Индекс Банаха-Сакса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Новикова, Анна Игоревна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Воронеж
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2010
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
00461У97
па правах рукописи
НОВИКОВА АННА ИГОРЕВНА
Индекс Банаха-Сакса
.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ
Автореферат
диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
2 1 ОКТ ?010
Воронеж - 2010
004610971
Работа выполнена на кафедре теории функций и геометрии Воронежского государственного университета
Научный руководитель:
доктор физико математических наук, профессор Семенов Евгений Михайлович.
Официальные оппоненты:
доктор физико математических наук, профессор Лобода Александр Васильевич,
Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный университет.
Защита состоится 26 октября 2010 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан сентября 2010 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физико-математических паук,
доктор физико математических наук, профессор Хелемский Александр Яковлевич.
профессор
Ю.Б. Гликлих
Общая характеристика работы.
Актуальность работы. Изучение свойства Баиаха-Сакса восходит к работе Банаха и Сакса 1930 г. Их классическая теорема утверждает, что для любой слабо сходящейся к нулю последовательности хп 6 Ьр( 1 < р < оо) существуют подпоследовательность {х„к} С {хп} и константа С > 0 такие, что
для любого т £ N. Соответствующий результат для случая 2 < р < оо также следует из работы М.И.Кадеца и А.Пелчинского.
Пусть X - банахово пространство и р > 1. Ограниченная последовательность {хп} £ X называется р-ВБ-последовательностью (ВБ-посяедователъностъю, соответственно), если существует подпоследовательность {у„] С {ж„} такая, что
Будем говорить, что X обладает р-свойством Банаха-Сакса (свойством Банаха-Сакса) и писать X £ рВБ {X € В Б), если любая слабо сходящаяся к нулю последовательность содержит р-ВЭ-последовательность (В8-носледователыюсть).
Очевидно, что любое банахово пространство обладает 1-свойством Банаха-Сакса (в силу ограниченности слабо сходящихся последовательностей). Множество
называется индексным лтожеством пространства X и представляет собой отрезок [1,а] или полуинтервал [1,а) для некоторого а > 1. Число а называют индексом Банаха-Сакса пространства X и пишут
j(X) = а, если Г(Х) = [1,а], и 7pf) = а - 0, если Г(Х) = [1,а).
С. Какутани показал, что любое равномерно выпуклое банахово пространство обладает свойством Банаха-Сакса, а В. Шленк доказал, что пространство Ь^О, 1], не являющееся равномерно выпуклым, также обладает свойством Банаха-Сакса.
т
Т{Х) = {р: р > 1, XepBS}
В ряде работ Е.М. Семенова, C.B. Асташкнна, Ф.А. Сукочева, С.А. Ракова были найдены индексы Банаха-Сакса некоторых функциональных пространств Лоренца, Марцинксвича, Орлича. Были доказаны общие теоремы, позволяющие вычислять индекс Банаха-Сакса функциональных пространств в терминах индексов Бойда, а также показано, что для пространств Орлича и Лоренца свойство Банаха-Сакса тесно связано с сепарабельностью пространств. Было показано, что сепара-бельная часть некоторых пространств Марцинксвича не обладает этим свойством.
В диссертации изучается индекс Банаха-Сакса пространств последовательностей с симметричным базисом. Главное отличие индексов Банаха-Сакса функциональных пространств и пространств последовательностей заключается в том, что для пространств последовательностей отсутствует естественное для функциональных пространств ограничение на индекс сверху - индекс Банаха-Сакса не превосходит 2. Кроме того, есть ряд различий для пространств, определенных на конечном и бесконечном промежутках. В работе рассматриваются пространства с бесконечным индексом, вычисляется индекс пространств Zp,q, а также построен пример рефлексивного пространства последовательностей с симметричным базисом, не обладающего свойством Банаха-Сакса.
Впервые функции Радемахера были введены в работе Радемахе-ра. Особенно большое значение уделялось изучению поведения сумм
п
гк{х) при п —>• оо в связи с законом больших чисел и его уточнений.
fc= 1
Система Радемахера порождает в перестановочно-инвариантных пространствах подпространства с симметричным базисом. Исследованию свойств системы Радемахера в общих симметричных пространствах посвящены многочисленные работы, например, В.А. Родина, Е.М. Семенова, М.Ш. Бравермаиа и И. Райно. Глава 6 диссертации посвящена изучению индекса Банаха-Сакса подпространств Радемахера симметричных пространств.
Понятие индекса Банаха-Сакса играет большую роль в исследовании геометрии банаховых пространств. В настоящее время вариации классического свойства Банаха-Сакса активно изучаются в связи с различными вопросами теории интерполяции (см., например, работы следующих авторов: J. Flores, A. Kryczka, A. Shangua).
Целью работы является изучение р-свойства Банаха-Сакса сим-
метричных функциональных и секвенциальных пространств.
Методика исследований. Использовались идеи и методы современной теории функций и функционального анализа, в частности, метод вещественной интерполяции.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
1. Описаны все пространства, обладающие оо-свойством Бапаха-Сакса.
2. Вычислен индекс Банаха-Сакса пространства 1РгЯ, 1 < р,д < оо.
3. Исследована взаимосвязь индексов Банаха-Сакса пространства с симметричным базисом и пространства, сопряженного к нему.
4. Найдены пространства, подпространствами Радемахера которых являются 1рл, \ < р < 2, \ < д < оо.
5. Изучена связь индексов Банаха-Сакса симметричного пространства и его подпространства Радемахера.
6. Построен пример симметричного пространства, подпространство Радемахера которого не обладает свойством Банаха-Сакса.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории симметричных пространств, для изучения р-свойства Банаха-Сакса.
Аппробация работы. Результаты этой работы докладывались на Саратовской зимней школе, посвященной памяти акад. П.Л.Ульянова (Саратов, 2008); XVI и XVII Международных конференциях "Математика. Экономика. Образование" (Новороссийск, 2008, 2010); XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (Москва, МГУ, 2008); Воронежских зимних математических школах (Воронеж, 2009, 2010); на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений "(Москва, 2009); международной конференции "Всплески и их приложения "(Санкт-Петербург, 2009); Крымской осенней математической школе (2009), а также на семинарах в университетах Воронежа и Самары.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[9], в том числе [1,2,4] из перечня ВАКа. Из совместной работы [4] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 7 глав и списка литературы. Объем диссертации - 80 страниц. Библиографический список содержит 72 наименования.
Краткое содержание работы.
Первая глава является вводной. В ней приводятся основные определения и факты, которые используются в дальнейшем.
Невозрастающей перестановкой последовательности {an}5îLi называется невозрастающая последовательность {аЦ}^, получаемая из {KDbLi при помощи подходящей перестановки натуральных чисел. Заметим, что певозрастающую перестановку можно определить только для последовательности, для которой число элементов множества {п € N : \ап\ > т} конечно Vr > 0. В дальнейшем будем рассматривать только такие последовательности.
Невозрастающей перестановкой измеримой по Лебегу и почти всюду конечной на интервале [0,1] функции x(t) называется функция х*, определяемая формулой
x*(t) = inf{r : n]x](r)<t},
где П|х|(т) = mes{t : |x(i)| > г} - функция распределения.
Две последовательности {хп}™=1 и i (соответственно, функ-
ции x(t) и y{t)) называются равноизмеримыми, если их невозраетаю-щие перестановки совпадают.
Базис {£n}i?Li банахова пространства Е называется симметричным, если для любой перестановки 7г натуральных чисел {xx(n)}%Li эквивалентена {xn}n^i-
Сепарабельное или сопряженное к сепарабслыюму функциональное банахово пространство на отрезке [0,1] с мерой Лебега называется симметричным (перестановочно-инвариантным, rearrangement invariant, далее - гл.), если:
1) из того, что у 6 Е и |x(i)| < |î/(t)| почти всюду па [0,1], вытекает, что х е Е и ||x||s < ЦуЦв;
2) из того, что у G Е и функция |ж(£)| равноизмерима с функцией y{t), следует, что х £ Е и ||х||в = Цг/Ц^.
Хорошо известно, что для каждого сепарабелыюго пространства последовательностей с симметричным базисом справедливо вложение h С Е С со и
IWL < ||х||Е < 11x11,.
Любое гл. пространство Е является промежуточным между пространствами ¿х(0,1) и ¿оо(0,1), т.е.
Примерами пространств последовательностей с симметричным базисом могут служить пространство 1Р, 1 < р < оо, и пространство 1РА, 1 < р < оо, 1 < д < оо, состоящее из элементов х, для которых конечно выражение:
где - певозрастающая перестановка последовательности {хк}^
Данное выражение является нормой при q < р и эквивалентно норме при я > р.
Аналогично, функциональные пространства Ьр, 1 < р < оо, п пространства Лоренца Ьм, 1 < р < оо:
являются гл. пространствами на [0,1].
Понятие индекса Банаха-Сакса было введено выше. Имеет смысл изучать индексное множество только сепарабелышх симметричных пространств, так как любое пространство, обладающее свойством Банаха-Сакса (и тем более р-свойством Банаха-Сакса), будет обязательно сепарабельным.
В главе 2 доказаны некоторые общие факты для пространств с симметрнчпым базисом. А именно, показано, что константа в определении р-свойства Банаха-Сакса зависит не от выбранной последовательности, а только от пространства.
Теорема 2.1. Пусть Е пространство с симметричным базисом и Е £ рВБ. Тогда существует положительная константа С такая, что для любой последовательности {хп} С Е,хп 0, ||хп||в < 1, существует подпоследовательность {хПк}к, для которой выполнено
¿оо С Е С ¿1-
оо
IР,Ч ~~
£щ>х*кк1/р, q = оо, , к
т
^Хщ <Ст1/р,т еК
к=1 Е
Эта теорема является аналогом теоремы для симметричных функциональных пространств, доказанной Е.М.Семёновым и Ф.А.Сукочевым.
Кроме того, доказано разложение слабо сходящейся к нулю последовательности в сумму сходящейся к нулю последовательности, дизъюнктной и равноизмеримой, также сходящихся к нулю слабо.
Для вычисления индекса Банаха-Сакса пространств с симметричным базисом в последующих главах используется теорема 2.5.
Теорема 2.5. Пусть сепарабельнос пространство последовательностей Е с симметричным базисом имеет верхнюю р—оценку для некоторого р > 1. Тогда индекс Банаха-Сакса 7(Е) > р.
Доказаны теоремы о наименьшем и наибольшем пространствах с одинаковой фундаментальной последовательностью, являющиеся секвенциальными аналогами классических теорем для функциональных пространств.
Пусть Е - пространство с симметричным базисом. Из определения
следует, что норма последовательности ха = Е е®, где А - подмно-
геЛ
жсство N с количеством элементов, равным N, зависит только от N. Таким образом, для Е определена последовательность N е N
формулой
\}ха\)Е = ЫЮ,
где N - количество элементов множества Л 6 N. Последовательность <рЕ называется фундаментальной последовательностью пространства Е.
Лемма 2.6. Пусть Е пространство последовательностей с симметричным базисом и фундаментальной последовательностью <р (п). Тогда Х(ф) С Е, где ф - наименьшая вогнутая мажоранта <р, и выполнено:
1Ы1я < |М|л(т/,), х £ \(ф).
Здесь А(ф) (ф -возрастающая вогнутая функция на [0, оо), ^(0) = ф{+0) = 0) - это секвенциальное пространство Лоренца с нормой
00
1М1а(0) := Е Х*к(ф{к)-ф{к - 1)) < оо.
к=1
Лемма 2.7. Пусть Е - пространство последовательностей с симметричным базисом и фундаментальной функцией Тогда имеют место вложение Е С т(ф) и неравенство
1И1 т(ф) < 1Ык
где i>(N) = -^щ- Здесь т{ф) - секвенциальное пространство Марцнн-кевича с нормой
N
Ыт(Ф) •= SUP дает Е 4 <
Neti * ' fc=i
Глава 3 посвящена изучению пространств, обладающих бесконечным свойством Банаха-Сакса.
Будем говорить, что банахово пространство X обладает оо-свойством Банаха-Сакса, если любая слабо сходящаяся к нулю последовательность {хп} 6 X содержит подпоследовательность {уп} С {хп} такую, что
т
С = sup || YV||;r < оо.
meN fc=1
Хорошо известно, что пространства со и li имеют бесконечный индекс Банаха-Сакса. Справедливо обратное утверждение.
Теорема 3.2. Пусть Е — сепарабслыюе пространство последовательностей с нормированным симметричным базисом {е*}^. Если Е обладает оо—свойством Баиаха-Сакса, то Е изоморфно со или 1\.
Приведен пример пространства Е с симметричным базисом, не обладающего оо—свойством Банаха-Сакса, но обладающего р-свойством для любого 1 < р < оо. Найдено характеристическое свойтсво пространства со в терминах оператора Чезаро.
Цель главы 4 - нахождение индексов Банаха-Сакса пространств 1М. Основной результат содержится в следующей теореме:
Теорема 4.3. Индекс Банаха-Сакса пространств 1р/п 1 < q < оо, 1 < р < оо равен:
(Р, <7 = 1>
min{p,q}, Kq< оо, 1, q = оо.
В главе 5 изучается индекс Банаха-Сакса сопряженного к пространству с симметричным базисом пространства.
Теорема 5.1. Если Е Ф со - пространство последовательностей с симметричным базисом, Е* - сопряженное к нему пространство. Тогда
l~W) + W) ~2'
Верно н обратное.
Теорема 5.2. Для любой пары чисел (р, q) таких, что 1 < р, q < + существует пространство последовательностей с
симметричным базисом Е такое, что 7(Е) = р и 7(Е*) = q, где Е* -сопряженное к Е пространство.
Левое неравенство теоремы 5.1 очевидно превращается в равенство для пространства Е = lp, 1 < р < оо. Для пространства Е = ¿р;00, 1 < р < оо имеем 7(Çi00) = р и 7(^4) = 7((/"J*) = р', т.е. также выполнено равенство —775—г + „J ^ = 1. Однако эти пространства не являются единственными. В теореме 5.4 приведен пример пространства Орлича 1м, не содержащего дополняемого подпространства, изоморфного 1р, и такого, что его индекс Банаха-Сакса удовлетворяет равенству + ^jrj = 1. Пространство Орлича для функции M, выпуклой, неубывающей непрерывной функции на [0, оо) такой, что
M(0) = 0 и lim Mit) = 00, рассматривается со стандартной нормой ¿->00
||z|L=mf{p>0; 1}.
В то же время для класса пространств Лоренца верен следующий результат. Пусть А(чД) - пространство последовательностей Лоренца, то(?/>) - сепарабельиая часть сопряженного к нему пространства Мар-цинкевича.
Теорема 5.5. Если 7(A(î/>)) = р, 7(mo(i/0) = q, j + ^ = 1, то ф эквивалентна степенной функции.
Объектом изучения в главе 6 являются подпространства Радемахе-ра. Пусть Е некоторое функциональное r.i. пространство на [0,1]. Рассмотрим пространство последовательностей R(E), порожденное системой Радемахера г^ : последовательность х = (:г(1),:е(2), ... ) принад-00
лежит R(E), если x(k)rk принадлежит Е и ь= 1
оо
INU(E) =
к=1
Естественный базис в подпространстве R{E) является симметричным.
Для 1 < р < 2, 1 < q < оо найдено r.i. пространство Е, в котором система Радемахера эквивалентна каноническому базису в то есть
R(E) = lp.q. Для 1 < p < oo, 1 <q < oo введем пространство :
i \ Vi
где ip{u) = ln 7 i(-), i + i = i. Данное выражение совпадает с
р
__(7
нормой пространства Лоренца Aq(ip), t/>(s) = ln :
í f N V?
для 1 < р, д < оо, д < р', (д — 1 < ф^), и эквивалентно норме в остальных случаях.
Теорема 6.1. Если 1 < р < 2, 1 < <7 < оо, то система Радемахсра в пространстве Е9Л эквивалентна каноническому базису в то есть = 1РЛ с точностью до эквивалентных норм и существует 0 < С < оо такая, что
TílIMU <
оо fc=1
^ C||(afc)llp,«7' WH C lP,q-
Случай пространств lp,p = lp, 1 < p < 2 был рассмотрен независимо в статьях В.А. Родина-Е.М. Семенова и Е.М. Никишина, а случай пространств /р.эо - в работе G. Pisier.
Для г.i. пространства Е ф L^ индексы Банаха-Сакса пространств Е и R(E) удовлетворяют соотношению
1 < 7(Е) < 7(R(E)) < 2.
Хорошо известно, что = 1\. Отсюда = 1 и 7(ñ(Loo)) =
оо. Как показывает следующая теорема, этот случай является исключительным.
Теорема 6.3. 1. Для Е ф Ьж верна следующая альтернатива: 7(Е) = 1 или 7{R{E)) = 2.
2. Для любой пары (p,q) : р = 1, 1 < д < 2 или 1 < р < 2, q = 2 найдется г.i. пространство Е = £[0,1] такое, что 7(Е) = р, 7(R(E)) = Q-
В 1972 году А.Баерпстейном был построен пример рефлексивного банахова пространства с безусловным, но не симметричным базисом, не обладающего свойством Банаха-Сакса. На основе этого примера в главе 7 построено рефлексивное пространство последовательностей с симметричным базисом, не обладающее свойством Банаха-Сакса. Кроме того, показано, что в качестве такого пространства можно выбрать подпространство Радемахера некоторого перестановочно-инвариантного пространства.
Диссертация выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 08-01-00226а).
Автор выражает глубокую благодарность профессору Е.М. Семенову за научное руководство и постоянный интерес к работе.
Публикации по теме диссертации.
[1] Новикова А.И. Индекс Банаха-Сакса для подпространств Радемахера / А.И. Новикова // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2009. - Т. 4, вып. 70. - С. 44-51.
[2] Новикова А.И. Индекс Банаха-Сакса некоторых секвенциальных пространств / А.И. Новикова // Сибирский математ. журнал. - 2010. - Т.51, №2. - С.367-372.
[3] Новикова А.И. Индекс Банаха-Сакса некоторых пространств / А.И. Новикова // Современные проблемы математики, механики и их приложений: материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. - М.: Издательство "Университетская книга". - 2009. - С. 86.
[4] Новикова А.И. Индекс Банаха-Сакса пространств с симметричным базисом / А.И. Новикова, Е.М. Семенов, Ф.А. Сукочев // Доклады Академии Наук. - 2008. - том 420, № 3. - С. 314-315.
[5] Новикова А.И. Индекс Банаха-Сакса пространств с симметричным базисом / А.И. Новикова // Современные проблемы теории функций и их приложения: тезисы докладов 14-й Сарат. зимней школы, посвящ. памяти акад. П.Л.Ульяиова. - Саратов, 2008. - С. 130.
[6] Новикова А.И. Индекс Банаха-Сакса сопряженного пространства / А.И. Новикова // Воронежская зимняя мат. школа С.Г.Крейна: тезисы докладов. - ВорГу, 2010. - С. 114-115.
[7] Новикова А.И. О связи индексов Банаха-Сакса сопряженного и исходного пространств / А.И. Новикова // Математика. Экономика. Образование: тезисы докладов. - Ростов-на-Дону, 2010. - С. 82.
[8] Новикова А.И. О р-свойствс Банаха-Сакса в пространствах последовательностей с симметричным базисом / А.И. Новикова // Математика. Экономика. Образование: тезисы докладов. - Ростов-на-Дону, 2008. - С. 108.
[9] Новикова А.И. Свойство Банаха-Сакса в пространствах с симметричным базисом / А.И. Новикова // Ломоносов - 2008: материалы докладов XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Секция "Математика и механика". - Издательство МГУ, 2008. - С. 38.
Работы [1],[2] и [4] соответствуют перечню ВАК РФ.
Подписано в печать 17.09.10. Формат 60x84 '/16. Усл. иеч. л. 0,9. Тираж 80 экз. Заказ 1193
Отпечатано с готового оригинала-макета в тииографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.
Введение
1 Определения и вспомогательные утверждения
1.1 Базис Шаудера, безусловный базис.
1.2 Симметричные пространства.
1.3 Р-выпуклость и ^-вогнутость.
1.4 Свойство Банаха-Сакса, р-свойство
Банаха-Сакса.
1.5 Интерполяционные пространства.
1.6 Подпространства Радемахера.
2 Разложение слабо сходящейся к нулю последовательности.
3 Пространства с бесконечным индексом Банаха-Сакса
4 Нахождение индекса Банаха-Сакса пространств 1РЛ
5 Индекс Банаха-Сакса сопряженного пространства.
6 Индекс Банаха-Сакса подпространств Радемахера
7 Пример пространства, подпространство Радемахера которого не обладает свойством Банаха-Сакса 67 Список литературы.
Актуальность работы. Понятие индекса Банаха-Сакса играет большую роль в исследовании геометрии банаховых пространств. Изучение свойства Банаха-Сакса восходит к работе Банаха и Сакса 1930 г. [34]. Их классическая теорема утверждает, что любая слабо сходящаяся к нулю последовательность хп е Lp(l < р < оо) содержит подпоследовательность {хПк} С {жп} такую, что т
IIE^iu^CW^m) к=1 для любого т G N, т.е. показывает справедливость min(p, 2)-свойства Банаха-Сакса этих пространств. Соответствующий результат для случая 2 < р < оо также следует из работы М.И.Кадеца и А.Пельчинского [48]. Далее С.Какутани показал, что любое равномерно выпуклое банахово пространство обладает свойством Банаха-Сакса [49],а В.Шленк [71] доказал, что пространство l/i[0,1], не являющееся равномерно выпуклым, также обладает свойством Банаха-Сакса.
В ряде работ Е.М.Семенова, С.В.Асташкина, Ф.А.Сукочева, С.А.Ра-кова были найдены индексы Банаха-Сакса некоторых функциональных пространств Лоренца, Марцинкевича, Орлича [25, 22, 30]. Были доказаны общие теоремы, позволяющие вычислять индекс Банаха-Сакса функциональных пространств в терминах индексов Бойда [32], а также показано, что для пространств Орлича и Лоренца свойство Банаха-Сакса тесно связано с сепарабельностью пространств, однако сепарабельная часть некоторых пространств Марцинкевича не обладает этим свойством [43].
В диссертации изучается индекс Банаха-Сакса пространств последовательностей с симметричным базисом. Главное отличие индексов Банаха-Сакса функциональных пространств и пространств последовательностей заключается в том, что для пространств последовательностей отсутствует естественное для функциональных пространств ограничение на индекс сверху - индекс Банаха-Сакса не превосходит 2 [32]. Кроме того, есть ряд различий для пространств, определенных на конечном и бесконечном промежутках. В работе рассматриваются пространства с бесконечным индексом, вычисляется индекс пространств lp>q, а также представлен пример рефлексивного пространства последовательностей с симметричным базисом, не обладающего свойством Банаха-Сакса.
Впервые функции Радемахера были введены в работе Х.Радемахера [62]. Особенно большое значение уделялось изучению поведения сумм п
Tk{x) при п —Ь оо в связи с законом больших чисел Бореля и его fc=i уточнений. Система Радемахера порождает в перестановочно-инвариантных пространствах подпространства с симметричным базисом. Исследованию свойств системы Радемахера в общих симметричных пространствах посвящены многочисленные работы, например, Родина В.А., Семенова Е.М. [64, 24], Бравермана М.Ш. [5] и Рейно И. [63]. Глава 6 диссертации изучению индекса Банаха-Сакса подпространств Радемахера симметричных пространств.
В настоящее время вариации классического свойства Банаха-Сакса активно изучаются в связи с различными вопросами теории интерполяции (см., например, [46, 51, 66]).
Целью работы является изучение р-свойства Банаха-Сакса симметричных функциональных и секвенциальных пространств.
Методика исследований. Использовались идеи и методы современной теории функций и функционального анализа. В частности метод вещественной интерполяции.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
1. Описаны все пространства обладающие оо-свойством Банаха-Сакса.
2. Вычислен индекс Банаха-Сакса пространства lPyQl 1 < р < оо, 1 < q < оо, и пространства Z°>00, 1 < р < оо.
3. Исследована взаимосвязь индексов Банаха-Сакса пространства с симметричным базисом и пространства, сопряженного к нему.
4. Найдены пространства, подпространствами Радемахера которых являются lp>q, 1<р<оо, 1<д<оои 1роо, 1 < р < оо.
5. Изучена связь индексов Банаха-Сакса симметричного пространства и его подпространства Радемахера.
6. Построен пример симметричного пространства, подпространство Радемахера которого не обладает свойством Банаха-Сакса.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории симметричных пространств, для изучения р-свойства Банаха-Сакса.
Аппробация работы. Результаты этой работы докладывались на Саратовской зимней школе, посвященной памяти акад. П.Л.Ульянова (Саратов, 2008); XVI и XVII Международных конференциях "Математика. Экономика. Образование."(Новороссийск, 2008, 2010); XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (Москва, 2008); Воронежских зимних математических школах (2009, 2010); на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений "(Москва, 2009); международной конференции "Всплески и их приложения"(С.Петербург, 2009); Крымской осенней математической школе (2009), а также на семинарах в университетах Воронежа и Самары.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [12] - [20], в том числе [12, 13, 15] из списка ВАКа. Из совместной работы [15] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 7 глав и списка литературы. Объем диссертации 80 страниц. Библиографический список содержит 72 наименований.
1. Асташкин С.В. Об интерполяции подпространств симметричных пространств, порожденных системой Радемахера / С.В. Асташкин // ИЗВЕСТИЯ РАЕН, серия МММИУ. - 1997. - Т. 1, вып. 1. - С. 18-35.
2. Асташкин С.В. О пространстве мультипликаторов, порожденных системой Радемахера / С.В. Асташкин // Мат. заметки. 2004. -Т. 75, вып. 2. - С. 173-181.
3. Асташкин С.В. Функции Радемахера в симметричных пространствах / С.В. Асташкин // Современная математика. Фундаментальные направления. 2009. - Т. 32. - С. 3-161.
4. Берг Й. Интерполяционные пространства. Введение / Й. Берг, Й. Лёфстрём. М.:Мир, 1980. - 264 с.
5. Браверман М.Ш. Дополняемость подпространств, порожденных независимыми функциями в симметричных пространствах / М.Ш. Браверман // Функц. анал. и его прилож. 1982. - Т.16, вып. 2. - С. 66-67.
6. Годун Б.В. Свойство Банаха-Сакса и проблема трех пространств / Б.В. Годун, С.А. Раков // Мат. заметки. 1982. - Т. 31, вып. 1. -С. 61-74.
7. Кирцев К.П. Пространства Орлича, ассоциированные с функциями Орлича, не удовлетворяющими Д2-условию / К.П. Кирцев, С.Л. Троянский // Сердица. 1975. - Т.1. - С. 88-95.
8. Красносельский М.А. Выпуклые функции и пространства Орлича / М.А. Красносельский, Я.Б. Рутицкий. М.: Физ.-мат. лит, 1958.- 272 с.
9. Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунии, Е.М. Семенов. М.: Наука, 1978. - 400 с.
10. Никишин Е.М. Об одном свойстве сумм независимых величин / Е.М. Никишин // Мат. заметки. 1974. - Т. 16, вып. 5. - С. 703-707.
11. Новиков С.Я. Тип и котип функциональных пространств Лоренца / С.Я. Новиков // Мат. заметки. 1982. - Т. 32, вып. 4. - С. 213-221.
12. Новикова А.И. Индекс Банаха-Сакса для подпространств Радемахера / А.И. Новикова // Вестник самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2009. - Т. 4, вып. 70. -С. 44-51.
13. Новикова А.И. Индекс Банаха-Сакса некоторых секвенциальных пространств / А.И. Новикова // Сибирский математ. журнал. -2010. Т.51, №2. - С.367-372.
14. Новикова А.И. Индекс Банаха-Сакса пространств с симметричным базисом / А.И. Новикова, Е.М. Семенов, Ф.А. Сукочев // Доклады Академии Наук. 2008. - том 420, № 3. - С. 314-315.
15. Новикова А.И. Индекс Банаха-Сакса пространств с симметричным базисом / А.И. Новикова // Современные проблемы теории функций и их приложения: тезисы докладов 14-й Сарат. зимней школы, посвящ. памяти акад. П.Л.Ульянова. Саратов, 2008. - С. 130.
16. Новикова А.И. Индекс Банаха-Сакса сопряженного пространства / А.И. Новикова // Воронежская зимняя мат. школа С.Г.Крейна: тезисы докладов. ВорГу, 2010. - С. 114-115.
17. Новикова А.И. О связи индексов Банаха-Сакса сопряженного и исходного пространств / А.И. Новикова // Математика. Экономика. Образование: тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 2010. - С. 82.
18. Новикова А.И. О р-свойстве Банаха-Сакса в пространствах последовательностей с симметричным базисом / А.И. Новикова // Математика. Экономика. Образование: тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 2008. - С. 108.
19. Островский М.И. Сравнение слабого и непрерывного свойств Банаха-Сакса / М.И. Островский // Теория функций, функционал. анализ и их приложения. 1987. - №48. - С. 130-134.
20. Раков С.А. О показателе Банаха-Сакса некоторых банаховых пространств последовательностей / С.А. Раков // Мат. заметки. -1982. Т. 32, вып. 5. - С. 613-626.
21. Раков С. А. О свойстве Банаха-Сакса банахова пространства / С. А. Раков // Мат. заметки. 1979. - Т.26, вып. 6. - С. 823-834.
22. Родин В.А. О дополняемости подпространства, порожденного системой Радемахера, в симметричном пространстве / В.А. Родин, Е.М. Семенов // Функц. анал. и его прил. 1979. - Т.13, вып. 2. -С. 91-92.
23. Семёнов Е.М. Индекс Банаха-Сакса / Е.М. Семенов, Ф.А. Сукочев // Математический сборник. 2004. - Т. 195, вып. 2. - С. 263-285.
24. Семёнов Е.М. Теоремы вложения для банаховых пространств измеримых функций / Е.М. Семёнов // ДАН СССР. 1964. - Т. 156, вып. 6. - С. 1292-1295.
25. Токарев Е.В. О свойстве Банаха-Сакса в банаховых решетках / Е.В. Токарев // Сибирский математ. журнал. 1983. - Т.24. - С. 18-20.
26. Чилин В.И. Слабая компактность в пространствах Лоренца / В.И. Чилин, А.А. Седаев, Ф.А. Сукочев // Узбек, матем. журнал. -1993. № 1. - С. 84-93.
27. Altshuler Z. On symmetric basic sequences in Lorentz sequence spaces / Z. Altshuler, P.G. Casazza, B.L. Lin // Israel J.Math. 1973. - V. 15. - P. 144-155.
28. Astashkin S.V. Banach-Saks property in Marcinkiewicz spaces / S.V. Astashkin, F.A. Sukochev //J. Math. Anal. Appl. 2007. - V. 336. -P. 1231-1258.
29. Astashkin S.V. Cesaro mean convergence of martingale differences in rearrangement invariant spaces / S.V. Astashkin, N. Kalton, F.A. Sukochev // Positivity. 2008. - V. 12. - P. 387-406.
30. Astashkin S.V. The Banach-Saks p-property / S.V. Astashkin, E.M. Semenov, F.A. Sukochev // Mathematische Annalen. 2005. - V. 332.- P. 879-900.
31. Baernstein A. On reflexivity and summability / A. Baernstein // Studia Math. 1972. - V. XLII. - P. 91-94.
32. Banach S. Sur la convergence forte dans les champs LP. / S.Banach, S. Saks // Ibid. 1930. - V. 2. - P. 51-57.
33. Beauzamy B. Banach-Saks properties and spreading models / B. Beauzamy // Math. Scand. 1979. - V.44. - P. 357-384.
34. Birnbaum Z. Uber die Verallgemeinerung des begriffes der zueinander konjugierten Potenzen / Z. Birnbaum, W. Orlicz // Studia Math. -1931. V.3. - P. 1-67.
35. Boyd D.W. Indices of function spaces and their relationship to interpolation / D.W. Boyd // Canad. J. Math. 1969. - V.21, №5.- P. 1245-1254.
36. Carothers N.L. Geometry of Lorentz spaces via interpolation / N.L. Carothers, S.J. Dilworth // Longhorn notes, the University of Texas at Austin, Functional Analysis Seminar. 1985-1986. - P. 107-133.
37. Casazza P.G. On symmetric basic sequences in Lorentz sequence spaces II / P.G. Casazza, B.L. Lin // Israel J.Math. 1974. - V.17. -P. 191-218.
38. Cembranos P. The weak Banach-Saks property on E) / P.Cembranos // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1994. - V.115. - P. 283-290.
39. Cerda J. Geometric properties of symmetric spaces with applications to Orlicz-Lorentz spaces / J. Cerda and others] // Positivity. 1999.- V. 2. P. 311-337.
40. Diestel J. Geometry of Banach spaces / J. Diestel. Springer, 1975. -284 p.
41. Dodds P.G. The Banach-Saks property in rearrangement invariant spaces / P.G. Dodds, E.M. Semenov, F.A. Sukochev // Studia Math.- 2004. V. 162, №3. - P. 263-294.
42. Dodds P.G. Weak compactness in rearrangement invariant operator spaces / P.G. Dodds, G. Schluchtermann, F.A. Sukochev // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 2001. - V.131. - P.363-384.
43. Dunford N. Linear operators: in 2 vol. / N.Dunford, J. Schwartz. -New York: interscience, 1958. V. 1.
44. Flores J. Domination by positive Banach-Saks operators / J. Flores, C. Ruiz // Studia Math. 2006. - V. 173. - P. 185-192.
45. Gonzalez M. The fine spectrum of the Cesa'ro operator in lp (1 < p < оо) / M. Gonzalez // Archiv der Mathematik. 1985. - V.44. - P. 355-358.
46. Kadec M.I. Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spaces Lp / M.I. Kadec, A. Pelczynski // Studia Math. 1962.- V.21. P. 161-176.
47. Kakutani S. Weak convergence in uniformly convex spaces / S. Kakutani // Tohoku Math. J. 1938. - V. 45. - P. 188-193.
48. Knaust H. Orlicz sequence spaces of Banach-Saks type / H. Knaust // Archiv der Mathematik. 1992. - V. 59. - P. 562-565.
49. Kryczka A. Seminorm Related to Banach-Saks Property and Real Interpolation of Operators / A. Kryczka // Integral Equations and Operator Theory. 2008. - V.61, №4. - P.559-572.
50. Lindberg K.J. On subspaces of Orlicz sequence spaces / K.J. Lindberg // Studia Math. 1973. - V.45. - P. 119-146.
51. Lindennstrauss J. Classical Banach Spaces I: Sequence Spaces / J. Lindennstrauss, L. Tzafriri. Springer-Verlag, 1977. - 190 p.
52. Lindennstrauss J. Classical Banach Spaces II: Function Spaces / J. Lindennstrauss, L. Tzafriri. Springer-Verlag, 1979.- 243 p.
53. Lindennstrauss J. On Orlicz sequence spaces / J. Lindennstrauss, L. Tzafriri. // Israel J. Math. 1971. - V.10. - P. 379-390.
54. Lorentz G.G. Some new functional spaces / G.G. Lorentz // Ann. of Math. 1950. - V. 51. - P. 37-55.
55. Luxemburg W.A.J. Banach function spaces / W.A.J. Luxemburg. -PhD Thesis, Delft. 1955.
56. Nielsen N.J. On the Orlicz function spaces Lm{0,oo) / N.J. Nielsen 11 Israel J. Math. 1975. - V. 20. - P.237-259.
57. Orlicz W. Uber eine gewisse Klasse von Raumen vom Typus В / W. Orlicz // Bull. Intern. Acad. Pol. 1932. - V.8. - P. 207-220.
58. Pantington J.R. On the Banach-Saks property / J.R. Pantington // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1977. - V.82. - P. 369-409.
59. Pisier G. De nouvelles caracterisations des ensembles de Sidon / G. Pisier // Mathematical analysis and applications, Part B: Adv. in Math. Suppl. Stud. 1981. - № 7B. - P. 686-725.
60. Rademacher H. Einige Satze uber Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen / H. Rademacher // Math. Ann. 1922. - V. 87. - P. 111-138.
61. Raynaud Y. Complemented hilbertian subspaces in rearragement invariant function spaces / Y. Raynaud // Illinois J. of Math. 1995.- V. 39, № 2. P. 212-250.
62. Rodin V.A. Rademacher series in symmetric spaces / V.A. Rodin, E.M. Semenov // Anal. Mathematika. 1975. - V. 1. - P. 207-222.
63. Rosenthal H.P. Weakly independent sequences and the Banach-Saks property / H.P. Rosenthal // Bull. London Math. Soc. 1976. - V. 8.- P. 22-24.
64. Shangua A. Two premutational versions of the Banach-Saks property / A. Shangua, V. Tarieladze // Bull. Georg. Acad. Sci. 2006. -V. 173, № 3. - P. 229-232.
65. Sparr G. Interpolation of weighted Lp—spaces / G. Sparr // Studia Math. 1987. - V. 62. - P. 229-271.
66. Stempak K. Cesaro averaging operators / K. Stempak // Proc. Royal Soc. Edinburg. Sect. A. 1994. - V. 124. - P. 121-126.
67. Stevic S. Cesaro averaging operators / S. Stevic // Math. Nachr. -2003. V. 248-249. - P. 1-5.
68. Szarek S.J. On the best constant in the Khintchine ineguality / S.J. Szarek // Studia Math. 1976. - V. 58. - P. 197-208.
69. Szlenk W. Sur les suites faiblement convergentes dans l'espace L / W. Szlenk // Studia Math. 1965. - V. 25. - P. 337-341.
70. Weis L.W. Banach space with the subsequence splitting property / L.W. Weis // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. - V. 105. - P. 87-96.к &
