Категорные методы исследования полукубических множеств и пространств как моделей параллельных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ОШЕВСКАЯ ЕЛЕНА СЕРГЕЕВНА

Категорные методы исследования полукубических множеств и пространств как моделей параллельных процессов

01.01.04 — Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2013

18 ДПР 2013

005057519

Работа выполнена в лаборатории динамических систем Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН Тайманов Искандер Асанович

Официальные оппоненты:

Скурихин Евгений Евгеньевич, доктор физико-математических наук, доцент, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук, сектор топологии и алгебры, заведующий сектором

Копылов Ярослав Анатольевич, кандидат физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, лаборатория прикладного анализа, старший научный сотрудник

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова"

Защита состоится 18 апреля 2013 года в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Контюга 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного учреждения науки Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан 18 марта 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Егоров Александр Анатольевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Последние десятилетия наблюдается интенсивное проникновение идей и методов теории категорий в различные области современной математики: алгебраическую топологию, алгебраическую геометрию, современную алгебру, математическую логику и др., а также в смежные науки — физику, химию, биологию и информатику. С другой стороны, своим происхождением и побудительными причинами для своего развития теория категорий обязана алгебраической топологии. С конца прошлого столетия методы теории категорий и алгебраической топологии стали активно применяться в теории параллельных процессов. Используя тот факт, что теория категорий концентрируется на свойствах отображений между объектами с определенной структурой, Винскелю, Нильсену, Сассоне, фон Глаббику и др. (1996-2006 гг.) удалось классифицировать разнообразные модели теории параллелизма, устанавливая наличие рефлексии/корефлексии между их категориями, а также унифицировать различные эквивалентности параллельных процессов. В середине первого десятилетия текущего столетия появились работы Гранди-са, Фейструп, Губо, Окура, Рауссена, Бубеника, развивающие теорию направленной топологии для изучения параллельных процессов, в которой топологические пространства (¿¿-пространства) обладают покрытием из карт с частичными порядками, согласованными на пересечениях карт [см. L. Fajstrup. Dicovering spaces // Homology, Homotopy, and Applications.

- 2003. - V. 5(2). - P. 1-17.; M. Grandis. Directed algebraic topology // New Mathematical Monographs. - Cambridge: Cambridge University Press, 2009]. Многие понятия были успешно перенесены из алгебраической топологии в направленную с учетом заданного порядка. Например, на смену фундаментальным группам и фундаментальному группоиду классического пространства пришли фундаментальный моноид и фундаментальная категория направленного пространства. В статьях Пратта [см., например, V.R. Pratt. Modeling concurrency with geometry / Proc. 18th Annual ACM Symposium PPL, Orlando, Florida, USA, 1991. - ACM Press, 1991.

— P. 311—322.] для описания параллельных процессов была предложена и исследована модель полукубических множеств (аналог полусимплици-альных множеств), которые, как было показано позже, обобщают многие известные модели теории параллелизма и, как оказалось, могут быть реализованы как направленные топологические пространства и в смысле Фейструп и в смысле Грандиса. В работах Губо и Иенсена (1992 г.), Гран-диса (2005 г.), Фаренберга (2004 г.), Хусаинова (2008 г.) был использован гомологический подход для представления (полу)кубических множеств в виде алгебраических комплексов, что позволило исследовать параллель-

ные процессы с точки зрения гомологий (полу)кубических множеств. В своей диссертации [Е. Goubault. The Geometry of Concurrency: PhD thesis. - Paris: Ecole Normale Supérieure, 1995.] Губо предложил модель полукубических пространств (ПП), которые не только являются (направленными) топологическими пространствами, но также обладают дифференциальной структурой, т.е. кроме всего прочего, позволяют определять временную длительность параллельного процесса. Пространства Чу [см., например, V. Gupta. Chu Spaces: A Model of Concurrency: PhD thesis. -Stanford: Stanford University, 1994.] — еще одна геометрическая модель, применяемая для решения задач теории параллелизма. Иногда пространства Чу интерпретируют как топологические пространства с множеством точек, множеством открытых множеств и отношением принадлежности с явно заданным множеством степеней принадлежности точки открытому множеству. Особенность Чу-пространств состоит в том, что они предоставляют различные интерпретации моделям, благодаря своей возможности реализовать все малые категории и значительное количество больших категорий, возникающих в математической практике. Топологии Гротеи-дика, а также различные когомологии пространств Чу изучались Скури-хиным (2008 г.) и Сухоносом (2011 г.).

В диссертационной работе с применением категорных и алгебро-топо-логических методов исследуются соотношения полукубических множеств с полукубическими пространствами и пространствами Чу, а также их категорных и топологических эквивалентностей. Все вышесказанное говорит об актуальности исследований, проводимых в рамках диссертационной работы.

Цель диссертации состоит в развитии и применении категорных и алгебро-топологических методов исследования полукубических множеств и пространст как моделей параллельных процессов. Достижение цели связывается с решением следующих задач:

1. дать категорные (с помощью конструкций открытых морфизмов, путей-морфизмов, коалгебраических морфизмов) и топологический (посредством ¿¿-накрытий) критерии эквивалентностей полукубических множеств;

2. построить функторы, связывающие категории иолукубических множеств и полукубических пространств, дать критерии эквивалентности полукубических пространств в терминах открытых морфизмов и (¿г-накрытий;

3. найти подкатегорию полу кубических множеств с целью установления ее эквивалентности с категорией поступательных пространств

Чу. а также выяснить соотношения эквивалентностей на объектах категорий.

Методы исследований. В рамках данной работы использовались методы и понятия теории категорий, теории (направленной) алгебраической топологии, техника открытых морфизмов Мойердика, коалгебра-ическая техника Ласоты. В качестве моделей параллельных процессов применялись полукубические множества, полукубичсскис пространства, пространства Чу, направленные пространства.

Новизна и научная значимость работы. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейшего развития методов теории категорий и алгебраической топологии в изучении полукубических множеств и пространств (в частности, как моделей параллельных процессов), а также для развития теории направленной топологии.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими математическими доказательствами всех предложений, утверждений и теорем, представленных в тексте диссертации.

Апробация работы. Основные идеи и конкретные результаты диссертации обсуждались на следующих международных симпозиуме, кон-ферегпцти и семинарах: XLI международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, апрель 2003; 4th International Conference UkrProg'04, Kiev, May 2004; 15th International Workshop CS&P'06, Wandlitz (Germany), September 2006; 17th International Symposium FCT'09, Wroclaw (Poland), September 2009; 20th International Workshop CS&P'll, Pultusk (Poland), September 2011; 23rd Nordic Workshop NWPT'll, Vasteras (Sweden), October 2011. Кроме того, доклады по теме диссертации были сделаны на ряде семинаров Университета г. Ольденбурга (Германия), Университета г. Вестероса (Швеция), Киевского национального университета (Украина), Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Института систем информатики СО РАН (г. Новосибирск).

Исследования, проводимые в рамках диссертации, были частью научно-исследовательских проектов, поддержанных в разные годы различными грантами Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 09-01-91334-ННИОа, 03-01-00403-а, 04-01-10547-3, 06-01-00094-а, 0901- 00598-а, 09-01-09318-моб-з, 12-01-00873-а), президентской программой "Ведущие научные школы" (гранты НШ-7256.2010.1, НШ-544.2012.1), фондом DFG (грант 436 RUS 113/1002/01), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы (соглашение 8206).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 ([1-9]) научных

работ, в том числе 2 ([3,9]) — в журналах из перечня ведущих периодических изданий ВАК, 5 ([1,4,5,7,8]) — в трудах международных симпозиумов, конференций и семинаров, 1 ([2]) - в периодическом издании HAU Украины, 1 ([6]) — в издании Университета г. Ольденбурга (Германия). В совместных работах [7-9] проф. А. Весту (Германия) и проф. И.Б. Вир-бицкайте (Россия) принадлежит постановка задачи сопоставления экви-валентиостей полукубических множеств на основе открытых ыорфизмов, путей-морфизмов и коалгебраических морфизмов (грант DFG-РФФИ 436 RUS 113/1002/01 и 09-01-91334- ННИОа).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 57 используемых источников. Общий объем диссертации составляет 106 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых вопросов; формулируются цели диссертационных исследований; указываются методы исследований; излагается научная новизна результатов и их апробация; приводится краткое описание содержания диссертации по главам.

Первая глава посвящена определению базовых понятий, связанных с полукубическими множествами, и ряда категорных и топологической эквивалентностей, а также установлению их соотношений.

В разделе 1.1 даются определения некоторых понятий теории di-топологии. Приведем некоторые из них.

Определение 1. Пусть X — произвольное топологическое пространство. Семейство U пар (U, ^и) частично упорядоченных открытых подмножеств, покрывающих X, называется атласом порядка на X, если для любого х е X существует не пустая открытая окрестность W{x) С X такая, что для любых (Ui, ^uj, (U2, £ U и любых у, z е W(x) П Ui П С/2 выполнено соотношение: у z у z. Открытая окрестность W(x) С X точки х £ X, упомянутая выше, вместе с частичным порядком индуцированным атласом порядка U на X, называется окрестностью порядка точки х. Два атласа порядка на X эквивалентны, если их объединение является атласом порядка. Топологическое пространство X вместе с классом эквивалентности атласов порядка называется di-mono-логическим пространством.

Определение 2. Пусть X и Y — (¿¿-топологические пространства с классами эквивалентности атласов порядка II и V соответственно. Непрерывное отображение f : X —» Y называется di-отображением, если для всех представителей V = {(Vj, ^Vj)}j€J "= V существует представитель U = {(C/¿, ^t/J}ie/ € U такой, что для любого х € X найдутся окрестности

порядка (W(x), ^w(x)) и (W(f(x)), <щ/(х))), в которых верны соотношения: у z f{y) <w(f(x)) /(-г) Для всех у, z е W(x)r\f~1(W(f(x))).

В разделе 1.2 определяются и изучаются понятия полукубического множества, его ¿¿-топологии, кубических путей, их гомотопии, а также pai/i-эквивалентностей, которые строятся на кубических путях.

Полукубическое множество М — это набор попарно различных множеств (Мп)п^ о и граничных отображений сРх, djt : Мп+\ —> Мп (1 < А,// ^ (n + 1)), удовлетворяющих кубическим законам: о d^ = о d" для всех 1 < А < fi ^ (п + 2) и a,j3 е {0,1}. Элементы х 6 Мп будем называть тг-мернылт кубами. Полукубическое множество М называется невырожденным, если все его кубы х имеют различные грани вида r/J (х) и различные грани вида d\(x); самонепересекающимся, если все грани любого его куба различны. Отметим, что невырожденное полукубическое множество после двойного применения барицентрического разбиения является самонепересекающимся.

Полукубическое множество М обладает топологией, база которой состоит из звезд St(x, М) кубов х € М. Следуя работе Фейструп и др. [L. Fajstrup, М. Raussen, Е. Goubault. Algebraic topology and concurrency // Theoretical Computer Science. - 2006. - V. 357(1-3). - P. 241-278.], рассмотрим открытое покрытие {St(x,M) | x 6 Mq} полукубического множества M. Далее определяется частичный порядок на элементах множества St(x,M), индуцированный граничными отображениями

Утверждение 1. Самонепересекающееся полукубическое множество М вместе с классом эквивалентности атласов порядка, порожденным атласом порядка {(St(x,M),^x) | х g М0}, является ¿¿-топологическим пространством.

Определение 5. (Размеченнъш над множеством L действий) полукубическим множеством (с отмеченной точкой) (ПМ) называется тройка М = (M,iq,1)l, где М — полукубическое множество; ¿о € Ma — отмеченная точка; I : М\ —> L — размечающая функция такая, что l{d°x(x)) = l(d\{x)) (А = 1,2) для всех х £ М2.

Кубическим путем в ПМ М называется последовательность Р = ро —> daxk

Pi ... pk-1 > Pk кубов и граничных функций такая, что ро = ¿о и либо = d°"(ps), если а3 = 0, либо ра = если аа = 1, для всех

1 ^ s ^ к. Расширение по длине кубического пути Р до кубического пути

Р' будем обозначать как Р —» Р'. В частности, будем писать Р Р',

если Р' получается из Р приписыванием —Pk+i ■

Гомотопия — это наименьшая эквивалентность на кубических путях в ПМ М такая, что если кубический путь Р' s-смежен кубическому пути

в

Р (обозначается Р - Р'), т.е. Р' может быть получен из Р заменой

(для А < ¡1 и а = 0,1)

« < С <£-1 / < й

либо отрезка —> ря —> отрезком —> р3 —> , или наоборот;

«г A й , d™

либо отрезка —»• р3 —> отрезком —> р3 —> , или наоборот,

s a

то Р' эквивалентен Р. Также, будем писать Р К—и Р', если Р- Р' и

Р не может быть получен из Р посредством замены отрезка —>■ рд —К ПМ М' и М" называются path-эквивалентными, если существует бинарное отношение на кубических путях в М' и М" такое, что:

d"1

(0) («о, ¿q ) € и для каждой пары (P,Q) <Е S% {Р = ро —Pi •••

dx" d01 <¡¡1*

Pk-1 —^ Pk в M' и Q = q0 qi ... qk-1 qk в M") верно: q, = ps, \„ = fig, l'(ps) = l"(qs) (1 ^ s ^ k), а также выполнено:

(1) если P P' в M', то Q Q' в M" и (P1, Q') e S%\ и симметрично;

(2) если P к-% P' в M', то Q к-% Q' в М" и (P',Q') 6 и симметрично.

М' и М" сильно path-эквивалентны тогда и только тогда, когда они path-эквивалентны и также удовлетворяет следующим условиям:

(3) если Р' Р в М', то Q' % Q в М" и (Р', Q') € и симметрично;

(4) если Р' к-^-н Р в М', то Q' к-% Q в М" и (Р', Q') G и симметрично.

В разделе 1.3 определяется категория pSet полукубических множеств и ее полная подкатегория Р, а также изучаются свойства последней.

Пусть М и М' — ПМ. Отображение f = (/, а) (где / = {/„ : Мп —> М'п}П£n ист : L L') называется морфизмом из М в М', если выполнены условия: (1) /о(г'о) = i'0\ (2) l'ofn = aol; (3) fnod" = d"ofn+1. ПМ вместе с морфизмами между ними формируют категорию pSet. Обозначим через pSetl подкатегорию категории pSet, чьи объекты — ПМ, размеченные над множеством L действий, а вторые компоненты морфизмов — тождественные отображения. Подобные обозначения будем использовать и для

других категорий, определяемых в этой работе.

Утверждение 3. Первые компоненты морфизмов между ПМ с самонепересекающимися полукубическими множествами являются ¿¿-отображе-ниями.

Путь-объект □ есть ПМ, имеющее форму некоторого максимального по длине кубического пути Р в ПМ, построенном на дискретизации стандартного куба. Пусть Р обозначает полную подкатегорию путей-объектов категории pSet.

В разделе 1.4 формулируется понятие Р^-открытого морфизма категории pSeti, затем дается его критерий в терминах йг-накрьттия одного самонепересекающегося ПМ другим, а также определяется понятие эквивалентности, базирующейся па Р^-открытых морфизмах.

М орфизм f: М —» М' категории pSetf, называется Рl-открытым, если для любого морфизма m : Р Q в Р^, и любых морфизмов р : Р —> М, q : Q —> М' в pSet^ таких, что fop = qom, существует морфизм г : Q —> М в pSetx, такой, что p = rom and q = f о г.

Пусть М и М' — самонепересекающиеся ПМ. Di-накрытием называется ¿¿-отображение / : М —> М'. если верно:

а) для любых кубических путей Р в М и Q' в М' таких, что /(Р) —> Q', существует кубический путь Р'вМ такой, что Р —> Р' и f(P') ~ Q'.

Sl

б) для любых кубического пути Р в М и гомотопии (f(P) — Qo) -

Sm Si Sm

■ ■ ■ -Qm существует гомотопия (P — Pq) - • • • -Pm такая,

что f(Pi) = Qi для всех 1 ^ ¿ ^ то.

Теорема 2. Пусть M и M' — самоненересекающиеся ПМ. В категории pSeti морфизм f = (/, 1l) : М —» М' Р^-открыт тогда и только тогда, когда отображение / является ¿¿-накрытием.

Два объекта М и М' категории pSetj, называются Р^,-эквивалентными,

f f'

если существует конструкция Р£,-открытых морфизмов М <— М" —> М'.

В разделе 1.5 рассматриваются другие известные категорные эквивалентности — Hom^tL -эквивалентности, построенные на путях-морфиз-мах. Объекты Mi и Мг категории pSeti, называются Нотр^ь-эквивалентными, если существует множество SB пар (pi :□—» Mi,p2 :□—> Мг) такое, что:

• (oi : Ш° —i> Mi,02 : S30 -> М2) 6 ¿3 (ЕВ0 — начальный объект категорий Р/, и pSetfj и для всех (pi, Рг) 6 SS и m :□—> □' в Рl верно:

• если существует qi :□' —> Mj такой, что qi о m = pi, то существует Цз :□' —»• М2 такой, что q2 о m = р2 и (qi, q2) G 36\ п симметрично.

Mi и M2 являются сильно Hom^tL-эквивалентными, если они

Н-эквивалентны и для всех (qi :□' —> Mi,q2 :□' —М2) 6 38

и m в Рь верно, что (qi о m, q2 о щ) е Зё.

В разделе 1.6 определяются еще одна категорная эквивалентность — -эквивалентность — и функтор 3Sehf^L : pSeti, предло-

женные С. Ласотой [S. Lasota. Coalgebra morphisms subsume open maps // Theoretical Computer Science. - V.280. - 2002. - P. 123-135]. Здесь категория Wp"1 состоит из -Fp^-коалгсбр (S,tr : S —¥ FpL(S)) и слабых когомоморфизмов. Объекты (Si, tr\) и ir2) категории FpL-эк-

вивалентны, если существует конструкция из когомоморфизмов следующего вида: (Si,tri) (S,tr) (S2,tr2)-

В разделе 1.7 устанавливается строгие соотношения, имеющие место между рассмотренными выше эквивалентностями.

Теоремы 3,4. Для объектов М' и М" категории pSetj, следующие условия эквивалентны:

• М' и М" сильно paift-эквивалентны;

• М' и М" Pi-эквивалентны;

• если М' и М" — самонепересекающиеся ПМ, то существуют самонепересекающееся ПМ М и морфизмы f' : М —М' и f" : М —¥ М" категории pSet^, первые компоненты которых являются ¿¿-накрытиями.

Теорема 5. Два объекта в pSet/, являются (сильно) Hom^tL-эквивалентными, если и только если они (сильно) pai/i-эквивалептны.

Следствие 1. Для объектов М' и М" в pSet/, их Hom^tь -эквивалентность совпадает с Fyl -эквивалентностью между

объектами 3Sehf^tb(М')

и 38eh^tb (М") в 'tfstfр"и, содержащей пару (оьо2), где ох : Ш° М' и о2 : Ш° -> М".

Во второй главе строятся сопряженные функторы, связывающие категорию полукубических множеств с категорией полукубических пространств, а также даются категорный и топологический критерии path-эквивалентности полукубических пространств.

В раздел,е 2.1 определяется понятие полукубического пространства, а также рассматривается его ¿¿-топология.

Пусть — стандартный единичный куб в пространстве М" и <5™ : —» П™"1"1 — граничное отображение, определяемое так: ¿"(¿1,..., £п) = (<!,..(1 + {0,1}).

Определение 12. Полукубическое пространство — это компактно порожденное Хаусдорфово пространство X вместе с его представлением

о

кубами, т.е. X = У ж(Пп), где Хп состоит из непрерывных отоб-х£Х„, п>0

о

ражеиий х : —> X, индуцирующих гомоморфизмы внутренности куба на его образы и таких, что х о<5^ £ Хп_х для всех а = 0,1,1<Л^п и п > 0, а также с семейством норм || • ||„ на каждом касательном про-

о о

странстве ТиХ = Тих(Пп) (и £ х(П ")) таким, что Р(и,й)= || й ||и — непрерывное отображение из касательного расслоения ТХ = У ТиХ в

иех

полупрямую М+.

Полукубическое пространство X называется О-топологическим, если его топология определяется следующим образом: и открыто в X <—> х~1(и) открыто в для всех х € Хп и п ^ 0.

Далее определяется понятие £-звезды БЬе(и,Х) точки и е X. Носителем точки и £ X называется единственный куб хи в Хп такой, что

о

и е х„(П"). Совокупность (и, X) | хи € Х0} является покрытием пространства X. Более того, эта совокупность — открытое покрытие, если X — О-топологическое пространство. Также вводится частичный порядок на множестве St2{u,X), индуцированный граничными отображениями (5™ и естественным порядком на кубах

Утверждение 5. Самонепересекающееся П-топологическое пространство X вместе с классом эквивалентности атласов порядка, порожденным атласом порядка {(££?_ (и, X), | хи € Хо}, является сй-топологическим пространством.

Определение 13. (Размеченным над множеством Ь действий) полукубическим пространством (с отмеченной точкой) (ПП) называется набор X = {X,%о,1)ь1 где X — полукубическое пространство; го — отмеченная точка пространства X, представимая в виде ¿о = ж(0) для некоторого отображения х € Хц; I : Х\ —> Ь — размечающая функция такая, что 1{х о = 1(х о для всех А = 1,2 и х е X2-

В разделах 2.2 и 2.3 строятся соответственно категория рСЗрасе^ полукубических пространств и ее полная подкатегория путей-объектов, а также устанавливаются их взаимоотношения соответственно с категорией р!Е^ и подкатегорией Р.

Пусть X и У — ПП. Отображение { = {/,а) (/ : X У — непрерывное отображение, сг : Ьх —> — отображение множеств) называется морфизмом из X в У, если верно: (1) /(г*) = (2) для любого отображения х € Хп (п ^ 0) найдется отображение у £ Уп такое, что / о х = у и = <г('Х0»0); (3) |К/(и)||/(„) < ||«||и для всех « 6 Т„Х и и £ X. ПП и морфизмы между ними образуют категорию рбрасе^.

Утверждение 6. Отображения / : X -> У в морфизмах ? — (/, а) : X ^ У между самонепересекающимися □-топологическими ПП являются сИ-отображениями.

Отметим, что предложенные Губо сопряженные функторы геометрической реализации & : p§et -> рбрасе и забвения : рбрасе ~> pSet между категориями рЕ^ и рбрасе (морфизмы этой категории — отображения, удовлетворяющие только первым двум пунктам в выше приведенном определении) не являются сопряженными в контексте категорий p§et и рбрасе5®. Поэтому определяются отображения

: ^йф^ 4. ^ —»рбрасе^ и & :рёрасе^ ->• ^

между категорией запятой | и категорией морфизмов рбрасе®*

и устанавливается, что и & являются сопряженными функторами, при этом коединица сопряжения — естественный изоморфизм.

Определение кубического пути, а значит, и определения его расширения и гомотопии для ПМ переносятся на ПП, заменяя для куба р выражения <1"(р) выражениями ро Определение <й-накрьгтия для самонепересекающегося ПМ аналогичным образом переносится на самонепересекающиеся □-топологические ПП.

Путем-объектом называется ПП □, имеющее форму некоторого максимального по длине кубического пути Р в ПП, индуцированном стандартным кубом. Пусть — полная подкатегория путей-объектов категории рбрасе^.

В разделе 2-4 устанавливаются следующие факты о сохранении открытых морфизмов (утверждение 12):

1. Морфизм £: X —> У категории рбрасе^ является ф^-открытьш, если и только если — Р^-открытый морфизм категории рВе^ и (1/ — изометрия.

2. Р^-открытость морфизма £: М —»• ^¿(У) категории рЕкЛ^ влечет ф^-открытость морфизма &(М,{,У) категории рбрасе^.

Теорема 7. Пусть X и У — самонепересекающиеся П-топологические ПП. В категории рбрасе^ морфизм £ = (/, 1 ь) : X —^ У ф^-открыт, если и только если отображение / является <й-накрытием, ас?/ — изометрией.

В разделе 2.5 даются категорный и топологический критерии сильной раШ-эквивалентности ПП.

Определение сильной ра<Л-эквивалентности для ПП аналогично соответствующему определению для ПМ с добавлением требования изомет-ричности отображения с1(дя ор~1) на □<11тР» х Ж<1,тр" (1 < в < к) для всех пар (Р = ро .. .рк, Я = Ча ■ ■ ■ Як) С М.

Теоремы 8,9. Для объектов X и У категории рбрасе^ следующие условия эквивалентны:

1. X и У сильно раШ-эквивалентны;

2. X и У -эквивалентны;

3. если X и У — самонеиересекающиеся □-топологические ПП, то существуют самонепересекающееся □-топологическое ПП Z и морфизмы Гх : Z —> X и Гу : Z —> У категории рбрасе^ такие, что первые компоненты являются ¿¿-накрытиями, а дифференциалы первых компонент — изометриями.

Третья глава описывает результаты исследований взаимосвязей категорий полукубических множеств и Чу-пространств.

В разделе ЗА определяется категория вСЬи поступательных Чу-пространств п выделяется ее полная подкатегория яР Чу-путей-объектов.

Определение 17. (Размеченное над множеством Ь действий) поступательное Чу-пространство (ПЧ) — это тройка Е = (Е, о, где

• Е — множество точек;

• о = У о" С х ^/¿п(-Б) — отношение посту-

пателъности такое, что если Р о" С, то Р С (3, па п-элементном множестве С \ Р действует линейный порядок < и, кроме того, Я«- <3 для всех Р С Н С С. Здесь - мно-

жество всех линейных порядков на конечных подмножествах множества Е;

• I : Е —> Ь — размечающая функция из множества точек в множество действий.

Далее накладываются некоторые аксиомы, порождающие ПЧ, моделирующие реальные параллельные процессы (например, требуется, чтобы событие процесса не конфликтовало само с собой).

Чу-путъ в ПЧ Е — это последовательность = (0 о о ■ • ■ о Рп). о-гомотпопия на Чу-путях — это минимальная эквивалентность такая, что если Чу-путь Р получен из Чу-пути С удалением одного подмножества, не являющегося ни началом ни концом С, то Р эквивалентен (7. В дальнейшем будем рассматривать с-односвязпые ПЧ.

Определим понятие морфизма на ПЧ. Пусть Е1 и Е2 — ПЧ. Морфизм (/, а) : Е1 —> Е2 состоит из пары функций / : Е1 —Е2 и а : Ь1 —¥ Ь2 таких, что верно: (1) 12о/ = ао11; (2) ^ (о1)^ <3 => /(Р) (о2)^ /(б), при этом е < б => /(е) -< /(е) для всех е, с 6 С\Р. Пусть в С Ни — категория ПЧ с только что определенными морфизмами.

В силу о-односвязности ПЧ Е, по Чу-пути Р — (0 о о • • - о _РП) можно построить Чу-путпъ-объектп Рп, являющийся под-ПЧ, лежащим в Е, с множеством точек Рп С Е, отношением поступательности и размечающей функцией ПЧ Е, ограниченными на множество Рп точек. Определим эР как полную подкатегорию категории эСЬи, образованную Чу-путь-объектами.

В разделе 3.2 сначала вводятся некоторые аксиомы, выполнение которых па ПМ позволяют моделировать реальные параллельные процессы. В частности, полукубические множества должны быть невырожденными, т.е. без ограничения общности можем считать их самонепересекающимися, а значит, (¿¿-топологическими пространствами.

Полукубическое множество М называется (И-односвязным, если для любого и 6 М найдется кубический путь, заканчивающийся в и, и любые кубические пути, заканчивающиеся в и, гомотопны. Пусть op§et обозначает полную подкатегорию, объекты которой — ¿г-односвязные ПМ, категории р§е<;.

Далее определяется функтор % : p§et —> op§et универсальной <И-накрывающей и доказывается следующая

Теорема 10. Функтор аМ является сопряженным справа к функтору включения г. : ор!Е^ рБе<;. Таким образом, op§et — корефлексивная подкатегория категории рБе<;.

При этом, первая компонента коединицы сопряжения рм : ^(М) —> М для произвольного объекта М категории p§et — универсальное (И-иокры-гпие — является ¿¿-накрытием.

В разделе 3.3 строятся функторы ¿^ : вСЬи —> opSet и 9? : opSet —> вСЬи и устанавливается, что — строгий, полный и плотный функтор, т.е. верна

Теорема 11. Категории sChu и opSet эквивалентны.

В разделе 3-4 выясняется, что sP ¿-открытые морфизмы отображаются функтором в Рь-открытые морфизмы и наоборот, что позволяет установить совпадение Р£,-эквивалентности ПМ с sP ¿-эквивалентностью поступательных Чу-иространств, полученных из образов функтора уни-версальиой ¿¿-накрывающей данных ПМ.

Теорема 12. Пусть f : Е1 —> Е2 — морфизм категории sCliu^. Тогда f sP^-открыт тогда и только тогда, когда Р^-открыт.

Теорема 13. Два ПМ, размеченных над множеством L действий, Рх,-эквивалентны, если и только если их образы под действием функтора универсальной (¿¿-накрывающей, представленные в виде поступательных Чу-пространств, sP ¿-эквивалентны.

В заключении перечисляются основные результаты, полученные в ходе диссертационных исследовании:

1. на кубических путях полукубических множеств определены эквивалентности, для которых сформулированы категорные критерии в терминах конструкций открытых морфизмов, путей-морфизмов, коалгебраических морфизмов, а также получен ¿¿-топологический критерий посредством существования общего «¿¿-накрывающего полукубического множества;

2. для категории полукубических пространств построены и исследованы сопряженные функторы, связывающие ее с категорией иолуку-бических множеств и позволяющие перенести категорный критерий в терминах конструкций открытых морфизмов и ¿¿-топологический критерий эквивалентностей на полукубические пространства;

3. показана эквивалентность корефлексивной подкатегории ¿¿-одно-связных полукубических множеств и категории поступательных пространств Чу, сохраняющая открытость морфизмов.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ошевская, Е.С. Исследование геометрических свойств параллельных моделей / Е.С. Ошевская // Материалы XLI Международной научной студенческой конференции " Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, аир. 2003 г. : тез. докл. / НГУ, 2003. - С. 36-37.

2. Ошевская, Е.С. Об одной геометрической модели временных параллельных процессов / Е.С. Ошевская // Проблемы программирования. - 2004. - Т. 2-3. - С. 23-29.

3. Ошевская, Е.С. Эквивалентность категорий полу кубических множеств и поступательных Чу-пространств с сохранением открытости морфизмов / Е.С. Ошевская // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. - 2011. - Т. 11, вып. 3. - С. 124-147.

4. Oshevskaya, E.S. A Categorical Account of Bisimulation for Timed Higher Dimensional Automata / E.S. Oshevskaya // Proc. 15th International Workshop CS&P, Wandlitz (Germany), Sep. 2006. -Humboldt University of Berlin. - Berlin, 2006. - V. 2. - P. 174-185.

5. Oshevskaya, E.S. Open Maps Bisimulations for Higher Dimensional Automata Models / E.S. Oshevskaya // Proc. 17th International Symposium FCT, Wroclaw (Poland), Sep. 2009 / Lecture Notes in Computer Science. - 2009. - V. 5699. - P. 274-286. (Русская расширенная версия принята в журнал "Математические труды").

6. Oshevskaya, E.S. Matching Equivalences on Higher Dimensional Automata Models/ E.S. Oshevskaya // Berichte aus dem Department fuer Informatik, 1/11. - Carl von Ossietzky University of Oldenburg. -Oldenburg, 2011. - 29 P.

7. Oshevskaya, E.S. Relating Categorical Semantics for Higher Dimensional Automata/ E.S. Oshevskaya, I.B. Virbitskaite, E. Best // Proc. 20th International Workshop CS&P, Pultusk (Poland), Sep. 2011. - Warsaw University. - Warsaw, 2011. - P. 385-396.

8. Oshevskaya, E.S. A Categorical View of Bisimulation for Higher Dimensional Automata/ E.S. Oshevskaya, I.B. Virbitskaite, E. Best // Proc. 23rd International Workshop NWPT, Vasteras (Sweden), Oct. 2011. - Malardalen University. - Vasteras, 2011. - P. 102-104.

9. Oshevskaya, E.S. Unifying Equivalences for Higher Dimensional Automata/ E.S. Oshevskaya, I.B. Virbitskaite, E. Best // Fundamenta Informaticae. - 2012. - V. 119, N. 3-4. - P. 357-372.

Ошевская Елена Сергеевна

Категорные методы исследования полукубических множеств и пространств как моделей параллельных процессов

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Отпечатано в типографии ЗАО РИЦ «Прайс-курьер» г. Новосибирск, ул. Кутателадзе, 4г, оф. 310, тел. (383) 330-7202 Заказ №103

Подписано в печать: 14.03.2013 Формат бумаги 60x84 1/16,

Объем 1,0 п. л. Тираж 100 экз.

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

На правах рукописи

Ошевская Елена Сергеевна

КАТЕГОРНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛУКУБИЧЕСКИХ МНОЖЕСТВ И ПРОСТРАНСТВ КАК МОДЕЛЕЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

01.01.04 — Геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени

Ю

^ кандидата физико-математических наук

СО

Ю I"

со °

см

ю о

Научный руководитель:

ЄЧ ^ академик РАН, д.ф.-м.н., профессор

И.А. Тайманов

Новосибирск, 2013

Содержание

Введение ........................................................4

Глава 1. Полукубические множества. Категорные и

(¿г-топологическая эквивалентности....................11

1.1. Некоторые понятия теории направленной топологии И

1.2. Полукубические множества и ра£/г-эквивалентности 12

1.3. Категория р§е! и ее полная подкатегория Р . . . . 25

1.4. 1)г-топологический критерий Р-открытости. Р-экви-валентность..............................................30

1.5. #от|[?е1;-эквивалентность..............................34

1.6. .Рр-эквивалентность....................................35

1.7. Соотношения эквивалентностей на полукубических множествах..............................................37

Глава 2. Полу кубические множества и полукубические пространства..........................................44

2.1. Полукубические пространства........................44

2.2. Категория р(Е5расе~ и ее соотношение с категорией p§et......................................................54

2.3. Полная подкатегория ф- и ее соотношение с подкатегорией Р ...........^........................61

2.4. Сохранение открытых морфизмов и с^г-топологичес-

кий критерий ^--открытости ............ 66

2.5. Ра£/г-эквивалентность полукубических пространств

и ее совпадение с ^--эквивалентностью....... 69

Глава 3. Полукубические множества и Чу-пространства ............................... 74

3.1. Категория вСЬи и ее подкатегория вР ....... 74

3.2. Корефлексивная подкатегория op§et с?г-односвязных

ПМ ......................................................77

3.3. Эквивалентность категорий op§et и бСЬи............83

3.4. Сохранение открытых морфизмов и совпадение Р- и вР-эквивалентностей ..................................91

Заключение........................... 99

Литература........................... 100

Список работ автора по теме диссертации....... 105

Введение

Актуальность. Последние десятилетия наблюдается интенсивное проникновение идей и методов теории категорий [1, 2, 33] в различные области современной математики: алгебраическую топологию, алгебраическую геометрию, современную алгебру, математическую логику и др., а также в смежные науки — физику, химию, биологию и информатику С другой стороны, своим происхождением и побудительными причинами для своего развития теория категорий обязана алгебраической топологии [2]. С конца прошлого столетия методы теории категорий и алгебраической топологии стали активно применяться в теории параллельных процессов (см., например, [18-21, 31]). Используя тот факт, что теория категорий концентрируется на свойствах отображений между объектами с определенной структурой, Винскелю, Нильсену, Сассоне, фон Глаббику и др. удалось классифицировать разнообразные модели теории параллелизма, устанавливая наличие рефлексии/корефлексии между их категориями [36, 41, 44, 48], а также унифицировать различные эквивалентности параллельных процессов [28-30, 32, 34-36, 39-41, 46, 47]. В середине первого десятилетия текущего столетия появились работы Грандиса [24, 25], Фейструп и др. [12, 15-17], Окура. и др. [22, 27], Рауссена. [38], Бубеника [11], развивающие теорию направленной топологии для изучения параллельных процессов, в которой топологические пространства (¿¿-пространства) обладают покрытием из карт с частичными порядками, согласованными на пересечениях карт. Многие понятия успешно переносятся из алгебраической топологии в направленную с учетом заданного порядка. Например, на смену фундаментальным группам и фундаментальному группоиду классического пространства пришли фундаментальный моноид и фундаментальная категория направленного пространства. В работах Пратта [37] и фон Глаббика [43] для описания параллельных процессов была предложена и исследована модель полукубических множеств (кубических множеств без вырожденностей), которые, как было показано позже,

могут быть реализованы как направленные топологические пространства и в смысле Фейструп и в смысле Грандиса. Позже в статье фон Глаббика [44] было показано, что модель полукубических множеств обобщает многие известные модели теории параллелизма. В работах Губо и Йенсена [23], Грандиса [24], Фаренберга [13] и Хусаинова [7] авторы использовали гомологический подход, представив (полу)кубические множества в виде алгебраических комплексов, что позволило им исследовать параллельные процессы с точки зрения гомо-логий (полу)кубических множеств. В своей диссертации [20] Губо предложил модель полукубических пространств, которые не только являются направленными топологическими пространствами, но также обладают дифференциальной структурой, т.е. кроме всего прочего, позволяют определять временную длительность параллельного процесса. Пространства Чу — еще одна геометрическая модель, применимая для решения проблем теории параллелизма [26]. Иногда пространства Чу интерпретируют следующим образом: это топологические пространства с множеством точек, множеством открытых множеств и отношением принадлежности с явно заданным множеством степеней принадлежности точки открытому множеству. Особенность Чу-пространств состоит в том, что они предоставляют различные интерпретации моделям, благодаря своей возможности реализовать все малые категории и значительное количество больших категорий, возникающих в математической практике. Топологии Гротендика, а также различные когомологии пространств Чу изучались Ску-рихиным и Сухоносом [4, 5].

В диссертационной работе с применением категорных и алгебро-топологических методов исследуются соотношения полукубических множеств с полукубическими пространствами и пространствами Чу, а также их категорных и топологических эквивалентностей. Все вышесказанное говорит об актуальности исследований, проводимых в рамках диссертационной работы.

Цель диссертации состоит в развитии и применении категорных и ал-

гебро-топологических методов исследования полукубических множеств и пространств как моделей параллельных процессов. Достижение цели связывается с решением следующих задач:

1. дать категорные (с помощью конструкций открытых морфизмов, путей-морфизмов, коалгебраических морфизмов) и топологический (посредством сИ-накрытий) критерии эквивалентностей полукубических множеств;

2. построить функторы, связывающие категории полу кубических множеств и полу кубических пространств, дать критерии эквивалентности полу кубических пространств в терминах открытых морфизмов и сП-накрытий;

3. найти подкатегорию полу кубических множеств с целью установления ее эквивалентности с категорией поступательных пространств Чу, а также выяснить соотношения эквивалентностей на объектах категорий.

Методы исследований. В рамках данной работы использовались методы и понятия теории категорий, теории (направленной) алгебраической топологии, техника открытых морфизмов Мойердика, коалгебраическая техника Ласо-ты. В качестве моделей параллельных процессов применялись полу кубические множества, полукубические пространства, пространства Чу, направленные пространства.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1. определены сильный и слабый варианты эквивалентности на кубических путях полу кубических множеств, а также установлено соотношение этих эквивалентностей как с с?г-топологической эквивалентностью, так и с ка-тегорными эквивалентностями, построенными на конструкциях открытых морфизмов, путей-морфизмов и коалгебраических морфизмов;

2. построена категория полу кубических пространств, установлены ее взаимосвязи с категорией полукубических множеств в терминах существования

сопряженных функторов, сохраняющих открытые морфизмы и (¿г-накры-тия объектов категорий;

3. показана эквивалентность корефлексивной подкатегории категории полукубических множеств и категории поступательных пространств Чу, сохраняющая и отражающая категорную интерпретацию эквивалентностей на путях объектов данных категорий.

Апробация работы. Основные идеи и конкретные результаты диссертационной работы обсуждались на следующих международных и всероссийских симпозиумах, конференциях и семинарах: XLI международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 2003; 4th International Conference UkrProg'04, Kiev, May 2004; 15th International Workshop CS&P'06, Wandlitz (Germany), September 2006; 17th International Symposium "Fundamentals of Computation Theory", Wroclaw, Poland, September 2009; 20th International Workshop CS&P'll, Pultusk, Poland, 2011; 23rd Nordic Workshop NWPT'll, Vasteras, Sweden, 2011. Кроме того, доклады по теме диссертации были сделаны на ряде семинаров Университета г. Ольденбурга (Германия), Университета г. Вестероса (Швеция), Киевского национального университета (Украина), Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Института систем информатики СО РАН (г. Новосибирск).

Исследования, проводимые в рамках диссертации, были частью научно-исследовательских проектов, поддержанных в разные годы различными грантами Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 09-01-91334-ННИОа, 03-01-00403-а, 04-01-10547-3, 06-01-00094-а, 09-01- 00598-а, 09-01-09318-моб-з, 12-01-00873-а), президентской программой "Ведущие научные школы" (гранты НШ-7256.2010.1, НШ-544.2012.1), фондом DFG (грант 436 RUS 113/1002/01), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы (соглашение 8206).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 ([49-57]) научных ра-

бот, в том числе 2 ([51, 57]) — в журналах из перечня ведущих периодических изданий ВАК, 5 ([49, 52, 53, 55, 56]) — в трудах международных симпозиумов, конференций и семинаров, 1 ([50]) — в периодическом издании HAH Украины, 1 ([54]) — в издании Университета г. Ольденбурга (Германия).

Личный вклад. Диссертация содержит результаты работ, выполненных автором в Институте математики им. C.JI. Соболева СО РАН. В совместных работах [55-57], проф. А. Бесту (Германия) и проф. И.Б. Вирбицкайте (Россия) принадлежит постановка задачи сопоставления эквивалентностей полукубических множеств на основе открытых морфизмов, путей-морфизмов и коалгебра-ических морфизмов (грант DFG-РФФИ № 436 RUS 113/1002/01 и 09-01-91334-ННИОа).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 57 используемых источников. Общий объем диссертации составляет 106 страниц.

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых вопросов; формулируются цели диссертационных исследований; указываются методы исследований; излагаемся научная новизна результатов; приводится краткое описание содержания диссертации по главам.

Первая глава посвящена определению базовых понятий, связанных с полукубическими множествами, и ряда категорных и топологической эквивалентностей, а также установлению соотношений между данными эквивалентностями. В разделе 1.1 даются определения некоторых понятий теории направленной топологии. В разделе 1.2 вводятся и изучаются понятия полукубического множества (ПМ), его с?г-топологии, кубических путей, их гомотопии, а также path-эквивалентностей, которые строятся на кубических путях. В разделе 1.3 определяется категория pSet полукубических множеств и ее полная подкатегория Р, а также изучаются свойства последней. В разделе 1.4 формулируется понятие Р-открытого морфизма категории pSet и дается его критерий посредством

<й-накрытия одного полукубического множества другим, а затем определяется эквивалентность, базирующаяся на Р-открытых морфизмах. В разделе 1.5 рассматриваются другие категорные эквивалентности — слабый и сильный варианты Я"отр§е1;-эквивалентности, построенные на путях-морфизмах. В разделе 1.6 вводится определение еще одной категорной эквивалентности — ^-эквивалентности, которая основана на категории коалгебр, индуцированных некоторым эндофунктором ^р. В разделе 1.7 устанавливаются строгие соотношения, имеющие место между указанными выше эквивалентностями полукубических множеств.

Во второй главе строятся сопряженные функторы, связывающие категорию полукубических множеств с категорией полукубических пространств, а также дается критерий ра£/г-эквивалентности на полукубических пространствах посредством конструкции открытых морфизмов и существования общего изометричного сй-накрывающего полукубического пространства. В разделе 2.1 определяется понятие полукубического пространства (ПП), являющегося топологическим пространством вместе с дифференциальной структурой, заданной кубами, реализованными в данном пространстве, и семейством норм на касательном расслоении, а также рассматривается ¿¿¿-топология ПП. В разделах 2.2 и 2.3 строятся соответственно категория полукубических пространств рврасе-и ее полная подкатегория путей-объектов ф- и устанавливаются их взаимоотношения соответственно с категорией pSet и подкатегорией Р. В разделе 2.4 сначала показывается сохранение Р- и ^--открытых морфизмов, а затем дается критерий ^--открытости морфизма категории р©расе- в терминах изометричного сй-накрытия одного полукубического пространства другим. В разделе 2.5 переносится понятие ^¿^-эквивалентности между полукубическими множествами на полу кубические пространства, а также показывается, что эта эквивалентность на ПП может быть охарактеризована с помощью конструкции, построенной на изометричных сй-накрытиях.

Третья глава описывает результаты исследований взаимосвязей полуку-

бических множеств с Чу-пространствами. В разделе 3.1 определяется категория эСЬи поступательных Чу-пространств и выделяется ее подкатегория эР Чу-путей в Чу-пространствах. В разделе 3.2 сначала вводится понятие сй-од-носвязного полукубического множества, а затем определяется универсальная (¿г-накрывающая полукубического множества, которая, как показывается, является б?г-односвязным полу кубическим множеством, а также рассматривается понятие универсального сй-накрытия и доказывается, что функтор универсальной (¿г-накрывающей сопряжен справа к функтору включения полной подкатегории op§et сй-односвязных ПМ в категорию р§е1з. В разделе 3.3 сначала строятся функторы Т : вСЬи —> ор§е1 и Q : op§et —>■ вСЬи, а затем с помощью О показывается, что Т — строгий, полный и плотный функтор, т.е. категории op§et и вСЬи эквивалентны. В разделе 3.4 выясняется, что эР-открытые мор-физмы отображаются функтором Т в Р-открытые морфизмы и наоборот, что позволяет установить совпадение Р-эквивалентности ПМ с эР-эквивалентностью поступательных Чу-пространств, полученных из образов данных ПМ под действием функтора универсальной (^-накрывающей.

В заключении перечисляются основные результаты, полученные в ходе диссертационных исследований.

и

Глава 1

Полукубические множества. Категорные и с/г-топологическая эквивалентности

1.1. Некоторые понятия теории направленной топологии

Рассмотрим произвольное топологическое пространство X.

Определение 1. Семейство и пар (С/, <и) частично упорядоченных открытых подмножеств, покрывающих X, называется атласом порядка на X, если для любого х Е X существует не пустая открытая окрестность У/{х) С X такая, что для любых (С/х, ), (1/2, <и2) € и и любых у, г £ \¥{х) П \1\ П С/г выполнено соотношение:

У У <и2 г.

Открытая окрестность IV(х) С X точки х Е X, определенная выше, вместе с частичным порядком <\у(х)1 индуцированным атласом порядка и на X, называется окрестностью порядка точки х.

Два атласа порядка на X эквивалентны, если их объединение является атласом порядка.

Топологическое пространство X вместе с классом эквивалентности атласов порядка называется йг-топологическим пространством.

Рассмотрим произвольные сй-топологические пространства X и У с классами эквивалентности атласов порядка и и ¥ соответственно.

Определение 2. Непрерывное отображение f : X —>• У называется (И-отобра-жением, если для всех представителей V = £ ^ существует

представитель и = {(С/г, <С/»)}г€/ £ и такой, что для любого х £ X найдутся окрестности порядка (И^х), <1У(а:)) И (}¥(/(х)), <уу{/{х)))> в которых верны

соотношения:

У <ш(х) * /(;у) <ш(1(х)) /(-г) для всех у, г Е УУ(х) П ¡~1(\¥(/(х))).

Пусть X — произвольное ¿¿-топологическое пространство, [0,1] — единичный отрезок, снабженный естественным порядком.

Определение 3. ^¿-отображение 7 :[0,1]—>• X называется <И-путем в X. ^¿-отображение Н : [0,1] х [0,1]—X называется М-гомотопией ¿¿-путей 71 и 72 в X, если Н{О, ¿) = 71 (¿), Н(1, £) = 720) = х\ и Н(в, 1) = Х2 для всех в <Е [0,1] и г е[од].

Пусть X и У — произвольные ¿¿-топологические пространства.

Определение 4. ^¿-отображение f : X —> У называется сИ-накрытием над ¿¿-путями, если верно:

а) для любых точки хо Е X и ¿¿-пути 7у :[0,1]—>• У таких, что 7у(0) = f (ггго) > существует ¿¿-путь 7х :[0,1]—>• X такой, что ^7х) = 7у и 7х(0) = яо-

б) для любых ¿¿-пути 7х :[0, 1]—»• X и ¿¿-гомотопии Ну : [0,1]х [0,1] —> У таких, что Ну\ —> = f(7x), существует ¿¿-гомотопия Нх '■ [0,1] х [0,1]

0х [0,1]

—> X