Метризуемость и паракомпактность пространств вероятностных мер тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

'¿I , ! ' /

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА., ОРДЕНА ТРУДОВОГО ШШОГО ЗШЕШ И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ гЗШЩЙИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ вмевз ¡¿»В.ЛОМОНОСОВА

Шханико-матвматичвсквй факультет

Ка дровах рукописи

АЛЬ-КАССАС ЮСЗЭ

УДК 515.12

МИРИЗгаОСТЬ И ПАРМОШКГНОСТЬ ПРОСТРАНСТВ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР

01.01.04 - Геометрия и типология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических иаук

Моокна 1991

)

Работа выполнена на кафедре общей, топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор В.В.&ВДОРШС

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, АЛ.ЧИГОГИДЗй

кандидат физико-математических наук, старший преподаватель

A.Г.САВЧ2НК0

Ведущее предприятие - Математический институт имени

B.А.СГШОВА. АН СССР

Задкта диссертации состоится /Х> 1991г. в

(6 час. /Р мин. на заседании специализированного Совета Д 053.05.05 до математике при Московском государствен ном университете им. ¿/..3.Ломоносова по адресу: 119399 ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08. °

С диссертацией. могло ознакомиться в библиотеке ыеханико -математического факультета МГУ (14 этак)

Автореферат разослан " /'/_1991г.

Ученый секретарь специализированного Совета

Д 053.05.05 В.Н.ЧУБАРЖОВ

I СБЛАЯ ХАРЖСЗРИТШ. РАБОТЫ

I.уг1 ->Актуальность тои. Функтор вероятностных мер р занимает одно аз ключевнх мое? в топологии. Это обусловлено несколькими обстоятельствами. Бо-псрвых, в последние годи ддет интенсивное построенао топологической теории ковариантных функторов в различиях категориях топологических пространств. А функтор вероятностных мер я его подфуяятори обладают наиболее богато:: геометрическое: структурой среди всех известных к настоящему времени конкретных ковариантных функторов. С другой стороны, построение ебцех теория бесконечномерных многообразие: повысило интерес к бесконечномерным объектам, существующим в "природе". Б то хе вреая, функтор вероятностных мер, пераводяда: произвольные тихоновские пространства в внлуклке подмножества локально выпуклых ликэлних топологических пространств, как раз и поставляет такие объекты. Кроме того, сро-других ковараатных функторов функтор р -выделяется тем, [то исследование вероятностных мер ведется ка стыке так::х »азличных математических дисциплин, как топология, ^ункцлопа-ъный анализ, теория вероятностей, математическая логика. Зтпм бъясняется большое разнообразие методов, применяемых при яссле-овании вероятностных мер и широкие возможности для приложена получаемых результатов.

Исследование топологических свойств функтора р и ого здфу нкторов первоначально ограничивалось рамками категорий 1отр бикомпактных пространств ;з их непрерывных отсбра-ишй. Большое число результатов в этом направлении было ло-чево такими топологами, как Бятор, Ьх^тер, лзддсн, Р.Поль, В.Оедорчук, З.З.Щелия, ы.З.Смуров, А.Н.Драж:йк;:хо£, ¿.¡{.Зас-

3

манов, Ы.М.Заричнш, Я.Б.Шапиро.

В последнее время все болов интенсивно исследуются топологические свойства вероятностных мер в категории ТуЛ •тихоновских пространств и различных ее подкатегориях. Кроме некоторых из уко. упомянутых авторов здесь стоит отматить результаты Нгуен То Нху, Грюяхаге, Пфейера, Г.Ф.лураева, И.Ь'. Огородниковой, Т.Н.Радула. Подробный обзор результатов, посвященных вероятностных мерам в топологии содержится в работе*

Результаты диссертационной работы связаны с поставленными В.З.Фадорчуком на Пражском топологическом симпозиуме в 1381г. следующими проблемами (см. также обзор6).

А) Какие ковариаятные функторы в категории топологических пространств сохраняют свойство быть

пространством?

Б) Как ведут себя те или иные свойства пространств при воздействии на них различными ковариантныма функторами?

Цель работы. Исследование свойств топологического пространства Р(Х) в зависимости от таких свойств тихоновского пространства X , как метризуемость, паракомпактность, свойство имеет бикомпактное расширение, являэдееся пространством Милютина, пространством Дугундхи, каппа-ыетризуемым пространством.

М?толы и&йлэгювания. В диссертации используются метода теории непрерывных отображений, результаты А.В.Архангельског

Т

B.Б.Федорчук. Вероятностные «еры в топологии. - Успехи мате наук. 1981, Т.45, вып.2. С. 41-80.

%.В.Фадорчук. О некоторых геометрических свойствах коварная шх функторов Успехи матеы. наук, 1934, Т.39, еыя.5.

C. 169-203.

.АЛЛегогидзэ, Е.З.Щепина, Хзвдона. Применяется и получает дальнейшее развитие метод исследования пространств вороятно-

*3

стных мер, разнятый З.В.Фэдорчуком в работе .

Научная новизна. Все основные результаты работа являются новыми и получены автором самостоятельно. Они заключаются в следующем:

1) Доказано, что функтор вероятностных мер переводит мет-

■з

ризуемые пространства в штризуамые. В работе В.В.Федорчука исследовани свойства метрики J0^ , порожденной яа компакте Р(Х) метрикой jO на компакте X • Решающую роль в получении нашего основного результата играет утвервдение о том,, •' что для равномерно индуктивно-нульмерного метрического пространства (т.е. для метрического пространства, которое имеет базу открытых множеств, находящихся на положительном . расстоянии от их дополнений) метрика J^l поровдаат на PifY^ слабую топологию, т.е. топологию, индуцированную слабой топологией бикомпакта . где - произвольное биком-* пактное расширение пространства Y •

Наш. основной результат существенно усиливает теорему Нгу-вн То Нху а Та Кхан Ку^ о том, что для метризуемого пространства X пространство P„(}i) мер с носителями, состоящими из не более, чем F»- точек, такав мвгризуемо.

Следствиями нашего основного результата является

2) Теорема о сохранении функтором Р свойства топологя-

^В.В.Федорчук. Тройни бесконечных итераций мэтризуемых функторов. - Изй. АН СССР. Сер. мат. S90. Т.54, » 2, С. 39S-4I8, 4 /VßtUn То А^Ли , Та КА&с Си . pnafafiAty /пеалале fun-c&t-i p.mîtsii*ùr<j TÄt /}А/Я ~ ръорtsity ef msvuc лрьсм . pnoc. d^tn. SûC■ - im - 106, /Tî.-р: - soi ■

5

ческэгэ пространства было р -ларако.мпактом.

, ' Т)

3) георзка о переводе функтором и его лыпухлыма яод-фузулорааз г/.зтризуе,\;ы>; пространств в абсолютные ретракты в классэ меср'/зуе.мих пространств.

V, теопег.^оская ценность. Диссертационная работа косит теоретически характер, ¿в результата могут aaii-ти применение в облек топологии, в частности, в теории ретрак-тов бесконечномерной. топологии, в теории ковариантныа функторов, а та;;:;:е в ^ункцкональнох анализе.

Анпобттпя пабоу-;. Результаты дгесартацаи докладывались на научно-исследовательском се.уинаре кажздры обще;* топологии и геометрии ."ехак1!ко-;.;атомат;;чзского факультета Московского государственного университета им. L'1.3. ломоносов а, на семинаре "ксварпантние ¡¿унктори бесконечдоморниа многообразия" под руководство:.: лоо-.^ссора З.В.Оедорч/ка.

^убл;::-:Осьоввыз результата диссертации публикуотся в работа, сданной 2 Зсстнзк :.ГУ.

Структур дкссавузигз. Работа состоит из взадония, трех параграфов и списка цатароваквоа литературы. Объел дассерга-. цки страниц иа^заэявевого текста. Библиография включает 21 наи:-:ано2аьйе.

ССЩЗДИКЗ РАБОТЫ Зо введении обосновывается актуальность тома и цается обзор соцеркаййя дхссэртадик. Первой 'параграф носит в основное вспомогатольннл характер. В вды приводятся ^аоб/одимие

хоноескнх пространств и их непрерывных отображений. Описываются предбазы топологий на пространствах вероятностных мер. Ключевыми здесь являются предложения 1.19, 1.20 и 1.22. Приводом их.

Предложение 1.19. Пусть X - бикомпакт и - семейство функций, разделяющее точки пространства X и замкнутое относительно конечных произведен'«. Тогда множостло

сг

является дредбазей слабо;! топологии бикомпакта

Предложение 1.20, Пусть .X - бикомпакт и У - его произвольное подмножество. Пусть Сс ¿'(У.)- семейство функции, разделяющее точки бикомпакта X и замкнутее относительно конечных произведений. Обозначим чзрез %) ограничение сомеист-

Г' V

га С- на пространство / , т.е.

Тогда семейство

является базоЛ окрастностои мер и £ Р ^У) в слабой топологии.

Предложение 1.22. Пусть V - индуктивно-нульмерное прост-

г/ г

ранство, оуЪ - база ого топологии, состоящая из открыто-замкнутых множеств и содержащая вез конечные пересечения своих элементов. Тогда семейство

образует предбазу слабой топологии пространства

Завершается первый параграф построением метрики на множестве Р (VJ для метрического пространства (У, Р } Пусть у<а ■ у*г с мэра )ч£ называет-

ся у^ул* - допустимой, если

т. ■ V * V _4, V где ■ 1 ^ ' - - проектирование произведения

на •£■ -ый сомножитель. Множество всех ) -до-

пустимых мор обозначается через _/\. Определяется функция ^У-Р(У) —» [Я* следующим равенст-

вом:

Р, ( ^ \

/ /

Доказывается (Предложение 1,27), что эта функция является метрикой на множестве )

Во втором параграфе приводятся определения нормального в скисло Е.В. репина функтора в категориях Со юр и !ус/> рассматриваются некоторые подфуякторы функтора Р . Доказывается (предложение 2,16), что если р - нормальный функтор в категории ¿Ьшр , а О* - его подфунктор, то продолжение && функтора на категорию Тр^ является подфунк-тороы функтора .'Из предложения 2.16 вытекает (см. прад-

лог.о:-ша 2.1?), что функтор Р в категории "Т^сЬ в качеот-

' 8

Ев одного из своих подфувкторов содержит функтор г возводо-ния в квадрат.

Важным для дальнейших предложений является Предложение 2.19. Если Т-' ЗС _ совершенное

отображение меаду тихоновскими пространствами, то отображение 7 Р^У,) - тазш? совершенно. Далее приводится и исследуется понятие замкнутого подфуш-тора функтора Р и утварвденаа предложения 2.19 распространяется (см. предложение 2.23)на замкнутые подфунмторц вароятност-ных мер.

Исследуются плотные подпространства пространств вероятностных мер. Для тихоновского пространства У через Р^^У"} обозначается подпространство пространства ) . состоящее

из всех конечных выпуклых комбинаций мер Дирака с рациональными коэффициентами. Доказывается

Предложение 2.27. Если V" плотно в тихоновском пространстве X. тэ р^У) плотно в пространства . Р^Х,) Следствием предложения 2.2? является

Предложение 2.2В. Лля произвольного бесконечного тихоновского пространства X имеем ¿1

Здесь через ¿1Х обозначается платности пространства X , т.а. наименьшая мощность плотных в 'Л. подмножеств.

Предложение 2.29. йунктор Р сохраняет вое бесконечных тихоновских'пространств.

Далее вео.дИтся понятир С"/*^ -пространства,' где (Р - некоторое топологическое свойство бикомпактом. 3 этом направлении доказываются следующие утверздения.

Предложение 2.32. Если Х~С -диадическое пространство веса ^ , то пространство р^) также С -диадично. ,

9

Предложение 2.33. Для тихоновского пространства веса следующие условия равносильны:

1) X есгь С -пространство Милютина;

2) X в071, С -пространство Дугундки;

Предложение 2.34. Если X. есть С -пространство Милютина 2еса ^ ил , то ) является <С, -абсолютным ратрак-том.

Предложение 2.35. Функтор Р переводит С. -абсолютные ратракты Ееса 4= ил в Q. -абсолютные ретракты.

Предложение 2.37. Если пространство У1 - С -капла-метризу-емо, то пространство Р( >0 такхе CÍ -капяа-метризуемо.

Основные результаты диссертации содержатся в § 3. Ключевым .вспомогательным утверждениям является

Предложение 3.1. Пусть С Y, .Р ) - такое идцуктивно-нульмер-нов метрическое пространство, что некоторая база^^З его открытых множеств удовлетворяет следующему условию:

^ & 7 Y I В ) > 0 для любого элемента 5 Тогда метрика яоровдает на слабую топологи».

На основе предложения 3.1 доказывается основное утверждение диссертации.

Теорема 3.3. Если пространство X. метризуемо, то пространство Р(Х) так та метризуемо.

Следствием основного результата является

Теорема 3.6. Если - яаракоыпактное Р -пространство, то RfX/также является паракомпактным р -пространством.

Что касается класса всех паракомпактных пространств, то функтор X выводит за пределы этого класса. Это вытекает из того, что согласно предложениям 2.1? в 2.21 пространство Р(^)

10

топологически содержит квадрат л- пространства X в

качестве замкнутого подпространства. Поэтому взяв паракомпактное пространство X , квадрат которого не нормален (в качество К мокно езять линдолефово пространство, известное под названием "стрелки" или "линия Зоргснфрея"), получала %в нормальное я тем более не паракокпактное пространство р(% )

Далее вводится и исследуется понятие выпуклого подфунк-тора функтора Р и доказывается

Теорема 3.13. Для непустого тихоновского пространства и выпуклого под4уяктора р функтора Р следующие условия равносильны:

1) пространство X метризуеко;

2) пространство Р(Х) является абсолютным ратрактом в классе метраэуемах пространств;

3) пространство г (У^) является абсолютным ротрахто.\< в классе метризуо.\;ых пространств.

Завершает диссертацию.

Предложение 3.15. Для непустого метриэуэмого пространства ){ абсолютными ратрактами и классе могризуемых пространств являются выпуклые подмножества пространства » состоя-

щие из всех ые'р, мощность носптолел которых:

1) конечна,

2) счэтна,

3) конечна илиснотна,

4) бесконечна,

5) континуальна,

6) бесконечна или континуальна.

Автор выражает глубокую признательность соеому научному руководителю профессору Б.В.Фодорчуку за постановку задачи и пос-

II

тоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертаций: I. Метризуемость и паракомпактность пространств вероятностных гер. - Бестник ИГУ. Сер. Г. 1992, И

-За к. т. ЮОэкз.

Огяд,/?еуа/77й'