Приложения дискретного эргодического метода к арифметике бинарных и изотропных тернарных квадратичных форм тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

2098

На правах рукописи

ПАЧЕВ Урусби Мухамедович

ПРИЛОЖЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО ЭРГОДИЧЕСКОГО МЕТОДА К АРИФМЕТИКЕ БИНАРНЫХ И ИЗОТРОПНЫХ ТЕРНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА - 2009

Работа выполнена на кафедре геометрии и высшей алгебры математического факультета Кабардино-Балкарского государственного университета

им.Х.М.Бербекова Официальные оппоненты:

Член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

БЫКОВСКИЙ ВИКТОР АЛЕКСЕЕВИЧ

доктор физико-математических наук,

профессор ГОЛУБЕВА ЕЛЕНА ПЕТРОВНА

доктор физико-математических наук,

профессор ГРИЦЕНКО СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

¿У /О

Защита состоится / -7__' _2009 г. в_ч.

на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Муравьева О.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы Арифметика квадратичных форм является одним из активно разрабатываемых разделов современной теории чисел. В настоящее время наибольший интерес представляет случай целочисленных тернарных квадратичных форм, поскольку к ним не применимы те аналитические методы, которыми удалось полностью исследовать случай квадратичных форм от четырех и более переменных. Важнейшие результаты в рассматриваемой тематике получили акад. Ю.В. Линник и его школа. Ю.В. Линник для изучения вопроса о представлении целых чисел тернарными квадратичными формами разработал своеобразный аналитико-алгебраический метод, использующий некоммутативную арифметику, и названный впоследствии дискретным эргодическим методом (ДЭМ). Проблема представления чисел тернарными квадратичными формами, поставленная Ю.В. Линником, и имеющая связь и с другими важными проблемами математики, еще далека от своего завершения, хотя в последнее время в этом направлении получен ряд новых результате! относящихся к случаю изотропных неопределенных тернарных квадратичны форм.

Цель работы: 1) полное завершение исследований по применению ДЭМ к вопросу о представлений целых чисел произвольной изотропной тернарной квадратичной формой; 2) исследование новых приложений ДЭМ в получении результатов, относящихся к арифметике бинарных квадратичных форм.

Общая методика выполнения исследований

В работе применяется матричный вариант ДЭМ.

Научная новизна

В работе имеются следующие новые научные результаты:

1. Получены эргодическая теорема и теорема перемешивания для потоков целых точек на изотропных гиперболоидах общего вида.

2. Получены асимптотические формулы для числа целых точек на изотропных гиперболоидах как по областям на них, так и по классам вычетов по заданному модулю, обобщающие ранее известные результаты в полном объеме.

3. С помощью ДЭМ получены новые асимптотические формулы для числа классов бинарных квадратичных форм заданного определителя с условием делимости первых коэффициентов на заданное число.

4. Получены новые асимптотические формулы для гауссовых родов бинарных квадратичных форм с условием делимости их арифметических минимумов.

Практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований в аналитической арифметике квадратичных форм, теории квадратичных полей и теории диофантовых уравнений и в ряде других областей математики.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции по теории чисел и ее приложениям (Тбилиси, 1985), Всесоюзной школе по конструктивным методам и алгоритмам теории чисел (Минск, 1989), на Международной конференции по алгебре и анализу (Казань, 1994), на международных конференциях по теории чисел (Тула, 1993, 1996, 2001, 2003), на VI международной конференции по теории чисел (Саратов, 2004), на семинарах по теории чисел МГУ.

Объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и занимает, включая библиографию, 189 страниц. Библиография содержит 95 наименований.

Содержание работы

Основными результатами диссертации являются доказательства эргодической теоремы и теоремы перемешивания для потоков целых примитивных точек в заданных областях на изотропных гиперболоидах общего вида и в классах вычетов по заданному модулю (теоремы 3.3 и 3.4, дающие полное обобщение исследований Ю.В. Линника и Б.Ф. Скубенко)", относящихся к случаю простейшей формы; доказательство асимптотической равномерной распределенности целых точек как по областям на поверхности изотропного гиперболоида, так и по классам вычетов по заданному модулю (теоремы 3.5 и 3.6), дающие полное решение вопроса о представлении целых изотропными тернарными квадратичными формами общего вида), доказательство эргодических теорем и асимптотической равномерной распределенности классов бинарных квадратичных форм по гауссовым родам (теорема 4.2), доказательство асимптотической формулы для числа классов гауссового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа (теорема 4.4), доказательство асимптотической формулы для числа классов положительных бинарных квадратичных форм с условием делимости произведения крайних коэффициентов (теорема 4.5), доказательство асимптотических формул для числа классов бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов на заданное число (теоремы 4.11-4.13, обобщающие и уточняющие соответствующие результаты Ю.В. Линника и Б.Ф, Скубенко).

Перейдем теперь к более подробному изложению содержания диссертации,

Первая глава носит предварительный характер и в основном посвящена арифметике матриц второго порядка - аппарату, существенно используемому при приложении ДЭМ к задаче представления целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами.

" Линник Ю.В. Эргодические свойства алгебраических полей. Главы V и VI. 1967.

В §1 этой главы приводятся стандартные сведения из теории бинарных квадратичных форм и алгебры матриц второго порядка и взаимосвязь понятий вектор-матрицы второго порядка и бинарной квадратичной формы, существенно используемая в ДЭМ.

В §2 излагается элементарная теория делимости матриц второго порядка, используемая в остальных главах при применениях ДЭМ.

Из теории делимости матриц наиболее существенным для ДЭМ являются предложение 1.10 о делении с остатком и предложение 1.12, представляющее собой матричный аналог основной теоремы арифметики для целых чисел.

В §3 даются основы теории поворотов вектор-матриц также существенно используемой в гл. III при приложении ДЭМ к простейшей форме

/о=*1*з-*а (О

и к изотропной форме общего вида, определяемой соотношением

Sf(xl,x2,x3) = /0 ^ Спхк >Е с2 А СзЛ j (2)

где 8 - некоторое целое число ckJ{k,j = 1,2,3) - целые числа; det(ej()^0.

Теория поворотов вектор-матриц позволяет строить потоки вектор-матриц аторого порядка, а значит и потоки целых точек на гиперболических поверхностях.

Частично теория поворотов вектор-матриц была развита Ю.В. Линником в цитированной выше работе и в полном виде в совместной работе [7] A.B. Малышева и автора. В теории поворотов вектор-матриц рассматриваются равенства вида

L' = WLW'1 (3)

где L,L'- целые вектор-матрицы одинаковой нормы тФ 0; W - целая 1евырожденная матрица, осуществляющая поворот L в V.

Последовательное выполнение преобразования вида (3) позволяет строить поток вектор-матриц второго порядка нормы га и соответствующих им точек гиперболоида -х\=т, лежащих в области приведения, причем этот поток состоит из г(ш) цепочек вектор-матриц длины s порядка log |m|, где r(m) - число целых точек в области приведения. Цепочки (траектории) потока целых примитивных точек гиперболоида можно разделить на две категории: «хорошие» цепочки (траектории), обладающие свойством эргодичности, приводящие к асимптотическому равномерному распределению целых точек на гиперболоиде и «плохие» цепочки, которых мало и оценивается о(г(ш)) (эта взаимосвязь подробно изложена в § 1, главы II на модельном примере в случае целых точек на сфере).

Наконец, в §4 гл. I приводится, полученное с помощью асимптотической формулы Е.В. Подсыпанина" предложение о делимости матриц большой нормы, используемое в гл. III и IV.

Глава II диссертации относится уже к ДЭМ и состоит из четырех параграфов.

В §1 рассматривается идея ДЭМ на модельном примере, относящемся к случаю примитивных представлений целых чисел суммой трех квадратов.

В гл. II (§§2, 3) изложены различные варианты ключевой леммы ДЭМ для вектор-матриц второго порядка, используемые при получении основных результатов гл. III и IV. Ключевая лемма, являющаяся центральной частью ДЭМ, ведет свое начало с замечательной работы Ю.В. Линника [9], где были заложены основы этого метода (и где, по-существу, доказан ослабленный вариант этой леммы для кватернионов).

Первоначальный вариант доказательства ключевой леммы ДЭМ, восходящий к идее Ю.В. Линника [9], использован в монографии [12] к

" Подсыпании Е.В. Зап. научн. сеиин. ЛОМИ. -1980. -Т. 93. -С. 30-40.

кватернионам (случай сферы) и к матрицам второго порядка (случай двуполостного и однополостного гиперболоидов), причем в последнем случае возникли затруднения, которые были преодолены Б.Ф. Скубенко своей теоремой о циклах неопределенных вектор-матриц второго порядка.

Другой подход, использующий элементарные эргодические соображения, намечен Б.М. Бредихиным и Ю.В. Линником" для изучения асимптотической геометрии решений уравнений Харди-Литтлвуда р+х2+у2=т, где р пробегает последовательность простых чисел.

В развитие ДЭМ дальнейший вклад внес также немецкий математик М.Петерс2', получивший оценки для числа представлений чисел положительными тернарными квадратичными формами общего вида.

Более завершенные исследования по применению ДЭМ к вполне положительным тернарным квадратичным формам в случае алгебраического поля проведены Ю.Г. Тетериным3).

После появления работы А.И. Виноградова и Ю.В. Линника4) появилась возможность дать другой вариант доказательства ключевой леммы ДЭМ. А именно A.B. Малышевым предложено новое доказательство ключевой леммы ДЭМ для кватернионов, не использующее теории поворотов Б.А. Венкова. Новый вариант ключевой леммы для кватернионов был использован в совместной работе автора и A.B. Малышева [8].

В дальнейшем автором [6] (см. гл. II, §2, предложение 2.1) доказана ключевая лемма ДЭМ для вектор-матриц второго порядка положительной нормы, используемая нами в гл. IV.

В §2 гл. II рассматривается также вариант ключевой леммы ДЭМ для вектор-матриц положительной нормы, который наиболее удобен при оценке

'' Бредихин Б.М., Линник Ю.В. Матем. сб. -1966. -Т. 71(1 !3). -№2. -С. 145-161.

!) Peters М. Acta arithm. -1977. -Bd. 34. -№1. -S. 57-80.

" Тетерин Ю.Г. Изв. АН СССР. -19S5. -Сер. матем. -Т. 49. -№2. -С. 393-426.

4) Виноградов А.И., Линник Ю.В. Докл. АН СССР. -1966. -Т. 168. -№2. -С. 259-261.

остаточных членов в эргодических теоремах, а также в теоремах равномерного распределения для целых точек на двуполостных гиперболоидах (см. [16]).

Пусть ¿¡ = <Ц(т), £[=£,(«»), г] = г}{т) -положительные функции аргумента т > О с условием

£(т),£,(»?),т7(т)->со при т-»со, а,а,, 0<«<а,<1 - вещественные постоянные. Следующее утверждение Z-Z{%,ri} = Z{Z,^,ri,a,ax} будем называть ключевой леммой ДЭМ типа {£,77}.

Утверждение. £,,?/,а,«,}. Пусть в кольце целых матриц второго порядка выполнены матричные равенства

/ + !,. = К,Т, (i = 1.....и), (4)

где L[,...,Ln, N{Lj) = m> О (/ = 1,...,и) - целые вектор-матрицы нормы иг > 0, и пусть выполнены условия

1

n»r(m)m №0, (5

1

НОД (/»,£) « тМт), (6)

{г(т)Т «съ{к)«{г{т)}а\ (7)

где г(т) - число целых приведенных примитивных вектор-матриц нормы т, ай(к) - число неассоциированных справа матриц нормы к.

Обозначим через w число неассоциированных справа матриц Ки...,Кпъ равенствах (4). Тогда

__¡_

w»cr0(A>~"(m)|, (8)

где постоянные, входящие в оценку (8), зависят только от а,а{ и постоянных, входящих в оценки (5)-(7).

Для оценки остаточных членов в получающихся асимптотических формулах необходимо привлекать некоторые гипотезы о поведении I-функции Дирихле,

существенно более слабые, чем расширенная гипотеза Римана. Отметим, что исследования Ю.В. Линника, Б.Ф. Скубенко и Е.П. Голубевой" по проблеме распределения целых точек на гиперболических поверхностях проведены при сходных предположениях. В связи с этим отметим также, что

В.А. Быковский2' с помощью спектральной теории автоморфных функций получил безусловное степенное уточнение остаточного члена в асимптотической формуле для числа целых точек на двуполостном гиперболоиде 4xy-z2=D, когда D делится на достаточно большой квадрат натурального числа.

Пусть х = Х(к) - вещественный характер Дирихле, имеющий наименьший модуль среди характеров, для которых

%(к) = > если НОД (к,2т) = 1, (здесь ~ символ Кронекера), L(s,x) есть ¿-функция Дирихле, определяемая рядом

Обозначим

где

Цт) = 1(1.*) =1 т Г'(""»| т Г""'1,

log щ,х)

1{т) - -

log | m |

Т(т) = тах] -— 1 ,/(т)

Следующие две гипотезы для ¿-функции Дирихле используются в гл. IV в доказательствах асимптотических формул с остаточными членами.

' Голубева Е.П. Матем. сб. -1984, -Т. 123. -№4. -С. 510-533.

2) Быковский В.А. Зап. научн. семин. ЛОМИ. -1985. -Т. 144. -С. 5-20.

Гипотеза (7Q- При | т оо

1{т)«

loglog \т\

Гипотеза (Т). В области

|®-1|<

(loglog | от I)2 logloglogl т |

комплексной переменной л при достаточно больших т нет нулей На следующей ключевой лемме типа {£,?/} (см. [16]) основаны доказательства основных результатов гл. IV §2; 5.

Теорема 2.1. (ключевая лемма типа {%,>]}). Для любых £(т) —»оо и £(тл)-»оо при да —>со и любых а,**,, 0 < а < а, < 1 имеет место ключевая лемма у,а,а,) типа {£77}, где

при этом с > 0 - некоторая постоянная.

Отметим, что доказательство ключевой леммы для случая даже простейшего однополостного гиперболоида, довольно сложно (см. исследования Б.Ф. Скубенко о циклах приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм), что значительно затрудняло применение ДЭМ к произвольным изотропным тернарным квадратичным формам. Ввиду этого и в связи с полным решением в гл. III с помощью ДЭМ задачи об асимптотике числа представлений целых чисел произвольной целой изотропной тернарной квадратичной формой мы будем использовать новый вариант ключевой леммы для вектор-матриц второго порядка, полученный A.B. Малышевым и Б.М. Широковым'' и охватывающий оба случая гиперболоидов.

" Малышев A.B., Широков Б.М. Вестн. Ленингр. ун-та. -1991. -Сер. 1. вып. 2. -С. 34-40.

77 = 7](т) =

1

2 12с+ 1 14 11,2с

___I____I. »

+ .---+ —--+

+ 21 (т)

4(т) 2 £,(«) log log те (и) log log те

Основной результат главы II представляет собой полученное в [11] уточнение ключевой леммы для вектор-матриц второго порядка.

В кольце М = М2 [Ъ) целых матриц второго порядка рассматриваем матричные равенства

1 + Ь1=В,и„ = /=1.....г, (9)

, г = г(т) - все приведенные собственно примитивные вектор-матрицы нормы т; ц - нечетное число; Д. - целая примитивная матрица, а I/, - целая матрица.

Тогда имеет место:

Теорема 2.3. (об уточнении ключевой леммы). Пусть среди матричных равенств (9) произвольно выбраны г' равенств

/ + 1,=В,!/,(/ = 1.....г'), (Ю)

где I - целое число с условием

12 +т = 0(тоёЬ),

причем Ь — д', где д>\- нечетное число; л - целое число, для которого

„ 1ОЕ|тя| 1ое | т |

* О V С1

logg 1 logg

здесь с, = с2 > 0.

Пусть - число неассоциированных справа матриц В1, которые встретятся в равенствах (10). Тогда, если

с 1оёИ

г'» г(т) ■ 2~|ов1о8|'п| , где с > 0 - некоторая постоянная, то при | т со

с'1овМ

м>» ЬЬ(Х,х)' 2_|0е1081'"1, (11)

где с' = 4с + 2; постоянные, входящие в (11), зависят только от д и с2.

Основные результаты диссертации содержатся в гл. III и IV.

Глава III диссертации, состоящая из краткого введения и четырех параграфов и написанная на базе статей [1, 9], посвящена полному решению с помощью ДЭМ задачи об асимптотике числа представлений целых чисел произвольной целой изотропной тернарной квадратичной формой (см. ниже теоремы 3.5 и 3.6).

Первый основной результат диссертации представляет собой эргодическая теорема 3.3 для потоков целых примитивных точек на изотропном гиперболоиде, на которой базируется полное решение вопроса о представлении целых чисел изотропными неопределёнными тернарными квадратичными формами.

Теорема 3.3 даёт полное обобщение результатов Ю.В. Линника (гл. 5 и 6), Б.Ф. Скубенко, A.B. Малышева и самого автора [9]. Сформулируем эту теорему, чтобы сопоставить её с результатами перечисленных авторов.

Теорема 3.3 (эргодическая теорема для потоков целых точек на изотропно: гиперболоиде)

Пусть Gf - род примитивной изотропной тернарной квадратичной формы /=/(;С|,х2,х3), имеющей вид

f 3 3 3 1 4ft-i /¡=1 ь 1 )

где сц е Z, det(c(y) = w > 1, 8ф 0 - целое число, причем / принадлежит набору представителей /¡,/2,...,/„ рода Gf; /0(х,,х2,х3) =

Пусть q>3 - простое число, meZ, ~J\m\gQ, g,bi,b2,b3 - целые числа, удовлетворяющие условиям

H.O.fl.(w,wgg) = l, mode-js), Н.О,Д(ЪиЪг,Ъг,2) = \,

ДЬ|АА)Н

■ 8m^

<7

Пусть Ajr,,, - ограниченная квадрируемая область на поверхности гиперболоида

/(х,,х2)х3) = т, т*0 (12)

с /-гиперболической площадью Л = А(Л f m) > 0. Рассмотрим часть х\ потока xAm>Gj>u) примитивных точек поверхности (3.18), состоящую из г' цепочек длины s »log | т \.

Тогда, если при | т |—> со г'» г(6т) \8т |"с, где г(8т) - число примитивных приведенных бинарных квадратичных форм определителя 5т, то цепочки

(*{кЛ), /<») -> (*<W),/,»,) ^ •• ./,<*,), (13)

' 1 <2 '.V

(к = 1,...,/) можно разбить на две категории:

а) «хорошие» эргодические цепочки, для которых

н

>\- = АА) =

=#(/1 ] = \,...,зЩ) еЛ,,,,^1 н^ЛАХ™^))-

-1-(14)

где р(8/,8т- число решений сравнения = £?яг(тос1£); Л0 -

полный /-гиперболический телесный угол на поверхности гиперболоида (12)

б) «плохие» цепочки в количестве оО-'). для которых не выполняется (14);

постоянные, входящие в (14), зависят только от и Л = Д . Л, т.

VI т I

Эргодическая теорема 3.3 для целых точек на изотропном гиперболоиде в частных случаях при £ = 1 и ¿> = 1 и / =/„ =х,.г3 -х, дает соответствующие результаты Ю.В. Линника и Б.Ф. Скубенко, а при 8 = 1 и когда форма / имеет

сигнатуру [1, 2] (случай двуполостного гиперболоида) из нее получается результат A.B. Малышева".

На важность рассмотрения эргодических теорем в аналитической теории чисел указывал еще Ю.В. Линник, поскольку помимо их самостоятельного интереса из них как частный случай следуют теоремы об асимптотически равномерном распределении целых точек в смысле соответствующей меры на алгебраических многообразиях, а в применениях к алгебраическим числовым полям такие теоремы дают представление об эргодическом поведении идеалов последовательности алгебраических полей данной степени.

Теорема 3.3 обобщает также результат автора [11], опубликованный в кн. «Актуальные проблемы теории чисел», МГУ, 2002 на случай изотропных тернарных форм произвольного рода, используя при этом построение потока точек не на отдельном гиперболоиде, а на роде изотропных гиперболоидов.

Из эргодической теоремы 3.3 следует так называемая теорема перемешивания для целых точек, занимающая промежуточное положение между эргодической теоремой и теоремой об асимптотической равномерной распределенности целых точек на изотропных гиперболоидах общего вида.

Более того, теорема перемешивания дает усиление теоремы об асимптотическом равномерном распределении целых точек как по областям на поверхности изотропного гиперболоида, так и по классам вычетов по заданному модулю.

В подтверждение сказанного приведем формулировку этого второго основного результата диссертации.

Теорема 3.4. (теорема о перемешивании)

В обозначениях и условиях теоремы 3.3 индексы j = l,...,s в цепочках (3.19; можно разбить на две категории:

« Малышев A.B. Зап. научн. семин. ЛОМИ. -1980, -Т. 93. -С. 5-24.

а) "хорошо перемешивающие" индексы j, для которых

= #|/c = l)...,r'j/(,„ - f,x{k,i) eA/ m,x{k,j) s (b^b^bjXmodg)]-

(15)

б) "плохие" индексы j в количестве o(s), для которых не выполняется (15). Смысл теоремы 3.4 состоит в том, что число целых точек .v,i ') на изотропном гиперболоиде, содержащихся в j-ом «сечении» цепочек (13)

(коэффициент пропорциональности указывается в (15)).

Теорема 3.4 о перемешивании является более общей теоремой распределения целых примитивных точек на изотропном гиперболоиде, т.к. из нее уже непосредственно выводится теорема об асимптотически равномерном распределении целых точек на таком гиперболоиде как по областям на его поверхности, так и по классам вычетов по заданному модулю. Действительно, фиксируя в теореме 3.4 «хорошо перемешивающий» индекс у, и применяя ее к потоку (13) и к множеству примитивных точек изотропного гиперболоида, отображающихся в область приведения на простейшем гиперболоиде ]Г ^ ы и обозначая ;•(/,«?)=# 2\т, то с учетом инвариантности множества

относительно операции Т, производящей повороты целых примитивных точек в цепочках потока (13), получаем следующие основные результаты (теоремы 3.5 и 3.6) об асимптотически равномерном распределении целых точек на изотропном гиперболоиде из статьи [1].

Теорема 3.5. (о равномерном распределении целых точек на изотропном шерболоиде).

пропорционально числу г' цепочек в этом потоке, если

В условиях теорем 3.3 и 3.4 пусть г(А/т^,ЬиЬ2,Ь3)- число всех целых примитивных точек (х1,х2,х}) на изотропном гиперболоиде £/щ, удовлетворяющих условиям

(1,,1,,х3)бЛ/д, (xl,x2,x3) = (bl,b2,b3)(modg).

Тогда при |/я| -> оо

ribfj.wgA.W ~ j- 1 /С/,и), (16)

где Я = Я(А/т)> 0 - /-гиперболическая мера (площадь) области Л/ш; Л0 -полный /-гиперболический телесный угол; p{Sf,Sm\g) - число решений сравнения <^(Ar1>x1,A-3)s5in(modg); r(/,m)=#Z',„,; постоянные, входящие в

асимптотическую формулу (16), зависят только от q, g, S и А = -Д= Л, .

VIт I

Теорема 3.5 обобщает результаты Ю.В. Линника (случай / = /0 -хг2. т> О, <5=1, g=l), Б.Ф. Скубенко (случай / = /„, т<0, 5=1, g = l) A.B. Малышева (случай <5 = 1, двуполостный гиперболоид, g - любое нечетно( число, взаимно простое с т) и его учеников Нгуен Нгор Гой1' и Карпова А.Н.2) (случай т > 0, т.е. только двуполостного гиперболоида).

Успех в получении полного решения вопроса о представлении целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами общего вида связан в первую очередь с использованием соотношения, характеризующего любую изотропную форму, а также с нашим построением потока примитивных точек на наборе гиперболоидов рода Gf изотропной тернарной квадратичной формы

/ и наконец, с использованием ключевой леммы дискретного эргодического

" Малышев A.B., Нгуен Нгор Гой. Зап. научи, семин. ЛОМИ. -1983. -Т. 121. -С. 83-93. 11 Карпов А.Н. Зап. научи, семин. ЛОМИ. -1986. -Т. 151. -С. 66-67.

метода (ДЭМ) для вектор-матриц второго порядка любой нормы т * о, охватывающей оба случая простейших гиперболоидов.

Другой вариант теоремы 3.5, имеющий более развернутый вид, получен нами также независимо от рассуждений, использованных в доказательстве теоремы 3.5 (см. [1]).

Теорема 3.6. В условиях теорем 3.3 и 3.4 пусть /•(ЛЛт;£,61>62,Ь3) - число

всех целых примитивных точек (х,,х2,х3) на изотропном гиперболоиде ,

удовлетворяющих условиям

(х1,х1,х3) е Л/т, (xi,x2,xi) = (bi,b2,b2)(modg). (17)

Тогда при |т\ ю

г(^/,т>Я>8АА'Ьз) ~ 1--7-, \ ччКДи). (18)

Л0

(^т

- 5т

1 + Л

\

где равно числу решений (х1,х2,х3)(пк^м') сравнения

( 3 3 3 ) для которых точки ^с[1х1,'^сьхп'^с21х1 различны (тоён^), г(5т) -

V 1=1 <=1 /=1 ) число приведенных примитивных бинарных квадратичных форм определителя

дт; постоянные, входящие в (18), зависят только от и Л = -¡== А, .

VI и I

Эти две основные теоремы 3.5 и 3.6, результаты которых содержатся в статье [1], дают полное решение вопроса об асимптотике числа примитивных представлений целых чисел произвольной целой изотропной формой как по областям на соответствующей гиперболической поверхности так и по классам

вычетов по заданному модулю (исследованного другими специалистами не в самом полном виде).

Из зарубежных специалистов по квадратичным формам исследования по представлению чисел неопределёнными тернарными квадратичными формами проводил американский математик W. Duke", который, опираясь на результаты H.Iwaniec21, получил степенное понижение остаточного члена в асимптотической формуле для распределения целых точек только на простейшем двуполостном гиперболоиде л,л-3 -x\=m, т +°э. Но как показано в работе Е.П. Голубевой3' из результатов W. Duke невозможно вывести такой же закон распределения целых точек даже на простейшем однополостном гиперболоиде. При этом отметим также, что в работе W. Duke не рассматривалось распределение целых точек простейшего гиперболоида по арифметическим прогрессиям.

Всё это свидетельствует в пользу того, что ДЭМ ещё не исчерпал своих возможностей.

Перейдём теперь к описанию основных результатов главы IV диссертации, в которой содержатся новые применения ДЭМ к аналитической арифметике бинарных квадратичных форм. Что касается основных результатов главы IV, то такие асимптотические результаты не были получены или нашими, или зарубежными специалистами.

Первый основной результат этой главы представляет собой теорема перемешивания для гауссовых родов положительных бинарных квадратичных форм заданного определителя т. Чтобы ее получить строим поток классов гауссового рода через поток соответствующих им вектор-матриц нормы ш >0:

(19)

"Duke W. Invent, math. -1988. -V. 92. -Jftl. -P. 78-90.

21 Iwanicc H. Invent, math. -1987. -V. 87(2). -P. 385-401.

31 Голубела Е.П. Зап. научн. семин. ПОМИ. -1988. -Т. 254, -С. 28-55.

где к = h(-m) - число классов положительных бинарных

квадратичных форм определителя т; t - число гауссовых родов.

Сделаем нужные обозначения, прежде чем сформулировать основной результат второго параграфа главы IV.

Обозначим через G множество всех приведенных собственно примитивных вектор-матриц второго порядка нормы т> О, образы которых лежат в гауссовом роде G бинарных квадратичных форм определителя т. Тогда под потоком xa(G\q,u), отвечающим числам m,q,u и множеству G, понимаем М—уп)

совокупность ——— последовательностей (цепочек) (19) длины s целых

приведенных вектор-матриц второго порядка нормы т, которые строятся тем же способом, что и в главе III, но с той лишь разницей, что используемое вспомогательное число д считается квадратом нечетного числа. Введем в

зассмотрение функцию у(т) = + Ч. /1о&1(т) t

л/Я V т)(т)

где q(m) - некоторая функция, зависящая от L - функции Дирихле 1(1,/),

г! \

определяемой рядом Щ,X) - 2j"77~ > Res > 1.

ы ^

(точный вид функции г/(т) дается равенством (2.22) гл. II). Сначала доказывается эргодическая теорема 4.1 для классов гауссового рода, из которой выводится следующий основной результат §2, гл. IV (см. [5]). Теорема 4.2 (о перемешивании для гауссовых родов). Пусть т(т) > 2 -

неубывающая функция такая, что т(т) = о(у(т)) и G'c.G ~ множество приведенных собственно примитивных вектор-матриц Ьк нормы m (соответствующих приведенным формам гауссового рода) с числом элементов

по§ т

где е ^ 2 - заданное число.

Тогда индексы _/ = !,...,.? в цепочках потока (19) можно разбить на две категории:

а) «хорошо перемешивающие» индексы /, для которых

ь2 -ь^

\ьз -А у

= #\к\к = \,...,к', ТЬк =

2 1

(тос1я)| =

И(\ + 0{т{т)у{т))), (21)

К Р(Е>т)

б) «плохие» индексы], общее число которых

« —^—л1, (22)

т(т)

для которых не выполняется (21); постоянные, входящие в (21 и 22), зависяа от ц и е.

Как частный случай из теоремы 4.2 о перемешивании получается асимптотическая формула с остаточным членом для числа Ьд(Ат^,Ь]гЬ2,Ь}) классов гауссового рода в бинарных квадратичных форм определителя т, представители которых (х,,х2,х3) удовлетворяют условиям

(х,, х2, х3) е Лт, (х,, х2, х3) = (6,, Ь2, ¿з )(тос1 .

Полученная формула для й0(Аш^,61,й2,63) обобщает часто цитируемый зарубежными специалистами результат Ю.В. Линника11 для случая §=1.

Следующим основным результатом главы IV является теорема 4.4, описывающая асимптотическое поведение числа классов гауссового рода,

" Линник Ю.В. Докл. АН СССР. -1956. -Т. 8. -№б. -С. 1018-1021.

арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа (см. [3]).

Теорема 4.4. Пусть т > 3 и ц > 0 - целые числа, причем НОД (<у,2?и) = 1 и

/ \ ■т

= 1. р\ч (23)

ч Р

для всех простых делителей р числа д.

Обозначим через /г, (—число классов целочисленных положительных бинарных квадратичных форм гауссового рода О определителя т, арифметический минимум которых делится ш q2.

Тогда при т —> со

иг г 2"(?) К-т)

^(-т&л )---т-гг——~> (24)

а0(д ) г

где у(д) - число различных простых делителей числа q; постоянные, входящие в асимптотическую формулу (24), зависят только от д.

Частный случай нашего результата при д = рн, где р - простое число, был ранее получен Ю.В. Линником. Результат теоремы 4.4 относится к малоизученному интересному на наш взгляд вопросу о величине й,(-т когда арифметический минимум классов гауссового рода в делятся на произвольное заданное нечетное число q.

Предполагаем, что в общем случае будет иметь место асимптотика 2 "(«> А(_ОТ)

Ь{{-т\0,д)--5----—1 при любом нечетном д.

) *

Вполне возможно, что теорему 4.4 не удастся доказать другими аналитическими методами, используемыми в арифметике квадратичных форм.

Следующий основной результат диссертации, опубликованный в [4], значительно расширяет возможности приложения ДЭМ к арифметике бинарных квадратичных форм. Он касается асимптотического поведения числа

бинарных квадратичных форм с условием делимости произведения крайних коэффициентов на заданное нечётное число (см. [4]).

Теорема 4.7. Пусть т > О - целое число, - взаимно простые нечетные числа, НОД(^,т) = 1, 6,, ¿>2 А - целые числа, удовлетворяющие условиям Ъ,Ъъ-Ъ\ а/и(то(1£), НОД(6,,62,63,2) = 1,

,,и2,и3 /

- т

= 1 для всех p\q.

Пусть Л„, - ограниченная квадрируемая область на поверхности двуполостного гиперболоида х{х3 -х2 = т, т> 0 с /0 -гиперболическим телесным углом. Обозначим через число классов

собственно примитивных положительных бинарных квадратичных форм определителя т, представители (х\,хг,х3) которых удовлетворяют условиям (л:,,,х3) е А„,, {хх,х2,) э (¿>,,Ъ2,63)(тос1 g),xxx■¡ = 0(тос1 ц).

Тогда при т оо

Л 2"(,)г(д)

Лп

1 +

\

- т Р ,

-М-т),

(25,

где - число делителей числа ;

постоянные, входящие в асимптотическую формулу (25), зависят только от q, g и центральной проекции Лл1=-^=Л,„ области Л,„ на нормированный

У 772

гиперболоид.

Результат теоремы 4.7 дает решение в частном случае п=2 поставленного Ю.В. Линником общего вопроса о существовании решений одной системы

диофантовых уравнений специального вида, удовлетворяющих предписанным сравнениям по модулю q.

Наконец, в § 5 главы IV подводится итог изучению асимптотического поведения числа приведённых целочисленных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов на заданное число (основные результаты опубликованы в [2]).

Впервые исследования по асимптотическому подсчёту числа классов положительных бинарных квадратичных форм с указанным условием были проведены Ю.В. Линником в связи с приложениями ДЭМ к вопросу о представлении целых чисел неопределёнными тернарными квадратичными формами.

Основными результатами главы IV являются теоремы 4.11 - 4.13, которые обобщают и уточняют результаты Ю.В. Линника и Б.Ф. Скубенко.

Теорема 4.11. Пусть т Ф О - целое число, т \ д>0 - целое число,

Обозначим через Ту(т,д) число целочисленных приведенных бинарных квадратичных форм определителя т, первые коэффициенты которых делятся на заданное нечетное число Тогда при

где К?) - число различных простых делителей числа ц; постоянная входящая в символ О, зависит только от ц.

Частным случаем теоремы 4.11 являются результаты Ю.В. Линника и Б.Ф. Скубенко при = рк, где р - нечетное простое число.

2"(«>

(26)

Следующие два основных результата для величины Т{(т,д) с остаточными членами основаны на гипотезах о поведении Ь -функции Дирихле.

Теорема 4.12. В условиях теоремы 4.11 пусть выполнена гипотеза ("К), т.е.

1(т)«

loglog | от

■. Тогда при | т |-> оо

2Hq) I ( 7;(и1?) = __-^Т{т)\\ + 0

<?П

/'I?

. р)

logloglog[wl loglog I я? I

(27)

постоянные, входящие в (27), зависят только от д.

Теорема 4.13. Пусть в условиях теоремы 4,11 выполнена гипотеза (Т), т.е. I

области и-1|< ('ое'°ё|^1)МоЁ1оВ1о5И л/'°81 т I

Ь{з,х) ■ Тогда при | т |-> оо

комплексной переменной s нет нулей

2"(<г>

T\(m,q) =-7--тгТ(т)'

<?П

А

1 +

1 + 0

{ \

v; 1 (logjmir

(28)

постоянные, входящие в (28), зависят только от q.

Используемые в этих теоремах гипотезы, представляют собой ослабления расширенной гипотезы Римана для ¿-функции Дирихле.

Заметим также, что безусловные оценки остаточных членов для 7j(m,g), если не считать оценки (26), до сих пор не установлены, хотя в работе W. Duke получена безусловная оценка остаточного члена со степенным понижением : асимптотической формуле для числа целых точек на простейшем двуполостном гиперболоиде.

Но до сих пор результат Дьюка не распространён на T^(m,q).

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих

публикациях:

1. Пачев У. М. Представление целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами [Текст] // Известия РАН, Серия Математическая. -2006. -Т. 70. -№3. -С. 167-184.-1,12 п. л.

2. Пачев У. М. Об асимптотике числа приведенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов [Текст] // Сибирский математический журнал. -2007. -Т. 48. -№2. -С. 376-388,0,81 п. л.

3. Пачев У. М. О числе классов гауссового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа [Текст] // Математические заметки. -1994.-Т. 55. -№2. -С. 118-127.- 0,62 п. л.

4. Пачев У. М. Асимптотическое распределение классов положительных бинарных квадратичных форм с условием делимости коэффициентов [Текст] //Фундаментальная и прикладная математика. -2005. -Т. 11. -№6. -С. 123-130.- 0,5 п. л.

5. Пачев У. М. Эргодические свойства потоков классов положительных бинарных квадратичных форм в гауссовых родах [Текст] // Записки научных семинаров. ПОМИ РАН. -1997. -Т. 236. -С. 149-161. -1,2 п. л.

6. Пачев У. М. О распределении целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах [Текст] // Записки научных семинаров. ЛОМИ. -1980. -Т. 83.-С87-141.- 4,3 п. л.

7. Пачев У. М. Об арифметике матриц второго порядка [Текст] / Пачев У. М., А.В.Малышев // Записки научных семинаров. ЛОМИ. -1980. -Т. 83. -С. 41-86. - 3,6 п. л. (авт. вклад 70%).

8. Пачев У. М. О представлении целых чисел положительными тернарными квадратичными формами (новый вариант дискретного эргодического метода) [Текст] / Пачев У. М., А.В.Малышев // Записки научных семинаров. ЛОМИ. -1979. -Т. 82. - С. 33-87,- 3,4 п. л. (авт. вклад 50%).

9. Пачев У. М. Эргодические теоремы и теоремы перемешивания для потоков целых точек на некоторых изотропных гиперболоидах [Текст] // Актуальные проблемы теории чисел. -2002. -ч.Ш. -МГУ. -С. 133-151 -1,2 п. л.

10. Пачев У. М. О числе приведенных целочисленных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов [Текст] // Чебышевский сборник. -2003. -Т. 4. -№3(7). - С. 92-105. - 0,8 п. л.

11. Пачев У. М. Об уточнении ключевой леммы дискретного эргодического метода для вектор-матриц второго порядка [Текст] // Чебышевский сборник. -2004. -Т. 5. -№2(10). -С. 89-97,- 0,5 п. л.

12. Пачев У. М. Асимптотическое распределение гауссовых родов [Текст] // Автоморфные функции и теория чисел. Межвузовский сборник. -1987. -С. 3240. - 0,5 п. л.

13. Пачев У. М. О числе классов целочисленных положительных бинарных квадратичных форм, арифметический минимум которых делится на заданное число [Текст] / Пачев У. М., А.В.Малышев// Алгебра и теория чисел. -1979. -№4. -С. 53-67. - 0,95 п. л. (авт. вклад 70%).

14. Пачев У. М. Об остаточных членах в эргодических теоремах для целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах [Текст] / Пачев У. М., А.В.Малышев// Аналитическая теория чисел, Межвузовский сборник. -1986. -С. 32-40,- 0,32 п. л. (авт. вклад 80%).

15. Пачев У. М. Об остаточных членах в эргодических теоремах для потоков в гауссовых родах [Рукопис.] // Деп. ВИНИТИ. -1992. -№ 3246. -С. 29. - 1,8 п.л.

16. Пачев У. М. Эргодические свойства целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах [Рукопис.] / Пачев У. М., А.В.Малышев// Деп. ВИНИТИ. -1984. -№6127. - С. 43,- 2,7 п. л. (авт. вклад 80%).

17. Пачев У. М. Эргодическая теорема для целых точек на двуполостных гиперболоидах [Текст] // Структурные свойства алгебраических систем. -1981, -С. 84-90.-0,4 п. л.

18. Пачев У. М. Эргодические свойства целых точек на двуполостных гиперболоидах рода [Текст] / Пачев У. М., А.В.Малышев// Тезисы

докладов всесоюзной конференции.-Тбилиси: 1985.-С. 147-149,-0,19 п.л. (ант. вклад 50%).

19. Пачев У. М. Асимптотическое распределение классов бинарных квадратичных форм по гауссовым родам [Текст] // Тезисы докладов всесоюзной конференции. -Тбилиси: 1985. -С. 197-198. - 0,12 п. л.

20. Пачев У. М. Об остаточном члене в асимптотической формуле для гауссовых родов [Текст] // Тезисы докладов всесоюзной школы. -Минск: 1989. -С. 118.- 0,06 п.л.

21. Пачев У. М. Эргодическая теорема для потоков классов бинарных квадратичных форм в гауссовых родах [Текст] // Тезисы докладов международной конференции. -Тула: 1993. - С. 126. - 0,06 п.л.

22. Пачев У. М. Теорема о перемешивании для гауссовых родов [Текст] // Тезисы докладов международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева. -Казань: 1994. -С. 74-75. - 0,12 п. л.

23. Пачев У. М. О числе классов положительных бинарных квадратичных форм с некоторым условием делимости коэффициентов [Текст] // Тезисы докладов III международной конференции, -Тула: 1996, -С. 113. - 0,06 п.л.

24. Пачев У. М. Эргодическая теорема для потоков целых точек на некоторьо гиперболоидах [Текст] II Тезисы докладов IV международной конференции

посвященной 180-летию П. Л. Чебышева и 110-летию И.М. Виноградова. -Тула: 2001.-С. 91-92.-0,13 п. л.

25. Пачев У. М. О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов [Текст] // Тезисы докладов V международной конференции. - Тула: 2003. -С. 176-177. - 0,13 п. л

26. Пачев У. М. Об асимптотике с остаточным членом для числа бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов [Текст] // Тезисы докладов VI международной конференции, посвященной 100-летию Н.Г. Чудакова. - Саратов: 2004.-С. 90-91. - 0,12 п. л.

Подп. к печ. 09,07.2009 Объем 1.75 п.л, Заказ №. 163 Тир 100 экз.

Типография МПГУ

2008157312

2008157312

Введение.

ГЛАВА I. Сведения из теории бинарных квадратичных форм и арифметики матриц второго порядка.

§ 1. Бинарные квадратичные формы и алгебра матриц второго порядка.

§ 2. Об арифметике кольца целых матриц второго порядка.

§ 3. Теория поворотов вектор-матриц второго порядка.

§ 4. О матрицах второго порядка большой нормы.

ГЛАВА II О дискретном эргодическом методе. Ключевая лемма.

§ 1. Идея метода на модельном примере.

§ 2. Ключевая лемма ДЭМ для вектор-матриц второго порядка случай двуполостного гиперболоида).

§ 3. Ключевая лемма для вектор-матриц второго порядка(общий случай) и ее уточнение.

ГЛАВА III. Представление целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами (приложение ДЭМ).

§ 1. Введение.

§ 2. Построение потока и эргодическая теорема для целых примитивных точек на простейшем изотропном гиперболоиде.

§ 3. Эргодическая теорема для примитивных точек на изотропных гиперболоидах.

§ 4. Теорема перемешивания и равномерное распределение целых точек на изотропном гиперболоиде.

ГЛАВА IV. Приложения дискретного эргодического метода к арифметике бинарных квадратичных форм.

§ 1. Введение.

§ 2. Эргодические свойства потоков классов положительных бинарных квадратичных форм в гауссовых родах.

§ 3. О числе классов гауссового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа.

§ 4. О числе классов положительных бинарных квадратичных форм с условием делимости произведения крайних коэффициентов.

§ 5. Об асимптотике приведенных целочисленных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов. 166 Литература.

Предлагаемая диссертация посвящена завершению исследований по приложениям дискретного эргодического метода (далее для краткости ДЭМ) к вопросам асимптотического распределения бинарных квадратичных форм и целочисленного представления чисел изотропными тернарными квадратичными формами. Основы этого своеобразного аналитико-алгебраического метода, используемого в нашей работе, были заложены академиком Ю.В. Линником [24,28] для изучения распределения целых точек на сфере х2 + у2 + z2 =п и на гиперболоиде xy — z2 - п, где п - растущий целочисленный параметр (см. также [33,34]). К этим основным статьям следует еще присоединить заметку Ю.В. Линника [30], развивающую результаты [28], а также его же работы [29,32,62], содержащие некоторые дополнения к [28,30].

В дальнейшем ДЭМ развивал A.B. Малышев сначала совместно с Ю.В. Линником применительно к положительным тернарным квадратичным формам [35], затем самостоятельно [38,39] и со своими учениками (см., напр., [71,1,42]). Важные исследования по применению ДЭМ к изучению асимптотического распределения целых точек на однополостном гиперболоиде ху- z2 =п, п<0 проводил Б.Ф. Скубенко [51, 52].

Другой подход, использующий элементарные эргодические соображения, намечен Б.М. Бредихиным и Ю.В. Линником [2,3] для изучения асимптотической геометрии решений так называемого уравнения Харди

Литтлвуда р + х~ + у~ = т, где р пробегает последовательность простых чисел.

В развитие метода дальнейший вклад внес также М. Петере [68], соединивший ДЭМ с теорией спинорных родов, что позволило ему получить теорему о существовании представлений чисел (но без асимптотики, а только оценки) рациональными положительными тернарными квадратичными формами общего вида, при этом ДЭМ применялся в [68] к произвольным родам положительных тернарных квадратичных форм.

Более завершенные исследования по применению ДЭМ к вполне положительным тернарным квадратичным формам в случае алгебраического поля проведены Ю.Г. Тетериным [53, 54].

Первые исследования по применениям ДЭМ к неопределенным тернарным квадратичным формам (случай, к которому относится наша диссертация) принадлежат Ю.В. Линнику [28] (предварительные сообщения [26, 27]); статья [28], по существу, воспроизведена в монографии [33], гл. V. Некоторые дополнения к результатам [28] содержатся в заметках Ю.В. Линника [3032, 62] (см. также [72]). В этих статьях рассматривается простейшая неопределенная тернарная квадратичная форма о 5 Х2' Х3 ) = Х2 0 ) и изучается вопрос о распределении целых точек (д:,,*,,;^) по областям на двуполостном гиперболоиде

0(х1,х21х3) = т, т> 0. (2)

Заметим, что форма /0(х,,х2,х3) представляет нуль нетривиально, в связи с чем в дальнейшем будем ее называть простейшей изотропной тернарной квадратичной формой, а поверхность /0(х1,х2,х3)-т, тФ 0 - простейшим изотропным гиперболоидом.

В [28] доказано, что при т —» оо целые точки распределены по поверхности простейшего изотропного гиперболоида (2) асимптотически равномерно в смысле соответствующей гиперболической метрики (метрики Лобачевского). Аналогичные результаты в случае однополостного гиперболоида о (*1 , Х2 >Хз) = т > }П < 0 • (3) были получены Б.Ф. Скубенко [52] (предварительное сообщение [51]).

Указанные результаты Ю.В. Линника были уточнены и обобщены в кандидатской диссертации автора [75] на изотропные тернарные квадратичные формы специального вида, а именно формы /, содержащейся в форме /0, т.е. формы вида з з з ^ х,, х2 , Х3 ) = /о У^!С\кХк кХк >^СЗкХк

V А.=1 ¿=1 ¿=1 У

4) где = 1,2,3) - целые числа; ¿е1(сА) Ф 0, в частности, на аналог "удобных" положительных форм Ю.В. Линника [24] (см. полученные в [75] теоремы 4.1-4.3). Как и в исследованиях [33, 52] мы используем ДЭМ с некоторыми усовершенствованиями, в частности, удалось отказаться от сложного аппарата неопределенных эрмитионов и вместо него используется арифметика матриц второго порядка и при этом изложение стало в значительной степени параллельным применениям ДЭМ к положительным тернарным формам ([33, гл. V, VI; [71]]). В [74] доказано, что в случае двуполостного гиперболоида х,,х2,х3) = га, т> 0. (5) где f имеет вид (4), целые точки (х,,х2,х3) асимптотически (при га—>+оо) равномерно распределены как по поверхности гиперболоида, так и по классам вычетов по данному модулю.

Аналогичные результаты в случае однополостного гиперболоида х,,х2,х3) = т, т< 0. (6) были получены в [42], где форма / имеет вид (4).

Что же касается многомерных гиперболоидов в размерности .у > 4, то в статье (Б.З. Мороз [45]) с использованием результатов А.В. Малышева [44] доказана асимптотическая равномерная распределенность целых точек по областям на таких гиперболоидах.

Перейдем теперь к более подробному изложению содержания диссертации.

Целью нашей работы является: 1) полное завершение исследований по применению ДЭМ к вопросу о представлений целых чисел произвольной изотропной тернарной квадратичной формой (гл. III, теоремы 3.3-3.6), т.е. перенесение результатов Ю.В. Линника, Б.Ф. Скубенко и других и ранее полученных автором результатов с уточнениями и обобщениями на неопределенные тернарные квадратичные формы /(х,,х2,х3), определяемые соотношением где 8 - некоторое целое число; ск] (А:, у" = 1,2,3) - целые числа; Ф 0;

2) исследование новых приложений ДЭМ в получении результатов, относящихся к арифметике бинарных квадратичных форм с некоторыми дополнительными условиями (гл. IV теоремы 4.1-4.7) и не поддающиеся пока методу модулярных форм.

Наша диссертация состоит из этого введения и четырех глав, из которых третья и четвертая главы являются основными. Первая глава носит предварительный характер и в основном посвящена арифметике матриц второго порядка - аппарату, существенно используемому при приложении ДЭМ к нашей задаче. Результаты этой главы использовались в кандидатской диссертации автора [75] при изучении распределения целых точек на двуполостных гиперболоидах вида (4), соответствующих случаю д=\. Во втором параграфе вначале вводится алгебра матриц второго порядка над полем О рациональных чисел (при этом мы отождествляем число шбО с матрицей I, где

По аналогии с эрмитионами (см. [38], гл. IV) определитель матрицы А будем называть ее нормой Ы{А) = с1еЫ. Матрицу вида

1 (Л

Ъ -а\

I= а,Ь,с еО,

8) т.е. матрицу с нулевым следом, мы называем вектор-матрицей. Векторматрице Ь = тичную форму

Ь -а

Vе мы сопоставляем точку а, Ь, с е О и бинарную квадраа,Ь,с) = аХ2 + 2 ЬХУ + сУ2 (9) определителя ас-Ъ2 = АТ(Ь). Если

ЫЩ> 0, а> 0, (10) то вектор-матрицу называем положительной (положительно определенной). Если же

ЩЬ)<0, (11) то вектор-матрицу Ь называем неопределенной.

Пусть Р- область пространства О3, определяемая одним из трех неравенств

2\Ъ\<а<с или 0<2Ь <а — с или 0 < 2Ь = а < с, (12) п где ас — Ь = т > 0.

Область Р называется фундаментальной областью приведения положительных бинарных квадратичных форм определителя т> 0, при этом положительная вектор-матрица Ь называется приведенной, если соответствующая ей форма (9) является приведенной, т.е. выполняются условия (12). Если же область Е пространства О3 определяется неравенствами

0 < Ъ < л/- т, л/-т -Ь <\а\<л!~ т + Ь, , (13) где ас — Ь2 = т < 0, то область называется областью приведения неопределенных бинарных квадратичных форм определителя т < 0, при этом неопределенная вектор-матрица Ь называется приведенной, если соответствующая ей форма (9) является приведенной.

Матрицу А, элементы которой суть целые числа, мы называем целой матрицей.

Говорим, что матрица А делится на матрицу В справа А/В, если найдется такая матрица С, что А=СВ. Аналогично определяется делимость слева. Невырожденная матрица Е называется обратимой (или единицей), если также целая матрица; это равносильно тому, что N(E) = ±1.

Говорим, что матрицы А и Ä ассоциированы справа, если А' = АЕ, где Е - обратимая матрица; ассоциированность А и А' справа равносильна де-лимостям слева А \ Ä и Ä \ А . Аналогично определяется ассоциированность матриц слева.

Если В — Ъ- целое число, то делимость А1Ы равносильна делимости Ы / А ; в этих случаях обозначаем b\ А и тогда число называем числовым делителем матрицы А. Если из Ъ | А следует, что b - ±1, то матрицу А называем примитивной.

В § 2 гл. I развивается элементарная теория делимости в кольце целых матриц M = М2(Z). В частности, формулируются и доказываются предложения, используемые в остальных главах.

Отметим из них матричный аналог основной теоремы арифметики (см. [73]), существенно используемый в ДЭМ: если А - невырожденная матрица и N{Ä) — b-c. то найдутся матрицы В и С, для которых

А = ВС, N(B)~b, N(C) = c, (14) причем разложение (14) единственно с точностью до ассоциированности: если А = 5, С,, N(Bj ) = Ь,ю В}= ВЕ, С, = Е~ХС, где Е - обратимая матрица вМ.

В § 3 даются основы теории поворотов вектор-матриц второго порядка, также существенно используемой в гл. III при приложении ДЭМ к формам ( 1 ) и (4) и позволяющей строить потоки вектор-матриц, а значит, и точек на гиперболических поверхностях.

Эта теория является аналогом глубокой теории Б.А. Венкова [5] для ква-терионов. Частично теория поворотов вектор-матриц была развита Ю.В. Лин-ником [28,33]. В теории поворотов рассматриваются равенства вида

L' = WLW~\ (15) где L,L' - целые вектор-матрицы одинаковой нормы т Ф 0. Теория поворотов строится для примитивных вектор-матриц. При этом различаются случаи собственно примитивных вектор-матриц L, т.е. целых матриц (8) с условием Н.О.Д. (а,2Ь,с) = \ и несобственно примитивных матриц (8), определяемых условиями Н.О.Д.(д,6,с) = 1, Н.О.Д.(а,26,с) = 2. Изучается вопрос о совокупности матриц W, удовлетворяющих условию (15), т.е. осуществляющих поворот вектор-матрицы L в вектор-матрицу L'. Эти совокупности сопоставляются с классами бинарных квадратичных форм определителя т.

Наконец, в § 4 гл.1 приводится полученное с помощью асимптотической формулы Е.В. Подсыпанина [46] предложение о делимости матриц большой нормы, используемое в гл. III и IV.

1. Белова H.H., Малышев A.B. Эргодические свойства целых точек на эллипсоидах рода Gn i. // Зап. научн. семин. ЛОМИ. — 1981. Т.106. - С. 17-51.

2. Бредихин Б.М., Линник Ю.В. Асимптотика и эргодические свойства решений обобщенного уравнения Гарди-Литтлвуда // Матем. сб. 1966. Т. 71 (113). №2.-С. 145-161.

3. Бредихин Б.М., Линник Ю.В. Бинарные аддитивные задачи с эргодиче-скими свойствами // ДАН СССР. 1966. Т. 166. № 6. - С. 1267-1269.

4. Быковский В.А. Арифметико-аналитические свойства бинарных положительно определенных квадратичных форм // Зап. научн. семин. ЛОМИ. -1985. Т.144. С. 5-20.

5. Венков Б.А. Об арифметике кватернионов // I-V — Изв. Росс. АН. Сер. 6. -1992, т. 16. С. 205-220; - С. 221-246; Изв. АН СССР. Сер. 7. Отд-ние физмат. наук. -1929. № 5. - С. 489-504; № 6. - С. 535-562; № 7. - С. 607-622.

6. Венков Б.А. Элементарная теория чисел. М.-Л.: ОНТИ, 1937. 219 с.

7. Венков Б.А. О фундаментальной области неопределенной тройничной квадратичной формы // Ученые зап. ЛГПИ. 1955. Физ,-мат. фак., т. 14. № 1.-С. 16-45.

8. Виноградов А.И., Линник Ю.В. Гиперэллиптические кривые и наименьший простой квадратичный вычет // Докл. АН СССР. — 1966. Т. 168. № 2. -С. 259-261.

9. Голубева Е.П. Асимптотическое распределение целочисленных бинарных форм фиксированного дискриминанта // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1981. Т. 112. - С. 26-40.

10. Голубева Е.П. Связь суммы сумм Салье с распределением целых точек // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1982. Т.116. - С. 56-62.

11. Голубева Е.П. Асимптотическое распределение целых точек, принадлежащих заданным классам вычетов, на гиперболоидах специального вида // Мат. сб. 1984. Т. 123. № 4. - С. 510-533.

12. Голубева Е.П. Представление больших чисел тернарными квадратичными формами // Матем. сб. 1986. Т. 129. № 1. - С. 40-54.

13. Голубева Е.П. Геодезические на верхней полуплоскости и распределение квадратичных иррациональностей // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН. -1988. Т.254. С. 28-55.

14. Голубева Е.П. О представлении больших чисел тернарными квадратичными формами: Автореф. докт. физ.-мат. наук. — Л., 1985. -13 с.

15. Джекобсон Н. Теория колец. М.: ИЛ, 1947. - 287 с.

16. Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: Наука, 1971. 200 с.

17. Истамов А.М. Асимптотика целочисленных матриц второго порядка, лежащих в данной гиперболической области и принадлежащих заданному классу вычетов // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1980. Т.23. - С. 25-29.

18. Карпов А.Н. О представлении целых чисел изотропными квадратичными формами // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1986. Т. 151. - С. 66-67.

19. Касселс Дж. Рациональные квадратичные формы. М.: Мир, 1982. 436 с.

20. Линник Ю.В. Одна общая теорема о представлении чисел отдельными тернарными квадратичными формами // Изв. АН СССР. 1939. Сер. матем. Т. 3, № 1. - С. 87-108.

21. Линник Ю.В. О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными формами // Изв. АН СССР. 1940. Сер. матем. Т.4. № 4/5. - С. 363-402.

22. Линник Ю.В. Кватернионы и числа Кэли; некоторые приложения арифметики кватернионов // Успехи мат. наук. 1949. Т.4. Вып. 5. - С. 49-98.

23. Линник Ю.В. Некоторые приложения геометрии Лобачевского к теории бинарных квадратичных форм // Докл. АН СССР. 1953. Т.93. № 6. -С. 973-974.

24. Линник Ю.В. HoBi арифметичш застосувания геометри Лобачевського // ДАН УССР. 1955. № 2. - С. 112-114.

25. Линник Ю.В. Асимптотическое распределение приведенных бинарных квадратичных форм в связи с геометрией Лобачевского // I-III Вестн. Ле-нингр. ун-та. 1955, № 2. - С. 3-23; № 5. - С. 3-32; № 8. - С. 15-27.

26. Линник Ю.В. Цепи Маркова в аналитической арифметике кватернионов и матриц // Вестн. Ленингр. ун-та. 1956. № 13. - С. 63-68.

27. Линник Ю.В. Асимптотическая геометрия гауссовых родов; аналог эрго-дической теоремы // Докл. АН СССР. 1956. Т.108. № 6. - С. 1018-1021.

28. Линник Ю.В. Еще об аналогах эргодических теорем для мнимого квадратичного поля // Докл. АН СССР. 1956. Т. 109. № 4. - С. 694-696.

29. Линник Ю.В. Некоторые применения неевклидовых геометрии к теории характеров Дирихле; аналоги эргодических теорем // Тр. 3 Всесоюзн. мат. съезда. М. 1956. Т.З. - С. 21-29.

30. Линник Ю.В. Эргодические свойства алгебраических полей. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1967. - 208 с.

31. Линник Ю.В. Избранные труды. Теория чисел. Эргодический метод и L-функции. Л.: Наука, 1979. 432 с.

32. Линник Ю.В., Малышев A.B. Приложения арифметики кватернионов к теории тернарных квадратичных форм и к разложению чисел на кубы // Успехи мат. наук. 1953. Т. 8, вып. 5. - С. 3-71. испр.: - 1955. Т.10. вып. 1. -С. 243-244.

33. Малышев A.B. Асимптотический закон для представления чисел некоторыми положительными тернарными квадратичными формами // ДАН СССР. 1953. Т.93. № 5. С. 771-774.

34. Малышев A.B. О связи теории распределения нулей L рядов с арифметикой тернарных квадратичных форм // ДАН СССР. - 1958. Т. 122. - С.343-345.

35. Малышев A.B. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // M.-JL: Тр. мат. ин-та АН СССР. 1962. Т. 65. 212 с.

36. Малышев A.B. Новый вариант эргодического метода Ю. В. Линника в теории чисел // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1975. Т. 50. С. 179-186.

37. Малышев A.B. Дискретный эргодический метод Ю. В. Линника и его дальнейшее развитие. В кн.: Ю.В. Линник Избранные труды. Теория чисел. Эргодический метод и L-функции. Л.: Наука, 1979. С. 418-430.

38. Малышев A.B. О применении дискретного эргодического метода в аналитической арифметике неопределенных тернарных квадратичных форм // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1980. Т. 93. С. 5-24.

39. Малышев A.B., Нгуен Нгор Гой О распределении целых точек на некоторых однополостных гиперболоидах // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1983. Т. 121.-С. 83-93.

40. Малышев A.B., Широков Б.М. Новое доказательство ключевой леммы дискретного эргодического метода для вектор-матриц второго порядка // Вестн. Ленингр. ун-та. — 1991. Серия 1. вып. 2. — С. 34-40.

41. Подсыпанин Е.В. Распределение целых точек на детерминантной поверхности // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1980. Т. 93. С. 30-40.

42. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967. 511 с.

43. Проскурин Н.В. Теорема о распределении квадратичных вычетов, имеющая приложения в эргодическом методе Ю.В. Линника // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1975. Т. 50. - С. 169-178.

44. Рагунатан М. Дискретные подгруппы Ли. М., 1977. — 320 с.

45. Сарнак П. Модулярные формы и их приложения. — М.: Фазис, 1988. -133 с.

46. Скубенко Б.Ф. Асимптотическое распределение и эргодические свойства целых точек на однополостном гиперболоиде // Докл. АН СССР. 1960. Т.135, № 4. С. 794-795.

47. Скубенко Б.Ф. Асимптотическое распределение целых точек на однополостном гиперболоиде и эргодические теоремы // Известия АН СССР. — 1962. Сер. матем. Т.26. № 5. С. 721-752.

48. Тетерин Ю.Г. О представлении целых чисел положительными тернарными квадратичными формами // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1983. Т.121. -С. 117-156.

49. Тетерин Ю.Г. Асимптотическая формула для числа представлений вполне положительными тернарными квадратичными формами // Изв. АН СССР. 1985. Сер. матем. Т.49. № 2. - С. 393-426.

50. Bachmann P. Die Arithmetik der quadratischen Formen / 1АЫ. Leipzig. Teub-ner. 1988. 668 s.

51. Duke W. Hyperbolic distribution problems and half-integral weight Maas forms // Invent, math. 1988. V. 92. № 1. P. 78-90.

52. Jwaniec H. Fourier coefficients of modular forms of half integral weight // Invent. math. 1987. V.87. - P. 385-401.

53. Jones B.W. The arithmetic theory of quadratic forms. Baltimore, 1950. X. — 197 p.

54. Kneser M. Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen in drei oder mehr Veranderlichen // Archiv der Math. 1956. (Basel) 7. - S. 323-332.

55. Landau E. Uber die Klassenzahl imaginar-quadratischer Zahlkorper // Nachr. Gesellsch. Wissensch.- 1918. Gottingen. Math.-phys. S. 285-295.

56. Linnik Yu.V. On certain results relating to positive ternary quadratic forms // Матем. сб. 1939. Т. 5. № 47. - С. 453-471.

57. Linnik Yu.V. An application of the theory of matrices and of Lobatshcevskian geometry of the theory of Dirichlet's real characters // J. Jndian. Math. Soc. — 1956. Vol. 20. N. 1/3. P. 37-45. ^

58. Linnik Yu.V. Sur one application du thoreme d'Andre Weil a la theorie des caracteres des Dirichlet // Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Theorie des nombres. Paris. 1966/1967 (1968).

59. Malyshev A.V. Yu.V. Linnik's ergodic method in number theory // Acta arithm.- 1975. V.27. P. 555-598.

60. Malyshev A.V. Discrete ergodic method and its applications to the arithmetic of ternaiy quadratic forms // Topics in classical number theory. Budapest. 1981. V. 34.-P. 1023-1049.

61. Newman M. Integral matrices / New York-London. AP, 1972. 224 p.

62. Pall G. Representation by quadratic forms.// Canad. J. Math. 1949. V. 1. -p. 344-364.

63. Peters M. Darstellungen durch definite ternare quadratishe Formen // Acta arithm. 1977. Bd. 34. № 1. - S. 57-80.

64. Siegel C.L. Uber die Classenzahl quadratischer Zahlkorper // Acta Arithm. 1. -S. 83-86.

65. Watson G.L. Integral quadratic forms. Cambridge. 1960. XII. - 143 p.Работы автора по теме диссертации

66. Малышев А.В., Пачев У.М. О представлении целых чисел положительными тернарными квадратичными формами (новый вариант дискретного эр-годического метода) // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1979. Т. 82. - С. 33-87.

67. Малышев А.В., Пачев У.М. О числе классов целочисленных положительных бинарных квадратичных форм, арифметический минимум которых делится на заданное число // Алгебра и теория чисел, вып. 4, Нальчик.- 1979. С. 53-67.

68. Малышев А.В;, Пачев У.М. Об арифметике матриц второго порядка // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1980. Т. 93. - С. 41-86.

69. Пачев У.М. О распределении целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1980. Т. 93. - С. 87-141.

70. Пачев У.М. Приложения дискретного эргодического метода к арифметике неопределенных тернарных квадратичных форм. — Дисс. канд. физ.-мат. наук. Л-д. 1980. - 140 с.

71. Пачев У.М. Эргодическая теорема для целых точек на двуполостных гиперболоидах // Структурные свойства алгебраических систем. Нальчик. -1981.-С. 84-90.

72. Малышев A.B., Пачев У.М. Эргодические свойства целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах // Деп. ВИНИТИ. № 6127. Нальчик. — 1984.-43 с.

73. Малышев A.B., Пачев У.М. Об остаточных членах в эргодических теоремах для целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах // Аналитическая теория чисел. Петрозаводск. 1986. Меж. вуз. сб. — С. 46-51

74. Пачев У.М. Асимптотическое распределение гауссовых родов // Авто-морфные функции и теория чисел 1987. Ижевск. Меж. вуз. сб. - С. 3240.

75. Пачев У.М. Об остаточных членах в эргодических теоремах для потоков в гауссовых родах // Деп. ВИНИТИ. № 3246. Нальчик. -1992.-29 с.

76. Пачев У.М. О числе классов гауссового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа // Матем. заметки. -1994, Т. 55. №2. С. 118-127.

77. Пачев У.М. Эргодические свойства потоков классов положительных бинарных квадратичных форм в гауссовых родах // Зап. научн. семин. ПО-МИ РАН. 1997. Т. 236. - С. 149-161.

78. Пачев У.М. Эргодические теоремы и теоремы перемешивания для потоков целых точек на некоторых изотропных гиперболоидах // В кн. "Актуальные проблемы теории чисел". МГУ. 2002. - С. 133-151.

79. Пачев У.М. О числе приведенных целочисленных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов // Чебышевский сб. Тула. 2003. Т. 4. № 3. С. 92-105.

80. Пачев У.М. Об уточнении ключевой леммы дискретного эргодического метода для вектор-матриц второго порядка // Чебышевский сб. Тула. -2004. Т.5. № 2 (10). С. 89-97.

81. Пачев У.М. Асимптотическое распределение классов положительных бинарных квадратичных форм с условиями делимости коэффициентов // Фундам. и прикл. матем. 2005. Т. 11. № 6. - С. 123-130.

82. Пачев У.М. Представление целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами // Изв. РАН. 2006. Сер. матем. Т. 70. № 3. - С. 167184.

83. Пачев У.М. Об асимптотике числа приведенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов // Сибирский матем. журн. -2007. Т. 48. № 2. С. 376-388.Доклады на конференциях

84. Малышев A.B., Пачев У.М. Эргодические свойства целых точек на двуполостных гиперболоидах рода С?ж>2. Тезисы докладов всесоюзной конференции. Тбилиси. 1985, 147-149.

85. Пачев У.М. Асимптотическое распределение классов бинарных квадратичных форм по гауссовым родам. Тезисы докладов всесоюзной конференции. Тбилиси. 1985, 197-198.

86. Пачев У.М. Об остаточном члене в асимптотической формуле для гауссовых родов. Тезисы докладов всесоюзной школы. Минск. 1989, 118.

87. Пачев У.М. Эргодическая теорема для потоков классов бинарных квадратичных форм в гауссовых родах. Тезисы докладов международной конференции. Тула. 1993, 126.

88. Пачев У.М. Теорема о перемешивании для гауссовых родов. Тезисы докладов международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева. Казань. 1994, 74-75.

89. Пачев У.М. О числе классов положительных бинарных квадратичных форм с некоторым условием делимости коэффициентов. Тезисы докладов III международной конференции. Тула. 1996, 113.

90. Пачев У.М. Эргодическая теорема для потоков целых точек на некоторых гиперболоидах. Тезисы докладов IV международной конференции, посвященной 180-летию П.Л. Чебышева и 110-летию И.М. Виноградова. Тула. 2001, 91-92.

91. Пачев У.М. О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов. Тезисы докладов V международной конференции. Тула. 2003, 176-177.

92. Пачев У.М. Об асимптотике с остаточным членом для числа бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов. Тезисы докладов VI международной конференции, посвященной 100-летию Н.Г. Чудакова. Саратов. 2004, 90-91.