Деформации диофантовых квадратичных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

1 Локальные вложения и ортогональные дополнения

§1 Целочисленные квадратичные формы и их инварианты

§2 Классификация примитивных представлений форм.

§3 Вес представлений квадратичной формы родом форм

§4 Примитивные вложения решеток.

§5 Вложение форм над локальными кольцами.

§6 Вложение форм в кубические решетки

2 Однородные диофантовы системы

§1 Однородные специализации квадратичных форм.

§2 Полнота рода.

§3 Орбитальная масс-формула

§4 Разделение родов квадратичных форм.

3 Неоднородные диофантовы системы

§1 Неоднородные специализации квадратичных форм.

§2 Уравнения высших степеней.

§3 Проблема близнецов.

1. Одной из центральных проблем арифметической теории квадратичных форм является задача получения точных формул для числа представлений X формы А квадратичной формой Q , т. е. нахождение количества целочисленных решений матричного уравнения

Q[X] = *XQX = A, Хемп>т(Z), (1) где Мщт(Ж) -■ множество матриц размера п х т с коэффициентами из кольца целых чисел Ъ .

Цель данной работы - найти метод получения различных диофанто-вых квадратичных уравнений (1) как специализации одной универсальной объемлющей системы.

Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд исследовательских задач:

1. изучить ортогональные дополнения форм, используя вложения над локальными кольцами;

2. получить с помощью специализаций сечения квадратичных форм кубических решеток, приводящих к матричным уравнениям;

3. показать, как специализации приводят к формулам числа целых представлений форм соответствующими сечениями.

В основе исследований лежит локальный метод Минковского-Хассе, аддитивный метод склейки форм, теория вложения форм над кольцами р-адических чисел, теория ]?-адических символов и метод дополнения Кон-вея и Слоэна.

Новизна данной диссертационной работы заключается в следующем:

1) вводятся специализации для матричных квадратичных уравнений, приводящие к квадратичным уравнениям для форм меньшего числа переменных;

2) разработан метод деформации формулы веса для числа представлений, сохраняющий ее структуру и позволяющий из известных формул для числа представлений квадратичных форм родом форм находить бесконечное множество других формул веса для уравнений и систем, имеющих меньшее число переменных;

3) найден способ решения уравнений высших степеней, разложимых на множители первой и второй степеней над множеством целых чисел Z .

2. История вопроса.

1) Диофант,овы квадратичные системы и число представлений. Теория квадратичных форм была начата трудами Ферма и Эйлера. Первоначально рассматривалась задача о представлении целых чисел целочисленной квадратичной формой Q размерности dim, Q = п. Наиболее известная из них - задача Ферма о представлении целого числа суммой двух квадратов

Если а - бесквадратное положительное число, то число целых решений уравнения (2) вычисляется по формуле

Лагранж и Гаусс создали общую теорию бинарных квадратичных форм, а

2 , 2 х + у = а.

2)

3) для произвольной размерности п Эйзенштейном, Смитом и Минковским была построена общая теория квадратичных форм.

В диссертации рассматривается задача о представлении квадратичной формы формой. Отождествим квадратичные формы с их матрицами. Пусть Q и А - целые симметрические положительно определенные квадратичные формы размерностей пит соответственно, причем п > т > 1. Форма Q представляет А, если разрешимо матричное уравнение

Q[X] = fXQX = XeMntm{Z). (4)

Развивая аналитические методы в теории квадратичных форм, которые были введены Дирихле, Зигель пришел к общим формулам для числа представлений формы родом форм.

Весом представлений формы А родом [Q] называют сумму = £ £ йк-у (s) t=l XeMn,m(Z),Qi[X]=A КЧг) где {Qi} (г = 1 ,.,Н) - все классы рода [Q], o(Qi) - порядок группы целых автоморфизмов формы Qi. Для взвешенного среднего Зигель получил разложение в произведение

П и, av(A; \Q 1), т < п — 1, " " ; : ■ (б) k Пг=—1,2,3,. IQ\), т = п- 1, локальных плотностей ар(А; [Q]) = ар([А]; [ф]) , зависящих только от р-адического поведения форм А и Q. Здесь m(Q) - масса рода [Q], вычисленная в инаугурационной диссертации Минковским [51] в 1885 году.

Для р Ф —1,2 локальные плотности ар(А; [<3]) определены равенством ар(А; [Q]) = N{A,Q,pr), где N(A)Q)pr) - число решений

X mod рг из МП)ГП(Z) матричного сравнение Q[X] = A (mod рг) и степень г больше некоторой границы, зависящей от р, А и Q .

Предпринимались многочисленные попытки вычислить локальные плотности ар , применяя многомерные гауссовы суммы и точную формулу для обычной суммы Гаусса. Китаока в работах [46] - [48], используя зигеле-вы модулярные формы, вычислил для некоторых случаев ар и получил результаты относительно представимости формы формой.

Формула Зигеля (6) отвечает на принципиальный вопрос о диофанто-вых квадратичных системах: среднее количество представлений над кольцом целых чисел Ъ некоторой квадратичной формы формами рода сводится к представлениям над локальными кольцами целых р-адических чисел Zp этой же формы любой другой формой рода.

Аддитивный подход к вычислению веса представлений п(А; [Q]) применил В. Г. Журавлев [21]. Впервые этот метод использовал Гаусс для нахождения количества представлений числа суммой трех квадратов целых чисел и связывающий примитивные представления с бинарными формами.

В 1996 году в работе [21] была доказана общая формула для веса примитивных представлений формы А родом [Q] положительно определенных форм Q , сцепляющих А с формой G: рп(А; [Q], [G]) = m(G) ■ c(A:,[Q], [G]), (7) где m(G) - масса рода [G'], а второй сомножитель разлагается в произведение с(Л; [Q], [0\) = с(А; Q, G) JJ ср(А; Q, G), p\2ad при этом a - ступень матрицы А и detQ = d. Множитель ср(А\ Q, G) равен числу решений Ср из Mm^m(Zp) mod А сравнения аА~г[Ср] + G = О (mod aZp) таких, что полученная из А и С с помощью склейки Ср форма Qci(Cp) эквивалентна квадратичной форме Q надкольцом Ър .

Глубокое развитие теории рациональных квадратичных форм (Мин-ковский, Хассе, Витт) позволило Конвею [38] ввести систему рациональных инвариантов для квадратичных форм, которые определяются без использования символа Гильберта норменного вычета. Система ^-адических инвариантов для целочисленных форм, значения которых являются вычетами по модулю 8, дает удобное обозначение для рода квадратичной формы [29].

Кнезер исследовал более интересный в теории чисел, но более сложный переход для колец Z , р = — 1, 2, 3,.; используя его, он доказал теорему о представимости числа а формой Q над кольцом 7L [49]. Обобщение на представления форм формами над Z исследовали Сия, Китаока, Кнезер в [44], [45]. Именно этот локальный метод лежит в основе исследований диссертации.

Масс-формула и канонические 2-символы локальных форм Конвея-Слоэна в совокупности с формулой Гаусса-Минковского (7) позволяют вычислять вес представлений в терминах локальных инвариантов: при этом с(п — т) - простой коэффициент, зависящий от разности размерностей п—т , std(n—m^dj\) - стандартная масса, принимающая рациональные значения для нечетной коразмерности. Коэффициенты ар(А; Q, G) определены через р-адические инварианты форм А и Q .

Следует отметить, что формула (3) - не что иное как формула Гаусса

2) Специализации квадратичных систем и формул веса. Рассмотрим базовую систему (4) диофантовых уравнений и выберем специализацию формы А = А' © А" размерности т > 2 . Фиксируя блок А', получим рп(А] [<£], [G]) = с(п - m)std(n - т, dA) Д ар(А; Q, G), (8) p\2ad

Минковского для формы Q = и одномерной формы А — а . новую систему

K'[Y] = А", (9) имеющую тот же вид, что и базовая система. В равенстве (9) слева стоит форма К' размерности п — dim А', а справа форма А!' размерности m — dimA'. Таким образом, полученные системы диофантовых уравнений (9) от меньшего числа переменных являются проекциями одной базовой системы. Важно отметить, что при деформации диофантовых квадратичных систем сохраняется и структура формулы веса (8), что позволяет находить из одной базовой формулы веса множество формул для числа целых решений получающихся в результате специализаций диофантовых систем.

Идеи, которые возникают при решении систем методом деформации, можно найти у Кнезера, Витта, Конвея и Слоэна. При аналитическом подходе Зигеля [55] к изучению целочисленных решений уравнения Q[X] = А для положительно определенной формы Q рассматривается тета-ряд формы Q рода т: e(Z{m\Q) = ]П ехр(2тг» tr(Q[X] ■ Z(m))). (10)

X£Mn,m(Z)

Количества целочисленных решений r(A\Q) уравнения (4) появляются как коэффициенты Фурье тета-ряда (10) e(Z^m\Q) = r(A; Q) ехр(2тгг tr(A ■ Z^)). л=1лемт{ъ), а>о

Операторы Зигеля Ф устанавливают связь между тета-рядами рода гп и рода т — 1

Ф -6{Z(m\Q) =e(Z{m-l\Q)1 при этом происходит уменьшение на 1 размерности т формы А .

Продолжая операторы Гекке на тета-ряды [3], [35] можно выявить информацию о мультипликативных свойствах количеств целочисленных представлений квадратичных форм формами. А.Н. Андрианов [1], [2] для произвольных размерностей т получил усреднение числа представлений формы А родом [Q] г(А[М\, [Q]). (11)

Am М: Ат =GLm (Z), MeMm(Z), det М=а

Определенные формы соответствуют решеткам в евклидовом пространстве. В работе [22] классифицированны локальные минимальные неразложимые вложения eTnmin '. LA,p LQ p, где L*iP - локальные решетки для соответствующих квадратичных форм; а также построена теория ветвления вложений локальных решеток.

Теория склейки, восходящая к Кнезеру [50] и Витту [62], представляет собой способ конструирования решетки г г Ы г

L = Li е l2 из решеток L\ , L2 добавлением вектора склейки у = у\ -Ь 1/2, т/г- из дуальных факторов L*/Li. Выдающимся результатом применения метода склейки является список Нимейера [52] всех четных унимодулярных форм размерности 24. Локальный вариант метода склейки применен в работах [23], [24] к нахождению числа решений матричных уравнений Q[X] = А для форм Q и А с не взаимно простыми определителями \Q\ и |Л| .

Конвей и Слоэн [37] применили метод дополнения для конструирования квадратичных форм меньших размерностей из известных форм, являющийся обращением метода склейки Витта-Кнезера. Предложенный в диссертации метод деформации позволяет получать не только сечения матричных квадратичных уравнений Q[X] = А для квадратичных форм Q кубической решетки Ъп , но и формулы для числа представлений форм соответствующими сечениями. При построении сечений подобно Конвею и Слоэну приходится работать в кольце целых чисел, а при получении формул веса используется локальный переход от кольца Z к кольцу целых р-адических чисел Ър, где реально рассматривается конечное число дискриминантных простых р | 2ad .

Ранее получение формул для количества представлений чисел конкретными квадратичными формами являлось отдельной задачей; формулы были изолированными и для их доказательства требовались различные методы. В диссертации впервые удалось получить формулы веса для целого класса форм единым методом - рассматривая их как специализации универсального объекта (кубической решетки).

Разработанный метод позволяет находить число целых решений не только для однородных, но и неоднородных систем, что до настоящего времени удавалось сделать лишь в отдельных исключительных случаях.

Метод деформации диофантовых квадратичных систем через специализации квадратичных форм А можно также применить к получению точных формул для числа целых решений диофантовых уравнений высших степеней, раскладывающихся над Ъ в произведение линейных и квадратичных множителей, что восполняет пробел в диофантовой геометрии.

Согласно теореме Ферма о двух квадратах простое число р = 1 (mod 4) представимо двумя квадратами и число таких представлений равно 8. Предлагаемый метод позволяет получить аналогичную характеристику для младшего близнеца р: такое число представимо в виде специальной рациональной дроби и число таких представлений снова равно 8.

3) Геометрическая интерпретация положительно определенных форм. Положительно определенным п -мерным квадратичным формам отвечает п -мерный эллипсоид. С геометрической точки зрения уравнение Q[X] = А определяет т векторов Х\)., Хт с нормами Q[Xi\ и скалярными произведениями tXiQXj . В частности, числу представлений бинарной формы (а 0 \

А = I суммой трех квадратов отвечает число пар целочисленных

0 a J ортогональных векторов Х\ и X<i на сфере радиуса у/а. В общем случае уравнение (4) содержит информацию о взаимном расположении целых точек на п -мерных эллипсоидах.

Проблемой равномерного распределения целых точек на п -мерном эллипсоиде, где п > 4, занимались Райтт [63], [64], А.В. Малышев [31], Поммеренке [53], а позднее для п = 3 - Е.П. Голубева и О.М. Фоменко [19], [20], Дьюк и Шульце-Пиллот [40]. В работах О.М. Фоменко [33], [34] доказаны факты равномерной распределенности сразу для всех п -мерных эллипсоидов, п > 3 .

3. В диссертации для матричных квадратичных уравнений введены специализации, сохраняющие инвариантными тип уравнения и формулу веса для представлений квадратичной формы родом положительно определенных форм.

Для единичной матрицы Q = 13 = diag(l, 1,1) размерности 3 и мат-( а' Ъ\ рицы А — рассмотрим уравнение

Ъ a" J

Q[X} = tXQX = A, (12) где X = (х,у) и переменные в гх = (жь ж2, £з) , 1У = (Уъ2/2>2/з) принимают значения из кольца целых чисел Z. Для разрешимости уравнения (12) необходимо, чтобы матрица А была положительно полуопределенной. Ограничимся строго определенной матрицей А , когда диагональные элементы а', а" и определитель \А\ = а'а" — Ъ2 больше нуля. В координатах Х{, yi уравнение (12) принимает вид квадратичной системы уравнений у2 I /у»2 I /у>2 л ^ «/у 2 I to ^ а

2/i + 2/1 + Уз

2-а"

13) 12/1 + %2У2 + хзУз = Ь. Эта система имеет конечное число решений г (А, 1з) . Обозначим а ступень матрицы А - наименьшее положительное целое число такое, что матрица аАимеет целые коэффициенты. Если определитель \А\ матрицы А совпадает с ее ступенью а и а - четное бесквадратное число, то для г(Л,1з) выполняется формула (1.74) г(А;13) = 24 J] + (14) р\щрф2 где р пробегает нечетные простые делители ступени а, ер = ei (^4) > ^^ - символ Лежандра и знак ei(-A) = определяется из жорданова разложения в прямую сумму над кольцом целых р-адических чисел Zp [27]: А

Л © р°Аг

15) а' О

Рассмотрим диагональную матрицу А = I I с бесквадратны

0 а" ми взаимно простыми элементами а', а" , причем а" четное. В этом случае система

Гр " I /у* I гр> dj 2 «АУ 2 с а

2/? + 2/1 + 2/з = Х1У1 +ж2?/2 + = О, согласно формуле (14) имеет число решений

16) r(X;l3) = 24j] f 1 + р'\а' ^ а р' П р"\а",р"ф2

1 +

-а р

17)

Пусть сначала а' = 1. Группа целых автоморфизмов Oz( 1з) квадратичной формы с единичной матрицей Q = 13 имеет порядок о(13) = 48. Уравнение + + = 1 имеет шесть решений, образующих одну орбиту с представителем гх = (0, 0,1). Подставляя 1х в систему (16), приходим к задаче о представлении целых чисел суммой двух квадратов: yl + yl = a". (18)

Все шесть решений порождают уравнение такого же типа. Поэтому число решений г (a"] I2) уравнения (18) и число решений системы (16) связаны равенством г(А;13) =6г(а",12). (19)

Из (17) и (19) вытекает известная формула для суммы двух квадратов: г(а»;13) = 4 П (l+(zl))=4 ^ X-i(<5)i (20) р"\а",рф2 ^ '' 5\ а", S нечет где x-i{&) = (т~) = (—- характер Дирихле по модулю 4.

Выберем cl — 3 , a cl = 2ai четным бесквадратным, не делящимся на 3. Восемь решений уравнения х( з=3 образуют одну орбиту и получаются из ix — (1,1,1) всевозможными переменами знаков. Подставляем 1х в систему (16) и приходим к задаче

2у\ + 2Ут + 2у\ = а!' (21) о представлении числа а" бинарной положительно определенной квадратичной формой с матрицей К' =

К'\ = 3. Теперь для числа решений г(а"ш,К') уравнения (21) выполняется соотношение г (А; 13) = 8г(а"; А''), и (17) приводит к другой известной формуле: r(a";K') = 6 J] (22) р"\а",рф2 ^ \Р У / й-|а1

2 1 V имеющеи определитель

1 2 здесь Х-з($) — (§) ~ характер Дирихле по модулю 3.

Диагональные специализации А = о! О матричного уравнения

О а" '

12) приводят к однородным квадратичным формам (18), (21). Выбор мат/ 3 б\ рицы вида А = с Ь ф 0 приводит к неоднородному квадра

Ь a" J тичному уравнению у\ + У1У2 + у\ + byl + Ьу2 + е = 0. (23)

Если Ь2 — Зе > 0 - нечетное бесквадратное число, не делящееся на 3, то уравнение (23) согласно формуле (14) имеет число решений, равное r(b,e-K'BSOJ = 3 £ Х-з(*). (24)

6\Ь2-Зе

Теперь разрешимость и число решений уравнения (23) определяются мультипликативным разложением выражения Ь2 — Зе .

Итак, специализации формы А квадратичной системы уравнений (13) приводят к квадратичным уравнениям для форм К' меньшего числа переменных. При этом правая часть формулы (14) переформулируется в терминах инвариантов дополнительных квадратичных форм К', отождествляемых с их матрицами. Для неоднородных квадратичных бинарных форм (23) естественным объемлющим пространством является трехмерное, они получаются сечением кубической решетки Z3 . Общая формула (14) для тернарной формы Q = 1з содержит в себе бесконечное множество частных формул представлений чисел бинарными квадратичными формами К'. Это в точности формы подрешеток Ьк1 С Z3 , ортогональных векторам х , имеющим норму Q[х] = а'. Так как решетка Z3 унимодулярная, то дополнительные формы К' имеют определитель а1.

Под знаком сумм (20) и (22) стоят характеры квадратичных полей Q(\/—Т), Q.(V~—3) ■ Различные квадратичные поля и их характеры, квадратичные формы, однородные и неоднородные, объединены одной решеткой Z3.

4.Основные результаты диссертации.

1. Формула веса Zn .

Теорема 1.2 Для квадратичной формы Q = 1п кубической решетки Ъп размерности п < 8 и целой положительно определенной формы А размерности т (т < п) с бесквадратным определителем det А , совпадающим со ступенью а сам,ой формы А , вес представлений формы А формой Q в случае нечетной коразмерности равен с(п - m)std(n - m)a2(A; Q) Ц (V/2 + ei(A) ) ,

КРУ/

25) где мноэ+сителъ ot^(A;Q) вычисляется no формулам (1.66) - (1.70).

В качестве базовой выбрана единичная форма Q = 1п . Через специализации формы А = А' © А" как следствие из формулы (25) получаются формулы для веса представлений г (А"; К') формами К1, где К' - форма, ортогональная к А'.

2. Локальные вложения. Пусть определители форм \А\ и \Q\ взаимно простые, при вложении над нечетным локальным кольцом Zp ортогональные дополнения К определяются формами А = Ai®A>p , \Ai \ ф О (mod р) , и Q однозначно (теорема 1.3):

K = (QGJ(A))®(-A>p)i (26) где J (А) = A^JiAyp) и J(A>P) Ayn 1 р

I - минимальное вложение

1 О в локальную унимодулярную решетку формы А>р = 0 (mod р).

Трудности представляют вложения над кольцом Ъ2 , ветвящиеся даже в условиях взаимной простоты определителей, в связи с чем ортогональные дополнения К определяются формами А и Q уже неоднозначно.

Для форм вида А = А\ © qAg , q = 2а и а — 0,1, 2,., с жордановы-ми составляющими Aq размерности 1 получены условия существования примитивных представлений X : — А и ортогональные дополнения

А' (теоремы 1.4 - 1.6).

Теорема 1.4 Над кольцом 7L2 для форм вида А = Ai©2A2 , dimA2 = 1 ортогональные дополнения К и инверсные к ним формы G определяются равенствами

К = {Qe J (А)) 0 2GU G = Gi Ф 2(Q © 7(A)), (27) одномерный блок G\ мосисет быть любым нечетным числом, а J [А) = А\ © J(2A2) вычисляется по А\ и таблице 1 (глава 1, §5 ).

Теорема 1.5 Над кольцом Z2 для форм вида А — AiQ4A4 , dim А4 = 1, ортогональные дополнения К и инверсные к ним формы G определяются равенствами к = (Qe J (А)) ® 4Gi, G = Gx Ф 4{Q © J (А)), (28) где одномерный блок G\ удовлетворяет, сравнению G\ = —А4 (mod 4) . J (А) — Aj ф J(4A4) и 2 -символы минимальных вложений J(4A4) равны для24А4 = 4Т1 : 2j(4^4) = 1/4, если 2Gl = 1/3,

I Г) I 1

2j(4/14) = 1//, если2ох = 1/7; -1 . о . 1+2 ля. о —1-1 для 24а4 = 41Ъ : 2j{4Aa) = 17/ , если 2Gi = 1/3,

2 1 ^

2j(4^4) — 1/,4? ec^iw 2с?! = 1/)7;

2 I

Л/1л24.а4 = 4^3 : 2j(4A4) = 1/)4, если 2qx — 171,

2j(4/U) = 1/А если201 = l^J;

24A4 = : 2J{4Aa) = lj}2, если 2Gl = lj}, r) 2

2j(4a4) — если 2gl — l/)5.

Теорема 1.6 Над кольцом Ъ^ для форм вида А — A\®qAq , dim Aq = 1 q — 2а, a > 3, ортогональные дополнения К и инверсные к ним формы G определяются равенствами

К = (Q © J (А)) е q{-Ag), G — - Aq ® q(Q 0 J {А)), (29) где G\ = — Aq , J (А) = Ai@J{qAq) и 2-символы минимальных вложений J{qAq) равны 2qAq =qtl и 2Gl

2J(9A9) = ljf u ljj, если <

2ЯАя - u2Gl = 1 ^з = ljj,

3. Деформации диофантовых систем.

Теорема 2.1 Пусть Q и А — А'©А" — целые положительно определенные формы, причем определители форм Q , А', А" попарно взаимно простые. Кроме того, пусть К' — форма, ортогональная примитивным представлениям X1 : = А'. Тогда вес представлений формы А формой Q равен взвешенному числу представлений формы А" формами К': :

Pr{A;^G)=E Е Е staHXT^prWKlG). (30)

Специализации формы А = А' © А" с фиксированным блоком А', переводят уравнения

Q[X] = tXQX = A, ХеМп,т( Z), (31) где Q = 1п - единичная матрица n-го порядка, А - симметрическая матрица m-го порядка, т < п , в уравнения того же типа (ср. (18), (21)):

K'[Y] = А". (32)

Сказанное поясним на примере формы Q = lg и тернарной формы А бесквадратного определителя. Тогда вес представлений выражается формулой

MA^Q) П (Р + е (33) г {А; 16) = 1 о(1е) б' р\\А\,РФ2 где 6i(A) - знак единичной составляющей А\ жорданова разложения А над кольцом целых р-адических чисел Ър .

Специализацией выберем форму А А! О V с одномерным бло

0 А" ' ком А' = 3. Решения х = (xi,. ,xQ) уравнения xf+xl+xl+xl+xl+xl = .3 образуют одну орбиту с представителем (0000111) . Ортогональное дополнение к нему — форма с матрицей Грама

Формула (33) преобразуется к виду г (A"-Kf) = 48*2(A;Q) (з + (^П ) Ц (р+е^А") (-)) ■ (34)

V 4 JJ р\\А'%рф2,3 v xvjj

Здесь г (А"] К') - число решений Y Е M5i2(Z) матричного уравнения K'[Y] = А" (32), 6i(А") = ~ знак блока А![ из жорданова разложения A" А![ ф раАра , а множитель a2(A;Q) зависит от р-адических инвариантов форм A, Q и вычисляется по формулам (1.68), (1.70).

Случай существования нескольких орбит, для которых ортогональные дополнения принадлежат разным родам, более сложный и требует разделения родов. Выберем сумму б-ти квадратов в качестве формы Q и тернарную форму А = А' ® А!' бесквадратного определителя с одномерным блоком А' = 6. Множество решений матричного уравнения Q[X'] = А' имеет две орбиты с представителями х'г = (211000) и = (mm).

Ортогональные дополнения к ним

К'г = 13 0 2 ф 3 и К'т п

2 1 1 1 1 Л 12 111 112 11 1112 1 1 1 1 1 2 у принадлежат разным родам: К\ £ [K'j] - нечетному роду, а К'п Е [К'п] -четному роду. Используя вложения форм над локальными кольцами Zp, для сцепляющей формы G имеются две возможности Gi или Gjj и, в зависимости от выбора, формула (33) преобразуется к виду r(An; Kj, Gi) = 6(3 +

И' П

РI \А"\,р&,3

35) или г (A"; К'п, Gh) = 30 ( 3 +

I А'' п

36)

7 7 р|И"|,Р^2,3

Левые части равенств (35), (36) обозначают число целых решений уравнений К[\У] = А" — ( ~ | , равносильных системе диофантовых уравнений а\ а 2 а 2 аз

У№ + У2У7 + ут + 2?/4У9 + 3y5?/io = а2, аз,

2/в + 2/? + Ув + 2у92 + 3 у210 для Кj , а для формы К'п — соответственно системе

2 у\ + 2у| + 2 yl + 2у\ + 2у1 + 2 yi(y2 + Уз + 2/4 + Уб) + +2у2(уз + 2/4 + 2/б) + 2у3(у4 + у5) + 2уАуъ 2(2/12/6 + 2/22/7 + 2/32/8 + 2/42/9 + УбУю) + 2/1(2/7 + У8 + Уэ + Ую) + +2/2(2/6 + 2/8 + 2/9 + 2/ю) + 2/з (Уб + У7 + Уэ + Ую) + +274 (Уб + 2/7 + 2/8 + 2/ю) + Уб(Уб + У? + У8 + Уэ) 2у| + 2 у? + 2г/§ + 2Й + 2у?0 + 2 Ув (у7 + у8 + у9 + ую) + +22/7(2/8 + 2/9 + 2/ю) + 22/3(2/9 + 2/ю) + 2?/92/io

Другая специализация квадратичной формы

А = а\.

2, «3. V

А! В 1В А" приводит к неоднородным диофантовым уравнениям и системам. В этом случае для одноклассных форм Q — 1П кубической решетки Zn размерности п < 8 формула (3.5) преобразуется к виду (предложение 3.1) pr(A;Q,G) ^prx,(A;Q,G) o(Q) ^ stab(X') где prx'(A]Q,G) - число примитивных представлений X = {Х'Х'

37) (3.1) А с фиксированным блоком X'.

Рассмотрим нечетную тернарную форму

2 1 О

1 4 Ь2 h Ъ2 с вкладываемую в форму Q = lg. Множество решений X' 6 Mqj2(Z) мат

2 1 1 4 ричного уравнения Q[X'] = А' имеет одну орбиту,

Х'

1 1 0 0 0 0 0 11110

- ее представитель.

Предположим, что |А\ = 7 с + Ibib^ — 4Ъ\ — 2Щ > 0 - нечетное бесквадратное число, не делящееся на 7. Тогда (33) преобразуется в формулу

Здесь rx'{A;Q) - число целых решений у = (yi, 2/2,2/3,2/4) £ Z4 неоднородного уравнения

3yj + 2у\ + 2у1 + у\ - 2Ут - 22/12/3 + 2у2Уз + —262^/2 - 2622/з - 4biyi + 26x2/2 + 2Ьт = с - 26? - Ь| + 26162.

Формула веса (33) не является жесткой структурой. Формулы (34), (35), (36), (38) представляют ее различные вариации. Изолированные квадратичные уравнения и системы оказываются сечениями одной базисной системы Q[X] = А, где Q = 1п ~ квадратичная форма кубической решетки Ъп.

4. Полнота рода. Для одноклассных форм А' и Q = 1п справедлива

Теорема 2.2 Пусть {Х\} — орбиты всех примитивных вложений

Х[ формы А' одпоклассного рода [А'] в форму Q = 1п (п < 8) одноклас-сного рода [Q] , и пусть существует ортогональное дополнение К[ jL Х[ из некоторого рода [К1] . Тогда классы {К[~\ , содержащиеся в [К'] , образуют весь род.

Для Q = 1п и формы А = А' 0 А" , принадлежащей неодноклассному роду [А] , нечетного бесквадратного определителя доказано, что ортогональные дополнения К, удовлетворяющие некоторым условиям, образуют полный род [К] (теорема 2.3).

5. Уравнения высших степеней. Пусть многочлен R(x) с коэффициентами из Z разлагается на произведение квадратного множителя

Q(x) = {n < 8) и m—1 линейных множителей вида Ь^{х) = ^ь-*

Xj, , т. е. m — l

Д Lk{x)-Q{x) (39) к=i и п — т - нечетно. Положим u> = sp^ (/3 = 1,2), где целое положительное a\ cxL а'с , s имеет разложение s = р1 р2 • • ■ р§ и с^- принимает значения 0,1,2 , а рв пробегает множество простых нечетных чисел.

Теорема 3.1 Для любого уравнения R(x) = w существуют 8 и натуральное v , зависящие от многочлена R{x), от числового множителя s и от, показателя степени /3 ; такие, что при р$ > 8 число целых решений уравнения равно V г — stab(Xr)c(n — m)std{n — т) ^^a^Aj; Q, G)7Tj(p0), (40) i=i где 7tj (jpq ) = Прца,|,^2 if''2 + 6i (aj) {^J* *)) « I A/I " бесквадратные числа.

Здесь матрицы X' и Aj определяются формами L^ , Q и числом ги . В качестве примера рассмотрим уравнение 8-й степени относительно переменной х\ : 8 xi +х2)(х\ +xz){xi +x±){xi +x5){xi +x<i)(xi +х7)^^х2г =p0, (41) i=1 где pq - простое нечетное число. Для ро > 7 при условии бесквадратности чисел 7ро — б и 7ро~38 уравнение (41) имеет число целых решений, равное

5. Обратимся к содержанию диссертации. Следует заметить, что в каждой главе принята своя нумерация формул, лемм, теорем, предложений и следствий.

В первой главе приводятся основные определения, используемые в диссертации. Для представлений X формы А формой Q получены ортогональные дополнения К , для которых найдены локальные инварианты.

В §1 главы 1 вводятся основные понятия, определяются локальные ^-инварианты для целых квадратичных форм.

В §2 главы 1 для данных форм А и Q приводится конструкция склейки формы Q = Qq(C) из Л и ортогональной ей формы G = Gq^(b), где Ь - произвольное примитивное представление А формой Q, а С - изоморфизм дискриминантных форм для А и aG~l . Установлен изоморфизм между орбитами {6} и {С} , откуда вытекает формула Гаусса-Минковского рп(А■ [Q], [G]) = m(G) ■ с(А; [Q], [G]) (42) для веса примитивных представлений рп(А; [Q], [(?]) формы А родом [Q], ассоциированных с родом [С].

В §3 главы 1 структурированна задача о нахождении веса представлений п(А; [Q]) формы А родом [<3] положительно определенных форм Q и разбита на три этапа. Получена формула веса представлений формы А бесквадратного уровня а формой Q кубической решетки Хп для нечетной разности размерностей п — т форм А и Q.

В §4 главы 1 приведена геометрическая интерпретация представлений квадратичных форм Q[X] = А вложениями соответствующих решеток La ^ Lq и охарактеризованы примитивные вложения решеток.

В §5 главы 1 рассматриваются минимальные локальные вложения форм А в Q над Жр. Если определители \А\ и \Q\ взаимно простые, вложения для нечетных р задаются изоморфизмами между дискрими-нантными формами А"1 и K~1modXp, и ортогональные дополнения К определяются формами А и Q однозначно. При наличии общих делителей имеет место ветвление вложений. Само ветвление и арифметические приложения изложены в [22] - [24]. Представление А формой Q над четным кольцом Z2 становится проблемой даже в условиях взаимной простоты определителей, так как имеет место ветвление вложений, в связи с чем ортогональные дополнения К определяются формами А и Q уже неоднозначно.

В §6 главы 1 для квадратичных форм Q кубических решеток Ъп размерностей п < 8 определяются ортогональные дополнения К и инверсные к ним формы G, участвующие в формуле веса.

Во второй главе предложен метод деформации квадратичных систем (1) специализациями форм А = А' ® А" , приводящий к однородным диофантовым системам.

В §1 главы £ рассматриваются специализации формы с фиксированным блоком А1, переводящие уравнения Q[X] = А в уравнения того же типа K'[Y] = А" и сохраняющие формулу веса для количества примитивных представлений pr(A;Q) формы А формой Q

В формуле (43) o(Q) обозначает порядок группы целых автоморфизмов формы Q , функция std(n — т) зависит только от разности размерностей п — т, и все множители в правой части (43) явно вычисляются (ср. (14)).

Данная специализация переводит формулу (43) в формулу веса представлений формы А" квадратичной формой К' решетки Ьк> , ортогональной некоторому представлению X' : Q[X'] = А'

A" J pr(A'Q) = с(п - m)std(n - т)а2(А; Q) ТТ Q). (43) о w -L-L р| |Л||<?|,р^2 с точностью до некоторого множителя, равного числу склеивающих А' с К' векторов. В формуле (44) для единообразия считаем род [К'\ однок-лассным.

В §2 главы 2 для ортогональных дополнений К всех представлений одноклассной формы А одноклассной формой Q доказывается полнота рода [А']. Используя теорему 2.2, проверяется одноклассность четных ква-тернарных форм Ватсона [58], удовлетворяющих условиям: если р2 делит определитель формы \К\ и р~2\К| = 0 или 1 (mod 4) , то К эквивалентна над Zp прямой сумме К\ 0 рКр бинарных форм К\ и Кр .

Для Q = 1п , п < 8, и неодноклассной формы А = А' 0 А" нечетного бесквадратного определителя показано, что ортогональные дополнения К образуют полный род [К]. Применяемый метод дает, как следствие, доказательство линейной независимости тета-рядов ek~l{Z^K[) рода к — 1 и веса к/2, другим методом полученную в [46]. В этом же параграфе демонстрируется способ, как по отдельному представителю К можно восстановить полный род [К] . Для этого вкладываем форму К в однокла-ссную форму Q = \п минимальной возможной размерности п, используя локальные вложения над кольцами Zp и учитывая условия существования жордановых составляющих. Определяем орбиты {X} представления Q[X] = К, затем находим ортогональные дополнения A L X. Тогда при выполнении условий теоремы 2.3 ортогональные дополнения К{ L X' представлений X' : — А- образуют полный род [К], содержащий исходный представитель К.

В ходе доказательства полноты рода возникла идея об орбитальной масс-формуле (2.58) для взвешенной суммы числа орбит {X'} представлений Q[Xr] = А' с ортогональными дополнениями К' L X' из рода [К']. В §3 главы 2 доказательство орбитальной масс-формулы получается использованием одной конструкции из [21]. Попутно вычисляется коэффициент пропорциональности с(А'; Q, G') , появляющийся в масс-формуле и при деформации веса представлений (лемма 2.2). Как уже отмечалось, c(A';Q,G) равно числу склеивающих А' и К' векторов. В случае, если примитивные представления X' : Q[X'} = А! образуют одну орбиту, формула (2.59) позволяет находить порядок группы автоморфизмов ортогонального дополнения К' где stab(X') - порядок стабилизатора представления X' в группе автоморфизмов 0%(Q) . Формула (2.59) указывает дополнительно на алгебраическое значение векторов склейки: они отвечают за подъем автоморфизмов из стабилизатора Stab(X') в полную группу автоморфизмов Oz(K') .

В §4 главы 2 изучаются многоорбитные представления с ортогональными дополнениями К1 из разных родов. Разводя эти формы по разным родам, удалось получить представления только одним родом.

В третьей главе исследуются специализации квадратичной формы диофантовых систем (1), применяющиеся для конструирования неоднородных диофантовых уравнений и систем.

В §1 главы встроятся неоднородные системы и устанавливается связь между числом pr(A;Q,G) примитивных представлений формы А формой Q и числом prx'(A]Q,G) примитивных представлений X = (X'X") с фиксированным блоком X' (предложение 3.1).

В §2 главы 3 доказывается теорема, позволяющая находить число целых решений уравнений высших степеней, разложимых на квадратный и о(К') — с(А'] Q} G) ■ stab(X'), А линейные множители в кольце Z и приводимых к неоднородным уравнениям, полученным в результате деформации диофантовых систем Q[X] = А .

В §3 главы 3 наличие определенного числа решений неоднородных диофантовых уравнений связывается со свойством чисел быть близнецами. Выбор специальных параметров форм позволяет решать некоторые задачи о близнецах.

6. Результаты диссертации докладывались на IV Международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения" (Тула, 2001 г.), наXXIV конференции молодых учёных (МГУ, 2002 г.), на научно-исследовательском семинаре по теории чисел МГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ю.В. Нестеренко, на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВГПУ (1999 - 2002 гг., секция "Алгебра и теория чисел"), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре по теории чисел ВГПУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Н.М. Тимофеева.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [5]~

7. В работе использованы следующие обозначения Q = Qn ~~ положительно определенная квадратичная форма и тождественная ей матрица Грама, tQ - транспонированная матрица Q , \Q\ - определитель формы Q , dim Q - размерность формы Q ,

Mn^m(R) - множество матриц размера п х т с элементами из кольца R, Z, Z„ - целые рациональные и ^-адические числа,

GLn{R) - группа целочисленных унимодулярных матриц с элементами из

15]. символ Лежандра, кольца R,

SLn(R) - подгруппа GLn(R) с единичным определителем, {<Q} - класс эквивалентности квадратичной формы Q , [Q] - род формы Q , - эквивалентность над кольцами Ъ и соответственно,

А ф G - прямая ортогональная сумма форм А и G, с] i ф G - склейка форм Л и С, где С - форма склейки, Lq - решетка, отвечающая форме Q ,

Q = Q1 Ф ~ жорданово разложение формы Q над кольцом Хр, 1„ - единичная матрица размерности п , Qi, Qii - нечетная и четная формы соответственно, Ъп - кубическая п -мерная решетка.

1. Андрианов А.Н. Двойственность в теореме Зигеля о представлениях родом квадратичных форм и оператор усреднения // Мат. сборник. -1983. - Т. 122, т. - С. 3 - 11.

2. Андрианов А.Н. Мультипликативная арифметика зигелевых модулярных форм // УМН. 1979. - Т. 34, Вып.1. - С. 67 - 135.

3. Андрианов А.Н., Журавлёв В.Г. Модулярные формы и операторы Гекке. М.: Наука, 1990.

4. Боревич 3., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1972.

5. Бударина Н.В. Представление квадратичных форм формами // Тезисы докл. IX Межд. конференции "Математика. Образование. Экономика. Экология". Чебоксары, 2001. - С. 38.

6. Бударина Н.В. Подрешетки Ъ71 и число представлений // Сборник трудов молодых ученых ВГПУ. Владимир, 2001. - Вып. 1. - С. 15 -20.

7. Бударина Н.В. Представление квадратичных форм формами подре-шеток кубической решетки // ВИНИТИ РАН. 2001.- №2110-В2001 Деп. - 25 с.

8. Бударина Н.В. Неоднородные квадратичные уравнения // Тезисы докл. IV Межд. конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". Тула, 2001. - С. 32 - 33.

9. Бударина Н. В. О числе решений неоднородных уравнений // Труды IV Межд. конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". Тула: Изд.центр ТГПУ им. JI.H. Тостого, 2001. - Т.2.- С. 19 30.

10. Бударина Н.В. Квазиблизнецы // Сборник трудов молодых ученых ВГПУ. Владимир, 2002. - Вып. 2. - С. 34 - 36.

11. Бударина Н.В. Деформации диофантовых систем для квадратичных форм кубических решеток // Записки научных семинаров ПОМИ. -СПб.: Наука, 2002. 286,№18. - С. 5 - 34.

12. Бударина Н.В. Диофантовы системы уравнений первой и второй степени /'/' Труды XXIV Конференции молодых ученых механико математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. - М.: МГУ, 2002.- С. 40 43.

13. Бударина Н.В. Неоднородные квадратичные диофантовы системы // ВИНИТИ РАН. 2002. - №645-В2002 Деп. - 22 с.

14. Бударина Н.В. Системы неоднородных диофантовых уравнений // Тезисы докл. X Межд. конференции "Математика. Экономика. Образование". Ростов-на-Дону, 2002. - С. 118 - 119.

15. Бударина Н.В. Уравнения высших степеней // Тезисы докл. Межд. конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2002. - С. 41 - 42.

16. Венков Б.А. Исследования по теории чисел. Л.: Наука, 1981.

17. Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. М.: Издательство Академии наук СССР, 1959.

18. Голубева Е.П. Представление больших чисел тернарными квадратичными формами // Мат. сборник. 1986. - Т. 129, №1. - С. 40 - 54.

19. Голубева Е.П., Фоменко О.М. Асимтотическое распределение целых точек на трехмерной сфере // Записки научных семинаров ЛОМИ. -Л.: Наука, 1987. Т. 160. - С. 54 - 71.

20. Голубева Е.П., Фоменко О.М. Замечание об асимптотическом распределении целых точек на большой трехмерной сфере // Записки научных семинаров ЛОМИ. Л.: Наука, 1990. - Т. 185, №10. - С. 22 -28.

21. Журавлёв В.Г. Представление квадратичных форм родом квадратичных форм // Алгебра и анализ. 1996. - Т.8,№1. - С. 21 - 112.

22. Журавлёв В.Г. Орбиты представлений чисел локальными квадратичными формами // Тр. МИРАН. 1997. - Т.218. - С. 151 - 164.

23. Журавлёв В.Г. Вложение р-элементарных решеток // Изв. РАН. Сер. матем. 1999. - Т. 63, №1. - С. 77 - 106.

24. Журавлёв В.Г. Примитивные вложения в локальные решетки простого определителя // Алгебра и анализ. 1999. - Т.11,№1. - С. 87 -117.

25. Журавлев В. Г. Деформации диофантовых квадратичных систем. // Известия РАН. Серия математическая. 2001. - Т. 65, №6. - С. 5 - 56.

26. Касселс Дж.У.Ск. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.

27. Касселс Дж.У.Ск. Рациональные квадратичные формы. М.: Мир, 1982.

28. Коган Л.А. и др. Представление чисел квадратичными формами. -Ташкент: ФАН, 1989.

29. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. М.: Мир, 1990.

30. Линник Ю.В. Избранные труды. Теория чисел. Эргодический метод и L-функции. Л.: Наука, 1979.

31. Малышев А.В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Тр. МИАН СССР. 1962. - Т.65.

32. Серр Ж.-П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.

33. Фоменко О.М. Оценки скалярных произведений Петерсона параболических форм и арифметические приложения // Записки научных семинаров ЛОМИ. Л.: Наука, 1988. - Т. 168. - С. 158 - 179.

34. Фоменко О.М. Применение формулы Петерсона для билинейной формы от коэффициентов Фурье параболических форм // Записки научных семинаров ПОМИ. СПб.: Наука, 1993. - Т. 204. - С. 143 - 166.

35. Andrianov A.N., Panchishkin A.A. Singular Frobenius operators on Siegel modular forms with characters zeta-functions //L'Institut Fourier, XJniver. Grenoble. 1999. - Vol. 469. - P. 1 - 31.

36. Conway .J., Sloan N. The unimodular lattices of dimension up to 23 and Minkowski-Siegel mass constants //Eur. Combinatoires. 1982. -Vol. 3. - P. 219 - 231.

37. Conway J., Sloan N. Low-dimensional lattices IV. The mass formula // Proc. R. London. 1988. - Vol. 419. - P. 259 - 286.

38. Conway J., Sloan N. Quadratic forms of small determinant // Proc. R. Soc. Loncl. 1988. - Vol. 418. - P. 17 - 41.

39. Dirichlet P.G.L. "Uber die Reduktion der positiven quadratische Formen mit drei unbestimmten ganzen Zahlen // J. reine angew. Math. 1850. -Vol. 40.-P. 216-219.

40. Duke W., Schulze-Pillot R. Representation of integers by positive ternary quadratic forms and equidistribution of lattice points on ellipsoids // Invent. math. 1990. - Vol. 99, №1. - P. 49 - 57.

41. Eisenstein G. Tabelle der reducirten positiven quadratischen Formen, welche verschiedene Determinanten haben Sitzungsberichte der Preuss // Math. Werke. 1852. - Vol. II. - P. 722 - 761.

42. Eichler M. Quadratische Formen und ortogonale Gruppen. Berlin: Springer, 1952.

43. Hasse H. Uber die Aquivalenz quadratischer Formen im Korper der ra-tionalen Zahlen // J. reine angew. Math. 1923. - Vol. 152. - P. 205 -224.

44. Hsia J., Kitaoka Y., Kneser M. Representations of positive quadratic forms // J. reine angew. Math. 1978. - Vol. 301. - P. 132 - 141.

45. Jocher M., Kitaoka Y. Representations of positive quadratic forms with congruence and primitive conditions //J. Number Theory. 1994. - Vol. 48, №1. - P. 88 - 101.

46. Kitaoka Y. Lectures on Siegel modular Forms and representation by Quadratic Forms. Berlin: Springer, 1986.

47. Kitaoka Y. Some remarks on representations of positive definite quadratic forms // Nagoya Math. 1989. - Vol. 15. - P. 23 - 41.

48. Kitaoka Y. A note on representation of positive definite quadratic forms in 6 variables / / Acta arithm. 1990. - Vol. 54, №4. - P. 317 - 322.

49. Knezer M. Quadratischer Formen. Gottingen: Math. Inst., 1974.

50. Knezer M. Uber die Ausnahme-Isomorphismem zwischen endlichen klas-sischen Gruppen // ASUH. 1967. - Vol. 31. - P. 136 - 140.

51. Minkowski H. Untersuchungen uber quadratischer Formen. Bestimmung cler Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes. Genus enthalt. Konigsberg. Innagural dissertation // Acta Math. 1885. - Vol. 7. - P. 201 - 258.

52. Niemeier H.-V. Definite quadratische Former der Dimension 24 und Diskriminante 1 // J. Number Theory. 1973. - Vol. 5. - P. 142 - 178.

53. Pommerenke C. Uber die Gleichverteilung von Gitterpunkten auf m-dimensionalen Ellipsoiden // Acta Arithm. 1959. - Vol. 5, №2. - P. 227 - 257.

54. Siegel C.L. Uber die analytische Theorie der Quadratischen Formen // Ann. Math. 1935. - Vol. 36. - P. 527 - 606.

55. Siegel C.L. Lectures on the Analytical Theory of Quadratic Forms. -Gottingen: Revised Edition, 1963.

56. Smith H.J. On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates // PRS. 1867 - Vol. 16. - P. 197 - 208.

57. Watson G.L. One-class genera of positive ternary quadratic forms // Mathematica. 1972. - Vol. 19, №1. - P. 96 - 104.

58. Watson G.L. One-class genera of positive quaternary quadratic forms // Acta Math. 1974. - Vol. 25, №5. - P. 461 - 475.

59. Watson G.L. One-class genera of positive ternary quadratic forms // Mathematica. 1975. - Vol. 22, .№1. - P. 1 - 11.

60. Watson G.L. One-class genera of positive quadratic forms in least five variables / / Acta Math. 1975. - Vol. 26, №3. - P. 309 - 327.

61. Watson G.L. One-class genera of positive quadratic forms in eight variables // J. London Math. Soc. 1982. - Vol. 26, №2. - P. 227 - 244.

62. Witt E. Spiegelungsgruppen und Aufzahlung halbeinfacher Liescher Ringe // ASUH. 1941. - Vol. 14. - P. 289 - 322.

63. Wright E.M. The representation of a number as a sum of four "almost proportional" squares // Quart. J. Math. 1936. - Vol. 7. - P. 230 - 240.

64. Wright E.M. The representation of a number as a sum of five or more squares // Quart. J. Math. 1937. - Vol. 8. - P. 37 - 51; 228 - 232.