Топологические характеристики базисов свободных в алгебраическом смысле топологических групп и топологических векторных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РГ6 од

2 7 г.:;.!] ^

На правах рукописи

БУРОВА Татьяна Всеволодовна

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БАЗИСОВ СВОБОДНЫХ В АЛГЕБРАИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУШ И ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

oi.oi.o4 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1996 год

Работа выполнена на кафедре "Высшая математика* Московской Государственной Академии печати

Научный консультант доктор физико-математических наук профессор В. И. ПОНОМАРЕВ

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор В.И.МАЛЫХИН кандидат физико-математических наук, доцент А.Н. ВЫБОРНОВ

Ведущая организация Санкт-Петербургский Государственный Университет

Защита состоится "2-0- ЬЦ-ОН^Ц 1996 года в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета К 053.22. 23 в Российском университете дружбы народов

по адресу: 117923 г.Москва. ул.Орджоникидзе, 3, ауд.485.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов (117158.г. Москва, ул. Миклухо-Маклая. 6>.

Автореферат разослан -11- Мил 1996 года

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

- ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование свойств Оазисов топологических векторных лространств и свободных в алгебраическом смысле топологических групп играет важнуй роль при г решении многих., задач -обшей топологии. Впервые их использовал А. А. Марков в 1945 году при доказательстве существования вполне регулярной, но- не нормальной топологической группы. В последующие 50 лет эта проблематика разрабатывалась А. А. Марковым, М. И. Граевым, Ч. Джойнером. А. В. Архангельским, Л. Г. Замбахидзе. Д..С. Павловским, В. Г.Пестовым и другими топологами. М. Я.Граев ---отрицательно ответил на поставленный в 1941 году вопрос -А. А. Маркова о гомеоморфности пространств х и y в случае, если их свободные топологические группы f(x) и f(y) изоморфны (в дальнейшем такие пространства х и Y--стали называть -М-эквивалентными). Км же было доказано сохранение бикомпактности отношением М-зквивалентности. Д. С. Павловский 1' в 1982 году доказал. что отношение i-эквивалентности сохраняет бикомпактность в классе нормальных пространств. Он впервые стал изучать свойства конечных произведений l-эквивалентных пространств. Им !) было доказано, что если х и y i-эквивалентные бикомпакты, то для всякого

НаТураЛЬНОГО ЧИСЛа n dim ХП = dim y".

Д. С. Павловский, 0 пространствах, имеющих линейно гомеоморфные пространства непрерывных функций в топологии поточечной сходимости // УМН - 1982 - т. 37, К2 - с. 185-186

з

В.Г. Пестов г> получил представление М-эквивалентных пространств х и х в виде х = U {. х^ ieN ь y « U { ieN },

такое, что. для любого i пространства и v^ гомеоморфны. Настоящая работа продолжает эти исследования.

Цель диссертации - изучение размерности свойств пар конечных произведений и пар М-, 1-, ъ- .и слабо 1-эквивалентных пространств, завершение исследований о сохранении бикомпакт-ности отношениями М-, 1-, ь- и слабой 1-эквивалентности.

Методы исследования. В диссертации используются как достаточно традиционные методы теории размерностей (теорема счетной суммы, методы Даукера, построение и исследование размерностных свойств "чешуи" и др.). так и некоторые методы

Д. С. Павловского, техника Л. Г. Замбахидзе и исследование с »

помощью ретракций размерности ind+ бесконечномерных пространств.

Научная новизна. Доказано, что отношение ъ-эквивалентности не сохраняет бикомпактность и. в частности, не совпадает с отношением i-эквивалентностн. Показано существование "хороших" взаимных разложений конечных произведений ь- и М-эквивалентню: пространств на локально замкнутые подмножества. Изучено поведение функций, размерностного типа на конечных произведения:':

.г) В. Г. Пестов, Совпадение размерностей dim i-эквивалентных топологических пространств // ДАН СССР - 1982 - т. 266, f#3. -с. 553-556

М-, 1-, ь- и слабо 1-эквивалентных пространств. Построены примеры • М-эквивалентных тотально нормальных , сильно паракомпактных пространств, несчетные значения размерности 1п<*+ которых различны. Все перечисленные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты демонстрируют возможность построения теории ь-, 1-, М- и слабо 1-эквивалентньа пространств. Результаты и методы, используемые в диссертации могут - быть использованы в ■ дальнейших исследованиях по - теории топологических групп и теории размерностей. Методы- исследования размерности т<1+ могут быть использованы при построении новых примеров бесконечномерных пространств с различными размерностными свойствами.

Апробация работы. Результаты докладывались на научных семинарах в Московском Государственном- Университете и Российском Университете Дружбы Народов.

Публикации. Основные результаты опубликованы в семи работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

\

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, списка терминологии и обозначений, семи параграфов, объединенных в две главы (первую "Совпадение и различие топологических свойств базисов свободных в алгебраическом смысле топологических групп и топологических векторных

^пространств" и вторую "Предельные остовы, размерность 1п<а+ ■ и ~ М-эквивалентность бесконечномерных пространств специального типа"). Список литературы, включенной в диссертацию содержит.72 наименования. Полный объем диссертации (с оглавлением; 99 стр.

СОЯЕРХАНЙЕ РАБОТЫ Во введении диссертации дан краткий обзор результатов, относящихся к теме работы, и изложены основные результаты диссертации.

В первой главе изучается совпадение и различие топологических свойств базисов свободных в алгебраическом .смысле топологических групп и топологических векторных пространств.

В §1 гл. 1 произведения конечного числа ь- (в частности М-) эквивалентных пространств и ^ представляются в виде счетного объединения своих "хороших" подпространств таким

п

образом, что слагаемые пространства п Х^ "хорошо примыкают"

1=1

друг к другу и гомеоморфны "хорошим" подмножествам пространства

п

П У^ Более точно в §1 гл.1 доказывается

1.1.1.Теорема. Пусть х^ У;^ при 1=1----,п , х = п Х^

1=1

у = П Тогда у есть объединение дизъюнктной системы множеств

1=1

Ф . а < ш2п1, где для любого а < и2п частичная сумма

С£ о J О

Фа = г<а| замкнута в у и пространство Фа гомеоморфно

множеству оа п га . где оа открыто в х> а га замкнуто в Х-

б

и п

1.1.2.Следствие. Пусть х1 _ У1 при 1=1,...,п , х = п ХА,

у = п Тогда у есть объединение дизъюнктной системы множеств 1=1

*

(ф : а < игп], где для любого а < ш2п частичная сумма

а о J о

Фа = и|фу: т<а| замкнута в у и пространство Фа гомеоморфно

множеству 0а л ра . где оа открыто в х. а ра замкнуто в Х-

Развивая метода Д. С. Павловского в §1 гл. 1 доказывается 1.1.з.Теорема. Пусть пространства и у^^ ь-эквивалентны

п п

для любого 1=1.....п, у = п У^' X = п пространство У - со

1=1 1=1

свойством Бэра и у' г у • Тогда существует непустое открытое в у' множество о, гомеоморфное некоторому подпространству пространства х.

1.1.7.Теорема. Пусть пространства х^ и слабо 1-эквива-

п п

лентны для любого 1=1,...,п, х = п У = п У}/ пространство

1=1 1=1

у'- со свойством Бэра я у'с у. Тогда существует непустое открытое в у' множество о, гомеоморфное некоторому подпространству пространства Х-

Теорема 1.1.7 обобщает теорему 4 1>.

В §2 гл. 1 развивается аксиоматический подход Л. Г.Замбахид-зе, который исследовал поведение функций размерностного типа на х-эквивалентных пространствах.

Пусть и и V есть подклассы класса топологических пространств. (? есть отображение у в {-1,0,1,...} и выполняются свойства:

1- и ^ V ..

2. (монотонность я по замкнутым подмножествам в V) если множество Х0 гомеоморфно замкнутому подмножеству пространства X и X е и (X е V) . то Х0 € и (Х0 е V) и

я(Х) 2 Й(Х0).

3. (теорема счетной суммы для яви) если X е и. множества Х1 замкнуты в X и X = хеы|. то я(Х) 5 1еи| ;

4. (свойство Даукера для яви) если X е и. множество Х0 замкнуто в х и

яо. я (X \ Х0) = 5ир{я<В): В замкнуто в х и В с (X \ Х0)|, то Я(Х) - 5Цр|я(Х0). ЯП.Я(Х\Х0)}.

Отметим, что если в пункте г положить Х0 гомеоморфным х. то ■' получим я(Х0) = я(Х), то есть топологическую замкнутость классов и и V и топологическую инвариантность функции я.

• г.2.1.Теорема. Пусть х.^ ь-эквивалентно при 1=1,...,п.

Пусть У = П е и. X = П Х^ е V и кроме того я(Х) г я(Х0)

1=г 1=1

если Х0 г X -и х0 гомеоморфно замкнутому подмножеству прост-

йространства у. Тогда я(Х) £ яСУ)-

1.2.12.Следствие. Пусть пространство ь-эквивалентно

п п

пространству у, при 1=1,...,п, х = п Х^ У = п Тогда

1=1 1=1 - •

а) если х и у ¡г-чешуйчатые и, тотально чешуйчатые пространства, то Ыо X = Ыо У;

б) если у совершенно нормальное паракомпактное пространство, а X - монотонно ¿-наследственно нормальное пространство, то Ыо X г |мо У;

в) если у - локально вполне паракомпактное пространство.

или X - ¿-наследственно нормальное пространство, то dim X 2 dim У- Таким образом, если оба пространства X и у либо d-наследственно нормальные, . либо вполне паракомпактные, го dim x = dim y; г) если X и Y наследственно паракомпактные пространства и g -группа, то D(X:G) = D(Y:G).

Пусть, дополнительно к условиям 1-4, и - класс конечномерных бикомпактов, и с W s V и выполнены свойства: 2'. Свойство 2 для класса w.

s. Если"' х 6 W, В с % и В" есть бикомпакт, то В е и; б. Если х € w. то r(X) = sup[r(B): В - подбикомпакт xj.

1.2.14.Теорема. Пусть x¿ ь-эквивалентно y¿ при i=i,...,n,

п п

X = П ХА и Y~ = "-'fi Yr Если при этом X е V и Yew, то i—i i=t

R(X) i R(Y).

1.2.15. Следствие. Пусть x¡_ М-эквивалентно при

n n

i=i,...,n, X - П x¡_ и Y = п Yr Если при этом x e V и Yew,

i=i i=t

TO R(X) г R(Y).

Отметим, что если X e w, то ввиду симметричности условий на пространства х и Y. выполняется равенство r(X) > r(Y). Применим теорему 1.2.14 к конкретным'размерностным функциям.

1.2.17.Следствие. Пусть пространство x¿ ь-эквивалентно

пространству при i=i.....п, х = п Y = п Yj_- Тогда

. i=i i=t

а) если X и Y есть локально бикомпактные конечномерные пространства. G - группа, то dim^ X = dim£ Y. ;

б) die X = Qic y , где cíe X = -sup{oim В : В - подбикомпакт xj-

Отношения ь-эквивалентности и- i-эквивалентности являются расширениями отношения М-эквивалентности. Совпадают ли эти расширения? Отрицательному ответу на .этот вопрос посвящен §з гл. 1.

1.3.1.Теорема. Бикомпакт "сходящаяся последовательность" А ь-эквивалентен дискретному множеству счетной мощности dv •

хо хо

Приведенные в 1.3.1 пространства не могут быть 1-эквива-леитны, т.к. 1-эквивалентность, согласно Д. С.Павловскому, сохраняет бикомпактность в классе нормальных пространств. Как показывает теорема 1.3.1, ь-эквивалентность не сохраняет бикомпактность.-

§4. гл.1 посвящен построению семейств попарно не ь-экБивалентных n-мерных компактов. Доказывается 1.4.6 .Теорема.

1) Пусть х - компакт без изолированных точек и или

а) oiM X < » и Для любого компакта х1 <= X dim X1 = dim X справедливо Int XL = а ; или

б) X - счетномерен и существует компакт А с х :

Ino а < Ind X и для любого компакта В с х \ А справедливо Ind в < Ind Х-

н. b

Тогда X - Х„ и Ind X = Ino X ; ino X = ind Xm .

00 CO GO

2) Пусть x.Y - континуумы, каждый из которых нельзя гомеоморфно вложить в другой. Тогда компакты хю. локально себе гомео-

н.Ь

морфны. локально г-несравнивд и, следовательно. xm - Y .

причем Ind X = Ind Хш; Ino Y = Ino Y0 •

1.4.7.Следствие. Для любого n=i,2,... сушествует семейство n-мерных локально себе гомеоморфных локально

г-несравнимых и. следовательно, попарно не ь-эквивалентных

компактов, имеющее мощность 2 •

Глава г посвящена поведена» функции 1па+ на М-эквивалентных пространствах. 1-эквивалентность не сохраняет трансфинитную размерность 1пй для всех счетных размерностей в классе компактов. Расширяя класс компактов до класса тотально нормальных сильно паракомпактных пространств в главе г строится семейство пар М-эквивалентных пространств Т^ и Т^, которые имеют отличающиеся размерности 1п<1+. Оказывается возможным построить семейство пар М-эквивалентных пространств, не сохраняющих трансфинитную размерность хпа* уже для всех несчетных значений размерности. Выполняется относящаяся к числу основных результатов диссертации

2.3.x.Теорема. Пусть а бесконечное порядковое число, пеИ. где а ,...,« бесконечные непредельные

числа, ап")с{а) и в = мах{<* 4, •. • ,<*п> • Тогда существуют тотально нормальные сильно паракомпактные пространства Т^ и Т^ , зависящие от упорядоченного набора (в1(...,а >, такие что

1ш+ т* » « . т" = * И т* - .

В целях ' получения этой теоремы получены следующие промежуточные результаты:

2.1.5.Теорема. Пусть для любого <* е Г отображение

Ха -» Уа непрерывно. Тогда отображение э р непрерывно.

аег а

2.1.Ю.Теорема. Пусть эеМ , а1,...,а есть бесконечные

порядковые числа. к(а )»1 при 1=1.....э. Тогда для любого

порядкового числа т' пространства

а

ПО 1 Т ,-г-г и ¿"--"''-т ••*'.

" (а ,...,х )'а +•. . .+а +? " (а ....,а ) а +...+а +7 I 5 1 з г' ' а 2 з

гомеоморфны.

2.1.11.Теорема. Пусть эеИ и бесконечные порядковые числа а-1,предельные, тогда для любого г ^пространство

а

110 \а ,...,а )Та +г есть ' РетРакт пространства

(ос ,...,а + ...-Н* +г

I 3 1 г

2.2.1.Теорема. Пусть эеИ и бесконечные порядковые" числа о -г;...-.« -1 являются предельными. Тогда для каждого

порядкового числа г>а пространство . . Та + +а +

метризуемо и сильно паракомпактно.

2.2.-з.Следствие. Пусть кеИ и бесконечные порядковые

числа а -1.....предельные. Тогда для каждого

непредельного порядкового числа' т'4 "и любого эеМ базу

а

окрестностей множества ПО 1, ■• . ,„ в

пространстве , „ ,Т _ . „ составляют элементы

г г (а , . .. , а ) а -с. . .-га,

I к I к

системы |от * I53 : гег|. где | о7: ?еГ база окрестностей

множества ПО 1

(а.....сОТа+...+а В пространстве

I к - 1 - к—1

..... (С£-......'

2.2.4.Теорема. Пусть множество.. С замкнуто в пространстве У х 2 . где у есть компакт, 2 есть нормальное пространство, г

есть точка пространства 2 • множество у открыто в пространстве

У х г и содержит множество с'= (у * <г>| п с • Тогда существует

окрестность точки г в пространстве 2, такая что (У х 02) п с с V.

2.2.5.Теорема. . Пусть а ...а есть бесконечные порядковые числа и к(а.) =1 при. 1*1,... ,к. Тогда для любого порядкового числа г, любого ««*-!. и любой окрестности о

а

пространства ПО х . ,Т существует

1а1.....V а1 + -"+в1е+У

&(0,а,г)>а такое, что множество Та,п является

Р (О, ос)

открыто-замкнутым подмножеством пространства о.

2.2.6.Георема. Пусть пеИ , 7.«____,а есть бесконечные

порядковые числа, к(а )»1 при 1е{1,...,п>, Тогда

«*,.....= ■

В заключение автор выражает глубокую признательность своему консультанту профессору В. И. Пономареву за внимание к работе и полезные обсуждения.

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Т.В.Бурова. Свойства ь-эквивалентных пространств // В сб. Геометрия, топология и приложения, под ред. В. В. Федорчука -Москва - 1990 - с. 75-77

2. Т.В.Бурова. Отношение ь-эквивалентности не сохраняет би-компактность // Тезисы докладов XXV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук -15-20 мая 1989г. - М. - Изд-во Ш - 1989 - с. 67

3. Т.В.Бурова.О несохранении ь-эквивалентности //Тезисы докладов XXVII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук - 13-18 мая 1991г. -М.-Изд-во УДН -1991 - с. 114 '

4. Т.В.Бурова. Бесконечномерность и ь-зквивалентность //Тезисы докладов XXIX научной конференции факультета физико- математических и естественных наук -17-31- мая 1993г. часть 2, Математические секции. - (Д. - Изд-во РУДН - 1993 - с. 35

5. Т.В.Бурова. Свойства специальных бесконечномерных пространств // Тезисы докладов" ххх 'научной конференции факультета физико-математических и естественных наук -16-24 мая

1994г.- часть 2 - Математические секции. - М.,-Изд-во" РУДН.

*

1994 - с. 40

6. Т.В.Бурова. В.А. Чатырко. Трансфинитная размерность" и эквивалентность //В сб. : Геометрия, топология и приложения, под ред. В. В. Федорчука - М. - 1990 -с. 68-74

7. Т.В.Бурова. Топологические характеристики свободных базисов топологических групп и топологических векторных пространств // В кн.: Исследования по топологии.8 (записки научных семинаров ПОМП) - т.231 - С-Пб - "Наука" - 1995 - с.76-87

БУРОВА ТАТЬЯНА ВСЕВОЛОДОВНА

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БАЗИСОВ СВОБОДНЫХ В АЛГЕБРАИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП И ТОПОЛОГИЧЕСКИХ

Данная работа посвящена рассмотрению ■ следующих вопросов:

Разложение "кусочно-гомеоморфных" конечных произведений М- и

ь-эквивалентных пространств; поведение функций размерностного

типа на конечных произведениях М-. ь-, 1- и слабо

i-эквивалентных пространств; несовпадение i-зквивалентности и

ь-эквивалентности; сохраняет ли отношение ь-эквивалентности

х

бикомпактность,- построение семейств мощности 2 п-мерных попарно не ь-эквивалентных компактов . Строятся пары М-эквивалентных пространств Т^ и т£. которые тлеют отличающиеся несчетные размерности ind+.

BUROVA TATJANA VSEVOLODOVNA

TOPOLOGICAL PROPERTIES OF BASES OF FREE IN ALGEBRAIC SENSE

TOPOLOGICAL GROUPS AND TOPOLOGICAL VECTOR SPACES.

In the present paper the following problems are considered:

decomposition of "piecewise-homeomorphic" finite products of M-

and b-equivalent spaces; behavior of dimensional type functions

on finite products of M-, b-, 1- and weakly 1-equivalent

spaces; noncoincidence of 1-equivalence and b-equivalence;

nonpreservation of bicompactness under b-equivalence relation; X

construction of 2 -capacity families of n-dimensional pairwise non b-equivalent compactums.The pairs of M-equivalent spaces T^ and T? with the different uncountable dimensions Ind*" are

ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

3

constructed.