О топологических и категорных свойствах функторов единичного шара борелевских мер тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

на правах рукописи УДК 515.12

Садовничий Юрий Викторович

О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ И КАТЕГОРНЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКТОРОВ ЕДИНИЧНОГО ШАРА БОРЕЛЕВСКИХ МЕР

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 2003

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского Государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный консультант: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор В. В. Федорчук доктор физико-математических наук, профессор В. И. Богачев доктор физико-математических наук, профессор А. В. Иванов доктор физико-математических наук, профессор Л. Б. Шапиро Томский Государственный университет

Защита диссертации состоится йИ НоЛ&^-Я 2003 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией сожно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан Ох-тлдр ^2003 г.

Ученый секретать диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

¡¿з4сГ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Знаменитая теорема Рисса об интегральном представлении линейных функционалов позволила перевести многие вопросы теории меры на язык функционального анализа и топологии. Эта теорема последовательно была доказана самим Ф. Риссом (1909 г) для отрезка, И. Радоном (1913 г) для компактов из R", С. Банахом (1937 г) и С. Саксом (1938 г) для метризуемых компактов и С. Какутани (1941 г) для произвольных компактов. Теорема Рисса была перенесена и на некомпактные пространства. Для нормальных пространств это сделал А.Д. Александров1, для тихоновских — B.C. Варадарайн1.

Эта теорема и теоремы А.Н. Тихонова о произведениях топологических пространств позволили начать интенсивные исследования слабой сходимости мер или *-слабой топологии на множествах мер, которую мы будем называть просто слабой топологией.

Широкий прорыв в исследованиях по топологической теории меры произошел в 50-е годы XX столетия. В 1957 году JI. Jle Кам2 ввел понятие r-аддитивной меры (под названием r-гладкой) и слабо радоновой меры. Годом ранее Ю.В. Прохоров3 получил ряд глубоких результатов, из которых отметим два, придав им современные формулировки:

1) Пусть А С Мд(Х) — плотное семейство радоновых мер на тихоновском пространстве X. Тогда оно относительно компактно в Mr(X). Если X гомеоморфно полному метрическому пространству, то верно и обратное: из относительной компактности семейства А С Mr(X) вытекает его плотность (знаменитая теорема Прохорова). Напомним, что семейство А С М{Х) называется плотным, если для каждого е > 0 существует такое компактное множество Кс С X, что ц{Х \ Кс) < е для всех (jl G А.

2) Функторы Pr и Рт (радоновых и т-аддитивных вероятностных мер соответственно) переводят полные метризуемые пространства в полные метризуемые (метрика Прохорова индуцирует слабую топологию и сохраняет полноту метрических пространств).

*Варадарайн B.C. Меры на топологических пространствах // Матем. сб. 1961, Т.55, Jfs 1, с.35-100.

2Ле-Кам JI. Сходимость по распределению случайных процессов // Математика. I960, Т.4, № 3, с.107-142. (перевод статьи: Convergence in distribution of stochastic processes // Univ. Calif. Pubis Statist. 1957, V.2, № 11, P.207-236.

3Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятн. и ее примен. 1956, Т.138, № 1, с.177-238.

РОС НАЦИОНАЛЬНА« БИБЛИОТЕКА Cdrrepiypr . /

о» »W&y.

Я. Маржик4 доказал, что всякая конечная бэровская мера на нормальном счетно паракомпактном пространстве однозначно продолжается до регулярной борелевской меры. Эта теорема позволила перенести хорошо разработанный аппарат исследования бэровских мер на борелев-ские меры.

В 1961 году появилась обстоятельная статья B.C. Варадарайна1. В ней, в частности, теорема Прохорова о сохранении полных метризуе-мых пространств функторами вероятностных мер была обобщена следующим образом: положительный конус М+ т-аддитивных бэровских мер сохраняет класс полных метризуемых пространств.

Большую роль сыграла теорема С. Дитора и JI. Эйфлера6 о сохранении открытых отображений компактов различными функторами неотрицательных, в частности вероятностных, мер. Эта теорема была использована Р. Хэйдоном6 для доказательства адекватности класса пространств Дугунджи и класса нуль мягких отображений, совпадения классов пространств Дугунджи и Л£7(0)-компактов и того, что всякое пространство Дугунджи является пространством Милютина. С. Дитор и Р. Хэйдон7 доказали, что компакт Р{Х) является абсолютным ретрак-том тогда и только тогда, когда X является пространством Дугунджи веса sj wj.

В дальнейшем значительная часть исследований по топологической теории меры все более принимала категорно-функториальную форму. Этому во многом способствовало введение Е.В. Щепиным8,9 класса нормальных функторов в категории компактов. Систематическое описание полученных в 70-е и 80-е годы результатов в этом направлении сделал В.В. Федорчук10'11. Эти обзоры дополняются статьей В.И. Богачева12.

4Marik J. The Baire and Borel measure // Czechoslovak Math. Jörn. 1957, 7(82), № 2, P.248-253.

5Ditor S., Eifler L. Some open mapping theorems for measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1972, V.164, P.287-293.

6Haydon R. On problem of Pelczynski: Milutin spaces, Dugundji spaces and AE(dim 0) // Studia Math. 1974, V.52, Jf> 1, P.23-31.

7Ditor S., Haydon E. On absolute retracts, P(S) and complemented subspaces of C(D°") // Studia Math. 1976, V.56, №3, P.243-251.

8Щепин E.B. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров // УМН. 1976, Т.31, вып.5, с. 191-226

9Щепин Е.В. Функторы и несчетные степени компактов // УМН. 1981, Т.36, вып.З, с.3-62.

'"Федорчук В.В. Вероятностные меры в топологии //УМН. 1991, Т.46, вып.1(277), с.41-80.

пФедорчук В.В. Функторы вероятностных мер в топологических категориях // Итоги науки и техн. Сер. Алг. Топол. Геом. 1996, Т.36.

12Богачев В.И. Меры-на топологических пространствах // Итоги науки и техн.

• г »Г <■

Детальное исследование функторов Pr и Рт вероятностных радоновых и т-аддитивных мер в категории Tych тихоновских пространств было проведено Т.О. Банахом13,14. Этому предшествовали работы автора18'18'17, в которых аналогичные результаты получены для функтора Рр вероятностных мер с компактными носителями. В.В. Федорчук18'19 в основном завершил программу Т.О. Банаха исследования функторов Рт и Pr, связанную с их поднятиями на категории метрических и равномерных пространств.

В настоящей диссертации основными являются более общие объекты: единичный шар UT(X) и Ur(X) неотрицательных т-аддитивных и радоновых мер соответственно на тихоновском пространстве X и функторы UT и UR. Исследуются категорные и топологические свойства функторов UT и Ur. Эти функторы поднимаются на категории равномерных и метрических пространств. Исследуются вопросы сохранения топологической и равномерной полноты функтором UT, а также вопросы о мягкости отображений единичного шара борелевских мер. Показано также, что выход за пределы неотрицательных мер в область знакопеременных мер существенно ухудшает свойства функторов UT и Ur.

Цель работы — исследовать функторы UT и Ur. Поднять их на категории равномерных и метрических пространств.

Основные методы исследования. В работе используются методы и результаты теории меры, теории функторов и категорий, элементы теории равномерных пространств, теории экстензоров, методы обратных спектров, а также оригинальные методы и подходы.

ВИНИТИ. Современная математика и ее приложения. 1996, Т.36.

13Банах Т.О. Топология пространств вероятностных мер I // Матем. студ. Пращ Львшского матем. т-ва. 1995, № 5, с.65-87.

14Банах Т.О. Топология пространств вероятностных мер II: Барицентры вероятностных радоновских мер и метризация функторов Рт и Pr // Матем. студ. Пращ Львхвского матем. т-ва. 1995, № 5, с.88-106.

"Садовничий Ю.В. О метрике на пространствах вероятностных мер // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994, № 4, с.31-35.

1вСадовничий Ю.В. О пополнении метрических пространств вероятностных мер //Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994, X» 5, с.28-33.

17Садовничий Ю.В. О равномерности на пространствах вероятностных мер // Общая топология. Отображения, произведения и размерность пространств. М., 1994, с.119-131.

18Федорчук В.В. Тройки бесконечных итераций метризуемых функторов // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1990, Т.54, № 2, с.394-418.

l9Fedorchuk V.V. On a preservation of completeness of uniform spaces by the functor PT // Topol. and Appl. 1999, V.91, P.25-45.

Научная новизна. Все приведенные в диссертации результаты являются новыми. Основные результаты состоят в следующем:

1) Исследованы категорные свойства функторов UT и Ur.

2) Функтор UT (и, значит Ur) поднят на категории равномерных и метрических пространств.

3) Получены достаточно исчерпывающие результаты о сохранении функтором UT равномерной и топологической полноты.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в теории меры и функциональном анализе, общей топологии (теории равномерных пространств, теории экстензоров), теории функторов и категорий.

Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно докладывались на различных научно-исследовательских семинарах Московского государственного университета (в частности, на кафедральном семинаре кафедры общей топологии и геометрии под руководством профессоров В.В. Федорчука, A.B. Архангельского, Б.А. Пасынкова, В.И. Пономарева и В.В. Филиппова, на семинаре по теории меры, размерности и топологической динамике под руководством проф. В.В. Федорчука), конференции "Александровские чтения" (1996, 1998, 2001), на международных конференциях и симпозиумах по общей топологии и ее приложениям в гг. Прага (1996) и Львов (2002).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация объемом 96 страниц состоит из введения, шести глав, разбитых на 14 параграфов, и списка литературы из 46 наименований, включал 9 работ автора. Каждая глава имеет свою нумерацию формул и утверждений.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении изложена краткая история вопроса, показана актуальность рассматриваемых задач, сформулированы основные результаты и приведены терминология и обозначения.

Первая глава. Даются предварительные сведения о функторах единичного шара борелевских мер и пространствах знакопеременных мер.

Вторая глава. Исследуются категорные свойства функторов 1/т и ид. Доказывается, в частности, что функторы IIт и {/я обладают основными свойствами нормальности, кроме свойства сохранения точки, которая под воздействием этих функторов переходит в единичный отрезок [0,1]. Основными результатами второй главы являются:

Теорема 2.1.2. Функтор 11Т сохраняет прообразы, т.е. для любого отображения / : X —> У тихоновских пространств и любого подмножества асу имеемиТ(/)-1{иТ(А)) = И, (/-»(Л)).

Теорема 2.1.3. Функтор 11Т сохраняет класс совершенных отображений.

Теорема 2.1.4. Функтор ит сохраняет класс вложений. Следствие 2.1.5. Функтор 1}Т сохраняет класс замкнутых вложений. Теорема 2.1.7. Функтор 1/Т сохраняет пересечения замкнутых подмножеств, т.е. для любого тихоновского пространства X и его замкнутых подмножеств Ха, а 6 А, верно, что ит((~)аеА Ха) =

Рассмотрим теперь вопрос о непрерывности функтора Г/т. Пусть А— направленное частично упорядоченное множество, {Ха,р%} — обратный спектр, индексированный множеством А и состоящий из тихоновских пространств. Через мы обозначаем предел этого спектра, а через ра : ^тХа —»■ Ха, а 6 А — предельные проекции. Спектр {Ха,р1} порождает обратный спектр {ит(Ха), ит(р1)}, предел которого мы обозначаем через ^т[/т(Л"а), а предельные проекции через рга : ^¿Д-рС,) -> ит(Ха). Отображение ит(ра) : итЩтХа) ит(Ха) порождает отображение Я : иг{^тХа) 1^т(/Т(Ха). Известно, что если все Ха компактны, то отображение Я — гомеоморфизм. Это следует из непрерывности функтора II в категории компактов. Теорема 2.1.8. Отображение Я. : ит{^хаХа) —* ^тит(Ха) является вложением. Если предельные проекции ра : —У Ха — плотны {т.е. всюду плотно в Ха), тогда множество й(С/Т(|тХ0)) всюду плотно в ^тит(Ха).

Теорема 2.1.10. Функтор 11Т сохраняет плотность тихоновских пространств, т.е. й{иг{Х)) ^ ¿{Х) для любого бесконечного тихоновского пространства X.

Теорема 2.1.11. Функтор 1/Т сохраняет вес тихоновских пространств, т.е. ц}(ит{Х)) = и)(Х) для любого бесконечного тихоновского пространства X.

Теорема 2.1.12. Функтор 1]г сохраняет класс метризуемых пространств.

Теорема 2.1.14. Функтор 11Т сохраняет класс р-паракомпактов. Теорема 2.1.16. Функтор 11Т сохраняет полные по Чеху пространства.

Предложение 2.2.4. Функтор (¡я сохраняет прообразы, т.е. Зля любого отображения / : X —¥ У тихоновских пространств и Эля любого А С У выполнено соотношение ?/н(/)-1((/л(А)) = <7д(/_1(Л)). Предложение 2.2.12. Пусть / : X У — отображение сепара-бельных метрических пространств, допускающее борелевскую селекцию. Тогда отображение £/д(/) : ил(Х) —> ^я(У) сюръективно. Теорема 2.2.14. Пусть / : X —¥ У — открытое отображение сепа-рабелъных метрических пространств, допускающее локальную борелевскую селекцию. Тогда отображение £/д(/) : и^Х) —ь и^У) открыто.

Третья глава. Исследуются метрические и равномерные свойства функторов иг и {/д. Доказывается, что эти функторы поднимаются на категории ВМеЬг ограниченных метрических пространств, ВМе1ги ограниченных метрических пространств и равномерно непрерывных отображений, Ит/ равномерных пространств. Из других результатов этой главы отметим, что функтор 11Т сохраняет полноту метрических пространств.

В основе приведенных выше результатов о поднятии функторов лежит одна старая (1942 г.) конструкция Л.В. Канторовича20, примененная им для решения задачи оптимизации перемещения масс. Эта конструкция была применена В.В. Федорчуком18 для построения тройки бесконечных итераций функтора вероятностных мер. Конструкция Канторовича сопоставляет метрике р на компакте К норму Ц-Ц,, на векторном пространстве М'(К) всех знакопеременных регулярных мер на К, которая порождает слабую топологию на ограниченных (относительно нормы полной вариации) подмножествах М'(К). Эта конструкция обобщается и на произвольные ограниченные метрические и псевдометрические пространства, что и было сделало в данной главе, но только для неотрицательных мер.

Пусть ц,1/ е РТ(Х). Положим Л(р,г/) = {А е РТ(Х х X) : ргх(А) = рг2(Л) = I/}, где рг,- : РТ(Х х X) —¥ РТ(Х) — отображение, порожденное проектированием на г-ый сомножитель. Множество и) не пусто. В самом деле, ц® и € РТ{Х х X) и, очевидно, что р® V € Л(/х,и).

20Канторович Л.В. О перемещении масс // ДАН СССР. 1942, Т.37, вып.Т-8, с.227-229.

Пусть р — ограниченная непрерывная псевдометрика на X. Определим функцию Рт(р) • Рт(Х) х Рт(}() —)• R+ следующим образом:

PT(p)(p,v) = inf | fxxx P ^ : ^ ^ Л (/J, f) j. Поскольку определение множества A(fi,t/) не зависит от псевдометрики р, из определения непосредственно вытекает, что для пропорциональной псевдометрики tp, где t > 0, имеем Pr{tp) — tPAfi)-

Лемма 3.1.2. Существует такал мера A 6 Л(ц,и), что РТ(р)(р,,и) = А (р).

Предложение 3.1.3. Если р — ограниченная непрерывная (псевдо) метрика на X, то РТ(р) — ограниченная (псевдо) метрика на РТ(Х), причем diam Pr(p) = diam р.

Пусть снова р — ограниченная непрерывная псевдометрика на X и d, = diamр. Для мер ju,i/ 6 UT(X) положим

VMM = min{ii/iii, му ■ й)+1м - Ml;

Из этого определения вытекает, что для пропорциональной псевдометрики tp имеем UT(tp) = tUT(p).

Предложение 3.1.5. Для любой ограниченной непрерывной (псевдо) метрики р на X функция UT(p) является (псевдо) метрикой на UT(X), причем diam(/T(/>) = diamр и UT(p)\X = р.

Предложение 3.1.7. Для любой ограниченной непрерывной псевдометрики р на X псевдометрика РТ(р) непрерывна на РТ(Х). Предложение 3.1.9. Для любой ограниченной непрерывной псевдометрики р на X псевдометрика UT{p) непрерывна на UT{X). Предложение 3.1.10. Если р — совместимая ограниченном метрика на X, то UT(p) — совместимая метрика на UT(X). Теорема 3.1.13. Функторы UT и Ur поднимаются на категорию BMetr.

Теорема 3.1.14. Функтор UT сохраняет полноту метрических пространств.

Следствие 3.1.18. Функторы UT и Ur сохраняют равномерно непрерывные отображения ограниченных метрических пространств. Теорема 3.1.19. Функторы UT и Ur поднимаются на категорию BMetru.

Теорема 3.2.2. Пусть (Х,И) — равномерное пространство и Яц — семейство всех ограниченных равномерно непрерывных псевдометрик.

Тогда семейство иг{Ви) = {ит(р) : р € Ни} порождает равномерность на ит(Х).

Предложение 3.2.4. Если (Х,р) — ограниченное метрическое пространство, то равномерности ит{И(р)) и И(ит(р)) на 11Т(Х) совпадают.

Теорема 3.2.5. Если / : (Х,14) (У,У) — равномерно непрерывное отображение, то отображение 1/г(/): (1/Т(Х), ит{И)) —»■ (1/т(У),{/т(Ю) также равномерно непрерывно.

Теорема 3.2.6. Функторы ит и и в. поднимаются на категорию Ыпг/ равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений.

Четвертая глава. Исследуются вопросы о равномерной и топологической полноте функторов 11Т и 1/д. Для вероятностных мер практически исчерпывающие результаты в этом направлении получены В.В. Федорчуком. Их удалось обобщить на функторы ит и ¿/д. Основным результатом этой главы является теорема, утверждающая, что в предположении аксиомы Мартина равномерное пространство 11Т{Х) полно для всякого пространства X равномерного веса < с. Эта теорема имеет много следствий. Вместе с результатами о несохранении функторами 1/т и IIя равномерной и топологической полноты это позволяет сделать вывод о том, что вопросы о равномерной и топологической полноте пространства ит(Ш.Ы1) не могут быть разрешены в рамках аксиоматики ZFC. Основными результатами четвертой главы являются: Теорема 4.2.1 (МА) Если X — полное равномерное пространство равномерного веса к < с, то равномерное пространство ит(Х) также полно.

Следствие 4.2.2 (МА) Равномерное пространство ит{\[{Ма : а 6 к < с}), где Ма — полные метрические пространства, полно. Следствие 4.2.3 (МА) Топологическое пространство иг([[{Ма : а € к < с}), где Ма — полные метрические пространства, полно по Дье-донне.

Следствие 4.2.4 (МА) Равномерное пространство ит(Жк), к < с, полно.

Следствие 4.2.5 (МА) Топологическое пространство ит(Кк), к < с, полно по Дьедонне.

Следствие 4.2.6 (МА(ш1)) Равномерное пространство [/Т(КЫ1) полно. Следствие 4.2.7 (МА(ш1)) Топологическое пространство {^(К1"1) полно по Дьедонне.

Следствие 4.2.8 (МА) Топологическое пространство £/,.(11*), к < с, вещественно полно.

Следствие 4.2.9 (МА(ц)) Топологическое пространство £/т(К'"1) вещественно полно.

Напомним, что ф-весом вещественно полного пространства X называется такое наименьшее кардинальное число к, что существует замкнутое вложение X в К*.

Теорема 4.2.10 (МА) Если X — вещественно полное пространство (¿-веса к < с, то пространство 11Т{Х) вещественно полно. Следствие 4.2.11 (МА^)) Если X замкнуто в К"1, то ит(Х) вещественно полно.

Предложение 4.2.13 Пространство [/Г(КС) не является ни вещественно полным, ни полным по Дьедонне.

Следствие 4.2.14 Равномерное пространство £/т(Ес) не полно. Следствие 4.2.15 (СН) Пространство ¿^(К1"1) не является ни вещественно полным, ни полным по Дьедонне, ни полным как равномерное пространство.

Предложение 4.2.16 Вопросы о равномерной и топологической полноте пространства ит(ЖШх) не могут быть разрешены в рамках аксиоматики Ъ¥С.

Пятая глава. Исследуются вопросы мягкости отображений единичного шара борелевских мер. Основными результатами пятой главы являются Теоремы 5.2.2 и 5.2.3. Первая из них утверждает, что функтор 11Т переводит 0-мягкие отображения пространств веса ^ и>\ на польские пространства в мягкие отображения. Теорема 5.2.3, являющаяся следствием Теоремы 5.2.2, утверждает, что функтор ит переводит АЕ(0)-пространства веса ^ и>1 в Л ¿^-пространства. Эти теоремы доказываются в предположении аксиомы Мартина МА(ы1). Для функтора Рт соответствующие утверждения доказаны В.В. Федорчуком21.

Распространить эти результаты на пространства веса ^ ш2 нельзя (Замечание 5.2.4). Для пространств веса эти утверждения нельзя получить без дополнительных теоретико-множественных предположений. Так из Предложения 5.2.5 вытекает, что вопрос о том, является ли пространство ит(ИШ1) абсолютным экстензором, нельзя разрешить в аксиоматике ггс.

г1Федорчук В.В. Топологическая полнота пространств мер // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1999, Т.63, №4, с.207-223.

Теоремы 5.2.2 и 5.2.3 нельзя перенести на функтор I)я единичного шара радоновых мер. В самом деле, {//¡(И^"1) не является вещественно полным пространством и, следовательно, ¿7д(Ки'1) $ АЕ(0).

Шестая глава. Проводится систематическое изучение пространств знакопеременных мер и их непрерывных отображений. Показано, что функторы ит и (/¡г единичного шара знакопеременных борелевских мер удовлетворяют только трем из семи свойств нормальности, присущих функторам неотрицательных мер. А именно, эти функторы почти непрерывны, сохраняют отображения с плотными образами и пересечения замкнутых подмножеств нормальных пространств. Ключевым утверждением главы является предложение, гласящее, что для бесконечного дискретного пространства X пространства 1/т(Х) и 11ц{Х) не удовлетворяют первой аксиоме счетности и даже не являются пространствами Фреше-Урысона. Отсюда вытекает, что функторы 1!т и 1]ц не сохраняют топологические вложения, вес топологических пространств и их метризуемость. Кроме того, эти функторы не сохраняют совершенные отображения (даже пространств со счетной базой).

Из других результатов шестой главы можно отметить что уже на единичном шаре знакопеременных мер с компактными носителями норма Канторовича порождает слабую топологию только, если X— компакт.

Автор выражает свою глубокую признательность профессору В.В. Федорчуку за постоянное внимание, ценные советы и помощь, а также всему коллективу кафедры общей топологии и геометрии Московского университета за создание той творческой обстановки, без которой данная работа не могла быть написана.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Садовничий Ю.В. О метрике на пространствах вероятностных мер // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994, №4, с.31-35.

[2] Садовничий Ю.В. О пополнении метрических пространств вероятностных мер // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994, № 5, с.28-33.

[3] Садовничий Ю.В. О равномерности на пространствах вероятностных мер / / Общая топология. Отображения, произведения и размерность пространств. М., 1994, с.119-131.

[4] Садовничий Ю.В. О норме Канторовича для знакопеременных мер // Доклады РАН. 1999, Т.368, №4, с.459-461.

[5] Садовничий Ю.В. О некоторых категорных свойствах функтора UT // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999, № 3, с.38-42.

[6] Садовничий Ю.В. Поднятие функторов UT и Ur на категорию ограниченных метрических пространств и категорию равномерных пространств // Матем. сб. 2000, Т.191, № 11, с.79-104.

[7] Садовничий Ю.В. О свойствах полноты функторов единичного шара борелевских мер // Труды семинара им И.Г. Петровского, 2003, Т.23, с.59-78.

[8] Садовничий Ю.В., Федорчук В.В. О некоторых топологических и категорных свойствах знакопеременных мер // Фунд. и прикл. матем-ка. 1999, Т.5, вып.2, с.597-618.

[9] Sadovnichy Yu.V. On some categorical properties of the functor Ur // Topol. and Appl. 2000, V.107, P.131-145.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова,

Подписано в печать /О, Ш ЯИРОЗ-,. Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 75 Тираж /СОъкз. Заказ

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.

« 16 ЗА О

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Борелевские меры и их отбражения.

1.2 Равномерные пространства.

1.3 Знакопеременные меры.

2 О некоторых категорных свойствах функторов 11т и 11и

2.1 Функтор

2.2 Функтор и а

3 Поднятие функторов 11т и ¿/д на категорию ограниченных метрических пространств и категорию равномерных пространств

3.1 Метрические пространства.

3.2 Равномерные пространства.

4 О полноте функторов 11т и IIл

4.1 Аксиома Мартина.

4.2 О полноте функторов (/т и [7д.

5 О мягкости отображений единичного шара борелевских мер

5.1 Абсолютные экстензоры в категории Туск и обратные спектры.

5.2 Мягкие отображения.

6 О некоторых топологических и категорных свойствах знакопеременных мер

6.1 Борелевские меры и отображения.

6.2 Функторы единичного шара.

6.3 О норме Канторовича для знакопеременных мер.

Знаменитая теорема Рисса об интегральном представлении линейных функционалов позволила перевести многие вопросы теории меры на язык функционального анализа и топологии. Эта теорема последовательно была доказана самим Ф. Риссом (1909 г) для отрезка, И. Радоном (1913 г) для компактов из Rn, С. Банахом (1937 г) и С. Саксом (1938 г) для метризуемых компактов и С. Какутани (1941 г) для произвольных компактов. Теорема Рисса была перенесена и на некомпактные пространства. Для нормальных пространств это сделал А.Д. Александров [7], для тихоновских — B.C. Варадарайн [7].

Эта теорема и теоремы А.Н. Тихонова о произведениях топологических пространств позволили начать интенсивные исследования слабой сходимости мер или *-с,лабой топологии на множествах мер, которую мы будем называть просто слабой топологией.

Широкий прорыв в исследованиях по топологической теории меры произошел в 50-е годы XX столетия. В 1957 году J1. Ле Кам [13] ввел понятие т-аддитивной меры (под названием т-гладкой) и слабо радоновой меры. Годом ранее Ю.В. Прохоров [14] получил ряд глубоких результатов, из которых отметим два, придав им современные формулировки:

1) Пусть А С Мл(Х) — плотное семейство радоновых мер на тихоновском пространстве X. Тогда оно относительно компактно в Мц(Х). Если X гомеоморфно полному метрическому пространству, то верно и обратное: из относительной компактности семейства А С Mr(X) вытекает его плотность (знаменитая теорема Прохорова). Напомним, что семейство А С М(Х) называется плотным, если для каждого е > 0 существует такое компактное множество К£ С X, что ¡л(Х \ Ке) < е для всех /i (Е А.

2) Функторы Pji и Рт (радоновых и т-аддитивных вероятностных мер соответственно) переводят полные метризуемые пространства в полные метризуемые (метрика Прохорова индуцирует слабую топологию и сохраняет полноту метрических пространств).

Я. Маржик [41] доказал, что всякая конечная бэровская мера на нормальном счетно паракомпактном пространстве однозначно продолжается до регулярной борелевской меры. Эта теорема позволила перенести хорошо разработанный аппарат исследования бэровских мер на борелев-ские меры.

В 1961 году появилась обстоятельная статья В.С. Варадарайна [7]. В ней, в частности, теорема Прохорова о сохранении полных метризуе-мых пространств функторами вероятностных мер была обобщена следующим образом: положительный конус М+ т-аддитивных бэровских мер сохраняет класс полных метризуемых пространств.

Большую роль сыграла теорема С. Дитора и Л. Эйфлера [33] о сохранении открытых отображений компактов различными функторами неотрицательных, в частности вероятностных, мер. Эта теорема была использована Р. Хэйдоном [39] для доказательства адекватности класса пространств Дугунджи и класса нуль мягких отображений, совпадения классов пространств Дугунджи и Л£'(0)-компактов и того, что всякое пространство Дугунджи является пространством Милютина. С. Дитор и Р. Хэйдон [34] доказали, что компакт Р(Х) является абсолютным ре-трактом тогда и только тогда, когда X является пространством Дугунджи веса ^ и)\.

В дальнейшем значительная часть исследований по топологической теории меры все более принимала категорно-функториальную форму. Этому во многом способствовало введение Е.В. Щепиным [29], [30] класса нормальных функторов в категории компактов. Систематическое описание полученных в 70-е и 80-е годы результатов в этом направлении содержится в обзорах [24] и [25]. Эти обзоры хорошо дополняются статьями [38] и [6].

Детальное исследование функторов Рц и Рт вероятностных радоновых и т-аддитивных мер в категории Туск тихоновских пространств было проведено Т.О. Банахом [3], [4]. Этому предшествовали работы автора [15], [16], [17], в которых аналогичные результаты получены для функтора Рр вероятностных мер с компактными носителями. В.В. Фе-дорчук [23], [37] в основном завершил программу Т.О. Банаха исследования функторов Рт и Рд, связанную с их поднятиями на категории метрических и равномерных пространств.

В настоящей работе основными являются более общие объекты: единичный шар [¡Т(Х) и неотрицательных т-аддитивных и радоновых мер соответственно на тихоновском пространстве X и функторы ит и Исследуются категорные и топологические свойства функторов ит и 11 в. Эти функторы поднимаются на категории равномерных и метрических пространств. Исследуются вопросы сохранения топологической и равномерной полноты функтором 1/т. Показано также, что выход за пределы неотрицательных мер в область знакопеременных мер существенно ухудшает свойства функторов 11т и ¿/д.

Диссертация состоит из введения и пяти глав. В первой главе даются предварительные сведения о функторах единичного шара борелевских мер и пространствах знакопеременных мер. Вторая глава посвящена категорным свойствам функторов 11т и Доказывается, в частности, что функторы ит и IIя обладают основными свойствами нормальности, кроме свойства сохранения точки, которая под воздействием этих функторов переходит в единичный отрезок [0, 1]. Основными результатами второй главы являются:

1. Канторович Л.В. О перемещении масс // ДАН СССР. 1942, Т.37, вып.7-8, с.227-229.

2. Канторович JI.В., Рубинштейн Г.Ш. Об одном функциональном пространстве и некоторых экстремальных задачах // ДАН СССР. 1957, Т.115, №6, с.1058-1061.

3. Канторович Л.В., Рубинштейн Г.Ш. Об одном пространстве вполне аддитивных функций // Вестник ЛГУ 1958, № 7, вып. 2, с.52-59.

4. Ле-Кам Л. Сходимость по распределению случайных процессов // Математика. 1960, Т.4, №3, с.107-142. (перевод статьи: Convergence in distribution of stochastic processes // Univ. Calif. Pubis Statist. 1957, V.2, №11, P.207-236.

5. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятн. и ее примен. 1956, Т. 138, № 1, с. 177-238.

6. Садовничий Ю.В. О метрике на пространствах вероятностных мер // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994, JV^ 4, с.31-35.

7. Садовничий Ю.В. О пополнении метрических пространств вероятностных мер // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994, №5, с.28-33.

8. Садовничий Ю.В. О равномерности на пространствах вероятностных мер // Общая топология. Отображения, произведения и размерность пространств. М., 1994, с. 119-131.

9. Садовничий Ю.В. О норме Канторовича для знакопеременных мер // Доклады РАН. 1999, Т.368, №4, с.459-461.

10. Садовничий Ю.В. О некоторых категорных свойствах функтора UT // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999, №3, с.38-42.

11. Садовничий Ю.В. Поднятие функторов UT и Ur на категорию ограниченных метрических пространств и категорию равномерных пространств // Матем. сб. 2000, Т.191, № 11, с.79-104.

12. Садовничий Ю.В. О свойствах полноты функторов единичного шара борелевских мер // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 200.3, Т.23, с.59-78.

13. Садовничий Ю.В., Федорчук В.В. О некоторых топологических и категорных свойствах знакопеременных мер // Фунд. и прикл. матем-ка. 1999, Т.5, вып.2, с.597-618.

14. Федорчук В.В. Тройки бесконечных итераций метризуемых функторов // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1990, Т.54, №2, с.394-418.

15. Федорчук В.В. Вероятностные меры в топологии // УМН. 1991, Т.46, вып. 1(277), с.41-80.

16. Федорчук В.В. Функторы вероятностных мер в топологических категориях // Итоги науки и техн. Сер. Алг. Топол. Геом. 1996, Т.36.

17. Федорчук В.В. Топологическая полнота пространств мер // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1999, Т.63, №4, с.207-223.

18. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции // М.: Изд-во МГУ, 1988.

19. Федорчук В.В., Чигогидзе А.Ч. Абсолютные ретракты и бесконечномерные многообразия // М.: Наука, 1992.

20. Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров // УМН. 1976, Т.31, вып.5, с. 191-226.

21. Щепин Е.В. Функторы и несчетные степени компактов // УМН. 1981, Т.36, вып.З, с.3-62.

22. Cziszar I. Some problems concerning measures on topological spaces and convolution of measures on topological groups // Les Probabilités sur les Structures Algebraiques, Clermont-Ferrand, 1969, P.75-98. Colloques Internationaux du CNRS, Paris, 1970.

23. Dieudonné J. Sur les espaces uniformes complets // Ann. Sci. Ecole Normale Sup. 1939, V.56, P.277-291.

24. Ditor S., Eifler L. Some open mapping theorems for measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1972, V.164, P.287-293.

25. Ditor S., Haydon R. On absolute retracts, P(S) and complemented subspaces oîC(D^) // Studia Math. 1976, V.56, №3, P.243-251.

26. Engelking R. General Topology. Berlin, 1989.

27. Federer G. Geometric Measure Theory // Springer, Berlin, 1969.

28. Fedorchuk V. V. On a preservation of completeness of uniform spaces by the functor PT U Topol. and Appl. 1999, V.91, P.25-45.

29. Gardner R.G., Pfeffer W.F. Borel measures // Handbook of set-theoretic topology. Elsevier Science Publishers B.V. 1984, P.961-1043.

30. Haydon R. On problem of Pelczynski: Milutin spaces, Dugundji spaces and A£(dimO) // Studia Math. 1974, V.52, № 1, P.23-31.

31. Hewitt E. Rings of real-valued continuous functions I // Trans. Amer. Math. Soc. 1948, V.64, P.45-99.

32. Marik J. The Baire and Borel measure // Czechoslovak Math. Jörn. 1957, 7(82), №2, P.248-253.

33. Nagata J. On topological completeness // J. Math. Soc. Japan 1950, V.2, P.44-47.

34. Sadovnichy Yu.V. On some categorical properties of the functor Ur // Topol. and Appl. 2000, V.107, P.131-145.

35. Shirota T. A class of topological spaces // Osaka Math. J. 1952, V.4, P.23-40.

36. Solovay R., Tannenbaum S. Iterated Cohen extensions and Suslin's problem // Ann. of Math. 1971, V.94, P.201-245.

37. Tychonoff A.N. U ber die topologisc.he Erweiterung von Räumen // Math. Annalen. 1930, V. 102, P. 544-561.