Алгебраическая К-теория и квадратичные формы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ •

На правах рукописи

Ш Ы Е В С К И Марек

УДК 512.7

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ К-ТЕОРИЯ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 01.01.06. - математическая логика , алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ленинград 19 8 9

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Ленинградского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственного Университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математичоских наук ,

профессор СУСЛИН Андрей Александрович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико-математических наук

ЯНЧЕЗСКИЙ Вячеслав Иванович

кандидат физико-математических каук

ПАНИН Иван Александрович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Математический Институт Академии Наук СССР . , -

Защита состоится "ЛИ'.&Л.. 19е/О г. в " Ц " часов

на заседании Специализированного совета К 063.57.45 по присуждении ученой степени кандидата физико-математических наук в Ленинградском государственном университете (адрес совета i' 198904 , Ленинград , Старый Петергоф , Библиотечная плошадь , дом 2 , математико-механический факультет ЛГУ ) .

Защита будет проводитьоя по адресу : 191011 Ленинград , Набережная реки Фонтанки 27 , 3-ий этаж , зал заседаний 311 (помещение ЛОМИ) . С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. A.M. Горького Ленинградского университета .

Автореферат разослан 19)'О г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических наук P.A. Шмидт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ

Настоящая диссертация посвящена изучению связей между алгебраической теорией квадратичных форм , алгебраической К-теорией и теорией когомологий .

Литература предмета насчитивает от нескольких сот до тысячи с липшим позиций , в зависимости от того , как широко понимать перечисленные области алгебры . Этот тезис хорошо иллюстрирует Пример 3.4. из книжки Милнора и Хыззмол-лера "Симметрические билинейные формы" : утверждается , что для дедекипдовой области ]) с полегл частных Г имеется точная последовательность :

о ——-иг —»1л.ир/р)—*С/С2 —;»• О

где С - это группа классов идеалов кльца . Но для дедо-кгадовой области С = ^К^Ь , так что это уточнение принципа Мипковского - Хассе можно считать утверждением из алгебраической К-теоряи . Правда , таким образом зачисляем в К-те-орию половину алгебраической тзоряи чисел . Примеры такого рода можнс нрйти в большом количества , По мнению автора это свидетельствует о значимости исследований в этой области , сильно связанной так с классическими , как и самыми современными разделами алгебры .

Центральной темой работ в обсуждаемой области до 1982

било нахождение различного рода достаточных условий для справедливости гипотезы Пфистера из 1966 года о том , что

о р

ядро инваринта Клиффорда с : I F—► 2Влг ^ 1= н Равно

J3J

. На этом фоне выделяются ярко работы Милнора и Ара-сона , вводящее совершенно новые методы . С 1982 года начинается серия замечательных работ A.C. Меркурьева и A.A. Суслина . Началом серии было полное доказательство гипотезы Пфистера , найденное Меркурьевым . С 1986 года в этой области видно замечательное явление : одни и те-же резуль* таты получены практически одновременно различными авторами и различными методами . Кроне общих результатов , цитируемых в работе , новые метода применяются в классических областьях , как изучение квадратичных форм над глобальными полями . Аппарат К-терии создает возможности различных обобщений локально-глобальных принципов , исследования колец Витта схем , построений полей с заданными свойствами или когомологий Галуа , или квадратичных форм .

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является систематическое изложение применений К-когомологий квадрик для исследования когомологических инвариантов квадратичных форм , и построение нового , пятого по очереди инварианта е4 : I^T/I^T —Н4? .

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

Главные результаты работы - теорема о ядре гомоморфиз-

ма , где X - проективная квадрика , опреде-

ленная формой <?а,Ь» © 4-оу , и о существовании (корректности определения ) инварианта в4 получены независимо и несколькими месяцами раньше , Б. Джекобом и М. Ростом . Новыми являются : вычисление К-когомологий "общей" аффинной квадрики , существование редуцированной нормы для "общей" алгебры кватернионов (а.ТДЧТ)) и К3 при условии \-l.a} = 0 с {у? , бирациональная инвариантность групп Н°(Х,Кр) и аналогичных , в классе полных гладких многообразий X , вычисление К-когомологий квадратичной поверхности

р о о р

х0 - ах^ ■ - Ьх2 - сх3 = 0 , точная последовательность квадратичного расширения для этальных когомологий многообразий над полем , вычисление К- и Н- когомологий аффчн-р р р р

ной квадрики х0 - ах^ - Ьх2 + аЬх3 = с и ее этальных когомологий , полное вычисление эталььых когомологий квадрики х02 - ах^ - Ьх22 + аЬх32 - сх42 = 0 , характеризадия форм ^ , для которых ядро К4! —>■ Н^Р (у) нетривиально . Кромз того работа содержит множество результатов ,^которые вероятнее всего известны специалистам , но не публиковались .

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ

В работе использованы методы и результаты из гомологической алгебры , алгебраической геометрии , теории этальных когомологий , теории квадратичных форм с высшей К-теории .

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ ......... . ....

Работа носит теоретический характер . Ее результаты

и методы применимы в геометрии квадрик , других вопросах алгебраической геометрии , теории когомологий ( этальшх и Галуа ) , теории квадратичных форм , алгебраической К-теорни Автор намерен применить результаты дисоертации для вычисления колец Витта коник и квадратичных поверхностей , вычисления К-когомологий квадрик большей размерности , вычисления когомологий аффинных квадрик .

АПРОБАЦИЯ РАБОТО

Результаты работы докладывались на семинарах по К-те-ории в Ленинграде , и по теории квадратичных форм в Университете Сленским в г. Катовице , на совместном семинаре лаборатории алгебраических методов Ленинградского отделения Математического института им. В.А. Стеклова АН С?СР и кафедры высшей алгебры и теории чисел ЛГУ .

ПУБЛИКАЦИИ

По гек'в диссертации опубликовании две работы . ОБЪЕМ РАБОТЫ

Диссертация оостоит из введения , четырех глав разде- . ленных на 14 параграфов и списка литературы , содержащего 34 позиции . Диссертация занимает 120 страниц машинописного текста .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава носит вводный характер . В ной определяются основные понятия : К-когомологий §1. , Н-когомо-логий §2. , других аналогов гомологи!! для алгебраических многообразий 1§3. ) . Основные свойства этих понятий выводятся из немногих основных фактов „ 3 §3. 'освещаются известные связи между введенными понятиями . Самне существенные из них связанны о диаграммой

в которой Sp - эпиморфизм Милнора и lip - гомоморфизм норычн-ного вычета . Основный вопрос - существование еР и изоморф-ность всех трех гомоморфизмов . Кроме того отмечается аналогия с понятием кольца Витта охемы . В §4. коротко суммируются необходимые в дальнейшим результаты Р. Суона о К-теории квадрик и пекоторые сведения из K-теории простых алгебр .

Втсрая глава посвящена коникам . §5. содержит вычисление К-когомологий проективной коники X вплоть до Н°(X.Kg) и Н^(X,Kg) . В качестве приложения этих результатов , приводиться набросок доказательства Теоремы Гильбертз 90 для К2 и квадратичных расширений и следующее из нее теоремы Меркурьева и Суслина , а также другие необходимые в дальнейшим результаты A.A. Суслина , касающееся кручения в Kg поля . В §б. вычислены К-когомологии аффинных коник , кото-

jPp/jJHlp _ _ _ нРр

рые в принципе известны , но ни кем но опубликованны . Эти вычисления применяются для доказательства существования редуцированной нормы К3С —*■ К3Г для некоторых алгебр кватернионов С над полями рациональных функций Г . §7. содержит известные вычислении Н-когомологий и этальных ксгомологий коник , необходимые в дальнейшим .

Третьл глава , кроле некоторых общих свойств К-когомо-логиё многообразии и квадрик , в частности неопубликованных теорем Роста о H^iX.K^jJ d-мерной квадрики X , которым отведен §8. , содержит в §9. вычисление К-когомологий квадратичных поверхностьей . В §10. этой главы вычислены Н-кого-мологии и этальные когомологии проективной квадрики , определенной двухкратной формой Пфистера и ее аффинной части .

Глава четвертая посвяшена трехмерной квадрике Н , определенной в проективном пространстве ГРр уравнением

xQ2 - ах^2 - Ьх22 + аЬх32 - сх^2 = О

и ее аффинной части х4 ^ 0 . В §11. вычислении K-теория и К-когомологии квадрики К . В качестве птжмепения этих вычислений приводятся теоремы , полученные A.C. Меркурьевым и A.A. Суслиным и - независимо - М. Ростом , из которых для дальнейшего необходимы Теорема Гильберта 90 для Kg и квадратичных расширений и следствия из нее : изоморфность гомоморфизма нор.менного вычета к'^Г —* Н^Г , эпиморфизма Милнора Гд и инварианта Арасона еЗ, и вычисление 2-круче-ния в K3F . Кромме того проведен анализ действия гомомор-

физма прямого образа I, для включения ь гиперплоского сечения К : I, = О в л . Оказывается , что верш :

■4

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 11.6.2. б/ : {.t : Н°(Х,к£}—Н1 (И,!^^) явля-

ется изоморфизмом для р = 0,1,2 и вложенном в качестве прямого слагаемого при р = 3 .

ПРШ02ЕНИЕ 11.6.4. в/ : и : Н^ХД")—-

С помощью этих результатов в §12. вычислении К- и Н-когомо-логии аффинной квадрига А = Н \ X , и ее этальные когомологии . В §13. вычислении Н-когомологии и этальные когомологии квадрики Н . Вычислены фундаментальные классы циклов коразмерности 1 и 2 и сравнены фильтрации , возникавшие в когомоло— гиях из спектральных последовательностий Блоха-Огуза и Хохшильда-Серра . Это дает возможность доказать первый из основных результатов :

ТЕОРЕМА 13.2.6. Кег(Н4Г —- Н4Г(Н)) - (а,Ь,о)-Н1Г. В §14. выводим из этой теоремы следующий результат : ТЕОРЕМА 14.1. Пусть р а © <-с1.....-ок> - анизо-

тропная квадратичная форма и <х - нэнулевый элемент ядра гомоморфизма Н4!—>- Н4!^) . Тогда-: а/ °< = (а,Ь,1л,у) для некоторых ;

б/ о есть подформа формы ^а.Ь.к,\/>> , Из этой теоремы следует , что соответствие ^а.Ь.с.сЬ) I—* —> (а,Ь,с,с1) классифицирует четырехкратные Форш Пфистера (Следствие 14.1.4.) и

эпиморфизм для р = 1,2 ;

3 и 4.

- 10 -

ТЕОРКМЛ 14.2. Гомоморфизм е4 : I^/I5! —► , такой , что

ß4(g V<WW> + ^-givWV

корректно определен .

Применяемые методы , введение A.C. Меркурьевым , A.A. Сусли ним и М. Гостом , и некоторые усовершенствования , принадлежащие автору ( например метод вычисления дифференциалов спектральной последовательности Хохиильда-Серра ) отнюдь

не исчерпаны . Самое прямолинейное продолжение - вычисление

ООО о

К- и Н-когомологий аффинного конуса х0 - ах^ - Ьх2 + аЬх3

« 0 , которое вместе с результатами §12. дает возможность вычислить K^J - когомологии проективной квадрики , определенной формой ^.Ь.с)^ $ C-d) для р = 0,1,2 и 3 .

В заключение автор выражает глубокую и искренную благодарность A.A. Суслину , под руководством которого была выполнена эта работа .

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТШЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шыевски М. Пятый инвариант квадратичных форм // Доклады АН СССР 1989. Т. 308. Ä 3. С. 542-547.

2. Шыбвски М. Пятый инвариант квадратичных форм // Алгебра я анализ