Восстановление решений параболических уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений по неточным данным тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

Введенская Елена Викторовна

ВОССТАНОВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО НЕТОЧНЫМ ДАННЫМ

01.01.02—дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное

управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 ИЮЛ 2011

Москва—2011

4851812

4851812

Работа выполнена на кафедре "Высшая математика" МАТИ-Российского государственного технологического университета им. К. Э. Циолковского.

Н ау чн ы й ру ко водит с л ь:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор К. Ю. Осипенко.

доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации Российского университета дружбы народов М. Л. Гольдман;

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры "Высшая математика" Московского энергетического института-технического университета И. М. Петрушко.

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита диссертации состоится 13,03.2011г. в 10 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.203.27 при Российском университете дружбы народов по адресу: 115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3,

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. С.

Автореферат разослан {у 2011г.

| совета г

*ук, доцент

Ученый секретарь диссертационного I кандидат физико-математических наук, доцент " Л.Е. Россовский

Общая характеристика работы

Актуальность темы

При решении многих задач математической физики, обыкновенных дифференциальных уравнений, а также при их дискретизации возникает необходимость восстановления функций, функционалов и операторов по неточной или неполной информации о них. Такого рода задачи решаются с помощью теории оптимального восстановления - раздела теории приближений. При классическом подходе к таким задачам, как правило, задаются средства приближения. В теории оптимального восстановления вид метода восстановления не фиксируется заранее, а в качестве претендентов на роль оптимального метода рассматриваются всевозможные методы восстановления, использующие исходную информацию. При этом выбирается наилучший способ приближения функции, оператора или функционала, т.е. такой метод, погрешность которого минимальна.

Цель диссертационной работы состояла в построении оптимальных методов восстановления решений уравнений с частными производными параболического типа, а также систем обыкновенных дифференциальных уравнений, по неточной информации о значениях решения в некоторые моменты времени. Кроме того, ставилась задача получения оптимальных методов численного дифференцирования по неточно заданным данным.

Научная новизна работы состоит в том, что:

- Построены методы оптимального восстановления решения обобщенного уравнения теплопроводности и рассмотрены некоторые частные случаи этой задачи, не изучавшиеся ранее.

- Решена задача оптимального восстановления решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, причем построено семейство оптимальных методов.

- Построены методы оптимального восстановления последовательностей, а также разделенных разностей этих последовательностей, по неточной информации о самих последовательностях.

Цель работы

Научная новизна

)

Практическая ценность

При решении технических задач, как правило, приходится использовать информацию, заданную неточно.

В диссертации предлагаются: - Методы восстановления решений начально-краевых задач для уравнений параболического типа, использующие неточные исходные данные.

- Методы оптимального приближения решений задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных с некоторыми погрешностями значениях решения в определенные моменты времени.

- Методы оптимального восстановления последовательностей и их разделенных разностей любого порядка. Для этих методов получена асимптотика погрешности, а в ряде случаев найдено точное ее значение.

Апробация работы и публикации

По темам диссертации опубликованы 7 работ [1 - 7]

Основные результаты, представленные в работе, были доложены на:

1. Международной конференции "Математика. Экономика. Образование.", IV международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения", Ростов - на - Дону, 2006г.;

2. Международной конференции "Extremal problems in complex and real analysis", Москва, 2007;

3. Конференции "Крымская осенняя математическая школа-симпозиум - 2007";

4. 3-й Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 85-летию Л.Д. Кудрявцева, Москва, 2008 г.;

5. Конференции "Крымская осенняя математическая школа - симпозиум - 2008";

6. Конференции "Крымская осенняя математическая школа - симпозиум - 2009";

7. Научном семинаре кафедры "Высшая математика", МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского;

8. Научном семинаре кафедры "Общие проблемы управления" механико-математического факультета МГУ.

Структура и объём диссертации

Работа состоит из пяти глав, включая введение, и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 68 страниц. Список литературы содержит 27 наименований.

Краткое содержание работы

В 1-й главе дан краткий исторический обзор работ, посвященных задачам, решаемым с помощью теории оптимального восстановления, которая берет свое начало от работ А.Н.Колмогорова, а также С.А.Смоляка. Кроме того, в 1-й главе приводится краткое содержание диссертации, а также информация о докладах и публикациях по теме диссертационной работы.

Во 2-й главе рассматриваются задачи оптимального восстановления линейного оператора, а также линейного функционала, по неточным данным с использованием методики, разработанной Г.Г.Магарил-Ильясвьш и К.Ю.Осипенко. Здесь сформулированы 6 теорем и лемма и приведены их доказательства. В теореме 1 дается общая методика построения оптимального метода восстановления линейного оператора и вычисляется погрешность этого метода. В теореме 2 методика оптимального восстановления конкретизирована. Теорема 3 посвящена оптимальному восстановлению линейного функционала. В ней приводится оптимальный метод и вычисляется его погрешность. Теорема 4 конкретизирует теорему 3. Во 2-й главе приводится также понятие обобщенного решения уравнения параболического типа и строится решение общего эволюционного уравнения. Кроме того, описаны собственные числа и собственные функции оператора Лапласа в (1-меряом шаре, которые образуют базис в пространстве решений уравнения Лапласа.

3-я глава посвящена оптимальному восстановлению обобщенного уравнения теплопроводности. В теореме 0 строится оптимальный метод восстановления и вычисляется его погрешность. Теорема 7 посвящена восстановлению решения уравнения теплопроводности в (1-мерном шаре. Затем приводятся частные случаи методов восстановления и их погрешностей для круга, шара и отрезка.

В 4-й главе рассматривается задача оптимального восстановления решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов в момент г по неточно заданному решению системы в 2 момента времени ^ и ¿2, где ¿1 < г < <2. В теореме 9 строится семейство оптимальных методов восстановления решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с комплексной матрицей постоянных коэффициентов и вычисляется погрешность этих методов в метрике Ьр, 1 < р < ос. Следствия из теоремы 9 показывают, что в некоторых случаях оптимальный метод может использовать не все координаты векторов, задающих приближенные значения решения системы в 2 момента времени, а лишь часть их координат.

В 5-й главе рассмотрена задача оптимального восстановления п—й разделенной разности последовательности {хь}кег,п € N. Задача решается в метрике > О

т. е. в пространстве последовательностей

х = е

для которых норма

Построена асимптотика погрешности оптимального восстановления разделенной разности (см. теорему 10). В теореме 11 рассмотрен случай малых погрешностей и приведены оптимальный метод и его погрешность. В теореме 12 найден оптимальный метод восстановления первой разделенной разности (частный случай теоремы 11). Случай п = 2 рассмотрен в теоремах 13 и 14.

Рассмотрим более подробно содержание глав 2-5. Нумерация теорем соответствует нумерации в диссертационной работе.

Во 2-й главе строится метод оптимального восстановления линейного оператора.

Пусть X—векторное пространство, Y\,..., Yjt — пространства со скалярным произведением (■,*)у. и соответствующей нормой || • ||у., a Ij \ X —» Yj,j = 1 ,...,к — линейные операторы. Пусть Z— нормированное пространство. Рассмотрим задачу оптимального восстановления линейного оператора Т : X —> Z на классе

W, = {хбХ: WljxWy, < 5j, j = l,...,l, 1<к} .

Если I = 0, считаем, что Wo = X. Пусть нам известен для каждого х е Щ вектор У = (2/1+ь■■■,Vk)€Yi+i х • • ■ х Ук, такой, что

Требуется восстановить оператор Т по априорной (Wj) и апостериорной (вектор у) информации об элементе х. В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения

tp: Y,+i х ... х Yk -» Z.

Погрешностью данного метода уз назовем величину

е(г,иsup \\Tx-v(y)\\z,

x&Vt »еУц.1х...хУ1 Vjx-yAlYjiSjj^i+i.....к

где I = {/ь ..., Ik}, 5 = (¿1,..., 5к). Погрешностью оптимального восстановления называется величина

E{T,WUI,S)= v inf е(Т,Щ,1,5,<р).

Метод, на котором достигается погрешность оптимального восстановления, называется оптимальным методом восстановления оператора Г на классе Wt по информации I. С описанной задачей тесно связана следующая экстремальная задача

(1) РЫЦ-»max, IMI?s<#i = l,...,ft;

Справедлива следующая

теорема 1. Пусть существуют такие \j > 0, j = 1,..., к, что значения задачи

к к

(2) \\Тх\\1 -* max, £ < £ х е X.

и задачи (1) совпадают. Предположим, что для всех у = (j/(+1,Ук) 6 Yi+\ х ... х Yk, где Y}— некоторые всюду плотные в V} множества, j = I + 1,..., к, существует решение ху задачи

I к

(3) ölMßi + Е " Vill?i - min' ® G Х i=1 j=l+1

Предположил^ кроме того, что существует^линейный непрерывный оператор А : Vj+1 х ... х Yk —» Z, такой, что для всех у € х ... х У*

Ау = Тху.

При этом норма в Yi+ j х ... х Yk 071ределяется как

llvll = (jt, 1Ыг3) •

Тогда погрешность оптимального восстановления равна E{T,\Vt,I,S)= sup \\Tx\\z,

Uj^IYJ^,, j=l.....t

а метод восстановления <p(y) = Ay является оптимальным.

Приведем достаточное условие совпадения значении задач (1) и (2). Функция Лагранжа задачи (1) имеет вид

к

С(х,\) = —||Тх||| + ^ Aj[[/jx[|y-.,

где Л = (Ai,...,Ajfc).

теорема 2. Пусть существуют \j > 0, j = 1,..., к, и допустимый в задаче (1) элемент х, такие, что

(a) тга£(г, А) = С{х, А), А = (Ai,...,

(b)

j=i

Тогда х— решение этой задачи, и

к

sup ||Гх|||= sup М = £ VJ.

В 3-й главе речь идет об оптимальном восстановлении решения обобщенного эволюционного уравнения:

щ = Lu,

(4) w(i,i)|,=0 =/(х),

«(■т,<)|хег = 0.

Здесь Ь - некоторый оператор, действующий на ограниченном множестве П е а Г — кусочно-гладкая граница области П, т.е. П = П и Г. Пусть в задаче

ЬХ = \Х, х 6 П, Х|г = 0

существует счетный набор действительных собственных чисел А*: > 0, к е N. и соответствующих им попарно ортогональных собственных функций оператора Ь: Х^(х), ] = . ,ти, причем А к —> +оо при к —> оо без точек сгущения. Здесь т^ — кратность собственного числа Предположим, кроме того, что {Х^}^/^— ор-тонормированный базис в пространстве Ьг(П).

Решение задачи (4), получаемое методом Фурье разделения переменных, имеет вид

3=1

(5) и (®,0 = оо Ее~Л" *.—1

где/(*) = £Г=1Е Положим /Лп+1

Д: = • я' Ут+Х Я«1-<2 ' /Ли

' ЯГ* - /?т~и Мш+1

Дг = ' ^ТП о, _ > Ут+1

е Ат, т> 1,

Я

г?

¿2 д

До,

¡1 л

-ф2 е Дт, т > 1, ч

ц

где (Зт = е~2А'", а Л„,— собственные числа оператора Ь. Задача состоит в том, чтобы оптимально восстановить решение эволюционного уравнения по неточным значениям его решения у1(ж) и 1/2(1;) в моменты ^ и соответственно. Таким образом, справедлива следующая

Теорема 6. Для погрешности оптимального восстановления решения (5) задачи (4) имеет место равенство

(6) ЕТ (¿,(0), 5иЬ) = у/р^ + ЪбI

а метод восстановления

00 "* ПАЛ1,2 + ПтЛ2/2

(7)

А.=1 3=1

М1 +

Хф)е~х'Т,

где с/у и р^ — коэффициенты Фурье функций У1{-) и у-1{-) при разлоснсении по орто-норлшрованной системе Х^(-) собственных функций операт.ора Ь, является опти-малъным.

Частным случаем рассмотренной задачи является оптимальное восстановление решения обобщенного уравнения теплопроводности в (1-мерном шаре. Здесь оператор Ь = (-Д)а/2.

Займемся оптимальным восстановлением решения начально - краевой задачи для обобщенного уравнения теплопроводности в с1-мерном шаре по неточным значениям этого решения в моменты Ь = и 4 = <2. Пусть

5''-1 = {х £ К1 : |ж| = 1} . Определим оператор (—А)"/2 равенством

оо оо аь

(-А)а/2/(х) = £]Г(/4р)Г

»=1 *=() ./'=1

где

СО СО я* 8 = 1 /С = 0 ^=1

К/у — ортонормированная система собственных функций оператора Лапласа в шаре — корпи функций Бесселя 1-го рода р-го порядка, р = АН---— (см. §5 главы

2)-

Рассмотрим задачу

щ + {-А)а'2и = О,

(8) «|(=0 = /(я), /(•) 6 {Вл),

= 0, х б В'1, г е (0,+оо).

Точное решение задачи (8) получается методом разделения переменных и имеет вид

оо ОО / ( Л" Пк

(9) ф,I) = ££е-к>!£

«=1 к=а з=1

Введем обозначения в соответствии с обозначениями для общего случая (т.е. для задачи (4)).

= Д„ = [/&!', АГ"),

771 = 1,2,...; Д0 = [А(2"1,,+оо).

При этом

Р1>02> ...>0п> .... Предположим, что нам известны решения задачи (8) 2/1(2:) и в моменты и ¿2 соответственно, 0 < ¿1 < ¿2, заданные с погрешностями ¿1 и в метрике Ь2(В'1):

-%(■)!! = 1,2.

Задача оптимального восстановления решения (9) обобщенного уравнения теплопроводности представляет собой частный случай задачи, рассмотренной в §1 главы 2. В соответствии с общими определениями здесь погрешностью оптимального восстановления решения (9) задачи (8) является величина

Ет (a,L2(B<i)1J1,J2) = mf sup ||u(-, г) - £(зл, ¡/гНОНш-П >

i /(•).!» О.Ы-кадв'1), H-.tjJ-wiOllz,,,^)^. j'=U

где нижняя грань берется по всем методам L2(B'!) х Ь2(ВЛ) -* Ьг(Вл). Представим функции yj{x), j = 1,2, в виде

оо оо Qk оо ас (ik

2/i = ЕХ^^^М'у2 = EEE^^W-

ss 1 t=0 J=1 Л—1 fc=0 3=1

Здесь

Положим

Vukj- / yiix)Y*kj(x)dx, y2skj = / j/2(a:)V;y(x)dx. уз11 jb11

©

¿2 4 2

Д = ^ Am+l* An 1

i /%,+i - &T" Д N 2

nt.-2-ti Otl-ti ' Г m+\ W

e A„„ m= 1,2,...;

7TJ.-+-1 -

О ,m еД

e Дт, m = 1,2,...;

Из теоремы 6 вытекает следующая

теорема 7. При всех ¿1 > 0,52 > 0 имеет место равенство

Е{а,Ь2{В,1),5 ь<52) = у/х^ + МЬ2, при этом метод восстановления решения задачи (8)

(10) &*,*)(*) = Е ± Е +

является оптимальным.

в 4-й главе рассматривается задача оптимального восстановления решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим задачу Коши для системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов:

йх

= Ах>

где х(г) 6 А'", « > О, К = К или С и

(ал 012 ••• сц>Л

; ; ... ; , оу е к.

а„ 1 а„ 2 ... а,1П/

Предположим, что существует базис пространства К" из собственных

векторов матрицы А и собственные числа щ, отвечающие собственным векторам е,, j = 1,...,п. Решение этой задачи единственно и имеет вид

п

(11) хМ =

где

н j=í

Предположим, что известны приближенные значения решения этой задачи .х;, г = 1,2, в моменты времени 0 < ¿1 < ¿2- Требуется по этим двум элементам наилучшим образом восстановить решение в момент времени г, ¿1 < г < ¿2-Предположим, что даны X; 6 К", г = 1,2, такие, что

1№) ^ г = 1,2,

где для

x = £cj(x)ej

j=i

i = /(E;=IM»)Ip)1/'. i < Р < оо,

I maxj<j<„ |cj(i)|, p = oo.

В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные отображения тп: К" х Кп —> К". Погрешностью метода т назовем величину

ер(т,А,51,62,тп) = sup ||х(т) - rn{xi,x2)\\p,

Td.il .Х2СК"

Отсюда следует, что

ер{т,А,6и82,т)> sup ||z(r)||p.

io екп l|i('j)llP<ij. i=1.2

В силу произвольности т имеем

Ep(t,A,5u52)> sup ||z(r)||p.

IWij)l|p<íj, 3=1.2

где х{•) определено равенством (11). Погрешностью оптимального восстановления называется величина

Ер(т,А,6ъ62) = inf ер(т,А,5и02,т),

т: КпхКп-*Кп

а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным.

Поставленная задача оптимального восстановления отличается от рассмотренных ранее тем, что здесь мы имеем дело с неевклидовым случаем. Поэтому теорема 1 в этом случае неприменима.

Будем считать, что собственные числа ц¡ упорядочены по возрастанию их вещественных частей

Re ni = ... = R < Re/t,1+i = ... = R e/i32 < ... < Re/z3t_1+i = ... = R e/ijt.

Для удобства обозначений положим vT — Refijr, r = 1,..., k. Пусть 1 < p < oo. Если при некотором 1 < s < k

(12) e".(f2-(i) < Ь <

Ol

положим

~ e-P^te-íi) _ е_Р"»+<('2-(1)' Л —h) _ eP^(r-ti)

_ ePf»+l(Í2-í]) _ gP^(t2-íl)'

В случае, если 82/5^> положим Ai - е""*^-11', а Л2 = 0. При <y¿i < е"1"2"'1'

положим Ai = 0, а Л2 =

теорема 9. При всех 1 < р < оо, 0 < ti < г < t2 и всех Si, S2 > 0 умеетп место равенство

(13) Ер(т, A, S¡,S2) = (A,¿? + \2%y/V.

Если выполнено условие (12), то для всех cxj, ¡3j, удовлетворяющих условимч

(14) aje"'11 + fye»'*2 = е"'Т, j = 1,..., п,

(Ы.+Ш< i i = i „ 1<р<00

1Ы<А1( <А2, i = l.....п, р=1,

ade 1/р -I- 1/g = 1, методы

п

(16) m{xltx2) = ^(a^(xi) +/?>Cj(z2))ei

являются оптимальными. При 52/&1 > е"1''2 fl' метод

(17) = ¿У^'Ц^Ь,

j=i

а при 5г/5\ < с"1''2-'1' метод

п

т{хих2) =

j=i

являются оптимальными.

5-я глава посвящена задаче оптимального восстановления п—й разделенной разности последовательности {xb}kez,п 6 N.

Задача восстановления fc-ой производной в нуле по неточно заданной самой функции на соболсвском классе Vl^(R), состоящем из функций х(-) е Ь2(Щ, у которых (п — 1)-ая производная локально абсолютно непрерывна и ||^'"'(-)lli2<R) ^ 1 тесно связана со следующей экстремальной задачей

х«(0)-тах, |W-)I|l2(R) < <5, ||*l"'(0lk(») < 1.

носящей название неравенства J1.B. Тайкова.

Мы рассматриваем некоторые дискретные аналоги подобных задач восстановления.

Через С2jn h > О, будем обозначать пространство последовательностей х = {xj}jSz, Xj е С, для которых

/ ч 1/2

\ jez '

Положим

Akhx = Д^"1*), к = 2,3.....

Через Щh обозначим класс последовательностей х = {xj}j€z, для которых х € С2

и||Дих|кл'<1.

Рассматривается задача об оптимальном восстановлении значения (Д{;х)о по неточно заданной последовательности х 6 0 < к < п. Предполагается, что для каждого х 6 Щh известна последовательность х € С2^ такая, что ||х — х\\с2 h<5-

В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения т: £2.л —> С. В соответствии с общей постановкой задачи восстановления погрешностью метода ш назовем величину

e(k,n,h,5,m) = sup ||(Д*:е)о — m(i)||.

Погрешностью оптимального восстановления назовем величину E(k,n,h,&) = inf e(k,n,h,S,m).

Метод, на котором достигается нижняя грань, назовем оптимальным методом. Справедлива следующая асимптотика погрешности оптимального восстановления

Теорема 10. При всех пеМ и0 <к <п-\ Е{к,п,к,6) =

__1_/ (2к + 1)Р \ ~

~ у/Ы + Хът1'2 (тг2|±1) \2n-2k-l)

16л/§* + Твш (тг^) \2п - 2к - 1) + о(Л2).

При малых 5 можно найти точное значение погрешности оптимального восстановления. При этом оптимальным методом является соответствующая разделенная разность для приближенных значений последовательности. Имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 11. Пусть пёИ, 0 < к < п — 1 и выполнено условие (2к + 2){2к + 4)... (2к + 2га) \1/2

^{2к + 1)(2*с + 3)... (2к + 2п - 1) Тогда

а метод

гп{х) = (Д£х)0

— оптимальный.

При малых п и к поставленную задачу удается решить при любых (5 и к. В случае п = 1 при к = 0 справедлива

Теорема 12. Имеет мест,о равенство

6

7Г 5 -

-1=(452 - И2)1'*, 5>к/у/2.

. л/2

£(0,1, Л, 5) = < При 5 < к/у/2

т(х) = хо

— оптимальный метод, а при 5 > к/\/2 метод

/г V- (282 - /г^4<52 - /г2

является оптимальным.

При п = 2, к = 0 получаем

теорема 13. Имеет место равенство

у/К'

Е( 0,2,11,5) = где <1 — решение уравнения

6 < Л'/ч/О,

(¿+1)(3^ -¿ + 2) _

<1 + 2 ~ Л4

При 5 < /г2/ч/б

т(х) = х0

оптимальный метод, а при 5 > метод

т(х) = —. У^ 1т -

,,2

М= 1-

1 -г

■ 1

¿4-1 оптимальный.

В условиях предыдущей теоремы при к — 1 справедлива теорема 14. Имеет место равенство

л/2

£7(1,2, Л, 5) =

/г3/2

г,

5 < Л2/\/1о,

где с! — решение уравнения

При 6 < Л2/л/10

/г4 '

Зс/ + 2

т(х) =

II -

— оптимальный метод, а при 8 > Л2/\/10 метод

4

т(:г) =--, , У^ 1т--

1

Публикации

1. Введенская Е. В. Об оптимальном восстановлении решения уравнения теплопроводности по неточно заданной температуре в различные моменты времени // Владикавказский математический журнал, 8, 2006, вып. 1, С. 16-21.

2. Введенская Е. В. Об оптимальном восстановлении решения уравнения теплопроводности в d - мерном шаре по неточным исходным данным // XIV Международная конференция "Математика. Экономика. Образование.", IV Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения", Тезисы докладов, Ростов-на-Дону, 2006, С. 20-21.

3. Wedenskaya Е. V. Optimal recovery of linear ordinary differential equations system solutions with self-adjoined matrix of constant coefficients and simple eigenvalues // Extremal problems in complex and real analysis, Albany, NY, 2007,52.

4. Osipenko K. U., Wedenskaya E. V. Optimal recovery of solutions of the generalized heat equations in the unit ball from inaccurate data //J. Complexity, 27, 2007, 4-6, 653661.

5. Введенская E. В. Об оптимальном восстановлении последовательности, заданной неточно // Труды международной конференции "Крымская осенняя математическая школа-симпозиум - 2007", Спектральные и эволюционные задачи, 18, (2008), 52-53.

6. Введенская Е. В. Об оптимальном восстановлении последовательности по неточным данным // 3-я международная конференция "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", Тезисы докладов. М., МФТИ, 2008, 130-132.

7. Введенская Е. В. Об оптимальном восстановлении решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 45(2009), вып. 2, 255-259.

где

является отпималъным.

Введенская Е. В.

Оптимальное восстановление решений параболических уравнений по неточным исходным данным Аннотация

В работе рассматриваются:

— Задача оптимального восстановления решения общего эволюционного уравнения и, в частности, обобщенного уравнения теплопроводности в d-мерном шаре.

— Задача восстановления решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей комплексных коэффициентов. Строится семейство оптимальных методов; показывается, что в некоторых случаях можно использовать лишь часть неточно заданной информации, что не увеличит погрешность метода.

— Задача восстановления последовательности и ее разделенных разностей любого порядка по неточной информации о самой последовательности. Строится асимптотика погрешности оптимального восстановления. Отдельно изучается случай малых погрешностей задания исходной информации.

Во всех представленных задачах построены методы оптимального восстановления и вычислены их погрешности.

Vvedenskaya Е. V.

Optimal recovery of the solutions of parabolic equations from inaccurate data

Abstract

Recover}' problems for the solution of partial differential equations of parabolic type from inaccurate initial information are considered. The problem of optimal recovery of the heat equation solution in d - dimensional ball are investigated. The error of optimal recovery is found and the optimal method is constructed.

The similar problems were considered for the system of ordinary differential equations with the normal matrix of constant coefficients. The family of optimal methods was constructed and the error of optimal recovery was calculated. It was showed, that in some cases only the part of the inaccurate information may be used for the optimal method construction without growth of the error.

The problem of optimal recovery of the sequence given with the error was investigated. In the all problems the error of optimal recovery is calculated, and optimal methods are constructed.

Заказ№ 141-А/06/2011 Подписано в печать 24.06.2011 Тираж 80 экз. Усл. п.л. 1.0

ООО "Цифровичок", тел. (495) 649-83-30 (Г^Л www.cfr.ru; е-таИ•.info@cfr.ru

Глава 1. Введение

1.1. Исторический обзор

1.2. Краткое содержание работы

1.3. Доклады и публикации

Глава 2. Постановка задач оптимального восстановления линейного оператора и используемые результаты

2.1. Задача оптимального восстановления линейного оператора по неточным исходным данным

2.2. Постановка задачи оптимального восстановления линейного функционала

2.3. Понятие обобщенного решения уравнения параболического типа

2.4. Решение общего эволюционного уравнения

2.5. Собственные функции оператора Лапласа в ¿-мерном шаре

Глава 3. Оптимальное восстановление решения обобщенного уравнения теплопроводности

3.1. Оптимальное восстановление решения эволюционного уравнения

3.2. Оптимальное восстановление решения обобщенного уравнения теплопроводности в (¿-мерном шаре

3.3. Восстановление решения уравнения теплопроводности в круге и в шаре.

3.4. Восстановление решения уравнения теплопроводности на отрезке.

Глава 4. Оптимальное восстановление решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

4.1. Постановка задачи

4.2. Построение семейства оптимальных методов

4.3. Некоторые частные случаи

Глава 5. Дискретные аналоги неравенства Л.В. Тайкова и восстановление последовательностей, заданных неточно

5.1. Постановка задачи

5.2. Асимптотика погрешности оптимального восстановления

5.3. Случай малых погрешностей

5.4. Случай п =

5.5. Случай п =

1.1. Исторический обзор

Теория оптимального восстановления - это раздел теории приближений, посвященный решению задач, связанных с приближением линейных функционалов, или, в более общем случае, линейных операторов по точной или приближенной информации о них. При этом методы приближения, или, как принято их называть, восстановления, выбираются, исходя из условия максимально полного использования доступной информации. Идея такого подхода берет свое начало от работ А.Н. Колмогорова 1930-х годов [1], где предлагалось рассматривать наилучшие методы приближений, обслуживающие все объекты данного класса.

Впервые точная постановка задачи оптимального восстановления была сформулирована С.А. Смоляком [2]. Им же был получен первый результат в этой постановке - утверждение, что для централь-носимметричного и выпуклого класса функций среди оптимальных методов восстановления функционала существует линейный метод. В дальнейшем это г результат обобщался многими авторами: А.Г. Мар-чуком, К.Ю. Осипенко [3], К.Ю. Осипенко [4], O.A. Michelli, T.J. Rivlin [5], B.B. Арсстовым [6] и другими.

В некотором смысле окончательный результат — необходимые и достаточные условия существования линейного оптимального метода — был получен Г.Г. Магарил-Ильяевым и К.Ю. Осипенко [7].

Результаты, касающиеся восстановления линейных операторов, пока не носят столь общего характера. Здесь, как правило, удается построить оптимальные методы восстановления лишь для операторов, действующих на евклидовых пространствах. Первые результаты подобного рода были получены в работах [5] (восстановление по точной информации) и [8] (восстановление по информации, заданной с погрешностью). Подход, основанный па применении к задачам восстановления линейных операторов общей теории экстремума, разрабатывался Г.Г. Магарил-Ильяевым и К.Ю. Осипенко [9], [10].

Применение общей теории восстановления линейных операторов к задачам восстановления решений уравнений математической физики было начато сравнительно недавно в работах [11], [12], [13].

1. Kolmogorov А. N. Uber die beste Annaherung von Functionen einer gegebenen Functionenklasse, Ann. of Math., 37(1936), 107-110.

2. Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функции и функционалов or них, кандид. дисс., МГУ, 1965 г.

3. Марчук А. Г., Осипенко К. Ю. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек, Матем. заметки, 17:3 (1975), 359-368.

4. Осипенко К. Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениям в конечном числе точек, Матем. заметки, 19:1 (1976), 29-40.

5. Micchelli С. A. and Rivhn Т. J. A Survey of Optimal Recovery, Optimal Estimation in Approximate Theory, Plenum Press, New York, 1977, 1-54.

6. Арестов В. В. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи, Тр. Мат. иститута АН СССР, 189 (1989), 3-20.

7. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным, Матем. заметки, 50:6 (1991), 85-93.

8. Meikman A. A. and Micchelli С. A. Optimal Estimation of Linear Operators in Hilbcrt Spases from Inacurate Data, SIAM J. Numer. Anal., 16 (1979), 87-105.

9. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю.Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью, Функ. анализ и его прил., Матем. сб., 193:3 (2002), 79-100.

10. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных , Функ. анализ и его прил. 37(2003), 51-64.

11. Осипенко К. Ю. О восстановлении решения задачи Дирихле по неточным исходным данным, Владикавказский мат. oicypn., 6 (2004), вып. 4, 55-62.

12. Buck H. Д., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным // Матем. заметки. 81 (2006), вып.6, 803-815.

13. Введенская Е. В. Об оптимальном восстановлении решения уравнения теплопроводности по неточно заданно]"! температуре в различные моменты времени, Владикавказский мат. журн., 8 (2006), вып. 1, 16-21.

14. Wedenskaya Е. V. Optimal recovery of linear ordinary differential equations system solutions with self-adjoined matrix of constant coefficients and simple eigenvalues, Extremal Problems in Complex and Real Analysis, Albany, NY, 2007, 52.

15. Osipenko K. Yu., Wedenskaya E. V. Optimal recovery of solutions of the generalized heat equation in the unit ball from inaccurate data, J. Complexity, 23 (2007), 4-6, 653-661.

16. Введенская E. В. Об оптимальном восстановлении последовательности, заданной неточно, Труды международной конференции "Крымская осенняя математическая школа-симпозиум 2007, "Спектральные и эволюционные задачи", 18 (2008), 52-53.

17. Введенская Е. В. Об оптимальном восстановлении решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений, Дифференциальные уравнения, 45 (2009), вып. 2, 255-259.

18. Osipenko К. Yu., Stessin М. I. Hadamard and Schwarz type theorems and optimal recovery in spaces of analytic functions, Constr. Approx., 2010, 31, 1, 37-67.

19. Осипенко К. Ю. Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа для аналитических ■ функций из пространств Харди-Соболева, Мат. сб., 197 (2006), вып. 3, 15-34.

20. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных, М., Наука, 1983.

21. Стейн И., Вейс Дою. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, М., Мир, 1974.

22. Под редакцией М. Абрамовица и И. Стиган, пер. с англ. под ред. В. А. Диткипа и Л. Н. Кармазипой, Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, М, Наука, 1979.

23. Тайков Л. В. Неравенс гва типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования, Матем. заметки, 4:2 (1968), 233-238.

24. Магарил-Илъяев Г. Г., Осипенко К. Ю.Оптимальное восстановление значений функций и их производных на прямой по неточно заданному преобразованию Фурье, Мат. сб., 195:10 (2004), 67-82.