О динамическом восстановлении управлений при изменении части координат тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

] РОЗЕНБЕРГ Валерий Львович

I

О ДИНАМИЧЕСКОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ УПРАВЛЕНИЙ

ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ЧАСТИ КООРДИНАТ (01.01.02 - дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 1995

Работа выполнена в отделе дифференциальных уравнений Института математики и механики Уральского отделения РАН

доктор физико-математических наук, в.н.с. А.В.Кряжимский, доктор физико-математических наук, в.н.с. В.И.Максимов доктор физико-математических наук, в.н.с. О.И.Никонов, кандидат физико-математических наук, с.н.с. А.М.'Гарасьев

Ведущая организация: Московский Государственный Университет

Защита состоится " //" 1995 г. в ИМ. час. н

дании специализированного совета Д-00Н.07.01 по защите диссерт соискание ученой степени доктора наук при Институте матема механики Уральского отделения РАН (620219, г. Екатеринбург, ул. О.Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института тики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " У " и^Р 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат. наук, с.н.с

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Управление динамической системой с помощью вспомогательной управляемой модели - один из конструктивных методов теории оптимизации, важной особенностью которого является устойчивость к информационным помехам и погрешностям вычислений.

Б данной диссертации метод позиционного управления с моделью, предложенный Н.Н.Красовским и развитый в работах Ю.С.Осипова, А.И.Субботина, А.В.Кряжимского и других авторов, применяется для построения устойчивых алгоритмов решения задач динамического восстановления априори неизвестных входных параметров системы. Подобные задачи вкладываются в проблематику обратных задач динамики управляемых систем и состоят в нахождении неизвестного входа системы по измерениям ее выхода (такие задачи являются, как правило, некорректными). Система может описываться обыкновенным дифференциальным уравнением, дифференциальным уравнением в частных производных и т.д. Входом служат величины, однозначно определяющие движение системы, обычно это управление (как функция времени), подаваемое на систему, и (или) начальное состояние. Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, например, о текущей траектории системы, что соответствует практическим ситуациям. Обратные задачи возникают во многих научных и прикладных разработках - в механике управляемого полета, при создании технологических и производственных процессов, в проблемах оперативной обработки информации, при контроле, за экологической ситуацией и во многих других областях.

Актуальность упомянутых задач, их теоретический интерес и прикладное значение обеспечили интенсивное развитие теории обратных задач динамики управляемых систем. 11ервке публикации по данной тематике появились в середине 60-ых годов. В работах Р.Брокетта, М.Месаровича, Л.Силвермаиа, М.К.Сзйна и других авторов основное внимание уделялось критериям однозначной разрешимости обратных задач для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Если информация о выходных данных неточна, то обратные задачи динамики, вообще говоря, становятся некорректными, и вопрос построения их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирущих операторов (алгоритмов). Существенный вклад в становление и развитие теории некорректных

задач внесли А.Н.Тихонов, В.К.Иванов, М.М.Лаврентьев, В.В.Васин, Ф.И.Васильев, В.Н.Арсенин и др. Различные аспекты вопросов построения регуляризирующих алгоритмов для задач восстановления текущего (начального) фазового состояния динамической системы и возмущающих сил по измерениям тех или иных параметров движения рассматривались, например, в работах А.Б.Куржанского, М.Ю'усева, О.И.Никонова. Отмеченные исследования по регуляризации касаются, кал правило, операторной постановки задачи, регуляризирующие алгоритмы обрабатывают всю историю измерений выхода, т.е. имеют апостериорный характер.

Задача построения позиционных (вольтерровых) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем била поставлена в работах Ю.С.Осипова и А.В.Кряшмского. В 1) приведен метод устойчивого восстановления минимального по норме управления в случае неточного измерения в "реальном времени" полного вектора состояния аффинной по управлению системы. В основу алгоритма положено сочетание некоторых принципов теории позиционного управления с моделью, развитой Н.Н.Красовским и его школой '¿}, 3), и идей теории некорректных задач 4). Процесс динамической аппроксимации трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой моделью, часть характеристик которой, меняясь во времени, "отслеживает" аппроксимируемый параметр. С расчетом на возможность практической реализации алгоритм строится в классе конечно-шаговых алгоритмов, т.е. учитывает поступающую информацию в конечном числе временных узлов, обрабатывая ее между узлами. Впоследствии подобные процедуры восстановления неизвестного управления были разработаны для случая измерения части координат вектора состояния (при определенных предположениях на динамику системы). Вопросы построения динамических алгоритмов решений достаточно широкого класса обратных задач для конечномерных, в том

1) Кряжимский A.B., Осипов W.O. о моделировании управления в динамической системе //Изв. АН СССР. Техн. киб-ка. 1983. ¡гё.С.51-60.

2) Красовский H.H. Управление динамической системой. М. Наука. 1985.

3) Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М. Наука. 1984.

4) Тихонов А.Н., Арсешш В.Н. Методы решения некорректных задач., М. Наука. 1978.

числе и нелинейных, систем исследованы в 5).

Настоящая работа следует указанному подходу к постановке и решению обратных задач динамики для конечномерных управляемых систем в условиях неполной и неточной информации.

Обратные задачи для систем с распределенными параметрами в рамках программной постановки исследовались многими авторами. Существенное внимание проблемам существования, единственности и устойчивости решения таких задач уделяется в работах отечественных (А.Н.Тихонов, М.М.Лаврентьев, Б.Г.Романов, А.Л.Ьухгейм, В.В.Гласко, П.Д.Крутько, А.И.Ирилепко и др.) и зарубежных (X.Бзике, К.Кюниш, Т.Сузуки и др.) авторов.

Некоторые постановки обратных задач динамики и подход к построению позиционных динамических методов их решения для распределенных систем обсуждались в докладе Ю.С.Осипова "Управление и моделирование в многомерных системах" на общем собрании Отделения механики и процессов управления АН ССОР в 1984 году. Далее этот подход развивался в работах Ю.С.Осипова, а также в работах В.И.Максимова, А.И.Короткого и других. Были предложены различные алгоритмы решения обратных задач (восстановление коэффициентов эллиптического оператора, правой части уравнения, начальных и граничных данных). В данной работе задача восстановления временной составляющей функции источника в параболическом уравнении рассматривается с позиций упомянутого подхода.

Целью работы является разработка и обоснование конечношаговых динамических регуляризирующих алгоритмов восстановления неизвестных управляющих воздействий в системах, описываемых линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных параболического типа, в условиях наблюдения неполного фазового вектора.

Методы исследования опираются на концепции и подходы теории позиционного управления с моделью и теории некорректных задач. В работе систематически используются понятия и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, функционального анализа, линейной алгебры, приближенные

5} usipov Yu.s., KryazïiimsKii A.v. inverse probiems for ordlnary dirrerentlal équations. Dynamlcal solutions. Gordon and tfreacii Science Publlsïiers. 1995.

методы решения уравнений, методы решения экстремальных задач.

Научная новизна. Среди полученных в диссертации результатов отметим следующие:

1. Для линейной нестационарной системы обыкновенных дифференциальных уравнений предложены конечношаговые устойчивые алгоритмы, решающие задачу динамического восстановления управления по неточным измерениям в дискретные моменты времени части координат фазового вектора для двух случаев. В нервом считается известные ограниченное, выпуклое и замкнутое множество, которому принадлежит искомое управление во все моменты времени. Во втором случае такая информация отсутствует, т.е. управление в системе может быть неограничено как функция от времени, являясь лишь элементов пространства Доказывается сходимость выходов алгоритмов к

управлению, реализовавшемуся в системе, в метрике пространства ь2 е сильном смысле [в первом случае) и в слабом (во втором), а также выводятся оценки скорости сходимости.

'¿. Для линейной стационарной системы сконструирован конечно-шаговый устойчивый алгоритм восстановления неизвестного управления, использующий менее жесткие ограничения на динамику системы не сравнению с другими известными алгоритмами. Исследуются условия корректности его применения.

3. Предложен алгоритм приближенного решения интегрального уравнения Вольтерра II рода на основе неточных измерений интеграл? от правой части. Получена оценка точности алгоритма.

4. Исследована задача моделирования неизвестной временно® составляющей функции источника в параболическом уравнении, которое трактуется как упрощенная модель процесса распространения е атмосфере загрязняющей субстанции. Указана динамическая процедура, позволяющая находить приближение неизвестной функции на основе неточных измерений усредненной по заданным областям концентрации субстанции.

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные результаты могут использоваться в дальнейших разработках в теорш: обратных задач динамики управляемых систем, описываемш обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частяш производных. Предложенные в диссертации динамические алгоритмь восстановления неизвестных управлений в условиях наблюденш

неполного фазового вектора системы ориентированы на программную реализацию и практическое применение при решение конкретных задач.

Апробация работы. Результаты диссертации домалывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения к оптимальнее управление" (Ашхабад, 1990), Международных семинарах "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Челябинск, 1993), "Многокритериальные задачи в условиях неопределенности" (Орехово-Зуево, 1994), научных семинарах Института математики и механики УрО РАН и кафедры оптимального управления Московского Госуниверситета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 11 - Ы. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.

Структура и объем работа. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 66 наименований. Общий объем работы составляет 134 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Евадешш дается общая характеристика рассматриваемых в диссертации вопросов, приводятся историко-скблиографические справки, ссылки нз основные работы, сведения о публикациях. Кратко изложено содержание, работа.

В первой главе рассматриваются задачи динамического восстановления управлений при измерении части координат фазового вектора для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Глава содержит Ь параграфов.

§1 пссит вспомогательны! характер, его результаты используются в б;?. §3 первой главы и второй главы диссертации. И нем конструируется алгоритм приближенного решения интегрального уравнения Вольтер-ра II рода на основе неточных измерений интеграла от правой части.

Рассматривается интегральное уравнение Вольтеррэ II рода

pit) - J K(t,s>p(5)ds = fit), t £ т = 10, (1 )

0

Здесь pi-): T —» Rn - неизвестная функция, КС-.-): Ч'хТ —> E?nXn -ядро, непрерывное по совокупности переменных и непрерывно-дифференцируемое по t, функция Г(-) е i>"4'i'; к"), задана неточно:

известно приближение £(■) ее интеграла в дискретные, достаточно частые, моменты времени t = t + а, А > ü, t = О, -е = -s/д, 1 =

i + 1 i О

О,-С-}, такое что

t.

8 €CtJ) - j'r(r)ür В s П. iZ)

о

Задача заключается в построении алгоритма приближенного решения интегрального уравнения, который должен быть устойчивым по отношению к информационной помехе Л и погрешностям вычислений (это требование к алгоритмам сохраняется во всей работе). Предложенный динамический способ решения основан на сочетании принципа экстремального прицеливания Н.Н.Красовского '¿), 3) с методом регуляризации А. Н .'Тихонова 4).

Кратко опишем алгоритм. В начальный момент t = 0 фиксируется величина Л и равномерное разбиение промежутка на интервалы lt.,

X ),t = t + А, А = А (И) > Ü, t = Ü, г = »/А, 1 = 0,-6-1 .

i «■ 1 i ♦ J i О

Работа алгоритма подразделяется на t однотипных шагов. На 1-ом шаге, который выполняется на интервале lt;. t.+.), исходными данными для

вычислений служат значение измерения Sit.) и сформированное к моменту t. "приближенное решение" уравнения (1) ph(t), t < t.. Происходят следующие действия: во-первых, находится значение вспомогательной функции ¿"(t ),

i t г

£h(t) = J ph(r)öT - J [j K(r,s)ph(s)ds]üT - rhit), (3)

О 0 0

(

здесь fh(t) - линейный интешолянт, построенный по узлам {£{%

t 1 }i*Q

т.е. fh(t.) = 5(tt), 1 -- 0Г&, а во-вторых, определяется вектор р. по правилу: р есть решение экстремальной задачи

^<-Ch(t.), р> + ctlpg2 —> min, (4)

1 р£Р

и полагается

Dh(t) = Й , t е (t , t ). ■L - i i i + 1

Здесь a = aih) - параметр регуляризации, P с Rn - выпуклое замкнутое

ограниченное множество, vt. е Т: p(t) е Р.

а

Процесс заканчивается в конечный момент времени -э. Отметим, что в ряде случаев пересчет функции <£hCt) не требует полной памяти, поскольку достаточно отслеживать движение вспомогательной модели (такая ситуация рассматривается в §2).

Пусть pit) - решение уравнения (1), функция p"(t), Ji е Ш, 1), определяется из (3), (4), д(й) —> и, а(й) —» О, ШШ + йНаСЮГ1 —» о при и о, и i д.

теорема 1.1.1. Имеет место сходимость:

ph(- ) —» pi ■ ) в i,2 (Т; Rn). (5)

h-»0

Коли функция р(-) обладает на промежутке Т ограниченной вариацией, то справедливы следующие оценки скорости сходимости алгоритма: 9

I - s)2 ¡phis) - p{s)||2cis i CV'3,

о

8 pV) - pi") Si,2Ci';R") * **{&/a + «"V'6, (6)

где константы с* и Р* могут быть выписаны явно.

Заметим, что в работе оценки (б) улучшены для случая, когда измеряется не интеграл от правой части (2), а сама функция i(t).

В 3 исследуется задача восстановления неизвестного управляющего воздействия в линейной нестационарной системе

Xt(t) = A2(t)X,(t) + В, (t)X2(t) + (!? (t)U(t),

x2(t) - Az(t)xl(t) + a2(t)x2(t) + c2(t)u(t),

X (0) = X , X Ш! = X , t e '!' = 10. (7)

1 10 2 20

n n

где x eR1^, ей2, u(-)e l.2 i T; Km}, C^-- непрерывно-дифференцируемая, A , A„, в , в^, с - непрерывные матричные функции, rank(С ) = m v t е т. Начальные условия фиксированы, решение понимается в смысле Каратеодорк.

По ходу движения в дискретные моменты времени t = t ^ + д, д >

о, t = О, •€ = -8/д, 1 = Т7? измеряется часть текущего фазового вектора (х (t ), х (t )), а именно вектор xt(t ). При этом результат

измерений ) неточен: VI» о,€ вьшолняется лишь неравенство

1 €> — ^(г.) I * п•

Требуется построить алгоритм, который по текущим измерениям 5(г1) в режиме "реального времени" восстанавливает неизвестное истинное управление и (Л}, причем отклонение приближения от иш должно быть сколь угодно мало в метрике пространства Ьг(Т; кт) яри достаточной малости погрешности л к шага временной дискретизации д. В работе конструируются конечнсшзгсвые устойчивые алгоритмы, решающие указанную задачу для двух случаев. В первом считается известным ограниченное выпуклое и замкнутое множество ? с к", такое что и(1) е Р VI е Т (эта ситуация рассмотрена в §?). Другой алгоритм, работающий при таких условиях, изложен в б). Во втором случае, которому посвящен §3, информация о множестве Р отсутствует. Предполагается, что управление и С *) может быть неограшгчено как функция от времени, т.е. и(-) е Ьг(Т; Е"°). Доказывается сходимость выходов алгоритмов к решению задачи в метрике пространства к")

в сильном смысле (в нервом случае) и в слзбом (ео втором), а также выводятся оценки скорости сходимости. В §2, кроме того, поставленная задача исследуется для вырожденной системы £ с: ^ С "С) £ О VI; е Т). Предложенные алгоритмы опираются иг конструкции из §1.

Приведем алгоритм решения для случая иСП е Р VI ч Т и сформулируем основной результат §2.

В начальный момент 1; = 0 фиксируем величину й и равномерное разбиение промежутка Т (1; > с шагом д = Вводим дискретную

управляемую систему (модель);

' (Г ) = ' (Г ) +

] + 1 I 1

) = ) + мв (г ;шС2>и ) + с [г )\>ъ),

1+1 1 2 1 1 2 1 I

«сз)(1; ) = «Г35 и ) - дС"В и угг)п ), (9)

1+1 ] 11] I

1»<5>Ш) » 0, л = ТТЗ; w^ií е К1", 3 = 1, 3; Ч/(2> е к"2.

б) Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. Об устойчивом позиционном восстановлении управления по измерениям части координат // Некоторые задачи управления и устойчивости. Свердловск. 19В9. С.33-47.

Считаем, что псевдоосратнзя матрица С*{Х) постоянна на промежутке I, т.е. 1Г(Т. з = V,* ут е Т. Работа алгоритма разбивается на -С однотипных шагов, йз 1-ом шаге, который выполняется на интервале 1Г , t ), исходными данными для вычислений служат предыстория измерения (В) ^ (■) = ), 5(^5.....ССС.)} и сформированные

к этому моменту значения модельных переменных. Управление в модели определяется следующим образом: V* есть решение экстремальной задачи

- ТьIг 1, (-)) - 31 ), v> + «¡¡\'|г —> иш, (10)

1

где « « а(й) - параметр регуляризации,

1ь(г , 5 (•)) = с;(ей ) - г(С) - I А^^шт м -

I. .

- {1в (г)х(т, 0)х„ йг - Е в (г.) Е Х{г., х и и )д2],

3 = 1 1..1

X (•,•) - фундаментальная матрица решений уравнения

г<Л) = В (-С)2(и). После вычисления пересчитываете« согласно (9) состояние модели

< с 5 * С1: ), •,v<3)(t )}.

Процесс заканчивается в конечный момент времени {к

Пусть Щх (•)) - множество управлений, порождающих х,(Т), X . е х, и(Х) - реальное управление, действующее в системе (7). функция

уь(Г.) - V", х £ IX , г ). 1 - 0,.е-1 определяется из (9). (Ю),

й(П) —* 0, а (II} —♦ У, (Л (Л) + Л)/аШ) —» С' при Л —♦ О, Л 5 Д. Справедлива следующая

Теорема 1.2.т. Множество 1)(х (•)) одноэлементно, т.е. и(х (•)) = <и(•)>, и имеет место сходимость:

</ь (,; _» и( ■) з I.3 (1'; ;.

Коля -функция ц( •' имеет яэ промежутке Т ограниченную вариацию, то

выполняются следующие оценки скорости сходимости алгоритма:

| (•? - £)2 ||уь(а) - и(з)82йБ ^ С*й'/3, о

8 - и( • ) В^с^к"., * Р*(Д/а + а5/г)1/с,

где константы С* и могут быть вшхисапы явно.

Сформулированные результаты соответствуют утверждениям (5), (6) теоремы 1.1.1.

Задача восстановления неизвестного управления в линейной стационарной системе при неточном измерении части координат движения рассматривается в §4. В этом параграфе предложен конечношаговы® устойчивый к погрешностям измерений и вычислений алгоритм решения, использущий менее жесткие ограничения на динамику системы пс сравнению с §2, §3 и 6), 7), в частности, не требуется полноты рангг матрицы С (см. 17)). Исследованы условия корректности применен«* алгоритма. Доказано, что для систем, обратимых в смысле В), применение данного алгоритма корректно.

В §5 приводятся результаты численного эксперимента (задача с движении вблизи своего верхнего положения равновесия двузвенногс маятника, на низшее звено которого действует неизвестны! вращательный момент).

Задача моделирования неизвестной временной составлявшей Функции источника в параболической системе рассматривается во второй главе. которая состоит из У параграфов. Исследуется двумерное уравнение:

го

+ А,«> = Е и. (п); (11.

1 а 1 1

V = 'Р(Х) - ИТ, I])-, Г) = (Т1 . П ) е й = (□, М) X (О, М);

ч г г \ 2

г € Т - 10, .?.!; ^ = 0; <НГ =

7j KryasiiimsKii A.v., Osipov yu.:s. № positional calculation o: s-normai controls in dynamical system // Frooi. cont. mi. Tiieory, 1984. V01.13, f!6. P.4H7-436.

8) Sain M.K.., Massey J.L. invertiDiilty or linear tirne-mvarian" Dynamical systems // uiKS Trans. Automat. Contr. 1969. vol.AU-14 Sr. 141-149.

Эр dtp А в « V - 4- - + aíp -

которое можно трактовать как упрощенную модель процесса распространения в атмосфере загрязняющей субстанции 9). В этом случае <¡> - концентрация загрязняющей субстанции в области я с к2 с границей г, v = (v , v ) - усредненная скорость ветра в данном регионе, о - коэффициент поглощения (диссипации), ц - коэффициент турбулентного обмена.

Правая часть уравнения (11) стеснена ограничениями:

V l=T7m: U^-} е С1 ('i'), g^-) е Нг{<П п ^(9),

ü < US, )Ilz(q)' gi(lj) = U при n é й.,

г с о - односвязная выпуклая область с кусочно-гладкой границей, причем V I, J - IT® 3 е > 0: 0£.(Qi) p¡ Of(fl.) = 0, i jt где 0£(•) обозначает e-окрестность соответствующего множества.

Пусть uít) -- ш (t)}"^ - реализовавшаяся на промежутке 'i' временная составляющая функции источника, в дискретные, достаточно частые, момента времени t. = t( ч + й, т, = О. i = T7Z, й -замеряются следующие величины

s (t. ) = f <p(t , Г)) Р. (л) ЙТ). J = T7m, j Í J ■

я

i

причем измерения проводятся неточно:

| Fh(t.) - s(t ) Й S 51, (12)

здесь sh(tj = (£h(t^)- вектор измерений и s(t. ) = . (ts )>* ,

<p(t. n) - решение уравнения (11), р (т?) е L2(Q), р (п) = ü при n <¡l

j j

sí*, я* с я - односвязная выпуклая область с кусочно-гладкой

j J г

границей, j drj > ü, з с > U: 0£(п*) (\ Ое(я.) = 0, 3 * 1, кроме

П*пП j j

того, весовые функции р (г?) удовлетворяют следующим соотношениям:

9 5 Марчук г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. И. Науке. 1982.

f £Лп) р. (n) ein * ß > ü, 5 = Пш.

«J 3 j

я

Для упрощения обозначений будем считать, что о* = о vj = Um.

ipeöyciTCii указать устойчивый к информационным помехам погрешностям вычислений алгоритм, способный в темпе "реального времени по текущим измерениям находить приближение функции u(t).

Конечномерная аппроксимация описанной задачи, строящаяся пр некоторых дополнительных предположений на базе метода конечш-элембнтов 9), рассматривается в §1. Считаем, что в о выбран

равномерная по и п2 сетка с шагом á": Q& = | (г?*, rj-pi

1д", r¡Í - Jün, i, j = üTH, дп = M/n | и введена глобальная вумераци

внутренних точек сетки от 1 до К --= (n-l )z. Пространство пш конечных элементов размерности N обозначим через V". Будем считать что базисные функции о (n,t п2) vK = TTTT пространства vn выбраны виде 9). Тогда элемента}.»! пространства V" являются функции вида

N

1 е 1

Норма в пространстве V" индуцируется нормой пространства Lz(o) Определим операторы, необходимее для построения конечномерно аппроксимации исходной задачи, tí дальнейших рассуждениях иомен времени t считается фиксированным, верхний индекс у переменно соответствует размерности пространства аппроксимаций, нижнг указывает на координату векторной величины.

1 ) а"; V" — V",

ÍAnXr', Zn)L2ífi) = <АХ% Sn> VZ", Xn e V". (13

Здесь А: —> Я"1(о) - эллиптический оператор, отвечающий А,:

, ах as зх az , ах sx ,

<ах, 2> = --- + ---icít7 + v - + v---+ ах edп

an. эл. Эл2 3tj2 j 1an5 гап2 J

vx, s t и1^), <■,•>- двойственность меэду H:ífi) и

О О

J.-": у»,

ï"a - S e 5?", g?(Tj) = pr,,r. g, (я). (14)

i -1 1 ' ' '

Заметим, что vsn е V": (¿'"а

—» L'(Q), Jr'a = EgjinJa^ a = Uo., под Ь2(я) будем занимать

¡«i

подпространство пространства ir(Q) такое, что L2(q) = is(-) e L2(ft):

z(n) = о, i? t ЯП.

3) rjn: Vn —♦ Lz(5),

CnXn = prL2(5)Xn VX" e Vn. (15)

Заметим, что vzn e Vn: Cnz" = Cz" (здесь С: i.2(0) —» Lz(«), vs e i/(S5): 02 = prL2(5)2).

4) D: L2(S) —» RB,

Г г Iм

«y - <{ y(t, n) p. h? dn vy e l2(ïï) (16)

l J0} ' Jj.i

(здесь pjrj), j = 17®, - весовые функции).

Запишем конечномерное уравнение в пространстве vn. аппроксимирующее (11), в терминах операторов (13) - (16):

xn(t) + AnXn(t) - i,nUn(t), xn(О) « О, С1Т)

где Xn ( t ) = X" ( t, т}) e V", X"(t) = I с (t) « (ri , T. }, С it)

ь=1 * v 1 z k

йошо рассматривать как приближение реальной концентрации во

внутренних узлах сетки й" .

Аппроксимацию функции источника utt) = ш.(t).}™ ^ (подчеркивая зависимость от Л, обозначил ее для фиксированного п через un'n(t) = ) определим как функцию, удовлетворяющую в казкдый момент времени следующему соотношению (естественным образом получающемуся из аналога формулы Кеши для уравнения 111)):

D Сп Г» ph-n{t) - çh(t) - D J С" й" Xn(T—г) î" рь""'(т5 йх. (16)

здесь р>,'п(и) = | ип'п(т)с!г„ Хл(1;-г) - "фундаментальная матрица о

решений однородного уравнения в пространстве V", соответствущег (11), - линейный интернодянт, построенный по узлам 15" (т )

1 1 в

(см. (1г)).

Введем следующие обозначения:

= <ег' >■ е к",Х!\ 5 3 , } « !

к^г-о = (к" е «Чт; к"1**),

13

к" . - - Г [сп А" Г(г-т) £п!т])]р .(-))с1п,

' J я 1 )

Тогда уравнение (19) можно переписать б виде:

ап р!,'"(Х) = €ь(1:) + | к1' (1:-г) рь'"(г) йт (19

о

или в виде

I

Рь-П(1;) - + | рь,п(т) от, (га

о

где ц-1^} = а"(г-х) = (^Г^Сс-т). очевидно, что еп

м * 1

= О для и сет(Л") / 0 при достаточно больших п. Кроме того - непрерывная функция. Выполнение этих условий вместе 1 регулярностью ядра Кг,и—г) обеспечивают существование единственность решения уравнения (19) (и, следовательно, (20)) ] классе непрерывных функций.

Введем множество и(з(-}), элементами которого являются во функции и(•) е с1 (Т; 5?*), порождающие б(-). Справедлива следующая

Теорема 2.1.4. Множество и(з(-)) - одноэлементно. йс-ж

п « 1

и й £ д, то

- последовательность решений уравнения (19) (шш {'¿О)

р"""'(-) — р(-) в С(Т; к,Г), (21

ь-»а д-ю

и выполняется оценка

Ц Р*'п(-) - р(.) * Н,Й + НгД" + Н/Д, (22)

где р(г) " Г и(г)йг, а константы Н , Б к Я могут быть выписаны

4 12 3

явно.

В конструируется алгоритм решения полученной конечномерной обратной задачи, указываются условия согласования параметров временной и пространственной дискретизаций, обеспечивающего сходимость алгоритма. Используются конструкции §1 первой главы, применявшиеся к решению задачи восстановления неизвестного управления по неточным измерениям части координат в системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Работа аналогичного алгоритма списана при изложении результатов §1 первой главы, поэтому ограничимся формулировкой основного результата параграфа. Считаем, что зафиксировано равномерное разбиение промежутка Т с шагом д*. "Приближенное решение" уравнения (20), найденное согласно процедуре - аналогу (3), (4), будем обозначать через р11 -я'к (г). Семейства Vд"" > и (а*) выбираем так, чтобы Дк —> 0, а* —* О, &к/ак —> 0 при К —> ■». Справедливо следующее утверждение, соответствующее теореме 1.1.1.

Теорема '¿.'¿.\. Пусть р"'пСС) - решение уравнения. (20). Имеет место сходимость

ръ,п,к{) рЬ.",.) в Ет), (¿3)

к-»®

и выполняется следующая оценка:

5 ^(^У'/сх"- + ^(Р^д" + ^а*)1'2)1". (24)

где константы Р", 1=Т,5 могут быть выписаны явно. 1

Таким образом, решение исходной задачи подразделяется на два этапа: построение конечномерной аппроксимации (20) и нахождение приближенного решения интегрального уравнения. Справедлива следующая Теорема '¿.'¿.'¿. Имеет место сходимость

рь'п' * (•; —► р (•) в (Т; в*31 ) ('¿5)

п , к-*я) Ъ-+0

при следующем согласовании параметров временной и пространственно дискретизаций:

И —» 0, п —» к —*

Дп —> О, Д* — О, а* —> О,

tl i Дк/ак —» О, (26

,п л л

,,с N -.Vc / V лс в Ak ri H le /ï

в 1 Д /а —» U, в г Д —» и, N в з а —> и,

где J4" = max g fSAÎIlî. g, а константы с , с и с не зависят о

t,T дХ 12 3

параметров алгоритма. Сходимость (25) и соотношения (26) следуют и утверждений (21) - (24).

В §3 приводятся результаты численных расчетов модельног примера для описанной задачи динамического восстановления временно составляющей функции источника для параболического уравнения.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Розенберг В.Л. Об одном алгоритме решения обратной задачи с неполной информацией // Тезисы докл. Всесоюзн. конф. "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление". Ашхабад. 1990. С.207-208.

2. Розенберг В.Л. Об одном алгоритме решения обратной задачи с неполной информацией. // Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск. 19У1. С.175-191.

3. Розенберг В.Л. О восстановлении функции источника в параболическом уравнении // Тезисы докл. Второго Международного семинара "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации". Челябинск. 1993. С.119-120.

4. Розенберг В.Л. О восстановлении функции источника в параболическом уравнении // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. кб. С.126-130.

5. Розенберг В.Л. Задача динамического восстановления функции источника в параболическом уравнении //' Труды ИММ УрО РАН. 1995. Выпуск III. С.116-135.

6. Makslmov v.l., Kosenberg v.L. ï'eedbacK approximation or a control under tfie conditions or uncertainty. тпе 'mira international WorKsfiop "Multiple criterla probiems under uncertainty". QreKhovo-Zuevo. Kussla. september 5-9. 1994. P.54.

подписано к печати 16.08.9;?. Формат 60 х на 1/16. Бум. тип. к2. Уч. изд. л. 1,0. .Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Зак. 226. СФАШ. 6201 4'Г Ккатеринбург, проезд Решетникова, 22.