О бесконечных итерациях ковариантных функторов и некоторых свойствах гиперотображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

ОГОРОДНИКОВА ИРИНА ЕГОРОВНА

УДК 515.12

О БЕСКОНЕЧНЫХ ИТЕРАЦИЯХ КОВАРИАНТНЫХ ФУНКТОРОВ И НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ГИПЕРОТОБРАЖЕНИЙ

01.01.04. — геометрия и топология

А в го реферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1992

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена изучению некоторых геометрических свойств ковариантных функторов, действующих в категории Comp бикомпактов и непрерывных отображений и в ее подкатегории МСошр компактов (т.е. метризуемых бикомпактов) и сюръективных отображений.

Актуальность темы. Задача исследования поведения свойств пространств и отображений при воздействии на них различными ковариантными функторами стоит перед топологами давно. Первые работы в этой области были написаны в 20-е - 30~е - 50-е годы такими известными авторами, как Войдыславский, Важевский, Вьеторис, и другими топологами. Начиная с 70-х годов исследования ковариантных функторов приобрели систематический характер. С одной стороны, внимание топологов к ковариантным функторам было привлечено решением знаменитой проблемы гиперпространства в работах американских математиков Вэста, Кертиса и Шори [1 , 2 , 3 ]. С другой стороны, Е.ВДепин в своих работах [А , 5 ] получил весьма об-

1. J.E.West, R.M.Shori. is homeomorfic to the Hilbert cube//Bull. Amer. Math. Soc., 1972, 78, p. 402-406.

2. J.E.West, R.M.Shori. Hyperspaces of graphs are Hilbert cubes// Pacific J. Math., 1974, 53, p. 239-251.

3. D.W.Curtis, R.M.Shori. Hyperspaces of Peano continua are Hilbert cubes //Fund. Math., 1978, 101, p. 19-38.

щие и содержательные теоремы >о функторах в категории Сотр, а также выделил понятие нормального функтора. Все это существенно повысило интерес к обсуждаемой тематике. Список ковариантных функторов, находящихся в поле зрения топологов, пополнился функторами суперрасширения Л, полных сцепленных систем N. замкнутых гиперпространстз роста йг и включения функтором вероятностных мер Р и многими другими.

Упорядочиванию исследований в этой области послужило изобретение удобной техники, используемой и в данной диссертации: это понятие г-множества, введенное Р.Д.Андерсоном, аппарат Г-К-скелетоидов Бессаги и Пел-чинского, техника миксеров, предложенная ван Миллом и другие конструкции. Большую роль сыграли харгктериза-ционная теорема для гильбертова куба 0., доказанная Х.Торунчиком в [6 ]и ее послойная версия из [7].

В работе [8 ]Х.Торунчик и Дж.Вэст впервые рассмотрели функтор итерированного гиперпространства. Позже В.В.федорчуком [9 ]была описана общая схема построения бесконечных итераций функторов и было введено понятие совершенно метризуемых монад. Там же были предложены достаточные условия на функтор ? и компакт X, при которых тройка (Р00, Г++, Р+) бесконечных итераций функ-

4. Е.ВЛЦепин. Топология предельных пространств несчетных обратных спектров II УМН, 1976, т. 31, вып. 5, с. 191-226.

5. Е.В.Щепин. Функторы и несчетные степени компактов//УМН, 1981, т. 36. вып. 3.

6. H.Torunszyk. On CE-images of Hilbert cube and caracterization of Q-manifolds //Fund. Math. 1980, 106, p. 31-40.

7. H.Torunszyk, J.E.West. Fibrations and bundles with Hilbert cube manifold fibers//Preprint. 1980.

8. H.Torunszyk, J.E.West. A Hilbert space limit for the iterated hyperspace funktor //Proc. Amer. Math. Soc., 1983, 89, p. 329-335.

9. В.В.Федорчук. Тройки бесконечных итераций метризуемых функторов //Известия АН СССР, Сер. Матем, 1990, т. 54, № 2, с. 396-418.

«

тора ? переводит компакт Х-в тройку (Ц, э, пт (1), где

■ГТ 00 00 т^г Г 1 11"

й = П [-1, 1] ,5 = п (-1; 1) , мт и П мАт-т: •

п=1 " п=1 п п=1 т=1 1 П ■'т

Естестзенно возникает вопрос о параметрической версии этого результата.

Еще один круг вопросов, рассматриваемых в работе, касается исследований в области равномерных топологических пространств. В [10] были исследованы некоторые свойства пространств отображений из бикомпакта X в равномерное пространство I, рассматриваемые как подпространства экспоненты ехр (Хх2) в равномерности Хаусдорфа. Выявились связи между пополнениями пространств функций по равномерности Хаусдорфа и пространствами многозначных отображений.

Цель работы. 1. Изучение геометрических свойств слоев гиперотображений.

2. Получение параметрических версий известных результатов об итерациях функторов Р, М, СиСг.

3. Изучение геометрической структуры подпространств гиперпространства ехр (Хх2). Исследование некоторых геометрических свойств подфункторов иБС и иБСС^ функтора ехр ({-}х2).

Методы исследования. В диссертации используются методы таких разделов топологии, как теория ретрактов, топология бесконечномерных многообразий, теория кэвариантных функторов, теория топологических равномерны* пространств, теория меры. Применяются конкретные методы исследования функторов Р, И, 6, йг и экспоненты.

10. В.В.Федорчук. О некоторых топологических свойствах пополнений функциональных пространств по равномерности Хаусдорфа //Вестник МГУ, Сер. 1: Матем. Мех., 1991, № 4, с. 77-80.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории бесконечномерных многообразий, теории ковариантных функторов, теории равномерных пространств, теории меры.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной студенческой конференции в г. Новосибирске (1986), на международной топологической конференции в г. Баку (1987), на Александровских чтениях, на научно-исследовательских семинарах кафедры общей топологии и геометрии (под руководством проф. В.В.федорчука).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, грех глав, разбитых на параграфы и списка цитированной литературы. Объем диссертации - 78 страниц. Библиография содержит 57 названий работ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых представлен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Все однозначные отображения предполагаются непрерывными и "на", все пространства - тихоновскими. Континуумами называем связные компакты, пеановскими континуумами - локально связные континуумы.

Введение содержит краткий исторический очерк и формулировки основных результатов диссертации.

Первые параграфы каждой главы содержат соответствующие предварительные сведения.

Для отображения f: X У на континуум через

(ехр^Г1 IV} обозначается множество всех А£ехр X, для которых f¡\=Y.

Основным результатом "§2 главы 1 является

Теорема 1.1. Пусть ^ X—> У - такое отображение компакта X на континуум У, что прообраз хотя бы

одной точки у£У связен. Тогда непустое множество

с -1

(ехр О {У} имеет тривиальный шейп.

Этот результат распространяет теорему 1.6 [11] на не локально связный случай.

Следствие 1.1. Для монотонного отображения X— компактов отображение ехр^ является клеточно-подобным.

Следствие 1.2. Пусть ^ X —> У - монотонное отображение между пеановскими континуумами без свободных дуг. Тогда ехрс f является почти гомеоморфизмом.

Определение. Отображение Р: Х->У назовем открытым в точке у0 е У, если существует окрестность 0уо точки у0 такая, что ограничение ^ : ^Оу,-,—>0уо

открыто. f 0уо

В § 3 доказывается

Теорема 1.2. Пусть X—»У - открытое в точке у0£ У отображение бесконечных пеановских континуумов с бесконечными локально связными слоями без изолированных точек. Тогда пространство (ехрс О {. У} гомеоморф-но Ц.

В [11] был сформулирован следующий вопрос: пусть X —»У - отображение пеановских континуумов, имеющее участок тривиальности с бесконечным локально связным компактом в качестве слоя. Верно ли тогда, что (ехрс0~1 {У} гомеоморфнс Ц? Следствие 1.3 дает положительный ответ на этот вопрос в случае, если все слои отображения f не содержат изолированных точек. Строится пример, показывающий существенность требования отсутствия изолированных точек в слоях отображения ^

11. В.В.Федорчук. О некоторых геометрических свойствах кова-риантных функторов // УМН, 1984, т. 39, вып. 5, с. 169-208.

Следствие 1.*». Если f: X—> Y - 1-мягкое отображение компактов без точек однократности, To(expcf)"МG} гомеоморфно Q для любого пеановского континуума G С V.

В [9 ]были предложены достаточные условия на функтор F и компакт X, при которых тройка (^(Х),F"1-*"(X) , F+(X)) гомеоморфна тройке (ц, s, rint Q) . В главе 2 приводится ослабленная параметрическая версия этого результата. В §'2 доказывается общая теорема:

Теорема 2.1. Пусть компакты X, Y, отображение f: X —> Y и совершенно метризуемая монада F таковы, что:

1) отображение Fw(f) гомеоморфно проектированию рг: Q,х Q-* Q,

2) отображение Fn(f) является Q-расслоением для всех п, начиная с некоторого,

3) r^FnUi-F^f)' -послойное Z-множество в

T|n+^Fn+4x) для каждого n£|N.

Тогда пара (Fü)(f), F (f)) гомеоморфна nape(Q, rintQh расслоений.

в §3 и §4 рассматривается применение этой теоремы к случаям функторов Р, N, G, Gr.

Теорема 2.2. Для открытого без точек однократности отображения f :X-^Y компактов пара отображений (Pu(f) , P+(f) гомеоморфна паре (Q., rint Q)-расслоений.

Теорема 2.k. Пусть f: X—> Y - открытое без точек однократности отображение континуумов, F- функтор N или G. Тогда пара отображений (F^if) , F+(f)) гомеоморфна паре (Q, rintQ)-расслоений.

Теорема 2.5- Пусть f: X-^Y - открытое со связными неодноточечными слоями отображение континуумов Пеано. Тогда пара (Grw(f), Gr+(f)) гомеоморфна паре (Q., rint Q)-расслоений.

В третьей главе рассматриваются подпространства экспоненты exp(XxZ) произведения бикомпакта X и равномерного пространства Z такие, как С,,(Х, Z),USC(X,Z), USCC(X, Z).

Через Cp|XX,Z) обозначается пополнение пространства C(X,Z) непрерывных отображений из X в Z в равномерности' Хаусдорфа на exp(XxZ).

В §2 главы 3 исследуется геометрическая структура пространства C^(X,Z) для бикомпакта X, имеющего участки локальной связности. Основным результатом является теорема:

Теорема 3.2. Для бесконечного бикомпакта X следующие условия эквивалентны:

1) X локально связен,

2) пространство C^(X,¡R) локально связно.

Через USC (X, Z) (USCC (X, Z)) обозначается пространство всех полунепрерывных сверху отображений X-»Z с бикомпактными (соответственно, связными бикомпактными) слоями $(х), хеХ, наделенное топологией, индуцированной топологией Вьеториса на exp (XxZ) [ 103В §2 главы 3 также исследуется взаиморасположение пространств CH(X,Z), USC(X.Z), USCC(X,Z). Показано, что для полного равномерного пространства Z и для локально связного бикомпакта X имеет место включение: CH(X,Z)C USCC'(X,Z) (следствие 3-3), где USCC' (X,Z) = ^eUSCC(X.Z) : $|jsX ~ однозначно}. Доказана

Теорема 3-3- Пусть X - такой бикомпакт, что множество Х\IsX локально связно. Тогда имеет место равенство:

сн(х,Ю = { <jeiisc(x,Ir): ф =xUw, xeusc' ([IsxLír),

4'GUSCC (X\IsX, IR)},

где USC' (X, IR) ={Ф£ USC(X,!R) : $llsX~ однозначно}.

Пусть X и Y - бикомпакты, Z - полное равномерное пространство. Для непрерывного отображения f: X—^Y зикомпактов и пространства Z определяется отображение USCz(f): USC(X,Z)—>USC(Y,Z) следующим образом:

uscz(f)(Ф)(у) = и{ф(х), xef"1y}.

Если отображение f монотонно, то определено и отображение USCCz(f) : USCC(X,Z) USCC(Y,Z), как ограничение отображения USC^f) на подпространство USCC(X,Z).

В §3 рассматриваются отображения USC^(f), USCC2(f) и некоторые их свойства. Показано, что в случае бикомпактного Z операция USCz является ковариантным функтором в категории бикомпактных пространств и непрерывных сюръективныхотображений, а операция USCC^ ~ ковариант ным функтором в категории бикомпактных пространств и монотонных сюръективных отображений. Эти функторы являются подфункторами функтора ехр ({•} xZ) и потому непрерывны, эпиморфны и мономорфны.

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность научному руководителю профессору В.В.Федорчуку за постоянное внимание и помощь в работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. И.Е.Прохорова. 0 гиперотображениях континуумов// Матем. заметки, 1987, т. 42, N4, с.572-580.

2. I.Е.Prochorova. On fibres of hypermaps of con-tinua//Abstracts of Baku international topological conference. Baku, 1987, part 2, p.255-

3. И.E.Огородникова. Бесконечные итерации функтора вероятностных мер и открытые отображения//Вестник МГУ, Сер. 1: Матем. Мех., 1989, N' 6, с. 21-24.

И.Е.Огородникова. 0 бесконечных итерациях совершенно метризуемых монад//Вестник МГУ, Сер. 1: Матем. Мех., 1990, N* с. 73"75-