Размерностные характеристики аттракторов дискретных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение

1 Некоторые результаты, основанные на определениях

1.1 Ляпуновская размерность в неподвижной точке.

1.2 Обобщённое отображение Каплана-Йорка.

2 Диссипативное отображение Чирикова

2.1 Некоторые вспомогательные утверждения.

2.2 Постановка задачи. Неподвижные точки.

2.3 Формула ляпуновской размерности.

2.3.1 Оценки ляпуновской размерности.

2.3.2 Ограниченность поднятия решения на плоскость

2.3.3 Вывод формулы

3 Два отображения окружности, соединённые слабой связью

3.1 Постановка задачи.

3.2 Основные леммы.

3.3 Формула ляпуновской размерности.

3.3.1 Оценка размерности.

3.3.2 Случай, когда точка М4 — гиперболическая.

3.3.3 Случай, когда точка М2 — гиперболическая.

4 Численные эксперименты

4.1 Алгоритм построения инвариантных многообразий

4.2 Проверка алгоритма.

4.3 Примеры для отображения Каплана-Йорка.

4.4 Пример для диссипативного отображения Чирикова

4.5 Пример для двух слабо связанных отображений окружности

Изучение размерностных характеристик инвариантных множеств динамических систем получило широкое развитие в последние десятилетия. Выяснилось, что притягивающее множество даже простой динамической системы может иметь сложную структуру и вообще говоря не являться многообразием. Вообще говоря, у притягивающего множества динамической системы топологическая размерность может и не существовать. Для того, чтобы изучать числовые характеристики подобных множеств, понадобились различные обобщения понятия размерности на нецелые значения. Первым примером такой размерности является хаусдорфова размерность [5], которая может принимать любые неотрицательные значения, а на гладких многообразиях совпадает с топологической размерностью.

Дадим определение хаусдорфовой размерности. Рассмотрим компактное метрическое пространство X с метрикой р и его подмножество Е. Зададим число е > 0 и покроем множество Е шарами радиусов Vj < е. Пусть Ы — множество всех таких покрытий. Далее зададим число d > О и для него определим d-мерный объём покрытия U ZzU как

Vd(U) = £rf. j

Определим

HH(E,d,e)=mfVd(U).

U CL4

Заметим, что Цн{Е, d, е) не убывает с уменьшением е. Значит, существует конечный или бесконечный предел цн{Е, d) = lim Цн{Е, d, е). £-»0

Функция //#(•, б?) называется d-мерой Хаусдорфа.

При фиксированном d функция Цн{Е, *) обладает всеми свойствами внешней меры на X.

Хаусдорф показал [5, 27], что при фиксированном Е для функции /хя(-, d) существует dkp £ [0, +оо] такое, что

Ин(Е, d) = со yd < dkp, fiH(E,d) = 0 4d > dkp.

Если JC — подмножество /-мерного Евклидова пространства, то dkp < I-Определение 1. Хаусдорфовой размерностью множества Е называется число dim# Е = dkp = ini{d\pff(E, d) = 0}.

Известно, что топологическая размерность (dimy) является инвариантом по отношению к гомеоморфизмам. Хаусдорфова размерность является инвариантом по отношению к диффеоморфизмам, причём нецелая хаусдорфова размерность не является инвариантом по отношению к гомеоморфизмам [5]. Топологическая размерность связана с хаусдорфовой неравенством dimy Е < dim# Е. Канторово множество доставляет пример строгого неравенства.

В выражених для измеряемых физических характеристик (см., например, [39]) можно встретить величину, сходную с хаусдорфовой размерностью и получившую название фрактальной размерности. Дадим её определение.

Рассмотрим U покрытие множества Е С X шарами радиуса е. Обозначим через В множество всех таких покрытий и для числа d > 0 рассмотрим d-мерный объём покрытия U (Е В. Тогда если NS{E) наименьшее число шаров радиуса е, необходимых для покрытия множества Е, то

ME,d,e) = mf Vd(U) = Af£(E)ed, Hf(E, d) = lim d, e). e-to

Определение 2. Фрактальной размерностью множества Е называется число dimF Е = mi{d\ цР(Е, d) = 0}.

Из определений фрактальной и хаусдорфовой размерностей следует, что dim# Е < dimp Е.

Для приближённого вычисления фрактальной размерности удобно использовать другое её определение.

Определение 3. Фрактальной размерностью множества Е называется число dirnp Е = lim — е->о logl/e

Понятие фрактальной размерности аттрактора динамической системы имеет разнообразные приложения в физике [1,15, 17]. Например, если имеется система с шумом, то фрактальная размерность аттрактора той же системы без шума показывает, как объём зашумлённого аттрактора изменяется в зависимости от амплитуды шума [37].

Наиболее важное для физических приложений свойство фрактальной размерности аттрактора динамической системы заключается в том, что она определяет фактическое число степеней свободы этой системы [17, 36]. Если размерность аттрактора много меньше размерности фазового пространства, то реальное число параметров, описывающих поведение динамической системы, определяется фрактальной размерностью аттрактора.

Кроме того, в физике часто практикуется следующий подход к описанию какого-либо сложного процесса, динамика которого может быть изучена только экспериментально. Предположим, что в результате экспериментальных наблюдений у системы устойчиво наблюдается притягивающее множество, очень похожее на аттрактор известной "простой" системы. Тогда говорят, что динамику данной системы можно свести к динамике "простой" системы. При этом от выбора этой "простой" системы зависит, насколько хорошо она представляет динамику физической системы [36].

В связи с этим вызывает большой интерес задача о нахождении фрактальной размерности аттракторов.

Классическая теорема Уитни [45, 42] утверждает, что если компактное многообразие имеет размерность d, то существует вложение его в Евклидово пространство размерности I > 2d. Эта теорема была обобщена на случай множества фрактальной размерности d в работе [40]. В работе [25] была высказана гипотеза о том, что фрактальная размерность совпадает с хаусдорфовой размерностью на типичных хаотических аттракторах. Поэтому наряду с верхними оценками фрактальной размерности представляли интерес задачи о верхних оценках хаусдорфовой размерности. Однако Кан в приложении к [40] показал, что для любого I существует множество К С I' с нулевой хаусдорфовой размерностью такое, что любая проекция Ш1 на пространство меньшей размерности взаимооднозначна на К, то есть хаусдорфова размерность, вообще говоря, не несёт никакой информации о количестве степеней свободы физической системы.

В большинстве случаев не удаётся вычислить фрактальную размерность аттрактора, исходя из определения фрактальной размерности, поэтому получили развитие разнообразные численные методы и оценки фрактальной размерности через ляпуновские показатели (см., например, [15]).

Рассмотрим непрерывно дифференцируемое отображение F множества U С Ж1 —> Тогда последовательность пораждает дискретную по времени динамическую систему. Рассмотрим траекторию, выходящую из точки zo и произвольный вектор v.

Определение 4. Ляпуновским показателем вектора v вдоль траектории Fn(zo) называется число

L(zo,v)=lbn (\\TZ0(Fn) ■ v\\)1/n . n—>00

Для заданного zq функция L(zq,-) имеет ровно I значений

L\(zq) >•••> Li(z0) , 8 которые называются ляпуновскими показателями последовательности О

Ляпуновская размерность по Каплану и Йорку определяется формулой (см., например, [30])

Dry = 3 +

In \L\ • • • Lj\ ln|Li+1|| ' где j — это наибольшее целое, для которого произведение первых j показателей больше единицы. Если j равно размерности фазового пространства, то Dxy = j.

Дальнейшее изложение требует точного определения аттрактора. Мы будем следовать определениям, сформулированным О. А. Ладыженской в работе [8].

Пусть F 6 С1 (U, Ж1) и F(U) С U. Рассмотрим ограниченное множество В С U.

Определение 5. Множество Bq притягивает множество В, если для любого положительного е существует щ{е, В) такое, что Fn{B) с 0£(Bq) для любого п > п 1, где Os(Bq) — это объединение всех шаров радиуса е с центрами в точках множества Bq.

Определение 6. Минимальным глобальным аттрактором последовательности отображений {Fn}^i0 называется наименьшее непустое замкнутое множество Ш1, которое притягивает любую точку множества U.

Определение Т. Минимальным глобальным В-аттрактором последовательности отображений {Fn}%10 называется наименьшее непустое замкнутое множество ШТ, которое притягивает любое ограниченное подмножество множества U.

Заметим, что ШТ С ШТ, и что ЭДТ — связное множество.

В работах [30] и [25] была высказана гипотеза (Каплана-Йорка) о том, что у гладкой динамической системы для почти всех начальных точек zq ляпуновская размерность Dky равна фрактальной размерности минимального глобального аттрактора.

В работах [22] (для конечномерного случая) и [6] (для бесконечномерного) были получены верхние оценки хаусдорфовой размерности ограниченного инвариантного относительно F множества для А;-сжимающих систем.

Непрерывно дифференцируемое отображение F : U —> Ж1 называется k-сжимающим, если существует q Е]0,1[ такое, что для любой точки z £ U и для любого А;-мерного параллелепипеда nfc имеем

V(TzF{Uk))<qV(Uk), где через V обозначен ^-мерный объём. Было доказано, что хаусдорфо-ва размерность ограниченного инвариантного относительно F множества не превосходит к. В частности, если U ограничено, то хаусдорфо-ва размерность минимального глобального £?-аттрактора динамической системы, порождённой fc-сжимающим отображением, не превосходит к. Затем, в работах [33, 21, 43, 23, 24, 46] были получены разнообразные оценки хаусдорфовой размерности аттракторов через ляпуновские показатели. Далее такие же, как в [22], оценки были получены для фрактальной размерности (см. [29, 19, 18, 7]). Дробная часть полученных оценок с точностью до замены ляпуновских показателей на сингулярные числа матрицы Якоби даёт дробную часть формулы Каплана-Йорка. Это привело к определению новой размерностной характеристики инвариантного множества динамической системы, которую, следуя Ханту, обычно называют просто ляпуновской размерностью [29, 12]. То, что ляпунов-ская размерность доставляет верхнюю оценку как хаусдорфовой, так и фрактальной размерности инвариантных множеств динамической системы, определило большой интерес к её исследованию ([б, 19, 29]).

Дадим определение ляпуновской размерности инвариантного множества дискретной динамической системы. Рассмотрим невырожденную квадратную матрицу А порядка I. Обозначим <Ji(A) > ■•• > &i(A) её сингулярные числа. Напомним, что сингулярным числом матрицы А называется квадратный корень из собственного числа матрицы А*А.

Определим функцию где j € {1,. ,1 — 1}, s G [0,1[, a d = j + s.

Пусть F Е С1 (U, R1) и F{U) С U. Обозначим через TZF матрицу Якоби отображения F в точке z. Рассмотрим ограниченное множество К С U, инвариантное относительно F, то есть F(K) = К.

Определение 8. Для j Е {1,., ^ — 1} такого, что i{TzF). <jj(TzF) > 1 и ai(TzF). aj+1 (TZF) < 1 рассмотрим число s € [0,1[, для которого ujj+s(TzF) = 1. Тогда число j + s называется локальной ляпуновской размерностью отображения F в точке z и обозначается dimi(F, z). По определению считаем, что если <71 (TZF) < 1, то dimL(F,2:) = 0, и если ai(TzF). m(TzF) > 1, то dimb(F, z) = I.

Определение 9. Локальной ляпуновской размерностью последовательности отображений {-^"j^o в точке z € К называется число diml z - - lim dim^F™, z). n-4 oo

Определение 10. Ляпуновской размерностью множества К для последовательности отображений называется число dim£ К = sup dimx £. z£k

Ляпуновская размерность не является размерностной характеристикой в классическом смысле этого понятия, но она позволяет эффективно оценивать сверху топологическую, хаусдорфову и фрактальную размерности и к ней хорошо применимы методы классической теории устойчивости движения. В частности для оценки ляпуновской размерности используются функции Ляпунова. Впервые идеи использования функций Ляпунова в оценках размерностных характеристик высказаны Г. А. Леоновым в работе [9] и далее развивались в работах [13, 31, 32, 10, 11, 19, 10, 12]. Для некоторых динамических систем можно получить точные формулы ляпуновской размерности аттрактора (см., например, [12]). Численные эксперименты показывают, что в тех случаях, когда ляпуновская размерность минимального глобального В-аттрактора дробная, система имеет хаотическое поведение. Таким образом, ляпуновская размерность может описывать неустойчивость системы.

В диссертационной работе рассматриваются дискретные по времени динамические системы, порождённые обобщённым отображением Кап-лана-Йорка [30], диссипативным отображением Чирикова [20, 26, 35, 41, 17, 1, 36] и двумя слабо связанными отображениями окружности [34, 17, 1, 36]. В первом случае формула получена путём прямого применения определения ляпуновской размерности. В двух других случаях используются специальные функции Ляпунова.

Рассматриваемые отображения описывают различные физические модели [17, 15]. Например, к диссипативному отображению Чирикова приходят в задаче о ротаторе с переменным внешним воздействием, а связанные отображения окружности возникают в системах фазовой синхронизации в цифровой схемотехнике [34].

Работа состоит из введения, четырёх глав, приложения и списка литературы.

В первом параграфе первой главы вычисляется ляпуновская размерность в неподвижной точке для произвольного С1 отображения в доказывается теорема:

Теорема 1. Пусть z — неподвижная точка отображения F.

1. Если |Ai(TzjF)| < 1, то dimLz = 0.

2. Если | det(T2F)| > 1, то dimLz = I.

3. Если

AiCTZF) • • • Xj(TzF)\ > 1, « \Xi(TzF) ■ •. Xj+i(TzF)\ < 1 , mo dimx z — j + s, где s такое, что i(TzF) • • • Xj(TzF)\ • |Aj+i(TzF)|s = 1 .

Во втором параграфе первой главы вычисляется ляпуновская размерность аттрактора динамической системы, порождённой обобщённым отображением Каплана-Йорка F : § х R1 —у S х R? х(п+1) = рх(п) mod г Aiy}n) + /i(®W) где параметры р и А^ (к = 1,., /) удовлетворяют условиям \р\ > 1, Afc ф 1, |р| > |Ai| > ••• > |А/| и \рХ\ • • • Aj| < 1, а функции fk(x) (к = 1,. ,1) непрерывно дифференцируемы на окружности. Доказывается следующая теорема.

Теорема 2. Локальная ляпуновская размерность последовательности {.F"^0))}^! не зависит от выбора точки и для любого множества К, инвариантного относительно отображения F, верно равенство dimL К = j —

In |pAi • • • Aji|

1п|А,-| ' где j > 1 выбирается из условия p\i---Xj-i\ > 1 & \рМ • • • Ajj < 1.

Первый параграф второй главы имеет вспомогательный характер. В нём рассматривается вариант теоремы [12] об оценке ляпуновской размерности с помощью функций ляпуновского типа p(z)P с вещественной функцией p(z) и постоянной комплексной матрицей Р. Затем доказывается аналогичная теорема для отображения двумерного цилиндра с ляпуновской матрицей-функцией Q(z). В конце параграфа приведена формула для сингулярных чисел матрицы в двумерном случае, которая активно используется в дальнейшем.

Далее рассматривается диссипативное отображение Чирикова F : S X 1->§х1

Оп+1 = {On + ft - ^ sin(2TT0n) + brn) mod 1 rn+1 = brn~^ sin(2Tтвп) , с условиями на параметры к> 0 , 0 < П < 1 , |Ь| < 1 и 0 .

Во втором параграфе второй главы рассматривается изменение количества неподвижных точек в зависимости от параметров. Если

О < Q < 1/2 и к > kQ = 2тг(1 - Ъ)П, то существует гиперболическая неподвижная точка <2о — (^(b гДе а0 Е]1/4,1/2]и

I 1 . (ко\ а если

1/2 < Q < 1 и к > ki = 2тг(1 - Ъ)( 1 - П), то существует гиперболическая неподвижная точка = (ai, 1 — Q), где «1 <= [1/2,3/4[ и

II • (кЛ

Обозначим {am}^f=0 — множество неподвижных точек отображения F. Доказывается следующая теорема:

Теорема 3. Если выполнены условия

О < П < 1/2 и к > к0 = 2тг(1 - b)Q, то

I In dimх{ато}^=0 = 2 lnA+(ao) + |ln|6|| ' если выполнены условия

1/2 < ft < 1 и к > ^ = 2тг(1 - 6)(1 - П) то м 11п dimi{am}m=0 = 2 lnA+(ai) + |ln|b|| •

В третьем параграфе рассматриваются верхние оценки ляпуновской размерности аттрактора. Доказывается теорема.

Теорема 4. dim** < 2--?-Ш-R-,

In (j 1 + b + к + y/(l + b + k)2-4b\) + | In в частности, если ft = 0; mo

In (j 11 + b + к + y/(l + 6 + k)2 - 4b|) + | In |6||

Затем выводится формула ляпуновской размерности аттрактора при дополнительных ограничениях на параметры. Доказывается теорема.

Теорема 5. Пусть 0 < b < 1.

1. Если выполнены условия

О < Q < 1/2 и к > к0 = 2тг(1 - Ъ)П 16 и неравенство к( 1 + sin(27rao)) < (V2 - 1 + ^ + 2тга0)(1 - Vb)2, то

1п6| dimL К = 2

1пА+(а0) + |М '

Ясли выполнены условия l/2<£l<luk>ki = 2тг(1 - 6)(1 - П) м неравенство к( 1 - sin(27rai)) < (л/2 - 1 + 2.25тг - 27rai)(l - л/б)2 то

11пЬ| dimL К = 2lnA+(ai) + |1пЬ| '

В третьей главе рассматриваются два слабо связанных отображения окружности F : М2 R2 жп+1 = bi + ж„ + ci(l - е) smxn + c2£sin?/n Уп+i = Ь2 + уп 4- С\£ sin хп + с2( 1 - е) sin?/n , Даётся нижняя оценка ляпуновской размерности аттрактора в зависимости от соотношений между коэффициентами системы. Пусть

Clcos (агсяш ci(12g) j>0, ri — с2 cos arcsin-г-——т— > 0.

V Сй(1-2е) J

Тогда положение точки (£, rj) в прямоугольнике {(ж, г/)|0 < х < ci,0 < у < с2} задаёт типы неподвижных точек.

Лемма 1. 1. Точка М\ — отталкивающая.

2. Точка — гиперболическая, если

2(1-£)(£-7?) >(1-2^77-4; и отталкивающая, если

2(1-е)(£-п) < (1 - - 4 .

3. Точка М2 — отталкивающая, если

2(l-e)(£-t/)>4-(l-2e)£r/; и гиперболическая, если

2(1 - - 77) < 4 - (1 - .

4. Точка Мз — притягивающая, если

2(1 - е)(£ + rj) < min{8,4 + (1 гиперболическая, если

2(1-£)(£ + /?) >4+(1-2^; отталкивающая, если

8 < 2(1 — +г]) < 4 + (1 — 2е)^г) .

Таким образом, прямоугольник {(ж, у)|0 < х < ci,0 < у < С2} разбивается на шесть областей DiА; = 1,., 6:

1. для (£, rj) G -Di точки М2 и М4 — гиперболические, а точка М3 — притягивающая;

2. для (£, 77) Е D2 точки М2, Мз и М4 являются гиперболическими;

3. для (£,77) € Рз точка Мг — отталкивающая, а точки М3 и М4 — гиперболические;

4. для (£,77) Е точка М4 — отталкивающая, а точки М2 и Мз — гиперболические;

5. для (£, 7/) Е точки M<i и М4 — отталкивающие, а точка Мз — гиперболическая;

6. для (£,77) Е D& точки М2, Мз и М4 являются отталкивающими.

Теорема 6. Пусть (£, rj) Е D2. Тогда для любого ограниченного множества К, содержащего точки М2, М3 и М\, v г, f in dimL К > max ^ 1 +

In |Аз I

Пусть (^rj) € D3. Тогда для любого ограниченного множества К, содержащего точку

1„|А«|

-1п|А<4)|' dimb К > 1 +

- In |А2

Пусть (£,77) Е D<l. Тогда для любого ограниченного множества К, содержащего точку М.2, lnlAf'l dini£ К > 1 +

-ln|A<2> 2

Пусть (£,77) Е Тогда для любого ограниченного множества К, содержащего точку Мз; dim^ К >1 + .

Затем выводятся формулы ляпуновской размерности аттрактора при дополнительных ограничениях на параметры.

Теорема 7. Предположим, что |6i| < с\, I&2I <

Чу/4-% - ф^Ч) > 4 - - " 4), ^ - \ffr% ~ \](4 - ЪЖ - 4) е] - 2, -1[U] -1, о[, cl-(4 + bl)j4-bl<0.

Рассмотрим множество К, инвариантное относительно отображения F такое, что £ К, а М\, М2 $ К. Тогда для достаточно малого е верно равенство а' г, 1 1П|Л(Х4) dimL К = 1 +

-ln|44)|

Теорема 8. Пусть |&i| < с\, |6г| < С2,

2(^4^4 - т/^Ц) > 4 - - 6?) (el - 61), - ^ - y/tf - Ь1)(4 - Щ) е] - 2, -1[и] - 1,0[,

Рассмотрим множество К, инвариантное относительно отображения F, такое, что М2 G К и Mi, М4 ^ К. Тогда для достаточно малого е верно равенство л- г, 1 1п1ЛР} dimL К = 1 + 11

-InlAfV

В четвёртой главе описывается алгоритм построения неустойчивого многообразия для непрерывно дифференцируемого отображения и устойчивого многообразия для диффеоморфизма.

Затем приводятся примеры, иллюстрирующие доказанные в главах 13 теоремы. Каждая из описанных систем ведёт себя хаотически при тех значениях параметров, для которых ляпуновская размерность аттрактора, вычисленная по точной формуле, имеет дробное значение.

В Приложении приводится вариант теоремы об ограниченности решения дискретной фазовой системы с нелинейностями и используемые в данной работе свойства сингулярных чисел матрицы.

1. Анищенко В. С., Сложные колебания в простых системах, М., Наука, 1990.

2. Афраймович В. С., Песин Я. В., Оценки хаусдорфовой размерности базисных многообразий в окрестности гомоклинической траектории, УМН, (1984) Т. 39, т.

3. Бабин А. В., Вишик М. И., Аттракторы эволюционных уравнений с частными производными и оценка их размерности, УМН., 1989, т. 38, в. 4, с. 133-187.

4. Бабин А. В., Вишик М. И., Аттракторы эволюционных уравнений, М., Наука, 1989.

5. Гуревич В., Волмэн Г., Теория размерности, М., Изд. иностранной литературы, 1946.

6. Ильяшенко Ю. С. Слабо сжимающие системы и аттракторы га-лёркинских приближений уравнений Навъе-Стокса на двумерном торе, Успехи механики,. 1982, 5(1) с. 31-63.

7. Ильяшенко Ю, С., Вейгу Ли, Нелокальные бифуркации, МЦНМО-Ро, М., 1999.

8. Ладыженская О. А. О нахождении минимальных глобальных аттракторов для уравнений Навье-Стокса и других уравнений с частными производными, УМН, 1987, т. 42, в. 6, с. 25-60.

9. Леонов Г. А., Об оценках хаусдорфовой размерности аттракторов, Вестник Лен. ун-та, 1991, сер. 1, в. 3.

10. Леонов Г. А., Об одном способе исследования глобальной устойчивости нелинейных систем, Вестник Лен. ун-та, 1991, сер. 1, в. 4.

11. Леонов Г. А., Верхние оценки хаусдорфовой размерности аттракторов, Вести. Петербургского ун-та. Сер. мат. мех. астроном. (1998), в. 1, 19-22.

12. Леонов Г. А., Формулы ляпуновской размерности аттракторов Хе-нона и Лоренца, Алгебра и анализ, 2001, т. 13, в. 3, с. 155-170.

13. Леонов Г. А., Буркин И. М., Шепелявый А. И., Частотные методы в теории колебаний, СПб., Изд-во СПбГУ, 1992.

14. Леонов Г. А., Смирнова В. В., Математические проблемы теории фазовой синхронизации, СПб, Наука, 2000.

15. Неймарк Ю. И., Ланда П. С., Стохастические и хаотические колебания, М., Наука, 1987.

16. Песин Я. В., Характеристики размерностного типа для инвариантных множеств динамических систем, УМН, 1988, т. 43, в. 4.

17. Шустер Г. Г., Детерминированный хаос: Введение, М., Мир, 1988.

18. Blinchevskaya M. A., Ilyashenko Yu. S., Estimate for the entropy dimension of the maximal attractor for k-contracting systems in an infinite-dimensional space, J. of Math. Phys. (1999) 6 1 20-27.

19. Boichenko V. A., Franz A., Leonov G.A., Reitmann V., Hausdorff and fractal dimension estimates for invariant sets of non-injective maps, J. Analysis and Appl. 17 (1998) №1, p. 207-223.

20. Chirikov В. V. A Universal Instability of Many Dimensional Oscillator System, Phys. Rep. 52 (1979), p. 463.

21. Constantin P., Foias C., Temam R., Attractors representing turbulent flows, Mem. Amer. Math. Soc. 53 (1985), №314.

22. Douady A., Oesterle J., Dimension de Hausdorff des attracteurs, C.r.Acad.sci. Paris. Ser.A. 290(1980), №24, p. 1135-1138.

23. Eden A., Local Lyapunov exponents and a local estimate of Hausdorff dimension, Radio-Math. Modelling and Numer. Analysis 23 (1989), №3, p. 405-413.

24. Eden A., Foias C., Temam R., Local and global Lyapunov exponents, J. Dynam. and Different. Eqat. (1991) №3, p. 133-177.

25. Farmer J.D., Ott E., Yorke J.A., The dimention of chaotic attractor, Physica 7D (1983), 153-180.

26. Feigenbaum M. J., Kadanoff L. P., Shenker S. J., Quasiperiodicity in Dissipative Systems; a Renormalization Group Analysis, Physica D. (1982) V. 5D, №, 3, p. 370-386.

27. Hausdorff, Dimension und ausseres Mass, Math. Ann. 79 (1919).

28. Horn R. A., Johnson G. R., Topics in Matrix Analysis, Cambridge 1991.

29. Hunt B. R., Maximum local Lyapunov dimension bounds the box dimension of chaotic attractors, Nonlinearity. (9) 1996, №4, p. 845-853.

30. Kaplan J. L., Yorke J. A., Chaotic behavior of multidimensional difference equations, Lect. Notes in Math. (1979) №730, p. 204-227

31. Leonov G. A., Boichenko V.A., Lyapunov''s direct method in the estimation of the Hausdorff dimension of attractors, Acta Appl. Math. 26 (1992), 1-60.

32. Leonov G. A., Ponomarenko D. V., Smirnova V. В., Frequency-Domain Methods for Nonlinear Analysis. Theory and Applications, World Scientific, Singapure, 1996.

33. Ledrappier F., Some relations between dimension and Lyapunov exponents, Commun. Math. Phys. 81 (1981), №2, p. 229-238.

34. Osipov G. V., Kurths J., "Regular and chaotic phase synchronization of coupled circle maps,"Phys. Rev. E (2001) 65 016216.

35. Ostlund S., Rand D., Sethna J., Siggia E., Universal Properties of the Transition from Quasi-Periodicity to the Chaos in Dissipative Systems, Physica D. (1983) V.8, №3, p. 303-342.

36. Ott, E. Chaos in Dynamical Systems, (1993) Cambridge University Press, Cambridge.

37. Ott E., Yorke E.D., Yorke J.A., A scaling law: how an attractor's volume depends on noise level, Physica 16D (1985), 62-78.

38. Rand D., Ostlund S., Sethna J., Siggia E., Universal Transition from Quasiperiodicity to Chaos in Dissipative Systems, Phys. Rev. Lett. (1982) V.49, №2, p. 132-135.

39. Richardson L.F., The Problem of Contiguity: an Appendix of Statistics of Deadly Quarrels, General Systems Yearbook, (1961) V. 6, 139-187.

40. Sauer Т., Yorke J.A., Casdagli M., Embedology (with appendix by I. Kan), J. Stat. Phys. 65 (1991) 579-616.

41. Shenker S. J., Scaling Behavior in a Map of a Circle onto Itself: Empirical Results Physica D. (1982) V.5, №2+3, p. 405-411.

42. Takens F., Detecting strange attractors in turbulence, in Lecture Notes in Mathematics 898 (Springer, 1981), 366-381.

43. Thieullen P., Entropy and the Hausdorff dimension for infinite-dimensional dynamical systems, J. Dyn & Diff. Eq. 4 (1992), 127-159.

44. Temam R., Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer, New York, Berlin, 1988.

45. Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. Math. 37 (1936), 645-680.

46. Young L.-S., Dimension, entropy and Lyapunov exponents, Ergod. Th. к Dynam. Sys. 2 (1982), 109-124.РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКАa 22k6& -/-03