О метрических и равномерных свойствах пространств вероятностных мер тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.12

САДОВНИЧИЙ ЮРИЙ ВИКТОРОВИЧ

О МЕТРИЧЕСКИХ И РАВНОМЕРНЫХ СВОЙСТВАХ ПРОСТРАНСТВ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР

01.01.04 — геометрия и топология

.Автореферат диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механ ко-математического факультета Московского государственного униве ситета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических на)

профессор В. В. Федорчук

Официальные оппоненты — доктор физико-математических на>

чл.-корр. Киргизской АН, профессор А.А. Борубаев;

— доктор физико-математических нау профессор М.М. Заричный

Ведущая организация — Московский государственный

педагогический университет

Защита диссертации состоится "_"_ 1995 г. в 16 час.05 ми:

на заседании диссертационного совета Д 053.05.05 по математике пр Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова и адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математиче* кий факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-матем) тического факультета МГУ (14-й этаж).

Автореферат разослан "_"_ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 053.05.05 яри МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В.II. Чубарико

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Функтор вероятностных мер Р занимает одно из важных мест в топологии. Это происходит, во-первых, потому, что в последние 15-20 лет идет интенсивное исследование топологических свойств ковариантных функторов в различных категориях топологических пространств, связанных, в частности с введением класса нормальных функторов. Во-вторых, повысился интерес к бесконечномерным объектам, существующим в "природе", а функтор Р, переводящий произвольные тихоновские пространства в выпуклые подмножества локально выпуклых пространств, поставляет такие объекты. Кроме того, функтор вероятностных мер и его подфункторы имеют наиболее богатую геометрическую структуру среди известных к настоящему времени ковариантных функторов. В отличие от других ковариантных функторов исследование функтора Р ведется на стыке по крайней мере трех математических дисциплин: топологии, функционального анализа и теории вероятностей. Этим объясняется разнообразие методов, применяемых при исследовании вероятностных мер, и большие возможности для приложений получаемых результатов.

Одним из важнейших свойств топологического пространства является метризуемость. В настоящей работе исследуются свойства метрических и равномерных пространств вероятностных мер.

Цель работы. Для произвольного метрического пространства (X, р) указать метрику Р(р), порождающую топологию пространства Р(Х), Исследовать расширение Смирнова по метрической близости пространства Р(Х). Обобщить данные результаты на категорию равномерных пространств.

Методы исследования. В диссертации используются различные методы общей топологии и функционального анализа.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Главные из них заключаются в следующем:

1. Указана метрика, порождающая топологию Р(Х) для метрического пространства X.

2. Доказана теорема о продолжении вложения Р(Х) Р(срХ) на пространство ср(р)Р{Х), где срХ — расширение Смирнова пространства

(ад.

3. Для равномерного пространства {X,U) построено равномерное

пространство (P( AT), P{U))) порожденное семейством псевдометрик Р(ра)> где рп — семейство всех равномерно непрерывных ограниченных псевдометрик на X.

4. Доказано, что равномерность P{U) порождает на Р{Х) исходную (*-слабую) топологию.

5. Доказана теорема о продолжении вложения Р(Х) '-+ Р(зцХ) на пространство зр(щР(Х), где syX — пополнение Сэмюэля по предком-пактной равномерности пространства X.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам, работающим в различных областях общей топологии, прежде всего в теории меры.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры общей топологии и геометрии МГУ.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 9 параграфов, и списка литературы из 15 наименований. Общий объем диссертации - 43 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко излагается история рассматриваемых в диссертации проблем, даются определения основных поиятий с необходимым обсуждением, формулируются главные результаты диссертации.

Пространство Р(Х) вероятностных мер на бикомпакте X является подпространством линейного пространства М{Х), двойственного к пространству С(Х) всех вещественных непрерывных на X функций. Обычно М(X) и его подпространства наделяются * -слабой топологией, порожденной тождественным вложением М(Х) в R0^. Для тихоновского пространства X через Р(Х) обозначается множество всех вероятностных мер на максимальном бикомпактном расширении /ЗХ пространства .Y, носители которых лежат в X. Рассматривают и другие пространства вероятностных мер, например, пространство РТ[Х) всех г-гладких мер на А'. В 1961 году В. Варадарайн доказал [1], что для метризуе-

[1] Варадарайн B.C. Меры на топологических простралства.х // Матем. сборвкх, 1961, т. 55, N 1,с. 35 - 100.

мого пространства X пространство РГ[Х) также метризуемо. Отсюда, в частности. вытекает и метризуемость пространства Р{Х)х лежащего в

РЛХ).

В 1990 году В. В. Федорчук [2] при исследовании бесконечных итераций функтора Р воспользовался одной конструкцией, в явном виде введенной J1.В. Канторовичем и Г. III. Рубинштейном [3] в 1958 году, а в неявном виде присутствовавшей уже в работе Л.В. Канторовича [4] 1942 года. Эта конструкция сопоставляет метрике р на компакте X метрику Piß), порождающую топологию компакта Р[Х). Метрика эта определяется следующим образом:

Р(р)Ы, ß2) = inf I j p{xi, x2) dX\ pnX - Щ, i = 1, 2 I

(a-x-y

Легко видеть, что эта формула определяет метрику на множестве Р[Х) для произвольного метрического пространства (X, р). Более того, если р — псевдометрика на топологическом пространстве А', то функция Р[р), определенная но только что указанной формуле, будет псевдометрикой на Р(Х). Ю. Лль-Кассас [5] доказал, что Р(р) порождает »-слабую топологию на Р(Х) для равномерно нульмерного метрического пространства (Х,р). Однако, оставался открытым вопрос, верно ли это для произвольного метрического пространства -V. В настоящей диссертации на этот вопрос дан утвердительный ответ.

Основным результатом первой главы является следующая теорема:

Теорема 1.1. Пусть [Х,р) — ограниченное метрическое пространство. Тогда I Р{ X), Р(о)) — пространство с »-слабой топологией.

Во второй главе исследуются пополнения типа Cpl и ср применительно к метрическому пространству (Р{Х),Р(р)). Здесь Ср1(Х,р) — пополнение метрического пространства {X, р)> а срХ — компактифика-

[2] Федорчук В.В. Тройки бесконечных итераций метризуемых функторов // Известия АН СССР, серия математическая, 19Ö0, т. 54, N 2, с. 396 - 417.

[3] Канторович J1.B., Рубинштейн Г.Ш. Об одном пространстве вполне аддитивных функций // Вест. ЛГУ, 1958, N 7, выв. 2, с. 52 - 59.

[4] Канторович Л.В. О перемещении масс // Докл. АН СССР, 1942, г. 37, вып. 7/8, с. 227 - '229.

[5] Аль-Кассас Ю. Метризуемость и паракомпактность пространств вероятностных мер // Вест. МГУ, Сер. Матем., Мех., 1993, N 1, с. 14 - 17.

ция Смирнова по метрической близости этого пространства [6] или, что то же самое, пополнение Сэмюэля зцХ но предкомпактной равномерности на X, определяемой метрикой р [7] . В § 2 получен следующий результат:

Теорема 2.1. Для произвольного ограниченного метрического пространства ( X, р) существует единственное непрерывное отображение

J ■ сР(р)Р(Х) - Р(с„Х), продолжающее естественное вложение

i:(P{X)tP(p))-*P( срХ).

В доказательстве этой теоремы используются следующие утверждения:

Лемма 2.2. Если / : (Ä'i, pi) —+ (X¿, р2) — нерастягивающее отображение метрических пространств, то отображение

PU) : №), P(pi)) - (№), Р{р2))

— также нерастягивающее.

Лемма 2.3. В определении »-слабой топологии можно ограничиться равномерно непрерывными функциями относительно произвольной равномерности U, совместимой с топологией пространства X.

Третья глава посвящена равномерным пространствам вероятностных мер. В § 2 доказывается следующая теорема:

Теорема 3.1. Пусть (X, U) — равномерное пространство, Ru = {ра '■ £ .4} — семейство всех равномерно непрерывных ограниченных псевдометрик. Тогда семейство псевдометрик P{Rv) — {Р(р<*) ■ <х € А} порождает на Р(Х) некоторую равномерность (обозначаемую

т).

В § 3 получен основной результат третьей главы:

Теорема 3.2 Равномерность P(U) порождает на Р(Х) * -слабую топологию.

[6| Смирнов Ю.М. О пространствах близости // Матеи. сборнях, 1952, т. 31, с, 543 - 574.

[7] Samuel Р. Ultrafütera ajid compactificationa // Trama Amer. Math. Soc. 64 (1948), p. 100 -132.

В § 4 доказывается следующая теорема:

Теорема 3.3. Пусть (-Y, U) и (У, V) — равномерные пространства, / : {X,U) —* (У, V) — равномерно непрерывное отображение. Тогда отображение

P{f):(P(X),P{U))-+(P(Y),P(V))

— также равномерно непрерывно.

Из теорем 3.1, 3.2 и 3.3 вытекает, что функтор Р с категории Tych поднимается на категорию Unif.

В § 5 исследуются пополнения типа syX применительно к равномерному пространству (Р(Х), P(U)) и доказывается теорема, являющаяся фактически продолжением теоремы 2.1 на категорию равномерных пространств:

Теорема 3.4. Для произвольного равномерного пространства (X, U) существует единственное непрерывное отображение

j : Sp(o)PiX) - P(suX)t продолжающее естественное вложение

» : Р(Х) - Р{3иХ).

Кроме того, в третьей главе доказываются некоторые вспомогательные утверждения, имеющие и самостоятельный интерес, а именно:

Предложение 3.2. Пусть / : X —* Y — непрерывное отображение тихоновских пространств, € Р(Х), v — /'(/)(/i), v' = Р(/)(м'), Л € Р(У X У), А — (v) v') -допустимая мера; тогда существует //) -допустимая мера к Ç Р(Х X Х) такая, что P(f X /)(«) = А.

Лемма 3.2, Пусть X — бикомпакт, /л € Р(Х) и 0(ц) = 0(/i, ipi,..., tp,, S) — окрестность меры /л в * -слабой топологии. Тогда найдется такое множество вида

Olp,d,e) = {/л' : |/i(i?) - АЩ < е VD € d}

(где d — дизъюнктное разбиение X на локально замкнутые множества), которое содержится в 0(/i).

Лемма 3.3. Пусть XtY — бикомпакты, / : X —* Y — непрерывное отображение, тогда в условиях предложения 3.2 для любых окрестностей 0{А), О(ц) и O(ju') (в *-слабоЙ топологии) найдется мера

л' 6 Л (0(ц), 0{//)) (то есть существуют меры /¿» € О(ц) и € О(р') такие. что к есть (/и*, д.) - допустимая мера) такая, что Р(/х /)(«') 6 О(А).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В,В. Федорчуку за полезные обсуждения и внимание к работе.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Садовничий Ю.В. О метрике на пространствах вероятностных мер // Вест. МГУ, Сер. Матем., Мех., 1994, N 4, с. 31 - 35.

2. Садовничий Ю.В. О пополнении метрических пространств вероятностных мер // Вест. МГУ, Сер. Матем., Мех., 1994, N 5, с. 28 - 32.