Стереотипные алгебры и двойственность для групп Штейна

Акбаров, Сергей Саидмузафарович

Стереотипные алгебры и двойственность для групп Штейна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Акбаров, Сергей Саидмузафарович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Стереотипные алгебры и двойственность для групп Штейна»

Автореферат диссертации на тему "Стереотипные алгебры и двойственность для групп Штейна"

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова Механико-Математический факультет

На правах рукописи УДК 517.986, 517.55

АКБАРОВ СЕРГЕЙ САИДМУЗАФАРОВИЧ

СТЕРЕОТИПНЫЕ АЛГЕБРЫ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ

ГРУПП ШТЕЙНА

01.01.01— вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва 2010

' 2 ЛЕН 2910

004614886

Работа выполнена во Всероссийском институте научной и технической ш формации (ВИНИТИ).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Вайнерман Леонид Иосифович,

доктор физико-математических наук, профессор Онищик Аркадий Львович,

доктор физико-математических наук, профессор Шавгулидзе Евгений Тенгизович.

Ведущая организация: Математический институт имени В. А. Стекл

Российской академии наук

Защита диссертации состоится 24 декабря 2010 года в 16 часов 40 минут н заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государстве? ном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, г. Москвг Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 1624.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математическо: факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 10 ноября 2010 года.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В.Н. Сороки:

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Теория двойственности JI. С. Понтрягина для коммутативных локально компактных групп1 с момента своего появления на свет в 1930-х годах много раз была объектом обобщения на некоммутативный случай. Исследования в этой области продолжаются и в настоящее время, и теперь их можно разделить на два главных направления:

1. Прежде всего, это подход, продолжающий линию Т. Таннаки2 и М. Г. Крей-на3, согласно которому двойственность в гармоническом анализе следует понимать, как взаимную связь между группой и всевозможными ее представлениями. Эволюция этой идеи привела ныне к интерпретации двойственности, как связи между алгеброй Хопфа (современным аналогом группы) и тензорной категорией ее модулей (аналогом категории представлений группы)4. Это направление развивалось в работах Н. Тацуумы5, А. Л. Ро-зенберга6, Н. Сааведры Ривано7, П. Делиня8, Дж. Милна9, А. Джойала, Р. Стрита10, Д. Н. Иеттера11, К.-Х. Ульбриха12, П. Шауэнбурга13 и других.

1L. Pontrjagin. The theory of topological commutative groups, Ann. Math. 35(2): 361-388, 1934.

2T. Tannaka, Uber den Dualitatssatz der nichtkommutativen topologischen Gruppen, Tohoku Math. J. 45:1-12, 939.

3M. Г. Крейн. Принцип двойственности для бикомпактной группы и квадратной блок-алгебры. Докл. Акад. Гаук СССР 69:725-728, 1949.

первоначальное представление об этом подходе можно получить по главе "Representations and quasitensor ategories" в монографии V. Chari, A. Pressley, A guide to quantum groups. Cambridge university press, 1995., ли по главе 'Tiber functors and Tanaka-Krein duality" в моногорафии P. Etingof, 0. Schiffmann, Lectures on uantum groups, Hardcover, 1998.

5N. Tatsuuma. A duality theorem for locally compact groups. J. Math., Kyoto Univ. 6 (1967), 187-293.

6 A. L. Rosenberg. Duality theorems for groups and Lie algebras. Russian Math. Surveys 26, 36 (1971), 253-254; .. L. Rosenberg. Reconstruction of groups, Sel. math., New ser. 9:101-118, 2003.

7N. Saavedra Rivano. Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Mathematics, no. 265, Springer, 1972.

8P. Deligne, Cateries Tannakiennes, in Grothendieck Festschrift, Vol.2, P. Cartier et al. (eds), pp.111-195, ¡irkhauser, 1991.

'P. Deligne, J. S. Milne, Tannakian categories, in Hodge Cycles, Mtives and Shimura Varieties, P. Deligne, . S. Milne, A. Ogus & K. Shih (eds), Lecture notes in Mathematics 900, pp.101-228, Springer, 1982.

10A. Joyal, R. Street, Braided monoidal categories, Macquarie Mathematical Reports, no.860081, 1986; A. Joyal, ,. Street, "An introduction to Tannaka duality and quantum groups", Lecture Notes in Math. 1488 (Springer-Verlag erlin, Heidelberg 1991) 411-492.

11D. N. Yetter, Quantum groups and representations of monoidal categories, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 38:261-290,1990.

"K.-H. Ulbrich, On Hopf algebras and rigid monoidal categories, Israel J. Math. 72:252-256, 1990

13P. Schauenburg, Tannaka duality for arbitrary Hopf algebras, Algebra Berichte 66 (1992).

2. Второе направление родилось, наоборот, как альтернатива результатам Тан-наки и Крейна. Его движущим мотивом явилась неудовлетворенность тем, что в теории Таннаки-Крейна нарушается понтрягинская симметрия между группой G и двойственным ей объектом G (который перестает быть группой), а целью объявлялась нахождение такого обобщения двойственности, при котором двойственный объект сохранял бы ту же природу, что и исходный (более ясное представление о том, что понимается под этой симметрией, дает приводимая ниже диаграмма категорий (2), аналоги которой для более широких классов групп и представляют собой объект поиска при этом подходе). Пионерами в этой области следует считать двух советских математиков, JI. И. Вайнермана и Г. И. Каца141а16, и двух математиков из Франции, М. Энока и Ж.-М. Шварца17,1519, которые в 1973 году, работая двумя независимыми группами, показали, что такая задача в принципе разрешима. Ими было построено исторически первое обобщение понтрягинской теории, сохраняющее симметрию между G и G, - теория алгебр Каца, - изложение которой можно найти в монографии М. Енока и Ж.-М. Шварца "Алгебры Каца и двойственность для локально компактных групп"20. Впоследствии работа в этом направлении продолжилась, поскольку, с одной стороны, в теорию вносились улучшения, а с другой, после открытия в 1980-х годах квантовых групп, сразу же приобретших широкую популярность, понтрягинскую двойственность стали обобщать и на этот класс, причем эта работа не окончена и поныне: возникшая на этой волне теория локально компактных квантовых групп в настоящее время активно разрабатывается усилиями С. JI. Вороновича, С. Вааса, А. Ван Даале, Л. Вайнермана, Й. Кустерманса, В. Пуша, П. Солтана и других 21.

14Л. И. Вайнерман. Характеризация объектов, двойственных к локально компактным группам. Функц. анализ и его прил. 8-1 (1974), 75-76.

15Л. И. Вайнерман, Г. И. Кац. Неунимодулярные кольцевые группы и алгебры Хопфа—фон Неймана. Докл. Акад. Наук СССР 211:1031-1034, 1973.

18Л. И. Вайнерман, Г. И. Кац. Неунимодулярные кольцевые группы и алгебры Хопфа—фон Неймана. Ма-тем. сб. 94:194-225, 1974.

17М. Enock, J.-M. Schwartz. Une dualité dans les algèbres de von Neumann. Note C. R. Acad. Se. Paris 277:683685, 1973.

18M. Enock, J.-M. Schwartz. Une catégorie d'algèbres de Kac. Note C. R. Acad. Se. Paris 279:643-645, 1974.

19M. Enock, J.-M. Schwartz. Une dualité dans les algèbres de von Neumann. Supp. Bull. Soc. Math. France Mémoire 44:1-144, 1975.

20M. Enock, J.-M. Schwartz. Kac Algebras and Duality of Locally Compact Groups. Springer-Verlag, 1992.

21 J. Kustermans, W. Pusz, P. M. Soltan, S. Vacs, A. Van Daele, L. Vainerman, S. L. Woronowicz. Locally

Одновременно с этим делением на "симметричную" и "асимметричную" составляющие, в теории двойственности с самого начала обозначилась разница между "алгебраической" и "аналитической" системами технических приемов, и одна из существенных черт ее выражается в том, что по мере расширения класса рассматриваемых групп, которое можно изобразить движением по цепочке

конечные группы П

аффинные алгебраические группы

• n w

группы Ли П

локально компактные группы 1

исследователю приходится усложнять и/или искажать исходные алгебраические конструкции и идеи. Как это происходит, удобно проиллюстрировать на примере конструкции групповой алгебры.

1) Мы начнем с конечных групп. Как известно, групповая алгебра конечной группы G (пусть над полем С) может быть определена, например, формулой

Сс = (С СУ

(в которой CG обозначает алгебру функций и : G —► С, а X' - пространство линейных функционалов f : X С на конечномерном векторном пространстве X). Определенный таким образом объект Сс действительно будет групповой алгеброй в том смысле, что по нему легко восстанавливается сама группа G, а представлениям группы G будут взаимно однозначно соответствовать представления алгебры Cg- В дополнение к этому (и это оказывается весьма важно) Cg будет обладать структурой алгебры Хопфа, и вместе это позволяет строить теорию двойственности для конечных групп в обоих упомянутых выше направлениях - как асимметричный

:ompact quantum groups, In: "Quantum symmetry in noncommutative geometry" (P. M. Hajac, Ed.), Locally :ompact quantum groups. Lecture Notes School / Conference on Noncommutative Geometry and Quantum groups, iVarsaw, 2001, Banach Center Publications, to appear.

вариант (который в данном случае можно просто считать частью теории Таннаки-Крейна, поскольку конечная группа всегда компактна), так и симметричный ее вариант, который удобно изображается в виде следующей диаграммы категорий22:

(здесь е - функтор вложения, G - двойственная по Понтрягину группа, а штрих ' - по-прежнему, переход к сопряженному пространству линейных функционалов).

2) При переходе от конечных групп к аффинным алгебраическим возникает первая трудность: групповую алгебру (то есть алгебру, по которой восстанавливается G, и представления которой взаимно однозначно соответствуют представлениям G) для алгебраических групп определять не принято (из-за ее существенной "неалгебраичности"), и этот объект заменяется на двойственный - алгебру регулярных функций (многочленов) на G, которую мы условимся обозначать 7l(G). Эта алгебра оказывается алгеброй Хопфа, причем по ней также восстанавливается группа G, а ее копредставлениям соответствуют представления G. Это позволяет строить теорию двойственности, но, в отличие от предыдущего случая, только ее асимметричный вариант: алгебра Хопфа TZ{G), как любая другая алгебра Хопфа над С,

22Коммутативность диаграммы (2) означает просто изоморфизм функторов. По-видимому, теория двойственности для конечных групп, описываемая этой картиной, является продуктом коллективного математического сознания. В явном виде упоминание о ней содержится в монографии А. А. Кириллова (А.А.Кириллов. Элементы теории представлений, - М.: Наука, 1978). В неявном же виде формулируемое здесь утверждение присутствует в работах Г. И. Каца 1960-х годов (в частности: Г. И. Кац, В. Г. Палюткин. Конечные кольцевые группы, Труды ММО, 15:224-261,1966).

порождает С-линейную жесткую абелеву моноидальную категорию £ своих копредставлений, по которой затем с помощью теоремы К.-Х.Ульбриха23 становится возможным восстановить саму алгебру Хопфа 1Z(G).

3) Следующий переход к группам Ли и локально компактным группам мы объединим в одном пункте, поскольку качественной разницы между этими классами с точки зрения того, что обсуждается, нет. Общая теория двойственности здесь представлена в асимметричном варианте результатами Н. Тацуумы24 (в которых теория Таннаки-Крейна обобщается на произвольные локально компактные группы), а в симметричном варианте уже упоминавшейся теорией Вайнермана-Каца-Энока-Шварца25. В обоих случаях объекты, выполняющие роль групповых алгебр, выбираются как подкласс среди образований, именуемых алгебрами Хопфа-фон Нейман а26, однако обычными алгебрами Хопфа они перестают быть, поскольку в их определении используются сразу два тензорных произведения - одно (проективное тензорное произведение банаховых пространств) для операции умножения, другое (тензорное произведение алгебр фон Неймана) для коумноже-ния. В этом проявляется искажение исходных алгебраических определений, о котором мы говорили.

23K.-H.Ulbrich. On Hopf algebras and rigid monoidal categories, Israel. J. Math., 72:252-256 (1990). Формулировку этого результата с наброском доказательства можно найти в учебнике V. Chari, A. Pressley, A guide to quantum groups. Cambridge university press, 1995 (Theorem 5.1.11).

24См. подстрочное примечание 5.

25См. подстрочное примечание 20.

26В теории Вайнермана-Каца-Энока-Шварца такие объекты называются алгебрами Каца, а в теореме Таду-шы они присутствуют неявно, однако их роль была выявлена позже Дж.Эрнестом, введшим в употребление :ам термин "алгебра Хопфа-фон Неймана" в статье: J.Ernest, Hopf-von Neumann algebras, Functional analysis. >roc. Conf. Univ. California, 1966, pp.195-215 (1967).

другой, она содержит достаточно средств, чтобы при необходимости переходить от асимметричной картины к симметричной, а внутри каждой из них выбирать удобную точку зрения, переходя если нужно от групповой алгебры Со функционалов к двойственной ей алгебре Са функций, и наоборот). Важно, помимо прочего, что эта гибкость позволяет интерпретировать теорию двойственности для конечных групп, как частный случай остальных, то есть асимметричной теории двойственности для алгебраических групп (из пункта 2), и обеих теорий для локально компактных групп (из пункта 3). Однако, переходя от пункта 1 к пунктам 2 и 3, мы видим противоположную картину: жесткость теорий пункта 2 и 3 не дает возможности считать двойственность для алгебраических групп частным случаем двойственности для локально компактных групп (хотя цепочка (1) рождает именно эти интуитивные ожидания). Очевидная генетическая связь между этими теориями не обретает форму строгих логических формулировок, и это оправдывает поиски новых точек зрения, способных, во-первых, объединить алгебраический и аналитический подходы в теории двойственности, и, во-вторых, - устранить дисбаланс между симметричной и асимметричной ее составляющими.

Это намерение можно проиллюстрировать следующей таблицей, в которой плюсы означают, что для данного случая построена соответствующая теория, а минусы и вопросительный знак - что ее пока нет:

классы групп асимметричные теории симметричные теории

конечные + +

алгебраические + -

группы Ли:

комплексные - ?

вещественные - -

локально компактные + +

Конечной целью исследований в этой области (если это осуществимо) можно объявить заполнение всех ячеек таблицы плюсами таким образом, чтобы, в духе сказанного выше по поводу гибкости, при переходе к более широкому классу групп следующая теория обобщала предыдущую, а вся картина в целом выглядела узлом, связывающим четыре затрагиваемые здесь области математики - алгебраическую геометрию, комплексный анализ, дифференциальную геомет-

рию и общую топологию. Целью же настоящей диссертации является заполнение ячейки с вопросительным знаком.

Цель работы.

В настоящей диссертации строится теория двойственности для достаточно широкого класса комплексных групп Ли, удовлетворяющая следующим двум условиям, смысл которых мы обсуждали выше:

1) симметричность (двойственный объект имеет ту же природа, что и исходный),

2) гибкость (употребляемые конструкции являются алгебраическими, в частности, в качестве групповых алгебр используются алгебры Хопфа в подходящих моноидальных категориях).

В качестве такого класса групп выбран класс компактно порожденных групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы, а базой для построений служит разработанная автором теория стереотипных пространств и алгебр, основные результаты которой также представлены в диссертации.

Научная новизна.

Все полученные результаты являются новыми и состоят в следующем.

• Найдена широкая категория 61е локально выпуклых пространств, называемых стереотипными, позволяющая строить удобную теорию топологических алгебр, свободную от некоторых недостатков традиционной теории.

• Показано, что бte является полной и кополной предабелевой категорией.

® Показано, что ©1е обладает структурой замкнутой симметрической моно-идальной категории, и что для всякой алгебры А в этой категории соответствующие категории и левых и правых Л-модулей являются относительными категориями над категорией 61е.

• Показано, что свойство стереотипной аппроксимации в категории 61е наследуется пространствами операторов и тензорными произведениями.

• Описана структура модулей над алгеброй £(Х) операторов на стереотипном пространстве X со свойством стереотипной аппроксимации.

• Получено обобщение двойственности Понтрягина с категории коммутативных компактно порожденных групп Штейна на категорию (необязательно коммутативных) компактно порожденных групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы.

Методы исследования.

В диссертации используются различные методы функционального анализа, абстрактного гармонического анализа, комплексного анализа и общей топологии. Широко применяются также разработанные автором за последние годы методы теории стереотипных пространств и алгебр.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в исследовании групп Штейна и групповых алгебр.

Апробация работы.

Результаты диссертации неоднократно докладывались

— на научно-исследовательских семинарах МГУ им. М. В. Ломоносова:

• «Алгебры в анализе», кафедра Теории функций и функционального анализа, руководитель: проф. А. Я. Хелемский, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000, 2003, 2004, 2005, 2006, 2008.

• «Семинар по многомерному комплексному анализу», кафедра Теории функций и функционального анализа, руководители: проф. В. К. Бе-лошапка, чл.-корр. РАН С. Ю. Немировский, проф. А. Г. Сергеев, чл,-корр. РАН Е. М. Чирка, 2009.

• «Бесконечномерный анализ и его приложения», кафедра Теории функций и функционального анализа, руководители: проф. О. Г. Смолянов, проф. Е. Т. Шавгулидзе, 2009.

• «Группы Ли и теория инвариантов», кафедра Высшей алгебры, руководители: к.ф-м.н. И.В.Аржанцев, проф. Э. В. Винберг, проф. А. Л. Они-щик, доц. Д.А.Тимашев, 2009.

• «Некоммутативная геометрия и топология», кафедра Высшей геометрии и топологии, руководители: проф. И. К. Бабенко, доц. А. А. Ирма-тов, проф. А. С. Мищенко, проф. В. М. Мануйлов, проф. Е. В. Троицкий, 2009,

— на научно-исследовательских семинарах в зарубежных университетах:

• общекафедральный семинар факультета математики, университет Нью-кастла, Великобритания, руководитель: проф. Н. Янг, 1998.

• «Банаховы и локально выпуклые алгебры», Афинский университет, Греция, руководитель: проф. М. Фрагулопулу, 2006.

• «Алгебра», университет г. Сейнт-Джонс, Канада, руководитель: проф. Ю. А. Бахтурин, 2004.

• «Семинар по некоммутативному гармоническому анализу», университет г. Казн, Франция, руководитель: проф. Л. И. Вайнерман, 2009.

• Математический семинар университета г. Люксембург, руководитель: проф. М. Шлихенмайер, 2010.

— на международных конференциях:

• "Топологические алгебры, их приложения и связанные вопросы", Бендле-во, Польша, 2003,

• "Школа по некоммутативной геометрии", Варшава, Польша, 2005,

• "Представления групп Ли и алгебраических групп", Эрланген, Германия, 2010.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, список которых приведён в конце автореферата (из них 8 работ опубликованы в журналах из перечня ВАК).

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав (разбитых на разделы) и списка литературы, насчитывающего 86 наименований. Общий объём диссертации — 356 страниц.

Краткое содержание диссертации

Во введении приводится краткий исторический обзор по тематике работы, а также излагаются мотивировки, цели и методы исследования.

В главе 1 приводятся предварительные сведения из теории локально выпуклых пространств (ЛВП) и доказываются вспомогательные технические результаты, лежащие в основаниях теории стереотипных пространств: описываются свойства вполне ограниченных и емких множеств в локально выпуклом пространстве, строятся функторы псевдопополнения и псевдонасыщения локально выпуклого пространства и доказывается двойственность между ними.

Вполне ограниченные множества и псевдополные пространства. Множество 5 в ЛВП X называется вполне ограниченным, или предкомпактным, если для всякой окрестности нуля II в X найдется конечное множество А такое, что 5 С и + А. Это равносильно тому, что 5 вполне ограничено в смысле индуцированной из X равномерной структуры (поэтому А можно выбирать лежащим в 5).

ЛВП X называется псевдополным, если в нем всякая вполне ограниченная направленность Коши сходится. Это равносильно тому, что всякое замкнутое вполне ограниченное множество 5 в X является компактом.

Теорема 1. Каждому ЛВП X можно поставить в соответствие морфизм27 Чх X Хч в некоторое псевдополное ЛВП Хч так, чтобы выполнялись условия

(г) X псевдополно, тогда и только тогда, когда : X —> - изоморфизм;

37Морфизмом локально выпуклых пространств мы называем линейное непрерывное отображение.

(п) для любого морфизма ЛВП <р : X —» У найдется единственный морфизм ЛВП : Хч У7, замыкающий диаграмму

X —^ X'

у. (з)

Пространство Хч называется псевдопополнением пространства X.

Емкие множества и псевдонасыщенные пространства. Множество И в ЛВП X называется емким, если для любого вполне ограниченного множества 5 С X существует конечное А С X такое что 5 С Б + А. Если В замкнуто, выпукло и уравновешенно, то это условие равносильно условию массивности в нуле, то есть тому, что для любого вполне ограниченного множества 5 в X найдется окрестность нуля II в X такая, что 5 П £7 С £>.

ЛВП X называется псевдонасыщенным, если в нем всякое замкнутое выпуклое уравновешенное емкое множество В является окрестностью нуля.

Теорема 2. Каждому ЛВП X можно поставить в соответствие морфизм, Ах- Xл X из некоторого псевдонасыщенного ЛВП Xй так, чтобы выполнялись условия

(г) X псевдонасыщено, тогда и только тогда, когда Ах■ ХА —» X - изоморфизм;

(п) для любого морфизма ЛВП <р : У —> X найдется единственный морфизм ЛВП <рА : Ул Xй, замыкающий диаграмму

Х^Х*

>■ (4)

Пространство Xй называется псевдонасыщением пространства X.

Сопряженное пространство. Сопряженным пространством X* к ЛВП X над С называется пространство линейных непрерывных функционалов / : X —> С, наделенное топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в X. Если </? : X —> У - морфизм ЛВП, то формула

определяет морфизм сопряженных пространств, <р* : У* —> X*, который называется сопряженным морфизмом. Отображение ^Ну)* является контравариант-ным функтором в категории ЛВП, который называется функтором сопряжения. Следующие две теоремы показывают, что функтор сопряжения устанавливает в некотором смысле двойственность между функторами псевдопополнения и псевдонасыщения.

Теорема 3. Пусть X - псевдополное ЛВП. Тогда (а) существует единственный изоморфизм

(Ь) для всякого морфизма псевдополных ЛВП <р : X —> У коммутативна диаграмма

<Р*(9) = 9°Ч>

(Xй)* = {X*)

(5)

(Хл)* — (X*)7

(¥>4)*

(6)

такой, что коммутативна диаграмма

(Х*)д

*г\

(Ь) для всякого морфизма псевдонасыщенных ЛВП <р : X —У коммутативна диаграмма

В главе 2 вводится понятие стереотипного пространства, приводятся примеры и описываются важнейшие свойства категории стереотипных пространств.

Стереотипные пространства. ЛВП X мы называем стереотипным, если оно одновременно псевдополно и псевдонасыщено. Справедлива следующая

Теорема 5. Для ЛВП X следующие условия эквивалентны:

(I) пространствоХ стереотипно;

(И) естественное отображение '• X —X** является изоморфизмом ЛВП.

Как оказывается, все квазиполные бочечные пространства являются стереотипными. В частности, все банаховы пространства и все пространства Фреше

(Ху)* — (Х*)А

(8)

(у*)* _ (у*)*

являются стереотипными. Наглядно это можно продемонстрировать картинкой:

СТЕРЕОТИПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

квазиполные бочечные пространства

пространства Фреше

пространства Банаха

рефлексивные пространства

Класс 61е стереотипных пространств образует категорию, морфизмами в которой служат линейные непрерывные отображения (р : X —У. Категория бte предабелева:

Теорема 6. Всякий морфизм стереотипных пространств ¡р : X -»У обладает

- ядром кепр : Кег <р -¥ X,

- коядром сокег <£> : У Сокег^,

- образом ¡т <р : 1т ¡р —> У

- и кообразом «мт <р : X -> Со1т <р

в категории 61е стереотипных пространств■ При этом, операция р> м- у?* перехода к сопряженному отображению устанавливает следующие связи между этими объектами:

(кег <р)* = сокег р* (сокег р)* = кег <р* (¡т ф)* = со1т р* (сот ф)* — ¡т р*

(Кег^)1А = 1т^>* (1т^)1л = Кегуз* Кег^ = (1т^+)Хл 1т <р = (Кегр*)хд

Стереотипное пространство X называется

- пространством Смит, если его сопряженное пространство X* является банаховым пространством,

— пространством Браупера, если его сопряженное пространство X* является пространством Фреше.

Связи между классами пространств Фреше, Браунера, Банаха и Смит иллюстрируются следующей диаграммой (в которой переход к сопряженному классу получается поворотом на 180°):

пространства Фреше

пространства Банаха

пространства] пространства Смит

пространства Браунера

Пространства операторов, билинейных форм и тензорные произведения. Пусть X и У - два ЛВП. Обозначим через У : X пространство всех морфизмов (то есть линейных непрерывных операторов) ц> : X —> У, наделенное топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в X, а символом У 0 X - псевдонасыщение пространства У : X,

У0Х = {У:Х)А

Если пространства X и У стереотипны, то пространство У 0 X тоже стереотипно.

Для любых трех ЛВП X, У, 2 билинейную форму /3 : X х У 2 мы называем непрерывной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1) для всякой окрестности нуля IV С Ъ найдутся вполне ограниченное множество 5 с X и окрестность нуля У С У такие, что /9(5, V) С ТУ;

2) для всякой окрестности нуля W С Z найдутся вполне ограниченное множество Г С У и окрестность нуля I/ С X такие, что /3(1/, Т) С ТУ.

Символом Z : (X, У) обозначается пространство всех непрерывных билинейных форм /3 : X х У Z, наделенное топологией равномерной сходимости на

вполне ограниченных множествах в X х У, а символом Z 0 (X, У) - псевдонасыщение этого пространства:

Z0(X,Y) = {Z:(X,Y)Y

Если пространства X, У и Z стереотипны, то пространство Z 0 (X, У) тоже стереотипно.

Проективное (стереотипное) тензорное произведение стереотипных пространств X и У определяется эквивалентными равенствами

X © У := (X* 0 У)*, X®Y := (С©(Х,У))*

причем при а- е X и у € У элементарный тензор х ® у Е X ®Y определяется эквивалентными равенствами

1<р(у)Н &®У){Р) -=Р{х,у\

V V

?еГ0У /36С0(Х,У)

х®уе(Х*0У)* х®у€ (Си(Х,У))*

Итективное (стереотипное) тензорное произведение стереотипных пространств X и У определяется эквивалентными равенствами

X © У := У 0 X*. Х©У :=С0(Х*,У*)

причем при х G X и у е У элементарный тензор а- © у 6 © У определяется эквивалентными равенствами

faOy)(/) := /(аг)'Ж/, fa Оу)(/,<7) := /(s)-g(g),

V-s in v ^

/U' }ЧХ\ ge У*

101/еУ0Л'' i0s;£C0{.Y*,y*)

Справедливы следующие тождества, естественные по X, У, Z:

(Х©У)*^У*©Х* (Х©У)*^У*©Х*

20(Х©У) ^ (Z0X)©y (Х0У)0£^Х©(У02) С©Х^Х^Х©С С©Х^Х^Х©С Х©У^У©Х Х©У^У©Х

{X ®Y) ® Z = X ®(Y ® Z) (X © У) © Z X © (У © Z)

Vie/ / Ш Kiel / Ш

Теорема 7. Существует единственный морфизм стереотипных пространств @ху X ®У X О У, называемый преобразованием Гротендищ удовлетворяющий тождеству

® у) = х О у

Теорема 8. Категория б1е стереотипных пространств является моноидаль-ной категорией относительно операций проективного ® и инъективного 0 тензорного произведения, причем проективное тензорное произведение ® задает на 61е структуру замкнутой моноидалъной категории с внутреннем кот-функтором в виде дроби 0:

Нот {Х,У) = У<2>Х

Свойство стереотипной аппроксимации. Для всякого стереотипного пространства X символами С{Х) и £*{Х) мы обозначаем пространства

С(Х):=Х®Х, С*{Х){X <д X}*

Пространство £{Х) состоит из линейных непрерывных операторов а : X X и наделено топологией, являющейся псевдонасыщением топологии равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в X. Из определений © и 0 имеем,

£{Х) = Х*ОХ, £*(Х) = Х*®Х, поэтому между £{Х) и С*(Х) имеется естественное преобразование Гротендика-.

: £*{Х) = Х*®Х-+Х*®Х^ С(Х)

Будем говорить, что стереотипное пространство X обладает стереотипной аппроксимацией, если единичный оператор 1х приближается конечномерными в пространстве £{Х) — X 0 X.

Теорема 9. Для стереотипного пространства X следующие условия эквивалентны:

(г) X обладает стереотипной аппроксимацией;

(п) преобразование Гротендика : £*{Х) = Х*®Х-±Х*®Х = С{Х) является мономорфизмом (в категории 61е);

(in) преобразование Гротендика @х ■ £*{Х) = Х*©Х->Х*©Х = С(Х) является эпиморфизмом (s категории Stc);

(iv) для всякого стереотипного пространства Y преобразование Гротендика @:У©Х->УОХ является мономорфизмом (в категории Sie);

(v) для всякого стереотипного пространства Y преобразование Гротендика

У ® X —> У © X является эпиморфизмом (в категории &ie).

Следующая теорема иллюстирирует тезис, что стереотипная теория позволяет упрощать функциональный анализ, уменьшая количество контрпримеров в нем. Как известно, если банахово пространство X обладает свойством классической аппроксимации, то это необязательно будет верно для его пространства операторов В(Х): в 1981 году А. Шанковский показал28, что пространство В(Н) ограниченных операторов на бесконечномерном гильбертовом пространстве Я не обладает аппроксимацией. В стереотипной теории этот контрпример исчезает:

Теорема 10. Пусть X uY - стереотипные пространства со свойством стереотипной аппроксимации. Тогда пространства У0Х, Х©У, Х©У также обладают свойством стереотипной аппроксимации.

В главе 3 определяются стереотипные алгебры и модули над ними, приводятся примеры, описываются важнейшие свойства категории стереотипных модулей над алгеброй и вводится понятие стереотипной алгебры Хопфа.

Проективные и инъективные стереотипные алгебры. Стереотипное пространство А над С мы называем проективной стереотипной алгеброй (или просто проективной алгеброй) если А является моноидом в категории (61е,®), то есть если заданы морфизмы стереотипных пространств

ц: А®А-> А е :С А

28 А. Szaiüowski, В(Н) does not have the approximation property, Act. Math. 147:89-108 (1981).

для которых будут коммутативны диаграммы

А ® (А © А) ^ (А ® Л) ® А

А® А —^ А ^— А® А А

V-

А® А

Это эквивалентно тому, что на А задана структура ассоциативной алгебры над С с единицей, причем операция умножения является непрерывной билинейной формой в смысле определения на с. 15. В этом случае умножение в А непрерывно пропускается через стереотипное проективное тензорное произведение: существует морфизм д : А © А А такой что коммутативна диаграмма

{х,у)^х®у

Ах А-► А® А

{х,у)^х-у

Стереотипное пространство А над С мы называем итективной стереотипной алгеброй, если А является моноидом в категории (б1е, 0) то есть если заданы морфизмы стереотипных пространств

ц:А<эА->А е : С А для которых будут коммутативны диаграммы

А ©(Л ©Л) £ {А О А) ©Л

Юр

¿»01

(9)

с©л

Теорема 11. Всякая итектшная стереотипная алгебра А является проективной стереотипной алгеброй.

Пример 12. Для пространства Фреше А свойство быть стереотипной алгеброй эквивалентно совместной непрерывности операции умножения. Поэтому любая алгебра Фреше с единицей будет проективной стереотипной алгеброй.

Пример 13. Алгебра операторов С(Х). Для всякого стереотипного пространства X соответствующее пространство С(Х) линейных непрерывных операторов <р : X -> X является проективной стереотипной алгеброй относительно операции композиции ip о tp.

Пример 14. Алгебра, непрерывных функций С(М) на паракомпактном локально компактном пространстве М (с обычной топологией равномерной сходимости на компактах) является инъективной стереотипной алгеброй (с поточечным умножением).

Пример 15. Алгебра гладких функций £{М) на гладком многообразии М (с обычной топологией равномерной сходимости по каждой производной на компактах) является инъективной стереотипной алгеброй (с поточечным умножением).

Пример 16. Алгебра голоморфных функций 0(М) па многообразии Штейна М (с топологией равномерной сходимости на компактах в М) является инъективной стереотипной алгеброй (с поточечным умножением).

Пример 17. Алгебра регулярных функций 1Z(M) на аффинном алгебраическом многообразии М (с сильнейшей локально выпуклой топологией) является инъективной стереотипной алгеброй (с поточечным умножением).

Пример 18. Алгебра C*(G) мер Радона с компактным носителем на локально компактной группе G является проективной стереотипной алгеброй относительно операции свертки мер (а, /?) и- a * /3. Единицей в такой алгебре будет дельта-функционал в единице 1g группы G:

5la(u) = u(lG)

Пример 19. Алгебра £*{G) распределений с компактным носителем на группе Ли G является проективной стереотипной алгеброй относительно операции свертки распределений (а, /?) >-> a * /3.

Пример 20. Алгебра 0*(G) аналитических функционалов на группе Штейна G является проективной стереотипной алгеброй относительно операции свертки (о, /3) н- а * /?.

Пример 21. Алгебра регулярных потоков 7Z*(G) на аффинной алгебраической группе G является проективной стереотипной алгеброй относительно операции свертки (а,/?) i-> а * (3.

Непрерывным представлением локально-компактной группы G в стереотипной алгебре А назовем всякое непрерывное отображение 7Г : G —> А со свойствами

7Г(3 • í) = 7T(S) -7r(¿), 7Г(1С) = 1Д (Ю)

Гладким представлением группы Ли G в стереотипной алгебре А назовем всякое отображение 7Г : G —А, удовлетворяющее тождествам (10), и такое, что для всякого функционала / 6 А* композиция fon будет гладкой функцией на G, причем отображение / еЛ*ь->/ од- G £{G) будет непрерывно (заметим, что по этому определению, вложение G C*(G) не будет гладким представлением).

Голоморфным представлением группы Штейна G в стереотипной алгебре А назовем всякое отображение ir : G -)■ А, удовлетворяющее тождествам (10), и такое, что для всякого функционала / € А* композиция /о7г будет голоморфной функцией на G, причем отображение / €Л*|->/о7г€ 0(G) будет непрерывно (опять можно заметить, что по этому определению, вложения G -> C*(G) и G ->■ £*{G) не будут голоморфными представлениями).

Регулярным представлением аффинной алгебраической группы G в стереотипной алгебре А назовем всякое отображение тт : G —> А, удовлетворяющее тождествам (10), и такое, что для всякого функционала / G А* композиция / о 7г будет многочленом на G, причем отображение / G А* н-> /о 7г £ 7?.(G) будет непрерывно (снова получаем, что например вложение G ч- 0*(G) не будут регулярным представлениями).

Теорема 22. Для всякой проективной стереотипной алгебры А диаграммы

(И)

А А

f ж /*

G---► C{G) G---► S*{G)

G---► 0*(G) G---> T?{G)

(12)

(в которых 5 - вложения в качестве дельта-функций) устанавливают биек-ции между

- непрерывными представлениями произвольной локально-компактной группы С в алгебре А и морфизмами проективных стереотипных алгебр </> : С*(С) А;

- гладкими представлениями произвольной вещественной группы Ли С в алгебре А и морфизмами проективных стереотипных алгебр : £*(б)

- голоморфными представлениями произвольной группы Штейна С в алгебре А и морфизмами проективных стереотипных алгебр : 0*{С!) -» А;

- регулярными представлениями произвольной аффинной алгебраической гру пы б над С в алгебре А и морфизмами проективных стереотипных алгебр <р : А.

Стереотипные модули. Стереотипное пространство X над С с заданной на нем структурой левого (или правого) Л-модуля называется стереотипным А-модулем, если операция умножения на элементы А является непрерывной билинейной формой в смысле определения с.15.

Теорема 23. Категории ^6te и ©te^ левых и правых стереотипных модулей над стереотипной алгеброй А являются относительными категориями над моноидальной категорией (Sie, ©) стереотипных пространств.

Если зафиксировать X, то для всякого другого стереотипного пространства Е тензорные произведения Е®Х и Е®Х будут стереотипными модулями над стереотипной алгеброй £{Х).

Теорема 24. Пусть X - стереотипное пространство со свойством стереотипной аппроксимации. Тогда для всякого левого стереотипного модуля М над С(Х) найдется единственное (с точностью до изоморфизма) стереотипное пространство Е(М) и два биморфизма левых стереотипных С(Х)-модулей (то есть два С(Х)-линейных непрерывных отображения с нулевым ядром и плотным образом) рм : Е(М) © X М и ам '■ М —> Е(М) 0 X такие что следующая диаграмма коммутативна:

Е(М) © X -

(13)

► Е(М) О X

При этом,

(a) Е(М) является замкнутым подпространством в М с топологией индуцированной из М в смысле категории ©4е,

(b) если р, : М N - морфизм стереотипных модулей над £{Х), то однозначно определен морфизм стереотипных пространств Е.(р) : Е(М) —

такой, что коммутативна диаграмма:

(14)

®Е(ЛГ),Х

Е(М) О X

ъ{у.)тх

Е{Ы) О X

(с) отображение Е(-) является ковариантным функтором из категории ¿(х)©^ левых стереотипных модулей над £(Х) в категорию 61е стереотипных пространств над С, а семейства морфизмов {рм; М 6 и {ам', М €

- естественными преобразованиями функтора Е(-) ® X в тождественный функтор на категории ¿(х)®^ и тооюдественного функтора в функтор Е(-) © X соответственно.

Следствие 25. Пусть X - ядерное пространство Фреше с базисом. Тогда для всякого левого модуля Фреше М над стереотипной алгеброй операторов С{Х) существует единственное (с точностью до изоморфизма) пространство Фреше Е такое что М изоморфен проективному тензорному произведению пространств Фреше Е и X: М = Е®Х.

Стереотипные алгебры Хопфа. Алгеброй Хопфа (другой термин - моноид Хопфа) в симметрической моноидальной категории Л называется пятерка (Я, д, х, е, ст), в которой Я - объект категории Л, а морфизмы

ц : Н® Н Я

х : Я Я ® Я

е : Я /

(т:Я-4Я

(умножение), (единица), (коумножение), (коединица), (антипод)

удовлетворяют следующим условиям: 1) тройка (Я, д, г.) образует моноид в Л,

2) тройка (Я, х, е) образует комоноид в Л,

3) коммутативны следующие диаграммы,

я®я

(Я ® Я) ® (Я ® Я) д-1. (Я ® Я) ® (Я ® Я)

г ;

(16)

Н-7Г>Н®Н

1®1

У \ ; а?)

означающие, что морфизмы ус : Я Я ® Я и е : Я —7 являются гомоморфизмами моноидов, а морфизмы /х: Я ® Я Я и I : / —^ Я - гомоморфизмами комоноидов в категории Л (здесь I - единица монои-дальной категории I/ : 7 —» 7 ® I - соответствующий изоморфизм, а $ -преобразование, меняющее местами второй и третий множитель);

4) коммутативна диаграмма, называемая аксиомой антипода:

Я®Я^>Я®Я (18)

У X

Я-£->I-i->Я

, о.

Я®Я^Я®Я

Если выполнены только условия 1)-3), то четверка (Я,//, ¿, к,е) называется би-алгеброй в категории Я.

Снова следуя общему определению, мы называем

- проективной стереотипной алгеброй Хопфа алгебру Хопфа в симметрической моноидальной категории стереотипных пространств (в1е, ©);

- иньективной стереотипной алгеброй Хопфа алгебру Хопфа в симметрической моноидальной категории стереотипных пространств (Sie,©);

- ядерной алгеброй Хопфа-Фреше алгебру Хопфа в симметрической моноидальной категории ядерных пространств Фреше 9t£te;

- ядерной алгеброй Хопфа-Враунера алгебру Хопфа в симметрической моноидальной категории ядерных пространств Браунера 9T93ta.

Пусть кроме того, стереотипное пространство Я обладает тем свойством, что преобразования Гротендика для пары (Я; Я), тройки (Я; Я; Я) и четверки

(Я; Я; Я; Я) являются изоморфизмами стереотипных пространств:

@я,я,я :Я©Я©Я=Я©Я©Я @я,я,я,я :Я©Я©Я©Я=Я©Я©Я©Я

(это всегда так, если Я - ядерное пространство Фреше или ядерное пространство Браунера). Тогда, очевидно, задание структуры проективной стереотипной алгебры Хопфа на Я эквивалентно заданию структуры инъективной стереотипной алгебры Хопфа на Я: структурные элементы алгебр Хопфа в (бte, ©) и (<ЕНе,©) (мы отличаем их индексами © и ©) будут или совпадать ¿® = ¿©, — с® = 001 или будут связаны диаграммами

Я®Я-^Я0Я Я©Я >Я©Я

Я Я

Такие (одновременно проективные и инъективные) алгебры Хопфа мы будем называть жесткими стереотипными алгебрами Хопфа.

Пример 26. Любая ядерная алгебра Хопфа-Фреше и любая ядерная алгебра Хопфа-Браунера будут жесткими стереотипными алгебрами Хопфа.

Теорема 27 (о двойственности в классе стереотипных алгебр Хопфа).

Структура инъектиной (проективной, жесткой) алгебры Хопфа на стереотипном пространстве Н автоматически задает структуру проективной (инъ ективной, жесткой) алгебры Хопфа на сопряженном стереотипном пространстве Я* - структурные элементы алгебры Хопфа на Я* определяются как сопряженные отображения структурных элементов алгебры Хопфа на Н:

= ¿я* = (ея)*!

= (мя)*. £я* = Ы*,

ся" = (<гя)*,

Стандартные групповые алгебры из примеров 18 - 21 являются проективными алгебрами Хопфа, а сопряженные к ним пространства - инъективными алгебрами Хопфа. Это можно изобразить следующей таблицей:

класс групп алгебра функций (инъективная алгебра Хопфа) алгебра функционалов (проективная алгебра Хопфа)

алгебраические группы алгебра 71(6) многочленов на й алгебра 71* (С) потоков степени 0 на С

группы Штейна алгебра С (С) голоморфных функций на С алгебра 0*{С) аналитических функционалов на С

группы Ли алгебра £(С?) гладких функций на С алгебра £*(<?) распределений на б

локально компактные группы алгебра 0(6) непрерывных функций на б алгебра С*(С?) мер Радона на б

В главе 4 строится теория двойственности для компактно порожденных групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы.

Голоморфные функции экспоненциального типа. Пусть G - группа Штейна. Локально ограниченная функция / : G [1, +оо) называется полухарактером, если она удовлетворяет неравенству субмультипликативности:

f(x-y)^f{x)-f(y), x,y&G

Голоморфную функцию и € 0(G) на компактно порожденной группе Штейна G мы называем функцией экспоненциального типа, если она ограничивается некоторым полухарактером:

Множество всех функций экспоненциального типа на G образует векторное пространство над С, которое мы обозначаем Oexp(G). Оно наделяется топологией следующим образом. Для всякого полухарактера / : G -» [1, +оо) множество

голоморфных функций, подчиненных ему обозначается

р := {и € 0(0) : Уж е С? |ф)| < /(я)}

Оно образует компакт относительно индуцированной из О (С?) топологии, и называется прямоугольником, порожденным функцией /. Очевидно, пространство Сехр(С) представляет собой объединение прямоугольников /*, где / пробегает систему всевозможных полухарактеров на С:

Множество М в СеХр(С') считается замкнутым, если оно образует замкнутое пересечение со всяким таким прямоугольником /'. Наделенное такой топологией пространство Сехр(С) оказывается пространством Браунера (если группа О компактно порождена). Сопряженное ему пространство элементы ко-

торого называются экспоненциальными функционалами на С, будет пространством Фреше. Оба эти пространства вдобавок являются ядерными, и по аналогии с 0{<3) и 0*(С) наделяются структурой алгебр Хопфа:

Теорема 28. Для всякой компактно порожденной группы Штейна С

- пространство С?ехр(С) голоморфных функций экспоненциального типа на С? является ядерной алгеброй Хопфа-Браунера;

- его сопряженное пространство 0*хр(С) является ядерной алгеброй Хопфа-Фреше относительно сопряженных алгебраических операций.

Оболочка Аренса-Майкла.

• Морфизм стереотипных алгебр а : А —» А' называется расширением Аренса-Майкла, если для любой банаховой алгебры В и любого морфизма р : А В найдется единственный морфизм ф : А' В, замыкающий диаграмму:

Оехр(С) У

/ - полухарактер на б

• Морфизм стереотипных алгебр р : А Е называется оболочкой Аренеа-Майкла, если для любого расширения Аренса-Майкла а : А -> А' найдется единственный морфизм V : А' Е, замыкающий диаграмму:

Из этого определения ясно, что если р: А~*Еиа:А->Р- две оболочки Аренса-Майкла алгебры А, то возникающий гомоморфизм V : Р Е (из-за своей единственности) будет изоморфизмом (топологических алгебр). Поэтому оболочка Аренса-Майкла алгебры А определяется однозначно с точностью до изоморфизма, и, как следствие, для нее можно ввести специальное обозначение:

Его нужно понимать так: если нам дан какой-то гомоморфизм р : А —> Е, то запись р = означает, что р : А Ч- Е является оболочкой Аренса-Майкла алгебры А; если же нам дана алгебра Е, то запись Е = А® означает, что существует гомоморфизм р : А Е, являющийся оболочкой Аренса-Майкла алгебры А — в этом случае алгебру Е также принято называть оболочкой Аренса-Майкла алгебры А.

Пример29. Оболочкой Аренса-Майкла алгебры ЩМ) многочленов на аффинном алгебраическом многообразии М является алгебра О(М) голоморфных функций на М:

Голоморфно рефлексивные алгебры Хопфа. Жесткую стереотипную алгебру Хопфа Я мы называем голоморфно рефлексивной, если ее оболочка Аренса-Майкла Я^ обладает структурой жесткой стереотипной алгебры Хопфа такой, что:

естественный гомоморфизм алгебр : Я -> Н^ является гомоморфизмом жестких алгебр Хопфа, и

28А. Ю. Пирковский. Оболочки Аренса-Майкла, гомологические эпиморфизмы и относительно хвазисво-

бодные алгебры, Труды ММО, 69: 34-123, 2008.

: А Л9

= 0{М)

(и) сопряженное отображение (Фн)* ; Н> Я* является оболочкой Аренса-Майкла алгебры (Я57)*:

Ш* =

Условия (1) и (ц) удобно изображать в виде диаграммы,

Я .-» Я" (19)

Я* <—(Я0)*

смысл которой состоит в том, что в углах квадрата стоят жесткие стереотипные алгебры Хопфа, причем горизонтальные стрелки (операции Аренса-Майкла 9) являются их гомоморфизмами, и, кроме того, чередование операций 9? и * (с какого места ни начинай) на четвертом шаге возвращает к исходной алгебре Хопфа (конечно, с точностью до изоморфизма).

Голоморфно рефлексивные алгебры Хопфа образуют категорию, в которой операция Я ь-» Я0* является функтором двойственности:

(Я**)9* £ Я

Поэтому диаграмму (19) разумно называть диаграммой рефлексивности.

Теорема 29. Если <3 - компактно порожденная группа Штейна с алгебраической связной компонентой единицы, то алгебра О*(в) голоморфно рефлексивна, а диаграмма рефлексивности для нее принимает вид:

0*(С) —0^(0) (20)

0(0) <-а*Р(<?)

где 0ехр(С7) - алгебра функций экспоненциального типа30 на <3, а 0*хр(С) двойственная ей алгебра экспоненциальных функционалов.

30Голоморфная функция и : С -> С называется функцией экспоненциального типа та й, если |и(а;)| < /(г) для некоторого полухарактера / (то есть непрерывного отображения / : б -» со свойством }{х ■ у) ^

Понтрягинская двойственность в комплексном анализе и ее обобщение. В теории комплексных групп Ли имеется свой аналог двойственности Понтрягина. В ней место окружности Т занимает ее комплексификация, каковой будет мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел:

С* = С \ {0}

Эта группу можно назвать комплексной окружностью. Для любой абелевой компактно порожденной группы Штейна С двойственная группа С определяется как группа голоморфных характеров на С, то есть голоморфных гомоморфизмов группы С? в комплексную окружность:

X £ С* х : Сх

гс : С С, га(х)(Х) = я 6 С, Х 6 С

является изоморфизмом (комплексных групп Ли), и поэтому операция С* является двойственностью в категории абелевых компактно порожденных групп Штейна.

Теорема 30, Для всякой абелевой компактно порожденной группы Штейна С диаграмма рефлексивности (20) изоморфна диаграмме

0*(<3) > Га > 0(С) (21)

*1 I*

С(С7) ( Гс I 0*(С) в которой Рс - (обратное) преобразование Фурье на группе С;

7о : О*(С) 0(0'), 7Ь(а)(х)=о(х}, (Х € С, абО*(С))

действие ф/ккцискала а- € О* (С?) на функцию х € С" С С?((7)

Отображение ^ является гомоморфизмом жестких алгебр Хопфа и оболочкой Аренса-Майкла алгебры 0*(й).

Из теоремы 30 следует, что справедливы изоморфизмы функторов (СУ{0)У = 0*хр(С) - О(С-), откуда получается изоморфизм функторов

доказывающий коммутативность следующей диаграммы категорий:

Эта диаграмма представляет обобщение двойственности Понтрягина с категории абелевых компактно порожденных групп Штейна на категорию компактно порожденных групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы, и является главным результатом диссертации.

В главе 5 на примере квантовой группы 'ог+6'31 показывается, что построенная теория двойственности не ограничивается классом компактно порожденных групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы, но продолжается в теорию квантовых групп.

31 Описание группы 'az + Ь' можно найти, например, в работе: S. L. Woronowicz, Quantum 'аз + b' group on complex plane, Int. J. Math. 12(4): 461-503, 2001.

Голоморфная рефлексивность квантовой группы 1аг 4- 6'= 71,(С* к С).

Теорема 31. При любом д Е С* жесткая алгебра Хопфа 7£д(Сх к С) голоморфно рефлексивна, причем

1) при |д| = 1 ее диаграмма рефлексивности имеет вид

тг„(сх х€)^7г(сх)©я(с) £ 0(С*)©(9(С)(с* «с)

*1 I*

щ{с* хс)^7г*(сх)©7г*(с) А с?*(сх) ©о*(с) = о*а{сх кС)

г г

2) а при |?| ^ 1 - вид:

пч(сх хс)^тг(сх)©тг(с) £ 0{сх)еп*(с)

5Я ¡1

*1 I*

51 о 6«

щ(с* к€) = тг*(сх) ©7г*(с) & о*(с*) ©я(с)

Благодарности

Автор выражает искреннюю признательность О. Ю. Аристову, Д. Н. Ахие-зеру, А. Ван Даале, Е. А. Горину, Ф. Гоше, Е. Б. Кацову, Ю. Н. Кузнецовой, А. Ю. Пирковскому, В. Л. Попову, А. Хаклберри, А. Я. Хелемскому за полезные обсуждения и помощь в работе.

Работы автора по теме диссертации

1. С. С. Акбаров. Стереотипные локально выпуклые пространства, Известия РАН, серия Математическая, 64(4):4-46, 2000.

2. С. С. Акбаров. Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств, Математические заметки, 57(3): 463-466, 1995.

3. С. С. Акбаров. Двойственность Понтрягина в теории топологических модулей, Функциональный анализ и его приложения, 29(4): 68-72, 1995.

4. С. С. Акбаров. Свойство стереотипной аппроксимации и проблема однозначности следа, Функциональный анализ и его приложения, 33(2): 68-73, 1999.

5. С. С. Акбаров. Стереотипные групповые алгебры, Математические заметки, 66(6): 941-944, 1999.

6. С. С. Акбаров. Стереотипные алгебры с отражением и теорема о бикомму-танте, Математические заметки, 66(5):789-792, 1999.

7. С. С. Акбаров. Абсолютная теория гомологий стереотипных алгебр, Функциональный анализ и его приложения, 34(1):76-79, 2000.

8. С. С. Акбаров. Строение модулей над стереотипной алгеброй операторов С(Х), Функциональный анализ и его приложения, 40(2): 1-12, 2006.

9. S. S. Akbarov. Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in Topological Algebra, Journal of Mathematical Sciences, 113(2):179-349, 2003.

10. С. С. Акбаров. Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы, Фундаментальная и прикладная математика 2008, 14(1): 3-178. (English version: S. S. Akbarov. Holomorphic functions of exponential type and duality for Stein groups with algebraic connected component of identity, Journal of Mathematical Sciences, 162(4): 459-586, 2009.)

11. S. S. Akbarov. Stereotype spaces, algebras, homologies: an outline, In: "Topologu homology", Editor: A.Ya.Helemskii, Nova Science Publishers, 1-29, 2000.

12. S. S. Akbarov. Pontryagin duality and topological algebras, in: "Topological Algebras, their Applications and Related Topics", eds. K. Jarosz and A.Soltysiak, Banach Center Publications, 67: 55 - 71, 2005.

Подписано в печать 08.11.2010

Формат 60 х 90/16

Печать РИЗО. Объем работы!,5п.л.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡00 экз. Заказ Ка <4/

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Акбаров, Сергей Саидмузафарович

Введение a) Общие сведения о диссертации.

Актуальность темы.

Цель работы.

Тезисы, выносимые на защиту. b) Краткое описание результатов.

Задача обобщения понтрягинской двойственности, . 20 Особенное положение банаховых пространств в функциональном анализе.

Стереотипная теория, как альтернатива банаховой.

Преобразование Гротендика и стереотипная аппроксимация.

Проективные стереотипные алгебры и модули.

Стереотипные алгебры Хопфа.

Жесткие алгебры Хопфа.

Оболочка Аренса-Майкла стереотипной алгебры.

Понтрягинская двойственность в комплексном анализе и ее обобщение.

Голоморфная рефлексивность квантовой группы 1аг + Ь\

Благодарности.

Соглашения и обозначения.

1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬ

НО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВ

§ 1 Псевдополнота и псевдонасыщенность. a) Вполне ограниченные и емкие множества. b) Псевдополнота и псевдопополнение (функтор V).

Функтор V.

Инъективный ряд.

Конструкция X7. c) Псевдонасыщенность и псевдонасыщение (функтор Д)

Функтор Л.

Проективный ряд.

Конструкция ХА

§ 2 Функтор двойственности ★. a) Двойственность между вполне ограниченными и емкими множествами b) Равностепенная непрерывность функционалов и операторов c) Отображение гх '■ X —> X** и двойственность между псевдополнотой и псевдонасыщенностью.

1) Двойственность между функторами V и Д.

Двойственность между V и Л.

Двойственность между инъективным и проективным рядом.

Двойственность между V и Д.

§ 3 Таблица инвариантов.

2 СТЕРЕОТИПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1 Стереотипные пространства. a) Определение и примеры. b) Категория стереотипных пространств <5tе

Непосредственное подпространство и непосредственное факторпространство.

Предабелевость категории ©te.

Полнота категории (5te.

Важные классы стереотипных пространсв. a) Пространства Банаха и Смит.

Определение и характеризация пространств Банаха и Смит.

Пространство Смит, порожденное компактом.

Проективные системы Банаха и инъективные системы Смит.

Банахово представление пространства Смит. b) Пространства Фреше и Браунера

Определение и характеризация пространств Фреше и Браунера.

Пространство Браунера, порожденное расширяющейся последовательностью компактов.

Инъективные системы пространств Банаха, порожденные компактами. c) Двойственность между различными классами стереотипных пространств.

Функторы Y : X и Z : (X, Y). a) Вполне ограниченные множества в У : X. b) Сохранение полной ограниченности операциями V, А, V, А c) Дроби ß:a. d) Дроби В : А е) Отображения : Л* и :Ах. Пространство билинейных форм Z : [X, У).

§ 4 Функторы У (ЭХ к г 0(Х,У). a) Внутреннее пространство линейных операторов У 0 X b) Пространство билинейных форм Z 0 (X, У). c) Связь между пространствами операторов и форм. сі) Композиция (3 о а и дробь (3 0 а.

Композиция р о а.

Дробь /3 0 а.

§ 5 Тензорные произведения. a) Определения и предварительные свойства X ® У и X © У

Проективное тензорное произведение X ®У.

Инъективное тензорное произведение X О У.

Примеры тензорных произведений. b) Тензорные произведения морфизмов, тождества и моноидаль-ная структура в категории <5іе. c) Преобразование Гротендика @ху ' X ®У —> X ОУ

§ 6 Стереотипная аппроксимация. a) Пространство операторов С(Х) b) Стереотипная аппроксимация c) Сохранение стереотипной аппроксимации тензорными произведениями сі) Аппроксимация, как категорное условие в ©) и (біе, ©) 142 (е) Пространства с базисом.

3 СТЕРЕОТИПНЫЕ АЛГЕБРЫ И МОДУЛИ

§ 1 Стереотипные алгебры. a) Проективные стереотипные алгебры.

Функциональные алгебры.

Групповые алгебры.

Представления групповых алгебр. b) Инъективные стереотипные алгебры.

Функциональные алгебры

§ 2 Стереотипные модули a) Теорема о представлении. b) Модули вида Е © X и Е О X. c) Модули над алгеброй С(Х).

§3 Категории стереотипных модулей л©^ и ©t г а. a) Сопряженный модуль. b) Непосредственный подмодуль и непосредственный фактор-модуль c) Предабелевость категорий л©^ и ©te^. d) Мономорфизмы, эпиморфизмы, иммерсии и субмерсии в категориях A&^t И &ÏZA. e) Полнота и кополнота категорий л©^ и ©te л. f) Пространство морфизмов Y 0 X и структура относительных категорий в л^е и

§ 4 Стереотипные алгебры Хопфа. а) Стереотипные алгебры Хонфа.

Алгебры, коалгебры и алгебры Хопфа в симметрической моноидальной категории.

Стереотипные алгебры Хопфа.

Двойственность стереотипных алгебр Хопфа.

Дуальные пары. b) Примеры алгебр Хопфа: групповые алгебры.

Алгебры Хопфа 0{G) и 0*(G) на группе Штейна G. . . . 191 Алгебры Хопфа 7Z(G) и 7Z*(G) на аффинной алгебраической группе G. c) Обозначения Свидлера и свойство стереотипной аппроксимации d) Групповые элементы

4 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ГРУПП ШТЕЙНА

§ 1 Многообразия Штейна: прямоугольники в О(М) и ромбы в 0*(М) a) Многообразия Штейна b) Внешние огибающие на M и прямоугольники в О(М)

Операции ■ и □.

Внешние огибающие на M.

Прямоугольники в О(М). c) Лемма о полярах. d) Внутренние огибающие на M и ромбы в 0*(М).

Операции ♦ и о.

Внутренние огибающие на M.

Ромбы в 0*(М). e) Двойственность между прямоугольниками и ромбами

§ 2 Группы Штейна и связанные с ними алгебры Хопфа. а) Группы Штейна, линейные группы и алгебраические группы

Ь) Строение алгебр Хопфа О (О), 0*(С),Щв), 7г*(<3) для главных абелевых групп Штейна.

Алгебры 0{Ж) и 0*{Ъ).

Алгебры 7г(Сх), 7г*(Сх), (9(СХ), 0*(СХ).

Цепочка 7г(С) С О (С) С О*(С) С 7г*(С).

3 Функции экспоненциального тина на группе Штейна. a) Полухарактеры и обратные полухарактеры на группах Штейна b) Субмультипликативные ромбы и дуально субмультипликативные прямоугольники. c) Голоморфные функции экспоненциального типа.

Алгебра С?ехр(Сг) голоморфных функций экспоненциального типа.

Алгебра <9*хр(С) экспоненциальных аналитических функционалов. с!) Примеры.

Конечные группы.

Группы Сп.

Группы С1П(С). е) Инъекция Ьс : О^в) О {С). Ядерность пространств Оехр(С) и С*хр(С)

Голоморфные отображения экспоненциального тина и тензорные произведения пространств 0^(0) и 0^р(С!) . 263 (Ь) Структура алгебр Хопфа на С?ехр(<2) и (9£хр(<7).

4 Оболочки Аренса-Майкла и голоморфная рефлексивность . . . 272 (а) Оболочка Аренса-Майкла.

Оболочка Аренса-Майкла как предел банаховых факторалгебр.

Алгебры Аренса-Майкла. b) Отображение : О*(С) —у 0*^(0) - оболочка Аренса-Майкла c) Отображение Ьд '• С?ехр(С) —> О (С)-оболочка Аренса-Майкла для групп с алгебраической связной компонентой единицы с!) Голоморфная рефлексивность.

§ 5 Голоморфная рефлексивность, как обобщение двойственности Понт-рягипа. a) Двойственность Понтрягина для абелевых компактно порожденных групп Штейна. b) Преобразование Фурье как оболочка Аренса-Майкла

Конечная абелева группа.

Комплексная плоскость С.

Комплексная окружность Сх.

Группа целых чисел Z.

Доказательство теоремы 4.5.2. c) Диаграмма вложения.

5 ГОЛОМОРФНАЯ РЕФЛЕКСИВНОСТЬ КВАНТОВОЙ ГРУППЫ 'аг + 6'

§ 1 Голоморфная рефлексивность квантовой группы 1аг + Ъ> a) Квантовые комбинаторные формулы b) Алгебры Хопфа косых многочленов и близкие конструкции

Тензорные произведения X о?г(С), Х®ЩС), Х©7г*(С),

X © 7г*(С).

Алгебры косых многочленов А О 7£(С) и косых степенных рядов А® П*(С).

Квантовые пары в алгебре Хопфа.

Алгебры Хопфа Я 7г(С) и Я* ©£ 7г*(С).

Цепочки Я 0* 7г(С) С Я ©* 0(С) С Я ©^ <9*(С) С Я ©^

7г*(с) и я ©* тг(С) с я о(с) с я ©* о*(с) с я ©*

7г*(С). с) Квантовая группа 'аг + 6' = Кд(С* х С).

Группа Сх к С аффинных преобразований плоскости.

Стереотипные алгебры ЩСХ к С) и П*(СХ х С).

Стереотипные алгебры 0{Сх к С) и 0*(Сх к С).

ЩСХ х С), 7г*(Сх к С), 0{Сх к С) и 0*(Сх ix С) как алгебры Хопфа.

Алгебры Хопфа Кд(Сх х С), К*{СХ х С), Од(Сх к С),

С*(СХ к С).

71д(Сх х С) как алгебра с образующими и определяющими отношениями. а) Рефлексивность Пд{Сх х С).

Диаграммы рефлексивности для 7£д(Сх к€).

КЯ{СХ х С) 4 Оч(Сх х С) при |д| = 1.

Щ£х) ЩС) Л (9(СХ) ©|, 7г*(С) при

0*(Сх) ©£' 7г(С) Л 7г*(Сх) 7г*(С) при произвольном д.

Введение диссертация по математике, на тему "Стереотипные алгебры и двойственность для групп Штейна"

а). Общие сведения о диссертации

Актуальность темы. Теория двойственности Л. С. Понтрягина для коммутативных локально компактных групп [58] с момента своего появления на свет в 1930-х годах много раз была объектом обобщения на некоммутативный случай. Исследования в этой области продолжаются и в настоящее время, и теперь их можно разделить на два главных направления:

1. Прежде всего, это подход, продолжающий линию Т. Таннаки [68] и М. Г. Крейна [47], согласно которому двойственность в гармоническом анализе следует понимать, как взаимную связь между группой и всевозможными ее представлениями. Эволюция этой идеи привела ныне к интерпретации двойственности, как связи между алгеброй Хоифа (современным аналогом группы) и тензорной категорией ее модулей (аналогом категории представлений группы)1. Это направление развивалось в работах Н. Тацуумы [69], A. J1. Розенберга [61, 62], Н. Сааведры Ривано [64], П. Делиня [31], Дж. Милна [32], А. Джойала, Р. Стрита [33, 34], Д. Н. Иеттера [40], К.-Х. Ульбриха [71], П. Шауэпбурга [80] и других.

2. Второе направление родилось, наоборот, как альтернатива результатам Таннаки и Крейна. Его движущим мотивом явилась неудовлетворенность тем, что в теории Таннаки-Крейна нарушается понтрягинская симметрия между группой G и двойственным ей объектом G (который перестает быть группой), а целью объявля

1 Первоначальное представление об этом подходе можно получить по главе "Representations and quasitensor categories" в монографии В. Чари и А. Прессли [82], или по главе "Fiber functors and Tanaka-Krein duality" в моногорафии П. Этингофа и О. Шиффманна [84]. лась нахождение такого обобщения двойственности, при котором двойственный объект сохранял бы ту же природу, что и исходный (более ясное представление о том, что понимается под этой симметрией, дает приводимая ниже диаграмма категорий (0.0.2), аналоги которой для более широких классов групп и представляют собой объект поиска при этом подходе). Пионерами в этой области следует считать двух советских математиков, Л. И. Вай-нермана и Г. И. Каца [22, 23, 24], и двух математиков из Франции, М. Энока и Ж.-М. Шварца [36, 37, 38], которые в 1973 году, работая двумя независимыми группами, показали, что такая задача в принципе разрешима. Ими было построено исторически первое обобщение понтрягинской теории, сохраняющее симметрию между С? и С, - теория алгебр Каца, - изложение которой можно найти в монографии М. Енока и Ж.-М. Шварца [35]. Впоследствии работа в этом направлении продолжилась, поскольку, с одной стороны, в теорию вносились улучшения, а с другой, после открытия в 1980-х годах квантовых групп, сразу же приобретших широкую популярность, понтрягинскую двойственность стали обобщать и на, этот класс, причем эта работа не окончена и поныне: возникшая на этой волне теория локально компактных квантовых групп в настоящее время активно разрабатывается усилиями С. Л. Воро-новича, С. Вааса, А. Ван Даале, Л. Вайнермана, Й. Кустерманса, В. Пуша, П. Солтана и других [49].

П (0.0.1) группы Ли П локально компактные группы исследователю приходится усложнять и/или искажать исходные алгебраические конструкции и идеи. Как это происходит, удобно проиллюстрировать на примере конструкции групповой алгебры.

1) Мы начнем с конечных групп. Как известно, групповая алгебра конечной группы С (пусть над нолем С) может быть определена, например, формулой

Сс = (С°)' в которой Сс обозначает алгебру функций и : —>• С, а X' - пространство линейных функционалов / : X —> С на конечномерном векторном пространстве X). Определенный таким образом объект Со действительно будет групповой алгеброй в том смысле, что по нему легко восстанавливается сама группа С, а представлениям группы (7 будут взаимно однозначно соответствовать представления алгебры <Сс- В дополнение к этому (и это оказывается весьма важно) Сс будет обладать структурой алгебры Хопфа, и вместе это позволяет строить теорию двойственности для конечных групп в обоих упомянутых выше направлениях - как асимметричный вариант (который в данном случае можно просто считать частью теории Таннаки-Крейна, поскольку конечная группа всегда компактна), так и симметричный ее вариант, который удобно изображается в виде следующей диаграммы категорий2:

0.0.2) здесь е - функтор вложения, С - двойственная по Понтрягину группа, а штрих ' - по-прежнему, переход к сопряженному пространству линейных функционалов).

2) При переходе от конечных групп к аффинным алгебраическим возникает первая трудность: групповую алгебру (то есть алгебру, по которой восстанавливается С, и представления которой взаимно однозначно соответствуют представлениям С) для алгеб

2Коммутативность диаграммы (0.0.2) означает просто изоморфизм функторов. По-видимому, теория двойственности для конечных групп, описываемая этой картиной, является продуктом коллективного математического сознания. В явном виде упоминание о ней содержится в монографии А. А. Кириллова [46]. В неявном же виде формулируемое здесь утверждение присутствует в работах Г. И. Каца 1960-х годов, в частности, в [44]. раических групп определять не принято (из-за ее существенной "неалгебраичности"), и этот объект заменяется на двойственный - алгебру регулярных функций (многочленов) на G, которую мы условимся обозначать 7Z(G). Эта алгебра оказывается алгеброй Хопфа, причем по ней также восстанавливается группа G, а ее копредставлениям соответствуют представления G. Это позволяет строить теорию двойственности, но, в отличие от предыдущего случая, только ее асимметричный вариант, алгебра Хопфа 7Z(G), как любая другая алгебра Хопфа над С, порождает С-линейную жесткую абелеву моноидальную категорию (£ своих ко-представлений, по которой затем с помощью теоремы К.-Х.Ульбриха3 [71] становится возможным восстановить саму алгебру Хопфа 7Z(G).

3Формулировку теоремы Ульбриха с наброском доказательства можно найти в учебнике В. Чари и А. Прессли [82, Theorem 5.1.11]

4В теории Вайнермана-Каца-Энока-Шварца такие объекты называются алгебрами Каца, а в теореме Тацуумы они присутствуют неявно, однако их роль была выявлена позже Дж.Эрнестом [85], введшим в употребление сам термин "алгебра Хопфа-фон Неймана". поскольку в их определении используются сразу два тензорных произведения - одно (проективное тензорное произведение банаховых пространств) для операции умножения, другое (тензорное произведение алгебр фон Неймана) для коумножения. В этом проявляется искажение исходных алгебраических определений, о котором мы говорили.

Вывод, который можно сделать из этих замечаний, заключается в следующем. Если под гибкостью теории (в противоположность ее жесткости) понимать возможность формулировать ее результаты в устоявшихся терминах, при необходимости, переходя к терминологии соседних областей математики, и без усложнений, оправданность которых остается неочевидной, то из приведенных теорий только первую - двойственность для конечных групп (из пункта 1) - следует признать гибкой (поскольку в ней с одной сторонь1 нет необходимости искажать алгебраические-определения, в частности, определение алгебры Хопфа, а с другой, она содержит достаточно средств, чтобы при необходимости переходить от асимметричной картины к симметричной, а внутри каждой из них выбирать удобную точку зрения, переходя если нужно от групповой алгебры Сс функционалов к двойственной ей алгебре функций, и наоборот). Важно, помимо прочего, что эта гибкость позволяет интерпретировать теорию двойственности для конечных групп, как частный случай остальных, то есть асимметричной теории двойственности для алгебраических групп (из пункта 2), и обеих теорий для локально компактных групп (из пункта 3). Однако, переходя от пункта 1 к пунктам 2 и 3, мы видим противоположную картину: жесткость теорий пункта 2 и 3 не дает возможности считать двойственность для алгебраических групп частным случаем двойственности для локально компактных групп (хотя цепочка (0.0.1) рождает именно эти интуитивные ожидания). Очевидная генетическая связь между этими теориями не обретает форму строгих логических формулировок, и это оправдывает поиски новых точек зрения, способных, во-первых, объединить алгебраический и аналитический подходы в теории двойственности, и, во-вторых, - устранить дисбаланс между симметричной и асимметричной ее составляющими.

Это намерение можно проиллюстрировать следующей таблицей, в которой плюсы означают, что для данного случая построена определенная теория, а минусы и вопросительный знак - что ее пока нет: классы групп асимметричные теории симметричные теории конечные + + алгебраические + — группы Ли: комплексные — ? вещественные — — локально компактные + +

Конечной целью исследований в этой области (если это осуществимо) можно объявить заполнение всех ячеек таблицы плюсами таким образом, чтобы, в духе сказанного выше по поводу гибкости, при переходе к более широкому классу групп следующая теория обобщала предыдущую, а вся картина в целом выглядела узлом,- связывающим четыре затрагиваемые здесь области математики - алгебраическую геометрию, комплексный анализ, дифференциальную геометрию и общую топологию. Целыо же настоящей диссертации является заполнение ячейки с вопросительным знаком.

Цель работы. В диссертации строится теория двойственности для достаточно широкого класса комплексных групп Ли, удовлетворяющая следующим двум условиям, смысл которых мы обсуждали выше:

1) симметричность (двойственный объект имеет ту же природу, что и исходный),

Тезисы, выносимые на защиту. Все полученные результаты являются новыми и состоят в следующем.

• Найдена широкая категория (51е локально выпуклых пространств, называемых стереотипными, позволяющая строить удобную теорию топологических алгебр, свободную от некоторых недостатков традиционной теории.

• Показано, что является полной и кополной предабелевой категорией.

• Показано, что (ЕНе обладает структурой замкнутой симметрической моноидальной категории, и что для всякой алгебры А в этой категории соответствующие категории и &Ыа левых и правых Амодулей являются относительными категориями над категорией €Не.

• Показано, что свойство стереотипной аппроксимации в категории ^е наследуется пространствами операторов и тензорными произведениями.

• Описана структура модулей над алгеброй С(Х) операторов на стереотипном пространстве X со свойством стереотипной аппроксимации.

Ь). Краткое описание результатов

Задача обобщения понтрягинской двойственности, о которой мы говорили в пункте 2 на с. 13, формулируется строго на языке теории категорий с помощью следующих двух определений.

Определение 0.0.1. Условимся контравариантный функтор А I—>- А* : Я Я на заданной категории Я называть функтором двойственности на Я, если его квадрат (ковариантный функтор А ь-> А** : Я —» Я) изоморфен5 тождественному функтору А (->• А. Это удобно изображать диаграммой

5Изоморфизм функторов А и /1 и Л и А*' означает, что существует семейство изоморфизмов гх : X -> X** такое, что для любого морфизма ц> : X —> У справедливо равенство: ц>" = ¿у о о г^1. коммутативность которой означает изоморфизм функторов)6:

Я (0.0.3) у

Определение 0.0.2. Пусть нам даны: a) три категории Я, £, ШТ, с двумя полными и точными ковариант-ными функторами А : Я £ и В : £ 9Я, определяющими цепочку вложений:

Я С £ О Ш, b) два функтора двойственности К К' : Я —>• Я и М ¡-^ М* : Ш —> Ш такие, что функторы К ь->- В(А(К9)) и К м- изоморфны7. Это удобно изображать диаграммой (где опять коммутативность означает изоморфизм функторов):

Ш^Ш (0.0.4) ят Т* £ £ л| |л я-^я

Такую конструкцию мы будем называть обобщением двойственности • с категории Я на категорию £.

Теперь задачу, о которой говорилось в пункте 2 на с. 13, можно корректно сформулировать так:

6 Примером функтора двойственности является как раз переход G (-)■ G* к двойственной по Понтря-гину абелевой локально компактной группе: естественным изоморфизмом между G" и G будет отображение ic(x)(x) — х(%)- Наоборот, скажем, в категории банаховых пространств функтор перехода к сопряженному банахову пространству не является двойственностью (потому что существуют нерефлексивные банаховы пространства).

7Изоморфизм функторов К (-> В(А(К')) и К >-> ^В(А(Козначает, что существует семейство изоморфизмов jx '■ —> В(А(Х')) такое, что для любого морфизма ip : X —> Y справедливо равенство: ix ° = В(А(Х')) о jY. 1 Существуют ли обобщения двойственности Понтрягина с категории абелевых локально компактных групп на категорию произвольных локально компактных групп, и если да, то какие?

Диаграмма категорий (0.0.4) при такой постановке вопроса принимает вид

9Л--->9Л (0.0.5) т т

А руководящим примером здесь служит обобщение понтрягинской двойственности с категории абелевых конечных групп на категорию всех конечных групп, представленное упоминавшейся выше диаграммой (0.0.2).

Особенное положение банаховых пространств в функциональном анализе. Трудности построения "общей" теории двойственности, о которых мы говорили в пункте "актуальность темы", проистекают, по мнению автора, из укоренившейся в функциональном анализе традиции считать, что содержательную теорию алгебр в этой дисциплине можно построить только если эти алгебры будут банаховыми8. Поскольку банаховых алгебр Хопфа в математике объективно имеется мало, это и приводит исследователя к необходимости искажать определения, чтобы приблизить имеющиеся объекты к нужной идее, и последствия этого мы наблюдаем в теории двойственности.

8Теорию алгебр фон Нейманна автор также считает иллюстрацией этого тезиса, несмотря на то, что банахова топология на алгебре фон Нейманна считается не столь важной, как другие, более слабые топологии, поскольку эти топологии тоже привязываются к банаховой структуре, а не задаются, как объекты широкой категории, позволяющей строить удобную теорию топологических алгебр в духе того, о чем пойдет речь ниже на с.24.

Корни этой традиции в свою очередь лежат в том факте, что до последнего времени теория топологических векторных пространств предоставляла только одну категорию, позволяющую строить удобную теорию топологических алгебр - категорию банаховых пространств. Эти слова звучат полемически, но имеют вполне точный смысл, который можно объяснить, предложив читателю решить следующее упражнение: Дайте определение топологической алгебры и топологического модуля так, чтобы выполнялись следующие условия:

1) все топологические алгебры и топологические модули должны быть топологическими векторными пространствами, удовлетворяющими какому-нибудь условию полноты;

2) операции умножения должны быть непрерывны в каком-нибудь разумном смысле;

3) если X - топологический модуль над топологической алгеброй А, то кольцо Епс1лр0 эндоморфизмов X над А можно наделить естественной структурой топологической алгебры относительно Вашего определения.

Математик, далекий от этих проблем, будет вероятно удивлен, узнав, что единственным решением этой задачи, предлагавшимся функциональным анализом до последнего времени, была теория банаховых алгебр (и модулей). Объяснение этому содержится в следующем наблюдении, выражающем на категорном языке идею, к которой мы подводим читателя: Класс 03 ап банаховых пространств над полем С (или М^) обладает следующими категорными свойствами, которыми не обладает никакой другой из известных до последнего времени более широких классов топологических векторных пространств:

1) ОЗап образует замкнутую симметрическую моноидаль-ную категорию (относительно проективного тензорного произведения <8>);

2) банаховы алгебры представляют собой в точности моноиды, а банаховы модули - действия этих моноидов9 в категории ап;

3) для каэюдой банаховой алгебры А классы л05ап и 05апл левых и правых банаховых модулей над А образуют относительные категории10 над категорией ЯЗатг.

Ориентируясь на это наблюдение, условимся говорить, что некая категория локально выпуклых пространств Я позволяет строить удобную теорию топологических алгебр, если она обладает теми же свойствами, что и *Вап, то есть если в ней задано некое тензорное произведение <8>, превращающее Я в замкнутую симметрическую моноидальную категорию, и для каждой алгебры А в Я (определенной как моноид относительно этого тензорного произведения) классы дЯ и Яд левых и правых Л-модулей (также очевидным образом определенные через <2>) образуют относительные категории над Я.

Теперь должно быть понятно, что естественный путь к решению проблемы двойственности соискатель видит в том, чтобы заменить категорию 23 шг банаховых пространств на какую-нибудь другую подходящую категорию Я, также позволяющую строить удобную теорию топологических

9Определение моноида и его действия в моноидальной категории см. в монографии [52].

10Определение относительной категории см. в справочнике: [13]. алгебр, при условии, разумеется, что такая категория найдется.

Стереотипная теория, как альтернатива банаховой. Такая категория действительно была найдена в 1990-х годах и описана соискателем в серии статей [1]-[12]. Объекты, из которых она состоит, называются стереотипными пространствами, и определяются они следующим образом.

Определение 0.0.3. Пусть X - локально выпуклое пространство над С. Обозначим через X* пространство линейных непрерывных функционалов / : X —» С, наделенное топологией равномерной сходимости на вполне ограниченные^1 множествах в X. Пространство X называется стереотипным, если естественное отображение X (Х*)\ гх(х)(/) = /(я), х е X, / е X* является изоморфизмом локально выпуклых пространств (в этом определении нетрудно узнать модификацию понтрягинского свойства для абеле-вых групп). Справедлив следующий

Критерий стереотипности12: Пространство X стереотипно тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия: ъ) X псевдополно: всякая вполне ограниченная направленность Ко-ши сходится в X;

И) X псевдонасыщено: всякое замкнутое выпуклое уравновешенное емкое13 мноэ/сество И в X является окрестностью нуля.

Класс &Ьг стереотипных пространств образует категорию с линейными непрерывными отображениями в качестве морфизмов. Понятно, что

11 Определение вполне ограниченного множества см. ниже на с.49.

12[8, 9], см. также ниже теоремы 1.2.5 и 1.2.7.

13Определение емкого множества см. ниже на с.49. функтор X н-» X* в ней будет двойственностью (в смысле определения 0.0.1). Помимо этого категория <51е обладает следующими тремя группами свойств, заслуживающими, по мнению соискателя, эпитета удивительный, в особенности если учесть то, как долго математическое сообщество их на замечало.14

1°. Первое важное (и глубоко неочевидное) свойство стереотипных пространств состоит в том, что они образуют необычайно широкий класс: они включают все квазиполные бочечные пространства (в частности, все пространства Фреше и все рефлексивные в обычном смысле пространства). Поэтому не будет сильным преувеличением сказать, что все локально выпуклые пространства, реально используемые в функциональном анализе, стереотипны. Наглядно это можно продемонстрировать картинкой:

СТЕРЕОТИПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА квазиполные бочечные пространства пространства Фреше С пространства Банаха рефлексивные пространства

0.0.6)

2°. Категория (31е снабжена стандартным набором операций, позволяющих строить новые пространства из уже имеющихся (переход к подпространству, фактор-пространству, инъективному и проективному пределу). Этим теория стереотипных пространств напоминает теорию Лебега, где

14В приводимом ниже списке свойство 1° впервые отмечено в работах Б. С. Брудовского [16], Уотер-хауса [73] и Браунера [15]. Авторство остальных свойств принадлежит соискателю [9]. класс рабочих объектов (измеримых множеств) снабжается стандартными операциями, следование которым позволяет оставаться в рамках этого класса. В категорных терминах эти свойства формулируются так:

- предабелева категория (то есть аддитивная категория, в которой каждый морфизм имеет ядро, коядро, образ и кообраз); категория (51е полна и кополна (то есть каждая проективная и каждая инъективная система имеют предел в (31е).

3°. Наконец, категория ^е позволяет строить удобную теорию топологических алгебр, в том смысле, который мы вкладывали в эти слова на с.24. Точнее, в (ЕНе имеется естественный способ наделять множество Мог (Л", У)15 морфизмов (линейных непрерывных отображений) кр : X —У структурой стереотипного пространства:

Х, У 6 61е Мог(Х, У) е ей (0.0.7)

Это позволяет определить два естественных тензорных произведения в

51е: для любых двух стереотипных пространств X, У е равенства

X © У := Мог(Х, У*)*, X © У := Мог(Х*, У) определяют стереотипное проективное тензорное произведение X © У и стереотипное инъективное тензорное произведение X © У.

153десь мы используем символ Мог (Л", У) для наглядности, но на с.121 дм этого стереотипного пространства вводится специальное обозначение: У 0 X.

Справедливы следующие тождества, естественные по X, У, Z: 1

Из них, в частности, следует, что (E5te является симметрической монои-дальной категорией как относительно ©, так и относительно ©. Поэтому в (3te можно определить понятие моноида16, или, что то же самое, алгебры относительно © или относительно 0.

Пусть А - алгебра относительно ©, и пусть А&^г и обозначают категории всех левых и правых модулей над А. Как и в случае с (5te, оказывается, что в л^Не и в ©t^A имеется естественный способ наделить множество Могд(Х, У) морфизмов ip : X —> У структурой стереотипного пространства:

VX, У <= Aetz (VX, У е etcA) Могл(Х, У) G 6te

Преобразование Гротендика и стереотипная аппроксимация. Пусть X и У - стереотипные пространства. Для любых х Е X п у Е Y элементарные тензоры x®y^X®YnxQyEiXQY определяются формулами х®у Е X ®Y = Morpi, У*)* : (а; © у){ф) = f(tp(x)) (tp : X У*) x®yeXQY= Мог(Х*, У) : (ж О 2/) (/) = /(*) •у (/ G X*)

1еСм. подстрочное примечание 9.

Теорема 0.0.1.17 Для любых стереотипных пространств X и У существует единственный морфизм стереотипных пространств х,г ■ X © У X О У, называемый преобразованием Гротендика, удовлетворяющий тождеству у) = х О у хЕХ.уеУ (0.0.8)

Обозначим символом С(Х) пространство морфизмов из X в X

С(Х) := Шг{Х,Х) (0.0.9)

Согласно (0.0.7), это будет стереотипное пространство. По составу элементов С(Х) есть просто пространство линейных непрерывных операторов на X, а топология на С(Х) представляет собой некое усиление топологии равномерной сходимости на компактах, а точнее — результат применения к этой топологии так называемой операции псевдонасыщения (см. [8],[9]).

Определение 0.0.4. Говорят, что стереотипное пространство X обладает свойством стереотипной аппроксимации, если тождественный оператор в £(Х) приближается конечномерными (в топологии пространства С(Х)). Это равносильно тому, что для любого стереотипного пространства У преобразование Гротендика

Х®У -л ХО)У, является биморфизмом стереотипных пространств (то есть инъективным отображением с плотным образом). Пространств со свойством стереотипной аппроксимации довольно много, потому что это свойство лежит между

17[9, теорема 7.8], ниже в тексте это теорема 2.5.11. классическим свойством аппроксимации и существованием базиса в X: базис стереотипная аппроксимация классическая аппроксимация

Следующий результат может служить иллюстрацией тезиса, что стереотипная теория упрощает не только теорию двойственности (приложения в этой области мы опишем позже), но и весь функциональный анализ, поскольку позволяет уменьшить количество контрпримеров в этой дисциплине. Хорошо известно, что если банахово пространство X обладает классическим свойством аппроксимации, то то же самое не всегда верно для его банахова пространства операторов В(Х): как показал А. Шанков-ский [77], контрпримером здесь служит пространство В(Н) ограниченных операторов на гильбертовом пространстве Н. В стереотипной теории этот и подобные контрпримеры исчезают:

Теорема 0.0.2.18 Стереотипная аппроксимация наследуется пространствами операторов и тензорными произведениями: если стереотипные пространства X и У обладают свойством стереотипной аппроксимации, то пространства Мог(Х, У), Х®У и ХоУ также обладают этим свойством.

Следствие. Если X обладает стереотипной аппроксимацией, то С(Х) тоже обладает стереотипной аппроксимацией.

Проективные стереотипные алгебры и модули.

Определение 0.0.5. Проективной стереотипной алгеброй А называется моноид, а проективным модулем М над А - действие этого моноида19 в

18[9, теорема 9.9], ниже в тексте это теорема 2.6.7.

19Относительно определения моноида и его действия в моноидальной категории см. подстрочное примечание 9. симметрической моноидальной категории ((ЕНе, ©).

На привычном языке это означает, что А - стереотипное пространство, снабженное операцией умножения (а, Ъ) ь-а-Ъ (а, Ь € А), удовлетворяющей следующему условию непрерывности: для всякого компакта К С А и любой окрестности нуля и С. А найдется окрестность нуля V С А такая, что К • V С и и V • К С. и. КМ- стереотипное пространство с операцией умножения (а, х) а • х (а Е А, х £ М), для которого условие непрерывности модифицируется так: для любых компактов К С А и Ь С М и любой окрестности нуля и С М найдутся окрестности нуля V С М и IV С А такие, что К ■ V С и и \У ■ Ь С и.

Примерами проективных стереотипных алгебр являются банаховы алгебры, алгебры Фреше, а также алгебра С{Х) операторов на произвольном стереотипном пространстве X, то есть стереотипное пространство, определенное выше формулой (0.0.9) с обычной операцией композиции: роф)(х) = (р(ф (ж))

Если зафиксировать X, то для всякого другого стереотипного пространства Е тензорные произведения Е®Х и ЕОХ будут стереотипными модулями над стереотипной алгеброй С(Х). Эти два модуля связаны между собой преобразованием Гротендика Е®Х ЕОХ.

Если X обладает стереотипной аппроксимацией, то это отображение будет биморфизмом (то есть плотным вложением), поэтому связь между Е ® X и Е ® X удобно представлять себе как вложение с плотным образом

Е © X С Е © X, в котором E@Xia.EqX можно в первом приближении мыслить как специального рода пополнения алгебраического тензорного произведения Е®Х относительно двух разных топологий (одна из которых слабее другой).

Следующий результат является ответом стереотипной теории на классическую проблему описания модулей над алгеброй операторов (см. обзор в [59]):

Теорема 0.0.3.20 Для любого стереотипного пространства X со свойством стереотипной аппроксимации всякий проективный стереотипный модуль М над С(Х) лежит меэюду Е® X и Е<Э X для некоторого однозначно определенного стереотипного пространства Е:

E@XQMC.EQX.

Следствие. Если X - ядерное пространство Фреше с базисом, то для всякого модуля Фреше М над стереотипной алгеброй операторов С(Х) существует единственное (с точностью до изоморфизма) пространство Фреше Е такое что М изоморфен проективному тензорному произведению пространств Фреше Е и X :

М = Еёх

Стереотипные алгебры Хопфа. Если в определении алгебры Хопфа (см. напр. [14] или [82]) заменить векторные пространства на объекты некоторой симметрической моноидальной категории Я (а тензорное произведение векторных пространств <8> на тензорное произведение в этой категории Я), то получится объект, который также называется алгеброй Хопфа, или моноидом Хопфа [64, 81, 67] (в категории Алгебры Хопфа в симметрических моноидальных категориях стереотипных пространств (©іе, 0) и

20[11], ниже в тексте это теорема 3.2.5. біе, ©) называются соответственно инъективными и проективными стереотипными алгебрами Хопфа. Справедлива эквивалентность:

Н - проективная стереотипная алгебра Хопфа

-Ф=> Н* — инъективная стереотипная алгебра Хопфа

Примерами инъективных стереотипных алгебр Хопфа являются стандартные функциональные алгебры на группах - С (Є) (непрерывных функций), £((2) (гладких функций), 0(Є) (голоморфных функций), (многочленов), см. ниже примеры 3.1.3-3.1.6. Их двойственные алгебры - С*(С?) (мер Радона), £*(С) (распределений), 0*(6?) (аналитических функционалов), (С) (потоков) - являются примерами проективных стереотипных алгебр Хопфа, см. ниже примеры 3.1.7-3.1.10. Следующий результат показывает, что последние четыре алгебры естественно рассматривать как групповые алгебры в стереотипной теории:

Теорема 0.0.4.21 Для всякого стереотипного пространства X диаграммы (где 5 - естественные вложения в виде дельта-функционале в) с{х) ЦХ) с !-"-^

С(Х) С(Х)

V 7Г X* >4 V в---► о\в) с---> тг*(с?) устаналивают взаимно-однозначные соответствия между

- непрерывными действиями 7Г : С? —>■ С{Х) произвольной локально

9, теорема 10.12], ниже в тексте это теорема 3.1.11. компактной группы С на X и морфизмами стереотипных алгебр V : С*(С) С(Х);

- гладкими действиями 7Г : С —>■ С(Х) произвольной вещественной группы Ли С на X и морфизмами стереотипных алгебр ср : £*{С) С{Х);

- голоморфными действиями тх : С —»■ произвольной группы Штейна С на X и морфизмами стереотипных алгебр :

- полиномиальными действиями и : (7 —>■ С(Х) произвольной аффинной алгебраической группы С на X и морфизмами стереотипных алгебр ф : 7£*(С) —>• С(Х).

Жесткие алгебры Хопфа. По аналогии с (0.0.8) определяются преобразования Гротендика для тройки, четверки, и любой конечной последовательности стереотипных пространств: © ••• ® ^п -> Хг О . О Хп,

Как правило, отображения не являются изоморфизмами. Но в некоторых случаях все же такое случается, и это мотивирует следующее

Определение 0.0.6. Пусть стереотипное пространство Н обладает тем свойством, что преобразования Гротендика для пары (Н; Н), тройки (Н; Н\ Н) и четверки (Н\ Н; Н\ Н) являются изоморфизмами стереотипных пространств: я,я : Н ® Н = Н <Э Н, я,я,я :#©#©#=#©#©# я,я,я,я :#©#©#©#=#©#©#©# это всегда так, если, например, Н - ядерное пространство Фреше). Тогда задание структуры проективной стереотипной алгебры Хопфа на Н эквивалентно заданию структуры инъективной стереотипной алгебры Хопфа на Н. Такие (одновременно проективные и инъективные) алгебры Хопфа мы будем называть жесткими стереотипными алгебрами Хопфа.

Среди групповых алгебр Хопфа, перечисленных выше, последние три - £*((?), (9*(С), 7£*(С7) - являются жесткими алгебрами Хопфа.

Оболочка Аренса-Майкла стереотипной алгебры. Понятие оболочки Аренса-Майкла, которое понадобится нам ниже (в диаграмме (0.0.11)), можно воспринимать как одну из категорных реализаций идеи наблюдаемости, пришедшей в математику из физики [53]. Исходную физическую идею здесь можно выразить так: при изучении каких-то объектов некоторые детали в них неизбежно остаются скрытыми для наблюдателя, а то, что можно различить, зависит от используемых инструментов; как следствие, изучению всегда подвергается не собственно исходный объект, а некий его образ, получающийся в результате огрубления. Это тривиальное наблюдение, будучи аккуратно формализовано на языке теории категорий, неожиданно становится инструментом, позволяющим доказывать довольно глубокие утверждения (которые до того и сформулировать было невозможно). В следующих построениях роль исходного изучаемого объекта принадлежит стереотипной алгебре А, роль инструментов наблюдения - классу банаховых алгебр, а результатом огрубления будет оболочка Аренса-Майкла АР.

Определение 0.0.7. Морфизм стереотипных алгебр а : А —¥ А' называется расширением Аренса-Майкла, если для любой банаховой алгебры В и любого морфизма tp : А —у В найдется единственный морфизм у/ : А! —У В, замыкающий диаграмму:

А ---► А' 1/ 3\(р' В

Морфизм стереотипных алгебр р : А —у Е называется оболочкой Аренса-Майкла, если для любого расширения Аренса-Майкла а : А —у А' найдется единственный морфизм v : А' —у Е, замыкающий диаграмму: А

V X

Из этого определения ясно, что если р:А-^Еиа:А^уЕ — две оболочки Аренса-Майкла алгебры А, то возникающий гомоморфизм v.F-уЕ (из-за своей единственности) будет изоморфизмом (топологических алгебр). Поэтому оболочка Аренса-Майкла алгебры А определяется однозначно с точностью до изоморфизма, и, как следствие, для нее можно ввести специальное обозначение: А А*

Его нужно понимать так: если нам дан какой-то гомоморфизм р : А Е, то запись р = Фл означает, что р : А —у Е является оболочкой Аренса-Майкла алгебры А\ если же нам дана алгебра Е, то запись Е = А® означает, что существует гомоморфизм р : А —у Е, являющийся оболочкой Аренса-Майкла алгебры А — в этом случае алгебру Е также принято называть оболочкой Аренса-Майкла алгебры А.

Оболочку Аренса-Майкла стереотипной алгебры можно описать конструктивно следующим образом. Абсолютно выпуклая замкнутая окрестность нуля U в топологической алгебре А называется субмультипликативной, если выполняется вложение:

U-U <ZU

Это эквивалентно тому, что порождаемая U полунорма (функционал Мин-ковского) на А, р : А К+, р{и) — inf{Л > 0 : и Е Л • U}, является субмультипликативной, то есть удовлетворяет условию р(и • V) ^ р(и) • p{v), u,v G А

Всякой субмультипликативной абсолютно выпуклой окрестности нуля U в А можно поставить в соответствие замкнутый идеал Ker U в А, определяемый равенством Kerf/ = Пе>о£: ' ^ и фактор-алгебру A/KerU, наделенную топологией нормированного пространства с единичным шаром U + К er U. Тогда пополнение (А/ К егС/)т будет банаховой алгеброй, и мы обозначаем эту алгебру A/U := (A/Ker£/)v. Банаховы алгебры A/U образуют проективную систему, предел которой22 и оказывается оболочкой Аренса-Майкла алгебры А: lim A/V о *- v v -v cv

Пример (А. Ю. Пирковский [55]). Оболочкой Аренса-Майкла алгебры 1Z(M) многочленов на аффинном алгебраическом многообразии М является алгебра О(М) голоморфных функций на М:

K{Mf - 0{М)

223десь под пределом проективной системы мы подразумеваем ее предел в категории проективных стереотипных алгебр, однако точно также можно рассматривать пределы в других категориях, например, в категории топологических алгебр с раздельно непрерывным умножением. Получающиеся при этом конструкции формально будут отличаться от стереотипных, но они также называются оболочками Аренса-Майкла.

Понтрягинская двойственность в комплексном анализе и ее обобщение. Целью настоящей диссертации является не собственно обобщение ионтрягинской двойственности на класс локально компактных групп, как это представлено диаграммой (0.0.5), а решение аналогичной задачи в классе комплексных групп.

Дело в том, что в теории комплексных групп Ли имеется свой аналог двойственности Понтрягина. В ней место окружности Т занимает ее комплексификация, каковой будет мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел:

Сх = С \ {0}

Эта группу можно назвать комплексной окружностью. Для любой абе-левой компактно порожденной группы Штейна (3 двойственная группа С определяется как группа голоморфных характеров на С, то есть голоморфных гомоморфизмов группы С? в комплексную окружность: хесг ^

Понятно, что С будет топологической группой относительно поточечной операции умножения и топологии равномерной сходимости на компактах. Более того, на С имеется естественная комплексная структура, превращающая С в (абелеву компактно порожденную) группу Штейна. Отображение гс гс(х)(х) =х(х), х в в, х е С" является изоморфизмом (комплексных групп Ли), и поэтому операция С С является двойственностью в категории абелевых компактно порожденных групп Штейна.

Для формулировки основных результатов нам понадобится следующее

Определение 0.0.8. Жесткую стереотипную алгебру Хопфа Я мы называем голоморфно рефлексивной, если ее оболочка Аренса-Майкла Я^ обладает структурой жесткой стереотипной алгебры Хопфа такой, что:

I) естественный гомоморфизм алгебр : Я —> Я^ является гомоморфизмом жестких алгебр Хопфа, и

II) сопряженное отображение (Фя)* : (Н—» Я* является оболочкой Аренса-Майкла алгебры

Ун)* =

Условия (1) и (11) удобно изображать в виде диаграммы:

Я 1---> Н* (0.0.10)

Я* <-(Н*)* где в углах квадрата стоят жесткие стереотипные алгебры Хопфа, причем горизонтальные стрелки (операции Аренса-Майкла Ф) являются их гомоморфизмами, и, кроме того, чередование операций Я? и * (с какого места ни начинай) на четвертом шаге возвращает к исходной алгебре Хопфа (конечно, с точностью до изоморфизма функторов).

Голоморфно рефлексивные алгебры Хопфа образуют категорию, в которой операция Я I—Я^* является функтором двойственности: с* Я

Поэтому диаграмму (0.0.10) разумно называть диаграммой рефлексивности.

Главным результатом диссертации является обобщение двойственности Понтрягина с категории абелевых компактно порожденных групп Штейна на категорию компактно порожденных групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы, представленное следующей диаграммой категорий:

0.0.11)

Детали этой конструкции объясняются в следующих двух теоремах. Первая из них показывает, что функтор С? О*(С) перехода к групповой алгебре аналитических функционалов в самом деле действует в категорию голоморфно рефлексивных алгебр Хопфа:

Теорема 0.0.5.23 Если С - компактно порожденная группа Штейна с алгебраической связной компонентой единицы, то алгебра О*{О) голоморф

23[12, теорема 6.4], ниже в тексте это теорема 4.4.17. но рефлексивна, а диаграмма рефлексивности для нее принимает вид:

С>*(С) ^ *

0{С) * где (9ехр(С) - алгебра функций экспоненциального типа24 на Є, а 0*хр(Є) - двойственная ей алгебра экспоненциальных функционалов.

А вторая теорема объясняет, почему диаграмма (0.0.11) получается коммутативной:

Теорема 0.0.6.25 Для всякой абелевой компактно пороэюденной группы Штейна Є диаграмма рефлексивности (0.0.12) изоморфна диаграмме

О* {О) і—» 0{С) (0.0.13)

1 I*

0{Є) <—. Є>*(С) в которой То ~ (обратное) преобразование Фурье на группе Є:

Га:0*(С)->0(СГ), Тс(а)(Х) = а^, (х Є С, а Є О*(Є)) г действие функционала а Є О* (С?) на функцию х Є С* С 0(С!)

Отображение То является гомоморфизмом эюестких алгебр Хопфа и оболочкой Аренса-Майкла алгебры О*(Є).

Из теоремы 0.0.6 следует, что справедливы изоморфизмы функторов

9*(С0)9 - СЪр(<7) ~ 0(СГ)

24Голоморфная функция и : С —> С называется функцией экспоненциального типа на С, если |гі(ж)| ^ /(ж) для некоторого полухарактера / (то есть непрерывного отображения } \ Є —> К+ со свойством /(ж • у) < /(х) • /(у)).

25[12, теорема 7.2], ниже в тексте это теорема 4.5.2. о*« р(<?) (0.0.12)

Оехр(С) откуда получается изоморфизм функторов о*(в)У* = О* {С), как раз и доказывающий коммутативность диаграммы (0.0.11).

Голоморфная рефлексивность квантовой группы + Ь\ В диссертации дополнительно показывается, что определенная выше голоморфная двойственность не ограничивается классом компактно порожденных групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы, но продолжается также и на квантовые группы. В качестве примера рассматривается квантовая группа 1аг + 6' (квантовых аффинных преобразований комплексной плоскости [27]), про которую доказывается, что она является голоморфно рефлексивной алгеброй Хопфа в смысле данного определения.

Благодарности

Автор выражает искреннюю признательность О. Ю. Аристову, Д. Н. Ахиезеру, А. Ван Даале, Е. А. Горину, Ф. Гоше, Е. Б. Кацову, Ю. Н. Кузнецовой, А. Ю. Пирковскому, В. Л. Попову, А. Хаклберри, А. Я. Хелемскому за консультации и помощь в работе.

Соглашения и обозначения

В целях сохранения разумного объема диссертации некоторые факты, не имеющие прямого отношения к основным результатам, а также некоторые технические результаты (как, например, теорема 1.2.3 ниже) приводятся в тексте без доказательства. В каждом таком случае в подстрочном примечании дается ссылка на оригинальную работу, содержащую полное доказательство приводимого утверждения.

Локально-выпуклые пространства (сокращенно - ЛВП) считаются отделимыми. Категория всех ЛВП над полем комплексных чисел С (с линейными непрерывными отображениями в качестве морфизмов) обозначается £(£©. В соответствии с этим, словосочетание морфизм ЛВП используется как синоним линейному непрерывному отображению <р : X —> Y.

Множество В в ЛВП X называется уравновешенным, если \/х € В —х € В, и выпуклым если у Е В\ VA 6 [0,1] Хх + (1 — A)у G В. Выпуклое и одновременно уравновешенное множество называется также абсолютно выпуклым.

Всюду мы обозначаем символом Ух '• X Хг отображение пополнения локально выпуклого пространства X.

Если S и Т - два множества, то для любых функций и : S ^ С, v : Т —> С функция uElu :5хТ^С определяется тождеством: u\Hv)(s,t) := u{s) ■ v(t), s G 5, teT (0.0.14)

Помимо этого мы используем следующие обозначения: card М мощность множества М;

ORD класс всех ординалов, являющихся множествами (см.[45]); span М линейная оболочка множества М в ЛВП Х\ span М замкнутая линейная оболочка множества М в ЛВП Х\ absconv М выпуклая уравновешенная оболочка множества М в ЛВП X; absconv М замкнутая выпуклая уравновешенная оболочка множества М в ЛВП

X' пространство всех линейных непрерывных функционалов / : X —> С, не наделенное какой-либо топологией;

X* сопряженное пространство (всех линейных непрерывных функционалов / : X —> С) с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах (с. 63);

X** = {X*}*, второе сопряженное пространство (с. 65); х X —> Х**} естественное отображение во второе сопряженное пространство (с. 65);

X1 прямое произведение card I экземпляров пространства X в ££б;

Xj прямая сумма card I экземпляров пространства X в £(£(5;

2/ система всех конечных подмножеств множества I (с. 147); А + В -{а+ 6; аеА, b е В} (А,ВСХ)\ А-В = {а-6; ае A, be В} (А, В С X);

В° = {/ G X* : Vrr G В \f(x)\ < 1}, прямая поляра множества ВСХ (с. 64);

F = {х G X : V/ G F |/(#)| ^ 1}, обратная поляра множества ВСХ {с. 64);

В°° — {В°}° вторая прямая поляра;

В1- = {/ G X* \ \/х е В \f(x)\ = 0}, аннулятор множества В CI; f\B = sup|/(a;)|; хЄВ

V псевдопополнение пространства X (с. 50);

А псевдонасыщение пространства X (с. 57);

Ы{Х) система всех окрестностей нуля в ЛВП Х\

JC(X) система всех компактных подмножеств в ЛВП X;

S(X) система всех вполне ограниченных подмножеств в ЛВП Х\

Т>{Х) система всех емких множеств в ЛВП X (с. 49);

В(Х) система всех замкнутых выпуклых уравновешенных подмножеств в ЛВП X;

BU(X) -=в{Х)пи{}0;

ВК{Х) := В{Х) Г) К(Х)

BS{X) :=B{X)nS(X)\

BV(X) := В{Х) nV(X)\

Y : X пространство всех линейных непрерывных отображений ср : X —¥ Y с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах (с. 121);

Y 0 X = {Y : Х}А, то же пространство, но с топологией псевдонасыщения топологиии Y : X (с. 121);

Z : (X, Y) пространство всех непрерывных билинейных форм ß : X х Y —>■ Z с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах (с. 118);

Z Q) (X,Y) = {Z : (X, У)}л, то же пространство, но с топологией псевдонасыщения топологии Z : (X,Y) (с. 118);

X ® Y — {X* 0 У}* проективное стереотипное тензорное произведение (с. 127); х © у Є X © Y, (х © у)(<р) = ср(у)(х) (ер Є X* 0 Y, х Є X, у Є У), элементарный проективный тензор (с. 127);

X 0 Y — Y 0 {X*}, инъективное стереотипное тензорное произведение (с. 131); x(Dy Є X <Э Y, (х Q y)(f) = f(x)y (/ Є X*, х Є X, у Є У), элементарный инъективный тензор (с. 131);

В : А = {<р Є X : Y \ <р(А) С В}, подмножество в Y : X, состоящее из операторов ір : X —> У, переводящих А С X в В С Y (с. 115);

В О А = {<р Є X : Y | <р{А) С В}, то же подмножество, но в пространстве Y 0 X (с. 122);

Х) пространство всех линейных непрерывных операторов в стереотипном пространстве X (с. 136);

Х) — {£(Х)}*, сопряженное пространство для С(Х) (с. 136);

•7-*(Х, У) подпространство в У 0 X состоящее из конечномерных операторов (с. 135);

Т(Х) = X), то же подпространство в С(Х) = X 0 Х\

С/ (X, У) замыкание У);

0(Х) = 0(Х, X), то же подпространство в С{Х) — X 0 Х\

3 о а композиция морфизмов;

3(2) а : (С 0 .Р) —»• (Я 0 Е), (¡3 0 а)(ф) = ¡3 о ф о а, морфизм стереотипных пространств, где а : Е —> Е и @ : С —> Н -морфизмы стереотипных пространств (с. 126); а® (3 \ Е ®С —»^©Я, а® (3 = {а*0 ¡3}* морфизм стереотипных пространств (с. 133); а® /3 : Е®С->Е®Н<у(ЭР = /3 0 а*, морфизм стереотипных пространств (с. 133);

У : X пространство морфизмов у? : X —>■ У стереотипных Л-модулей X и У, наделенное топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах (с. 185); А

У 0Х = {У : X}, то же пространство с топологией псевдонасы-А щения топологии У : X (с. 185); X ® У X О У, @х,у(х ® У) — х & у, преобразование Гротендика для пары пространств X, У (с. 134); С*(Х) —>■ £(Х), преобразование Гротендика для пространства^ (с. 139);

5 категория локально выпуклых пространств; категория стереотипных пространств; л<31е категория левых стереотипных модулей над проективной стереотипной алгеброй А;

Ыа категория правых стереотипных модулей над проективной стереотипной алгеброй А;

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Акбаров, Сергей Саидмузафарович, Москва

1. С. С. Акбаров. Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств. Матем. заметки, 1995, 57(3): 463-466.

2. С. С. Акбаров. Двойственность Понтрягина в теории топологических модулей. Функц. анализ и его прил., 1995, 29(4): 68-72.

3. С. С. Акбаров. Свойство стереотипной аппроксимации и проблема однозначности следа. Функц. анализ и его прил., 1998, 33(2): 68-73.

4. С. С. Акбаров. Стереотипные групповые алгебры. Матем. заметки, 1999, 66(6): 941-944.

5. С. С. Акбаров. Стереотипные алгебры с отражением и теорема о би-коммутанте. Матем. заметки, 1999, 66(5): 789-792.

6. С. С. Акбаров. Абсолютная теория гомологий стереотипных алгебр. Функц. анализ и его прил., 2000, 34(1): 76-79.

7. S. S. Akbarov. Stereotype spaces, algebras, homologies: An outline, In: Topological Homology (A. Ya. Helemskii, Ed.), Nova Science Publishers, pp. 1-29, 2000.

8. С. С. Акбаров. Стереотипные локально выпуклые пространства. Известия РАН, серия Математическая, 2000, 64(4): 3-46.

9. S. S. Akbarov. Pontryagin duality in the theory of topological vector spacesand in topological algebra. Journal of Mathematical Sciences. 113(2): 179349, 2003.

10. S. S. Akbarov. Pontryagin duality and topological algebras, In: "Topological Algebras, their Applications and Related Topics eds. Krzysztof Jarosz and Andrzej Soltysiak, Banach Center Publications 67: 55-71 (2005).

11. С. С. Акбаров. Строение модулей над стереотипной алгеброй операторов £(Х), Фуикц. анализ и его прил., 40(2): 1-12, 2006.

12. В. А. Артамонов, В. H. Салий, JI. А. Скорняков, JT. Н. Шеврин, Е. Г. Шульгейфер. Общая алгебра. М.: Наука, 1991.

13. Ю. А. Бахтурин, Основные структуры современной алгебры. М.: Наука, 1990

14. К. Brauner. Duals of Frechet spaces and a generalization of the Banach-Dieudonne theorem. Duke Math. Jour. 40(4): 845-855, 1973.

15. Б. С. Брудовский. О k и с - рефлексивности, Лит. Мат. Сборник, 1967, 7(1): 17-21.

16. Н. Бурбаки. Группы и алгебры JIu. I-III. М.: Мир, 1976.

17. A. Van Daele, Dual pairs of Hopf *-algebras, Bull. bond. Math. Soc., 25: 209-230, 1993.

18. A. Van Daele, The Haar measure on some locally compact quantum groups, http://arxiv.org/abs/math/0109004vl

19. A. Van Daele, Multiplier Hopf algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 342: 917-932, 1994.

20. A. Van Daele, An algebraic framework for group duality, Adv. Math. 140: 323-366, 1998.

21. JI. И. Вайнерман. Характеризация объектов, двойственных к локально компактным группам, Фупкц. анализ и его прил. 8-1 (1974), 75-76.

22. Л. И. Вайнерман, Г. И. Кац. Неунимодулярные кольцевые группы и алгебры Хопфа—фон Неймана, Докл. Акад. Наук СССР 211: 1031-1034, 1973.

23. Л. И. Вайнерман, Г. И. Кац. Неунимодулярные кольцевые группы и алгебры Хопфа—фон Неймана, Машем, сб. 94: 194-225, 1974.

24. S. Wang, Quantum 'ax+b' group as quantum automorphism group of kx., http://arxiv.org/abs/math/9807094v2.

25. Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик. Семинар no группам Ли и алгебраическим группам, М.:УРСС , 1995.

26. S. L. Woronowicz, Quantum 'az + b' group on complex plane, Int. J. Math. 12(4): 461-503, 2001.

27. H. Grauert, R. Remmert. Theory of Stein spaces. Springer, 1977.

28. A. Grothendieck. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires, Mem. Am. Math. Soc., 1955, 16.

29. S. Däscälescu, C. Nästäsescu, §. Raianu. Hopf algebras, Marcel Dekker, 2001.

30. P. Deligne, Catégories Tannakiennes, in Grothendieck Festschrift, Vol.2, P. Cartier et al. (eds), pp.111-195, Birkhauser, 1991.

31. P. Deligne, J. S. Milne, Tannakian categories, in Hodge Cycles, Mtives and Shimura Varieties, P. Deligne, J. S. Milne, A. Ogus & K. Shih (eds), Lecture notes in Mathematics 900, pp.101-228, Springer, 1982.

32. A. Joyal, R. Street, Braided monoidal categories, Macquarie Mathematical Reports, no.860081, 1986.

33. A. Joyal, R. Street, "An introduction to Tannaka duality and quantum groups", Lecture Notes in Math. 1488 (Springer-Verlag Berlin, Heidelberg 1991) 411-492.

34. M. Enock, J.-M. Schwartz. Kac Algebras and Duality of Locally Compact Groups. Springer-Verlag, 1992.

35. M. Enock, J.-M. Schwartz. Une dualité dans les algèbres de von Neumann. Note C. R. Acad. Se. Paris 277: 683-685, 1973.

36. M. Enock, J.-M. Schwartz. Une catégorie d'algèbres de Kac. Note C. R. Acad. Se. Paris 279: 643-645, 1974.

37. M. Enock, J.-M. Schwartz. Une dualité dans les algèbres de von Neumann. Supp. Bull. Soc. Math. France Mémoire 44: 1-144, 1975.

38. S. Zhang. Braided Hopf algebras, arXiv:math.RA/0511251 v8 25 May 2006.

39. D. N. Yetter, Quantum groups and representations of monoidal categories, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 108:261-290, 1990.

40. S. Kakutani, V. Klee. The finite topology of a linear space, Arch. Math. 14(1): 55-58, 1963.

41. J. W. Calkin, Two-sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert space, Annals of Math., 42:839-873 (1941).

42. C. Kassel. Quantum groups. Springer.

43. Г. И. Кац, В. Г. Палюткин. Конечные кольцевые группы, Труды ММО, 15:224-261, 1966.

44. Дж. JI. Келли. Общая топология. М.: Наука, 1981.

45. А. А. Кириллов. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978.

46. М. Г. Крейн. Принцип двойственности для бикомпактной группы и квадратной блок-алгебры. Докл. Акад. Наук СССР 69: 725-728, 1949.

47. J. Kustermans, S. Vaes. Locally compact quantum groups, Ann. scient. Ec. Norm. Sup. 4eme serie, 33: 837-934, 2000.

48. B. Ya. Levin. Lectures on entire functions. AMS, 1996.

49. С. Ленг. Алгебра. М.: Мир, 1968.

50. S. MacLane. Categories for the working mathematician. Springer, Berlin, 1971. (Русский перевод: С.Маклейн. Категории для работающего математика, М.: Физматлит, 2004).

51. Д. Нсструев. Гладкие многообразия и наблюдаемые. М.: МЦНМО, 2000.

52. К.-Н. Neeb. Holomorphy and Convexity in Lie Theory. Walter de Gruyter, 2000.

53. А. Ю. Пирковский. Оболочки Аренса-Майкла, гомологические эпиморфизмы и относительно квазисвободные алгебры, Труды ММО, 69: 34123, 2008.

54. А. Ю. Пирковский. К проблеме существования достаточного количества инъективных модулей Фреше над ненормируемыми алгебрами Фреше. Известия РАН, Серия Математическая, 1998, 62(4): 137-154.

55. А. Пич. Ядерные локально-выпкулые пространства. М.: Мир, 1967.

56. L. Pontrjagin. The theory of topological commutative groups, Ann. Math. 35(2): 361-388, 1934.

57. N. J. Laustsen, R. J. Loy, and C. J. Read, The lattice of closed ideals in the Banach algebra of operators on certain Banach spaces, J. Fund. Anal. 214:106-131 (2004).

58. А. П. Робертсон, В. Дж. Робертсон. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.

59. A. L. Rosenberg. Duality theorems for groups and Lie algebras. Russian Math. Surveys 26, 36 (1971), 253-254.

60. A. L. Rosenberg. Reconstruction of groups, Sel. math., New ser. 9:101-118, 2003.

61. W. Rudin. Functional analysis. McGraw-Hill, 1973.

62. N. Saavedra Rivano. Categories Tannakiennes, Lecture Notes in Mathematics, no. 265, Springer, 1972.

63. M. E. Sweedler. Cocommutative Hopf algebras with antipode, Bull. Amer. Math. Soc., 73(1): 126-128, 1967.

64. M. F. Smith. The Pontrjagin duality theorem in linear spaces. Ann. Math., 56(2): 248-253, 1952.

65. R. Street. Quantum Groups: a path to current algebra, Series: Australian Mathematical Society Lecture Series (No. 19), Cambridge, 2007.

66. T. Tannaka, Uber den Dualitatssatz der nichtkommutativen topologischen Gruppen, Tohoku Math. J. 45:1-12, 1939.

67. N. Tatsuuma. A duality theorem for locally compact groups. J. Math., Kyoto Univ. 6 (1967), 187-293.

68. J. L. Taylor, Several complex variables with connections to algebraic geometry and Lie groups. Graduate Studies in Mathematics, V. 46. AMS, Providence, Rhode Island, 2002.

69. K.-H. Ulbrich, On Hopf algebras and rigid monoidal categories, Israel J. Math. 72:252-256, 1990

70. Ф. Уорнер. Основы теории гладких многообразий и групп JIu. М.: Мир, 1987.

71. W. С. Waterhouse. Dual groups of vector spaces. Pacific J. Math., 1968, 26(1): 193-196.

72. R. A. Horn, C. R. Johnson. Martix analysis. Cambridge university press.

73. E. Hewitt, K. A. Ross. Abstract Harmonic Analysis, Vol. 1, Springer (1963). (Э. Хьюитт, К. Росс. Абстрактный гармонический анализ. T.l. М.: Наука, 1975.)

74. X. Шефер. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.

75. A. Szankowski. В(Н) does not have the approximation property. Act. Math., 1981, 147: 89-108.

76. Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ. T.l, М.: Наука, 1985.

77. Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ. Т.2, М.: Наука, 1985.

78. P. Schauenburg, Tannaka duality for arbitrary Hopf algebras, Algebra Berichte, 66 (1992).

79. P. Schauenburg. On the Braiding on a Hopf Algebra in a Braided Category, New York J. Math., 4: 259-263, 1998.

80. V. Chari, A. Pressley, A guide to quantum groups. Cambridge university press, 1995.

81. P. Энгелькинг. Обитая топология. M.: Мир, 1986.

82. P. Etingof, О. Schiffmann. Lectures on quantum groups, Hardcover, 1998.

83. J.Ernest. Hopf-von Neumann algebras, Functional analysis. Proc. Conf. Univ. California, 1966, pp. 195-215 (1967).

84. H. Jarchow. Locally convex spaces. B.G.Teubner, Stuttgart, 1981.