О динамическом восстановлении управлений при измерении части координат тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

Р Г б О Л На п*)авах рукшиси

РОЗЕНБЕРГ Валерий Львович

О ДИНАМИЧЕСКОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ УПРАВЛЕНИЙ

ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ЧАСТИ КООРДИНАТ (01.01.02 - дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 1995

.Работа выполнена в отделе дифференциальных уравнений Института математики и механики Уральского отделения РАН

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

в.н.с. А.В.Кряжимсккй, доктор физико-математических наук, в.н.с. В.И.Максимов Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

в.н.с. 0.И.Никонов, кандидат физико-математических наук, с.н.с. А.МЛ'арасъев

Ведущая организация: Московский Государственный Университет

Защита состоится " Н " -1995 г. в час. на с

дании специализированного совета Д-00Н.07.01 но защите диссертащ соискание ученой степени доктора наук при институте математю механики Уральского отделения РАН (620219, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института мат тики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " ^ " 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат. наук, с.н.с. Щ|. / М.ИЛ'у<

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Управление динамической системой с помощью вспомогательной управляемой модели - один из конструктивных методов теорий оптимизации, важной особенностью которого является устойчивость к информационным помехам и погрешностям вычислений.

В данной диссертации метод позиционного управления с моделью, предложенный н.н.крэсовским и развитый в работах Ю.с.Осипова, А,И.Субботина, А.Я.Кряжимского и других авторов, применяется для построения устойчивых алгоритмов решения задач динамического восстановления априори неизвестных входных параметров системы. Подобные задачи вкладываются в проблематику обратных задач динамики управляемых систем и состоят в нахождении неизвестного входа системы по измерениям ее выхода (такие задачи являются, как правило, некорректными). Система может описываться обыкновенным дифференциальным уравнением, дифференциальным уравнением в частных производных и т.д. входом служат величины, однозначно определяющие движение системы, обычно это управление (как функция времени), подаваемое на систему, и (или) начальное состояние. Выходом может бить любая доступная информация об управляемом процессе, например, о текущей траектории системы, что соответствует практическим ситуациям. Обратные задачи возникают во многих научных и прикладных разработках - в механике управляемого полета, при создании технологических и производственных процессов, в проблемах оперативной обработки информации, при контроле за экологической ситуацией и во многих других областях.

Актуальность уномянутнх задач, их теоретический интерес и прикладное значение обеспечили интенсивное развитие теории обратных задач динамики управляемых систем. Первые публикации по данной тематике появились в середине 60-ых годов. В работах Р.Врокетта, М.Мееаровича, Л.Ошшермана, М.К.Оэйна и других авторов основное внимание уделялось критериям однозначной разрешимости обратных задач для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Если информация о выходных данных неточна, то обратные задачи динамики, вообще, говоря, становятся некорректными, и вопрос построения их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирующих операторов (алгоритмов). Существенный вклад в становление и развитие теории некорректных

задач внесли А.Й.Тихонов, В.К.Иванов, М.МЛаврентьев, В.В.Васин, Ф.11.Васильев, В.й.Арсенин и др. Различные аспекты вопросов построения регуляризирующих алгоритмов для задач восстановления текущего (начального) фазового состояния динамической системы и возмущающих сил по измерениям тех или иных параметров движения рассматривались, например, в работав А.К.Куржансксго. М.й.Гусева, О.и.Никонова. Отмеченные исследования го регуляризации касаются, как правило, операторной постановки задачи, регуляризирующие алгоритмы обрабатывают всю историю измерений выхода, т.е. шлею апостериорный характер.

Задача построения позиционных (вольтерровых) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем Сила поставлена в работах В.С.Остова и А.В.Кряяшмского. У 1) приведен метод устойчивого восстановления минимального по норле управления в случае неточного измерения в "реальном времени" полного вектора состояния аффинной по управлению системы. В основу алгоритма положено сочетание некоторых принципов теории позиционного управления с моделью, развитой Н.Н.Красовским и его школой 2), 3), и идей теории некорректных задач 4). Процесс динамической аппроксимации трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой моделью, часть характеристик которой, меняясь во времени, "отслеживает" аппроксимируемый параметр. О расчетом на возможность практической реализации алгоритм строится в классе конечно-шаговых алгоритмов, т.е. учитывает поступающую информацию в конечном числе временных узлов, обрабатывая ее между узлами. Впоследствии подобные процедуры восстановления неизвестного управления Сьши разработаны для случая измерения части координат вектора состояния (при определенных предположениях на динамику системы). Вопросы построения динамических алгоритмов решений достаточно широкого класса обратных задач для конечномерных, в тог<

1) Кряжимскнй A.B., Осипов Ю.С. О моделировании управления г динамической системе //Изв. Ah СССР. Техн. киб-ка. 1983. HZ.С.51-60. '¿) Красовский H.H. Управление динамической системой. М. Наука. 1985. 3) Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М. Наука. 1984.

.4) 'Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М, Наука. 1978.

числе и нелинейных, систем исследованы в 5).

Настоящая работа следует указанному подходу к постановке и решению обратных задач динамики для конечномерных управляемых систем в условиях неполной и неточной информации.

Обратные задачи для систем с распределенными параметрами в рамках программной постановки исследовались многими авторами. Существенное внимание проблемам существования, единственности и устойчивости решения таких задач уделяется в работах отечественных (А.Н.Тихонов, М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, А.л.Нухгейм, В.Б.Гласко, И.Д.Крутько, А.И.Нрилелко и др.) и зарубежных (Х.Бзнкс, К.Кюнии, Т.Сузуки и др.) авторов.

Некоторые постановки обратных задач динамики и подход к построению позиционных динамических методов их решения для распределенных систем обсуздались в докладе Ю.С.Осипова "Управление и моделирование в многомерных системах" за общем собрании Отделения механики и процессов управления АН СССР в 1984 году. Далее этот подход развивался в работах Ю.С.Осипова, а также в работах В.И.Максимова, А.И.Короткого и других. Были предложены различные алгоритмы решения обратных задач (восстановление коэффициентов эллиптического оператора, правой части уравнения, начальных и граничных данных). В данной работе задача восстановления временной составляющей функции источника в параболическом уравнении рассматривается с позиций упомянутого подхода.

Целью работа является разработка и обоснование конечношаговых динамических регуляриэирующих алгоритмов восстановления неизвестных управляющих воздействий в системах, описываемых линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениям в частных производных параболического тина, в условиях наблюдения неполного фазового вектора.

Методы исследования опираются на концепции и подходы теории позиционного управления с моделью и теории некорректных задач. В работе систематически используются понятия и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, функционального анализа, линейной алгебры, приближенные

5) usipov Yu.S., KryazMmsKii A.V. inverse problems ror ordinary diTTerentlai equations. Dynamical solutions. Gordon and Breach science Publishers. 1995.

методы решения уравнений, методы решения экстремальных задач.

Научная новизна. Среди полученных в диссертации результатов отметим следующие:

1. Для линейной нестационарной системы обыкновенных дифференциальных уравнений предложены конечношаговые устойчивые алгоритмы, решающие задачу динамического восстановления управления по неточным измерениям в дискретные моменты времени части координат фазового вектора для двух случаев. В первом считается известным . ограниченное, выпуклое и замкнутое множество, которому принадлежит . искомое управление во все моменты времени. Во втором случае такая информация отсутствует, т.е. управление в системе может быть неограничено как функция от времени, являясь лишь элементом пространства Доказывается сходимость выходов алгоритмов к

управлению, реализовавшемуся в системе, в метрике пространства ь2 в сильном смысле (в первом случае) и в слабом (во втором), а также выводятся оценки скорости сходимости.

'¿. Для линейной стационарной системы сконструирован конечно-шаговый устойчивый алгоритм восстановления неизвестного управления, использующий менее жесткие ограничения на динамику системы по сравнению с другими известными алгоритмами. Исследуются условия корректности его применения.

3- Предложен алгоритм приближенного решения интегрального уравнения Вольтерра II рода на основе неточных измерений интеграла от правой части. Получена оценка точности алгоритма.

4. Исследована задача моделирования неизвестной временной ■ составляющей функщш источника в параболическом уравнении, которое трактуется как упрощенная модель процесса распространения б атмосфере загрязняющей субстанции. Указана динамическая процедура, позволяющая находить приближение неизвестной функции на основе неточных измерений усредненной по заданным областям концентрации субстанции.

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность раооты. Полученные результаты могут использоваться в дальнейших разработках в теорш обратных задач динамики управляемых систем, описываемы? обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частнш производных. Предложенные в диссертации динамические алгоритм восстановления неизвестных управлений в условиях заблюдешн

неполного фазового вектора системы ориентированы на программную реализацию к практическое применение при решение конкретных задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (Ашхабад, 1990), Международных семинарах "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Челябинск, 1993), "¡Многокритериальные задачи в условиях неопределенности" (Орехово-Зуево, 1994), научных семинарах Института математики я механики УрО РАН и кафедры оптимального управления Московского Госуниверситета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах и - 63. Гезультаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего ьь наименований. Общий объем работы составляет 134 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика рассматриваемых в диссертации вопросов, приводятся историко-сибдиогрэфические справки, ссылки на основные работы, сведения о публикациях. Кратко изложено содержание работы.

В первой главе рассматриваются задачи динамического восстановления управлений яри измерении части координат фазоЕого вектора для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Глава содержит b параграфов.

носит вспомогательный характер, его результаты используются в §Н. §3 первой главы я второй главы диссертации. Б нем конструируется алгоритм приближенного решения интегрального уравнения Вольтер-ра II рода на основе неточных измерений интеграла от правой части.

Рассматривается интегральное уравнение Вольтерра II рода

Р С t) - J K(t,S)p(S)dS = r;t.)s t e 'I' = [0, -8 J. (1)

o

Здесь p(-): T —» R" - неизвестная функция, K(-,-): TxT —> !8лХп -ядро, непрерывное по совокупности переменных и непрерывно-дифференцируемое ло t, функция Г(■) s L®('i'; R"), задана неточно:

известно приближение £(■) ее интеграла в дискретные, достаточно частые, моменты времени t = t. + й, д > ü, t = ü, Z = -8/л, 1 =

U,-t-i, такое что

8 ?(t.) - J1 Лт)аг 1 s п. {'¿)

о

Задача заключается в построении алгоритма приближенного решета интегрального уравнения, который должен быть устойчивым по отношению к информационной помехе Л и погрешностям вычислений (это требование к алгоритмам сохраняется во всей работе). Предложенный динамический способ решения основан на сочетании принципа экстремального прицеливания Н.Н.Красовекого '¿), 3) с методом регуляризации А.Н.Тихонова 4).

Кратко опишем алгоритм. В начальный момент t = о фиксируется величина л и равномерное разбиение промежутка т на интервалы it.,

t ), t = t + д, л = л(й) > ü, t = и, г = i = одРГ.

J+li+li О

Работа алгоритма подразделяется на £ однотипных шагов. На 1-ом шаге, который выполняется на интервале 1Х;, + исходными данными для

вычислений служат значение измерения Sit.) и сформированное к

моменту t. "приближенное решение" уравнения (1) pb(t), t < t..

Происходят следующие действия: во-первых, находится значение

вспомогательной функции -£h(t ),

i

t IT

£h(t) = [ ph-(T)ör - J" [J K(r,s)pn(s)ds]aT - rh(t), (3)

a oo

t ^

здесь f(t) - линейный штерполянт, построенный по узлам )

l 1 S i «о

т.е. i'h(t.) = ), 1 = 0а во-вторых, определяется вектор ß. по правилу: р. есть решеиие экстремальной задачи

i?<£b(t.), р> +- a|p|j2 min, (4)

1 рер

и полагается

Dh(t) = Й , t е (t , t ).

i i 1+1

Здесь а = aih) - параметр регуляризации, В с к" - выпуклое замкнутое ограниченное множество, VT. е Т: p(t) е Р.

Процесс заканчивается в конечный момент времени з. Отметим, что в ряде случаев пересчет функции thit) не требует полной памяти, поскольку достаточно отслеживать движение вспомогательной модели (такая ситуация рассматривается в §2).

Пусть pit) - рекение уравнения (1), функция ph(t), й е (О, 1), определяется из (3), (4), д(П) —»о, а(М —* 0, (д(Л) + И) (а (Л)) ~Л —» О при Й —» О, Й й д.

Теорема 1.1.1. Имеет место сходимость:

phi-) —> pi-) в LZ(T; R"). (5)

h->0

Ксля функция р(-) обладает на промезгутке Т ограниченной вариацией, то справедливы следующие оценки скорости сходимости алгоритма: з

j ($ - s)г ¡¡рьis) - p(s)|2CIS £ t:V/3,

о

II Р*Ы - P(-) I^cj-.S", * + a,/2)1/s, (6)

где константы С* и Р* могут быть выписаны явно.

Заметим, что в работе оценки (б) улучшены для случая, когда измеряется не интеграл от правой части (2), а сама функция Tit).

В §2-3 исследуется задача восстановления неизвестного управляющего воздействия в линейной нестационарной системе

x^t) = A^tjXjlt) + B,(t)x2(t.) + c.itm(t),

*2(t) = A2it)X)Ct) + B2(t)Xz(t) + C2(t)U(t),

X (О) = X , X (О) = X , t e T = 10, (7)

1 1С* 2 20

n л о

где x e к 5, x2 e R , u{ ■) e L2('i'; R"), C^- непреравно-дифференци-руемая, A , A„, В , В , С - непрерывные матричные функции, гапК(С ) = ffl v t е Т. Начальные условия фиксированы, решение понимается в смысле Каратеодори.

Но ходу движения в дискретные моменты времени t. = t + ft, д >

О, т = О, €. = «/л, 1 = Т7£ измеряется часть текущего фазового вектора (x.(t.), X2(t.)), а тленно вектор x^it.). При этом результат

измерений 5(1;,) неточен: V I = 0,£ выполняется лишь неравенство

5 » - х,^) II 5 Й. (й)

Требуется построить алгоритм, который по текущим измерениям 5(1; ) в ренине "реального времени" восстанавливает неизвестное истинное управление и(1;), причем отклонение приближения от и(г,) должно быть сколь угодно мало в метрике пространства п2(Т; к"} при достаточной малости погрешности Л и шага временной дискретизации л. В работе конструируются конечно-шаговые устойчивые алгоритмы, решающие указанную задачу для двух случаев, в первом считается известным ограниченное выпуклое и замкнутое множество Р с н', такое что ЩТ) е Р VI; е т (эта ситуация рассмотрена в §2). Другой алгоритм, работающий при таких условиях, изложен в б). Во втором случае, которому посвящен §3, информация о множестве Р отсутствует. Предполагается, что управление и(1;) может быть неограшгчеао как функция от времени, т.е. и(-) е -Ьг('Г; Ет). Доказывается сходимость выходов алгоритмов к решению задачи в метрике пространства Ь2(Т; к") в сильном смысле (в первом случае) и в слабом (ео втором), а татоке выводятся оценки скорости сходимости. В кроме того, поставленная задача исследуется для вырожденной системы (О (Т) за О vi; е Т). Предложенные алгоритма сдираются нг конструкции из §1.

Приведем алгоритм решения для случая иШ е Р чг е Т и сформулируем основной результат

В начальный момент 1; = и фиксируем величину й я равномерное разбиение промежутка т |? > с шагом д = д(й). Вводим дискретную управляемую систему (модель):

V?* ' > [I ) = 1' {% ) + ач",

) = »/сг!(х ) + дш [% '}(г ) + с; (г )\'ь),

1+1 л 2 1 ! 211

'«сз,(г ) = ) - до "в (г }\гг,и; ), (У)

I+1' 1 11 3 1

даСЛ(0) = 0, з = ТТЗ; VI1 ** е Кю, 3 = 3; У/(г! е к"2.

б) Кряжимский A.B., Осипов К). С. 00 устойчивом позиционном восстанов-лешга управления по измерениям части координат // Некоторые задачи управления и устойчивости. Свердловск. 19Ö9. C.33-4Y.

Считаем, что псевдоосратноя матрица С* it) постоянна на промежутке Т,

т.е. C*(tj = с* vt е 1'. Работа алгоритма разбивается на Z

однотипных иагов. На 1-ом шаге, который выполняется на интервале

11 i' t1 + , ^ исходными данными для вычислений служат предыстория

измерения (Б) ?t (•) = UCCo), 5(ti), ;(t.)> и сформированные i

к этому моменту значения модельных переменных. Управление в модели определяется следующим образом: v* есть решение экстремальной задачи

■¿«Н'-^КХ. ) - Pit., ct (■)) - W<3V (tj, V> + et |jv|2 —»rain, £10)

S vfip

где nt = а(й) - параметр регуляризации,

fMt ,?(•))- C*fe(t ) - 5(0) - i A (t.)€(t )й -i ^ j.i 3

t

- f*B (r)X(r, OK Ür - £ Bit.) J X(t., t U (t )ett )Лг],

J 1 L . . ^ J } к t. К * /

о J = 1 "-1

X(•, •) - фундаментальная матрица решений уравнения

sit) = в mz(t). После вычисления \'b. пересчитывается согласно (9) состояние модели

iwt,!(t it ), v?(3) (t )>.

i+i i-i-i i 1

Процесс заканчивается в конечный момент времени -9.

Пусть U(xi(■)) - множество управлений, порождающих х,(t), t е Т, u(t) ~ реальнее управление, действующее в системе (7). функция

vh(t) - vh, t s It , t ), 1 - ÖTPT определяется из (9), (10), i i i + 1

Д(Л) —> ü, a№) —> D, (Д(Д) + JD/aUl) —» Ü нри Ii —> ü, Л s д. Справедлива следующая

Теорема 1.2.1. Множество ü(x (•)) одноэлементно, т.е. и(xt(•)) => и имеет место сходимость:

</h{ . ) и(• ) з I.2 CT; Rm ).

h->0

ücjm функция uС ■) имеет на промеягутке 1' ограниченную вариацию, то выполняются следующие оценки скорости сходимости алгоритма:

| (•? — Б)2 ЦУЬ(3) - и(5 )!|2С1£ 5 С*Й1/3, о

| - и(.) |1г(.л;|г-) * Р'Чл/а + а5/г)1/6,

где константы С* и Р* могут быть выписаны явно.

Сформулированные результаты соответствуют утверждениям (5), (6) теоремы 1.1.1.

Задача восстановления неизвестного управления в линейной стационарной системе при неточном измерзши: части координат движения рассматривается в §4. В этом параграфе предложен конечношаговый устойчивый к погрешностям измерений и вычислений алгоритм решения, использующий менее жесткие ограничения нз динамику системы по сравнению с §2, §3 л 6), 7), в частности, не требуется полноты ранга матрицы С (см. (?)). Исследованы условия корректности применения алгоритма. Доказано, что для систем, обратимых в смысле В), применение данного алгоритма корректно.

В §5 приводятся результаты численного эксперимента (задача о движении вблизи своего верхнего положения равновесия даузвенного маятника, на нижнее звено которого действует неизвестный вращательный момент).

Задача моделирования неизвестной временной составляющей функции источника в параболической системе рассматривается во второй главе,, которая состоит из 3 параграфов. Исследуется двумерное уравнение:

+ А,? - I и^ХШЛп); (11)

1 я 5

V - <р(Х) = ?;); п = (т} , Т}2) е п = (О, М) х (О, М);

г € т = Ю, ф! 1 = ь = и; Ф|Г = 0;

?) KryaaiilmsKli A.V., Osipov Yu.S. CTn positional calculation or Q-nonaal controls in dynamical system // ProDi. Cont. lnr. Tiieory. 1984. VOI.13, H6. P.427-436.

8) Sain M.K.., Massey J.L. invertldiilty or linear tune-invariant rynamlcai systems J J .iKKii U'rans. Automat, contr. 1969. Voi.AC-14. p.141-1 49.

dip öip А Ф a V - + V - + op - ДДф,

Зт]1 3r>2

которое можно трактовать как упрощенную модель процесса распространения в атмосфере загрязняющей субстанции 9). В этом случае « - концентрация загрязняющей субстанции в области я с R2 с границей г, у = v ) - усредненная скорость ветра в данном регионе, з - коэффициент поглощения (диссипации), ß - коэффициент турбулентного обмена.

Правая часть уравнения (11) стеснена ограничениями:

V 1=Т7ш: ui (• ) е С1 С1'), gi (■) е а2 (П) п Но (п)'

о < 1е/-)1ьг(о)' W = ü Iii,.

с^ с о - односвязная вшуклая область с кусочно-гладкой границей, причем V 1, j = TT® з в > 0: 0F(ti ) f] 0£(ö.) = 0, 1 * j, где 0£(-) обозначает e-окрестность соответствующего множества.

Пусть u(t) ~ реализовавшаяся на промежутке Т

временная составляющая функции источника, в дискретные, достаточно частые, моменты времени t = t + д. t = ü, i = T7Z, & = #/<е, замеряются следующие величины

s (t. ) = f (P(tä, ту) p.(rj) drj, j = Hm, j i j i j

я

j

причем измерения проводятся неточно:

!i ) - c(ti) 8 s h. (12)

здесь eh(t ) = )Jm - вектор измерений и s(t ) = is. (t. H"1 ,

' jij»- „ - J ! 3 - 1

p(t, n) - решение уравнения (11), p Cr?) e L'(fl), p (r?) = ü при n £

j J

о*, Q с q - одаосвязная выпуклая область с кусочно-гладкой

J J г *

границей, drj > 0, з с > U: О . (о ) (\ О С». ) = 0, J * 1, кроме

J k- j с- J

а*лй j j

того, весовые функции р.(т)) удовлетворяют следующим соотношениям:

9) Марчук 1'.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М. Н-зука. 1982.

j ё.(т)) р. tu) ün i Р > ü, 3 - Т7ю. о

Для упрощения обозначений будем считать, что о* - vj = 1 ,ш.

Требуется указать устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм, способный в темпе "реального" времени по текущим измерениям находить приближение функции u(t).

Конечномерная аппроксимация описанной задачи, строящаяся при некоторых дополнительных предположений на базе метода конечных элементов 9), рассматривается в §1. Считаем, что в а выбрана

равномерная по tj и ri2 сетка с шагом йп: яй = j (rj^, т)^)! т^ =

__ 1

1лп, rj^ = Ja". l, J = 0,n, дп = M/n j. и введена глобальная нумерация 2 J ,

внутренних точек сетки от 1 до Ы = (п-1) . Пространство типа конечных элементов размерности N обозначим через V". Будем считать, что базисные функции (п,, «„! ^ = ТТЛ пространства V" выбраны в виде 9). Тогда элементами пространства У" являются функции вида

N

TJ, ) = £ Сп,. П2). 4>к €

kal

Норма в пространстве V" индуцируется нормой пространства L2(?>).

Определим операторы, необходимые для построения конечномерной аппроксимации исходной задачи. В дальнейших рассуждениях момент времени t считается фиксированным, верхний индекс у переменной соответствует размерности пространства аппроксимаций, нижний указывает на координату векторной величины.

1) Ап: 7" Vn,

(AnX'\ 2n)b2(ß) = сАХ", Zn> vz", Xn e Vn. (13)

Вдесь A: H^(fl) —» H~1(Si) - эллиптический оператор, отвечающий А,: , ах 32 зх az л г, эх ах .

<АХ, 2> = р.---+---| Clrj + V--+ V -— + аХ ZdT)

^ an, ац ал^ зтц J $ 'зи. zaij, ' vx, s е ü^ia), <■,■> - двойственность между ti^(ö) и ti'Uo).

'¿;, г': 0?" -» V",

- £ g"(п)а. е g,;(n) = рг„г. й (п), (14)

¡,1 1 1 1

Заметим, что уз" е V": (Рпа, 2п)Ъ2(0) - (Ра, (здесь Р: к1"

~ т _ ГО

—» 1/" (о), Ра = 2ё1(п)а1, а »из,, под 12(3) будем понимать

I»1 3 1 "

подпространство пространства Ь2(я) такое, что Ъг(0) = 12(.) е Ь2(й): г (г?) = 0, п 2 ">)•

3) Сп: V" —> ьг(£5),

С"ХП = рГ_ьг(й)Х" УХП е V5. (15)

Заметим, что У2П е V": --= Сг" (здесь С: Ь2(я) —♦ и7 (о), ув е

Ьг(й): С2 = ргь2

4) 1): 1Л(0)

07 = ^ Г гс) о И) с!п Г ¥у б Ь2Ш) (16)

3

(здесь р.(п), Л = Т7®, - весовые функции).

Запишем конечномерное уравнение в пространстве уп, аппроксимирующее (11), в терминах операторов (13) - (16):

х"т + Апхпт = Рпип(Е), хп(С) - 0, (17)

где ХПСП - Хп(г, 17) е Vя, хп(1) = I С (*) «к(п,, Т} ), с. <Л)

к » 1

можно рассматривать как приближение реальной концентрации во

а"

внутренних узлах сетки ;> .

Аппроксимацию функции источника иси = Ш (1;)}° (подчеркивая зависимость от Л, обозначит.» ее для фиксированного п через и"'"(г) -ш*',1! ) определим как функцию, удовлетворяющую в кэзвдый

момент времени следующему соотношению (естественным образом получающемуся из аналога формулы ноши для уравнения (11)):

С" У" рь-"т = сь11) - и | сп Хп (Т-т) У" р"'п{т) С1х, (18)

I.

п

здесь рь,г'СИ = | и15'л (т)й-с, - "фундаментальная матрица"

о

решений однородного уравнения в пространстве V", соответствующего

ОП, - линейный зштернолянг, построенный но узлам

(см. (12)).

Введем следующие обозначения:

¿■п = {еп >■ е к"1*1",

а I,

е" = \ рлп1 йп, 1,Л = Т7Ш;

1 з 0 1

К" (Ь-г ) = (К15 (1:-т)}и е С' ('1'; Кш*п), 1 j 1 ,} = 1

К" . - - Г [с" А" Г(Г,-т) Е"'(т!)]р.(т7)ат:, 1,^=ТТю.

1 1 ^ Д V ^ ) 3

Тогда уравнение ОН) можно переписать в виде:

I

.У' рь'пт = 5ь(1з) л- | К"С5-т) рь'п(т) с!т (19)

п

или в виде

рь'пт = + [ йг, (20)

о

где = ^ЧШ, К"(г-т) = (Еп)"1к.п(г-с). Очевидно, что е" .

= 0 для и бетШ") г о при достаточно больших п. Кроме того, г^СС) - непрерывная функция. Выполнение этих условий вместе с регулярностью ядра К/'СС—с) обеспечивают существование и единственность решения уравнения (19) (и, следовательно, £20)) в классе непрерывных функций.

Введем множество 1Цз(-)), элементами которого являются все функции и(-) с с1 ('Г; К'""), порождающие й(-) - Справедлива следующая

Теорема 2.1.1. Множество 1!(з(-П - одноэлементно. Ясли {р"'^)}® 5 - последовательность решений уравнения (195 (или (20)) и й £ д, то

Р!''•"'(-) — р(-) в С(Т; к"), (21)

л->о д-»о

и выполняется оценка

I ph-nM - p(-) Ic^.R-, =* v + Над" + Нэ/Д'

где pit) ■= f u(t)dt, а константы И. , H и Н могут быть выписаны i 3

явно.

В конструируется алгоритм решения полученной конечномерной обратной задачи, указываются условия согласования параметров временной и пространственной дискретизаций, обеспечивающего сходимость алгоритма. Используются конструкции §1 первой главы, применявшиеся к решению задачи восстановления неизвестного управления по неточным измерениям части координат в системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Работа аналогичного алгоритма описана при изложении результатов §1 первой главы, поэтому ограничился формулировкой основного результата параграфа, считаем, что зафиксировано равномерное разбиение промежутка Т с шагом "Приближенное решение" уравнения (НО), найденное согласно процедуре - аналогу (3), (4), будем обозначать через ph,п'ь(t). Семейства <д*} и выбираем так,

чтобы дк —> О, ак —» О, hv/a" —* О при К —»

Справедливо следующее утверждение, соответствующее теореме 1.1.1.

Теорема '¿.'¿Л. Пусть ph,n(t) - решение уравнения (20). Имеет место сходимость

ph •"'к (• ) —> ph'r,(-) в L2(T; R"), (23)

к-»®

и выполняется следующая оценка:

ц - IL2(11..r.J s

r. Pn(jfnAk/ak + Hn(FV + FV)1")1'1, (24)

12 3 4 5

где константы Bn, 1=1,5 могут быть выписаны явно, i

Таким образом, решение исходной задачи подразделяется на два этапа: построение конечномерной аппроксимации (20) и нахождение приближенного решения интегрального уравнения. Справедлива следующая Теорема '¿.¿.'¿. Имеет место сходимость

n , k-»so h-Ю

при следующем согласовании параметров временной и пространственно дискретизаций:

Л —» О, п —» os, к —+ Дп —* Ü, Дк —> 0, ак —1. Ü,

л * дк, лк/«к о, (26

П П п

И . к / к f\ N . к гл мп. с N к

е 1 Д /ос —» U, в z Д —» и, N63 а —»U,

n I t—f- 1

где N" = max J _*__ 3> a константы с , с и с не зависят о

t,T ОТ 12 3

параметров алгоритма. Сходимость (25) и соотношения (26) следуют и утверждений (21) - (24).

В §3 приводятся результаты численных расчетов модельног примера для описанной задачи динамического восстановления временно составляющей функции источника для параболического уравнения.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Розенберг В.Л. Об одном алгоритме решения обратной задачи с неполной информацией // Тезисы докл. Всесоюзн. конф. "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление". Ашхабад. 1990. С.207-208.

2. Розенберг В.Л. Об одном алгоритме решения обратной задачи с неполной информацией. // Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск. 1991. С.1Т5-191.

3. Розенберг В.Л. О восстановлении функции источника в параболическом уравнении // Тезисы докл. Второго Международного семинара "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации". Челябинск. 1993. C.119-12Ü.

4. Розенберг В.Л. О восстановлении функции источника в параболическом уравнении // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. кб. С.126-13D.

5. Розенберг В.Л. Задача динамического восстановления функции источника в параболическом уравнении // Труды ИММ УрО РАН. 1995. Выпуск III. С.116-135.

6. MaKslmov v.l., Hosenberg v.l. l'eedback approximation or a control under tue conditions or uncertainty. The Third international workshop "Multiple criteria problems under uncertainty". oreKhovo-Zuevo. wussla. September 5-9. 1994. P.54.

Подписано к печати 16.08.95. Формат 60 х 84 1/16, Бум. тип. к2. Уч. изд. л. 1,0. Усл. печ. д. 1,0. Тираж 100 экз. Зак. 226. СФАШ. 62014'( йсатеринбург, проезд Решетникова. '¿'¿.