Тривиально равномерные отображения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

Предварительные сведения

0.1 (Псевдо)Ра.вномерности и (псендо)равномерные пространства

0.2 Послойная общая топология.

Глава 1.

1.1 /7 и ТТЛ-отображения

1.2 Полные и вполне ограниченные 77/-отображения. Пополнения 77/-отображений.

1.3 Пополнения Т{/-отображений при помощи минимальных фильтров Коши.

1.4 Метризуемость Т11-отображений

Глава 2.

2.1 Абсолютно вполне ограниченные 71 [/¿-отображения.

2.2 Абсолютно полные 777-отображения.

2.3 Бикомпактификации Самюэля Г[/-отображений

2.4 Описание всех параллельных бикомпактам бикомпактификации

7 77,-отображения

Диссертация посвящена послойной равномерной общей топологии, точнее, ра.в-номерностям на отображениях. Равномерности на отображениях раньше исследовали И.М.Джеймс ([17]), Б.А.Пасынков ([8], [9]) и АЛО. Зубов ([5]).

Известны три определения равномерности на отображениях, два из которых позволяют изучать равномерности на отделимо бикомпактифицируемых отображениях (И.М.Джеймс) и на любых тихоновских отображениях (Б.А.Пасынков)

Предлагаемый в диссертации подход не позволяет рассматривать равномерности на отображениях в максимальной общности как в случаях ./-равномерностей (Джеймса) и Р-равномерностей (Пасынкова), но зато он существенно более прост и все еще приложим к важнейшему случаю отображений - непрерывным отображениям между тихоновскими пространствами.

В диссертации на отображения распространяются понятия равномерности, вполне ограниченной равномерности, полной равномерности, пополнения по равномерности и приводятся две конструкции пополнения по равномерности. Определяется также аналог бикомпактификации Самюэля по данной равномерности и, при помощи перехода от вполне ограниченных равномерностей на отображении к бикомпактификациям Самюэля по ним, даётся описание всех параллельных бикомпактам бикомпактификаций униформизуемых отображений. В частности, так описываются все совершенные расширения с тихоновской областью определения отображений между тихоновскими пространствами.

Мы пользуемся определением (псевдо) равномерности при помощи окружений.

Для (псевдо)равномерного пространства (Х,Ы) через тц будет обозначаться порожденная (псевдо)равномерностью Ы топология. Пополнение равномерного пространства (Х,Ы) обозначается через (Х,Ы). Для отображения / : X —> У полагаем 1т/ = /X. Для системы ф подмножеств пространства X считаем с1ф (подробнее, с1хф) = {с1 Ф : Ф € ф}.

Фиксируем пространство У" с топологией т. Для точки у 6 У через Л (у) будем обозначать систему всех ее окрестностей.

Пункт 1.1 главы 1 содержит основные начальные определения и результаты о тривиально равномерных отображениях.

Определение 1.1. Пусть дано отображение / множества X в пространство У". Тривиальной (кратко, Т-) псевдоравномерностъю на / назовем любую псевдоравномерность на X. Тривиальной (кратко, Т ^равномерностью на / будем называть псевдоравномерность на А. такую, что ее ограничение на каждый слой у € У, является равномерностью на этом слое. Топологией т(Ы, /) порожденной 'Г-псевдоравномерностъю, в частности 'Г-равномерностью, Ы па /) будем называть топологию на X с предбазой Тц и /-1т.

Предложение 1.1. Отображение / : (Х,т{1А, ¡)) У непрерывно и вполне регулярно, а еслиЫ есть Т-равномерность на /. то / есть еще и Т0- и, следовательно, тихоновское отображение.

Определение 1.2. Пару (/,£/), состоящую из отображения / и Г-равномер-ности Ы на нем, будем называть тривиально равномерным (кратко, Т11-) отображением.

Если {/М) есть Т1 г-отображение, X' С Л" и /' = }'\х> : А'' —)■ У, то. очевидно, (/'.¿/¡/'), где^|/< = Ы\х'. является Т1 "-отображением. Равномерность 1А\р будем называть ограничением равномерности Ы на подотображение /'.

Все тривиально равномерные отображения (/,£/) : X У , для фиксированного пространства У. составляют класс всех объектов категории ТЪ гпГу. Для обьек-тов (/М) : X —>■ У и {¡'.¡Л') : X' У этой категории, морфием Л : (/М) — (/'М') есть такое- отображение А : X А'', что / — /' о Л и отображение Л : (Х,Ы) —> (А',£/') равномерно непрерывно. Если, дополнительно, отображение А биективно, а отображение А"1 является морфизмом (/',£/') в (/,£/), то назовем его изоморфизмом между ^/-отображениями (/,Ы) в (/'М').

Морфизм А : (/,¿0 —>• (д:У) для 77/-отображений (/М) ■ X У и (д,У) : 2 —У будем называть плотным., если АА" плотно в т(У,д)). Очевидно, если

Л : (/,£/) —> (g-V) есть морфизм, то отображение Л : (X, т(£/,/)) —> (Z,r(V,g)) непрерывно. Если (/,U) G TUnify, X' С X и f = f\x> : X' -» V, то, очевидно,

I/O £ TUnify ■

Для двух Г ^-отображений (/,¿0 и (g, V) и морфизма А : (fM) —(<7, V) полагаем ХтЛ = (,9llmA; V|5|ImA). Морфизм А : (/,ZY) —> V) будем называть равномерным вложением / в д, если коограничение cor А = А : (/,£/) —ZmA морфизма А является изоморфизмом в категории TUnify.

Очевидно, равномерное вложение отображения является и его топологическим вложением.

Напомним, что для любого псевдоравномерного пространства (Х,Ы) однозначно с точностью до естественного изоморфизма определены равномерное пространство (ХиМи равномерно непрерывное отображение тти '■ {X.U) —> {ХиМ*)-, такие, что для любого равномерно непрерывного отображения д пространство (Х,К) в равномерное пространство (Z, V) однозначно определено равномерно непрерывное отображение д^ : —> (Z,V) со свойством д = д^ о TTU

Можно показать, что W = ~ЦЦ и что пространство {X,U) вполне ограничено тогда и только тогда, когда пространство (ХуМ^) вполне ограничено.

Через лц будет обозначаться композиция тгц и канонического вложения {ХцМ^) в пополнение (ХцЛ^)

Для Т£/-отображения {j\U) : X —Y У диагональное произведение е (соответственно, се) отображений / и тти (соответственно, / и 7Ги) будем называть (f ^Ы)-стандартным (соответственно c(f,U)~стандартным) вложением отоб-ралсенил (/,£/).

Для псевдоравномерного пространства (Z, W) через pz обозначим проектирование Y X Z на Z. Прообраз li(zyv) — Pz1 х Pz^O^) есть псевдоравномерность на Y X Z. Она является также псевдоравномерностью на проектировании t = t(Z,W) произведения Y X Z на У. Очевидно, эта псевдоравномерность является равномерностью на t, если W есть равномерность на Z. Ниже t =

ИО будем рассматривать как тривиально (псевдо)равномерное отображение с (лсевдо)равномерностью Ы^уV)

Лемма 1. (/,£/)(соответственно, с(/,Ы))- стандартное вложение е (соответственно, се) является равномерным вложением (/,К) = 1(Хи-,Ы^) (соответственно, в I = ^Хц^'Ц})).

Определение 1.3. Непрерывное отображение / : .V —> У назовем тривиально униформизуемым (кратко, Т1Л-отображением), если на / существует униформизующая его Т-равномерность 14. т.е. т(Ы, /) совпадает с топологией пространства X.

Всякое ТиI-отображение является тихоновским.

Определение 0.5.([10]) Непрерывное отображение / : X —У (замкнуто) параллельно пространству если существует такое топологическое вложение i пространства X в топологическое произведение У х что (множество ч X замкнуто в V X /' и ) /' = рг X г, где рг : У X /'' —^ V есть проекция произведения на сомножитель.

Теорема 1. Для непрерывного отображения тривиальная униформизуемость равносильна параллельности тихоновскому пространству.

В пункте 1.2 главы 1 рассматриваются вполне ограниченные и полные 14/-отображения, а также пополнения 77/-отображений

Определение 1.4. Т-равномерность Ы на отображения / : X —>■ У будем называть полной (кратко, СТ-равномерностью), если для любой точки у а У и любого фильтра ф в А", содержащего, во-первых, произвольно малые относительно 1Л множества и, во-вторых, систему /~1Аг(у), пересечение П П(с/Ф : Ф £ ф} непусто (замыкания берутся в топологии

Т11-отображение (/,£/) будем называть полным (кратко, СТи-отображением), если 7'-равномерность Ы на / полна.

Замечание 3.Пересечение из условия (*) не более чем одноточечно.

Замечание 4.Если Т11 -отображение (/,£/) полно и множество 2 С X замкнуто в Л . то и отображение д — полно (относительно ограничения Ы на д (т.е., на

Предложение 1.2. Если для Т1]-отображения {/,14) : X У и множества 2 С X подотображсние д = /\г полно (относительно ограничения Ы на д), то / замкнуто в X(относительно топологии т(14,/)).

Теорема 2. Т11 -отображение (¡,14) : X У полно тогда и только тогда, когда с(/,14)-стандартное вложение се замкнуто.

Определение 1.5. Непрерывное отображение / : X —> У назовем тривиально полным по Дьедонне, если на / существует униформизующая его СТ-равномерность.

Теорема 3. Непрерывное отображение является тривиально полным по Дьедонне отображением тогда и только тогда, когда оно замкнуто параллельно полному по Дьедонне (т.е., упиформизуемому полной равномерностью) пространству.

Следствие 3. Замкнутое подотображение тривиально полного по Дьедонне отображения тривиально полно по Дъедонне( т.е., если / : X —>■ У есть тривиально полное по Дьедонне отображение и /' С X есть замкнутое подмножество, то /\р есть тривиально полное по Дьедонне отображение.)

Определение 1.6. СТ[/-отображение (д, V) будем называть пополнением II -отображения (/,14), если фиксировано плотное равномерное вложение (/,14) в (д, V). (При помощи этого изоморфизма мы будем отождествлять (/,14) с соответствующим подотображением отображения (д, V)).

Теорема 4. Пусть ТII-отображение (<7, V) : Z У полно и А есть мор-физм Ти-отображения (/,14) : X —> У в (д, V). Тогда существует морфизм А пополнения отображения / в д, такой, что А|х = Л.

Очевидно, теорема 4 обобщает утверждение о том, что равномерно непрерывное отображение равномерного пространства X в полное пространство равномерно продолжается на пополнение пространства X.

Следствие 4 .Для любого ТЬТ-отображения (/,14) '■ X —> У пополнение единственно с точностью до тождественного на X изоморфизма.

Теорема 5. Любое ТЬ -отображение обладает пополнением.

Это пополнение для отображения (/М) : X —> У получается как ограничение проекции 1.(ХиМ^) на замыкание множества се(Х) = X в произведении У х Хц

Определение 1.7. Т [/-отображение (/М) : X —У и равномерность Ы на / будем называть вполне ограниченными, если псевдоравномерное пространство (ХМ) вполне ограничено.

Замечание 5. Подотображение вполне ограниченного Т11-отображения та к же вполне ограничено.

Замечание 6. Очевидно, если отображение (¡М) : X —> У вполне ограничено, то пространство Хи также вполне ограничено, а пространство Хц компактно.

Теорема 6. Полное и вполне ограниченное ТII-отображение бикомпактно (т.е. совершенно).

Замечание?. (Бикомпактное) Пополнение вполне ограниченного Т17-отображения вполне ограничено.

Пункт 1.3 главы 1 содержит распространение на отображения метода Самюэля (1948 г.) построения пополнения равномерного пространства при помощи минимальных фильтров Коши.

Пусть (/М) ■ X —>■ У есть ТЬ1-отображение.

Определение 1.8. Фильтр Коши 5 в (ХМ) назовем (Ы,/)-фильтром, Коши над точкой у 6 У, если он содержит систему /~1Х(у). В этом случае он будет обозначаться через (у.§).

Определение 1.9. (К, /)-фильтр Коши (у, 5) назовем .минимальным,, если 5=0 для каждого (и, /)-фильтра Коши (г/,0), содержащегося в (?/,$).

Через Xг¡(у) обозначим множество всех минимальных (Ы, /)-фильтров Коши, над точкой у. Пусть X есть дизъюнктное объединение всех у £ У, т.е. X есть множество всех минимальных (1А, /)-фильтров Коши над всеми точками пространства У.

Для любого V £ Ы обозначим через V множество всех пар ((г/1,5)? (?/2, ®)) минимальных (14, /)-фильтров Коши, имеющих общий элемент порядка малости V. Тогда множество 03 = {V : V 6 14} образует базу некоторой псевдоравномерности и на X. Отображение / : X У определим, считая /(?/,#) = у для у,Ю е х

Предложение 1.3. Псевдоравномерность и является Т-равномерностью на отображении /.

Семейство {17(х) : 17 £ 14} Д М(/(х)) для каждой точки х £ X образует базу некоторого фильтра Коши Ш(х) и 53(ж) является, минимальным (14,/)-фильтром Коши над точкой /(х).

Поэтому можно определить отображение г : X —> X, следующим образом: ¿(х) - (/'(.г), 03(ж)). Отображение г является равномерным вложением / в / (следствие 10), множество г(Х) плотно в пространстве (X,т(14, /)) (лемма 11) и отображение (/,14) : X —> У является СТО-отображением (лемма 13).

Таким образом, получается

Теорема 7. Отображение / : (Х,14) У является пополнением Т11-отображения (/,14) ■ X —у У.

В пункте 1.4 главы 1 на отображения распространяется классическая теорема о том, что равномерное пространство метризуемо тогда и только тогда, когда, его равномерность обладает счетной базой.

Определение 1.10. Для Т£/-отображения (/,14) : X --> У вес псевдоравномерности 14 на множестве X назовем весом Т17-отображения {¡,14). Обозначим его через ъо(14,/).

Определение 1.11. Пусть дано Т[/-отображение (/,14) : X —> У. Если на отображении / множества X, существует тривиальная метрика р, такая, что индуцированная этой псевдометрикой псевдоравномериость 14р на множестве X совпадает с Ы, то 14 назовем тривиально метризуемой Т-равномерностью на отображении /, а Т£/-отображение {/,14) назовём тривиально метризуелшм Т и-отображением,.

Теорема /г. ТV-отображение (/,£/) : X У тривиально метризуемо тогда и только тогда, когда = ш.

В главе 2 рассматриваются возникающие в связи с Т-равномерностями бикомпактные и близкие к ним пространства и отображения. В частности, при помощи вполне ограниченных Т-равномерностей на тривиально униформизуемом отображении даётся описание всех его бикомпактификаций (т.е. расширений до совершенных отображений), параллельных бикомпактам. Таким образом, в частности, для непрерывного отображения между тихоновскими пространствами получается описание всех его расширений до совершенных отображений с тихоновской областью определения.

Первый пункт главы 2 отталкивается:

1. от классической теоремы теории метризуемых пространств о том, что мет-ризуемое пространство бикомпактно (или, что равносильно, псевдокомпактно) тогда и только тогда, когда любая метрика на нём вполне ограничена;

2. от теоремы Р.Досса (1947 г.) о псевдокомпактности тихоновского (= уни-формизуемого) пространства, на котором любая равномерность вполне ограничена;

3. от теоремы И.В.Блудовой (2000 г.) о псевдокомпактности пространства X, если любая тривиальная метрика на тривиально метризуемом отображении / : X —> У вполне ограничена.

Определение 2.1. '/'Ш-отображение / : X —> V назовём абсолютно вполне ограниченным, если любая Г-равномерность на / является вполне ограниченной.

Теорема 9. 'ГЪЧ-отображение / : X —» У абсолютно вполне ограничено в том и только том случае, если пространство X псевдокомпакт но (т.е., каждая вещественнозначная непрерывная функция на X ограничена).

Очевидно, теорема 9 является обобщением теоремы Досса и аналогом теоремы

Блудовой. Отметим, что в первом пункте главы 2 доказывается существенно используемая в дальнейшем

Теорема 8. На любом Т(11-отображении [ : X -> У существует вполне ограниченная Т-равномерность.

Отметим, что, в отличие от случая пространств, не любая тривиальная равномерность на бикомпактном ГШ-отображении (даже на гомеоморфизме) вполне ограничена (см. Пример 1).

В связи с этим представляет интерес

Следствие 14. Пусть / : А' —^ У есть бикомпактное ТЪЧ-отображение. Тогда / абсолютно ограничено, если (а) пространство У счетно компактно или (Ь) пространства X и У тихоновские, пространство У псевдо компактно и отображение / открыто.

И.В.Блудова в [2] показала, что абсолютно ограниченное тривиально метризу-емое отображение бикомпактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто тривиально метризуемо. Естественно попытаться получить аналогичный результат для тривиально униформизуемых отображений.

Определение 2.2. Непрерывное отображение / : А' > У назовем замкнуто тривиально униформизуемым отображением, если оно замкнуто параллельно тихоновскому пространству.

Теорема 10. Бикомпактное Т1Л-отображ,ение является замкнуто тривиально униформизуемым отображением, более того, оно замкнуто параллельно бикомпакту.

В примере 2 рассматривается проектирование р на И' произведения \>\го х \¥ пространства И^ всех ординалов < и^ и пространства И всех ординалов ^ . Оно открыто, послойно счётно компактно и замкнуто параллельно счётно компактному и наследственно нормальному пространству Ц/'о (следовательно, оно замкнуто тривиально униформизуемо). В силу счётной компактности И-^о х IV, оно абсолютно ограничено. Но так как оно не замкнуто и не послойно бикомпактно, оно не бикомпактно.

Таким образом, аналога упомянутой теоремы Блудовой для ТШ-отображений нет.

Второй пункт главы 2 отталкивается от теоремы Немыцкого-Тихонова (о би-компактности метризуемого пространства, любая метрика на котором полна) и от распрстранений этой теоремы на тривиально метризуемые отображения в статье Блудовой [3].

Следуя работе [3], дадим следующее определение.

Определение 2.3. ГШ-отображение f : X Y назовем: абсолютно полным, если любая Г-равномерность на / является полной; абсолютно замкнуто тривиально униформизуемым, если для любого непрерывного отображения д : X —Z (где Z тихоновское пространство), такого, что F = /Ад есть топологическое вложение, это вложение замкнуто (т.е. множество F(X) замкнуто в Y х Z).

Теорема 11. Для TUt-отображения f : X следующие условия эквивалентны:

1) / бикомпактно,

2) / абсолютно полно,

3) / абсолютно замкнуто тривиально униформизуемо.

Отметим, что в статье [3] получено лишь частичное обобщение теоремы Немыц-кого-Тихонова (при дополнительных ограничениях на образ отображения). Отметим также, что отображение р в примере 2, является примером замкнуто тривиально униформизуемого, но не абсолютно замкнуто тривиально унифор-мизуемого отображения.

Перейдем к пункту 3 главы 2.

Р.Самюэль (1948 г.) доказал, что каждая (псевдо) равномерность U на множестве X содержит вполне ограниченную (псевдо) равномерность К*, являющуюся максимальной (по включению) среди всех вполне ограниченных (псевдо) равномерностей на пространстве (Х,ти), содержащихся в U.

Аналогичное утверждение верно и для отображений:

Лемма 16. Для Т11 -отображения (/М) '■ X —> У псевдоравномерность № является вполне ограниченной равномерностью на непрерывном отображении

Это утверждение позволяет распространить на отображения понятие биком-пактификации Самюэля равномерного пространства:

Определение 2.4. Для Т6г~отображения (/,£/) : X —У пусть отображение БЫ) : БцХ —> У есть пополнение вполне ограниченного Т^У-отображения (/,14*) ■ X —У. Отображение <Ял/ : ^иХ^тви) У будем называть бикомтгак-тификацией Самюэля отображения / относительно Ы.

Замечание 11. Если |У| = 1, то Л' есть тихоновское пространство, Ы есть равномерность на X и БцХ совпадает с бикомпактификацией Самюэля пространства X относительно равномерности 14 (см. 8.5.7 в [16]).

Из цитированной леммы 16 следует, что действительно, является бикомпактификацией отображения / : У. при котором отображение параллельно некоторому бикомпакту ( замечание 9). Этот результат будет важен для следующего пункта главы 2. Оказывается (лемма 21) для любого ТЬТ-отображения (/М) '■ X У и любого бикомпакта Z любое равномерно непрерывное относительно Ы и единственной равномерности V на £ отображение ф : X —> 2 обладает равномерно непрерывным относительно БЫ и V продолжением ф : БиХ —> X.

Но аналогии со случаем пространств, на любом тривиально униформизуемом отображении / : X —У У можно определить универсальную (т.е., максимальную) равномерность Ы/.

Теорема 12. На каждом Т1Н-отображении существует универсальная Т-равномерносгпь.

Цитированная выше лемма 21 допускает следующую „топологизацию" в случае, когда Ы — Ц].

Следствие 22. Пусть Ы/ есть универсальная Т-равномерность на Т1Н отображении / : X —>■ У. Тогда любое непрерывное отображение ф : X % в бикомпакт 2- обладает непрерывным продолжением ф : —> /?.

Перейдём к четвертому (последнему) пункту главы 2.

Хорошо известно, что существует изоморфизм между частично упорядоченными множествами всех вполне ограниченных равномерностей на тихоновском пространстве и всех его хаусдорфовых бикомпактификацией, причем этот изоморфизм получается при помощи перехода от вполне ограниченных равномерностей на пространстве X к пространствам пополнений пространства X по этим равномерностям. Важную роль при этом играет тот факт, что на бикомпакте существует только одна равномерность.

В случае отображений ситуация существенным образом усложняется. Оказывается, в отличие от пространств, на бикомпактном отображении могут существовать разные (даже не вполне ограниченные) равномерности (см. Примеры 3 и 4.). В связи с этим необходимы некоторые предварительные определения.

Определение 2.5. Пусть / : X —> У есть отображение множества X в пространство У и Ы\. ¿¿2 две Т-равномерности на нём. Если для любой точки у £ У и любого О £ Аг(у) выполнены условия: для любого окружения У £ Ы\ существует окрестность О' £ Х(у) такая, что О' С О и V' П (/"'О' х /"10') е и2\}-юч для любого окружения V" € Ы-2 существует окрестность О" (Е Х(у) такая, что О" с О и V" п (г10" X ¡-Ю") е иЛ 1,-10«, то Т-равномерности Ы\ и Ы2 будем называть /-эквивалентными и писать Ы\ ~ { ¿/2

Отношение ~/ является отношением эквивалентности на .множестве всех 'Г-равномерностей на, /.

Отметим, что для отображения / : X —> У, где У~ одно точечное пространство эквивалентность Ы\ Ы2 влечет совпадение ТА\ и Ы2.

Отметим также, что (лемма 26) если Ы\ и Ы^-две /-эквивалентные Т-равномерности на отображении / : X У, то т^/,^) = т{/М2). Поэтому две

Т-равномерности 141, Ы2 на непрерывном отображении /;Х —> У. также будем называть /-эквивалентными и писать Ы\ 2, если они /-эквивалентные как равномерности на отображении / множества X в пространство У .

Ключевую роль играют в дальнейшем следующие леммы: (лемма 29) если Ы\ и Ы2~две /-эквивалентные Т-равномерности на непрерывном отображении / : X У, то для пополнений /х : (Х1,^) —> У и, /2 : (Х2,£/2) У совпадают: множества X1 и X2, отображения : X1 —)■ У и /2 : X2 —)• У, топологии г(^1,/'х) и т(Ы2^/2). а Ы\ и Ы2 являются /-эквивалентными для\ / = /1 = /2; (лемма 32) любые две Т-равнолщтости на бикомпактном Т1Л-отображении / : X —У У являются /-эквивалентными и (лемма 27) в каждом классе Ы (вполне ограниченных) /-эквивалентных равном,ерностей на непрерывном отображении / существует максимальный элемент (который будет обозначаться через Ыт).

Для произвольного класса Ы вполне ограниченных /-эквивалентных Т-равно-мерностей на / его максимальный элемент 1Ат назовём старшим.

Множество всех старших элементов классов /-эквивалентных вполне ограниченных Т-равномерностей на отображении / является частично упорядоченным (по включению) множеством.

Пусть и п./ есть множество всех классов /-эквивалентных вполне ограниченных Т-равномерностей на непрерывном отображении /. Каждый класс Ы £ Цп/ однозначно определяется своим старшим элементом 1Лт.

Поэтому можно вести частичный порядок на множестве ип/ следующим образом:

Определение 2.6. Пусть Ы,УУ £ ип/. Считаем Ы ^ УУ, если УУт С Ыт.

Через Сот/ обозначим множество всех бикомпактификаций отображения /, которые параллельны бикомпактам.

Множество Сот/ является частично упорядоченным (для Ъ2/ Сот/ считается Ь\/ > Ь2/, если существует канонический, т.е. тождественный на X, морфизм <р : Ъ\/ —Ь2/).

Пусть U Е Uny. Если U G Ы^ то его пополнение (f,U) : X —> Y является бикомпактификадией отображения /, совпадающей с бикомпактификацией Suf отображения / относительно Ы и параллельной некоторому бикомпакту.

По лемме 30, для U1.U2 G U бикомпактификации Самюэля Su^f и Su2f совпадают. Следовательно, определено отображение S : Unf —у Com/-, определяемое так: S(U) = bf G Comf, если bf = Suf для некоторого U G U.

Теорема 13. Для, TUt-отобрамсения f : X —> У операция пополнения (старших) элементов классов вполне ограниченных f -эквивалентных Т-равномерпос-гпей на f (т.е. отображение S : Un/ Com/) осуществляет изоморфизм частично упорядоченного множества Un/ (всех классов вполне ограниченных f-эквивалентных Т-равномерностей на отображении /) на частично упорядоченное множество Com / (всех его параллельных бикомпактам бикомпактификации).

Поскольку для непрерывного отображения / между тихоновскими пространствами тихоновость области определения бикомпактификации bf отображения / равносильно тому, что bf параллельно бикомпакту, то для непрерывного отображения между тихоновскими пространствами теорема 13 даёт описание всех его расширений до совершенных отображений с тихоновской областью определения.

Для любого ТШ-отображения / через ¡3jf обозначим бикомпактификацию Самюэля относительно универсальной Т'-равномерности на нём.

Следствие 38. Если X хаусдорфово и нормально, а пространство Y регулярно, то бикомпактификация faf совпадает с f3f[7].

Автор благодарен своему научному руководителю профессору Б.А.Пасынкову за постановку задач и помощь в работе.

ТТгър ТТРЯПТ/ГПГ<=» ТТЬМТ-ТР» ИРНИи

Ниже под пространством понимается топологическое пространство, под непрерывным отображением - непрерывное отображение пространств.

В этой части приводятся необходимые нам некоторые определения и факты из теории равномерных пространств и послойной общей топологии, (см. [1], [16] и [7], [10]).

0.1 (Псевдо)Равномерности и (псевдо)равномерные пространства

Определение псевдоравномерности (равномерности) и псевдоравномерного (равномерного) пространства

Пусть X- некоторое множество и А, 5-подмножества произведения X X X, т.е. отношения на множестве X. Обратное отношение будет обозначаться через —А, композиция отношений А и /У через А + В, т.е.,

-А = {(х,®') : (ж', ж) £ Л} и

А+В = {(а-. х') : Зх" £ X : (х, х") £ А Л (х", х') £ В}.

Очевидно, что взятие композиции ассоциативно, т.е. (Л + В) + С = А + (В + С). Если п £ N и А С А^ х X, то отношение пА С X х X определяется индуктивно формулами 1 А = А и пА = (п - 1),4 + А.

Тогда из ассоциативности композиции следует, что пА + тА = (п + т)А.

Пусть Ах = {(ж, х) : х £ .X} есть диагональ произведение X х X. Каждое симметричное множество V С X х X (т.е. V = — V), которое содержит Дх называется окружением диагонали; множество всех окружений диагонали Ах будет обозначаться через Т>х

Если для множества А С X и окружения V £ U имеем А х А С V, то будем говорить, что множество А имеет порядок малости V.

Пусть х0 Е X, А С X и V £ U есть окружение диагонали Ах

Множество У(ж0) = {х £ Л' : (жо,ж) £ V} называется V- шаром с центром жо, а множество У(Л) = Цг-е4 называем V- шаром вокруг А.

В данной работе псевдоравномерностью на множестве X понимается подсемейство U С Т>х окружений диагонали Ах{ = рефлексивных и симметричных отношений на обладающее свойствами:

U1) Если V £ Ы и V7 С И' Г Vx, moW eU. (U2) Если U, V £ U, mo U П V £ U.

U3) Для любого V <Е U существует такое U £ U, что 2U С V.

Пара {Х,И) называется псевдоравномерным пространством.

Если же, сверх того, Ы обладает свойством:

U4) П U = Ах, то мы называем его равномерностьюи говорим в этом случае, что (X,U) - равномерное пространство.

Семейство В С U называется базой псевдоравномерности U, если для любого U £ U существует такое VI' £ В, что W С U. Для того чтобы множество В симметричных подмножеств произведения X х X было базой некоторой псевдоравномерной структуры в X, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим аксиомам:

BU1) Всякое множество из 9$ содержит диагональ А квадрата X х X.

BU2) Для любых V] , \2 £ 93 существует, такое I £ 53. что V С V\ П V2.

BU3) Для любого V £ 95 существует такое W £ 95, что 2W С V.

Маименыпий кардинал вида |95|, где 03 — база для Ы, называется весом псевдоравномерности U и обозначается w(U).

В другой стандартной терминологии псевдоравномерность и равномерность именуются соответственно равномерностью и отделимой равномерностью [4].

Топология псевдоравномерного (равномерного) пространства

Каждая псевдоравномерность U на множестве X порождает некоторую топологию Tu на нём.

Точнее, имеет место:

Предложение 0.1. Для любой псевдоравномерности U на множестве X семейство

Ти = {о с X : Ух G X3U G Ы : V(x) С О} есть топология на множестве X.

Топология Тц называется топологией, порожденной (или индуцированной) псевдоравномерностью U.

Если X топологическое пространство и псевдоравномерность U на множестве X индуцирует исходную топологию пространства X, то будем говорить, что U есть псевдоравномерность на пространстве X.

Предложение 0.2. Внутренность множества A G X относительно топологии, индуцированной псевдоравномерностью Ы на множестве X, совпада-дет с множеством Int(A) = {х G X ЗУ G U : V(x) С А}.

Следствие 0.3. Если топология пространства X индуцирована псевдоравномерностью U, то для каждой точки х G X и каждого V € U множество Int У(ж) - окрестность точки х.

Следствие 0.4. Если топология пространства X индуцирована псевдоравномерностью U, то для каждого х G X и каждого А С X имеем х G А тогда и только тогда, А П V(x) = 0 для каждого V G U.

Следствие 0.5. Если топология пространства X индуцирована псевдоравномерностью U, множество А С X имеет порядок малости V G Ы, то его замыкание А имеет порядок малости 3V.

Пусть U - псевдоравномерность на множестве X: топология произведения на X х X, где X берётся с топологией, индуцированной нсевдоравномерностью Ы, называется топологией, индуцированной псевдоравномерностью U на множестве X х X.

Напомним один из наиболее важных результатов теории равномерных пространств, восходящих к Тькжи (см.[16] 8.1.10 и замечания в конце §8.1).

Теорема. Для каждой последовательности Vi, V2,. элементов псевдоравномерности на множестве X, где Vq = X х X и 3V¿+i С Vi при i = 1,2,., существует такая псевдометрика р на множестве X, что при всяком i > 1

Следствие 1. Для каждой псевдоравномерности U на множестве X и любого U U существует псевдометрика р на множестве X, которая равномерна, относительно U и удовлетворяет условию т,./) : р{х, х') < 1} С U.

Следствие 2. Для каждой псевдоравномерности U на .множестве X семейство всех элементов U, открытых относительно топологии, индуцированной U на ХхХ , а также семейство всех элементов U, замкнутых относительно этой топологии, являются базами для Ы.

Следствие 3. Для каждой псевдоравномерности (равномерности) U на множестве X множество X с топологией, индуцированной U, есть вполне регулярное (тихоновское) пространство.

Метризуемость (псевдо)равномерных пространств

Теорема. Пусть X - .множество и р - (псевдо) .метрика на нем. Семейство 03 С Т>х всех окружений диагонали вида {(ж, ж') : р(х,х') < 1/2г}, где i = 1,2,., образует базу (псевдо)равномерность U ((Псевдо)равномерность U. называется (псевдо)равномерностью, индуцированной (или порожденной) (псевдо) метрикой р.).

Псевдо)равномерное пространство (Х,Ы) называется метризуемым, если на множестве X существует такая р, что индуцированная ею (псевдо)равномерность совпадет с равномерностью Ы.

Теорема. (Псевдо)равномерность Ы на множестве X порождена некоторой (псевдо)метрикой на X тогда и только тогда, когда Ы имеет счетную базу (т.е., ъо(и) — ш).

Равномерно непрерывные отображения

Пусть (Х,К) и - два псевдоравномерных пространства. Отображение : X —> Z множества X в множество 2 называется равномерно непрерывным относительно равномерностей Ы и УУ, если для каждого Ж Е УУ существует такое II £ Ы, что II С (/1 х /~1)(]¥). Из определения следует, что / -непрерывное отображение пространства X с топологией, индуцированной Ы, в пространство 2 с топологией, индуцированной УУ.

Композиция равномерно непрерывных отображений равномерно непрерывна.

Стандартным образом определяется равномерный изоморфизм и равномерное вложение равномерных пространств.

Пусть Ы\ и 1Л'2— псевдоравномерности на множестве X иЫ-2 С 1А\. В этом случае мы говорим, что псевдоравномерность Ы\ сильнее псевдоравномерности Ы-2 или 1^2 слабее, чем 1Л\. Очевидно, что если ТЛ-2 С Ы\, то т-ц^ С тщ.

Пусть X- множество, семейство псевдоравномерных пространств и отображение X в Положим д] = х Обозначим через (Г множество всех подмножеств множества Л'2, имеющих вид д~1(У3) (} £ <1, V} - окружение для У,) и пусть 23 -множество пересечений п*.\.у-1(\:п)г.п,,и\:,) всевозможных конечных наборов множеств из С.

Тогда Ш есть база псевдоравномерности Ы на X, являющейся слабейшей псевдоравномерной структурой на X, относительно которой все /у равномерно непрерывны.

Предложение 0.6. Топология на X, порождаемая слабейшей из псевдоравномерных структур, относительно которых равномерно непрерывны все fj, есть слабейшая из топологий, относительно которой непрерывны все /7.

Предложение 0.7. Всякое семейство (Uj)jç.j псевдоравномерностей на множестве X обладает точной верхней гранью Ы в частично упорядоченном множестве всех псевдоравномерностей на множестве X (и всевозможные конечные наборы вида U(Uj,,., UJn) — Un П . П Ujn, где U3t G UH1i = 1 образуют её. базу).

Пусть даны псевдоравномерное (равномерное) пространство (А, £/) и множество M С X. Тогда семейство Ы\м = {(M х М) П U : U £ И} С 1>м удовлетворяет условиям ((U1) — (U4)). т.е. (М,Ы\м) - псевдоравномерное (равномерное) пространство. Псевдоравномерное (равномерное) пространство (М7Ы\м) называется подпространством псевдоравномерного (равномерного) пространства (ХМ).

Полные и вполне ограниченные (псевдо)равномерные пространства.

Пополнение (псевдо)равномерного пространства

Пусть (ХМ) - псевдоравномерное (равномерные) пространство, У G V -произвольное окружение и Л С А". Будем говорить, что множество А У-илотно в (А, если для каждого х G X найдётся такое х' £ А, что (ж, ж') G У.

Псевдоравномерное пространство (X^IÀ) вполне ограничено, если для каждого У £ V существует конечное множество А С X, У-плотное в пространство (ХМ)- Псевдоравномерность Ы на множестве X называется вполне ограниченной:, если пространство (Х,К) вполне ограничено.

Предложение 0.8. Пусть (X,U)~ вполне ограниченное псевдоравнолгерное пространство. Тогда для каждого подмножество M С X пространство (М,К\м) вполне ограничено.

Пусть (ХМ)- произвольное псевдоравномерное пространство, и для M С А' пространство (М,1А\м) вполне ограничено, тогда псевдоравномерное пространство (М,И¡1^-) также вполне ограничено.

Теорема. Пусть 1Л\, ¿У2 ~ две вполне ограниченные псевдоравномерности на множестве, X. Тогда их точная верхняя грань 1А = ¿4 Л ¿/2 является вполне ограниченной псевдоравномерностью на множестве X.

Доказательство. Пусть V £ Ы. Тогда существуют £ Ы\ и II2 £ Ы2, такие, что V D П 1/2. Выбираем такие окружения \'\ £ Ы\ и 14 € И2, что 214 С £4 и 2У2 С Vг

Так как Ы\, вполне ограниченные псевдоравномерности, то существуют конечные множества, А — {«1,. ,ап} и В = {61,., 6^}, соответственно, 14- и У-2~ плотные в пространствах (Аг,Ы\) и (X,и2). Для любых .з и А:, I ^ л гг, 1 ^ / ^ /г, выбираем точки ха\ £ 14 (а«) П 14(&г) если 14(а8) П 14(М не пусто.

Мы докажем, что множество С — \х : 1 ^ з ^ ?г, 1 ^ / А;} является [/-плотным в пространстве (Х.Ы). Пусть х £ А\ Тогда существуют а3о £ А и В, такие, что (ж,а50) € 14 и (ж,Ь/0) £ 14- Следовательно, ж £ 14(«<;) П 14(6;). Отсюда, следует, что (х,хВ010) £ 214 и £ 21/2. Поэтому (х,х3010) £ 214 П

214 С /71П£4 С /7. Мы доказали, что множество С есть [/-плотно в пространстве

ХМ)- □

Следствие. Всякое семейство вполне ограниченных псевдоравномерностей на множестве X обладает точной верхней гранью в частично упорядоченном множестве всех вполне ограниченных псевдоравномерностей на множестве X.

Фильтр 5 в псевдоравномерном (равномерном) пространстве (Х,Ы) называется фильтром Коши. если для любого окружения V £ Ы существует множеств». порядка малости и и принадлежащее;

Минимальные (по включению) элементы множества всех фильтров Коши в псевдоравномерном (равномерном) пространстве X называется ,минимальными фильтрами Коши в X.

Предложение 0.9. Пусть (X, 14)-псеадоравномерное (равномерное) пространство. Для каждого фильтра Коши 5 в X существует единственный, минимальный фильтр Коши 5о, более слабый, чем пусть 0-база фильтра 5 и 95база псевдоравном,ерности (равномерности) 14, т,огда множества У(М)(М £

V'' (ЕЫ) образуют базу фильтра последствие 0.10. Фильтр *В(х) окрестностей любой точки х £ -V есть минимальный фильтр Коши.

Следствие 0.11. Всякая точка прикосновения фильтра Коши 5 является его пределом.

Следствие 0.12. Если $-минимальный фильтр Когии, то всякое множество из $ имеет непустую внутренность, и она принадлежит

Полным пространством называется псевдоравномерное (равномерное) пространство, в котором всякий фильтр Коши сходится.

Следствие 0.13. Всякое замкнутое подпространство полного псевдоравномерного (равномерного) пространство полно; всякое полное подпространство равномерного пространства замкнуто.

Предложение 0.14. Если (ХМ) - псевдоравномерное пространство и (У, V) - полное равномерное пространство, то каждое равномерное относительно ТА а и V отображение / : (АМа) (^Ю? А - всюду плотное подмножество в X относительно топологии, индуцированной псевдоравномерностью 1Л, продолжается до равномерно непрерывного отображения Е : X —> У.

Следствие 0.15. Если (ХМ) и (У, V) - полные равномерные пространства, то каждый равномерный изоморфизм (АМ\а) на (В1Ы\в), где А и В - всюду плотные подмножества X и ¥ соответственно, продолжается до равномерного изоморфизма {ХМ) на (У, V).

Теорема. Для каждого равномерного пространства (XМ) существует ровно одно (с точностью до равномерного изоморфизма,) полное равномерное пространство (Х.Ы), такое, что для некоторого плотного подмножества А С X пространство (ХМ) равномерно изоморфно пространству (АМ\а)- Более того, если (ХМ) вполне ограничено, то (ХМ) также вполне ограничено (и бикомпактно ).

Пространство удовлетворяющее условиям этой теоремы называется пополнением равномерного пространство (Х,14).

Эту часть мы закончим конструкцией, которая понадобится нам в основной части работы.

Пусть дано псевдоравномерное пространство (Х,1А)- Для х-х> £ X положим хЫх' если, (ж, ж') £ и для любого II 6 Ы. Введенное отношение, очевидно, является отношением эквивалентности. Через Хи будем всюду далее обозначать множество всех классов этого отношения. Через ни будем обозначать каноническое отображение А" на Хи- Для отображения д = тг^ = X ~и X х Л' Хи х Хи положим Ый = {д(/ : и £

Для удобства читателя докажем, что

Хи-,Ыесть равномерное пространство.

Проверим условия (111), (и2), (113), (1)4). Отметим,что если II £ Ы^ то д~1ЪТ £ Ы. (Действительно, существует У £ Ы1 такое, что II = дУ. Тогда У С д~гЬт £ Ох и поэтому д~1и £ Ы.) и1) Пусть и £ и* жисУУе ВХи. Тогда Бх э д~Ч¥ Э д~хи еЫ и поэтому £ и и \¥ = дд~1УУ £ Ы

1)2) Пусть УЬУ2 £ иК Тогда д~1Уид-1\Г2 £ Ы и <гЧИ П У2) = д~Щ П д~1У2 £ и. Отсюда \\ П У2 = дд~1{\\ П У2) £ КК

113) Пусть II £ ¿Л Тогда существует V £ Ы с ЗУ С ¿гЧ/ £ г/. Докажем, что 2уУ С и. Пусть (у, у') £ 2дУ. Это значит, что существует у" £ Хи с (У, У") € дУ,(у',у") £ Поэтому существуют (ж, ж") £ V, (жц, х') £ У с д{х,х") = (у, у") € ж') = (у", у') € дУ. Так как у" = тг^ж" = тг^', то х"Ых'1 и, следовательно, (ж", Жо) £ V. Отсюда (ж, ж') £ ЗУ С д'1^ и (у, у') = д(х, х') £ и. Следовательно 2дУ С Ьт.

1)4) Сначала докажем, что С\{д~1д11 : £/ <ЕЩ - (~){11 : II £ Щ.

Очевидно, : V £ Щ 3 = V е И}.

Для того, чтобы доказать обратное включение, проверим следующее: если У £ то д~1дУ С ЗУ. Действительно, если (а:, ж') £ д~1дУ, то д(х,х') £ дУ.

Это значит, что существует (arj,^) £ V с тгцх — ких' — Отсюда V, (х\х\) G V и, следовательно, (х,х/) Е ЗУ.

Возьмем (х,х') Е П{g~1gU : U Е U}. Если U Е U. то существует V Е U, такое, что 3Vr С U. Тогда, по доказанному, (х, х') Е g~lgV С 3V С U, Поэтому {\{g-lgU :U EU} С f]{U :U EU).

Пусть (у, у') Е f]{gU : U Е Щ. Существует точка (х,х') Е [}{g~lgU : U Е U}, такая, что кцх — у, тгцх' = у'. Следовательно (ж, х') Е : U Е U] и хЫх', откуда у = тти'Х = тгцх' = у'. Мы доказали, что (ХцМ^) есть равномерное пространство.

Очевидно, что пространство (ХМ) вполне ограничено тогда и только тогда, когда пространство (Xu,U^) вполне ограничено.

Покажем, что для каждого равномерно непрерывного отображения / пространства X в равномерное пространство Z существует, и притом единственное, равномерно непрерывное отображение /" : Хц -¥ Z для которого / = /* о

Действительно, пусть / : (X,U) (Z,V) есть равномерно непрерывное отображение. Если хЫх\ то (х,х') Е U для любого окружения U Е Ы. Отображение / равномерно непрерывно, следовательно, (х,х') Е х f~x)V, для любого

V £ V. Отсюда (f(x), f(x')) Е V, для любого V Е V. Так как (Z, V)-равномерное (не псевдоравномерное) пространство, то f(x) — f(x'). Поэтому отображение р = f о тг^1 однозначно и / = о тгц.

Если V Е U, то (тти х 1ти)^(р х /й)-1 V = (/ х f)~lV Е U. Отсюда следует, что (/" х p)~lV = (тти х пц)(/ х /)~М/ € UK Следовательно, /" равномерно непрерывно. Единственность /и очевидна,.

Очевидно, что для фиксированного равномерного пространства Z соответствие / —»• /" взаимно однозначно.

Через (Хц-.Ы^) будем обозначать пополнение пространства (Хц, г/»). Композиция ттц и канонического вложения (Хи,1Л^) в пополнение будем обозначать через тхи

0.2 Послойная общая топология

Пусть дано отображение / : X —> У множества X в топологическое пространство (У.т). Система всех окрестностей точки у £ У обозначается через Лт{у). Множество /10 (О Е г) называются трубками отображения а множества /-1у, где у Е У, называются слоями отображение /.

Если даны два отображений / : X —> У и (/ : ^ —> У. то отображение А : X —» 2 называется послойным морфизмом / в д, если / = д о \. Символ А : / —д есть запись того, что А есть морфизм / в д. Морфизм А : / —>■ д называется ипъективным, сюръективным, биективным, замкнутым, открытым, вложением, если соответственно таковым является отображение \ \ X ^ 2.

Если а) с1 (АХ) — 2, б) \ : X Z есть гомеоморфизмом, то морфизм А называется соответственно, а) плотным, б) гомеоморфизмом. Для морфизма А ограничение отображение А : Л' —> X па подпространство пространство X называется подморфизмом морфизма Л. Морфизм А : / —> д называется продолжением морфизма А' : /' —У д, если А' есть подморфизм морфизма, А.

Аксиомы отделимости для отображений

Определение 0.1. ([10]) Непрерывное отображение / : X —> У называется ^-отображением, г = 0, 1,2, если для любых двух таких точек х, х' Е X, что х ф х', /х = /,т', выполняется следующие условие соответственно: при г = 0) хотя бы у одной из точек х,х' Е X найдется окрестность не содержащая другую точку: при г = 1) у каждой из точек х,х' Е X найдется окрестность не содержащая другую точку; при г = 2) у точек ж и г' в X существуют дизъюнктные окрестности. Гг-отображения называются также хаусдорфовыми или отделимыми.

Отметим, что свойство отображения / : X У быть Г,-отображением, равносильно тому, что все слои у G У . являются ^-пространствами, i = 0,1.

Определение 0.2. ([10]) Подмножества А и В пространства X называются соответственно : а) отделимыми окрестностями в U С X, б) функционально отделимыми в U С А', если множества А П А' и В П X а) имеют в U дизъюнктные окрестности, б) функционально отделимы в U (т.е. существует такая непрерывная функция ф : U [0,1], что .4 П U С ф~](0) и H П U С ф~1( 1)).

Определение 0.3. ([10]) Непрерывное1 отображение / : X —» Y называется вполне регулярным, если для любой точки х G X любого замкнутого в X множества F, не содержащего точки х G А", найдётся такая окрестность О точки /(ж), что в трубке f-yO множества {ж} и F функционально отделимы.

Определение 0.4. ([10]) Вполне регулярное Го-отображение называется тихоновским (или Г31-) отображением.

Легко доказывается, что всякое Гг- отображение является и Г,-отображением при j, г = 0,1,2,и j < i.

Определение 0.5. ([10]) Непрерывное отображение / : X Y (замкнуто) параллельно пространству F, если существует такое вложение г пространства X в топологическое произведение Y х F, что (множество iX замкнуто в У х F) и / = рг х г, где pr : Y х F —>• У есть проекция произведения на сомножитель.

Предложение 0.16. Если непрерывное отображение f : X —> 1 параллельно а) Т,-. г = 0,1,2, Ь) вполне регулярному пространству F, то отображение f есть соответственно a) Tt-, i = 0,1.2, b) вполне регулярное отображение.

Определение 0.6. ([10]) Ограничение отображения / : X —»■ У на (замкнуто, всюду плотное) подмножество пространства X называется (замкнутым, всюду плотным) подотображение м отображения /.

Хорошо известно следующие результат.(см [7], [10])

Предложение 0.17. Подотображение Тг--; г = 0,1,2. вполне регулярного отображения является соответственно Тг-, г = 0,1,2, вполне регулярным.

Предложение 0.18. Пусть дамы отображение / : X —У д : Z У, отображение д хаусдорфово, а морфизмы ф : / д и ^р : / —>■ д совпадают на плотном в X множестве X', то морфизмы ф и ц> совпадают.

Бикомпакные отображение и бикомпактификация непрерывных отображение

Определение 0.7. Бикомпактным называется совершенное (т.е. непрерывное, замкнутое и послойно бикомпактное) отображение.

Очевидно, замкнутое подотображение бикомпактного отображения бикомпактно.

Предложение 0.19. Непрерывное отображение / : X —> У бикомпактное тогда и только тогда, когда для любой у £ У и любого покрытия ш слоя открытыми в X множествами существует окрестность О точки у, трубка /~10 над которой покрывается конечным набором элемент,ов системы и.

Предложение 0.20. Если отображения / : X —У хаусдорфово, а подотображение /' : X' —У бикомпактно, то /' : X' —> У есть замкнутое подотображение.

Следствие 0.21. Пусть отображение } '■ X —> У бикомпактно, отображение д \ % хаусдорфово и А есть морфизм /в д. Тогда А есть совершенный морфизм.

Следствие 0.22. Пусть отображение f : X —> Y бикомпактно, отображение g : Z —> Y хаусдорфово и морфизм \ : f g инъективен; тогда А есть замкнутое вложение. Если морфизм А биективен, то Л есть изоморфизм.

Предложение 0.23. Если отображения f : X —У Y, g : Z —» Y непрерывны и А : X Z есть сюръективный морфизм. Если отображение f бикомпактно, то бикомпактно и отображение д.

Определение 0.8. Бикомпактное отображение / : X —Y называется бикомпакт ификацией непрерывного отображения / : X —> V, если /-■ всюду плотное подотображение отображение / (точнее, если фиксировано плотное вложение / в /).

Для двух бикомпактификаций b\f : Х\ —>■ Y и b2f '■ Х-2 —> Y отображения ./' : -V ->■ Y: a) считается b2f > £>1/, если существует канонический (тождественный на множестве X) морфизм ip : b2 —^ ¿1b) b2f эквивалентно b\f и пишем b2f ~ ¿>1/, если существует канонический (тождественный на множестве X) гомоеморфизм с/? : b2f —> ¿1,/.

13 работе [7] Б.А.Пасынков доказал, что тихоновское отображение f : X —ï Y обладает хотя бы одной тихоновской бикомпактификацией и среди всех тихоновских бикомпактификаций отображения f : X —> Y существует его максимальная (аналог стоун-чеховской бикомпактификации тихоновского пространства) бикомпактификация /3/ : Р/Х У. Бикомпактификация ¡3f называется стоун-чеховской бикомпактификацией тихоновского отображения f.

В [7] доказано, что: для. тихоновской бикомпактификации bf : X —У Y тихоновского отображения f : X —>■ Y равносильны следующие условия: l)bf = /if;

2) для, любого бикомпактного тихоновского отображения g : Z —> У и любого непрерывного отображения А : X —> Z, такого, что f — g ° А. существует продолжающее А непрерывное отображение А : ЬХ —»• такое, что bg — go А;