4 - посвящена исследованию построенного эффективного («надстроенного») оператора. Б частности, исследованы топология и геометрия его спектра, особенности теоремы разложения по собственным функциям и физические последствия наличия таких особенностей.

Глава 2 посвящена исследованию спектра периодических несамосодряженньпс операторов, возникающих в модели, и его • расположения на. комплексное плоскости.

§2.1 посвящен исследованию неявного отображения р(в), порождаемого дисперсионным уравнением общего вида

. Р(р>е10) - 0 >

где р - спектральный параметр, & -6 - квазшшпульс. В частности, исследуется возникновение особенностей при вложении

- и •

единичной окружности [0,2)г] Э 9 в плоскость спектрального параметра.

Особенности и бифуркации комплексных зон при наличии дополнительного параметра (например, марковского параметра) описаны в § 2.2. В терминах теории катастроф классифицированы типичные особенности спектральных кривых (зон) и указаны условия их возникновения. Установлена связь указанных особенностей спектра с особенностями комплексной структуры римановой поверхности мультипликаторов (собственных чисел матрицы монодромии). В частности, доказаны следующие факты:

Предложение 2. Бифуркация рождения петельки происходит при прохождении зоны через точку ветвления (острие указывает на точку ветвления).

Предложение 3. Столкновение зоны с точкой ветвления приводит к возникновению в точке встречи зонтика Уитни.

Применение абстракных результатов теории особенностей гладких отображений («теория катастроф») позволяет впоследствии достаточно просто получить содержательные факты, касающиеся особенностей спектральной плотности на остриях зон.

Глава 3 посвящена спектральному анализу несамосопряженных операторов со спектром указанного типа (исследованного в главе 2). <*

§ 3.1 имеет подготовительный характер и восстанавливает подробности, касающиеся построенного в главе 1 эффективного оператора С, необходимые для спектрального анализа.

В § 3.2 Вычислено возмущение #1 резольвенты

где Яо = г0 ф Го, а го - резольвента невозмущенного («свободного») оператора Дирака I. Эта формула, однако, оказывается

эффективна только в той компоненте поля регулярности, которая наследуется от свободной задачи (т.е. в компоненте точки оо). Для исследование других компонент, на которые спектральные кривые разрезают плоскость С Эр, в § 3.3 вводится понятие индекса. Множество компонент факторизуется на клас-. сы с совпадающими значениями индекса. Для областей каждого класса в § 3.3 предъявлены формулы ядра резольвенты.

§ 3.4 завершает спектральный анализ несамосопряженных периодических операторов. Здесь сформулирована и доказана •теорема разложения по собственным функциям оператора С. и выписаны формулы для спектральных проекторов. Поскольку С диагоналиэуется разложением в прямой интеграл пространств Ье, ю собственные функции, лежащие в различных слоях, взаимно ортогональны. Это означает, что в пределах одной зоны спектральная мера является ортогональной. Характерная для несамосопряженных операторов неортогональность проекторов в данном случае сводится к неортогональности проекторов, отвечающих различным зонам (при совпадающих квазиимпульсах). Это приводит к следующим последствиям для сходимости разложения по собственным функциям. В тех случаях, когда <т(£$) состоит только из однократных собственных значений (отсутствуют точки гибридизации), спектральные проекторы удовлетворяют равномерной оценке по норме сверху. Наоборот, наличие у Сб присоединенных функций означает наличие у оператора С спектральных особенностей, в окрестности которых нормы проекторов неограниченно растут.

§ 3.5 посвяиен обсуждению физических эффектов, связанных с особенностями спектральных кривых. Доказана следую-щал лемма.

Лемма. Если Аа - точка острия зойы, то спектральная плотность на зоне вблизи остри" равна

99 V2F' 1

Обсуждена адекватность использования «надстроенного» оператора в качестве эффективного оператора случайной квазиодномерной структуры и то, что интерпретация спектра надстроенного оператора как «эффективного» спектра задачи приводит к качественно правильным эффектам. На основе изучения комплексных зон предсказывается особенно сильное увеличение проводимости при некоторых значениях марковского параметра г е [0,1]. Это такие значения г, при которых точка резонансного туннелироваиия совпадает с точкой ветвления римановой поверхности мультипликаторов, т.е. является особенностью зоны типа острия. Приведены результаты численного счета,- подтверждающие итог вывод в рамках выбранной модели.

В главу 4 вынесены прямые, но весьма громоздкие вычисления вспомогательного плана, используемые в остальных главах. В часности, здесь доказана оценка ширины полосы на комплексной плоскости, в которой лежит спектр:

Теорема. Пусть T = yMt det 7^0, М = М(р) = ^ ^^ -

блочная матрица монодромии невозмущенного оператора. Тогда существует число К такое, что Imp > к'- р принадлежит полю регулярности и сокращенный индекс р(р) = 2 (К = max{| In |ае,||, det(G - ае,-) = 0}).

В приложении приведена программа., использованная при составлении спектральных портретов исследуемых^ операторов.

Основные результаты.

1. В терминах теории расширений построена модель ква-: зиодномерной структуры.

2. Вычислен результат когерентного усреднения фундаментальное матрицы. Установлена связь усредненной матрицы с фундаментальной матрицей некоторого надстроенного оператора, получены формулы связи средних спектральных характеристик с характеристиками надстроенного оператора.

3. В общем случае описан спектр несамосопряженных периодических операторов. Структура спектра описана в предположения, что риманова поверхность квазиимпульса, определяемая дисперсионным уравнением, как подмногообразие пространства В* = СхС обладает только устойчивыми особенностями. Прослежена связь особенностей спектра с особенностями упомянутой римановой поверхности и приведена полная классификация устойчивых особенностей спектра и условий их воз-, никновенил.

V

4. Для операторов указанного класса выписаны формулы для резольвенты в спектральных терминах матрицы монодромии. Доказана теорема разложения по собственным функциям.

5. Для конкретных операторов, описывающих- квазиодномерные структуры, спектральные характеристики вычислены в приближении малой стохастичности.

в. Конфигурация спектральных кривых и их эволюция с изменением марковского параметра модели квазиодномерной .структуры исследована численными методами, основываясь на решении дисперсионного уравнения относительно спектрального параметра. Получена картина, подтверждающая аналитические выкладки в случае малой стохастичности, и иллюстрирующая структуру спектра во всем интервале значений марковского параметра г б [0,1].

В заключение автор выражает свою признательность научному руководитёлю профессору Б.С.Павдову за постоянное внимание и подержку.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах;

1. М.А.Панкратов. Распространение релятивистского электрона в случайной квазиодномерной структуре // XIV школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Н., 1989.

2. M.A.Pankratov. On the expansion in eigenfunctione of noneelfadjoint periodic operator // Mathematical aspects of scattering theory and applications. Proceedings of the international conference. 9Pb, 1991.

3. M.А.Панкратов. Эволюция спектра яесамосотфяжевногоь периодического оператора // М&т. Заметки, т. 51, Л 4* 1992.

Подписано х печати 31.05.32 Формат 80X84 1/1в Печать сфсетвая. Усл. Печ. л. 1 Заказ К' 75 Тиры* 100 Pia.,

190000, С.-Петербург, уя, Герцева, 8Т.

Ротапригг ЛИАП