Некоторые свойства нормальных и полунормальных функторов в категориях P и Comp тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

На правах рукописи

Добрынина Мария Александровна

Некоторые свойства нормальных и полунормальных функторов в категориях V и Comp

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2014

г О МОЯ 2014

005555524

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова».

Научный руководитель:

Комбаров Анатолий Петрович,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Щепин Евгений Витальевич,

член-корреспондент. РАН, профессор (ФГБУН «Математический институт им. В.А.Стеклова РАН», главный научный сотрудник отдела геометрии и топологии)

Семёнов Павел Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор (ФГБО УВПО «Московский педагогический государственный университет», ведущий научный сотрудник центра математического образования)

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Петрозаводский государственный университет»

Защита диссертации состоится 5 декабря 2014 года в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84, созданного на базе ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова» по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, ФГБОУ ВПО МГУ имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО МГУ имени М. В. Ломоносова по адресу: Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А, 8й этаж.

Автореферат разослан 5 ноября 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84, созданного на базе ФГБОУ ВПО МГУ имени М. В. Ломоносова, доктор физико-математических наук.

профессор

Иванов Александр Олегович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение геометрических свойств ковариант-ных функторов является одним из центральных направлений в современной общей тополог ии. Исследования в этой области в последние годы проводились многими авторами. К первым результатам в этой области мож-

_________................ moo О___________П. ——----2 ,—

Ui.» W 1 1 Ul/iil ICUpCM^ 1 Z, ij |ида иЛ/ЛС1)(.Ли1 и -lJDClUplll.û и L v;ivl , ' 1 i W JÍvr\CWlD-

ная связность метризуемого континуума эквивалентна локальной связности пространства его непустых замкнутых подмножеств с топологией Вье-ториса — пространства ехр(Х). Изучению пространства схр(Х) были посвящены многие работы в 30-е - -50-е годы, носившие, однако, фрагментарный характер. В качестве самостоятельного направления эти исследования оформились только после работы Майкла 1951 года3.

В 1981 году Е.В. Щепин4, обобщая полученные ранее результаты5, ввёл понятие нормального функтора, тем самым положив начало новому направлению в общей топологии. Затем В.В.Федорчук6 ввел класс полунормальных функторов, являющийся обобщением класса нормальных функторов. Полунормальным функтором, в частности, является известный функтор суперрасширения, который не удовлетворяет свойству сохранения прообразов и поэтому не является нормальным функтором. Пространство суперрасширения Х(Х) всех максимальных сцепленных систем пространства X впервые было рассмотрено Де Гроотом в 1969 году 7. Исследования, начатые Де Гроотом, были продолжены в работах ван дэ Велла8, ван Милла9, М.М.Заричного10, А.В.Иванова11 и некоторых других авторов.

Так, например, в 1983 году Ван Милл рассмотрел пространство максимальных k-сцепленных систем компакта X — пространство \к{Х), а также показал, что при к > 2 пространство \к{Х) может быть некомпактным.

'T. Wazewski, Sur un continu singulier. fW. Math., 4 (1923), 214-243.

2L. Vietoris, Kontinua zweiter Ordnung. Monatsh. Math, und Phys. , 334 (1923.), 49-62.

3E. Michael, Topologies on spaces of subsets. Trans. Amer. Math. Soc., 71 (1951.), 152-182.

4E. В. Щепин, Функторы и несчетные степени компактов. Успехи математических наук., 36:3 (1981), 3-62.

5Е. В. Щепин, Топология предельных пространств несчетных обратных спектров. Успел:и математических наук., 31:5 (1976), 191-226.

®В. В. Федорчук, В. В. Филиппов, Общая топология. Основные конструкции. Учеб. пособие. М.: ФИЗМАТЛНТ, 2006.

Т3. de Groot, Superextensions and supercompactness. Proc. I. Intern. Symp. on extension theory of topological structures and its applications. Berlin: VEB Deutscher Verlag Wiss., (1969), 89-90.

8M. van de. Vel, Superextensions and Lefschetz fixed point structures. Report 51 of the Mathematics Department of the Free University, Amsterdam, 1976.

"Jan van Mill, An almost fixed point theorem for metrizable continua. Archiv der Mathematik., 40 (1983), 159-169.

10M. M. Заричный, Монада суперрасширения и ее алгебры. Укр. мат. журн., 39:3 (1957), 303-309.

"А. В. Иванов, О пространстве полных сцепленных систем. Сибирский математический журнал.,

6 (1986), 95-110.

Наряду с функтором суперрасширения Л также рассматривают функтор полных сцепленных систем N, обладающий многими замечательными свойствами суперрасширения. A.B. Иванов определил Nk(X) как пространство полных k-сцепленных систем, и доказал, что \к(Х) всюду плотно в Nk(X) для любого компакта X без изолированных точек. Изучению свойств пространства суперрасширения также посвящена статья Е.В. Ва-куловой12, в которой был приведен пример максимальной сцепленной системы £ из суперрасширения пространства X с носителем, совпадающим с X.

В 1948 году М. Катетов13 доказал известную теорему о том, что из наследственной нормальности куба компакта следует его метризуемость, а также сформулировал проблему о метризуемости компакта, квадрат которого наследственно нормален. В 1977 году Никошем14 в предположении аксиомы Мартина и отрицании континнуум-гипотезы, МА+^СН, был построен пример неметризуемого компакта с наследственно нормальным квадратом. В 1993 году Грюнхаге15 в предположении континуум-гипотезы СН построил пример неметризуемого компакта У , для которого У2 наследственно сепарабельно, У2\Д совершенно нормально и У2 наследственно нормально. Таким образом, Никош и Грюнхаге в некоторых моделях теории множеств дали отрицательный ответ на проблему Катетова. В 2002 году Ларсон и Тодорчевич16 с помощью форсинга построили модель теории множеств, в которой всякий компакт, квадрат которого наследственно нормален, метризуем, то есть в этой модели теории множеств ответ на проблему Катетова оказался положительным.Тем самым Ларсон и Тодорчевич доказали независимость проблемы Катетова от системы аксиом ZFC.

В 1989 году В.В. Федорчук17 обобщил теорему Катетова для нормального функтора степени ^ 3, действующего в категории Comp компактов и их непрерывных отображений. Проблема Катетова также имеет аналог для полунормальных функторов: верно ли, что из наследственной нормальности ?к(Х), где к — второй по величине элемент степенного спектра полунормального функтора J7, следует метризуемость X? В связи с этим, в

12Е.В. Вакулова , О носителях максимальных сцепленных систем. Труды петрозаводского университета. Серия "Математика"., 11 (2004), 3-8.

ИМ. Katëtov, Complete normality of Cartesian products. Fund. Math., 35 (1948), 271-274.

14P. Nyikos, A compact nonmetrizable space P such that P2 is completely normal. Topology Proc., 2 (1977), 359-364.

,SG. Gruenhage, P. Nyikos, Normality in X2 for compact X. Trans. Amer. Math. Soc., 340:2 (1!Ш), 563-586.

16Larson P., Todorôevié S. Katëtov's problem. Trans. Amer. Math. Soc., 354 (2002), 1783-1791.

17B. В. Федорчук, К теореме Катетова о кубе. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., 4 (1989), 93-96.

2008 году A.B. Иванов и E.B. Кашуба18 построили пример неметризуемого компакта, обобщающий пример Грюнхаге и удовлетворяющий слздующим свойствам:

1) Хп наследственно сепарабельно для любого натурального п\

2) Хп \ Ап совершенно нормально для любого натурального п (где Д„ — обобщенная диагональ Хп, то есть множество точек, у которых хотя бы две координаты совпадают);

3) для любого сохраняющего вес и точки взаимной однозначности полунормального функтора Т пространство J~k(X) наследственно нормально, где к — второй по величине элемент степенного спектра функтора .F.

Исследованиям проблемы Катетова для полунормальных функторов посвящены и работы A.B. Иванова.19 20, в которых, в частности, доказано, что для любого полунормального функтора конечной степени п > 3 наследственная нормальность Т{Х) влечет метризуемость X, а и предположении СН приводится полное описание сохраняющих вес полунормальных функторов, обладающих данным свойством.

По аналогии с теоремой Катетова, в 1971 году Ф. Зенор?1 вывел метризуемость компакта X из наследственной счетной паракомпактности куба пространства X, а в 1976 году Дж. Хабер22 доказал, что для счетно компактного хаусдорфова пространства X из наследственной нормальности его куба также следует метризуемость пространства X.

В 2000 году Т.Ф. Жураев23 заменил в теореме Федорчука наследственную нормальность компакта F(X) на наследственную счётную паракомпактность Т(Х).

Теоремы Федорчука и Жураева были также обобщены А.П. Комбаро-вым. А.П. Комбаров24 ослабил требование наследственной нормальности пространства Т{Х) до требования наследственной /С-нормальности пространства Т(Х)\Х. Теорема Комбарова утверждает, что если для какого-нибудь нормального функтора J7 степени > 3 пространство Т{Х)\Х

18А.В. Иванов, Е.В. Кашуба, О наследственной нормальности пространств вида ^F(X). Сибирский математический журнал., 49: 4 (2008), 813-824

19 А. В. Иванов, Свойство Катетова для полунормальных функторов конечной степени. Сибирский математический журнал., 4 (2010), 778-784.

20А. В. Иванов, Теорема катетова о кубе и полунормальные функторы. Ученые записки Петрозаводского государственного университета. Серия: Естественные и технические наук!., 2 (2012), 104-108.

21Р. Zenor, Countable paracompactness in product spaces. Proc. Amer. Math. Soc. , 30 (1971), 199-201.

22J Chaber, Conditions which Imply Compactness in Countably Compact Spaces. Dull, t'e I'ucademie polonaise des sciences, Serie des sciences math., astr. et phys., 24:11 (1976), 993-997.

'"Т. Ф. Жураез, Нормальные функторы и метризуемость бикомпактов. Вестн. Моск. ун-та. Матем. Мехап., 4 (2000), 8-11.

24А. П. Комбаров, К теореме Катетова—Федорчука о кубе. Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ., 5 (2001), 59-61.

наследственно ^С-нормалыю, где К. — класс ст-компактных пространств, то X — метризуемый компакт. Различные свойства типа нормальности рассматривались также в некоторых работах А.П. Комбарова25 20

В 1965 году A.B. Архангельский27 ввел класс пространств, названных им перистыми или р-пространствами. В классе р-пространств сохранялись многие специфические черты локально компактных и метрических пространств. В своей работе A.B. Архангельский доказал, что паракомпакт-ные р-пространства - это в точности совершенные прообразы метрических пространств. Потому вполне естественно изучать геометрические свойства ковариантных функторов в категории паракомпактныхр-пространств и их совершенных отображений, а также попытаться обобщить на данную категорию теорему Федорчука.

Цель работы — изучение некоторых свойств полунормальных функторов в категории Comp компактов и их непрерывных отображений, а также распространение понятия нормального функтора на категорию параком-пактных р-пространств и их совершенных отображений и изучение геометрических свойств ковариантных функторов в данной категории.

Основные методы исследования. В качестве основных методов исследования используются методы теории обратных спектров, техника исследования полунормальных функторов конечной степени, предложенная Басмановым28, а также некоторые другие методы общей топологии.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем:

1. Введены новые методы построения максимальных сцепленных систем с заданными носителями.

2. Построен пример компакта X, показывающий, что при к = 3 пространство \к{Х) может не быть нормальным пространством. Данный пример усиливает результат, полученный Ван Миллом в 1983 году.

3. Доказано, что для любого связного сепарабельного компакта X множество максимальных сцепленных систем со связными носителями всюду плотно в суперрасширении \(Х).

■"'А. П. Комбаров, О нормальных функторах степени > 3.Машем, заметки76 (2004), 147-149.

26 А. П. Комбаров, Свойства типа нормальности и ковариантные функторы. Фундамент, и прикл. матем., 9:2 (2003), 57-98

27А. В. Архангельский, Об одном классе пространств, содержащем все метрические и все локально бикомпактные пространства. Матем. сб., 67 (1965), 55-85.

'•"В. Н. Басманов, Ковариантные функторы, ретракты и размерность. Доклады АН СССР., 271:5 (1983), 1033-1036.

4. Получено обобщение теоремы Катетова о кубе для паракомпактных р-пространств.

5. Решена задача распространения понятия нормального функтора, действующего в категории Comp компактов и их непрерывных отображений, на категорию V паракомпакных р-пространств и нх совершенных отображений.

6. Получено обобщение теоремы Федорчука для нормальных функторов в категории V.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа имеет теоретический характер и представляет научный интерес для специалистов в области общей топологии.

Апробация результатов. Основные результаты докладывались на кафедральном научно-исследовательском семинаре по общей топологии имени II. С. Александрова под руководством профессоров В.В. Федорчука, Ю.В. Садовничего, С.А. Богатого, БА. Пасынкова, В.И. Пономарева, В.В. Филиппова (неоднократно, с 2011 по 2013гг); на международной конференции по топологии и её приложениям (Нафпактос, Греция, с 26 по 30 июня 2010 г.); на международной топологической конференции «Александровские чтения» (Москва, с 21 по 25 мая 2012 г.); на научных конференциях молодых ученых, аспирантов и студентов Петрозаводского государственного университета (неоднократно, с 2009 по 2011гг).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-6].

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на 12 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации составляет 70 страниц. Список литературы состоит из 41 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении изложена краткая история вопроса, показана актуальность рассматриваемых задач. Сформулированы цель работы и основные результаты.

Первая глава. Первая глава диссертации посвящена изучению некоторых свойств полунормальных функторов в категории Comp компактов и их непрерывных отображений. В этой главе рассматривается функтор суперрасширения, пространства максимальных и полных к—сцзпленных систем, а также изучаются свойства носителей для этих систем.

Напомним, что для всякой полной, и, следовательно, максимальной, к-сцепленной системы определен непустой носитель по формуле

вирр(£) = [и{./га : — минимальный по включению элемент £}].

Как известно, Ван Милл показал, что пространства А*(X) в общем случае не является компактом. Поскольку всякий компакт, как хорошо известно, является нормальным пространством, в первой главе приводится пример, показывающий, что при к = 3 пространство Хк(Х) может не быть даже нормальным пространством, а именно справедлива следующая

Теорема 1. Существует компакт X такой, что пространство Х3(Х) не является нормальным.

Далее в первой главе приводится алгоритм построения максимальной сцепленной системы с заданным носителем, обобщающий пример из работы Е.В. Вакуловой, а именно, доказываются следующие предложения.

Предложение 1. Если в бесконечном пространстве X найдется открытое сепарабельное подпространство, то существует максимальная сцепленная система £ такая, что вирр(£) = X.

Предложение 2. Пусть X сепарабелъно. Тогда для любого кардинала р. существует максимальная сцепленная система принадлежащая суперрасширению Х(Х^) степени Xтакая что вирр(^) = X

Понятие носителя точки, позволяющее описать структуру пространства, имеет большое значение в исследовании свойств ковариантных функторов.

Напомним, что если Т — мономорфный функтор, то для любой точки а 6 3-{Х) определен носитель Бирр(а) следующим образом:

Бирр(д) = П{У С X : а €

Как хорошо известно, при помощи носителя можно определить под-функтор континуальной экспоненты ехрс функтора ехр. Естественно возникает вопрос, нельзя ли, используя определение носителя, аналогичным образом задать подфунктор функтора суперрасширения, рассмотрев подпространство \С(Х) пространства \{Х), состоящее из максимальных сцепленных систем со связными носителями. В связи с этим для непрерывных отображений максимальных сцепленных систем получен следующий результат.

Предложение 3. Существует непрерывное отображение f : X —» У и максимальная сцепленная система £ € А(Х) со связным носителем такие, что носитель максимальной сцепленной системы г) = А/(£) несвязен.

Предложение 3 показывает, что операция Ас не является ковариантным функтором. Также в этой связи приведен пример пространства X, показывающий, что множество максимальных сцепленных систем со связными носителями может не быть замкнуто в Л(Х), откуда следует, что АС(Х) не является компактом для данного компакта X.

Теорема 2. Пусть компакт X является связным и сепарабельным. Тогда множество максимальных сцепленных систем со связными носителями всюду плотно в суперрасширении Х(Х).

Теорема 3. Существует компакт X такой, что множество максимальных сцепленных систем со связными носителями не замкнуто в суперрасширении А(Х).

Упомянутый пример неметризуемого компакта X A.B. Иванова и Е.В. Кашубы, обобщающий пример Грюнхаге, удовлетворял следующему свойству: для любого полу нормального функтора J7, сохраняющего вес и точки взаимной однозначности, со степенным спектром sp(T) = {1, к,...}, пространство Тк{Х) наследственно нормально. В частности, отсюда следовало, что наследственно нормальны пространства X2 и А3(Х). Чтобы получить дальнейшие примеры таких пространств и, по возможности, упростить формулировку самого условия, был поставлени вопрос о связи степенного спектра полунормального функтора со свойством сохранения по лунормальным функтором точек взаимной однозначности, а именно: можно ли, зная второй по величине элемент степенного спектра функтора, не требовать проверки условия сохранения точек взаимной однозначности.

Напомним следующее определение степенного спектра, принадлежащее A.B. Иванову29. Степеным спектром функтора Т называется множество Sp{J-) = {к : к е N, Гкк{к) ф 0, где к - дискретное пространство}.

В работе получены следующие результаты.

Предложение 4. Пусть Т — полунормальный функтор, сохраняющий точки взаимной однозначности и spJ7 — {1, к,.. .}■ Тогда к 3.

Предложение 5. Пусть Т — полунормальный функтор степени ^ 2. Тогда Т сохраняет точки взаимной однозначности.

29А. В. Иванов, О степенных спектрах и композициях финитно строго эпиморфных функторовю Труды петрозаводского университета. Серия. "Математика"., 7 (2000), 15-28.

Заметим, что в случае степенного спектра {1,3} возможно как сохранение, так и не сохранение полунормальным функтором точек взаимной однозначности. Примерами тому являются подфунктор Аз функтора А и функтор A.B. Иванова ехр^ при К = {1,3}.

Вторая глава Вторая глава посвящена распространению понятия нормального функтора на категорию V паракомпактных р-пространств и их совершенных отображений, а также обобщению теоремы Федорчука в этой категории.

Показывается, что ковариантный функтор ехрс является примером нормального функтора в категории V- Подпространство ехрс(Х) пространства ехр(Х) состоит из всех компактных замкнутых подмножеств пространства X. Открытую базу топологии пространства ехрс(Х) образуют множества видаО < Ui,..., Un >= {А € ехрсрГ) : А С Е/iU...U С/п;АП[/{ ^ 0 для i = 1,...,п}, где Ui — открытые в X множества. Для любого совершенного отображения / паракомпактного р-пространства X в паракомпактное р-пространство Y отображение ехрс(/) пространства ехрс(Х) в пространство ехрс(У) определяется следующим образом: expc{f)(F) — f(F). В работе доказано следующее

Предложение 6. Операция ехрс является ковариантпым функтором из категории V в категорию V.

Во второй главе получено следующее усиление теоремы Катетова и утверждения, обобщающие некоторые теоремы В.В. Федорчука. Напомним, что пространство X называется М-пространством30, если его можно квазисовершенно отобразить на некоторое метрическое пространство Y. Квазисовершенным называется такое замкнутое отображение / пространства X на пространство У, при котором прообраз f~l(y) каждой точки у пространства Y является счётно-компактным подмножеством пространства X. Как хорошо известно, класс паракомпактных М-пространств совпадает с классом паракомпактных р-прос.транств.

Предложение 7. Пусть X — паракомпактное М-пространство, куб которого является наследственно нормальным пространством. Тогда пространство X метризуемо.

Предложение 8. Пусть X — паракомпактное р-пространство с единственной неизолированной точкой xq. Тогда если х(жо>-Ю = шо> "w X метризуемое пространство, если же x(xQ, X) ^ ш\, то пространство ехр^Х \ X не наследственно нормально.

3°К. Morita, Products of normal spaces with metric spaces. Math. Ann., 154:4 (1964), 365-382.

Предложение 9. Пусть X — паракомпактное р-пространство, ехр^Х \ X наследственно нормально. Тогда X метризуемо. ' " :

Понятие нормального функтора в категории Comp компактов и их непрерывных отображений распространяется на категорию V паракомпак-ных перистых пространств и их совершенных отображений. Приводится пример функтора, удовлетворяющего всем свойствам нормально:™ в категории V.

Предложение 10. Функтор ехрс является нормальным функтором в категории V .

В работе также изучаются свойства ковариантных функторов в данной категории, аналогичные свойствам функторов в категории Сотр. Пусть Т — мономорфный функтор, тогда для любой точки а 6 ^(Х) определен носитель supp(a) = П{У : Y замкнуто в X, а £ .F(Y)}. Тем самым, также определно многозначное отображение supp : Т(Х) —> X, ставящее в соответствие каждой точке пространства J~(X) её носитель — непустое замкнутое подмножество пространства X.

Предложение 11. Пусть X — паракомпактное р-пространство, Т — нормальный функтор в категории V. Тогда многозначное отображение supp : Т(Х) —> X полунепрерывно снизу.

Предложение 12. Мономорфный, сохраняющий пересечения функтор, действующий в категории V, сохраняет носители тогда и только тогда, когда он сохраняет прообразы.

Напомним, что для любого натурального п через Тп(Х) обозначается множество

Fn{X) = {а 6 ?{Х) : \supp(a)\ < п}.

Предложение 13. Если J- — нормальный функтор, действующий в категории V, то подпространство Тп{Х) замкнуто в F(X) для любого X и любого п.

Следствие. Соответствие X —> Тп{Х) однозначно определяет подфунк-тор Тп функтора Т, действующего в категории V.

Следующая теорема обобщает теорему В.В.Федорчука:

Теорема 4. Пусть X — паракомпактное р-пространство, Т — нормальный функтор степени ^ 3, действующий в категории V. Тогда если пространство F(X)\X наследственно норлшлъно, то пространство X метризуемо.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Петровичу Комбарову за постановку задачи и постоянное внимание к работе. Автор также выражает глубокую благодарность всем сотрудникам кафедры общей топологии и геометрии за поддержку и внимание.

Публикации автора но теме диссертации:

1. Добрынина М. А. Некоторые свойства полунормальных функторов // Труды петрозаводского университета. Серия "Математика". 2009. Вып. 16. С. 33-47.

2. Добрынина М. А. О максимальных сцепленных системах // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. - 2011. - № 2. С. 27-30.

3. Добрынина М. А. К теореме Федорчука о нормальном функторе // Матем. заметки. 2011. Т90. Вып4. С. 630-633.

4. Добрынина М. А. О нормальных функторах в категории параком-пактных р-пространств и их совершенных отображений Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. — 2012. — № 4. С. 61-63.

5. Dobrynina М. A. On degree spectrums of seminorinal functors /,/ 2010 International Conference on Topology and its Applications. Abstracts. Nafpaktos. 2010. P. 83-84

6. Dobrynina M. A. On generalizations of Fedorchuk's Normal Functor Theorem in category V // 2012 International Topological Conference Alexandroff Readings. Abstracts. Moscow. 2012. P. 19.

Отпечатано в копицентре « СТ ПРИНТ » Москва, Ленинские горы, МГУ, 1 Гуманитарный корпус, e-mail: globus9393338@yandex.ru тел.: 8 (495) 939-33-38 Тираж 100 экз. Подписано в печать 01.10.2014 г.