Геометрия функциональных пространств, связанных с преобразованиями Фурье и Винера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Харківський державний університет

На правах рукопису

» V .. о п Ь

и * * “ ' \у уі

<-*zJ

Ольга Василівна

ГЕОМЕТРІЯ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ ПРОСТОРІВ ЗВ’ЯЗАНИХ З ПЕРЕТВОРЕННЯМИ ІУР’Є І ВІНЕРА. '

( 0i.0i.0I - математичний аналіз )

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків 1995

Дисертацією е рукопис.

Робота виконана в інституті прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригана НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник Плічко Анатолій Николаевич

Офіційні опоненти:

1. Доктор фізико-математичних наук, професор

Гандель КЦзій Володимирович •

2. Доктор фізико-математичних наук, професор Кадець Михайло Йосипович

Провідна організація: Київський державний університет ім.Т.Г.Шевченко.

Захист відбудеться 199 Гр. о /^год.^хв.

на засіданні спеціалізованої вченої ради К 02.02.17 у Харківському державному університеті

(адреса: 310077, м.Харків, пл. Свободи, 4, ауд- 6-48).

З дисертацією можна ознайомитися у Центральній науковій бібліотеці Харківського державного університету.

Автореферат розісланий '*'/ 1995 р.

Вчений секретар ^

спеціалізованої вченої ради Кощій 0.$.

. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТО

Актуальність теми. Дослідження геометричної структури функційних просторів на яких задані перетворення Фур’е та Вінера, а також просторів значень цих операторів, з різних точок зору є актуальним напршком з теорії функційних просторів.

і т і т г

Вивчення середніх 4f-J x(t*v)x{t)dt, rff-J |ж| t де x c -т -г

локально інтегровна функція на R розпочалося в 20-х роках нашого століття. Н.Бор, А.Безикович, В.Степанов вперше використовували їх для дослідження структури та спектру майже періодичних ядхливий внесок до цієї тематики зробив н.Вінер у ЗО-х рсггх. На поиску -™-гс стслтгг" л“'*** (Дж.Релей, А.Вустер, Г.Тейлор) намагалися застосувати гармонійний аналіз до вивчення хаотичних сигналів білого світла. Відомо, що ці типи сигналів мають скінченну потужність

t 7 г 00 г

(11т ччг-Г |*| <а>), але нескінчену енергію (LJ*1 =»). Тому кла-

Т—кю -Т

сичний аналіз на ¿-2(к) не можна застосувати до аналізу цих сиг-

наліз. Н.Вінер у сесій відомій праці з узагальненого гармонійного аналізу п показав, що границі вищезгаданих середніх можна застосовувати до вивчення функцій з неперервним спектром.

Для комплекснозначно ї вимірної за Боре лем функції заданої на прямій к, у якої існує границя ііш 4f- J 1

7-*» ~Т

Н.Вінер означив інтегральне перетворення Фур’є y=vx за формулою

, , -ist . . -ist .

і - r-t f133-» е Г е ~

V<3)=^( \.J І) ~=хЧі1 + Щч хСІ> —(І)

Тепер оператор * називають перетворенням Вінера. Н.Вінер довів, що середнє значення квадрату модуля такої.функції ><*■> дорівнює квадратичній варіації її перетворення у^, точніше, що

-г

° .

Wiener N.. Generalized harmonic analysis //Acta Math. - 1930.-

SS.-P. 117-2S8.

Проте сукупність функцій, для яких границі у (2) існують, не утворюють лінійних просторів. Тому були введені лінійні простори

( ____ - , Г » í/p ч

**= I X : |х|^ [(2Т)' ) < 00 } ,

{ у •• Му(г ш^+о(<2е>'їПіУСІ+^'-^г-°Ір ««]* Р<“} , та аналогічні до них простори Мр, Vp (в яких замість верхньої границі береться супремуи), де *œ. усо - вимірні функції,

1 <р<а> , міх якими природно діє перетворення Вінера. Банахівські властивості просторів *** та вивчались доволі докладног> з:>. Структура просторів vp та V** виявилась значно складнішою і зараз, за винятком випадку р=2 ми про неї знаємо зовсім мало. Вперше У працях 5:> показано, що перетворення Вінера буде ізоморфізмом з яг на vz і з Н2 на V2, а також обмеженим оператором з ®р в у4 , де 1<р<2, 1/р +1/<? =1.

Мета роботи. Вивчення геометричної структури функційних просторів у яких діють перетворення Фур’е та Вінера, а такої властивостей цих та близьких до них операторів.

Методи дослідження. Використовуються методи теорії банахо-вих граток і симетричних просторів, теорії інтерполяції лінійних операторів у симетричних просторах та теорії спіралей Казані.

Наукова новизна. Доведена строга сингулярність мажорозних інтегральних операторів для широкого класу функційних просторів. Введене поняття локально інтегрального і локально мажоровного

^ Feichtinger H.G. , An elementary approach to Wiener's third Tauberian theorem on Euclidean n-space/V Symposia Math. -1987. -3> £9.- P. 267- 301.

Lau K. On the Banach spaces of functions with bounded upper 4> means // Pacif. J. Math. - 1980.- 91.- P. 153-173.

Lau K. , Lee J. . On generalized harmonic analysis, // Trans. Amer. Math. Soc.-1980. - 259,- P. 75-97.

Chen Y., Lau K., Wiener transformation on functions with bounded averages, Proc. Amer. Math. Soc. 108 Cl9903, P. 411421.

операторів. Отримані загальні результати застосовано до встановлення строгої сингулярнссті перетворення Фур’е у просторах Орліча. Вперве введені й досліджені границі на прямій симетричних просторів на відрізках та простори обмеженої ^-варіації для симетричних просторів г на прямій. Вивчаються властивості перетворення Вінера у іщ. просторах. Зокрема обмеженість, ін’ектив-ність, строга сннгуляркість та ін. '

Практична і теоретична цінність. Дисертація має теоретичний хдаілтгр'. і і р^уттй-гй шиї,-;* при досліджен-

ні конкретних інтегральних та локально інїбгралькзк оператор!*. Боки можуть бути використані в абстрактному гармонійному аналізі для продовження вивчення властивостей перетворення Вінера.

Апробація-роботи Результати дисертації доповідались автором на науковій конференції викладачів та студентів Запорізького державного університету (Запоріжжя, 1991 p.), на міжнародній конференції, присвяченій пам'яті акад. М.П,Кравчука (Київ-Яуцьк, 1992 p.), на міжнародній математичній конференції, присвяченій пам’яті Ганса Гана (Чернівці, 1994 p.), на Семінарі з Аналізу (Цветтл. Австрія, 1994 р.), ка XX Зимовій Школі з Абстрактного Аналізу (Ягота над Рогановим, Чехія, ¡995 p.), на міському семінарі з геометрії банахових просторів (Хзрьків, 1995 p.), на наукових семінарах відділу нелінійного математичного аналізу Інституту приклздшх проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригана НАН України <Львів, 1993-1995 pp.).

Публікації. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковано б наукових праць, список яких подано в кінці автореферату. Роботи

[2, 4] виконані сашстійно.

- . Структура і об’єм роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти параграфів, розбитих на пункти, списку основних позначень і списку літератури. Об’єм дисертації - 99 сторінок машинописного тексту. Бібліографія складає 64 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТО

У вступі подано короткий історичний огляд теми роботи, загальна її характеристика та коротко викладено основні результати.

У першому параграфі наведені основні потрібні нам означення, позначення й відомі факти про банахов і гратки, банахові ідеальні простори, симетричні простори та інтерполяцію лінійних операторів.

У другому параграфі роботи вивчається строга сингулярність інтегральних операторів у банахових ідеальних просторах (БІП).

Нагадаємо, що лінійний обмежений оператор * з банахового простору х в банахів простір х називається строго сингулярним, якщо його звуження на довільний нескінченновимірний підпростір не є ізоморфізмом. Оператор * з БІП х на вимірному просторі (Г,£,^0 в Простір вимірних функцій на вимірному просторі (S,A,I>) називається махоровним, коли існує така вимірна на (s,A,y) невід'ємна функція г<*), що майже скрізь sup{|(¿*)(s)|: *ех, 0(s). Норма 8'ї БІП х називається абсолютно неперервною, якщо для будь-якої функції хєх і будь-якої спадаої послідовності вимірних МНОЖИН Тп з порожнім перетином |х хт |-»0 при Л-» “>,

п

де хт- характеристична функція множини г. Послідовність хп«х, п=і,оо буде ДИЗ'ЮНКТНОЮ, ЯКЩО ДЛЯ будь-яких чисел И*п

Основним результатом пункту 2.1 є наступне

Твердження 2.1.1. Нехай х,у-БІП на вимірних просторах (г,5:,^) та (5,а,і>), л:х-* у - мажоровний інтегральний оператор, норма простору у абсолютно неперервна і жодна диз'юнктна послідовність з простору у не еквівалентна послідовності простору х. Тоді оператор л строго сингулярний.

Наслідок 2.1.2. Якщо БІП х має котип р, а простір у - верхню <?- оцінку, <?>р і норма простору у абсолютно неперервна, то кожен інтегральний мажоровний оператор х-+у буде строго сингулярним.

Наслідок 2.І.З. Кожен мажоровний інтегральний оператор з простору ¡-р{и) в Lq(l>), иах <р,2)<<?<м буде строго сингулярним.

Далі ми застосовуєм наслідок 2.1.2 до знаходження достатніх умов строгої сингулярності інтегральних операторів у просторах Орліча. Нехай функція Орліча на fo,®). Покладемо pM=sup{p: inix ti1 «<xt)/«(x)tp >0 } і qM=inf{9: suPx't>i w(xt)/w<K)t9 <«» > .

Наслідок 2.1.4. Нехай ¡-н, - простори Орліча на (о,і)

або (о,®) з відповідними функціями Орліча «(t), w(t) , причому =2r{qrt,?><pw І іі.лл. Тізї оператор з в строго сингулярний.

Наслідок 2.1.5. Нехай «(t), «(t) - доповнювальні одна до одної функції Орліча, причому 1<p„,qrt<2. Якщо ln - відповідні функційні простори Орліча, то всякий інтегральний мажоровний оператор з ¡-н в ¡-н буде строго сингулярним.

У п.2.2 ми досліджуємо строгу сингулярність локально інтегральних і локально мажоровнкх операторів.

Оператор л:х-*у називатимеш локально інтегральним, якео існує тзка вимірна функція <(«»0, ¿«r, ©«s ^ для кожної підмко-ЖИКИ скінченної МІРИ оператор (>£)-')(*) = JD K(s,t)x(t)e^(t> буде інтегральним. Локально інтегральний оператор * буде локально мажсровннм, жщо кожен оператор *г мажоровний.

Твердження 2.2.1. Нехай и:х-*у - локально інтегральний і локально мазкрсБкий оператор, норми просторів х, у абсолютно неперервні, жодна диз’юнктна послідовність з у не еквівалентна послідовності в х і жодна нормована диз'юнктна послідовність б х не магорується жодною обмеженою послідовністю в у. Тоді л строго сингулярний.

Наслідок 2.2.1. Нехай л:х-*г - локально інтегральний і локально мажоровний оператор. Якщо простір * має нижню р-оцінку для деякого р<2, а простір у верхню <г-оцінку для деякого а>2 і •тип 2, то оператор л буде строго сингулярним.

Наслідок 2.2.2. Кожен локально інтегральний, локально «ажоровний оператор з ір(Р) в 1<*><2, 2<<?<® буде строго сингулярним. Зокрема оператор перетворення Фур'є з ¿р(кп) в 1 <Р<2, І'Р + 1 /ц =і строго сингулярний.

Застосовуючи наслідок 2.2.1 знаходимо достатні умови строгої сингулярності перетворення Фур'є у просторах Орліча.

Наслідок 2.2.3. Нехай «(О, *(0- доповнювальні одна до одної функції Орліча, 1<рл, <2- Тоді оператор перетворення

Фур’є з *-м(0,оо) в ^(0,«) строго сингулфний.

У §3 ми за симетричним функційним простором £ на відрізку будуємо ’граничні’ простори М£ та так само, як за простором будуватися простори та V?. Більшисть отриманих властивостей "граничних" просторів відома для Мр та але е і нові. Методика доведень, природно, більш абстрактна, ж нам здається, меньш громіздка і з точки зору теорії банахових просторів прозоріша. Спершу у п.3.1 розглядається одна абстрактна конструкція, яку моїна назвати індуктивною границею

послідовності банахових просторів.

Нехай хп - послідовність лінийних просторів, уп=х**---®хп і нехай уп банахів простір з нормою І |п , причому для кожного * Нп+/ 2 ДЛЯ будь-якого У € Уп і проектор із Уп+І на гп паралельно обмежений в нормі | |л+1. Розглянеш множину х =

|х*Ц.....хп,.): хдехп , гзирл| <х,........ХЛ>ІП<°°}. Для5«^.........

покладімо Рп* 3 (х1>...,хл,0,. ).

Твердження З.І.І. йюіина х з нормою |х|=зирп|/>пх|п буде банаховим простором.

Казатимемо, що задовольняється умова («), якщо для будь-

якого УЛ є |ул|п _* 0 коли Л -* 0» .

Твердження 3.1.4. При умові (*) для будь-якого *>0 простір *

МІСТИТЬ (доповнювальний) підпростір 2,<1+с)-ізометрИЧНИЙ ДО причому 2 п Х0 МІСТИТЬ ПІДПрОСТІр (1+*)- Ізометричний ДО с0.

Твердження 3.1.5. Якщо виконується умова (*) і всі рефлексивні простори, ТО X = X** ,

Твердження 3.1.6. Нехай існує таке число с<1, що для будь-якого «>< і будь-якого У Є Уп_{ виконується умова ФіпЧ. Для елемента * =(*,•—*п.- ) є х покладемо |*|0= зирп |*Л1П. Тоді норма ІИ0 еквівалентна вихідній нормі 6хІ і <х> З І0) =

= 1И(ХЛ) та (Х0. І |0)= с0(хл). •

Як наслідкі одержуємо, що >-0 містить доповкшальний під-яр?стір ¡¿*.ши£а£ "п .. гаюстіо *п не доповншальний в х і ке ізоморфний до спряженого. *

У п.3.2 ми будуємо простори М£ , та і£ і застосовуа-о одержані в п.З.І результати до цих просторів.

Для числа т>0 позначиш через ут лінійне відображення відрізку на [-1,11; Рг(-г)=-і, ут(т)=1. Нехай £ - симетричний простір на відрізку 1-1,13 з мірою Лебега х нормованою на одиницю: х([-1,П)=і. Тоді всі функції вигляду х(?г(0), де х пробігає простір г-, утворюють симетричний прост і р -г на відрізку 1-г,г] з нормою їх(^г(£))Зг := |х^_. Кошу функцію на відрізку і-т,т] ототожнюватимемо з функцією на всій прямій, доозначуючи її поза [-г,ті нулем. Позначмо через Мс сукупність (класів) комплексних вимірних функцій *<"!' на дійсній прямій, для яких І*ІИ= йирггі РІТ < а через - окупність функцій» для яких

І*Ц= П^_кп1х1г< *• Нехай і£= |х е Ут : о| .

З результатів п.З.І випливає, що коли - - простір з абсолютно неперервною нормою, то має базис; не доповнювальний в М£; не ізоморфний до спряженого і містить доповнювальний підпростір, ізоморфний до с0\ М£ містить (доповнювальний) підпростір, ізоморфний до іл і має повну мінімальну систему, а (ізометричний до містить ізоморфно отже, не має екві-

валентної строго опуклої норми. Показано, Ер для рефлексивного простору £ буде ;£*=^£ • Якщо ж верхній індекс Еойда простору £

скінченний, то простір ізоморфний до с0(£)> а М£- до 1со(£), а якщо крім того й нижній індекс Бойда більший від 1, то іЕ має безумовний базис. Вивчається множина крайніх точок кулі, зокрема показано, що куля простору не містить крайніх'точок.

Нехай х -банахів простір з базисом (*п)> для якого з нерівностей |ап(5|ЬЛ| ДЛЯ ВСЯКОГО * ВИПЛИВЗЄ £{, ^....-банахов і простори. Через »^л позначають простір послідовностей <уп>, Упе£л, ДЛЯ ЯКИХ ^ І»п| *,« X з нормою ї(уп)!= = 12* |ул8 *П1Х • Яир.х«!р або «, , то позначають через 1р(Еп) та С0(ЕП). При цьому виникає природне загальне питання : які властивості просторів * та £п успадковує простір Ми розгляне*» властивість Гротендіка (п.3.3) та

р- властивість Банаха-Сакса (п.3.4), а також наведемо деякі застосування отриманих результатів до границь симетричних просторів означених в п.3.2.

Банахів простір х називається гротендіковим, якщо у

Ж X *

спряженому х слабка і слабка збіжності послідовностей співпадають. Простір £ називатимемо в-опуклими, якщо він не містить г” рівномірно.

Основним результатом п.3.3 є наступне твердження.

Твердження 3.3.1. Нехай є- в-опукла банахова гратка. Тоді простір іт(£) гротендіків.

Нехай х-банахів простір і **- його спряжений. Набір хієХ? £€І» І-дежа множина, називається базисом Маркуше-

вича, якщо V /і(х^=6іу (символ Кронекера), лінійна оболонка елементів хі ;ІЄІ щільна в х і з /4(х)=0 Vі випливає Х=0.

Наслідок 3.3.1. В умовах твердження 3.3.1 простір *т(£) не має базиса Маркушевича. '

Наслідок 3.3.2. Нехай симетричний в-опуклий простір на відрізку, верхній індекс Бойда . Тоді простір гротендіків і не має базиса Маркушевича.

Відзначимо, що наслідок 3.3.2 дає новий результат навіть у

- 11 -

випадку £=£.1-1,11, 1<р<яо. •

У п.3.4 ми вивчаєш ¿-властивість Банаха-Сакса у просторах ^0(£) та іЕ. Кажуть, qo бачахів простір х кае властивість Банаха-Сакса (bsp), якщо в ньому кожна обмежена послідовність (xn) має підпсслідовність {*/), (с,і)- збіжну до деякого елемента * з х : lJJx'n - при w-ко . Якщо- ж така умова

виконується в для кожної слабко збіжної до нуля послідовності, тс х дає слабку властивість Банаха-Сакса (wbsp) (у цьому випадку х=о). Нагадаємо, що простір £ має p-властивість Банаха-Сакса (o-asrj. ¿М, rr«? у HNVrfy ь «*?яіої ло нуля

послідовності (х ) можна виділити Г.ІДГЮСЛІДОВІІІОТЬ (*п‘ ?, для

1 SU?N ІШХп У^/Р<а> •

Твердження 3.4.1. Нехай простір £ має p-властивість Банаха-Сакса для деякого р>і. Тоді простір co{t) має (p-bsp), отже й

(WBSP).

Наслідок 3.4.1. Якщо ^-рівномірно опуклий симетричний простір на відрізку то простір і£ має (p-bsp) для деякого р>і.

У §4 ми за симетричним простором г на прямій вводимо простори vr та Vf обмеженої ^-варіації та доводиш їх повноту.

Нехай f - комплексний симетричний простір на прямій з абсолютно неперервною нормою З І, а p(£)=Jx і - його фундамен-

[0,£]

тальна функція. Нехай також г£(у)=уct+a, єаи - оператор зсуву, a t£(y):= г£у-у. Позначмо через Vr простір (класів) вимірних

функцій у(0, для яких |у|7 -3up0<£.<)|r£vJ/p(i;)<“. Доведення '

^ ' р 3)

повноти Vr схоже на доведення повноти простору у та подібного до нього простору функцій з скінченою верхню» р-варіацісю ю\ грунтується на теорії спіралей Мазані.

Теорема 4.і.2. Простір певний.

Зауважимо, що простір ?г несепарабельний (твердження 4.1.2).

6} Nelson R.R. , The spaces of fuDstions of finite upper p-varla-tion // Trans. Arer. Math. Soc..-1979.- 233 - P. 171-190.

Наслідок 4.1.4. Спряжений ^ буде слабко* сепарабельним. Отже, ЧР не містить несепарабельних рефлексивних (і, навіть, несепарабельних слабко компактно породжених) підпросторів.

У §5 досліджуєтся дія перетворення Вінера у, заданого формулою (І) міх ‘граничними' просторами М£ та . Наше доведення обмеженості * грунтується на загальних результатах теорії інтерполяції лінійних операторів у симетричних просторах. Спочатку розглядаємо звичайне перетворення Фур'є і його інтерполяцію. Застосувавши відоме узагальнення Крейна і Семенова інтерполяційної теореми Марцинкевича, ми будуємо симетричний простір _г(к) в який перетворення Фур'е обмежено відображатиме симетричний простір £(К). :

Нагадаємо, що нижній і верхній індекси Бойда симетричного простору г означаться формулами

Ре = тії І°0І к* ’ Яе = 1^0 Й§ Рті '

де от - оператор розтягу : (*у<)(0 = х(г/г), (г > 0).

Основним результатом п.5Л е наступна

Теорема 5.1.1. Нехай простір (£(«), І має індекси Бойда 1< р < ч < 2, е с е(к)- підпростір функцій з носіями на 1-1,11, а ^=£_ь^(к) - простір, побудований за £(®). Нехай, крім того, існує така константа ь< ® , що для будь-якого числа ?>1

9 і (ПІМ/ < ь

п. • £(К)

Тоді перетворення Вінера * , задане формулою (І) буде обмеженим лінійним оператором з М£ в ^ .

Зауважимо, що крім просторів ¿Р(Е) наприклад, простори Лоренца і Марцинкевича з напівмультиплікативною фундаментальною функцією задовольняють умову теореми 5.1.1.

Теорема 5.1.2. Перетворення Вінера * буде обмеженим лінійним оператором з гог в .

ЗУ

Наступний наслідок уточнює результат Лау і Лі про обмеженість перетворення Вінера з простора у простор Vя .

Наслідок 5.1.1. При 1<р<2 перетворення Вінера буде обмеженим лінійним оператором з Мр в 7 „ і з вр в і' .

У п.5.2 ми досліджує?« деяки властивості перетворення Вінера (ін'єктивність, не ізоморфізм та строгую сингулярність).

Теорема 5.2.1. Перетворення Вінера ін'єктивне з в ?г, де МЕ і V- - простори, описані в п.5.і. .

Теорема 5.2.2. Нехай простір задовольняє умови теореми 5.1.1 і перетворення Вінера у неперервно відображав в V ,

Якщо верхній ІйДпКС СсйДІ Ч простору гасЬш.іа ЕІД 'і, Тп перетворення Вінера іЕ-* ^ буде не ізоморфізмом.

Теорема 5.2.3. В умовах теореми 5.І.І перетворення Вінера V: іЕ~* І^г не строго сингулярне (тим більше, не компактне).

Твердження 5.2.1. Нехай £~ симетричний рефлексивний простір на відрізку, у - банахів простір і 'А у - лінійний неперервний ін‘активний оператор, ¿оді звуження на деякий гпдпростір

континуальної ваги буде ізоморфізмом.

Автор висловлює щиру вдячність науковому керівнику доктору фізико - математичних наук А.М.Плічку за постановку задач і постійну увагу до роботи..

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ПО ТИН ДИСЕРТАЦІЇ

1. Kucher 0.7., Plichko A.M. Limits on the real line of symnet-ric spaces on segaents// Укр. мат. *.-1995.- З, N1, P.46-55.

2. Кучер O.B. Властивість Гротендіка у просторі 1со{^) і p-властивість Банаха-Сакса в С0(с) // Доповіді НАН України-1995.- N8.- С. 16-19.

3. Kucher 0.7., Plichko A.M. The Winer transformation on the limits of symmetric spaces // Acta Universitatis Carolinae, Math, et Phys.-1995.-36,2.

4. Кучер O.B. Некоторые геомерические свойства пространства СМ(У7/ Тез. науч. конф. ЗГУ - Запорожье.-1992.-С. 101-102.

5. Кучер 0., Плічко А. Усереднені симетричні простори на прямій // Тез. міжнар. конф., присвяченої пам’яті акад.

М.П.Кравчука. - Київ - Луцьк, І992.-С.І08.

6. Кучер 0., Плічко А. Строга сингулярність локально інтегральних операторів в ідеальних банахових просторах // Тез. міжнар. магем. конф., присвяченої пам'яті Ганса Гана.-Чернівці.- 1994.- С.79.

Kucher 0.7. Geoietry of the function spaces connected with the Pourier and Wiener transformations. Manuscript. Thesis for a degree oi Candidate of Science <?h.D.)' in Phisics and МаШешаИсз, the spesiality 01.01.01 - Mathematical Analysis. Kharkov University. Kharkov.1995.

It is introdused and invistigated the limits' on the real line of sy®setric spaces on segments and the spaces of functions of bounded r-variation for the symmetric spaces г on R. The properties of the Wiener transformation in these spaces are stwii-d •поїйхіаіийзз. strict singularity etc.). It

is proved the strict singularity оt та;)огі-5*Ьіе Literal operators for a large class of function spaces.

Кучер O.B. Геометрия функциональных пространств связанных с преобразованиями Фурье и Винера. Рукопись.* Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.0t.01- математический анализ. Харьковский государственны! Университет. Харьков. 1995.

Введены и исследованы пределы на пряюй симметричных пространств на отрезках и пространства функций ограниченной /"-вариации для симметричных пространств г на прямой. Изучаться свойства преобразования Винера в этих пространствах. Вчастности ограниченность, иньективность, строгая сингулярность и др. Джазана строгая сингулярность мажорируемых интегральных операторов для аирокого класса пространств функций.

Ключові слова: симетричний простір, строга сингулярность лінійних операторів, перетворення Вінера, перетворення Фур’є, простори Орліча.