Категорные и бурбаковские конструкции в теории управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

од

На правах рукописи

Данилов Никита Юрьевич

КАТЕГОРНЫЕ И БУРБАКОВСКИЕ КОНСТРУКЦИИ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 01.01.09 — „Математическая кибернетика"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Долгопрудный — 1999

Работа выполнена на кафедре управления и вычислительных систем Московского физико-технического института

Научный руководитель: член.-корр. РАН,

профессор Павловский Ю. I

Официальные оппоненты:

кандидат физ.-мат. наук Коновалова Л. ]

доктор физ.-мат. наук,

профессор Крищенко А. 1

Ведущая организация:

Институт проблем управления РАН

Защита состоится ,,/р " М-О^Уд 2000 г. в ^ ч. на заседании дис сертационного совета К 063.91.03 при МФТИ в Московском физико-техническом институте по адресу: 141700 г. Долгопрудный, Моск. обл., Институтский пер., д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. Автореферат разослан .75 " ¿ЬЯШ г. -20СР

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физ.-мат. наук, — Федько О. С.

Актуальность работы Теория категорий и исчисление родов структур предлагают различные модели для описания совокупностей „однородных" математических объектов. В разное время для этой цели были предложены и другие формализмы, например, универсальные алгебры, и т.д. Однако, между универсальными алгебрами и категориями с одной стороны и родами структур с другой есть существенное различие: первые больше подходят для изучения математических структур уже заданных при помощи средств, лежащих вне этих формализмов и, соответственно, предоставлют минимальные средства для порождения новых типов объектов (по двум типам универсальных алгебр, можно построить „тип-произведение", по двум категориям — категорию функторов и т.д.), в то время как исчисление родов структур предоставляет средства для построения всех типов математических объектов. Например, там где при использовании родов структур можно сказать „определим род структуры группы как ... ", в теории категорий говорится „рассмотрим категорию групп ... ", предполагая при этом, что определение группы и гомоморфизма групп известно заранее.

Тем самым, роды структур позволяют описывать совокупности математических объектов неким „регулярным" способом и также регулярно задавать морфизмы между объектами (при помощи т.н. естественных и естественных канонических морфмзмов), что делает роды структур удобным формализмом для изучения общих декомпозиционных свойств. В то же время, имеется развитой аппарат категор-ного анализа, базирующийся на специфических категорных понятиях, не имеющих прямых эквивалентов в исчислении родов структур. Для того чтобы использовать результаты, полученные в теории категорий для иследования декомпозиционных свойств мат. объектов (в частности, динамических систем), надо выяснить связь между базовыми понятиями теории категорий и исчисления родов структур. На более практическом уровне, оказывается, что иногда категорный, а не бурбаковский вариант какой-либо конструкции точнее соответствует математической практике (например, свободное произведение групп — это категорное копроизведение, но не бурбаковская финальная структура на дизъюнктивной сумме множеств-носителей сомножителей), а иногда — наоборот (например, бурбаковский подобъ-

ект топологического пространства — это в точности подпространство, а категорных подобъектов гораздо больше); поэтому естественным образом возникают вопросы: каким категорным подобъектам (и фактор-объектам) соответствуют бурбаковские подобъекты, и при каких условиях они совпадают. Цель работы

1. Сравнение мономорфизмов с инъективными отображениями и эпиморфизмов и сюръекциями. Поиск условий совпадения мономорфизмов и инъективных морфизмов. Двойственно для эпиморфизмов. Сравнение категорных и бурбаковские подобъектов и фактор-объектов. Поиск классов мономорфизмов, представимых бурбаков-скими подобъектами. Двойственно для эпиморфизмов. Поиск класса категорий, в которых бурбаковские и категорные подобъекты и фактор-объекты совпадают.

2. Изучение взаимосвязи категорных произведений и бурбаковских начальных структур. Поиск условий их совпадения. Изучение начальных структур в некоторых классах категорий: категориях функторов и категориях с естественными каноническими морфизмами.

3. Применение категорного аппарата к категориям гладких многообразий, обыкновенных дифференциальных уравнений и дифф. уравнений с управлением. Построение для них родов структур с естественными каноническими морфизмами.

Научная новизна

1. Сравнение мономорфизмов с инъективными отображениями и эпиморфизмов и сюръекциями. Всякий мономорфизм, как известно, является инъекцией. Двойственно для эпиморфизмов. Приводятся контрпримеры для соответствующих обратных утверждений. Приводятся достаточные условия совпадения мономорфизмов и инъективных морфизмов (через существование свободных объектов), как для одноосновных, так и для многоосновных родов структур. Двойственно для эпиморфизмов. Исходя из этих результатов сравниваются категорные и бурбаковские подобъекты и фактор-объекты. Находятся достаточные условия, при которых всякий категорный подобъект содержит среди своих представителей каноническую инъекцию. Строятся классы мономорфизмов (строгих и регулярных), которые (при необременительных условиях) представимы бурбаковскими подобъ-

ектами. Двойственно для эпиморфизмов. Находятся условия на категорию (в терминах существования системы эпи-моно-факторизации), достаточные для совпадения бурбаковских подобъектов и фактор-объектов.

2. Найдено простое условие, достаточное для совпадения категорных произведений с бурбаковскими начальными структурами (на самом деле, достаточное для выполнения более общего соотношения: зада-ваемости бурбаковских пределов забывающими функторами). Найдено необходимое условие, выполняющееся для всякого конуса, являющегося бурбаковским пределом. Найдены условия, при которых это условие является и достаточным. Изучены бурбаковские пределы в категориях функторов. Выяснено, что в этих категориях имеет место („патологическая") ситуация, когда всякий допустимый моноконус является бурбаковским пределом. Найдены достаточные условия на объекты с начальной структурой в категориях с естественными каноническими морфизмами.

3. Описаны категории гладких многообразий, обыкновенных автономных дифференциальных уравнений на мнообразиях и управляемых динамических систем на многообразиях. Описаны мономорфизмы и эпиморфизмы, конечные объекты, некоторые свойства забывающих функторов и функторов касательного расслоения. В категориях ОДУ и динамических систем найдены объекты, такие что соответствующие им ковариантные и контравариантные основные функторы сопоставляют системе уравнений множество ее решений и множество инвариантов соответственно. Для всех вышеперечисленных категорий построены роды структур, в которых стандартные морфизмы являются также естественными каноническими.

4. Введена некотороая конструкция обогащения категорий, т.е. изучения категорий, в которых множества морфизмов снабжены дополнительной структурой. Изучены базовые свойства полученного таким образом класса обогащенных категорий и доказана его замкнутость относительно перехода к категории функторов, произведению категорий, категории слоя, комма-категории и замкнутость относительно пределов и копределов.

5. Вспомогательные результаты: построены примеры свободных и косвободных объектов в категориях отношений эквивалентности, эн-

доморфизмов и автоморфизмов множеств и в категории отображений множеств. Доказан результат о свойствах „т-оператора" в бурбаков-ских формальных системах. Научно-практическое значение

1. Полученные результаты о условиях совпадения бурбаковских и категорных понятий позволяют переносить некоторые теоретико-категорные теоремы в исчисление родов структур.

2. Намеченная категорная интерпретация дифф. уравнений с управлением позволяет в переспективе построить категорный аппарат для декомпозиционного и классификационного анализа динамических систем, альтернативный „синтетической дифференциальной геометрии" Ловера.

3. Обогащенные ^-категории, изучаемые в главе 7, приложимы к управляемым системам, в которых множества морфизмов (т.е. подстановок, переводящих решения в решения) из одной системы в другую естественным образом снабжаются дополнительной структурой топ. пространства.

Апробация работы Результаты, составляющие содержание работы были изложены на семинарах в Вычислительном Центре РАН. По теме диссертации опубликованы три работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы Работа состоит из вступления, введения, пяти глав, разбитых на разделы, подразделы и параграфы, трех приложений, предметного указателя и списка литературы из 26 наименований. 156 стр.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ 1 Инъекции и мономорфизмы

В категориях родов структур понятие мономорфизма является близким к понятию инъективного отображения, как известно, в категории рода структуры ¿е инъективные морфизмы являются мономорфизмами.

Однако обратное утверждение (и обратное к двойственному утверждению о эпиморфизмах и сюръекциях), вообще говоря, не справедливо:

Пример 1.1. Рассмотрим категорию ("ассоциативных) колец. Естественное вложение кольца, целых чисел в кольцо рациональных з : Ъ — является эпиморфизмом т.к. любые два гомоморфизма из Ч в произвольное кольцо Я, совпадающие на подкольце 2, совпадают я на всем Q■ j, как и всякая инъекция, есть мономорфизм. Таким образом, ] — бпморфизм, но, очевидно, не является сюръекцией.

Пример 1.2. Абелева группа С? называется делимой, если

(V« € >0 (пС = {пд\д € С?} = С).

Рассмотрим категорию всех делимых групп, т.е. (полную) подкатегорию категории абелевых групп, т.е. (полную) подкатегорию категории групп. Для объекта этой категории — делимой группы всех (комплексных) корней из единицы (т.е. мультипликативной группы Т = (^/Я), пусть / : Т —> Т — эндоморфизм, / : и I—> и2. Оказывается, что / является мономорфизмом, не являясь, очевидно, инъекцией.

2 Свободные объекты

Утверждение 2.1. Одноосновная категория рода структуры с бур-баковски свободным объектом с непустым множеством свободных образующих, есть категория с инъективными мономорфизмами.

Утверждение 2.2. Многоосновная категория нетривиального рода структуры с бурбаковски свободным объектом с множеством непустых множеств свободных образующих, есть категория с инъективными мономорфизмами.

Категорным обобщением этого утверждения является следующее:

Утверждение 2.3. Если имеется функтор Р : С\ и существует объект .Р 6 ОЬ С\ свободный относительно Р над образующим II категории то Р сохраняет мономорфизмы

Двойственным к этому утверждению является следующее:

Утверждение 2.4. Если имеется функтор Р : С\ —>■ Сг и существует объект F € ObCj косвободный относительно Р над кообразую-щим U категории С?, то Р сохраняет эпиморфизмы

Возвращаясь обратно к родам структур и учитывая, что косвобод-ными в Set являются множества, содержащие более двух элементов, а косвободными в Set" — п-ки множеств, каждый элемент которых содержит не менее двух элементов, получаем:

Утверждение 2.5. Одноосновная категория рода структуры с бур-баковски косвободный объектом с множеством косвободных образующих мощности больше 1, есть категория с сюръективными эпиморфизмами.

Утверждение 2.6. Многоосновная категория нетривиального рода структуры с бурбаковски косвободным объектом с множеством множеств косвободных образующих мощности больше 1, есть категория с сюръективными эпиморфизмами.

3 Бурбаковское и категорное определение подобъекта и фактор-объекта

Категорный подобъект объекта а определяется как класс изоморфных объектов, снабженных мономорфизмом в объект а. Так как всякая каноническая инъекция является мономорфизмом в силу предложения, то бурбаковский подобъект является представителем некоторого категорного подобъекта.

Не всякий подобъект представим бурбаковским подобъектом (т.е. в теории категорий „больше" подобъектов, чем в исчислении родов структур).

Пример 3.1. Рассмотрим категорию топологических пространств и непрерывных отображений. Пусть Xq антидискретное, а Х\ — дискретное

топологическое пространство над множеством X содержащим более одного элемента. Тогда тождественное преобразование множества X, индуцирует непрерывное отображение j : Xi —¥ Хо, очевидно являющееся мономорфизмом.

Пусть Y — бурбаковский подобъект (т.е. подпространство) Хо представляющий j. Очевидно, что Y антидискретное пространство, но дискретное пространство может быть гомеоморфно аитидискретному тогда и только тогда когда их множества-носители содержат по одному элементу, что противоречит предположению о множестве X. Следовательно, j не представим бурбаковским подобъектом.

Мы будем искать условия при которых мономорфизм представим бурбаковским подобъектом.

Определение 3.1. Будем говорить, что мономорфизм р,: (X, <г) >—5» (У, т) категории рода структуры В-точен, если ц — структурный мономорфизм относительно пренебрегающего функтора Р : se -v Set

В-точность мономорфизма это „половина" бурбаковского понятия подобъекта. Действительно, утверждение о том что каноническая инъекция j : (X, сг) с—> (Y, г) (где X С Y) В-точна эквивалентно утверждению о том, что (X, сг) подобъект (бурбаковский) (У, т). Двойственно определяется В-точность эпиморфизма. Не всякий В-точный подобъект содержит каноническую инъекцию в качестве представителя. Однако, в более конкретном, но достаточно распространенном случае, мы можем сформулировать

Утверждение 3.1. В категориях родов структур, снабженных ЕКМ-морфизмами, (ЕКМ-родах структур) с инъективными мономорфизмами всякий В-точный подобъект содержит в качестве представителя каноническую инъекцию.

Таким образом, в категориях ЕКМ-родов структур с инъективными мономорфизмами В-точные подобъекты представимы. Введем специальное обозначение для такой ситуации:

Определение 3.2. Будем говорить, что в категории род а структуры бурбаковские и категорные подобъекты совпадают, если каждый категорный подобъект представим бурбаковским.

4 Строгие мономорфизмы и эпиморфизмы

Утверждение 4.1. В категории рода структуры с сюръсктшзпыми эпиморфизмами каждый В-точный подобъект строг.

Определение 4.1. Будем говорить, что категория рода структуры насыщена свободными объектами, если для любого объекта (X, сг), имеется бурбаковски свободный объект с множеством свободных образующих X.

Утверждение 4.2. В категории нетривиального рода структуры, насыщенной свободными объектами, каждый строгий подобъект В-точен.

Утверждение 4.3. В ЕКМ категории нетривиального рода структуры, насыщенной свободными и косвободными объектами, бурба-ковских представителей имеют в точности все строгие подобъекты и фактор-объекты.

5 Регулярные мономорфизмы и эпиморфизмы

Как известно, имеет место следующее:

Утверждение 5.1. В категории ¿г со свободным объектом с непустым множеством образующих, мономорфизм ц : А -> В регулярен тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

• для всякого х £ В — Ац (т.е. х € В и х Лд) существует пара морфизмов <р,гр : В —> С, таких что ц<р = ¡хф и х<р ф- хф;

• ¡1 В-точен. Аналогично, можно доказать:

Утверждение 5.2. В категории со свободным объектом с множеством образующих мощности больше 1, сюръективный эпиморфизм 7г : А —В регулярен тогда и только тогда, когда он В-точен.

6 HPF-роды структур и бикатегории

Пусть дана HPF-катеория С. Всякий морфизм / в ней представим в виде / = я-/Çf[if. Где — В-точный эпиморфизм, ц/ — В-точный мономорфизм, а — изоморфизм. Обозначим Epie С [Мопв С] класс всех £?-точных эпиморфизмов [мономорфизмов]. На самом деле 7Г/ и /х/ всегда выбираются „каноническим" образом. Обозначим Epiec С [Мопвс С] класс всех 5-точных канонических проекций [инъекций], т.е. в точности класс бурбаковских факторобъектов [подобъектов].

Утверждение 6.1. Если С — HPF-катеория с ЕКМ морфизмами, то (С, Epis С, Мопв С) — бикатегория, причем Epis С = (Episc C)(lso С) и МопвС = (IsoCHMonecC1)-

Утверждение 6.2. В HP F-категории с ЕКМ морфизмами, строгие подобъекты являются бур ваковскими.

Утверждение 6.3. В уравновешенной HPF-категории [с сюръек-тивными эпиморфизмами, и] с ЕКМ морфизмами, насыщенной свободными объектами, понятия бурбаковского и категорного иодобъек-та [факторобъекта] совпадают.

7 Бурбаковские начальные структуры и категорные произведения

Бурбаковским аналогом категорного произведения является начальная структура.

Определение 7.1. Если в категории рода структуры Sj; дано семейство объектов (Ei, Ti)i(zj и конусморфизмов : (Е,т) —> {Е{,т{), тот называется начальной структурой для семейства (Ei,n, fi)iei, если для любого объекта (U, а) и любого отображения g \U -)• Е эквивалентны следующие соотношения:

• g есть морфизм g : (U, а) -¥ (Е, т)

• для всех i Ç I, g fi есть морфизм g fi : (U,a) -» (Ei, rî)

(£го)т»о)

(и, а) (Е,т)

Л

)

(Егг ,Тк)

Примечание 7.1. Бурбаковские подобъекты являются частным случаем начальной структуры, точнее, (II, и) есть бурбаковский побобъ-ект (Е, г) если и только а есть начальная структура для одноэлементного семейства (Е,т,где 1 : II с—> Е — вложение подмножества.

Определение 7.2. Бурбаковским произведением семейства объектов тС]1(:[ называется структура на декартовом произведении П Ег

Примечание 7.2. В отличие от категорного произведения, определенного с точностью до изоморфизма, начальные структуры, в общем случае, не образуют класса изоморфных объектов. Так в категории рода структуры множества (эквивалентной категории множеств), для всякого конуса : Е Е^^, Е является начальной структурой для семейства (Е^,,

Бурбаковское произведение, наоборот, определено совершенно од позначно.

Двойственно, определяются понятия конечной структуры, бурбаков-ского копроизведения (бурбаковской суммы).

Нашей целью является сравнение бурбаковских и категорных конструкций произведения и копроизведения. Для этого мы построим категорную конструкцию, переходящую в бурбаковскую начальную структуру в категориях родов структур.

начальная относительно семейства {Ег,т^,тхг : & —> Е{)

¿е/

Определение 7.3. Пусть дан функтор F : D —> С и конус функторов (Pi : С Ci\i 6 I), тогда конус (tt(¡ : q dF|d £ ObD) называется (Pi)-пределом функтора F и обозначаться (P¿) — lim F, если

• (Trd:q-> dF\d 6 ObD) € Ob compat F

• для всякого {pd : p —> dFjd € ObD) £ Ob compat F такого что PdPi = Qi{^dPi) для gi : pPi -» r/P¿ существует единственный g : p q такой что <?P¿ = <?¿ и pd = gtTd.

(Pi)-предел некоторого функтора будет называться его бур (закон ским пределом, если это не приводит к недоразумениям.

Примечание 7.3. Если есть функтор F : D С и функтор Р : С -» £, то по функтору (-Р) : Funct(D, С) Funct(D,F) можно построить функтор Р : Funct(D,C)/F —> FunctfD, E)/FP который ограничивается до функтора Р : compat F compat FP. Тогда определение 7.3 можно переформулировать, сказав, что конус (7Td : ? dF|d £ Ob D) называется (Pi) - lim F-пределом функтора F, если все фунторы Р,- : compat F —> compat FP{ полны и унивалентны на объекте (тг^ : q —> dF\d 6 ObD) справа.

Утверждение 7.1. Пусть J : Ci С2 есть вложение полной подкатегории,F : D —ь Ci —функтор и (Pt : С2 —> C¿) —конус функторов. Тогда если конус (n¡¡ : q dFJ\d £ ObD) с вершиной q 6 ObCi есть (Pt)-предел функтора FJ, то конус (k¿ : q dF|d £ ObD) будет (JР^-предел функтора F

Примечание 7.4. Очевидно, что для данного семейства (P¿ : С ->

Ci\i £ I) имеется одноэлементное семейство ((х)Р{ : С f] С i)

ieí iei

такое что (P¿) - limF = ((x)P¿) - lim F в том смысле, что левая

«е/

и правая части этого равенства определены одновременно и равны всегда когда определены.

Утверждение 7.2. Если мы рассмотрим категорию рода структуры конус функторов (РЕ), : Se Set, функтор F : Do -)• Se из дискретной категории Dq в 5s и предел ((Pe)í) - limF т.е. конус (/d : (Я, г) (S'djTd)^ € ObDo), то (F,r) есть начальная структура относительно семейства (E¿,t¿, f¿).

Примечание 7.5. Тем самым, бурбаковское произведение (см. определение 7.2, с. 10) может быть охарактеризовано, как конус : о di), такой что {щ a,i) = ({Pz)j) -\)mF и (iTi(Ps)j) = lim F(Ps)i-

Теорема 7.3. Если существует предел lim F функтора F : D С и функторы (Р{ : С Сг\г G I) перестановочны с пределом функтора F (т.е. если (lim Л-Р* = \\m(FPi)) то limF = (Р,)- lim F. (Т.е., можно сказать, что в этом случае, функторы (Pi : С -> С,|г £ I) „задают бурбаковские пределы в С, через категорные пределы".)

Следствие 7.4. Если забывающие функторы (Ps)i '■ -» Set сохраняют категорные произведения (т.е., если множества-носители категорного произведения объектов есть декартовы произведения множеств-носителей сомножителей произведения), то бурбаковские произведения совпадают с категорными.

Рассмотрим необходимое условие, выполняющееся для всякого (Рг)-предельного конуса и являющееся обощением доказанного выше условия для бурбаковских подобъектов (см. утверждение 4.1, с. 8).

Определение 7.4. Пусть даны функторы F : I С и G : J ч> С, тогда конус (fi : е —> iF\i € Ob I), допустимый относительно функтора F называется (F, С)-диагонализируемым с коконусом (6j : jG —> b\j £ Ob J), допустимым относительно функтораС, если для всякого конуса (ßi : Ъ —> iF\i 6 Ob I), допустимого относительно функтора F, и для всякого коконуса (ocj : jG —> e\j € Ob J), допустимого относительно функтора G, таких, что коммутативны все диаграммы вида

существует единственный морфизм у : Ь -> е такой, что 6jj = ctj и ifi = ßi-

Определение 7.5. Конус (/* : е гР|г 6 ОЬI), допустимый относительно функтора Р, называется (Р, С)-строгим, если он диагонали-зируем с. любым эпикоконусом, допустимым относительно функтора С.

Конус (/* : е —> г'Р|г € ОЬ/), допустимый относительно функтора Р, называется Р-строгим, если он (Р, Д^)-строг для любого постоянного фунтора Ара : Во С из одноэлементной категории £>о с одним морфизмом.

Примечание 7.6. Очевидно, что, чтобы получить обычное определение диагонализируемости и строгости, достаточно взять в качестве Р и С постоянные функторы Ддо и Адд.

Теорема 7.5. Если дан функтор Р : I С и конус унивалентных функторов (Рг : С С^Ь 6 Т), переводящих эпиморфизмыв эпиморфизмы обратимые слева, то (Р£) - Гпп Р-предел (/* : е -» гР|г £ ОЬ/) такой, что /¿Р{ — моноконус является Р-строгим.

На самом деле можно доказать и обратное в духе утверждения 4.2.

Утверждение 7.6. Если дан функтор Р : 1' -л С, конус унивалентных функторов (Р< : С -> Сг|£ € Т), имеющих сопряженные слева фунторы Р{ : —> С, а категории Сь имеют образующие объекты, то Р-строгий моноконус (Д : е -4 Рг|г б ОЬ/) является (Р4)-пределом Р.

В качестве простого следствия получаем:

Следствие 7.7. В категории рода структуры Бя с сюръективными эпиморфизмами, и насьпценной свободными объектами, моноконус является бурбаковским пределом функтора Р : I) —> ¿е , есля и только он Р-строг.

При этом категорный предел является также и бурбаковским.

Примечание 7.7. Очевидным образом можно построить определения и утверждения двойственные к построениям этого раздела и связать бурбаковское понятие о „финальной структуре " со строгостью эпикоконусов и наличием косвободных объектов.

В примечании 7.2 было указано, что в отличие от категорных пределов, бурбаковские пределы функтора не обязательно изоморфны друг другу. Оказывается, что такая ситуация не является экзотической и характерна для достаточно широкого класса категорий.

Теорема 7.8. Пусть D и С суть категории. Определим конус функторов (evt : Funct(D,C) C\t G Ob D) соотношениями:

Л : D -> С, Л evt = tk

е-.Л-^N, £ evt = ft

Тогда, для всякого функтора F : Е Funct(_D, С), всякий допустимый для F конус (щ : q —> iF) такой, что для всякого фиксированного объекта t € Ob D компоненты ((71¿)t : tq —> t(iF)) образует моноконус, является (evt) -пределом F.

Примечание 7.8. Если в категории С произвольный морфизм имеет ядерную пару, то всякий моноконус (я-,- : q -* ¿F) удовлетворяет условию теоремы, таким образом в таких категориях всякий допустимый моноконус является бурбаковским пределом.

Пример 7.1. Категории Set, MapSet, EndSet, AutSet все могут быть представлены как категории Funct(Z), Set) для подходящей категории D поэтому в этих категориях всякий допустимый моноконус является бурбаковским пределом.

Кроме того, в силу утверждения 7.1 полные подкатегории этих категорий, например, EqSet и SubSet также обладают этим свойством.

Теорема 7.9. В ЕКМ-категории 5s со „схемой конструкции" Г^ : Set х Set х ■•• х Set Set для всякого конуса (fi : (Е,г) -4 (i?;, гг)) такого, чтот(/{Ге) = и (fi : Е —> £,-) есть моноконус отображений, (Е, т) есть начальная структура относительно этого моноконуса.

Примечание 7.9. Отметим, что в категории топологических пространств необходимое условие того, чтобы структура (Е,т) была грубейшей при которой все морфизмы (fi) непрерывны, является и достаточным.

8 Категории для динамических систем

Имеются очевидные функторы включения Pr : Manifoldr+1 Manifoldr тождественные на объектах и морфизмах, а также функторы Pr°° : Manifold00 -> Manifold1- и Ргш : Manifold" -> Manifold7". Рассмотрим также функторы Тг : Manifold1"4-1 —> Manifold*", сопоставляющие многообразию X его касательное расслоение ТХ, снабженное структурой многообразия гладкости г, а гладкому отображению / : X У, его дифференциал J* : ТХ ТУ. Проекции tt.y : ТХ X, образуют естественное преобразование 7г : Тг —» Рг:

ТХ > X

ТУ

Яу

V

У

В категории Manifold1" существует конечные произведения а х (3, a также конечные копроизведения многообразий одинаковой размерности a U /3, где dim а = dim /?.

Исследуем, как выглядят эпиморфизмы в категории Manifoldr.

Утверждение 8.1. r-Гладкое отображение f : a 0 является эпиморфизмом категории Manifold7- тогда и только тогда, когда его образ всюду плотен: Closure а/ = ¡3.

Функторы Тг сохраняют произведения (Г(Х х У) а ТХ х TY), копроизведения (Т(Х U У) = ТХ U ТУ) и отражают мономорфизмы и эпиморфизмы, в силу своей унивалентности. (Если /* : ТХ ТУ мономорфизм, то / : X -» У это инъективная иммерсия, называемая иногда вложением, если /* эпиморфизм, — то / это сюръективная субмерсия.)

Объект R0, есть очевидно, терминальный объект всех этих категорий.

Утверждение 8.2. Мономорфизмы в категориях многообразий это в точности инъективные гладкие отображения.

Автономную систему дифференциальных уравнений

где а полем

х — f(x), 1ба, гладкое многообразие можно отождествить с векторным

аТ А

аР

где аТ — касательное расслоение а.

Таким образом получается категория Ode, объектами которой являются векторные поля £ : аР —> аТ, а морфизмы из £ : аР —> аТ в г] : (ЗР —> f3T это подстановки, переводящие решения в решения т.е. морфизмы / : а -4 /3, такие, что коммутативна диаграмма:

аТ

Г

(ЗТ

аР

JP

>0Р

Конечным объектом в Ode является поле 1ro : R° -у R°.

Особую роль играет поле <9 : R1 RXT, 5 : í i—> (i, 1), соответствующее уравнению

x = l, xeR1.

Морфизмы s : д /3 в точности соответствуют решениям /3, определенным на всей оси R1. Тем самым, можно, в частности, построить функтор Sol = hd : Ode —> Set, сопоставляющий системе ft множество ее решений.

Двойственно, можно рассмотреть поле ст:

<т : R1 R1?

а-А i—> (t,0), соответствующее уравнению

х = О, leR1.

Морфизмы в : а а это в точности инварианты векторного поля а и имеется функтор

ha : Ode* ->• Set

сопоставляющий системе диф. уравнений множество ее инвариантов. Рассматриваются динамические системы следующего вида:

х = f{x,u), х € а, и е Ux,

где а — гладкое многообразие, Ux — замкнутые множества. Решением такой системы является пара отображений х : R1 -4 а, и : R1 —> (J UT, обращающие систему в тождество таких, что

хеа

«(*) е UxW.

Для данного многообразия а из Man¡foldr динамическую систему можно отождествить с коммутативной диаграммой:

здесь их = р~1{х) (замкнутое, как прообраз при непрерывном отображении замкнутой в хаусдорфовом пространстве точки). /3 — многообразие, а р и / — отображения гладкости г - 1. Морфизмами из динамической системы

в систему

Р

являются пары морфизмов £ : а —> а' и 77 : /3 —» (3', такие, что коммутативна диаграмма:

Эти данные определяют категорию 0эг динамических систем на многообразиях гладкости г. Морфизм из системы

¿ = /(ж,и), х € а, и&11х,

в систему

у = д{у>и), у е а', ьеУу

это постановка

У =

V = т](и),

переводящая решения в решения.

Конечным объектом в Dsr является система Tds- = 1r° : R° —> R°:

RO R°T

1r°

V

R°

Так же как и в категории Ode, R:,3 : R1 -> RГ), такой, что системы р. Это объект

в Ds есть объект д =. (Iri : R1 морфизмы </5 : <Э ß есть решения

R1 -К1Т

1я>

У

R1

Так же как и в категории Ode, в Ds есть объект а, такой что морфизмы в : а сг есть инварианты а.

Лемма 8.3. Морфизмы t : д а суть в точности константные отображения R1 —> R1 :

Homos-(5, <т) — R1.

Множество всех гладких отображений из многообразия а в многообразие /3 есть подпространство пространства НоттОр(о:,£0, снабженного компактно-открытой топологией. Таким образом мы получаем на категории Manifold1- ^-структуру и функтор %tanifoidr : Manifold'"' х Manifoldr Top.

Аналогично, множество всех подстановок между из динамической системы /:/?-» аТ в систему g : ¡3' -> а'Т есть подпространство пространства-произведения Ноттор(/3,/3') х Ноттор(а, <*')> гДе каждый сомножитель — множество всех непрерывных отображений,

снабженное компактно-открытой топологией. Таким образом мы получаем на категории Dsr ^-структуру и функтор Vdsr '■ Dsr* х Dsr Top.

В частности, при переходе к ^-категории, функтор Sol = h9 естественным образом заменяется на функтор Aver = V9 Dsr —> Top. Аналогично, есть функтор 71а : Dsr* —> Тор, сопоставляющий динамической системе пространство ее инвариантов.

Лемма 8.4.

Homos'- (9, д) = EndDs-(<9) = R1.

Из доказательства видно, что Endosr(ö) изоморфно R1 как множество и как группа. Более того, они также изоморфны как топологические пространства (а значит, и как топологические группы).

Утверждение 8.5. В категории Тор имеется изоморфизм

%sr(ô,ô) = R1,

где R1 снабжено стандартной топологией.

9 ЕКМ-рода структур для динамических систем

Для данных натуральных чисел п (размерность) и г (гладкость) построим род структуры с Е К M - морфизм ам и для категории Manifold^:

(Х,<гг Ç ß(X) х Х,<72 С ß(Kn х X),ATn(X,aua2)),

где (?i,02) — аксиома состоящая из конъюнкции следующих

соотношений:

1. ХфЬ

2. ci определяет топологию;

3. пусть, / € сг2, тогда, / € ß(Rn х X), тогда / С Rn х X. Требуется, чтобы терм / был графиком отображения f : Rn X;

4. всякое f : Rn X из a2 непрерывно относительно топологии crj и стандартной топологии на R";

5. в <Т2 содержится максимальный согласованный атлас;

6. отображение / : R" —V X принадлежит стг тогда и только тогда, когда оно г-гладко относительно атласа (<fii)i£i и стандартной структуры гладкого многообразия на R".

£)Jv М-морфизмы в Manifold^ совпадают с гладкими отображениями. Аналогично можно построить категории Manifold^0, Manifold^ бесконечно гладких и аналитических многообразий соответственно. Добавляя в аксиому условия о существовании соответствующего числа г можно построить категорию Manifold« — n-мерных многообразий,

Категории Ode^ дифференциальных уравнений размерности п и гладкости г можно сопоставить следующий род структуры:

(X, <7i С /3(Х) х X, <т2 С /?(Rn х X), а3 С X х X х 0(R X X), А; (X, , <т2, <т3)),

со следующей аксиомой Агп(Х, сг\, Сг, о"з):

1. {X, (Тьегг) есть объект категории Manifold^;

2. стз есть график отображения <73 : X -» X х /?(R х Х);

3. если (73(а;) = (y,G), где у 6 AT, (7 С R х X, то при этом

• х = у;

• С? есть график отображения 7 : R X; . 7(0) = х;

• 7 : R X есть непрерывное отображение; Таким образом, аз(х) = (я,7 : R -> X).

4. Множество ТХ можно построить как фактор-множество подмножества 5х множества X х /?(R х X), состоящего из всех троек (аг,7 : R X), где х = 7(0). Очевидно, что образ ¡73(Х)

ЛежИТ В Sx, ПОЭТОМУ МОЖНО ПОСТРОИТЬ КОМПОЗИЦИЮ <737Г : X -»

ТХ, где 7г: 5х —> ТХ — проекция на фактор-множество. Требуется, чтобы 0з7г было гладким отображением относительно гладкой структуры, заданной при помощи 02 и, восстанавливаемой по ней гладкой структуры на ТХ.

В этом роде структуры ЕКМ-морфпзм / : {Х,а1,а2,^з) -> (У, п, т2, т3) это подстановка. Обратно, всякая подстановка может быть представлена таким образом.

Род структуры с ЕАГМ-морфизмами для категории Dsr можно определить следующим образом:

(X, Е, af С /3(Х) х X, af С /3(/3(N х R) х X),

of С /?(Е) х £?,<rf С /?(/?(N х R) х Е), pCExXJCExXx /3(RJ x X), Л£(Х, <т*, af, <xf

аксиома:

1. (X,cr*, ст*) — объект категории Manifold1";

2. (¿5, erf, af) — объект категории Manifold1"-1;

3. p — график (г - 1)-гладкого отображения р : Е XPr_i;

4. также как и в роде структуры обыкновенного дифференциального уравнения, / можно продолжить до (г — 1)-гладкого отображения / : Е ХГг-i;

5. /тг = р : £ -> ХРг_х

ЕКМ-иорфизм из (X, Е,о?,сг$, of, erf, р, /) в (Г, F, тау, т2у, т[, т[, г, д) это пара отображений X —t Y н rj : Е —> F, являющаяся морфизмом-подстановкой категории Dsr.

10 Определение ^-категории

Категории, морфизмы которых снабжены некоторой дополнительной структурой называются „обогащенными".

Известно, что каждая категория С снабжена основным функтором: he ■ С* х С -> Set. Допуская вольность речи, hc будет обозначаться как h, всегда когда это не вызывает недоразумений.

Зафиксируем теперь некую категорию М, и унивалентный функтор Р : М —> Set, который будет называться „забывающим".

Определение 10.1. У-категорией называется пара (С, Ус), где С — категория, а Я с — функтор Ус : С* х С М, такой что

he — Ус Р (HI)

Определение 10.2. Для f : a /3 обозначим

(■ f)x = (1Х,})У :У(х,а) У(х,р),

3> ТЗ,КЖ6

(/О* = и,и)Ч:Т}(р,х)->Ч(а,х).

Утверждение 10.1. (• f)(g ■) = (g ■)(■ f), (• /)(• g) = (■ fg) и (f •)(<? •) = (5/0-

Определение 10.3. Для У : С* Funct(C, М), их € ОЬС обозначим через Vх = xV : С —)■ М. Двойственно, рассматривая г? : СFunct(C*, М), обозначим через % = ху' : С* -» М.

11 Категории функторов

Введем дополнительное условие на категорию М:

категория М полна и функтор Р сохраняет пределы (Я2)

Теорема 11.1. При выполнении условий HI и HI, для ^-категории Сг, категорию Funct(Ci,C2) для произвольной категории С\ можно снабдить структурой У-категории.

На самом деле, также можно доказать и несколько другой результат:

Утверждение 11.2. При выполнении условий HI и Н2, для у-категории С2, категорию Funct(Ci, Сг) для произвольной категории Ci можно снабдить структурой У-категории с обогащенным Нот-фунтором enat : Funct(Ci,C2)* х Funct(Cj,С2) Funct(D,M),

где D — некоторая категория, зависящая только от С\. При этом enat Lim = Nat, где Lim : Funct(D,M) M есть фунтор предела (М полна по условию), а V Wat — функтор, построенный в предыдущем доказательстве.

Утверждение 11.3. Всякая полная подкатегория D V-категории С может быть снабжена структурой V-категории.

Утверждение 11.4. Для Л-категорий С и D произведение (как объектов в Cat) С у. D также является V-категорией.

12 Лемма Йонеды

Одним из фундаментальных результатов о функторах F : С —> Set является лемма Ионеда. Целью данного раздела является построение аналога этого результата для ^-категорий.

Определение 12.1. Для функтора F : С\ -» Ci построим функтор F у. F : С* X Ci -У Q х С2. Тогда hCl,(F х F)hC2 : С* х Ci -) Set я можно определить естественное преобразование fF : hcy (F х F)hc2 так что для любых х,у £ ObCi f^.ty) : НотсДх,^) Нотс2 (xF, yF) и для всякого 7 : х у 7= 7F : xF —> yF.

Определение 12.2. Функтор F : С\ -¥ из V-категории С\ в V-категорию Сг назовем ^-совместимым если существует естественное преобразование (pF : Ясх (F х F) Чсг между функторами Цсх, (F х F) г)Сз : С[ х Ci М такое что ipFP = fF : hCl -»(.Fx F)hC2.

Определение 12.3. V-категории и V-совместимые функторы образуют категорию "Л Cat, снабженную забывающим функтором Рц : г} Cat Cat.

Требуется доказать, что если F : С —> М — ^-допустимый функтор, то i? Nati^^^i1) изоморфно xF, как объект категории М. Для этого потребуем чтобы,

• категория М сама была снабжена ^-функтором:

Vm ■■ М* х М М (Я 3)

• для каждого х € Ob М, функтор Цхм : М М сопряжен справа к функтору (•) х х : М —У М умножения на х, т.е.

категория М является декартово замкнутой, с

J1M в качестве /wm-функтора (Я4)

• для всякой ^-категории С и для всякого х € Ob С существует

£х : Тм ->■ rjc[x,x), такой что ехР : Tset Homc(a;,x) — помечает единичный морфизм 1Х : х х (#5)

• функтор Р сохраняет экспоненциалы. Для этого необходимо и достаточно, чтобы для для любых x,t € ОЬМ выполнялось

ev^P = [fP] ; HomM(z, t) x (zP) -> tP (Я6)

Теорема 12.1. (Лемма Ионеда). Для всякого Л-совместимого функтора F : С Л/ лз ^-категории С в категорию М, удовлетворяющую условиям Н1-Н6, существует изоморфизм Т : Я Nat(^7g., F) й xF

Утверждение 12.2. При выполнении для V -категории С условий Н1,Н2 и Н5 для всякого а 6 Ob С слой С/а есть V-категория.

Следствие 12.3. При выполнении для Ц-категории С условий HI ,Н2 и НЬ для всякого функтора F : С" С категория compat F есть Л-категория.

Утверждение 12.4. Если С есть Я-категория, то ее скелет skel С также является V-категорией.

Следствие 12.5. Лри выполнении для rj-категории С условий Hi, Н2 и НЬ для всякого объекта х категории Sub х и Quo х суть t]-категории.

Утверждение 12.6. Категория1)Сз\.полааикополнаифункторРп : Cat Cat задает пределы и копределы.

Отсюда немедленно получаем

Утверждение 12.7. Для Л-категорий Сь С2 и С и V-совместимых функторов Е : —> С и б : С, комма-категория (Е 4- (?) есть

^-категория.

Основные результаты работы

1. Приводятся примеры мономорфизмов, не являющихся инъекциями и эпиморфизмов не являющихся сюръкциями. Приводятся достаточные условия совпадения мономорфизмов и инъективных мор-физмов. Находятся достаточные условия, при которых всякий ка-тегорный подобъект содержит среди своих представителей каноническую инъекцию. Строятся классы мономорфизмов, которые пред-ставимы бурбаковскими подобъектами. Находятся условия на категорию, достаточные для совпадения бурбаковских подобъектов и фактор-объектов.

2. Найдено условие, достаточное для совпадения категорных произведений с бурбаковскими начальными структурами. Найдено необходимое условие, выполняющееся для всякого конуса, являющегося бурбаковским пределом. Найдены условия, при которых это условие является и достаточным. Изучены бурбаковские пределы в категориях функторов. Найдены достаточные условия на объекты с начальной структурой в категориях с естественными каноническими морфизмами.

3. Описаны категории гладких многообразий, обыкновенных автономных дифференциальных уравнений на мнообразиях и управляемых динамических систем на многообразиях. Описаны мономорфизмы и эпиморфизмы, конечные объекты, некоторые свойства забывающих функторов и функторов касательного расслоения. Для всех вышеперечисленных категорий построены роды структур, в которых стандартные морфизмы являются также естественными каноническими.

4. Введена некотороая конструкция обогащения категорий. Изучены базовые свойства полученного таким образом класса обогащенных категорий и доказана его замкнутость относительно перехода к категории функторов, произведению категорий, категории слоя, комма-категории и замкнутость относительно пределов и копределов. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Павловскому Ю. Н. за постановку задачи, ценные

советы и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Данилов Н. Ю. О взаимосвязи декомпозиционных свойств исчисления родов структур и теории категорий. В сб. „Моделирование, оптимизация и декомпозиция сложных динамических процессов" М.: ВЦ РАН, 1996. С. 49-62.

2. Данилов Н. Ю., Ю. Н. Павловский, В. И. Соколов, Г. Н. Яковенко Геометрические и алгебраические методы в теории управления: уч. пособие, МФТИ. М.: 1999. 156 с.

3. Данилов Н. Ю. Обогащенные категории. В сб. „Моделирование, оптимизация и декомпозиция сложных динамических процессов " М.: ВЦ РАН, 1999.

Данилов Никита Юрьевич КАТЕГОРНЫЕ И БУРБАКОВСКИЕ КОНСТРУКЦИИ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Изд. лиц. № 040060 от 21.08.96 Подписано в печать 29.11.99. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 60 экз. Заказ №394

Московский физико-технический институт (государственный университет) Лаборатория обработки учебной и научной информации "физтех-полиграф" 141700, Московская обл., г.Долгопрудный, Институтский пер., 9

7.1.1 Введение

7.1.2 Определения.

7.1.3 Примеры.

7.2 Категории функторов

7.3 Лемма Ионеды.

Глава А. Теория категорий

А.1 Основные понятия.

А.2 Естественные преобразования, пределы

А.З Подобъекты и факторобъекты.

А.4 Бикатегории.

Глава 1 Предисловие

Описание цели и мотивации.

Данная работа представляет собой сравнение некоторых конструкций теории категорий и исчисления родов структур Бурбаки применительно к теории управляемых динамических систем. Как теория категорий, так и исчисление родов структур используются как формализмы для описания и изучения совокупностей (типов) однородных математических объектов: алгебр, топологических пространств, дифф. многообразий, дифф. уравнений (с управлением) и т.п. Оба этих формализма конкретизируют общематематические понятия подобъекта, факторообъекта, произведения семейства объектов и т.д.

В то время как в классических примерах (группы, кольца, моноиды) эти конкретизации приводят к одинаковым результатам, достаточно легко строятся примеры, в которых категорные и бурбаковские версии определений неэквивалентны. Это естественным образом приводит к задаче „сведения" т.е. определения того как и при каких условиях можно выразить категорные понятия через бурбаковские и/или наооборот.

Очевидным результатом разрешения таких задач является возможность переносить утверждения из одного формализма в другой, например, использовать такую категорную конструкцию как эпи-моно-разложение в теории переносимости, естественным образом формулируемой в рамках исчисления родов структур.

ГЛАВА 1. ПРЕДИСЛОВИЕ

Автор выражает искренную благодарность Юрию Николаевичу Павлов скому без помощи которого эта работа была бы невозможна.

Текст подготовлен с использованием diagrams . tex П. Тейлора и шрифтов LH Cyrillic, созданных в Су г TUG.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований. Код проекта 99-01-00018.

Глава 2 Введение

Описание методики. Происхождение теории категорий и бурба-ковских родов структур. Их место в (мета-)математике. Аналоги: (универсальные) алгебры, наброски (sketches) и т.д.

Теория категорий была создана Эйленбергом и Маклейном в конце 40-х годов как формализм для изучения гомологических конструкций над структурами более общими чем решетка открытых множеств топологического пространства. Несмотря на то, что с алгебраической точки зрения структура категории достаточно бедна (нет всюду определенного умножения, обратных элементов и т. д.), она оказалась черезвы-чайно удобной не только для решения задач алгебраической топологии и алгебраической геометрии, но и в целом ряде других областей математики:

• инструмент в алгебраической геометрии и топологии — изначальная область применения категорий ([6]).

• Самостоятельная ветвь общей алгебры (т.е. изучение категорий так же как изучаются группы, кольца и т.д.).

• Средство унификации построений в алгебре и математике вообще. Многие понятия, естественным образом возникающие в теории категорий (универсальные отображения, сопряженные функторы, мономорфизмы и эпиморфизмы, пределы функторов и т. д.),

ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ единообразным образом описывают понятия из разных ветвей математики, помогая обнаруживать скрытые соответствия. Отсюда берет начало традиция использования теории категорий для ха-рактеризации математических объектов в стандартных изложениях той или иной теории. Как один из наиболее ранних примеров такого подхода можно указать [2].

• Инструмент в мат. логике и кибернетике. Классическая мат. логика рассматривает модели той или иной формальной теории. С точки зрения теории категорий, это модели „в категории множеств", поэтому возникает естественное желание рассматривать модели в других категориях (например, категориях групп, топологических пространств, функторов и т.д.). Реализация этой идеи позволила получить аналоги многих классических результатов (например, теоремы Геделя о полноте) для неклассических логик: интуиционистских, когерентных, модальных и др. С другой стороны, декартовые замкнутые категории являются естественными моделями для А-исчислений, фундаментальных для кибернетики.

• Формализм для оснований математики. Начиная с работы [10], где была предложена система элементарных аксиом, характеризующих категорию множеств, теория категорий стала восприниматься в работах по основаниям математики, как возможная альтернатива теории множеств. Дальнейшее развитие этой темы и ее пересечение с теорией пучков привело к возникновению и изучению понятия (элементарного) топоса ([8],[7]).

Теория категорий и исчисление родов структур предлагают различные модели для описания совокупностей „однородных" математических объектов. В разное время для этой цели были предложены и другие формализмы, например, универсальные алгебры (см. [20]), наброски (sketches, библиографию см. в [14]) и Чу-пространства (Chu-spaces). Однако, между универсальными алгебрами и категориями с одной стороны и родами структур и набросками с другой есть существенное различие: первые больше подходят для изучения математических структур уже заданных при помощи средств, лежащих вне этих формализ

ГЛАВА 2. ВВЕДЕНИЕ мов и, соответственно, предоставлют минимальные средства для порождения новых типов объектов (по двум типам универсальных алгебр, можно построить „тип-произведение", по двум категориям — категорию функторов и т.д.), в то время как формализмы второй группы предоставляют средства для построения всех типов математических объектов (как множеств со структурой в случае родов структур или как функторов специального вида в случае набросков). Например, там где при использовании родов структур можно сказать „определим род структуры группы как . в теории категорий говорится „рассмотрим категорию групп . предполагая при этом, что определение группы и гомоморфизма групп известно заранее. Действительно, попытки определить категории „похожие" на категорию множеств при помощи чисто категорных методов потребовали многолетних усилий множества математиков (см. [8]).

Наиболее очевидным отличием теории категорий от исчисления родов структур является, конечно, использование морфизмов, как едиствен-ного средства изучения объектов. Такое решение связывают обычно с течением в философии математики, известным как структурализм и противопоставляемым редукционизму (т.е., сведению всех математических структур к одной), примером которого являются построения Бурбаки (теоретико-множественный редукционизм). Не вдаваясь в эту обширную тему, сошлемся на [29],[26],[27] и [28].

Глава

Постановка задачи

Описание структуры документа, обозначения, ссылки

1. Michael Barr Fixed points in cartesian closed categories (Выходные данные отсутствуют.)

2. С. Chevalley Fundamental concepts of algebra New York: Academic Press, 1956.

3. Alonzo Church Introduction to Mathematical Logic Volume I, Princeton NJ, Princeton Univ. Press, 1956. А. Черч Введение в математическую логику, М.: Изд. иностранной литературы, 1960. 484 с.

4. С. Faith Algebra: Rings, Modules and Categories, Volume I, Berlin, Springer-Verlag. 1973. К. Фейс Алгебра: кольца, модули и категории, том 1, М.: Мир, 1977. 688 с.

5. P. Gabriel, М. Zisman Calculus of Fractions and Homotopy Theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35 SpringerVerlag, 1967. П. Габриель, M. Цисман Категории частных и теория гомотопий М.: Мир, 1971. 295 с.

6. R. Goldblatt Topoi, The Categorial Analysis of Logic, Amsterdam, North Holland Publishing Company, 1979. P. Голдблатт Топосы, категорный анализ логики, М.: Мир, 1983. 486 с.БИБЛИОГРАФИЯ 149

7. Р. Т. Johnstone Topos Theory London, Academic Press, 1977. П. Т. Джонстон Теория топосов M.: Наука, 1986. 438 с.

8. John L. Kelly General Topology D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, New Jersey, 1957. Дж. JI. Келли Общая топология М.: Наука, 1968. 383 с.

9. F.W. Lawvere An elementary theory of the category of sets Proc. Nat. Acad. Sci., 1964, 52. p. 1506-1511.

10. F.W. Lawvere Categories in continuum physics Lectures given at a Workshop held at SUNY, Buffalo 1982. Berlin etc.: Springer, Cop. 1986.-126.

11. William S. Massey Algebraic Topology: An Introduction Harcout, Brace & World, Inc. New York Chicago - San Francisco - Atlanta, 1967. У. Масси Алгебраическая топология M.: Мир, 1977. 340 с.

12. S. MacLane Categories for the Working Mathematician, Berlin: Springer, 1971.

13. Charles Wells Sketches: Outline with References ftp://ftp.cwru.edu/math/wells/sketches.dviЛитература на русском языке

14. Н. Бурбаки Теория множеств М.: Мир, 1965. 455 с.

15. А. Г. Бутковский Фазовые портреты управляемых динамических систем М.: Наука, 1985. 136 с.

16. Н. Ю. Данилов О взаимосвязи декомпозиционных свойств исчисления родов структур и теории категорий М.: ВЦ РАН, 1996. С. 49-62.http://www.server.ru/~god/mathБИБЛИОГРАФИЯ 150

17. Н. Ю. Данилов, Ю. Н. Павловский, В. И. Соколов, Г. Н. Яковенко Геометрические и алгебраические методы в теории управления: уч. пособие, МФТИ. М.: 1999. 156 с.http://www.server.ru/~god/math

18. В. И. Елкин Методы алгебры и геометрии в теории управлении. Аффинные распределения и аффинные системы: уч. пособие, МФТИ. М.: 1996. 112 с.

19. О. В. Мельников, и др. Общая алгебра М.: Наука, 1990. 480 с.

20. Ю. Н. Павловский, Т. Г. Смирнова Проблема декомпозиции в математическом моделировании М.: Фазис, 1998. 272 с.

21. Ю. Н. Павловский О естественных морфизмах М.: ВЦ РАН, 1996. С. 3-13.

22. С. Ю. Пичугов Декомпозиция формальных грамматик М.: ВЦ РАН, 1996. С. 20-48.

23. М. М. Постников Гладкие многообразия М.: Наука, 1987. 480 с.

24. М. Ш. Цаленко, Е. Г. Шульгейфер Основы теории категорий М.: Наука, 1974. 256 с.Дополнительная литература

25. J. L. Bell Category Theory and the Foundations of Mathematics, British Journal of Philosophy of Science, vol. 32, 1981.

26. P. Benaceraf What Numbers Could Not Be, Philosophical review, vol. 74, 1965.

27. L. Corry Nicholas Bourbaki and the Concept of Mathematical Structure, Synthese, vol. 92, 1992.