Геометрические свойства бесконечных итераций некоторых ковариантных функторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА механико-математический факультет

На правах рукописи

АТАМАНЮК Богдан Васильевич

УДК 515.12

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ИТЕРАЦИЙ НЕКОТОРЫХ КОВАРИАНТНЫХ ФУНКТОРОВ

01.01.04 - геометрия и, топология

Автореферат диссертации на соискакие ученой степени кандвдата физико-математических цаук

Москва - ,1903

ррг--

.——ГОС'Л;. -

\ Г-Г г. .!

СС."~Фвёота выполнена на кафедре общей топологии, и. геометрии механико- математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико- математических

наук,профессор В.В. ФЕДОРЧУК

(ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико- математических

наук,доцент М.М. ЗАРИЧНЫЙ

кандидат физико- математических наук,доцент Е.В.МОИСЕЕВ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ИМ. В.А. СТЕКЛОВА РАН

Защита диссертации состоится /1*1 1993 г

в 16 часов 05 мин. на заседании специализированного Совета Д 053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899,ГСП, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико- математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико- математического факультета МГУ /Главное здание, 14 этаж/.

Автореферат разослан "_* / 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета il.053.05.05. при МГУ д.ф.-м.н. профессор

В.Н. ЧУБАРИКОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТН

АКТУАЛЬНОСТЬ ТВ®.Изучение ковариантныХ (функторов в категориях топологических пространств является в настоящее время интенсивно развивающейся областыз общей топологии / см. обзорные статьи В.В.Федорчука [1-3] /.

В 1981 г. Х.Торунчик и Дк. Вэст [4] рассмотрели конструкцию / пополненного / итерированного гиперпространства.

Пусть X _ гиперпространство / экспонента /

метрического компакта X /т.е. пространство непустых замкнутых в X подмножеств / , наделённое метрикой Хаусдорфа:

.¿(А,В) Ое (В)1 Ь <г 0£ Г*)}.

1] В.В.Федорчук. Ковариантные функторы в категории компактов, абсолютные ретракты в 5 - многообразия.-УМН, 1981,36:3,с.177-195.

2] В.В.Федорчук.О некоторых геометрических свойствах ковариантных функторов.-УМН,1984,т.39,вып.5 / 239 /, с.169-208.

3] В.В.Федорчук.Мягкие отображения, многозначные ретракты и функторы,- УМН,1986, т.41, с. 121-159.

41 ^оьсспе^у-А Н., \Yesi Л <2 ШбШ ¿рсхее. ¿спи* {01 ¿¿г Цьмь^еД- Адрсы/ьасг. .

Ри>с. Огпм. ШиЛ. Лое. V. ¿9 МЛ,

р. ¿Л9-335-.

- 2 -

Бесконечным итерированным гиперпространством еауо + X метрического компакта называется метрический прямой предел последовательности

X а, х с; ... ехрс X еяр с +-1

где вложение еоир £- X в еау>с*'/ / задаётся формулой /4 -~{А].

Пусть + + Х - пополнение метрического

пространства елуэ + К .В [4] доказана следующая

Теорема [4] .Если X - ивановский континуум, то пара ( есср + + X < едуэ * Л ^ гоыеоморфна паре (-¿к , 21!) * где через 21 обозначается линейная оболочка стандартно вложенного гильбертова куба С? в гильбертовом пространстве ¿1

Заметим, что пара (, 21 ) гомеоморфна паре

(4 . ^^ , до * = ПП у М » *

псевдовнутренность, а пространство ¿.¿.«г? <? =

= Гп^, + с.) -

радиальная псевдовнутренность гильбертова куба

6?= пП, [-1, .

В [5] построена компактификация еэср"* функтора

[5] Т.О.Банах, М.М.Заричный. О компактификадиях функтора итерированного гиперпространства.- Известия вузов. Математика, 1937, № 10, с. 3-6.

елуэ * и доказано, что не существует функтори-

альной коипактификации Г функтора е-2^ 4 + для которой пара ( Р X , ехр + + х) была бы гомеоморфна паре ($ , Л) .

Общая схема построения бесконечных итераций функторов в категории к «тактов принадлежит В.З.Фадорчуку. Им дано определение совершенно метризуеыого функтора Р , его бесконечной итерации Р + , а также компактифихации Р 10 функторов Р * и I- * /см. [6-81 /.

Для ряда совершенно метриэуемнх функторов, в частности,, функторов вероятностных мер Р и континуальной экспоненте ¿яре . В.В.Федорчук доказач гомеоморфность троек ( Г*.к , - Р + К , Г * X) к (в ,4 ,Ш0).

Бесконечные итерации функтора суперраспгоронюг Д

[6] SГесСо^АллЛ. V. V. On. Crufrns'tt aeuLbOvi

of rtu)tULcOe. -fustc-tovi. - ФаМл. JUviei^ioJi

Форо&р'юЯ- (¿¿ituiet (pavt JFJ,

p.

[?J В.В.Федорчук. Расслоения пространств вероятностных мер и геометрия бесконечных итераций некоторых монадичных функторов «- ДАН СССР,1988,т.801,№1,с. 41-45. [8J В.В.Федорчук. Тройки бесконечных итераций метгиэуемых функторов.- Известия АН СССР,серия математическая, 1990, т. 54, * 2, с. 396- 417.

- 4 -

рассмотрены Ы.М.Заричнш в [9] , а Эберхартоы, Надлером и Новеллой в [10] введены функторы Г и Гс пшерпроотранств порядковых дуг .

Через Г ^ обозначается подпространство в вх^р г X элементами которого являются порядковые дуги. Если же дуга

¿г с X , то получим определение простран-

ства Г с X .

В [II] доказано, что пространство ГХ гомео-морфно гильбертову пространству ¿г. , если и только если X - польское, связное и локально связное, нигде не локально компактное пространствр.

В [I] В.В.Федорчук поставил вопрос о гомеоморфности гиперпространства порядковых дуг Гс X гильбертову пространству £2 , на который автором диссертации дан положительный ответ.

Результаты диссертации связаны с исследованием геометрических свойств бесконечных итераций ко вариантных функторов ехр + > Г * и X * «С ?

[10] ЕвгьАхи^ в., ПаЛЛл. Л В., Ж О.

о£ оиСм. ал. и ¿п. -

ФиигЛ. С. хи (191<) . р. //✓- ✓¿о.

[11] В.И.Голов. Гильбертово пространство как гиперпространство упорядоченных дуг.- Функциональный анализ и приложения в механике и теории вероятностей, 1984,13,с.13-18.

причём бесконечные ьтерации функтора ^ берутся о модифицированными изометрическими вложениями, что даёт возможность охватить целый класс новых функторов.

Если Л - функтор сулеррасширения и у : " Л -каноническое естественное преобразование, то модифицированные изометрические вложения

* \СХ 1 ~~ Л"'*

для последовательности X = { натуральных

чисел таких, что ■/ « «5 У и для /7: Да! —Л, что г{х (л) ~ А е. еяр X : х £ А}/ л £

задаются формулой

£ * ~

Тотаа Л--

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Исследовать топологию / пополненных / бесконечных итераций функтора экспоненты в категории польских пространств, функтора гиперпространств порядковых дуг, а также модифицированных бесконечных итераций функтора суперрасширения.

МЕТОД! ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации широко используются методы теории ретрактов и топологии бесконечномерных многообразий, развитые в работах В.В.Федорчука.М.М.Заричного, Т.О.Банаха, Х.Торунчика, Дк.Веста, М.Бествины.Е.Могильского, Д.КЗртиса и М.Войдаславского.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

Они заключаются в следующем / подробнее- при изложения содержания работы / :

I/ Дан положительный ответ на вопрос из [I] о гомеоморфности птерпространотва порядковых дуг контяну-альной экспоненты гильбертову пространству ¿1 ;

2/ Для некомпактных польских пространств установлена гомеоморфность бесконечного итерированного гипврпростран-ства порядковых дуг Г+ X произведению 2И * 6 ;

3/ Для некомпактных польских проотранств установлена гомеоморфность пар ( * * X , * X ) и (6 хб, (им

4/ Для хомпакпшх г пространств установ-

лена гомеоморфность трое* ( 0., 4 , И)

■ < А" х, 9Х(А+* *), *

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Диссертационная работа носит теоретический характер. Её результаты могут найти применение в теории рвтрактов, бесконечномерной топологии и теории ковариантных функторов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на VI Тираспольском симпозиуме по общей топологии и её приложениям / Тирасполь , 1991 /, на заседании топологического семинара им. П.С.Александрова, на научно- исследовательском семинаре под руководством профессора В.В.Федорчут в МГУ, на Александровских чтениях в ШУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликовал в пяти работах, список которых представлен в конце автореферата.

- 7 -

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Работа состоит из введения, трйх глав / вторая глава- из двух параграфов / , и списка цитированной литературы. Объём диссертации- 75 страниц машинописного текста. Библиография содержит 27 названий работ. .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается постановка задач и даётся обзор содержания диссертации. Под пространством всегда погашаем хаусдЬрфово непустое топологическое пространство, а под отображением- непрерывное отображение одного пространства в другое, если это отображение не возникает в результате некоторых построений и непрерывность которого требуется установить. В терминологии мы следуем обзорам [1-3] и работам [6-8] .

Изложим результаты диссертации по главам.

В главе I конструкция бесконечного итерированного гиперпространства исследована для некомпактного случая.

Основными результатами главы I являются следующие.

Теорема 1.1. Если X - польское связное и локально связное, нище не локально компактное пространство, то пространство ехр + X гомеоморфно произведению 2ЕГ х ^

Заметим, что эта и другие теоремы главы I основаны на результатах Д.Кёртиса [12] о гомеоморфности гиперпро-сгранотва езуэ X гильбертову пространству ¿г в

[12] СшЖЪ Л. ИТ Н-уршрск*. &&/>и><.тгяуэЛ^с. ¿0 НСб&и Ри>с. СЫш.. ¿ое.

7Г:-/, р- Ш-/М.

наших условиях.

Теорема 1.2. Если X - польское связное и локально связное, нигде не локально компактное пространство, то пространство + + Х гомеоморфно псевдовнутрен-

ности -4

Теорема 1.3. Если X - польское связное и локально связное нигде не локально компактное пространство, то гомеоморфны пары ( + + X, X]

и [6x6, (гШ (?) х -4).

В § I главы 2 даётся положительный ответ на вопрос из [I] о существовании гомеоморфизма пространств ГеХ и , а в § 2 главы 2 доказывается теорема о гео-

метрическом свойстве бесконечных итераций функтора гиперпространства порядковых дуг.

Теорема 2.1.Гиперпространство ГСХ гомеоморфно гильбертову пространству ¿г , если и только если X-польское связное и локально связное нигде не локально компактное пространство.

Теорема 2.2. Бели X - польское связное и локально связное нигде не локально компактное пространство, то пространство Г * X гомеоморфно произведению 2Г * ^

В главе 3 получены результаты о геометрических свой. +

ствах модифицированных функторов А ^ бесконечной итерации сулеррасширения, определяемых указанным выше способом с помощью модифицированных изометрических вложений, а также о геометрических свойствах пополнения и кошактификации этих функторов.

- 9 -

Теорема 3.1. Для любого невыроаденного метризуеыого континуума X пара (Л + ^ (*), Л ^ .С*))

гомеоморфна паре ( 3 ,

Теорема 3.2. Пара (Л " (V, * ^ С*)))

гомеоморфна паре (И, , если X - невырожденный метрический континуум.

Теорема 3.3. Если X - невырожденный метрический континуум, то тройка /71 ^ (X), (Л х), 9* {Л ^ X)) гомеоморфна тройке ((31 4, и^пЛ (?).

Пользуясь возможность», выражаю глубокую благодарность профессору В.В.Федорчуку за постановку задач и руководство диссертацией.

СПИСОК ОПУБЛИКОВШШ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] -Б.В.Атаманюк. Представление ^ ж 4 в видо бесконечного итерированного гиперпространства некомпактных польских пространств.-В кн.Общая топология.Пространства и отображения / Под ред.В.В.Федорчука и др.-М.:Изд-во Моск. ун-та,1989, с.119-124.

[2] Б.В.Атаыанюк.Функторы итерированного суперрасширения.-Вестник Моск.ун-та. Сер.I,Математика.Механика.1989.

й 3, с. 58.

[3] Б.В.Атаманюк. Гильбертово пространство как гиперпространство порядковых дуг континуальной экспоненты.- В кн.

- 10 -

Кардинальные инварианты и отображения топологических пространств. Сборник тр., Ижевск, 1989, с. 53-55.

[4] Б.Б.Атаманюк.Абсолютные ретракты как бесконечнее

итерации некоторых функторов.-Рукопись ДЕЛ ВИНИТИ * 7612-В89 от 19.12.89.

[5] Б.В.Атаманюк. О топологии пар бесконечных итераций некоторых коэариантных функторов.-,Сборник трудов VI Тираспольского симпозиума по общей топологии и ев приложениям. Кишинёв, 1991. с.17-18.