Принцип Хикса в теории линейных и нелинейных интегральных уравнений и краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Гулынина Блена Владимировна

Принцип Хикса в теории линейных и нелинейных интегральных уравнений и краевых

задач

Специальность 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2004

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Стеценко Владислав Яковлевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Перов Анатолий Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Семенов Михаил Евгеньевич

Ведущая организация: Вологодский государственный

технический университет

Защита состоится 23 марта 2004 года в 15.30 на заседании диссертационного совета К 212.038.05 по физико-математическим наукам в Воронежском госуниверситете по адресу: г. Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ВГУ. Автореферат разослан февраля 2004г.

Ученый секретарь диссертационного Совета

Ю.Е.Гликлих

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Теория уравнений в пространстве с конусом оказывается уместной практически во всех разделах математической физики, где приходится опираться на те или иные свойства функции влияния или порождаемого ею интегрального оператора. Функция влияния, известная физикам со времен Кулона, оказывается обычно положительной, что предопределяет положительность соответствующего интегрального оператора. Однако в чистую математику операторы, положительные на конусе банахова пространства, вошли совсем с другой стороны. Знаменитая теорема Перрона о ведущем собственном значении положительной матрицы, для математиков достаточно неожиданная, явилась завершением разнообразных попыток экономистов мотивировать хорошо понятное для них свойство существования равновесных цен в замкнутой рыночной модели. Теорема Перрона начала процесс разработки теории положительных интегральных операторов (Енч, Фробениус и др.), завершившийся созданием теории осцилляционных матриц и ядер (Гантмахер-Крейн), связанной с упругими колебаниями механических систем. В рамках этой теории и ее последующего развития удал ость создать развитую систему результатов для общей осцилляционной теории спектральной задачи Штурма- Лиувилля и эффективную теорию положительных и положительно обратимых операторов (НАКрасносельский, П.П.Забрейко, В.Я.Стеценко, А.И.Перов, Ю.В.Покорный, Ю.С.Колесов, А.Ю.Левин, Г.Д.Степанов, С.Карлин, Л.Коллатц, Шеффер и многие другие).

Из математической экономики, где царят положительные матрицы, аналогичным образом в абстрактную теорию

I БИБЛИОТЕКА I

и др.) неразложимые операторы, в практической математике порождаемые агрегированием по Леонтьеву межотраслевых моделей баланса. В середине XX века в рамках моделей Леонтьева обнаружилось еще одно любопытное свойство положительных матриц, связываемое с именами Хикса, Саймона и др. экономистов. Заключается это свойство в следующем.

Если А - неразложимая неотрицательная матрица со спектральным радиусом то ее резольвентный оператор есть матрица

сильно положительная, и потому для системы вида

Х = АХ + /, 0)

типичной для моделей Леонтьева, увеличение (спроса) хотя бы всего лишь по одной компоненте приводит к строгому возрастанию всех компонент решения

(требует увеличения плана по всем без исключения параметрам). Оказывается - а в этом и заключается феномен Хикса - это увеличение решения - обозначим его через в соответствии с приращением

А/— имеет экстремальное относительное значение именно по той компоненте, которая определила прирост А/. Точнее говоря, если Д/ имеет все нулевые координаты, кроме одной , то именно по этой

й координате наиболее велико приращение Ду относительно Х — {1~ т е. относительно прежнего решения системы (1). Совсем

точно говоря,

(2)

Это удивительное (и важное в экономической практике) свойство уже широкую литературу. В настоящей работе это

свойство** распространяется на некоторые задачи современной

математической физики. Естественно, нам не удается миновать интегральных уравнений, где приходится сталкиваться с достаточно серьезными трудностями, А именно - с локализацией входного возмущения, ибо наиболее содержательное свойство феномена Хикса -тотальная реакция системы на локальное (всего лишь по одной координате) изменение возмущения системы (спроса). В естественных функциональных пространствах подобное возмущение обычно связано с появлением в параметрах сингулярных дельта-образных компонент и переходу к анализу обобщенных решений, что и порождает главные трудности применения стандартной техники. Поэтому мы в начале устанавливаем аналог принципа Хикса для случая, когда в интегральном уравнении - аналоге (1)

рассматриваемой в CQ, правая часть возмущается непрерывной добавкой А/, которая оказывается положительной не в одной точке.

В конечном счете нам удается изучить ситуацию, когда аналогичное возмущение в модели стилтьесовской струны сосредоточено на ее конце -суперсингулярный случай, в том смысле, что соответствующее возмущение не охватывается классической теорией обобщенных функций, где носители £-функций допускаются только внутри области.

Тем самым, главной задачей работы является распространение принципа Хикса на важные классы интегральных и интегро-дифференциальных уравнений математической физики. В частности, мы распространяем принцип Хикса на канонизированную М.Г.Крейном задачу о стильтьесовской струне в форме

где 0(х) определяет упругую реакцию внешней с р е д^к, - внешнюю силу, у - интенсивность импульса, локализованного в точке х = £.

Целью исследования является осмысление и описание принципа Хикса для новых, более широких классов математических моделей. В особенности физических моделей, описываемых с помощью функциональных пространств типа , где допускаются импульсные,

т.е. предельно локализованные возмущения.

Основные методы, используемые в работе - теория абстрактных полуупорядоченных пространств и методы теории интеграла Римана-Стильтьеса.

Основные результаты - аналоги принципа Хикса для:

- общего интегрального уравнения с непрерывным неразложимым ядром;

- общей системы уравнений в Rn с вогнутой нелинейностью.

Аналогичный результат для уравнений с оператором Гаммерштейна;

- интегродифференциального уравнения вида

-u'(xJ + ^udQ = F(x) + const

с монотонными

Кроме того, для случая общей стильтьесовской струны дано корректное описание функции влияния, допускающее анализ экстремальных свойств - общепринятые в математической литературе дефиниции это сделать не позволяют.

Достоверность результатов работы обеспечена строгими полными доказательствами излагаемых фактов.

Научная новизна и значимость. Все отмеченные выше результаты являются новыми. Они имеют теоретический характер и наверняка являются основой для более дальнейшего анализа феноменов типа Хикса в разных классах положительно обратимых задач современного

естесвознания, экономических и социальных наук, связанных с анализом сложных систем, обладающих свойством «упругой податливости».

Апробация, Результаты диссертации докладывались на семинарах проф. Стеценко В,Я;, проф. Перова А.И., проф. Покорного Ю.В., на конференциях-школах по теории функций (председатель оргкомитета, член-корр. РАН Ульянов П.Л. - Саратов, 2004), на ВЗМШ - 2004 и на ряде других общероссийских и региональных конференций

Публикации. Основные результаты опубликованы в 8 работах. В совместных работах соавторам принадлежат постановка задач: и некоторые частные рекомендации.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфе и списка использованной литературы в количестве 79 наименований.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук/профессору, члену-корреспонденту Академии Наук Таджикской ССР Владиславу Яковлевичу Стеценко. Основное содержание

В главе I обсуждается возможность прямого расширения принципа Хикса. После его канонического описания в § 2 изучается возможность его обобщения на случай возмущений с расширенными носителями. Уточнением принципа Хикса оказывается следующая*

Теорема 1. Пусть матрица А - неотрицательная и неразложимая, - решение системы

а - решение системы

* Для удобства мы нумеруем здесь теоремы независимо от основного содержания Диссертации

Пусть Д/^йО, ¡=1, 2,...,П, причем 1а- множество всех таких индексов / для которых

_ _ У}-*} 1

= тах

х1 I

Тогда пересечение множеств /о и и не пустое, т.е. о/[

Далее принцип Хикса усиливается для случая строго положительных матриц. Во второй части § 2 принцип Хикса распространяется на интегральные уравнения вида

с непрерывным на неотрицательным ядром

Пусть выполнены условия

1°. Спектральный радиус г(А) интегрального оператора Ах@):

АхЦ) = ]к(1,з)х(з)с1$,

рассматриваемого в пространстве непрерывных на функций, в

котором, очевидно, действует оператор А, меньше чем 1: г(А)<\.

2°. Интегральный оператор А неразложим в С/Лу относительно конуса ^неотрицательных функций в С[а,ь]-Положим

Иными словами, множество - это множество тех точек,

на которых достигается максимум относительного приращения решения Ь

уравнения при замене правой части

большей функцией - это множество точек, в которых

Л(0 >/(!)■

Теорема 2. При выполнении условий 1°, 2° пересечение СО0Г\СОх не пустое.

В заключении § 2 принцип Хикса устанавливается для алгебраических систем с вогнутой нелинейностью

и неразложимой матрицей А. Этот результат затем распространяется на случай интегрального уравнения типа Гаммерштейна

В § 3 главы I обсуждается вопрос об оценках спектрального радиуса положительного оператора, ключевой для применения результатов § 2. В § 4 на интегральные уравнения переносится принцип Ле-Шателье-Самуэльсона.

Вторая часть диссертации посвящена описанию принципа Хикса для случая положительно-обратимых задач в функциональных пространствах, когда сохранено существо феномена Хикса - тотальная реакция объекта на предельно локализованное возмущение.

Если объект описывается уравнением типа Ьи = /, где при непрерывном /решение - непрерывная функция, то появление сингулярного возмущения (типа дельта-функции) справа для непрерывных решений несовместимо с непрерывностью оператора Ь. Таким образом, естественный аналог феномена Хикса имеет смысл рассматривать. только для неограниченных операторов, коими в математической физике являются дифференциальные операторы. Мы рассматриваем задачу для стильтьесовской струны.

Глава II посвящена своего рода аналитическому эксперименту. Дело

в том, что уравнение деформации регулярной струны имеет вполне

>

классический вид

с какими-либо условиями закрепления на концах. И появление здесь справа дельта-функции - а именно подобное возмущение соответствует принципу Хикса - казалось бы, охватывается вполне стандартными средствами теории обобщенных функций. Однако это отнюдь не в том круге вопросов, которые нас интересуют. Точки максимума решений, где производная- меняет знак - объект, в рамках теории обобщенных функций, совершенно неосязаемый. Ибо там функция (и производная) - не поточечно определяемая вещь, а функционал. Если же импульс приложен к одному из концов струны, то это - совершенно необъяснимая вещь.

Поэтому в начале мы добиваемся корректного описания решения возмущенной струны в терминах, допускающих последующий поточечный анализ. Мы исходим из вариационного определения струны, приходя к уравнению вида

И хотя мы используем здесь символ 8-функции, но только лишь в физическом смысле. В математическом - это уравнение означает для нас

при а в точке мы предполагаем непрерывность решения и

условие склейки, регламентируя скачок производной, т.е.

Именно для подобного кусочно-гладкого решения рассматривается один из случаев закрепления концов

Предложение I. Пусть функция <j(x) непрерывна на [О,/], и пусть gSO, у> 0. Тогда в каждом из случаев (5) (в случае 4 - при 0) задача (4) - (5) имеет единственное решение tl(x)', и(.х) > 0 при X £ (О,/); причем, max = , т.е. максимум решения достигается в точке £

приложения импульса.

Теорема 3. Пусть струна регулярна, т.е. q(x) непрерывна на [О,/] и <7 2:0. Пусть ti(x)- решение задачи (4) с одним из видов условий (.5), ф(х) - положительное решение однородного уравнения — tt' + q(x)n = 0,

тогда

достигается в точке приложения импульса.

М <р(х)

В случае приложения импульса на правом конце форма и(х)

регулярной струны является решением задачи ■и" + qu = 0, хе(0,1)

(6)

СО

и(0) = 0, и'(1) = у

или задачи;

Предложение '2. Пусть функция <](х) непрерывна на [О,/], и пусть у > 0. Тогда каждая из задач (6), (7) (в случае (7) - при q Ф 0) имеет единственное решение и(х)>0 при хе(0,/]; причем,

1ШХй(д:) = ы(£), т.е. максимум решения; достигается в точке % —

приложения импульса.

Теорема 4. Для регулярной струны ^¡}(х) непрерывна на [о,/] и

Ф)

в случае импульса в точке / относительный максимум

М <р{х)'

где и(х) - решение задачи (6) или (7), <р(х) - положительное решение

однородного уравнения —u" + q(x)u = 0, достигается в точке х=/ -приложения импульса.

Теперь мы можем перейти к описанию точного аналога принципа Хикса.

Пусть на регулярную струну с условиями на концах (5) действует сила интенсивности Тогда форма струны

У(1С) является решением уравнения

Перейдем от задачи (8) к новой (каждый раз с теми же, что и у (5) краевыми условиями), подействуя на точку импульсом. Тогда новая форма струны будет являться решением уравнения

Обозначим

Теорема 5. Пусть функции Ц(х) И /(X) непрерывны и неотрицательны на отрезке [од], /(х)*0, (если и'(0)=и'(1) = 0, то мы

исключаем случай Тогда максимум относительного

_У1(Х)-У(Х)

приращения

[0,1] У(Х)

достигается в точке приложения

импульса.

Рассмотрим теперь случай импульса на правом конце струны, т.е. в точке х = \. Пусть на регулярную струну, закрепленную на левом конце, действует сила интенсивности /(х), где функция /(х) непрерывна и неотрицательна на [0,1]. Тогда форма струны у(.х) является решением

задачи

-у' + дгу = /

у^о; = о, =

Перейдем от задачи (10) к задаче

Теорема б. Пусть функции f(x) и q(x) непрерывны и

неотрицательны на [0,l], /ф 0, у>0. Тогда максимум относительного Vi -V

приращения max--достигается в точке приложения импульса, т.е. в

/•од; v

точке х -1.

В главе III исследуется уравнение

~и'(х)+ \udQ = F(x)-F(0),

моделирующее деформации «общей стильтьесовской струны». В математической литературе это уравнение мотивируется обычно отсылкой к инженерной математике или чисто умозрительными . обобщениями обычной струны. Для корректного анализа, где нам приходится рассматривать неклассические возмущения, мы сочли необходимым привести в работе точную вариационную мотивацию этого уравнения (п. 3.2.1).

Это уравнение оказывается родственным обыкновенному дифференциальному уравнению. Соответствующие свойства устанавливаются в п. 3.2.2.

Рассмотрим на интервале (ОД) (т.е. в предположении, что F(x) и Q(x) непрерывны в точках х = 0, х = 1) уравнение

и'(х) = J udQ -F(x) + const (и)

в классе абсолютно непрерывных функций, производные которых являются функциями ограниченной вариации на [0,1].

Теорема 7. При любых Wg,V0 и любой точке Х0 уравнение (11) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям

Эта теорема (аналог теоремы Коши) позволяет построить теорию неосцилляции нашего интегродифференциального уравнения, доведя ее до факторизации интегродифференциального оператора по типу знаменитой теоремы Пойа-Мамманы.

Теорема 8. Пусть функция Q(x) не убывает на [0,1], Q - непрерывна в точке х = 1 и Q Ф Const. Обозначим через Е множество абсолютно непрерывных функций, производные которых имеют ограниченную вариацию на [0,1]. Тогда найдется строго положительная на [0,1] функция (р е Е такая, что для всех и е Е при X е [0,l) справедливо равенство

где в(х) -функция Хевисайда, т.е.

С помощью этой факторизации обычным образом устанавливается позитивная обратимость оператора, что открывает дорогу разнообразным применениям теории положительных операторов в пространстве с конусом, на чем мы в работе не останавливаемся, устремляясь к построению аналога принципа Хикса.

В третьем параграфе главы III мы формулируем и доказываем полный аналог принципа Хикса для общей стильтьесовской струны.

Пусть правый конец струны х = \ закреплен. И пусть на точку действует сосредоточенная сила, т.е.

Тогда форма струны и{х) является решением уравнения

х

(12)

о

Теорема 8. Пусть функция Q(x) не убывает на [0,1], Q*const,

у>0. Тогда решение задачи (12) - (13) и{х) > 0 на [од), причем,

тяки(х) = и(£), т.е. максимум решения достигается в точке £

приложения импульса.

Пусть vfx) - решение задачи

Перейдем от задачи (14)- (15) к задаче

Теорема 9. Пусть ^>0, функции F(x) и Q(x) не убывают на [0,1], причем Q(x) Ф Const-. Тогда максимум относительного приращения

max—-достигается в точке £ е (0,1) приложения импульса.

Аналогичный результат установлен и для случая, когда импульс приложен на конце.

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Гулынина Е.В. Новые оценки сверху спектрального радиуса матричных и интегральных операторов.// «Математические методы в технике и технологиях» материалы XV международной научной конференции. - Тамбов, 2002 г., с. 153-154.

2. Гулынина Е.В. Принцип максимума относительного приращения решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. // Международная научно - практическая конференция Региональные энергосберегающие конструкции, здания и сооружения в строительном и коммунальном хозяйстве. - Г. Белгород, ноябрь, 2002г., с. 48 - 53.

3. Гулынина Е.В. Законы сравнительной статики Хикса для модели Леонтьева - Форда. // Материалы международной научно -технической конференции «Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем ИИ» - Вологда, 2001г., с. 294 - 297.

4. Гулынина Е.В. О модели, двойственной к обобщенной модели Леонтьева - Форда. // «Математическое моделирование в научных исследованиях: материалы всероссийской научной конференции»: Сборник научных трудов, ч.1. - Ставрополь: изд. СГУ, 2000г., с. 73 - 77.

5. Гулынина Е.В., Зверева М.Б., Стеценко В Л. О принципе Саймона-Хикса в нестандартных краевых задачах типа Штурма-Лиувилля// Воронежская зимняя математическая школа: тез. докл. - Воронеж, 2004. -С. 15.

6. Гулынина Е.В. Принцип Хикса для нелинейного интегрального уравнения Гаммерштейна с вогнутой нелинейностью. // Международная научно - практическая конференция «Информационные технологии: наука, техника, технология, образование, здоровье» Micro CAD - 2003 XI - Харьков, 2003г.

7. Гулынина Е.В., Зверева М.Б. Принцип Хикса для обобщенной задачи Штурма-Лиувилля // 12-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теорий функций и их приложения»: тез. докл. - Саратов, 2004. -С. 21.

8. Гулынина Е.В. Принцип Хикса и его развитие на интегральных уравнениях. // Материалы 11 научно-практической конференции «Современные проблемы технического, естественно-научного и гум. знания» - Губкин, 2001г., с. 105-110.

Заказ № 94 от 17.02.2004 г. Тир. 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

0- 40 35

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Некоторые расширения принципа Хикса и принципа Ле-Шателье-Самуэльсона.

§ 1. Неразложимые операторы. Модель Леонтьева.

§ 2. Принцип Хикса и его прямые расширения.

§ 3. Новые оценки сверху спектрального радиуса матричных и интегральных операторов.

§ 4. Принцип Ле - Шателье - Самуэльсона для линейных и нелинейных интегральных уравнений.

Глава II. Экстремальные расширения принципа.

Хикса.

§ 1. Экстремальные возмущения.•.

§ 2. Регулярная струна.

§ 3. Принцип Хикса для регулярной струны.

Глава III. Общая стильтьесовская струна.

§ 1. Дифференциалы Стильтьеса.

§ 2. Уравнение общей струны.

§ 3. Линейная теория общей струны.

§ 4. Принцип Хикса для общей струны.

Теория уравнений в пространстве с конусом оказывается уместной практически во всех разделах математической физики, где приходится опираться на те или иные свойства функции влияния или порождаемого ею интегрального оператора. Функция влияния, известная физикам со времен Кулона, оказывается обычно положительной, что предопределяет положительность соответствующего интегрального оператора. Однако в чистую математику операторы, положительные на конусе банахова пространства, вошли совсем с другой стороны. Знаменитая теорема Перрона о ведущем собственном значении положительной матрицы, для математиков достаточно неожиданная, явилась завершением разнообразных попыток экономистов мотивировать хорошо понятное для них свойство существования равновесных цен в замкнутой рыночной модели. Теорема Перрона начала процесс разработки теории положительных интегральных операторов (Енч, Фробениус и пр.), завершившийся созданием теории осцилляционных матриц и ядер (Гантмахер-Крейн), связанный с упругими колебаниями механических систем. В рамках этой теории и ее последующего развития удалость создать развитую систему результатов для общей осцилляционной теории спектральной задачи Штурма-Лиувилля.

Из математической экономики, где царят положительные матрицы, аналогичным образом в абстрактную теорию вошли (Гантмахер, Стеценко и др.) неразложимые операторы, в практической математике порождаемые агрегированием по Леонтьеву межотраслевых моделей баланса. В середине XX века в рамках моделей Леонтьева обнаружилось еще одно любопытное свойство положительных матриц, связываемое с именами Хикса, Саймона и др. западных экономистов. Заключается это свойство в следующем.

Если А - неразложимая неотрицательная матрица со спектральным радиусом р(А)< 1, то ее резольвентный оператор (I - А)~х есть матрица сильно положительная, и потому для системы вида х = Ах + /, (0.0.1) типичной для моделей Леонтьева, увеличение/(спроса) хотя бы всего лишь по одной компоненте приводит к строгому возрастанию всех компонент решения (требует увеличения плана по всем без исключения параметрам). Оказывается - а в этом и заключается феномен Хикса - это увеличение решения -обозначим его через Ду в соответствии с приращением Д/- имеет экстремальное относительное значение именно по той компоненте, которая определила прирост Д/. Точнее говоря, если А/ имеет все нулевые координаты, кроме одной (ДД ), то именно по этой /0 -й координате наиболее велико приращение Дх относительно х = (1-А)~]/, т.е. относительно прежнего решения системы (0.0.1). Совсем точно говоря, зир^Ь^-. (0.0.2) Х1 \

Это удивительное (и важное в экономической практике) свойство уже имеет достаточно широкую литературу (см., напр. [46, 48]). В настоящей работе это свойство распространяется на некоторые задачи современной математической физики. Естественно, нам не удается миновать интегральных уравнений, где приходится сталкиваться с достаточно серьезными трудностями. А именно - с локализацией входного возмущения, ибо наиболее содержательное свойство феномена Хикса - тотальная реакция системы на локальное (всего лишь по одной координате) изменение возмущения системы (спроса). В естественных функциональных пространствах подобное возмущение обычно связано с появлением в параметрах сингулярных дельта-образных компонент и переходу к анализу обобщенных решений, что и порождает главные трудности применения стандартной техники. Поэтому мы в начале устанавливаем аналог принципа Хикса для случая, когда в интегральном уравнении - аналоге (0.0.1) - = до (о.о.з) о. р правая часть возмущается непрерывной добавкой А/, которая оказывается положительной не в одной точке.

В конечном счете нам удается изучить ситуацию, когда аналогичное возмущение в модели стилтьесовской струны сосредоточено на ее конце -суперсингулярный случай, в том смысле, что соответствующее возмущение не охватывается классической теорией обобщенных функций, где носители ö -функций допускаются только внутри области. Тем самым, главной задачей работы является распространение принципа Хикса на важные классы интегральных и интегро-дифференциальных уравнений математической физики. В частности, мы распространяем принцип Хикса на канонизированную М.Г.Крейном задачу о стильтьесовской струне в форме х

-и'(х) + J'udQ = F(x) + ув{х -£)- F( 0), о где Q(x) определяет упругую реакцию внешней среды, F(x) - внешнюю силу, у - интенсивность импульса, локализованного в точке х = Е,.

Целью исследования является осмысление и описание принципа Хикса для новых, более широких классов математических моделей. В особенности физических моделей, описываемых с помощью функциональных пространств типа С[а,Ь], где допускаются импульсные, т.е. предельно локализованные возмущения.

Основным методы, используемые в работе - теория абстрактных полуупорядоченных пространств и методы теории интеграла Римана-Стильтьеса.

Основные результаты - аналоги принципа Хикса для: -общего интегрального уравнения с непрерывным неразложимым ядром;

- общей системы уравнений в R" с вогнутой нелинейностью. Аналогичный , результат для уравнений с оператором Гаммерштейна;

- интегродифференциального уравнения вида

-u'(x)+ JudQ = F(x) + const о с монотонными Q(x) и F(x).

Кроме того, для случая общей стильтьесовской струны дано корректное описание функции влияния, допускающее анализ экстремальных свойств -общепринятые дефиниции в математической литературе это сделать не позволяют.

А теперь о содержании диссертации подробнее. Работа состоит из трех глав, дополненных списком использованной литературы.

В главе I обсуждается возможность прямого расширения принципа Хикса. После его канонического описания в § 2 изучается возможность его обобщения на случай возмущений с расширенными носителями. Уточнением принципа Хикса оказывается

Теорема. Пусть матрица А - неотрицательная и неразложимая, р(А) < 1.

Пусть {xi,x2,.,xn} - решение системы x = Ax + f, a {yj,y2,—,yn} - решение системы у = Аул- f + Af. Пусть Aft > 0, i=l, 2,.,п, причем /ц- множество всех таких индексов / для которых Af р> 0, а yi - X/ У]~х] i: —-- = max —-h =

Xi j=\,2,.,n Xj

Тогда пересечение множеств I0 и /; не пустое, т.е. /0 r^/j Ф 0.

Далее принцип Хикса усиливается для случая строго положительных матриц.

Во второй части § 2 принцип Хикса распространяется на интегральные уравнения вида ь x(t) = JK{t, + f{t) а с непрерывным на [a,b] х [а,Ь] неотрицательным ядром K(t,s). Пусть выполнены условия

1°. Спектральный радиус г(А) интегрального оператора Ax(t): ь

Ax(t)= ¡K(t,s)x(s)ds, а рассматриваемого в пространстве С^ь] непрерывных на [а,Ь] функций, в котором, очевидно, действует оператор А, меньше чем 1: r(A)< 1.

2°. Интегральный оператор А неразложим в С^ц относительно конуса К неотрицательных функций в С^ц-Положим a)Q={t:tz[aMfx{t)> №}

-*(Qх,(0-х(0]

I.-— шах-г x{t) x{t) J

Иными словами, множество сох <z[a,b\ - это множество тех точек, на которых достигается максимум относительного приращения решения ь уравнения *,(/)= + fx{t) при замене правой части f(t) большей а функцией/¡(t), а со0 с [а, Ь] - это множество точек, в которых fi(t)>f(t). '

Теорема. При выполнении условий 1°, 2° пересечение со^Г\сох не пустое.

В заключении § 2 принцип Хикса устанавливается для алгебраических систем с вогнутой нелинейностью п Z я. *„)+/;. у=1 и неразложимой матрицей А.

Этот результат затем распространяется на случай интегрального уравнения типа Гаммерштейна = s)F[s, + ДО. п

В § 3 главы I обсуждается вопрос об оценках спектрального радиуса положительного оператора, ключевой для применения результатов § 2. В § 4 на интегральные уравнения переносится принцип Ле-Шателье-Самуэльсона.

4 Вторая часть диссертации посвящена описанию принципа Хикса для случая положительно-обратимых задач в функциональных пространствах, когда сохранено существо феномена Хикса — тотальная реакция объекта на предельно локализованное возмущение. Если объект описывается уравнением типа Ьи = /, где при непрерывном f решение - непрерывная функция, то появление сингулярного возмущения (типа дельта-функции) справа для непрерывных решений несовместимо с непрерывностью оператора Ь. Таким образом, естественный аналог феномена Хикса имеет смысл рассматривать только для неограниченных операторов, коими в математической физике являются дифференциальные операторы.

Мы рассматриваем задачу для стильтьесовской струны.

1. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций/ П.С. Александров - М.: Гостехиздат, 1948. - 253 с.

2. Альбеверио С. Решаемые модели в квантовой механике/ С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хоэг-Крон, X. Хольде М.: Мир, 1991. - 210 с.

3. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи/ Ф. Аткинсон -М.:Мир, 1991.-245 с.

4. Ахиезер Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве/ Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман М.: Наука, 1966. - 544 с.

5. Банах С. Курс функционального анализа/ С. Банах Киев, 1948. - 278 с.

6. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств/ Б.З. Вулих -М.: Наука, 1961.-407 с.

7. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ/Б.З. Вулих- М.: Физматгиз, 1967.-415 с.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц./ Ф.Р. Гантмахер М.: Наука, 1966. - 576 с.

9. Гулынина Е.В. О модели, двойственной к обобщенной модели Леонтьева-Форда/ Е.В. Гулынина // Математическое моделирование в научных исследованиях: Материалы всеросс. науч. конф.: Сб. науч. тр. Ставрополь, 2000.- 4.1.-С. 73 -77.

10. Гулынина Е.В. О принципе Саймона-Хикса в нестандартных краевых задачах типа Штурма-Лиувилля/ Е.В. Гулынина, М.Б. Зверева, В.Я. Стеценко // Воронежская зимняя матем. школа: Тез. докл. Воронеж, 2004. -С. 15.

11. Гулынина Е.В. Принцип Хикса для обобщенной задачи Штурма-Лиувилля/ Е.В. Гулынина, М.Б. Зверева // Современные проблемы теорий функций и их приложения: 12-я Саратовская зимняя школа: Тез.докл Саратов, 2004. - С. 21.

12. Гулынина Е.В. Принцип Хикса и его развитие на интегральных уравнениях/ Е.В. Гулынина // Современные проблемы технического, естественно-научного и гум. знания: Материалы И науч.-практич. конф. Губкин, 2001. - С. 105 — 110.

13. Данфорд Н. Линейные операторы, общая теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. -ИЛМ, 1962.- 178 с.

14. Дерр В.Я. К определению решения линейного дифференциального уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах/ В.Я. Дерр // Докл. АН СССР -1988.- Т.298.- С. 269-272.

15. Есаян А.Р. Локализация спектра линейного оператора/ А.Р. Есаян, В.Я. Стеценко // Тезисы кр. науч. сообщений Междунар. конгр. математиков. Секция 5. М., 1966. - С. 45-74.

16. Камке Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса/ Э. Камке М.:Физматлит, 1959.- 328с.

17. Канторович П.В. Функциональный анализ в нормированных пространствах/ П.В. Канторович, Г.П. Акилов. М.: Физматгиз - 1959.-684 с.

18. Канторович П.В. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах/ П.В. Канторович, Б.З. Вулих, А.Г. Пинскер. М.: Гостехиздат -1950.-546 с.

19. Канторович П.В. Приближенные методы высшего анализа/ П.В. Канторович,B.Н. Крылов М.-Л.: Физматгиз - 1962. - 708 с.

20. Кац И.С. Дополнение 2 к книге 3./ И.С.Кац, М.Г. Крейн С. 648-733.

21. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин М.:Наука, 1968. - 496 с.

22. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика/ Л. Коллатц М.: Мир. 1969.-421 с.

23. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин М.: Наука, 1968. - 544 с.

24. Костенко Т.А. О разрешимости операторных уравнений второго рода с линейными и нелинейными операторами/ Т.А. Костенко// «Университетская наука региону: Материалы XLIII науч.-методич. конф. - Ставрополь, 1998.C. 111-122.

25. Костенко Т.А. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора/ Т.А. Костенко // Понтрягинские чтения IX: Тез. докладов. -Воронеж, 1998.-С. 107.

26. Краснов М.Л. Интегральные уравнения/ М.Л. Краснов М.: Наука, 1975 - 288 с.

27. Красносельский М.А. Положительное решение операторных уравнений/ М.А. Красносельский М.: Физматгиз, 1962. - 396 с.109

28. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений/ М.А. Красносельский М.".Гостехиздат, 1956.- 396 с.

29. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений/ М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко М.: Наука, 1969.-455 с.

30. Позитивные линейные системы/ М.А. Красносельский, Е.А. Лившиц, A.B. Соболев М.: Наука, 1985. - 256 с.

31. Крейн М.Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха/ М.Г. Крейн., М.А. Рутман // УМН 1948. - №3. - Вып. 1. -С. 3-95.

32. Курант Р. Методы математической физики/ Р. Курант, Д. Гильберт' М.: Гостехиздат - Т. 1. - 476 с.

33. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа/ Л.А. Люстерник, В.И. Соболев- М.: Наука- 1965. -520 с.

34. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры/ А.И. Мальцев М.: Гостехиздат, 1956. -356 с.

35. Марку с М. Обзор по теории матриц и матричных неравенств/ М. Маркус, X. Минк Пер. с англ. под ред. В.Б. Лидского. М.: Наука. 1972. - 232 с.

36. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост/ М. Моришима М.: Наука, 1972. - 179 с.

37. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной/ И.П. Натансон М.: Наука, 1974.-480 с.

38. Перов А.И. Признаки эргодичности колмагоровских почти периодических систем/ А.И. Перов // Доклады РАН 2001 - Т. 384, №4 - с. 455 - 459.

39. Перов А.И. Признаки эргодичности марковских почти периодических систем/ А.И. Перов // Доклады РАН 2002 - Т. 380, №1 с. 9 - 12.

40. Покорный Ю.В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях/ Ю.В. Покорный// ДАН- 1999. Т. 364, №2- С. 167-169.

41. Покорный Ю.В. О дифференциалах Стилтьеса в обобщенной задаче Штурма-Лиувилля/ Ю.В. Покорный//ДАН-2002- Т.383,№5- С. 1-4.

42. Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу/ Ф. Рисс, Б. Секефальди-Надь -М.:Мир, 1978.- 587 с.

43. Розенфельд A.C. Переходные процессы и обобщенные функции/ A.C. Розенфельд, Б.И. Яхинсон М.: Наука, 1996. - 440 с.

44. Рудин У. Основы математического анализа/ У. Рудин М.:Мир, 1966 - 320 с.

45. Сакс С. Теория интеграла/ С. Сакс М.: ИЛ, 1949. - 494 с.

46. Садовничий В.А. Теория операторов/ В.А. Садовничий М.:Высшая школа, 1999.-368 с.

47. Самарский A.A. Теория разностных схем/ A.A. Самарский М.: Наука, 1977. -534 с.

48. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс. . д-ра физ.-мат. наук/ В .Я. Стеценко -Воронеж, 1969.-307 с.

49. Стеценко В.Я. Критерии неразложимости линейных операторов/ В.Я. Стеценко// УМН 1966. -№21.- Вып. 5 - С. 265-267.

50. Стеценко В .Я. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору линейных и нелинейных положительных операторов/ В.Я. Стеценко, В.А. Галкина Ставрополь, 1992. - 26 с. - Деп. в ВИНИТИ, 1069 - В - 93.

51. Стеценко В.Я.Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора / В.Я. Стеценко.// УМН 1967. - Т.22. - С. 242 - 244.

52. Урысон П.С. Труды по топологии и др. областям математики/ П.С. Урысон -М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. Т. 1. - 320 с.

53. Фаддеев Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры/ Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева М - Л.: Физматгиз, 1963. - 612 с.

54. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью/ А.Ф. Филиппов М.: Наука, 1985. - 224 с.

55. Функциональный анализ. Под ред. С.Г. Крейна М.: Наука. 1972. - 544 с.

56. Шварц Л. Математические методы для физических наук/ Л. Шварц М.: Мир, 1965., 217 с.

57. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств/ Г.Е. Шилов М.: Гостехиздат, 1952. - 227 с.

58. Feller W. J Math. 1. 1954.- №4 - P. 459-504.

59. Karlin S. Positive operators/ S. Karlin// J. Math. Mech- 1955. №8.- S. 907-938.

60. Karlin S.Total Positivity / S. Karlin Stanford, Calif. Univ. press, 1968 - V. 1 - S 41-57.

61. Kurzweil J. Generalized ordinary differential equations/ J. Kurzweil // Czech. Math. J.- 1958.-V.8- P.360-388.76.0strowski A. On positive Matrics/ A. Ostrowski // Math. Ann. 1963. - V. 150 -P. 276 - 284.

62. Pandit S.G. Differential systems involving impulses/ S.G. Pandit, S.G. Deo'// Lect. Notes Math.- 1982.- V. 954.-S. 117-124.

63. Perron O. Zur Theorie der Matrices/ O. Perron // Math. Ann. 1907. - V. 150 - S. 248-263.

64. Thomson A. On certain centraction mappings in a partitally ordered vector space./ A. Thomson // Proc. Amer. Math.Sos. 14. 1963. - №3. - S.438 - 443.112